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Equivalentes Thévenin, Equivalentes Adjuntos e

Equações de Trânsito de Energia

Daniel Filipe Cabral Maré da Silva Dias

Dissertação para a obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Júri

Presidente: Prof. Doutor Paulo José da Costa Branco

Orientador: Prof. Doutora Célia Maria Santos Cardoso de Jesus

Co-Orientador: Prof. Doutor Luís António Fialho Marcelino Ferreira

Vogal: Prof. Doutora Maria Eduarda de Sampaio Pinto de Almeida Pedro

Novembro de 2009

i

Agradecimentos

Agradeço à Professora Doutora Célia de Jesus e ao Professor Doutor Luís Marcelino

Ferreira por me terem confiado este trabalho e pela orientação e ajuda disponibilizada ao longo

da realização do mesmo.

Um obrigado especial à minha família, principalmente aos meus pais e irmão, pelo

apoio incondicional transmitido ao longo da minha vida, bem como por proporcionarem todas

as condições necessárias para que os meus objectivos pessoais e académicos pudessem ser

atingidos.

A todos os meus amigos (vocês sabem quem são) pela paciência, amizade, ajuda e

boa disposição que sempre demonstraram, pois tiveram e continuarão a ter um papel

importantíssimo na minha vida.

Por último, agradeço igualmente a todas as pessoas que, directa ou indirectamente,

tornaram esta “viagem académica” inesquecível (bons e maus momentos), que culminou na

realização deste trabalho. Acreditem que não teria tido metade da piada sem vocês9

ii

(Página em branco)

iii

Resumo

O trabalho começa por apresentar um estudo teórico efectuado sobre o trânsito de

energia, estabilidade de tensão, o teorema de Thévenin e o teorema de Tellegen aplicado às

redes adjuntas. São apresentados alguns métodos existentes sobre esses temas, servindo

como base bibliográfica.

De seguida segue-se a abordagem aos métodos de análise utilizados na dissertação,

com especial atenção aos dois modelos de equivalentes de Thévenin, onde cada um

representa uma situação de funcionamento (situação de curto-circuito e situação de

funcionamento normal de um sistema de energia eléctrica), e correspondente cálculo de tensão

aos seus terminais. Para além destes, também são apresentados o modo de calcular o trânsito

de energia (programa MATPOWER) e o método escolhido para indicar o colapso de tensão

(��). São efectuados dois tipos de perturbação através de simulação: de carga num

barramento e num ramo. O primeiro é testado em três sistemas de energia eléctrica (3, 6 e 39

barramentos), de modo a confrontar as duas situações de funcionamentos e os seus

respectivos modelos de equivalentes Thévenin com a solução do trânsito de energia escolhido

e obter conclusões sobre os mesmos. O segundo é efectuado apenas no sistema de 39

barramentos, por ser o mais complexo. Essas perturbações acontecem nos barramentos e

ramos críticos de cada sistema, de modo a obter resultados mais precisos.

Palavras-chave: Estabilidade de Tensão, Sistemas de Energia Eléctrica, Teorema de

Tellegen, Teorema de Thévenin, Trânsito de Energia.

iv

(Página em branco)

v

Abstract

The work begins with a theoretical study about power flow, voltage stability, Thevenin’s

theorem and Tellegen’s theorem applied to adjoint networks. Some existing methods are

presented on these issues, serving as a bibliographic database.

Next follows the approach of the methods of analysis used in this dissertation, with

special attention to the two models of Thevenin equivalent, where each one represents an

operating situation (situation of short circuit and normal operating conditions of an electrical

power system), and corresponding calculation of voltage at its terminals. In addition to these, it

is also shown how to calculate the power flow (software MATPOWER) and the method chosen

to indicate the voltage collapse (��). There are two types of disturbances carried out by simulation: at a load bus and at a

branch. The first is tested in three electrical power systems (3, 6 and 39 buses), in order to

compare the two operation situations and their respective equivalent Thevenin models with the

solution of the chosen power flow and obtain conclusions about them. The second is analyzed

only in the 39 bus system, because it is the most complex one. These disturbances occur on

the critical buses and branches of each system, in order to obtain more accurate results.

Keywords: Electrical Power Systems, Power Flow, Tellegen’s Theorem, Thevenin’s Theorem,

Voltage Stability.

vi

(Página em branco)

vii

Índice

Agradecimentos ................................................................................................................ i

Resumo ............................................................................................................................ iii

Abstract ............................................................................................................................. v

Índice .............................................................................................................................. vii

Lista de Figuras .............................................................................................................. xi

Lista de Tabelas .............................................................................................................. xv

Lista de Símbolos ......................................................................................................... xvii

Lista de Abreviaturas .................................................................................................... xxi

1. Introdução ................................................................................................................ 1

1.1 Motivação .................................................................................................................................. 1

1.2 Objectivos .................................................................................................................................. 2

1.3 Estrutura da Dissertação .......................................................................................................... 3

2. Princípios Fundamentais Teóricos .......................................................................... 5

2.1 Trânsito de Energia .................................................................................................................. 5

2.2 Estabilidade de Tensão ............................................................................................................. 7

2.2.1 Métodos existentes ................................................................................................................. 7

2.3 Teorema de Thévenin ............................................................................................................. 10

2.3.1 Métodos existentes ............................................................................................................... 11

2.4 Teorema de Tellegen e Redes Adjuntas ................................................................................ 15

2.4.1 Cálculo de sensibilidades de tensão ...................................................................................... 15

2.4.2 Representação simbólica da rede adjunta ............................................................................. 17

3. Modelos de Análise ................................................................................................. 19

3.1 Trânsito de Energia ................................................................................................................ 19

3.1.1 Método de Newton-Raphson ................................................................................................ 20

3.1.2 Descrição do algoritmo de leitura ......................................................................................... 22

3.2 Indicador de Proximidade de Colapso de Tensão ................................................................ 22

3.2.1 Descrição do algoritmo ......................................................................................................... 25

3.3 Modelo 1 – Equivalente Thévenin para a situação de curto-circuito ................................. 26

viii

3.3.1 Impedância equivalente de carga .......................................................................................... 27

3.3.2 Análise computacional ......................................................................................................... 27

3.4 Modelo 2 – Equivalente Thévenin para a situação de funcionamento normal .................. 28

3.4.1 Descrição do algoritmo de injecção de corrente ................................................................... 30

3.5 Cálculo da Tensão entre os Terminais dos Equivalentes Thévenin .................................... 32

3.5.1 Descrição dos algoritmos ...................................................................................................... 33

4. Estudo de Perturbações .......................................................................................... 37

4.1 Objectivos ................................................................................................................................ 37

4.2 Análise inicial .......................................................................................................................... 38

4.2.1 Sistema de 3 barramentos ..................................................................................................... 38


4.2.3 Sistema de 39 barramentos ................................................................................................... 42

4.3 Barramentos e ramos críticos ................................................................................................ 47




4.4 Perturbações de Carga num Barramento ............................................................................. 51




4.5 Perturbações num Ramo ........................................................................................................ 66

4.5.1 Cálculo dos equivalentes de Thévenin ...................................................................................... 66

4.5.2 Curto-circuito entre os terminais do equivalente ...................................................................... 66

4.5.3 Circuito aberto entre os terminais do equivalente ..................................................................... 68

4.6 Conclusões ............................................................................................................................... 69

5. Conclusão ............................................................................................................... 71

5.1 Síntese de Resultados .............................................................................................................. 71

5.2 Utilidade dos Modelos Equivalentes ...................................................................................... 73

5.3 Perspectivas de Trabalho Futuro .......................................................................................... 73

Bibliografia .................................................................................................................... 75

Anexos ............................................................................................................................ 77

Anexo A: Sistema de 3 barramentos .................................................................................................. 77

A.1 Dados iniciais do sistema...................................................................................................... 77

A.2 Circuitos OrCAD PSpice ...................................................................................................... 77

ix

A.3 Injecção de corrente .............................................................................................................. 79

Anexo B: Sistema de 6 barramentos ................................................................................................... 80

B.1 Dados iniciais do sistema...................................................................................................... 80

B.2 Circuitos OrCAD PSpice ...................................................................................................... 81

B.3 Injecção de corrente .............................................................................................................. 82

Anexo C: Sistema de 39 barramentos ................................................................................................ 83

C.1 Dados iniciais do sistema...................................................................................................... 83

C.2 Circuitos OrCAD PSpice ...................................................................................................... 85

C.3 Injecção de corrente .............................................................................................................. 90

x

(Página em branco)

xi

Lista de Figuras

FIGURA 2.1 – ESQUEMA UNIFILAR DE UM BARRAMENTO GENÉRICO (SISTEMA COM � BARRAMENTOS). ........ 6

FIGURA 2.2 – CURVAS: A) P-V; B) Q-V. ........................................................................................................ 8

FIGURA 2.3 – REPRESENTAÇÃO DE UMA REDE COM 2 BARRAMENTOS. .......................................................... 8

FIGURA 2.4 – REPRESENTAÇÃO: A) BARRAMENTO DE CARGA DO SISTEMA; B) REDE �; C) REDE ADJUNTA

�. ......................................................................................................................................................... 9

FIGURA 2.5 – ESQUEMA EQUIVALENTE DE THÉVENIN................................................................................. 10

FIGURA 2.6 – APLICAÇÃO DO TEOREMA DA SOBREPOSIÇÃO NO CÁLCULO DAS CORRENTES DE CURTO-

CIRCUITO. ........................................................................................................................................... 11

FIGURA 2.7 – ESQUEMA EQUIVALENTE DE THÉVENIN APLICADO AO ESTADO 2 DO TEOREMA DA

SOBREPOSIÇÃO, PARA CÁLCULO DAS CORRENTES DE CURTO-CIRCUITO. ............................................. 11

FIGURA 2.8 – FASES DO PROCESSO DO CÁLCULO DO EQUIVALENTE DE THÉVENIN NO BARRAMENTO 16: A)

SUBSISTEMA UNIFILAR; B) SUBSISTEMA MONOFÁSICO EQUIVALENTE; C) ESQUEMA EQUIVALENTE EM

� DO RAMO ENTRE OS BARRAMENTOS 16 - 17. .................................................................................... 13

FIGURA 2.9 – ESQUEMA EQUIVALENTE DE 2 BARRAMENTOS. ...................................................................... 14

FIGURA 2.10 – REPRESENTAÇÃO SIMBÓLICA DOS ELEMENTOS DA REDE ADJUNTA: A) ADMITÂNCIA � ; B)

FONTE DE CORRENTE DEPENDENTE; C) FONTE DE TENSÃO DEPENDENTE; D) CURTO-CIRCUITO; E) FONTE

DE CORRENTE INDEPENDENTE UNITÁRIA. ........................................................................................... 17

FIGURA 2.11 – REPRESENTAÇÃO DO SISTEMA DE 3 BARRAMENTOS COM INDICAÇÃO DOS BARRAMENTOS E

RAMOS. ............................................................................................................................................... 18

FIGURA 2.12 – REPRESENTAÇÃO EM CIRCUITO DA REDE ADJUNTA PARA O CÁLCULO DE SENSIBILIDADES NO

BARRAMENTO 3. ................................................................................................................................. 18

FIGURA 3.1 – FLUXOGRAMA DO PROCESSO ITERATIVO PARA O MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON. ............... 21

FIGURA 3.2 – FLUXOGRAMA DO FICHEIRO DE LEITURA DOS DADOS OBTIDOS PELO MATPOWER. ............ 22

FIGURA 3.3 – LINHA DE TRANSMISSÃO TÍPICA DE UM SISTEMA ELÉCTRICO. ................................................ 23

FIGURA 3.4 – LINHA DE TRANSMISSÃO COM OS PARÂMETROS. .................................................................... 23

FIGURA 3.5 – FLUXOGRAMA DO FICHEIRO DE CÁLCULO DO ��.................................................... 25

FIGURA 3.6 – DISPOSITIVO VAC. ................................................................................................................ 27

FIGURA 3.7 – DISPOSITIVO VPRINT1. ........................................................................................................ 28

FIGURA 3.8 – DISPOSITIVO IPRINT. ........................................................................................................... 28

FIGURA 3.9 – RELAÇÃO CORRENTE/TENSÃO PARA UM EXEMPLO DE UMA RESISTÊNCIA DE 2�, QUE

REPRESENTA A LEI DE OHM. ............................................................................................................... 29

FIGURA 3.10 – INJECÇÃO DE CORRENTE NO VALOR DE 1 �: A) NO BARRAMENTO �; B) ENTRE OS

BARRAMENTOS � E �. ........................................................................................................................... 29

FIGURA 3.11 – FLUXOGRAMA SIMPLIFICADO DO FICHEIRO QUE CALCULA OS NOVOS VALORES DE POTÊNCIA

DE CARGA ENTRE O BARRAMENTO � E A TERRA. .................................................................................. 30

FIGURA 3.12 – FLUXOGRAMA SIMPLIFICADO DO FICHEIRO QUE CALCULA OS NOVOS VALORES DE POTÊNCIA

DE CARGA ENTRE OS BARRAMENTOS � E �. .......................................................................................... 31

xii

FIGURA 3.13 – FLUXOGRAMA DE UM CASO GENÉRICO DE ANÁLISE DE UMA PEQUENA VARIAÇÃO NAS

POTÊNCIAS DE CARGA. ........................................................................................................................ 31

FIGURA 3.14 – CIRCUITO SIMPLIFICADO COM OS PARÂMETROS EQUIVALENTES DE THÉVENIN E UMA

IMPEDÂNCIA DE CARGA. ..................................................................................................................... 32

FIGURA 3.15 – O PARALELO ENTRE AS CARGAS �0 E � ! CORRESPONDE À CARGA ��. ............................. 32

FIGURA 3.16 – FLUXOGRAMA DO CÁLCULO DOS PARÂMETROS EQUIVALENTES DE THÉVENIN. ................... 34

FIGURA 3.17 – FLUXOGRAMA DO FICHEIRO QUE CALCULA A TENSÃO � ! APLICADA A UM BARRAMENTO. 34

FIGURA 3.18 – FLUXOGRAMA DO FICHEIRO QUE CALCULA A TENSÃO � ! APLICADA A UM RAMO. ............ 35

FIGURA 4.1 – ESQUEMA UNIFILAR DO SISTEMA DE 3 BARRAMENTOS. ......................................................... 39

FIGURA 4.2 – ESQUEMA UNIFILAR DO SISTEMA DE 6 BARRAMENTOS. ......................................................... 40

FIGURA 4.3 – ESQUEMA UNIFILAR DO SISTEMA DE 39 BARRAMENTOS. ....................................................... 43

FIGURA 4.4 – VALORES DOS MÓDULOS DA TENSÃO �3PARA OS TRÊS MODELOS COM A VARIAÇÃO DA

POTÊNCIA ACTIVA NO BARRAMENTO 3 E COM POTÊNCIA REACTIVA CONSTANTE. ............................... 52

FIGURA 4.5 – VALORES DOS ARGUMENTOS DA TENSÃO �3PARA OS TRÊS MODELOS COM A VARIAÇÃO DA



POTÊNCIA REACTIVA NO BARRAMENTO 3 E COM POTÊNCIA ACTIVA CONSTANTE. ............................... 53



FIGURA 4.8 - VALORES DOS MÓDULOS DA TENSÃO �3PARA OS TRÊS MODELOS COM A VARIAÇÃO DAS

POTÊNCIAS ACTIVA E REACTIVA NO BARRAMENTO 3. ......................................................................... 54

