Download - Uitwerking Oefeningen 7.10 5
Uitwerking Oefeningen 7.10 5
uit: Wiskunde in beweging – Theo de Haan
y
x’
x
z
z’ y’
P
O
Q
Maak eerst een situatieschets:
de z’-as steekt schuin naar achteren.
10000),'(cos),'(cos),'(cos0),'(cos),'(cos),'(cos0),'(cos),'(cos),'(cos
zzyzxzzyyyxyzxyxxx
Probeer m.b.v. situatieschets de algemene rotatiematrix R te achterhalen:
R =
Daartoe moeten de cosinussen van de hoeken tussen de oude en nieuwe assen berekend worden.
y
x’
x
z
z’ y’
P
O
Q
Begin met hoek tussen x’-as en x-as:
)12,2,3(
OPxx 3),'cos(
525)12()2(3 222 OP
y
x’
x
z
z’ y’
P
O
Q
Bepaal de lengte van OP als volgt:
)12,2,3(
y
x’
x
z
z’ y’
P
O
Q
De cosinus van de hoek tussen x’-as en x-as is dus:
)12,2,3(
53),'cos( xx
y
x’
x
z
z’ y’
P
O
Q
Nu de x’-as met de y-as:
)12,2,3(
52),'cos(
yx
y
x’
x
z
z’ y’
P
O
Q
Ten slotte de x’-as met de z-as:
)12,2,3(
512),'cos( zx
10000),'(cos),'(cos),'(cos0),'(cos),'(cos),'(cos
0512
52
53
zzyzxzzyyyxy
We hebben nu:
R =
Voor de tweede rij gaan we analoog te werk.
y
x’
x
z
z’ y’
P
O
Q
Bepaal eerst de lengte van lijnstuk OQ:
)12,3,2(
525)12(3)2( 222 OQ
y
x’
x
z
z’ y’
P
O
Q
Bepaal vervolgens de 3 richtingscosinussen:
)12,3,2(
52),'cos(
xy
y
x’
x
z
z’ y’
P
O
Q
Bepaal vervolgens de 3 richtingscosinussen:
)12,3,2(
53),'cos( yy
y
x’
x
z
z’ y’
P
O
Q
Bepaal vervolgens de 3 richtingscosinussen:
)12,3,2(
512),'cos( zy
10000),'(cos),'(cos),'(cos
0512
53
52
0512
52
53
zzyzxz
We hebben nu:
R =
Voor de derde rij zouden we graag ook analoog te werk gaan.
y
x’
x
z
z’ y’
P
O
Q
We moeten een punt vinden dat op de z’-as ligt.
Het uitwendig product biedt hier uitkomst!
y
x’
x
z
z’ y’
P
O
Q
En R ligt op de z’-as.
OROQOP
Haal eventueel de definitie van het uitwendig product er nog maar eens bij!
R
y
x’
x
z’ y’
P
O
Q
OROQOP
R
5125125
49123122123122
1232
122
3
y
x’
x
z
z’ y’
P
O
QR )5,125,125(
Voor R hebben we dus de coordinaten:
256255)125()125( 222 OR
y
x’
x
z
z’ y’
P
O
QR )5,125,125(
De drie richtingscosinussen zijn:
512
25125),'cos( xz
y
x’
x
z
z’ y’
P
O
QR )5,125,125(
De drie richtingscosinussen zijn:
512
25125),'cos( yz
y
x’
x
z
z’ y’
P
O
QR )5,125,125(
De drie richtingscosinussen zijn:
51
255),'cos( zz
1000
051
512
512
0512
53
52
0512
52
53
De rotatiematrix R wordt dus:
R =