FIGURA 4.9 – VALORES DOS ARGUMENTOS DA TENSÃO �3PARA OS TRÊS MODELOS COM A VARIAÇÃO DAS


FIGURA 4.10 – PERCENTAGEM DE ERRO DOS DOIS MODELOS NO CÁLCULO DO MÓDULO DA TENSÃO �3. .... 55









FIGURA 4.15 – VALORES DOS MÓDULOS DA TENSÃO �5PARA OS TRÊS MODELOS COM A VARIAÇÃO DAS


FIGURA 4.16 – VALORES DOS ARGUMENTOS DA TENSÃO �5PARA OS TRÊS MODELOS COM A VARIAÇÃO DAS


FIGURA 4.17 – PERCENTAGEM DE ERRO DOS DOIS MODELOS NO CÁLCULO DO MÓDULO DA TENSÃO �5. .... 60


POTÊNCIA ACTIVA NO BARRAMENTO 12 E COM POTÊNCIA REACTIVA CONSTANTE. ............................. 62

xiii


POTÊNCIA ACTIVA NO BARRAMENTO 12 E COM POTÊNCIA REACTIVA CONSTANTE. ............................. 62


POTÊNCIA REACTIVA NO BARRAMENTO 12 E COM POTÊNCIA ACTIVA CONSTANTE. ............................. 63


POTÊNCIA REACTIVA NO BARRAMENTO 12 E COM POTÊNCIA ACTIVA CONSTANTE. ............................. 63

FIGURA 4.22 – VALORES DOS MÓDULOS DA TENSÃO �12PARA OS TRÊS MODELOS COM A VARIAÇÃO DAS

POTÊNCIAS ACTIVA E REACTIVA NO BARRAMENTO 12. ....................................................................... 64

FIGURA 4.23 – VALORES DOS ARGUMENTOS DA TENSÃO �12PARA OS TRÊS MODELOS COM A VARIAÇÃO

DAS POTÊNCIAS ACTIVA E REACTIVA NO BARRAMENTO 12. ................................................................ 65

FIGURA 4.24 – PERCENTAGEM DE ERRO DOS DOIS MODELOS NO CÁLCULO DO MÓDULO DA TENSÃO �12. .. 65

FIGURA 4.25 – VARIAÇÃO DE � ! DE MODO A QUE O RAMO 35 TENDA PARA CURTO-CIRCUITO USANDO: A)

MODELO 1; B) MODELO 2. .................................................................................................................. 67

FIGURA 4.26 – VARIAÇÃO DE � ! DE MODO A QUE O RAMO 35 TENDA PARA CURTO-CIRCUITO USANDO: A)

MODELO 1; B) MODELO 2. .................................................................................................................. 67

FIGURA 4.27 – VARIAÇÃO DE � ! DE MODO A QUE O RAMO 35 TENDA PARA CIRCUITO ABERTO USANDO: A)

MODELO 1; B) MODELO 2. .................................................................................................................. 68

FIGURA 4.28 – VARIAÇÃO DE � ! DE MODO A QUE O RAMO 35 TENDA PARA CIRCUITO ABERTO USANDO: A)

MODELO 1; B) MODELO 2. .................................................................................................................. 68

FIGURA ANEXO.1 – CIRCUITO PSPICE PARA A OBTENÇÃO DO VALOR DE �$%�&��'� NO BARRAMENTO 3. 78

FIGURA ANEXO.2 - CIRCUITO PSPICE PARA A OBTENÇÃO DO VALOR DE ��&��'� NO BARRAMENTO 3. .... 78

FIGURA ANEXO.3 – INJECÇÃO DE CORRENTE NO VALOR DE 1 � NO BARRAMENTO 3. .................................. 79

FIGURA ANEXO.4 – CIRCUITO PSPICE PARA A OBTENÇÃO DO VALOR DE �$%�&��'� NO BARRAMENTO 5. 81

FIGURA ANEXO.5 – CIRCUITO PSPICE PARA A OBTENÇÃO DO VALOR DE ��&��'� NO BARRAMENTO 5. ... 82

FIGURA ANEXO.6 – INJECÇÃO DE CORRENTE NO VALOR DE 1 � NO BARRAMENTO 5. .................................. 82

FIGURA ANEXO.7 – CIRCUITO PSPICE PARA A OBTENÇÃO DO VALOR DE �$%�&��'� NO BARRAMENTO 12.

........................................................................................................................................................... 86

FIGURA ANEXO.8 – CIRCUITO PSPICE PARA A OBTENÇÃO DO VALOR DE ��&��'� NO BARRAMENTO 12. . 87

FIGURA ANEXO.9 – CIRCUITO PSPICE PARA A OBTENÇÃO DO VALOR �$%�&��'� ENTRE OS BARRAMENTOS

12 E 11. ............................................................................................................................................... 88

FIGURA ANEXO.10 – CIRCUITO PSPICE PARA A OBTENÇÃO DO VALOR ��&��'� ENTRE OS BARRAMENTOS

12 E 11. ............................................................................................................................................... 89

FIGURA ANEXO.11 – INJECÇÃO DE CORRENTE NO VALOR DE 1 � NO BARRAMENTO 12. .............................. 90

FIGURA ANEXO.12 – INJECÇÃO DE CORRENTE ENTRE OS BARRAMENTOS 12 E 11. ...................................... 90

xiv

(Página em branco)

xv

Lista de Tabelas

TABELA 4-1 – RESULTADOS DOS BARRAMENTOS DO SISTEMA. ................................................................... 39

TABELA 4-2 – RESULTADOS DOS RAMOS DO SISTEMA. ................................................................................ 39

TABELA 4-3 – CORRENTES INJECTADAS NOS BARRAMENTOS. ..................................................................... 40

TABELA 4-4 – CORRENTES TRANSITADAS NOS RAMOS. ............................................................................... 40


TABELA 4-6 – RESULTADOS DOS RAMOS DO SISTEMA. ................................................................................ 41

TABELA 4-7 – CORRENTES INJECTADAS NOS BARRAMENTOS. ..................................................................... 42

TABELA 4-8 – CORRENTES TRANSITADAS NOS RAMOS. ............................................................................... 42


TABELA 4-10 – RESULTADOS DOS RAMOS DO SISTEMA. .............................................................................. 44

TABELA 4-11 – CORRENTES INJECTADAS NOS BARRAMENTOS. ................................................................... 46

TABELA 4-12 – CORRENTES TRANSITADAS NOS RAMOS. ............................................................................. 46

TABELA 4-13 – INDICADORES DE ESTABILIDADE NOS BARRAMENTOS PARA O CASO INICIAL. ..................... 48

TABELA 4-14 – INDICADORES DE ESTABILIDADE NO RAMO 2. ..................................................................... 48


TABELA 4-16 – INDICADORES DE ESTABILIDADE NO RAMO 3. ..................................................................... 49


TABELA 4-18 – INDICADORES DE ESTABILIDADE NO RAMO 35. ................................................................... 50

TABELA 4-19 – VARIAÇÃO DA POTÊNCIA ACTIVA NO BARRAMENTO 3, COM POTÊNCIA REACTIVA

CONSTANTE. ....................................................................................................................................... 51

TABELA 4-20 – VARIAÇÃO DA POTÊNCIA REACTIVA NO BARRAMENTO 3, COM POTÊNCIA ACTIVA

CONSTANTE. ....................................................................................................................................... 53

TABELA 4-21 – VARIAÇÃO DAS POTÊNCIAS ACTIVA E REACTIVA NO BARRAMENTO 3. ................................ 54


CONSTANTE. ....................................................................................................................................... 56


CONSTANTE. ....................................................................................................................................... 57

TABELA 4-24 – VARIAÇÃO DAS POTÊNCIAS ACTIVA E REACTIVA NO BARRAMENTO 5. ................................ 59


CONSTANTE. ....................................................................................................................................... 61


CONSTANTE. ....................................................................................................................................... 63

TABELA 4-27 – VARIAÇÃO DAS POTÊNCIAS ACTIVA E REACTIVA NO BARRAMENTO 12. .............................. 64

TABELA ANEXO-1 – DADOS DO CIRCUITO. .................................................................................................. 77



xvi

(Página em branco)

xvii

Lista de Símbolos

( Símbolo que denota a derivada da grandeza cujo símbolo se lhe segue

∆ Símbolo que denota variação ou perturbação da grandeza cujo símbolo se lhe segue

^ Símbolo que denota as grandezas adjuntas correspondentes a �+ e �+,

~ Símbolo que denota as grandezas adjuntas correspondentes a �. e �.,

∗ Símbolo que denota conjugado da grandeza cujo símbolo lhe é anterior

′ Símbolo que denota transposto da grandeza cujo símbolo lhe é anterior

1 Erro do modelo

2 Frequência angular

3 Argumento

34 Argumento no barramento � 35 Argumento no barramento � Ф Argumento da impedância de carga �

745 Susceptância do barramento � para � � Capacitância

845 Condutância do barramento � para � � Vector das correntes nos ramos

� Corrente

�9: Corrente entre os terminais e !

�: Corrente de base

�;; Corrente de curto-circuito

� Corrente de emissão

�4 Corrente injectada no barramento � �45 Corrente transitada do barramento � para � �5 Corrente injectada no barramento � �< Corrente no ramo para a rede �

�=<, Corrente no ramo para a rede �+,

�><, Corrente no ramo para a rede �.,

�? Corrente de Norton

� Corrente de recepção

� Unidade imaginária

@< Matriz Jacobiano

Índice do ramo que se está a analisar

AB Conjunto de índices dos ramos correspondentes a geradores

AC Conjunto de índices dos ramos correspondentes a cargas activas

A? Conjunto de índices dos ramos da rede passiva

AD Índice do ramo que corresponde ao gerador de referência

xviii

E Indutância

F Índice do ramo que sofre a perturbação

� Rede original (usualmente a rede do sistema de energia eléctrica)

�+ Rede adjunta da rede �

�+, Rede adjunta de índice F da rede �

�., Rede adjunta de índice F da rede �

G Conjunto de índices dos ramos da rede cuja tensão se quer observar

�. I. Por unidade

� Potência activa

�J Potência activa de carga

� Potência activa de emissão

�B Potência activa de geração

�< Potência activa correspondente ao ramo

�� Potência activa de perdas

� Potência activa de recepção

K Potência reactiva

KJ Potência reactiva de carga

K Potência reactiva de emissão

KB Potência reactiva de geração

K� Potência reactiva de perdas

K Potência reactiva de recepção

L Resistência

& Potência aparente

&: Potência (aparente) de base

&; Potência (aparente) de carga

&JM Potência (aparente) de carga inicial

&B Potência (aparente) de geração

&45 Potência (aparente) transitada do barramento � para � &< Potência complexa correspondente ao ramo

N Vector das tensões nos ramos

� Tensão

�9: Tensão entre os terminais e !

�: Tensão de base

�4 Tensão no barramento � �4M Tensão pré-defeito no barramento � �5 Tensão no barramento � �< Tensão no ramo

�O<, Tensão adjunta do ramo para a rede �+,

�P<, Tensão adjunta do ramo para a rede �.,

xix

�Q Tensão do barramento de emissão

�RS Tensão de Thévenin

T Reactância

TB Reactância do gerador

�: Admitância de base

�< Admitância do ramo

� Impedância

�9: Impedância entre os terminais e !

�: Impedância de base

�; Impedância de carga

�UV Impedância de defeito

�M Impedância de carga inicial

� Impedância de carga ligada ao barramento de recepção

�Q Impedância de carga ligada ao barramento de emissão

�RS Impedância de Thévenin

xx

(Página em branco)

xxi

Lista de Abreviaturas

IEEE Institute of Electrical and Electronics Engineers, Inc.

PSERC Power Systems Engineering Research Center

SEE Sistema de Energia Eléctrica

TE Trânsito de Energia

VCPI Voltage Collapse Proximity Indicator

xxii

(Página em branco)

1

Capítulo 1 1. Introdução

1.1 Motivação

Os sistemas de energia eléctrica (SEE) em regime permanente são habitualmente

estudados através das equações de trânsito de energia, sendo que o seu interesse

normalmente não está na solução de todas as correntes e tensões mas sim na corrente ou

tensão de uma pequena parte da rede. Assim, e dada a necessidade de se melhorar a rapidez

de cálculo de tensões e correntes destes sistemas, é conveniente conseguir-se substituir

grande parte da rede por um circuito simples equivalente.

É neste contexto que, na procura de alternativas à solução das equações do trânsito de

energia para uma pequena parte do sistema, aparecem as aplicações do teorema de Thévenin

e do teorema de Tellegen aliado à tecnologia das redes adjuntas em modelos equivalentes

como possíveis opções válidas.

O teorema de Thévenin desempenha um papel de grande importância no estudo de

sistemas lineares. Sabendo que os SEE são essencialmente de natureza não linear, a dúvida

reside no correcto funcionamento do teorema de Thévenin neste tipo de sistemas, para além

do habitual cálculo de curto-circuitos (usado com grandes garantias devido à linearidade dos

seus cálculos).

Entre os teoremas de análise de circuitos, o teorema de Tellegen é incomum, pois

depende unicamente das leis de Kirchhoff e da topologia da rede. Este teorema pode ser

portanto aplicado a todos os sistemas eléctricos que obedeçam às leis de Kirchhoff, sejam

estes lineares/não lineares e variantes/invariantes no tempo.

2

O teorema de Tellegen aplicado à tecnologia das redes adjuntas já é considerado como

uma solução válida e célere para este tipo de problemas (cálculo de tensões e correntes), pois

a sua aplicação já obteve resultados extremamente precisos aquando variados tipos de

perturbação nesses sistemas (variações de tensão, impedâncias, potências, modificações na

estrutura da rede, etc.).

Com o aumento da exigência na qualidade, segurança e condições de funcionamento

das redes de energia eléctrica, assim como os benefícios económicos e os condicionamentos

ambientais, cada vez mais os SEE são operados muito próximo dos seus limites. Assim, é

compreensível que a estabilidade de tensão seja um tema com uma importância considerável

na indústria da energia eléctrica nos últimos anos, o que torna conveniente o seu estudo nesta

dissertação.

Deste modo, torna-se bastante interessante o estudo e desenvolvimento de modelos

equivalentes, como equivalentes de Thévenin e equivalentes adjuntos (usando o teorema de

Tellegen), em sistemas de energia eléctrica, testando-os ao longo de várias perturbações

nomeadamente nos limites de estabilidade de tensão do sistema.

1.2 Objectivos

O principal objectivo desta dissertação consiste no estudo e desenvolvimento de

equivalentes Thévenin e de equivalentes adjuntos em sistemas de energia eléctrica,

comparando os seus resultados com a solução das equações de trânsito de energia. Dado que

nesta dissertação apenas são encontrados modelos equivalentes Thévenin (um para a

situação de curto-circuito e outro para a situação de funcionamento normal dos SEE), somente

estes são confrontados com a solução habitual do trânsito de energia (método de Newton)

quanto à precisão de resultados.

Dado que, num sistema de energia eléctrica, o estudo de uma situação de curto-circuito

é possível por este se encontrar muito próximo da linearidade (as correntes são enormes), é

interessante obter um modelo equivalente Thévenin que se baseie nestes pressupostos. Esse

modelo deve ser então comparado com um outro modelo equivalente Thévenin, que funcione

para a situação de funcionamento normal de um SEE (onde os seus valores estão próximos

dos valores nominais do sistema). É esperado que o modelo para esta última situação, dada a

natureza deste tipo de sistemas (não lineares), obtenha piores resultados do que o modelo

para a situação de curto-circuitos.

A fim de testar os modelos equivalentes Thévenin de ambas as situações, recorre-se a

perturbações de carga num barramento e a perturbações num ramo. Assim, é necessário

utilizar um método de análise de estabilidade de tensão para se encontrar os barramentos e

ramos críticos, de modo a que essas perturbações não provoquem a instabilidade do sistema

(colapso de tensão).

3

Com o objectivo de desenvolver os modelos equivalentes, é essencial numa primeira

fase estudar os princípios teóricos destes temas (trânsito de energia, estabilidade de tensão e

teoremas de Thévenin e de Tellegen aplicado às redes adjuntas), nomeadamente o que já foi

feito sobre cada um deles. Assim, nessa primeira análise é realizado um trabalho bibliográfico,

maioritariamente através da biblioteca digital IEEE Xplore (1), e verificados alguns dos métodos

já existentes.

1.3 Estrutura da Dissertação

A dissertação está dividida em cinco capítulos, de modo a proporcionar uma melhor

compreensão do mesmo. No presente capítulo (capítulo 1) é realizada a introdução ao

trabalho efectuado, onde é descrito de uma forma sucinta a motivação e os objectivos desta

dissertação.

O capítulo 2, apesar de não conter contribuições originais, é essencial nesta

dissertação por conter os princípios fundamentais teóricos de todo o trabalho realizado. Este

apresenta ainda todo um trabalho bibliográfico sobre métodos existentes de análise de

estabilidade de tensão e de aplicação do teorema de Thévenin.

No capítulo 3 são apresentados os modelos de análise utilizados no capítulo 4,

nomeadamente o modo de calcular o trânsito de energia escolhido, o método de análise de

estabilidade de tensão de um sistema e os modelos para as duas situações diferentes de

cálculo de equivalentes de Thévenin (situação de curto-circuito e situação de funcionamento

normal), denominados por Modelo 1 e Modelo 2 de modo a facilitar a sua utilização. Estes dois

últimos métodos (principalmente o Modelo 2, por se tratar de uma situação de funcionamento

normal de um SEE), junto com o respectivo cálculo de tensão aos terminais do modelo

equivalente, são as contribuições originais desta dissertação.

No capítulo 4 é realizado um estudo de perturbações em três sistemas de energia

eléctrica (3, 6 e 39 barramentos), de modo a entender o comportamento dos equivalentes

Thévenin para as duas situações distintas relativamente às equações do trânsito de energia.

Para isso, são consideradas determinadas perturbações nos barramentos de cada sistema e

perturbações no ramo crítico do sistema de 39 barramentos, partindo-se sempre de um caso

inicial igualmente estudado.

Por último, o capítulo 5 apresenta conclusões relativas a este trabalho, como a

utilidade/validade do modelo equivalente Thévenin para a situação de funcionamento normal

de um SEE (Modelo 2) proposto e a sua comparação com o modelo equivalente Thévenin na

situação de curto-circuito (Modelo 1). Nesse capítulo perspectiva-se ainda trabalho futuro,

nomeadamente a obtenção de métodos de cálculo de equivalentes adjuntos.

4

(Página em branco)

5

Capítulo 2 2. Princípios Fundamentais Teóricos

2.1 Trânsito de Energia

Trânsito de Energia (Power Flow) (2), também conhecido por Trânsito de Potência ou

Fluxo de Potência, é a solução em regime estacionário de um sistema de energia eléctrica,

compreendendo os geradores, a rede e as cargas. É um problema essencial em sistemas de

energia eléctrica.

Consiste no cálculo das amplitudes e argumentos das tensões de todos os

barramentos (nós) da rede e das potências activa e reactiva que transitam em todos os ramos

(linhas e transformadores), para condições de geração e carga especificadas e para uma dada

configuração topológica.

O número de barramentos e de ramos dos sistemas eléctricos pode ser muito elevado

(podem atingir dezenas de milhar de barramentos) e as equações que modelam esses

sistemas são equações não lineares, o que torna necessário o recurso a programas

computacionais. Assim, foi procurada a melhor solução para ser usada nesta Dissertação, que

se encontra descrita na secção 3.1.

Na análise dos SEE, em vez de utilizar as respectivas unidades das grandezas

eléctricas (impedâncias, admitâncias, correntes, tensões e potências), é preferível exprimi-las

por valores por unidade ��. I. �, cujos valores base podem ser calculados por:

�:� �� = &:√3 ∙ �:

(2.1)

6

�:�� = �:√3 ∙ �:

= �:Z&: (2.2)

�:�&� = &:�:Z (2.3)

O trânsito de energia e a sua solução consiste nos seguintes passos:

• Formulação do modelo matemático representativo do sistema;

• Especificação do tipo de barramento e grandezas referentes a cada um;

• Solução numérica das equações do trânsito de energia, sendo obtidas as amplitudes

e argumentos das tensões em todos os barramentos;

• Cálculo das potências transitadas nos ramos.

Figura 2.1 – Esquema unifilar de um barramento genérico (sistema com � barramentos).

Por definição, a potência injectada num barramento é:

[4 = [B4 − [J4 = �B4 − �J4 + ��KB4 − KJ4� (2.4)

sendo a corrente injectada nesse barramento dada pela equação:

^4 = [4∗_4∗ (2.5)

Relativamente à potência transitada nos ramos, esta é dada por:

[45< = _4 ∙ `^45< a∗ (2.6)

de onde se obtém também a corrente transitada nesses ramos:

^45∗ = b[45<_4 c

∗ (2.7)

Num sistema eléctrico de energia existem três tipos de barramentos:

• Barramento de balanço (referência) – é obrigatório haver pelo menos um barramento

de balanço no sistema, pois é neste barramento que é efectuado o fecho do balanço

energético. As variáveis conhecidas são �J e KJ, as especificadas são � e 3, e as calculadas

são �B e KB .

• Barramento PQ (carga ou geração) – os barramentos de carga são modelados como

barramentos PQ. As variáveis conhecidas são �J e KJ, as especificadas são �B e KB , e as

calculadas são � e 3.

Barramento PV (geração) – os barramentos de geração podem ser modelados como

barramentos PQ ou PV. As variáveis conhecidas são �J e KJ, as especificadas são �B e �, e as

calculadas são KB e 3.

7

2.2 Estabilidade de Tensão

A estabilidade de tensão (voltage stability) (3) é a capacidade que um sistema eléctrico

tem de manter a tensão constante em todos os barramentos do sistema, após ter sido

submetido a uma perturbação a partir de uma determinada condição inicial de funcionamento.

Tipicamente, quando a carga num barramento específico ou área aumenta lentamente,

os valores das tensões diminuem gradualmente de início e depois rapidamente até atingirem

um valor limite, a partir do qual o sistema se tona instável. A esse fenómeno dá-se o nome de

colapso de tensão (voltage collapse), podendo resultar em apagões (blackouts).

De modo a evitar o colapso de tensão, deve-se incluir no estudo de um sistema o

cálculo das tensões críticas (limites mínimos das tensões). Assim, conhecendo as condições de

estabilidade de tensão dos barramentos do sistema eléctrico, nomeadamente do mais propício

a chegar mais rapidamente ao limite de estabilidade (barramento mais sensível às variações de

carga), é possível garantir que as tensões mantêm valores mais elevados do que os seus

valores críticos, mantendo o sistema estável.

A não estabilidade das tensões e o colapso das mesmas ameaçam assim o correcto

funcionamento dessas redes, daí o imenso estudo relativamente recente de variados métodos

de análise (dinâmicos e estáticos) para prever o colapso de tensão. Alguns desses métodos

são descritos na secção 2.2.1, ficando para a secção 3.2 uma descrição mais pormenorizada

do método utilizado nesta Dissertação.

2.2.1 Métodos existentes

Apesar da instabilidade de tensão ser um fenómeno dinâmico, têm sido propostos e

amplamente utilizados vários métodos de análise estáticos em diferentes redes de energia nos

últimos anos. Estes são geralmente mais fáceis de implementar, requerendo menos tempo

computacional à custa da perda de exactidão dos resultados. Em contraste, os métodos de

análise dinâmicos conseguem resultados mais precisos, mas exigem modelos mais elaborados

e um tempo computacional maior, daí que sejam menos utilizados.

Dado que o objectivo desta Dissertação não necessita da precisão obtida pelos

métodos de análise dinâmicos, foram pesquisados maioritariamente métodos de análise

estáticos. Os mais interessantes, tendo em vista esse objectivo, são referidos nos parágrafos

seguintes.

O cálculo das curvas P-V e Q-V (4), técnicas clássicas para prever o colapso de

tensão, servem para investigar como é que a tensão do barramento de carga varia com a

variação das potências activa e reactiva, respectivamente. Através desses gráficos, é possível

encontrar facilmente os valores de tensão e potência críticos, que é o ponto onde a curva faz

uma inversão do quadrante superior para o inferior. Tal pode ser verificado na Figura 2.2,

retirada também de (4).

8

Figura 2.2 – Curvas: a) P-V; b) Q-V.

Sterling et. al. (5) estudou o colapso de tensão num barramento de carga usando o

conceito da potência máxima transitada entre dois barramentos, que afirma que a potência

transferida para uma carga é máxima quando a impedância de carga �C é igual ao conjugado

da impedância da fonte �Q, ou seja, �C = �Q∗.

Figura 2.3 – Representação de uma rede com 2 barramentos.

A rede de 2 barramentos da Figura 2.3 é aplicada a um circuito equivalente de

Thévenin (secção 2.3) relativamente a um barramento específico, onde �Q é a tensão em

circuito aberto no barramento �, �Q é a impedância equivalente de Thévenin entre o terminal � e

a terra, e �C é a impedância da carga ligada ao barramento �. Usando este circuito equivalente,

o índice de estabilidade de tensão é a relação entre os módulos �C e �Q, que tem um valor

máximo de 1 quando ambas as impedâncias são iguais, indicando a carga máxima nesse

barramento para que o sistema se mantenha estável, ou seja,

�C�Q ≤ 1 (2.8)

Este último método serviu de base para outros, como para Jasmon et. al. (6) e

Moghavvemi et.al. (7). No primeiro é calculado um índice de estabilidade de tensão, E, que

deriva das equações de tensão de um sistema de 2 barramentos e também utiliza o circuito

equivalente de Thévenin do sistema eléctrico relativo ao barramento de carga. Este índice

indica a proximidade dos barramentos de carga ao limite de estabilidade de tensão,

9

apresentando inclusivamente melhores resultados. No segundo, é calculado um indicador de

proximidade de colapso de tensão (VCPI – Voltage Collapse Proximity Indicator), que investiga

cada linha do sistema através do cálculo de um indicador que varia entre 0 (sem carga) e 1

(carga máxima). Também utiliza o conceito da potência máxima transitada entre dois

barramentos.

Chang et. al. (8) também apresentou um método que calcula um VCPI para cada

barramento, definido por uma relação entre as variações das potências reactivas dos

geradores e a variação da potência reactiva de carga. O barramento com o maior valor de

VCPI é o nó mais fraco do sistema.

Janischewskyj et. al. (9) definiu uma nova abordagem rápida e simples para a condição

de carga extrema (XLC – Extreme Loading Condition), que pode ser utilizado em grandes

sistemas. O cálculo identifica correctamente o barramento mais fraco (sensível) do sistema.

Parniani et. al. (10) combinou a análise estática com a dinâmica, criando um modelo

que usa uma abordagem estática ao problema da estabilidade de tensão, seguido de

simulações temporais. Esta combinação aproveita as vantagens de ambos os métodos de

análise.

Gubina et. al. (11) usou ainda o teorema de Tellegen (secção 2.4) associado ao

Teorema de Thévenin para calcular um índice de estabilidade de tensão, obtendo resultados

bastante satisfatórios num sistema de teste de dois barramentos e no sistema Belga-Francês

de 32 barramentos. O teorema de Tellegen é usado de modo a simplificar a determinação dos

parâmetros de Thévenin e o respectivo índice (Figura 2.4). Este necessita apenas das

medições da tensão e da corrente para avaliar a estabilidade de tensão do sistema num

determinado barramento.

Figura 2.4 – Representação: a) barramento de carga do sistema; b) rede �; c) rede adjunta �+.

10

2.3 Teorema de Thévenin

O Teorema de Thévenin (12) estabelece que um circuito linear terminado em dois

pontos e !, contendo um número qualquer de geradores de tensão, pode ser substituído por

um único gerador de tensão em série com uma impedância ligados entre aqueles dois pontos,

designados por �RS e �RS, respectivamente. Ao conjunto de componentes �RS e �RS dá-se a

designação de Equivalente de Thévenin, como se mostra na Figura 2.5.

Figura 2.5 – Esquema Equivalente de Thévenin.

O gerador de tensão �RS é igual à tensão do circuito aberto medida entre e !, sendo

a impedância �RS igual à impedância do circuito medida entre e ! com os geradores de

tensão curto-circuitados. De notar que, caso hajam, os geradores de corrente são substituídos

por circuitos abertos e os geradores comandados não podem ser anulados.

Como dito anteriormente, este teorema funciona correctamente para sistemas lineares.

Como os SEE são essencialmente de natureza não linear (cálculos do trânsito de energia

exigem soluções de equações algébricas não lineares), a dúvida reside no correcto

funcionamento do Teorema de Thévenin neste tipo de sistemas para o cálculo dos módulos e

argumentos das tensões nos SEE. Actualmente são usados com garantias no cálculo de

correntes de curto-circuito, notando-se nos últimos anos várias investigações na tentativa de

aplicar este teorema à análise da estabilidade de tensão (descrita na secção 2.2), devido à sua

importância neste tipo de sistemas.

Assim, foram estudados e descritos na secção 2.3.1 alguns modelos existentes de

obtenção do esquema equivalente de Thévenin para sistemas de energia eléctrica, tanto para o

cálculo de correntes de curto-circuitos como para análise da estabilidade de tensão, na

tentativa de verificar se este modelo equivalente pode ser utilizado em sistemas não lineares

para cálculo de tensões.

Nas secções 3.3 e 3.4 são descritos os modelos de cálculo do equivalente Thévenin

para as duas situações (situação de curto-circuito e situação de funcionamento normal de um

SEE) utilizados nesta dissertação, ficando para a secção 3.5 o respectivo cálculo da tensão �9:

(utilizado no Capítulo 4).

11

2.3.1 Métodos existentes

Curto-circuito (2) designa um percurso de baixa impedância, resultante de um defeito,

através do qual se fecha uma corrente, em geral elevada. Trata-se de uma situação anormal

em Sistemas de Energia Eléctrica que requer acção imediata, face aos danos que dela podem

resultar. Assim, o cálculo das correntes de curto-circuito é uma tarefa fundamental neste tipo

de sistemas.

Para solucionar este problema, é normalmente usado o teorema da sobreposição (2),

considerando-se o estado da rede após o defeito como a sobreposição dos dois estados

representados na Figura 2.6. O estado 1 corresponde à situação pré-defeito, dado pelo

resultado do trânsito de energia que fornece o perfil das tensões pré-defeito em todos os

barramentos do sistema, e inclui todos os geradores reais ligados à rede (não representados).

O estado 2 corresponde à ligação do gerador fictício com a polaridade invertida, sendo que os

geradores reais são apenas representados pelas suas impedâncias internas respectivas.

Figura 2.6 – Aplicação do teorema da sobreposição no cálculo das correntes de curto-circuito.

O estado 2 representa a aplicação do teorema de Thévenin, como pode ser visto na

Figura 2.7, onde �R é a impedância equivalente de Thévenin (�RS) da rede vista do barramento

� quando se anulam as fontes de tensão e/ou corrente, �UV é a impedância de defeito, �4M é a

tensão pré-defeito (obtida no estado 1) e �4;; é a corrente de curto-circuito nesse barramento.

Figura 2.7 – Esquema equivalente de Thévenin aplicado ao estado 2 do teorema da

sobreposição, para cálculo das correntes de curto-circuito.

12

Rao et. al. (13) investiga a veracidade dum modelo equivalente de Thévenin na

obtenção de características Q-V em barramentos PQ. Para isso, calcula o trânsito de energia

para um caso base de uma determinada rede eléctrica (são usadas redes de 3, 6, 14 e 39

barramentos), passando a considerar que �RS é a tensão no barramento especificado (onde se

quer achar o equivalente), ou seja, �RS = �eJ. A impedância �RS é calculada nesse próprio

barramento, aproximando os barramentos PQ a fontes de tensão constantes e os barramentos

PV também a fontes de tensão, o que parece funcionar com uma precisão razoável.

Os autores comparam ainda os valores das tensões obtidas através desse modelo

equivalente com as tensões obtidas pelo trânsito de energia normal, variando a potência

reactiva no barramento PQ em estudo. Esses resultados mostram que o erro do modelo

aumenta com o aumento do tamanho do sistema e com o aumento das variações da potência

reactiva.

Gross et. al. (4) também usa o equivalente de Thévenin para obter as características Q-

V de um determinado SEE de 6 barramentos, assim como as características P-V. O modelo

equivalente é calculado com base num estudo inicial de um trânsito de energia convergente

aplicado a essa rede (caso 0), onde o sistema esteja próximo da instabilidade de tensão. Após

esse estudo (nomeadamente o cálculo da matriz de admitâncias do sistema �:fg), o barramento

especificado é substituído por um gerador de tensão equivalente. Todos os geradores são

modelados como fontes de tensão em série com uma reactância TB, sendo os seus módulos

computados a partir do limite superior de variação e os seus argumentos a partir do caso base.

Essas fontes de tensão são então transformadas em fontes de corrente, cuja admitância é

absorvida numa matriz de admitâncias actualizada. As cargas em cada barramento também

são convertidas em admitâncias, produzindo a matriz de admitâncias final, que é a inversa da

matriz de impedâncias h�i. O circuito equivalente de Thévenin é então formado, podendo ser

visto para qualquer barramento.

Este método tende a ser conservador, prevendo o colapso da tensão em níveis de

carga mais baixos do que os encontrados por trânsito de energia normal (resultado desejável).

Assim, apresentou resultados satisfatórios na procura do colapso de tensão, encontrando

valores de carga em barramentos PQ com erros inferiores a 10% relativamente aos

verdadeiros valores críticos. Nos barramentos PV apresentou resultados um pouco piores.

Sterling et. al. (5) e Jasmon et. al. (6) voltam a usar o equivalente de Thévenin para

analisar a estabilidade de tensão. Em ambos os casos a tensão �RS é a tensão em circuito

aberto no barramento em causa. Relativamente à impedância �RS, Sterling et. al. (5) considera

que, para uma rede com � barramentos, a impedância equivalente de Thévenin entre um

barramento � e a terra é dada por �44∠k4., enquanto que Jasmon et. al. (6) não dá indicação de

como calcula essa impedância, pois o seu índice de estabilidade de tensão apenas precisa do

�RS.

Wang et. al. (14) calcula um equivalente de Thévenin através de fasores (vectores de

rotação) sincronizados, que incluem toda a informação sobre as variações no estado do

sistema, para analisar quando é que existe instabilidade de tensão. Assim, usa os fasores

13

sincronizados do barramento escolhido e os barramentos ligados ao mesmo através de ramos

do sistema, que são medidos através do sistema WAMS (Wide Area Measurement System),

para encontrar o circuito equivalente de Thévenin visto do barramento em causa.

Para exemplificar este método é usado o sistema de 39 barramentos New England

(estrutura da rede de 39 barramentos no Anexo C), escolhendo o barramento 16 (ligado aos

barramentos 15, 17, 19, 21 e 24) como exemplo de estudo (Figura 2.8a).

Figura 2.8 – Fases do processo do cálculo do equivalente de Thévenin no barramento 16: a)

Subsistema unifilar; b) Subsistema monofásico equivalente; c) Esquema equivalente em � do

ramo entre os barramentos 16 - 17.

Após simplificação do subsistema para um esquema monofásico equivalente (Figura

2.8b), é necessário processar cada ramo isoladamente. Assim, tenta-se encontrar o parâmetro

�lmn analisando a Figura 2.8c:

�oZ = `�o?mn − �o?mpa �?mpq?mn⁄ (2.9)

�om = �oZ + �2 ∙ smpqmn ∗ �o?mn (2.10)

�olmn = �o?mn + �om ∙ �lmn′ (2.11)

Relacionando estas equações, obtém-se:

�olmn = �o?mn + �lmn′ ∙ tu 1�?mpqmn + �

2 ∙ smpqmnv ∗ �o?mn − �o?mp�?mpqmnw (2.12)

Decompondo a equação em partes real e imaginária, passamos a lidar com duas

equações e quatro variáveis incógnitas, incluindo a parte real e imaginária de �olmn e �olmn.

Dado que para calcular esses quatro parâmetros, é necessário mais duas equações, é

14

necessário recorrer a medições com pelo menos dois tempos diferentes. Considerando-se

erros de medição, os parâmetros equivalentes devem ser calculados pelo método dos mínimos

quadrados através de múltiplas medições em sistemas reais. Quando os fasores sincronizados

são medidos continuamente, o método recursivo dos mínimos quadrados é necessário para

ajustar a variação da curva de parâmetros equivalentes.

Após a solução dos parâmetros equivalentes �olmn e �olmn, finalmente consegue-se

calcular o parâmetro �lmn, através da transformação estrela-triângulo:

�lmn = �lmn′ + �?mpqmn + �2 ∙ smpqmn ∗ �lmn′ ∗ �?mpqmn (2.13)

Os outros ramos podem ser calculados da mesma forma que o descrito em cima.

Assim, o esquema equivalente de dois barramentos da Figura 2.9 é encontrado através das

equações:

�xy = �lmn ∕∕ �lm{ ∕∕ �lm| ∕∕ �lZ} ∕∕ �lZm (2.14)

�oxy = b�olmn�lmn + �olm{�lm{ + �olm|�lm| + �olZ}�lZ} + �olZm�lZmc ∙ �xy (2.15)

Figura 2.9 – Esquema equivalente de 2 barramentos.

Tsai et. al. (15) também usa o método dos mínimos quadrados para desenvolver um

modelo equivalente de Thévenin visto de um barramento específico, baseando esse modelo na

análise da variação das condições do sistema. Esse modelo é utilizado no problema da

estabilidade de tensão, nomeadamente na solução económica UVLS (Undervoltage load

shedding), sendo testada no sistema eléctrico de Taiwan (TPS – Taiwan’s power system) e no

sistema de 39 barramentos New England.

O modelo equivalente de Thévenin volta a ser usado para análise da estabilidade de

tensão, desta vez por Yu et. al. (16). Considerando que tanto os parâmetros do circuito

equivalente como os da impedância da carga não são constantes, dependendo da estrutura

topológica da rede, fontes de potências reactivas, etc., chega à conclusão que os parâmetros

do equivalente de Thévenin devem ser monitorizados temporalmente. Apesar do método

apresentar algum mérito, como a rapidez, tem também defeitos: caso o intervalo de tempo

monitorizado seja grande, os parâmetros podem apresentar variações; caso seja curto, pode

causar equações lineares com soluções instáveis. As simulações são efectuadas no sistema

IEEE de 118 barramentos, mostrando que o modelo é viável e eficaz.

15

Bahadornejad et. al. (17) desenvolve um método para estimar a impedância de

Thévenin que se baseia no processamento de sinais sobre os dados medidos nos barramentos

de carga. Foi mostrado que a relação entre as mudanças entre a tensão e corrente na carga,

relativamente às mudanças na admitância da carga, podem ser usadas para estimar a

impedância do sistema equivalente de Thévenin. Os passos necessários são claramente

demonstrados, sendo o método validado através da simulação de um sistema eléctrico de 4

barramentos e da sua aplicação ao sistema de energia eléctrica australiano.

2.4 Teorema de Tellegen e Redes Adjuntas

O Teorema de Tellegen (18) exprime uma relação entre grandezas de ramos de duas

redes adjuntas, i.e. redes com o mesmo grafo. Na sua forma forte, e considerando as redes �

e �+ como sendo adjuntas, exprime a ortogonalidade entre as tensões duma rede e as

correntes da outra:

~�� ∙ � = 0 (2.16)

em que N� é o vector das tensões nos ramos na rede �+ e � é o vector das correntes nos ramos

na rede � (o apóstrofo denota transposição).

Deduzindo a equação (2.16) e considerando agora que a rede � é perturbada

(resultando variações ∆N e ∆�), obtém-se:

�̂� ∙ ∆~ − ~�� ∙ ∆� = 0 (2.17)

que é a forma do Teorema de Tellegen usada na sequência.

A precisão deste teorema aplicado às redes adjuntas foi demonstrada pelo Prof. Doutor

Luís Marcelino Ferreira e/ou pela Prof. Doutora Célia Jesus (co-orientador e orientador desta

dissertação, respectivamente) em artigos de revista, como (19) e (20), e de conferência, como

(21) e (22), tendo inclusivamente servido como base para a dissertação de Doutoramento da

Prof. Doutora (18) e consequentemente para dissertações de Mestrado como (23), (24), (25) e

(26).

2.4.1 Cálculo de sensibilidades de tensão

As variações de tensão correspondem a valores complexos. Assim, são utilizadas dois

tipos de redes adjuntas: uma para a parte real representada pelo símbolo circunflexo e outra

para a parte imaginária representada pelo símbolo til.

Consideram-se cinco conjuntos de índice de ramos:

• AD: índice do ramo correspondente ao gerador de referência;

• A?: conjunto de índices dos ramos da rede passiva;

• AC: conjunto de índices dos ramos correspondentes a cargas activas;

16

• AB: conjunto de índices dos ramos correspondentes a geradores;

• G: conjunto de índices dos ramos da rede cuja tensão se quer observar.

Tendo como o propósito o cálculo das sensibilidades da tensão no ramo F (número do

ramo que sofreu a perturbação), a quantidade escolhida é a variação de tensão nesse ramo,

com F ∈ G. O índice corresponde ao número do ramo que se está a analisar, sendo os

valores das tensões �< e correntes �< determinados com recurso ao cálculo do Trânsito de

Energia.

Como ponto de partida supõe-se que o sistema de energia eléctrica está num ponto de

operação definido pelas quantidades � (tensão nos ramos), � (admitâncias da rede passiva), &

(potência activa e reactiva das cargas) e � (potência fornecida pelos geradores). Dentro destas

quantidades há aquelas que podemos considerar como quantidades independentes, sendo

designadas por parâmetros, perturbações ou variáveis de controlo. Exemplos destas

quantidades independentes são a tensão do gerador de referência, as cargas activas e

reactivas, a tensão especificada para os geradores e a potência activa fornecida pelos

geradores. Quanto às linhas, transformadores e baterias de condensadores (elementos

passivos), as correspondentes quantidades independentes são consideradas como

combinações de admitâncias ou impedâncias.

Considerando variações incrementais nas quantidades independentes referidas: ∆�V,

∆&, ∆|�|, ∆� e ∆�. Como consequência dessas variações incrementais nas variáveis

independentes, ocorrem variações incrementais nas quantidades dependentes � (variações

∆�). O que se pretende é relacionar essas variações incrementais de tensão com as variáveis

incrementais das quantidades independentes, ou seja, chegar a fórmulas de sensibilidade.

Após um processo de modelação desenvolvido em (18), obtêm-se as equações (2.18)

e (2.19) para o cálculo de sensibilidades de tensão no ramo F para as duas redes adjuntas:

L��∆�,� = −L��=M, ∙ ∆�M� + � L��O<, ∙ �< ∙ ∆�<�<∈��

+ � L� ��O<,∗�< ∙ ∆&<�<∈��

+ � L� � 2 ∙ �=<, ∙ �<�<∗ ∙ �< − �<∗ ∙ �< ∙ ∆�<�<∈��

− � L� � �=<, ∙ �<�<∗ ∙ �< − �<∗ ∙ �< ∙ ∆|�<|Z�<∈��

� � F ∈ G

(2.18)

�F�∆�,� = −�F��>M, ∙ ∆�M� + � �F��P<, ∙ �< ∙ ∆�<�<∈��

− � �F ��P<,∗�< ∙ ∆&<�<∈��

+ � �F � 2 ∙ �><, ∙ �<�<∗ ∙ �< − �<∗ ∙ �< ∙ ∆�<�<∈��

− � �F � �><, ∙ �<�<∗ ∙ �< − �<∗ ∙ �< ∙ ∆|�<|Z�<∈��

� � F ∈ G

(2.19)

As quantidades adjuntas referentes à rede �+, são definidas por:

�OM, = 0 (2.20)

�=<, − �< ∙ �O<, = 0, ∈ A? (2.21)

17

�=<, + �O<,∗ ∙ �<∗�< = 0, ∈ AC (2.22)

�O<, − �=<, ∙ �< ∙ �<∗�<∗ ∙ �< − �<∗ ∙ �< − �=<,∗ ∙ �<∗ ∙ �<∗�< ∙ �<∗ − �<∗ ∙ �< = 0, ∈ AB (2.23)

�=,, = 1 (2.24)

sendo as quantidades adjuntas da rede �., dadas por:

�PM, = 0 (2.25)

�><, − �< ∙ �P<, = 0, ∈ A? (2.26)

�><, − �P<,∗ ∙ �<∗�< = 0, ∈ AC (2.27)

�P<, − �><, ∙ �< ∙ �<∗�<∗ ∙ �< − �<∗ ∙ �< + �><,∗ ∙ �<∗ ∙ �<∗�< ∙ �<∗ − �<∗ ∙ �< = 0, ∈ AB (2.28)

�>,, = 1 (2.29)

2.4.2 Representação simbólica da rede adjunta

As redes adjuntas �+, e �., são topologicamente equivalentes à rede de energia

eléctrica �, apresentando o mesmo grafo. Apresentam cinco tipos de ramos, representados na

Figura 2.10:

a) A rede passiva das redes adjuntas é idêntica à rede passiva do sistema de energia

eléctrica �, logo a mesma configuração e as mesmas impedâncias para os elementos

constituintes – Equações (2.21) e (2.26);

b) Os ramos das redes adjuntas correspondentes aos ramos de carga da rede �

(barramentos PQ) – Equações (2.22) e (2.27);

c) Os ramos das redes adjuntas correspondentes aos geradores da rede �

(barramentos PV) – Equações (2.23) e (2.28);

d) O ramo das redes adjuntas correspondente ao ramo do gerador de referência da rede

� – Equações (2.20) e (2.25);

e) O ramo de observação das redes adjuntas corresponde ao ramo da rede � cuja

variação de tensão se pretende calcular – Equações (2.24) e (2.29).

Figura 2.10 – Representação simbólica dos elementos da rede adjunta: a) Admitância �<; b) fonte de corrente dependente; c) fonte de tensão dependente; d) curto-circuito; e) fonte de

corrente independente unitária.

18

Assim, considerando o sistema de 3 barramentos do Anexo A e o seu respectivo

esquema unifilar apresentado na Figura 2.11, a representação simbólica da rede adjunta para o

cálculo de sensibilidades no barramento 3 é apresentado na Figura 2.12.

De notar que, em ambas as figuras, os barramentos do circuito estão representados

pelos números dentro de rectângulos e os ramos pelos restantes números. O ramo 7 é o ramo

que se quer observar, não pertencendo verdadeiramente ao circuito, como se observa pela

Figura 2.11.

Figura 2.11 – Representação do sistema de 3 barramentos com indicação dos barramentos e ramos.

Figura 2.12 – Representação em circuito da rede adjunta para o cálculo de sensibilidades no barramento 3.

19

Capítulo 3 3. Modelos de Análise

3.1 Trânsito de Energia

O programa computacional para resolver o trânsito de energia (TE) escolhido foi o

MATPOWER (27) (versão 3.2), que usa a linguagem de programação MatLab (versão

7.6.0.324 – R2008a) e foi desenvolvido por investigadores da PSERC (Power Systems

Engineering Research Center).

Trata-se de uma ferramenta grátis de simulação de trânsito de energia para

investigadores e estudantes, que contém um pacote de ficheiros MatLab para resolver trânsitos

de energia. Como foi concebido para proporcionar o melhor desempenho possível, mantendo o

código simples de compreender e modificar (topologia da rede e/ou restrições impostas), foi a

melhor opção para ser usada nesta dissertação.

O MATPOWER disponibiliza cinco diferentes métodos de resolução de TE:

• Método de Newton;

• Método Fast-Decoupled (Variante XB);

• Método Fast-Decoupled (Variante BX);

• Método de Gauss-Seidel;

• Método DC.

O método utilizado por defeito no MATPOWER é o método de Newton (28), que

também foi o usado nos cálculos do Capítulo 4. Este encontra-se explicado detalhadamente

na secção seguinte.

20

3.1.1 Método de Newton-Raphson

O código que está implementado pode ser consultado através do ficheiro newtonpf.m

do pacote MATPOWER.

O processo iterativo do cálculo (com iterações) das tensões, cujo fluxograma está

representado na Figura 3.1, obedece aos seguintes passos:

1. Estimar valores iniciais das tensões nos barramentos;

2. Calcular os erros de fecho ∆�4 e ∆K4 entre os valores especificados e calculados das

potências activa e reactiva, dados pelas seguintes equações:

�4;9�; = �B4 − �J4 = � �4 ∙ �5 ∙ �845 ∙ '��`34 − 35a + 745 ∙ ��`34 − 35a��

5�m, � = 1, … , � (3.1)

K4;9�; = KB4 − KJ4 = � �4 ∙ �5 ∙ �845 ∙ ��`34 − 35a − 745 ∙ '��`34 − 35a��

5�m, � = 1, … , � (3.2)

∆�4< = �4g� − �4;9�; (3.3)

∆K4< = K4g� − K4;9�; (3.4)

3. Calcular o Jacobiano h@<i h@<i = �% �@ E � (3.5)

Esta matriz tem dimensão 2�� − 1� × 2�� − 1� e é assimétrica, onde � corresponde ao

número de barramentos.

Os elementos são obtidos da seguinte forma para � ≠ �: %45 = E45 = �4 ∙ �5 ∙ �845 ∙ ��`34 − 35a − 745 ∙ '��`34 − 35a� (3.6)

�45 = −@45 = �4 ∙ �5 ∙ �845 ∙ '��`34 − 35a + 745 ∙ ��`34 − 35a� (3.7)

Para � = � tem-se:

%44 = −K4 − 744 ∙ �4Z (3.8)

�44 = �4 + 844 ∙ �4Z (3.9)

@44 = �4 − 844 ∙ �4Z (3.10)

E44 = K4 − 744 ∙ �4Z (3.11)

Estas sub-matrizes têm dimensões variadas de acordo com o sistema, nomeadamente

ao número de barramentos �K e ��.

h%i − h��°�K + �°�� × ��°�K + �°��i (3.12)

h�i − h��°�K + �°�� × ��°�K�i (3.13)

h�i − h��°�K� × ��°�K + �°��i (3.14)

hEi − h�°�K × �°�Ki (3.15)

4. Calcular os acréscimos ∆3 e ∆�:

�∆�<∆K<� = h@<i × � ∆3<∆�< �<⁄ � (3.16)

5. Para os barramentos do tipo �K, actualizar os valores da amplitude e argumento da

tensão, através da seguinte equação:

21

�4<�m = �4< + ∆�4< (3.17)

34<�m = 34< + ∆34< (3.18)

6. Para os barramentos do tipo ��, actualizar o valor do argumento e calcular a potência

reactiva injectada:

K4 = � �4 ∙ �5 ∙ �845 ∙ ��`34 − 35a − 745 ∙ '��`34 − 35a��

5�m (3.19)

7. Caso a potência reactiva esteja fora dos limites máximo e mínimo impostos pelo

gerador, reclassificar o barramento como falso �K. Na iteração seguinte calcula-se a potência

reactiva (usando os valores especificados da tensão para todos os barramentos ��): se estiver

dentro dos limites o barramento volta a ser classificado como ��.

8. Repetir todo o processo até se atingir a convergência, que é atingida quando os

valores absolutos dos erros de fecho ∆�4 e ∆K4 se tornarem inferiores a uma tolerância 1

arbitrariamente pequena.

|∆�4|, |∆K4| < 1 (3.20)

Figura 3.1 – Fluxograma do processo iterativo para o método de Newton-Raphson.

22

3.1.2 Descrição do algoritmo de leitura

De modo a ler os dados obtidos pelo MATPOWER e poder utilizá-los, foi criado um

ficheiro em MATLAB com o nome leitura.m, cujo fluxograma do algoritmo pode ser visto na

Figura 3.2.

Figura 3.2 – Fluxograma do ficheiro de leitura dos dados obtidos pelo MATPOWER.

3.2 Indicador de Proximidade de Colapso de

Tensão

Após o estudo dos métodos de análise referidos em 2.2.1, foi escolhido o de

Moghavvemi et. al. (7) devido à sua simplicidade matemática e computacional

(comparativamente com outros métodos, a solução é encontrada rapidamente), aliada à sua

23

eficiência comprovada em prever o fenómeno de colapso de tensão. A sua explicação mais

detalhada encontra-se nos parágrafos seguintes.

Um sistema eléctrico é uma rede que contem componentes, tais como geradores,

linhas de transmissão, cargas e controladores de tensão. Assim, considera-se a linha da Figura

3.3 como uma das linhas de um sistema interligado.

Figura 3.3 – Linha de transmissão típica de um sistema eléctrico.

Tendo como base o conceito usado por Sterling et. al. (5), a carga da linha é tratada

como a potência que é transitada nessa linha específica, vista no ponto de recepção (ao invés

de ser a carga total no barramento).

A sua representação pode ser vista na Figura 3.4, onde �g é a amplitude da tensão do

barramento de emissão, �g∠3 é a impedância da linha e �∠ф é a impedância da carga

correspondente, com

ф = ¡ �qm�K �⁄ � (3.21)

Transformadores ou outros tipos de controladores de tensão são incluídos na

impedância da linha �g.

Figura 3.4 – Linha de transmissão com os parâmetros.

Considera-se o caso mais frequente, onde apenas o módulo da impedância de carga

� varia enquanto ф mantém-se constante. Este pressuposto não reduz significativamente a

precisão, mas simplifica o problema em mão.

24

Com o aumento da exigência da carga, � diminui e a corrente � aumenta, o que leva a

uma queda de tensão no ponto de recepção:

� = �g¢h��g ∙ '��3 + � ∙ '��ф�Z + ��g ∙ ��3 + � ∙ ��ф�Zi (3.22)

� = � ∙ � = ��g ∙ �g¢h1 + �� g⁄ �Z + 2 ∙ �� g⁄ � ∙ '��3 − ф�i (3.23)

Assim, a potência activa no barramento de recepção � pode ser calculada por:

� = � ∙ � ∙ '��ф = �gZ �g⁄1 + �� g⁄ �Z + 2 ∙ �� g⁄ � ∙ '��3 − ф� ∙ ��g ∙ '��ф (3.24)

De maneira semelhante, é possível calcular as perdas de potência activa na linha:

�� = �Z ∙ �g ∙ '��3 = �gZ �g⁄1 + �� g⁄ �Z + 2 ∙ �� g⁄ � ∙ '��3 − ф� ∙ '��3 (3.25)

A potência activa máxima transitada para o barramento de recepção pode ser obtida

usando a condição fronteira (� (�⁄ = 0, que leva a � �g = 1⁄ . Substituindo � �g = 1⁄ nas

equações de � e ��, obtém-se a potência activa máxima transitada ��,9£� e a potência de

perdas activas máxima na linha ��,9£�: ��,9£� = �gZ

�g ∙ '��ф4 ∙ '�� u�3 − ф�2 vZ

(3.26)

��,9£� = �gZ�g ∙ '��3

4 ∙ '�� u�3 − ф�2 vZ (3.27)

Os indicadores de proximidade de colapso de tensão (VCPI) são então calculados,

baseados no trânsito de energia máximo. De notar que os valores � e �� são obtidos através

do cálculo de trânsito de energia convencional.

�� = ��,9£� = ��gZ�g ∙ '��ф

4 ∙ '�� u�3 − ф�2 vZ

(3.28)

��gg� = ��,9£� = ��gZ�g ∙ '��3

4 ∙ '�� u�3 − ф�2 vZ

(3.29)

Com o aumento do trânsito de energia na linha de transmissão, os valores de

�� e ��gg� vão crescer gradualmente até atingirem o valor 1. Quanto mais

próximos desse valor, mas próximo está o sistema da instabilidade de tensão. Assim, o ramo

com o maior valor indica que o barramento do lado da recepção é o que está mais próximo do

colapso de tensão.

Apesar do ��gg� ser mais sensível junto do limite de colapso de tensão (prevendo

com mais precisão esse limite), o programa MATPOWER não guarda os valores das potências

de perdas provenientes da solução do trânsito de energia, necessárias para o cálculo do índice

(apenas imprime no ecrã a solução).

25

3.2.1 Descrição do algoritmo

Foi criado um ficheiro em MATLAB com o nome vcpi.m que calcula o �� para

cada ramo, demonstrando quais as linhas e barramentos que estão mais próximos de colapso

(valores elevados) e se o sistema está próximo da instabilidade. O fluxograma do algoritmo

encontra-se na Figura 3.5.

Figura 3.5 – Fluxograma do ficheiro de cálculo do ��.

26

3.3 Modelo 1 – Equivalente Thévenin para a

situação de curto-circuito

Em sistemas de energia eléctrica de dimensão reduzida, é possível determinar as

correntes de curto-circuito e os respectivos parâmetros do esquema de Thévenin de forma

expedita, por meio de redução da rede em etapas sucessivas. Isso é possível pois, ao contrário

do que acontece no trânsito de energia, o modelo matemático do sistema é representado por

equações algébricas lineares, não necessitando de métodos iterativos para calcular a solução

não linear.

O método habitual para o cálculo das correntes de curto-circuito para sistemas dessa

dimensão envolve o cálculo das impedâncias do circuito (retêm-se apenas as impedâncias dos

geradores, transformadores e linhas) numa base comum e compostas de acordo com a

respectiva topologia, procedendo-se de seguida à redução da rede até à obtenção da

impedância equivalente de Thévenin vista do ponto de defeito.

O cálculo das correntes de curto-circuito para redes de grande dimensão exige

normalmente, tal como no TE, o recurso a um algoritmo de cálculo computacional (2) das

correntes de curto-circuito usando as matrizes de impedâncias nodais e respectivas matrizes

de admitâncias.

Com base nestes pressupostos, e de modo a verificar o correcto funcionamento do

teorema de Thévenin nos curto-circuitos, foi desenvolvido um modelo de cálculo de equivalente

Thévenin para essa situação que não depende de programas de cálculo computacional

(normalmente o MatLab), mas sim do software OrCAD PSpice, indispensável na vida de um

estudante universitário de engenharia electrotécnica e de computadores.

Assim, no Modelo 1 utiliza-se o software OrCAD PSpice (versão 16.0.0), juntamente

com o PSpice Schematics (versão 16.0.0), aplicado à técnica dos curto-circuitos. Os seguintes

passos são seguidos na construção dos circuitos eléctricos para o cálculo de �RS:

• Substituir as impedâncias entre ramos do sistema por resistências e condensadores

ou bobines (nas respectivas unidades de grandeza eléctrica);

• Substituir os barramentos PQ por impedâncias equivalentes de carga (ver subsecção

3.3.1);

• Colocar os geradores existentes em curto-circuito (ao invés de usar a sua reactância

transitória);

• Colocar um gerador de tensão AC no barramento onde se considera o curto-circuito,

no valor da tensão em pré-defeito desse barramento;

• Encontrar os valores de �RS¥Q�4; e �?¥Q�4; através de duas simulações separadas, e

consequentemente o valor de �RS (ver subsecção 3.3.2).

27

O valor da tensão �RS a usar no esquema equivalente de Thévenin é a diferença de

potencial entre o barramento � e a terra ou entre os barramentos � e � na situação pré-defeito,

consoante o caso.

3.3.1 Impedância equivalente de carga

De modo a substituir-se a carga do tipo potência por uma carga equivalente do tipo

impedância, recorre-se às fórmulas:

_ = ¦ ∙ ^ (3.30)

[ = _ ∙ ^∗ (3.31)

Quando se modelam as cargas neste tipo de cálculo consideram-se como sendo

passivas (elasticidade igual a 2), ou seja, podem ser representadas por impedâncias

constantes. Assim, a impedância equivalente de carga é obtida por:

¦; = _ ∙ _∗[;∗ = |�|Z

[;∗ (3.32)

De notar que as impedâncias equivalentes das cargas têm valores elevados

comparativamente às impedâncias dos elementos da rede, possuindo uma forte componente

resistiva (contrariamente a estas, que possuem uma forte componente reactiva).

3.3.2 Análise computacional

Assumindo que o circuito opera a uma frequência 2 = 314,16 � ¨/� �ª = 50 %«�, é

necessário calcular os valores das resistências e das bobines/condensadores que compõem as

impedâncias do circuito. Assim, e sabendo que:

¦ = L + �T (3.33)

calcula-se a parte real e imaginária das impedâncias do circuito (caso �F ¬�� seja positivo é

uma bobine; caso seja negativo é um condensador), da seguinte maneira:

L = L� �� ∗ �: (3.34)

E = h�F ¬�� ∗ �:i2 (3.35)

� = 12 ∙ h�F ¬�� ∗ �:i (3.36)

No barramento em que se considera o curto-circuito é colocado um dispositivo VAC

(Figura 3.6), com o valor da tensão pré-defeito nesse barramento (módulo e argumento).

Figura 3.6 – Dispositivo VAC.

28

De modo a obter a impedância equivalente de Thévenin �RS, é necessário realizar-se

duas medições diferentes (29) com o OrCAD PSpice: medição da tensão �RS¥Q�4; e medição da

corrente �?¥Q�4;. A tensão de saída do circuito aberto �RS¥Q�4; é exibida usando o dispositivo

VPRINT1 (Figura 3.7), que deve ter as células AC, MAG e PHASE definidas como “OK”.

Figura 3.7 – Dispositivo VPRINT1.

Para se encontrar a corrente de Norton �?¥Q�4;, é necessário retirar o dispositivo

VPRINT1 do circuito e colocar o dispositivo IPRINT (Figura 3.8) entre os terminais e !. Este

também deve ter as células AC, MAG e PHASE definidas como “OK”.

Figura 3.8 – Dispositivo IPRINT.

Após a simulação dos dois circuitos (não esquecer que é necessário definir a análise

AC Sweet/Noise a varrer um ponto, no valor de 50 %«) e a observação de ambos os ficheiros

de saída do OrCAD PSpice (com os valores de �RS¥Q�4; e �?¥Q�4;calcula-se �RS.

¦RS = �RS¥Q�4; �?¥Q�4; (3.37)

3.4 Modelo 2 – Equivalente Thévenin para a

situação de funcionamento normal

Como é sabido, a lei de Ohm (30) afirma que a tensão sobre os materiais condutores é

directamente proporcional à corrente que flui através do material (Figura 3.9). Assim, a

impedância é definida como a relação entre a amplitude complexa da tensão e a amplitude

complexa da corrente (tal como se observa da equação 3.30):

¦ = _^

29

Figura 3.9 – Relação Corrente/Tensão para um exemplo de uma resistência de 2�, que

representa a Lei de Ohm.

Foi desenvolvido um modelo de cálculo de equivalente Thévenin com base nos

pressupostos da lei de Ohm e na definição de impedância, ao qual foi dado o nome de Modelo

2. Este, ao contrário do Modelo 1, é aplicado na situação de funcionamento normal de um SEE.

Tendo como objectivo injectar potência no barramento onde queremos encontrar o

equivalente, coloca-se uma fonte de corrente no valor correspondente a 1 �F�é�� entre o

barramentos � e a terra ou entre os barramentos � e �, tal como mostra a Figura 3.10. Assim, à

corrente injectada no barramento � é adicionado o valor de 1 + �0 �, sendo que à corrente

injectada no barramento �, caso haja este barramento, é retirado o valor de 1 + �0 �, ou seja,

adicionado −1 + �0 �.

Figura 3.10 – Injecção de corrente no valor de 1 �: a) no barramento �; b) entre os barramentos � e �.

Resolvendo os trânsitos de energia antes e depois da injecção da corrente, obtendo a

solução das tensões iniciais e finais dos barramentos � e �, consegue-se calcular a impedância

equivalente de Thévenin para os dois casos:

¦RS = _4V4�9� − _44�4;49�∆^ (3.38)

¦RS = ∆_9:V4�9� − ∆_9:4�4;49�∆^ = `_4V4�9� − _5V4�9�a − `_44�4;49� − _54�4;49�a

∆^ (3.39)

De notar que, tal como no Modelo 1, a tensão �RS é a diferença de potencial entre o

barramento � e a terra ou entre os barramentos � e � na situação pré-defeito, consoante o caso.

30

3.4.1 Descrição do algoritmo de injecção de corrente

De modo a injectar potência equivalente a colocar uma fonte de corrente de 1 � entre o

barramento � e a terra ou entre os barramentos � e �, foram criados dois ficheiros com os

nomes sc_i.m (entre o barramento � e a terra) e sc_ij.m (entre os barramentos � e �). Estes

fazem inúmeras iterações, em que durante cada uma são realizados vários casos de variação

dos valores das potências de carga envolvidas (aumento de �; e diminuição de K;; vice-versa;

etc.). No final de cada iteração, é escolhido o melhor caso de variação de modo a conseguir-se

esse valor de corrente injectada nos barramentos.

Para que este e outros programas desenvolvidos nesta Dissertação funcionem com

maior precisão, foram usadas as funções keep.m e round2.m, retiradas de (31). A primeira

mantém as variáveis definidas e limpa o resto, sendo que a segunda arredonda o número para

um número de casas decimais arbitrário.

Nas Figura 3.11 e 3.12 encontram-se os fluxogramas gerais simplificados destes

ficheiros, ficando para a Figura 3.13 o fluxograma de um caso genérico de análise dessas

pequenas variações.

Figura 3.11 – Fluxograma simplificado do ficheiro que calcula os novos valores de potência de carga entre o barramento � e a terra.

31

Figura 3.12 – Fluxograma simplificado do ficheiro que calcula os novos valores de potência de

carga entre os barramentos � e �.

Figura 3.13 – Fluxograma de um caso genérico de análise de uma pequena variação nas

potências de carga.

32

3.5 Cálculo da Tensão entre os Terminais dos

Equivalentes Thévenin

Após o cálculo dos parâmetros equivalentes de Thévenin (através dos dois modelos

descritos), é necessário calcular a tensão �9: (módulo e argumento). Esta é a tensão vista

entre os terminais e ! num circuito que contenha os parâmetros equivalentes de Thévenin

(�RS e �RS) e uma carga do tipo impedância (�9:), como mostra a Figura 3.14. Esses terminais

podem ser um barramento � e a terra (�9: aplicado a um barramento) ou os barramentos � e � (�9: aplicado a um ramo).

Figura 3.14 – Circuito simplificado com os parâmetros equivalentes de Thévenin e uma

impedância de carga.

Dado que o objectivo de se usar o esquema equivalente de Thévenin a um barramento

é o de calcular a tensão aos terminais de um barramento consoante a variação da sua potência

de carga &J, é necessário determinar o valor da impedância de carga �9: correspondente a

essa variação. Assim, sabendo que a impedância de carga para o caso inicial �M corresponde à

potência de carga inicial &JM (como visto na subsecção 3.3.1) e ainda que a impedância de

carga �J corresponde à nova potência de carga &J, conclui-se que �J equivale a �9: em

paralelo com �M (Figura 3.15):

¦J = ¦M ∕∕ ¦9: (3.40)

Figura 3.15 – O paralelo entre as cargas �M e �9: corresponde à carga �J.

33

Deste modo, a impedância �9: é calculada através de:

¦9: = ¦J1 − ®¦J¦M¯ (3.41)

Conhecidos todos os parâmetros da Figura 3.14, a tensão �9: entre o barramento � e a

terra é encontrada do seguinte modo:

_9: = _RS ∙ ¦9:¦RS + ¦9: (3.42)

Quando se trata do esquema equivalente de Thévenin entre dois barramentos (a um

ramo), o objectivo já não é o de calcular a tensão aos seus terminais consoante as variações

das suas potências de carga, mas sim fazer alterações na própria rede do sistema,

perturbando-a.

De modo a perturbar a rede do sistema, considerando o circuito da Figura 3.14, deve-

se variar a impedância de carga �9: para que esta tenda para zero (ramo em curto-circuito) ou

para infinito (ramo em circuito aberto).

Assim, e considerando �9:M como a impedância inicial do ramo do circuito, para colocar

o ramo entre os terminais e ! em curto-circuito são colocados vários (�) ramos em paralelo a

esses terminais. Esses ramos têm o mesmo valor de impedância que �9:M , o que faz diminuir a

impedância de carga �9: progressivamente:

¦9:� = ¦9:M� (3.43)

Para colocar o ramo entre os terminais e ! em circuito aberto, aumenta-se

progressivamente várias (�) vezes o valor da impedância de carga �9:, partindo da impedância

de carga inicial �9:M :

¦9:� = � ∗ ¦9:M (3.44)

O efeito destas perturbações é observado através de gráficos do próprio MatLab da

tensão �9:e da corrente �9: (módulos e argumentos).

3.5.1 Descrição dos algoritmos

Foram criados dois ficheiros em MatLab com os nomes thevenin_i.m e thevenin_ij.m,

que calculam os parâmetros do circuito equivalente de Thévenin para os dois modelos

estudados e a tensão �9: entre os terminais desse circuito. O fluxograma do algoritmo de

cálculo dos parâmetros equivalentes de Thévenin encontra-se na Figura 3.16, ficando para as

Figuras 3.17 e 3.18 os fluxogramas dos cálculos da tensão �9: aplicado a um barramento e a

um ramo, respectivamente. De notar que as impedâncias �¡ℎ_�&��'� e �¡ℎ_¨�ª referem-se às

impedâncias de Thévenin calculadas através do Modelo 1 e do Modelo 2, respectivamente.

34

Figura 3.16 – Fluxograma do cálculo dos parâmetros equivalentes de Thévenin.

Figura 3.17 – Fluxograma do ficheiro que calcula a tensão �9: aplicada a um barramento.

35

Figura 3.18 – Fluxograma do ficheiro que calcula a tensão �9: aplicada a um ramo.

36

(Página em branco)

37

Capítulo 4 4. Estudo de Perturbações

4.1 Objectivos

O principal objectivo deste capítulo é o estudo do comportamento num SEE dos

modelos de cálculo de equivalentes Thévenin obtidos para as duas situações diferentes

(secções 3.3 e 3.4, juntamente com a secção 3.5). Para isso, são utilizados três sistemas de

energia eléctrica como exemplo, cujos dados iniciais se encontram nos Anexos A.1 (3

barramentos), B.1 (6 barramentos) e C.1 (39 barramentos).

Na secção 4.2 é realizado um estudo dos casos iniciais de cada sistema, onde se

indica os valores das amplitudes e argumentos das tensões de todos os barramentos, das

potências activa e reactiva de geração, carga e transitadas em todos os ramos, e ainda os

valores das correntes injectadas em cada barramento e transitadas em cada ramo.

Com o objectivo de avaliar verdadeiramente essas duas situações e os respectivos

modelos de equivalentes Thévenin, é encontrado em 4.3 o ramo crítico e o correspondente

barramento crítico de cada sistema (através do método descrito em 3.2).

Na secção 4.4 estuda-se o efeito de perturbações de carga no barramento crítico,

variando apenas a potência de carga nesse barramento de modo a que o mesmo caminhe para

a instabilidade de tensão. Ao longo dessa variação de potência de carga são anotados os

valores da tensão (módulo e argumento) no barramento, calculados através dos dois modelos

de equivalentes Thévenin já referidos e com o programa MATPOWER (cálculo do trânsito de

energia), de modo a comparar os dois modelos relativamente às equações do trânsito de

energia pelo método de Newton (secção 3.1).

38

Uma vez que a potência de carga é complexa, a tensão depende da combinação da

potência activa e reactiva do barramento em questão. Assim, o ponto de colapso de tensão

será afectado pela forma como variam essas duas potências independentemente e/ou a

combinação das duas, ou seja, pela potência aparente.

Os efeitos previstos dessas variações são, entre outros, a diminuição das tensões nos

barramentos do sistema, principalmente no barramento crítico. O limite de potência de carga

corresponde à última medição da tensão, ou seja, caso seja adicionada mais carga nesse

barramento o sistema passa a ser instável.

O efeito de perturbações no ramo crítico (modificação do mesmo) através dos modelos

de Equivalentes Thévenin, correspondentes às duas situações de funcionamento de um SEE, é

estudado na secção 4.5. Nesta dissertação este tipo de perturbação apenas é exemplificado

num sistema, pois os resultados (curvas dos gráficos) para os outros sistemas são os mesmos

(não há vantagens em repetir-se trabalho). Assim, resolveu-se escolher como exemplo o

sistema New England de 39 barramentos, por ser o sistema de teste com maior número de

barramentos.

De modo a que o ramo crítico tenda para um curto-circuito ou para circuito aberto, são

colocados vários ramos em paralelo entre os terminais e ! ou aumentada a carga �9:

progressivamente, respectivamente, analisando as curvas da tensão �9: e da corrente �9: para

essas alterações. O modo como essas perturbações são calculadas está explicado na secção

3.5.

De notar que, caso o ramo crítico tenda para um curto-circuito, o módulo da tensão �9:

deve tender para zero. O módulo da corrente �9: deve tender para o seu valor máximo, ou seja,

o valor de corrente que passa pela impedância �RS alimentada pela fonte de tensão �RS. No

caso do ramo crítico tender para circuito aberto, o módulo da tensão �9:deve tender para o

valor do módulo da tensão �RS, enquanto o módulo de �9: deve tender para zero.

Por último, as principais conclusões do estudo deste capítulo (resultados

experimentais) são anotadas em 4.6.

4.2 Análise inicial

4.2.1 Sistema de 3 barramentos

Considere-se, como caso inicial, o sistema de energia eléctrica com 3 barramentos (13)

representado na Figura 4.1. Este possui 2 geradores, 1 carga e 3 linhas. A potência aparente

nominal &? tem o valor de 100 �� e a tensão nominal �? tem o valor de 220 �.

39

Figura 4.1 – Esquema unifilar do Sistema de 3 barramentos.

As características iniciais dos barramentos (número, tipo, tensão, potências activas e

reactivas geradas e de carga) e dos ramos (barramentos de emissão e recepção, resistência,

reactância, susceptância e relação de transformação) estão indicadas no Anexo A.1.

Utilizando o programa MATPOWER, resolve-se o trânsito de energia para o sistema de

3 barramentos. Este, pelo método de Newton, convergiu em 0,10 segundos, apresentando os

resultados referentes aos barramentos e aos ramos nas Tabelas 4-1 e 4-2, respectivamente.

Tabela 4-1 – Resultados dos barramentos do sistema.

Barramento Tensão Geração Carga

nº V (pu) θ (grau) Pg (MW) Qg (MVAr) Pc (MW) Qc (MVAr)

1 1,0200 0,0000 92,36 40,94 0 0

2 1,0100 -0,5195 50,00 12,47 0 0

3 0,9797 -3,2093 0 0 140,00 50,00

Total 142,36 53,42 140,00 50,00

Tabela 4-2 – Resultados dos ramos do sistema.

Ramo De Barr Para Barr Potências Transitadas

Perdas Emissão Recepção

nº nº nº Pe (MW) Qe (MVAr) Pr (MW) Qr (MVAr) Pp

(MW) Qp

(MVAr)

1 1 2 14,00 8,26 -13,95 -10,11 0,05 0,22

2 1 3 78,36 32,68 -76,96 -29,08 1,40 5,60

3 2 3 63,95 22,58 -63,04 -20,92 0,91 3,64

Total 2,36 9,46

Os resultados mostram que a tensão mais baixa ocorre no barramento 3, com o valor

de 0,9797 �. I., e a mais elevada no barramento 1, com o valor de 1,0200 �. I.. A geração activa

total é de 142,36 �´, o que, para uma carga total de 140 ��, corresponde a perdas activas

de 2,36 �´ (1,69 % da carga).

40

No que diz respeito à potência reactiva, verifica-se que a geração é de 53,42 �� e a

carga de 50 ��. Dado que o valor total das perdas reactivas é de 9,46 ��, conclui-se que

a compensação transversal é de 6,04 ��, o que perfaz um total de geração de 59,46 ��.

As correntes referentes aos barramentos e aos ramos podem ser consultadas nas

Tabelas 4-3 e 4-4, respectivamente.

Tabela 4-3 – Correntes injectadas nos barramentos.

Barramento Corrente

nº I (A) I (pu) θ (grau)

1 259,94 0,991 -23,91

2 133,90 0,510 -14,53

3 398,21 1,517 157,14

Tabela 4-4 – Correntes transitadas nos ramos.

Ramo De Para Correntes Transitadas

Barr Barr Emissão Recepção

nº nº nº Ie (pu) θ (grau) Ir (pu) θ (grau)

1 1 2 0,159 -30,54 0,171 143,56

2 1 3 0,832 -22,64 0,840 156,09

3 2 3 0,671 -19,97 0,678 158,43

Estes resultados mostram que o barramento 3 é o que tem maior corrente injectada em

módulo �1,517 �. I. �, sendo o barramento 2 o que tem menor valor �0,510�. I. �.


Considere-se, como caso inicial, o sistema de energia eléctrica com 6 barramentos

retirado de (22) e representado na Figura 4.2. Este possui 3 geradores, 3 cargas e 11 linhas. A

potência aparente nominal &? tem o valor de 100 �� e a tensão nominal �? tem o valor de

220 �.

Figura 4.2 – Esquema unifilar do sistema de 6 barramentos.

41



reactância, susceptância e relação de transformação) estão indicadas no Anexo B.1.







1 1,0500 0,0000 109,06 30,24 0,00 0,00

2 1,0500 -3,7809 50,00 99,33 0,00 0,00

3 1,0700 -4,3979 60,00 107,99 0,00 0,00

4 0,9835 -4,1639 0,00 0,00 70,00 70,00

5 0,9739 -5,1749 0,00 0,00 70,00 70,00

6 0,9985 -5,9970 0,00 0,00 70,00 70,00


Ramo De Para Potências Transitadas

Perdas Barr Barr Emissão Recepção

nº nº nº Pe (MW) Qe (MVAr) Pr (MW) Qr (MVAr) Pp (MW) Qp (MVAr)

1 1 2 29,56 -13,58 -28,60 15,50 0,96 1,92

2 1 4 43,82 25,32 -42,66 -20,68 1,16 4,65

3 1 5 35,68 18.50 -34,51 -14,10 1,17 4,40

4 2 3 3,04 -8,98 -3,00 9,19 0,04 0,20

5 2 4 33,46 53,12 -31,68 -49,55 1,79 3,58

6 2 5 15,48 21,56 -14,84 -19,65 0,64 1,92

7 2 6 26,61 18,13 -25,96 -16,25 0,66 1,88

8 3 5 19,54 30,56 -18,16 -27,57 1,38 2,99

9 3 6 43,46 68,25 -43,32 -62,53 1,14 5,72

10 4 5 4,34 0,22 -4,30 -0,14 0,04 0,08

11 5 6 1,80 -8,54 -1,72 8,78 0,08 0,24

Total 9,06 27,56

Os resultados mostram que a tensão mais baixa ocorre no barramento 5, com o valor

de 0,9739 �. I., e a mais elevada no barramento 3, com o valor de 1,0700 �. I.. A geração activa

total é de 219,06 �´, o que, para uma carga total de 210 ��, corresponde a perdas activas

de 9,06 �´ (4,31 % da carga).

No que diz respeito à potência reactiva, verifica-se que a geração é de 237,56 �� e

a carga de 210 ��. Assim, e dado que não existe compensação universal (a susceptância é

nula em todos os ramos dos sistema), o valor total das perdas reactivas é de 27,56 ��.



42


Barramento Corrente

nº I (A) I (pu) θ (grau)

1 282,87 1,078 -15,50

2 277,94 1,059 -67,06

3 303,00 1,155 -65,34

4 264,15 1,007 130,84

5 266,75 1,016 129,83

6 260,19 0,991 129,00


Ramo De Para Correntes transitadas

Barr Barr Emissão Recepção


1 1 2 0,310 24,67 0,310 -155,33

2 1 4 0,482 -30,02 0,482 149,98

3 1 5 0,383 -27,41 0,383 152,59

4 2 3 0,090 67,51 0,090 -112,49

5 2 4 0,598 -61,57 0,598 118,43

6 2 5 0,253 -58,11 0,253 121,89

7 2 6 0,307 -38,04 0,307 141,96

8 3 5 0,339 -61,80 0,339 118,20

9 3 6 0,756 -61,91 0,756 118,09

10 4 5 0,044 -7,08 0,044 172,92

11 5 6 0,090 72,89 0,090 -107,11

Estes resultados mostram que o barramento 3 é o que tem maior corrente injectada em

módulo �1,155 �. I. �, sendo o barramento 6 o que tem menor valor �0,991�. I. �.


Considere-se, como caso inicial, o sistema de energia eléctrica IEEE New England com

39 barramentos retirado dos casos exemplo do MATPOWER (27) e representado na Figura

4.3. Este possui 10 geradores, 19 cargas, 34 linhas e 12 transformadores. A potência aparente

nominal &? tem o valor de 100 �� e a tensão nominal �? tem o valor de 220 �.

43

Figura 4.3 – Esquema unifilar do sistema de 39 barramentos.



reactância, susceptância e relação de transformação) estão indicadas no Anexo C.1.







1 1,0475 -9,5803 0,00 0,00 0,00 0,00

2 1,0489 -7,0216 0,00 0,00 0,00 0,00

3 1,0304 -9,8686 0,00 0,00 322,00 2,40

4 1,0038 -10,6634 0,00 0,00 500,00 184,00

5 1,0050 -9,4759 0,00 0,00 0,00 0,00

6 1,0073 -8,7736 0,00 0,00 0,00 0,00

7 0,9966 -10,9775 0,00 0,00 233,80 84,00

8 0,9956 -11,4836 0,00 0,00 522,00 176,60

9 1,0281 -11,3081 0,00 0,00 0,00 0,00

10 1,0170 -6,3893 0,00 0,00 0,00 0,00

11 1,0125 -7,2027 0,00 0,00 0,00 0,00

44

12 1,0000 -7,2184 0,00 0,00 8,50 88,00

13 1,0142 -7,1040 0,00 0,00 0,00 0,00

14 1,0117 -8,7739 0,00 0,00 0,00 0,00

15 1,0158 -9,1926 0,00 0,00 320,00 153,00

16 1,0322 -7,7896 0,00 0,00 329,40 32,30

17 1,0339 -8,7870 0,00 0,00 0,00 0,00

18 1,0313 -9,6271 0,00 0,00 158,00 30,00

19 1,0500 -3,1654 0,00 0,00 0,00 0,00

20 0,9910 -4,5769 0,00 0,00 680,00 103,00

21 1,0321 -5,3840 0,00 0,00 274,00 115,00

22 1,0500 -0,9368 0,00 0,00 0,00 0,00

23 1,0450 -1,1350 0,00 0,00 247,50 84,60

24 1,0377 -7,6700 0,00 0,00 308,60 -92,20

25 1,0575 -5,6600 0,00 0,00 224,00 47,20

26 1,0521 -6,9173 0,00 0,00 139,00 17,00

27 1,0379 -8,9291 0,00 0,00 281,00 75,50

28 1,0502 -3,4056 0,00 0,00 206,00 27,60

29 1,0500 -0,6465 0,00 0,00 283,50 26,90

30 1,0475 -4,6023 250,00 144,96 0,00 0,00

31 0,9820 0,0000 573,24 207,32 9,20 4,60

32 0,9831 1,6080 650,00 205,91 0,00 0,00

33 0,9972 2,0517 632,00 108,97 0,00 0,00

34 1,0123 0,6133 508,00 167,00 0,00 0,00

35 1,0493 4,0241 650,00 211,15 0,00 0,00

36 1,0635 6,7167 560,00 100,46 0,00 0,00

37 1,0278 1,1248 540,00 0,68 0,00 0,00

38 1,0265 6,4168 830,00 22,68 0,00 0,00

39 1,0300 -11,1173 1000,00 88,05 1104,00 250,00


Ramo De Para Potências Transitadas

Perdas Barra Barra Emissão Recepção

nº nº nº Pe (MW) Qe (MVAr) Pr (MW) Qr (MVAr) Pp (MW) Qp (MVAr)

1 1 2 -118,58 -29,16 119,03 -42,32 0,45 5,30

2 1 39 118,58 29,16 -118,40 -105,76 0,17 4,33

3 2 3 364,68 92,13 -362,98 -100,13 1,71 19,80

4 2 25 -233,71 81,38 237,69 -92,68 3,98 4,89

5 3 4 74,97 113,00 -74,71 -131,65 0,26 4,25

6 3 18 -34,00 -15,27 34,01 -7,31 0,01 0,15

7 4 5 -163,17 -4,22 163,38 -5,94 0,21 3,38

8 4 14 -262,12 -48,13 262,67 43,11 0,56 9,01

9 5 6 -481,11 -53,04 481,58 54,68 0,46 6,03

10 5 8 317,73 58,98 -316,90 -62,06 0,84 11,68

11 6 7 425,96 91,59 -424,84 -85,63 1,13 17,31

12 6 11 -343,51 -36,68 344,33 32,12 0,82 9,61

45

13 7 8 191,04 1,63 -190,89 -7,67 0,15 1,69

14 8 9 -14,22 -106,86 14,40 70,82 0,18 2,91

15 9 39 -14,40 -70,82 14,40 -56,19 0,00 0,06

16 10 11 347,03 72,82 -346,54 -75,07 0,49 5,25

17 10 13 302,97 36,89 -302,61 -40,52 0,36 3,88

18 13 14 296,26 -6,25 -295,49 -2,81 0,77 8,62

19 14 15 32,82 -40,30 -32,79 3,01 0,03 0,33

20 15 16 -287,21 -156,01 288,12 147,57 0,91 9,49

21 16 17 206,05 -41,26 -205,77 30,58 0,29 3,64

22 16 19 -451,29 -55,11 454,37 59,71 3,08 37,55

23 16 21 -329,60 14,07 330,42 -27,35 0,82 13,86

24 16 24 -42,68 -97,57 42,71 90,88 0,03 0,59

25 17 18 192,25 11,49 -192,01 -22,69 0,24 2,86

26 17 27 13,52 -42,07 -13,51 7,69 0,01 0,13

27 21 22 -604,42 -87,65 607,20 108,58 2,79 48,73

28 22 23 42,80 41,91 -42,77 -61,76 0,03 0,40

29 23 24 353,84 -0,22 -351,31 1,32 2,53 40,25

30 25 26 76,65 -17,88 -76,48 -37,47 0,17 1,73

31 26 27 268,49 67,46 -267,49 -83,19 0,99 10,44

32 26 28 -140,82 -21,62 141,61 -55,89 0,79 8,69

33 26 29 -190,18 -25,37 192,10 -67,32 1,91 20,98

34 28 29 -347,61 28,29 349,17 -38,96 1,56 16,79

35 12 11 -2,19 -42,17 2,22 42,96 0,03 0,79

36 12 13 -6,31 -45,83 6,35 46,77 0,04 0,94

37 6 31 -564,04 -109,59 564,04 202,72 0,00 93,13

38 10 32 -650,00 -109,71 650,00 205,91 0,00 96,20

39 19 33 -629,10 -50,24 632,00 108,97 2,90 58,73

40 20 34 -505,49 -116,77 508,00 167,00 2,51 50,23

41 22 35 -650,00 -150,49 650,00 211,15 0,00 60,66

42 23 36 -558,57 -22,62 560,00 100,46 1,43 77,84

43 25 37 -538,34 63,36 540,00 0,68 1,66 64,04

44 2 30 -250,00 -131,19 250,00 144,96 0,00 13,78

45 29 38 -824,77 79,39 830,00 22,68 5,23 102,07

46 19 20 174,73 -9,47 -174,51 13,77 0,22 4,31

Total 42,74 957,35

Os resultados mostram que a tensão mais baixa ocorre no barramento 31 (barramento

de referência), com o valor de 0,9820 �. I., e a mais elevada no barramento 36, com o valor de

1,0635 �. I.. A geração activa total é de 6193,24 �´, o que, para uma carga total de 6150 ��,

corresponde a perdas activas de 42,74 �´ (0,69 % da carga).

No que diz respeito à potência reactiva, verifica-se que a geração é de 1257,19 �� e

a carga de 1409,50 ��. Dado que o valor total das perdas reactivas é de 957,35 ��,

conclui-se que a compensação transversal é de 805,04 ��, o que perfaz um total de geração

de 2062,23 ��.

46




Barramento Corrente Barramento Corrente

nº I (A) I (pu) θ (grau) nº I (A) I (pu) θ (grau)

1 0,00 0,000 0,00 21 755,58 2,879 151,85

2 0,00 0,000 0,00 22 0,00 0,000 0,00

3 820,12 3,125 169,70 23 656,88 2,503 159,99

4 1392,95 5,308 149,13 24 814,50 3,104 -171,04

5 0,00 0,000 0,00 25 568,08 2,165 162,44

6 0,00 0,000 0,00 26 349,28 1,331 166,11

7 654,18 2,493 149,26 27 735,68 2,803 156,03

8 1452,51 5,535 149,82 28 519,39 1,979 168,96

9 0,00 0,000 0,00 29 711,77 2,712 173,93

10 0,00 0,000 0,00 30 724,01 2,759 -34,71

11 0,00 0,000 0,00 31 1601,74 6,103 -19,77

12 232,02 0,884 88,30 32 1820,11 6,936 -15,97

13 0,00 0,000 0,00 33 1687,77 6,431 -7,73

14 0,00 0,000 0,00 34 1386,29 5,282 -17,58

15 916,39 3,492 145,25 35 1709,29 6,513 -13,97

16 841,47 3,206 166,61 36 1403,93 5,350 -3,45

17 0,00 0,000 0,00 37 1378,80 5,254 1,05

18 409,25 1,559 159,62 38 2122,75 8,089 4,85

19 0,00 0,000 0,00 39 490,39 1,869 111,59

20 1821,37 6,940 166,81


Ramo De Para Correntes Transitadas

Barra Barra Emissão Recepção


1 1 2 1,166 156,60 1,204 12,55

2 1 39 1,166 -23,40 1,541 127,11

3 2 3 3,586 -21,20 3,654 154,71

4 2 25 2,359 -167,82 2,412 15,64

5 3 4 1,316 -66,30 1,508 108,91

6 3 18 0,362 145,95 0,337 2,50

7 4 5 1,626 167,86 1,627 -7,39

8 4 14 2,655 158,93 2,631 -18,09

9 5 6 4,816 164,23 4,812 -15,25

10 5 8 3,216 -19,99 3,243 157,44

11 6 7 4,325 -20,91 4,349 157,63

12 6 11 3,430 165,13 3,416 -12,53

13 7 8 1,917 -11,47 1,919 166,21

47

14 8 9 1,083 86,09 0,703 -89,81

15 9 39 0,703 90,19 0,563 64,51

16 10 11 3,487 -18,24 3,502 160,57

17 10 13 3,001 -13,33 3,010 165,27

18 13 14 2,922 -5,90 2,921 170,68

19 14 15 0,514 42,07 0,324 176,06

20 15 16 3,218 142,30 3,136 -34,91

21 16 17 2,036 3,53 2,012 179,67

22 16 19 4,404 165,25 4,365 -10,65

23 16 21 3,196 174,65 3,212 -0,65

24 16 24 1,032 105,84 0,968 -72,50

25 17 18 1,863 -12,21 1,875 163,63

26 17 27 0,427 63,40 0,150 -159,28

27 21 22 5,918 166,37 5,875 -11,08

28 22 23 0,570 -45,34 0,719 123,57

29 23 24 3,386 -1,10 3,385 172,55

30 25 26 0,744 7,47 0,809 146,98

31 26 27 2,631 -21,02 2,699 153,80

32 26 28 1,354 164,35 1,450 18,13

33 26 29 1,824 165,49 1,939 18,67

34 28 29 3,321 -178,75 3,346 5,72

35 12 11 0,422 85,75 0,425 -94,25

36 12 13 0,463 90,62 0,465 -89,38

37 6 31 5,704 160,23 6,103 -19,77

38 10 32 6,482 164,03 6,936 -15,97

39 19 33 6,011 172,27 6,431 -7,73

40 20 34 5,235 162,42 5,282 -17,58

41 22 35 6,354 166,03 6,513 -13,97

42 23 36 5,350 176,55 5,350 -3,45

43 25 37 5,126 -178,95 5,254 1,05

44 2 30 2,692 145,29 2,759 -34,71

45 29 38 7,891 -175,15 8,089 4,85

46 19 20 1,667 -0,06 1,767 179,94

Os resultados mostram que o barramento 38 é o que tem maior corrente injectada em

módulo �8,089 �. I. �, existindo vários com correntes injectadas muito próximas de zero.

4.3 Barramentos e ramos críticos


Tendo em conta o sistema no caso inicial, foi calculado o indicador de proximidade de

colapso de tensão `��a para cada ramo. Os resultados encontram-se na Tabela 4-13.

48

Tabela 4-13 – Indicadores de estabilidade nos barramentos para o caso inicial.

Ramo De Para

VCPI (power)

Barr Barr

nº nº nº

1 1 2 0,0439

2 1 3 0,2154

3 2 3 0,1704

Observando que o ramo com o indicador mais elevado (�� mais próximo de 1)

é o que liga os barramentos 1 e 3 (ramo 2) e sabendo que o barramento do lado da recepção é

o crítico, conclui-se que o barramento 3 é o crítico e o ramo 2 é o ramo crítico. Isto já seria de

esperar, visto que o barramento 3 é o único no sistema que possui potência de carga. Assim, o

estudo da secção 4.4 irá incidir sobre as variações da carga no barramento 3.

Na Tabela 4-14 encontram-se os valores do indicador deste ramo para o caso inicial e

para os casos críticos das variações de potência no barramento 3.

Tabela 4-14 – Indicadores de estabilidade no ramo 2.

·¸¹ º¸¹

VCPI

(power) (MW) (MVAr)

Caso Inicial 140 50

0,2154

»·¸¹ 934 50 0,9956

»º¸¹ 140 606 0,9986

»[¸¹ 710 280 0,9982





Ramo De Para

VCPI (power) Barr Barr

nº nº nº

1 1 2 0,1276

2 1 4 0,2910

3 1 5 0,3368

4 2 3 0,0058

5 2 4 0,2379

6 2 5 0,2751

49

7 2 6 0,2096

8 3 5 0,3284

9 3 6 0,2585

10 4 5 0,0587

11 5 6 0,0076

Observando que o ramo com o indicador mais elevado (�� mais próximo de 1)

é o que liga os barramentos 1 e 5 (ramo 3) e sabendo que o barramento do lado da recepção é

o crítico, conclui-se que o barramento 5 é o crítico e o ramo 3 é o ramo crítico correspondente.

Deste modo, o estudo da secção 4.4 irá incidir sobre as variações da carga no barramento 5.

Na Tabela 4-16 encontram-se os valores do indicador deste ramo para o caso inicial e

para os casos críticos das variações de potência no barramento 5.


·¸¼ º¸¼

VCPI

(power) (MW) (MVAr)

Caso Inicial 70 70

0,3368

»·¸¼ 462 70 0,9522

»º¸¼ 70 380 0,9999

»[¸¼ 276 276 0,9922





Ramo De Para

VCPI (power) Ramo

De Para VCPI

(power) Barr Barr Barr Barr

nº nº nº nº nº nº

1 1 2 0,0732 24 16 24 0,0214

2 1 39 0,1251 25 17 18 0,0358

3 2 3 0,1404 26 17 27 0,0029

4 2 25 0,0673 27 21 22 0,2008

5 3 4 0,1161 28 22 23 0,0244

6 3 18 0,0076 29 23 24 0,2422

7 4 5 0,0428 30 25 26 0,0768

8 4 14 0,0837 31 26 27 0,1040

9 5 6 0,0298 32 26 28 0,0981

10 5 8 0,0907 33 26 29 0,1881

11 6 7 0,0994 34 28 29 0,0952

50

12 6 11 0,0661 35 12 11 0,0753

13 7 8 0,0200 36 12 13 0,0825

14 8 9 0,1070 37 6 31 0,4229

15 9 39 0,0012 38 10 32 0,3674

16 10 11 0,0385 39 19 33 0,2156

17 10 13 0,0312 40 20 34 0,2692

18 13 14 0,0641 41 22 35 0,2379

19 14 15 0,0140 42 23 36 0,3387

20 15 16 0,0913 43 25 37 0,2360

21 16 17 0,0325 44 2 30 0,1463

22 16 19 0,2051 45 29 38 0,2601

23 16 21 0,0825 46 19 20 0,0452

Apesar do ramo com o indicador mais elevado (�� mais próximo de 1),

partindo do caso inicial, ser o que liga os barramentos 6 e 31 (ramo 37), o que indicaria o

barramento 31 como sendo o crítico, este último é do tipo PV, ou seja, tem um gerador

associado. Esse facto faz com que, apesar da variação de carga nesse barramento, a sua

tensão mantém-se sempre constante.

Como o objectivo é encontrar o barramento crítico em termos de estabilidade de

tensão, recorreu-se a bibliografia da secção 2.2 para encontrar o barramento mais sensível a

variações de carga deste sistema (IEEE 39 New England).

Assim, recorrendo a (9) e (10) que provam que o barramento 12 é o mais sensível do

sistema, o estudo da secção 4.4 irá incidir sobre as variações da carga nesse barramento.

Após verificação dos limites de estabilidade dos ramos consoante as variações de potência,

observa-se que o ramo crítico é o que liga os barramentos 12 e 11 (ramo 35), logo o estudo da

secção 4.5 irá incidir sobre esse ramo.

Na Tabela 4-18 encontram-se os valores do indicador de proximidade de colapso de

tensão (��) deste ramo para o caso inicial e para os casos críticos das variações de

potência no barramento 12.


·¸½¾ º¸½¾

VCPI

(power) (MW) (MVAr)

Caso Inicial 8,5 88

0,0753

»·¸½¾ 1104 88 0,9987

»º¸½¾ 8,5 585 0,9969

»[¸½¾ 140 574 0,9964

51

4.4 Perturbações de Carga num Barramento


4.4.1.1 Cálculo dos equivalentes de Thévenin

Recordando das secções 3.3 e 3.4, o valor de �RS é o mesmo para os dois modelos,

sendo a diferença de potencial entre os barramentos � e � na situação pré-defeito. Assim, e

tendo em conta a diferença de potencial entre o barramento 3 e a terra:

_RS = 0,9797 ∙ �q5¿,Zm = 0,9782 − �0,0548 �. I. Para o Modelo 1 foram usados os circuitos das Figuras Anexo.1 e Anexo.2 e os dados

da Tabela Anexo-1 para calcular �RS. Com a obtenção dos valores �RS¥Q�4; e �?¥Q�4; para o

barramento 3, através da equação 3.37:

¦RS,�U�� m = b�RS¥Q�4;�?¥Q�4; c �:À = b13300 ∙ �5{M,m}

689,7 ∙ �q5ZZ,Ápc 484Â

¦RS,�U�� m = 0,0398 ∙ �5n¿,MM = 0,0116 + �0,0381 �. I. No Modelo 2 foi injectada corrente no valor de ∆^ = 1,0000 − �0,0001 � no barramento

3, como mostra a Figura Anexo.5. Assim, através da equação 3.38:

¦RS,�U�� Z = _¿V4�9� − _¿4�4;49�∆^ �:9g⁄ = �0,9782 − �0,0546� − �0,9782 − �0,0548�

�1,0000 − �0,0001� 262,43⁄

¦RS,�U�� Z = 0,0553 ∙ �5n|,}Z = 0,0101 + �0,0543 �. I.

4.4.1.2 Análise do sistema nos casos críticos

Através da variação da potência activa no barramento crítico, mantendo constante a

potência reactiva em KJ = 50 ��, atinge-se o ponto crítico de tensão em �J = 934 �´. A

evolução da tensão no barramento 3 e do índice de estabilidade podem ser vistos na Tabela 4-

19 e nas Figuras 4.4 (módulos de �¿) e 4.5 (argumentos de �¿).

Tabela 4-19 – Variação da potência activa no barramento 3, com potência reactiva constante.

·Ã VCPI

(power)

módulo _¹ (p.u.) argumento _¹ (graus)

Trânsito de

Energia

Modelo 1 (Thévenin)


Trânsito de

Energia



220 0,2977

0,9686 0,9687 0,9693

-5,77 -5,11 -5,93

300 0,3911

0,9559 0,9562 0,9561

-8,42 -7,08 -8,75

380 0,4834

0,9412 0,9419 0,9398

-11,17 -9,13 -11,67

460 0,5738

0,9242 0,9254 0,9201

-14,07 -11,29 -14,73

540 0,6616

0,9043 0,9062 0,8962

-17,15 -13,60 -17,97

620 0,7464

0,8809 0,8836 0,8672

-20,48 -16,10 -21,45

700 0,8273

0,8523 0,8562 0,8314

-24,19 -18,91 -25,27

52

780 0,9026

0,8159 0,8211 0,7857

-28,49 -22,20 -29,64

860 0,9687

0,7641 0,7711 0,7215

-34,00 -26,47 -35,11

934 0,9956

0,6417 0,6513 0,5769

-45,05 -35,36 -45,66

Figura 4.4 – Valores dos módulos da tensão �¿para os três modelos com a variação da potência activa no barramento 3 e com potência reactiva constante.

Figura 4.5 – Valores dos argumentos da tensão �¿para os três modelos com a variação da potência activa no barramento 3 e com potência reactiva constante.

Observa-se que o Modelo 1 apresenta valores de módulo da tensão �¿ muito próximos

dos do Trânsito de Energia, o que já não acontece com o Modelo 2, onde o erro vai sendo cada

vez maior até atingir um erro máximo de 10,10 %.

Relativamente ao argumento da tensão �¿, ao contrário do que se sucede para o

módulo, o Modelo 1 apresenta uma diferença maior (erro mínimo de 11,38 % e erro máximo de

22,17 %), sendo que o Modelo 2 mantém valores muito próximos dos obtidos pelo Trânsito de

Energia.

Variando a potência reactiva no barramento crítico, mantendo constante a potência

activa em �J = 140 �´, atinge-se o ponto crítico de tensão em KJ = 606 ��. A evolução da

tensão no barramento 3 e do índice de estabilidade podem ser vistos na Tabela 4-20 e nas

Figuras 4.6 (módulos de �¿) e 4.7 (argumentos de �¿).

0,50000,55000,60000,65000,70000,75000,80000,85000,90000,95001,0000

220 300 380 460 540 620 700 780 860 934

| V3 |

Potência Activa

Trânsito de Energia

Método 1 (Thévenin)


-50,00

-40,00

-30,00

-20,00

-10,00

0,00

220 300 380 460 540 620 700 780 860 934

Delta V3

Potência Activa




53

Tabela 4-20 – Variação da potência reactiva no barramento 3, com potência activa constante.

ºÃ VCPI

(power)


Trânsito de

Energia



Trânsito de

Energia



105 0,2682

0,9561 0,9560 0,9467

-2,97 -2,96 -3,08

160 0,3396

0,9310 0,9310 0,9126

-2,72 -2,69 -2,95

215 0,4158

0,9044 0,9043 0,8770

-2,48 -2,42 -2,82

270 0,4949

0,8758 0,8757 0,8397

-2,23 -2,14 -2,69

325 0,5758

0,8448 0,8447 0,8002

-1,98 -1,84 -2,57

380 0,6578

0,8106 0,8104 0,7578

-1,73 -1,52 -2,46

435 0,7404

0,7719 0,7717 0,7112

-1,48 -1,18 -2,36

490 0,8325

0,7263 0,7262 0,6581

-1,24 -0,81 -2,29

545 0,9068

0,6682 0,6681 0,5930

-1,03 -0,39 -2,26

606 0,9986

0,5418 0,5418 0,4606

-1,04 0,22 -2,55

Figura 4.6 – Valores dos módulos da tensão �¿para os três modelos com a variação da potência reactiva no barramento 3 e com potência activa constante.

Figura 4.7 – Valores dos argumentos da tensão �¿para os três modelos com a variação da potência reactiva no barramento 3 e com potência activa constante.

Na variação de potência reactiva, o Modelo 1 obteve excelentes resultados

relativamente ao cálculo do módulo de �¿, sendo inclusivamente impossível de distinguir a

curva do Trânsito de Energia na Figura 4.6, pois esta está sobreposta pela curva do Modelo 1.

0,40000,50000,60000,70000,80000,90001,0000

105 160 215 270 325 380 435 490 545 606

| V3 |

Potência Reactiva




-3,50-3,00-2,50-2,00-1,50-1,00-0,500,000,50

105 160 215 270 325 380 435 490 545 606

Delta V3

Potência Reactiva




54

Por sua vez, o Modelo 2 apresenta valores do módulo com um erro crescente (erro máximo de

14,99 %) até o sistema atingir o ponto crítico.

Comparando os valores obtidos dos argumentos de �¿ através da Figura 4.7, observa-

se que o Modelo 1 volta a apresentar valores com um erro menor do que o Modelo 2, tal como

acontece com o módulo da tensão.

Variando ambas as potências no barramento crítico, atinge-se o ponto crítico de tensão

em �J = 710 �´ e KJ = 280 ��. A evolução da tensão no barramento 3 e do índice de

estabilidade podem ser vistos na Tabela 4-21 e nas Figuras 4.8 (módulos de �¿) e 4.9

(argumentos de �¿).

Tabela 4-21 – Variação das potências activa e reactiva no barramento 3.

·Ã ºÃ VCPI

(power)


Trânsito de

Energia



Trânsito de

Energia



200 75 0,2987

0,9608 0,9609 0,9571

-5,03 -4,53 -5,20

260 100 0,3911

0,9404 0,9405 0,9324

-6,94 -5,92 -7,27

320 125 0,4820

0,9180 0,9184 0,9052

-8,95 -7,40 -9,43

380 150 0,5713

0,8935 0,8941 0,8751

-11,08 -8,97 -11,72

440 175 0,6588

0,8660 0,8670 0,8414

-13,39 -10,68 -14,16

500 200 0,7440

0,8346 0,8361 0,8031

-15,92 -12,57 -16,81

560 225 0,8263

0,7976 0,7997 0,7583

-18,79 -14,73 -19,78

620 250 0,9045

0,7512 0,7540 0,7030

-22,23 -17,35 -23,27

680 275 0,9752

0,6836 0,6874 0,6246

-26,96 -21,04 -27,97

710 280 0,9982

0,6376 0,6420 0,5730

-30,38 -23,76 -31,30

Figura 4.8 - Valores dos módulos da tensão �¿para os três modelos com a variação das potências activa e reactiva no barramento 3.

0,50000,55000,60000,65000,70000,75000,80000,85000,90000,95001,0000

75 100 125 150 175 200 225 250 275 280

200 260 320 380 440 500 560 620 680 710

| V3 |

Potências Activa e Reactiva




55

Figura 4.9 – Valores dos argumentos da tensão �¿para os três modelos com a variação das potências activa e reactiva no barramento 3.

Com esta variação, os valores do módulo de �¿ obtidos pelo Modelo 1 voltam a ser

praticamente iguais aos do Trânsito de Energia, obtendo um erro máximo de apenas 0,69 %. O

Modelo 2 apresenta erros maiores, com um valor máximo de 10,13 %.

No cálculo do argumento da tensão, o Modelo 2 apresenta melhores resultados do que

o Modelo 1. Este último apresenta um erro máximo de 21,97 %.

Na Figura 4.10 observa-se a diferença do valor da tensão �¿ entre os dois modelos,

nos três casos de variação de potência de carga. Claramente que o Modelo 2 apresenta erros

maiores, tendo um valor máximo de 14,99 % que ocorre na variação da potência reactiva. Os

erros do Modelo 1 são mínimos, tendo um valor máximo de 1,50% na variação da potência

activa.

Figura 4.10 – Percentagem de erro dos dois modelos no cálculo do módulo da tensão �¿.

-35,00

-30,00

-25,00

-20,00

-15,00

-10,00

-5,00

0,00

75 100 125 150 175 200 225 250 275 280

200 260 320 380 440 500 560 620 680 710

Delta V3





1,50%0,69%

10,10%

14,99%

10,13%

0,00%

2,00%

4,00%

6,00%

8,00%

10,00%

12,00%

14,00%

16,00%

∆P ∆Q ∆S

Percentagem de erro

Variações



56



Sabendo que a tensão �RS é a diferença de potencial entre o barramento 5 e a terra na

situação pré-defeito:

_RS = 0,9739 ∙ �q5{,mn = 0,9700 − �0,0878 �. I. Para o Modelo 1 foram usados os circuitos das Figuras Anexo.7 e Anexo.8 e os dados

da Tabela Anexo-2 para calcular �RS. Com a obtenção dos valores �RS¥Q�4; e �?¥Q�4; para o

barramento 5, através da equação 3.37:

¦RS,�U�� m = b�RS¥Q�4;�?¥Q�4; c �:À = b21140 ∙ �5{|,MÁ

653,4 ∙ �q5{,Z|¿c 484Â

¦RS,�U�� m = 0,0668 ∙ �5p},¿n = 0,0289 + �0,0603 �. I. No Modelo 2 foi injectada corrente no valor de ∆^ = 0,9999 � no barramento 5, como

mostra a Figura Anexo.11. Assim, recorrendo à equação 3.38:

¦RS,�U�� Z = _{V4�9� − _{4�4;49�∆^ �:9g⁄ = �0,9701 − �0,0873� − �0,9700 − �0,0878�

0,9999 262,43⁄

¦RS,�U�� Z = 0,1383 ∙ �5nÁ,}¿ = 0,0277 + �0,1355 �. I.


Através da variação da potência activa no barramento crítico, mantendo constante a


evolução da tensão no barramento 5 e do índice de estabilidade podem ser vistos na Tabela 4-

22 e nas Figuras 4.11 (módulos de �{) e 4.12 (argumentos de �{).


·Ã VCPI

(power)

módulo _¼ argumento _¼

Trânsito de

Energia



Trânsito de

Energia



110 0,4293 0,9621 0,9600 0,9579 -8,22 -6,68 -8,59

150 0,5220 0,9486 0,9449 0,9377 -11,40 -8,22 -12,07

190 0,6120 0,9334 0,9283 0,9131 -14,73 -9,83 -15,64

230 0,6980 0,9160 0,9100 0,8839 -18,27 -11,50 -19,29

270 0,7787 0,8960 0,8895 0,8496 -22,07 -13,28 -23,06

310 0,8527 0,8724 0,8661 0,8095 -26,25 -15,20 -26,98

350 0,9179 0,8439 0,8385 0,7622 -30,95 -17,33 -31,12

390 0,9702 0,8076 0,8041 0,7048 -36,55 -19,82 -35,66

430 0,9994 0,7552 0,7559 0,6287 -44,01 -23,07 -41,06

462 0,9522 0,6547 0,6654 0,5034 -56,98 -28,49 -48,83

57

Figura 4.11 – Valores dos módulos da tensão �{para os três modelos com a variação da potência activa no barramento 5 e com potência reactiva constante.

Figura 4.12 – Valores dos argumentos da tensão �{para os três modelos com a variação da potência activa no barramento 5 e com potência reactiva constante.

O Modelo 1 apresenta resultados muito próximos dos do Trânsito de Energia, no que

se refere ao módulo da tensão �{. Por sua vez, o Modelo 2 vai aumentando a diferença com o

Trânsito de Energia consoante a proximidade do ponto de colapso de tensão, atingindo o seu

ponto máximo com um erro de 23,11 %, ou seja, um erro já bastante considerável.

No cálculo do argumento de �{, é o Modelo 2 que demonstra resultados muito próximos

dos obtidos pelo Trânsito de Energia, ao contrário dos do Modelo 1.


activa em �J = 70 �´, atinge-se o ponto crítico de tensão em KJ = 380 ��. A evolução da


Figuras 4.13 (módulos de �{) e 4.14 (argumentos de �{).


ºÃ VCPI

(power)


Trânsito de

Energia



Trânsito de

Energia



100 0,3878 0,9520 0,9520 0,9271 -4,93 -4,70 -4,88

130 0,4440 0,9287 0,9288 0,8803 -4,70 -4,20 -4,59

0,5000

0,6000

0,7000

0,8000

0,9000

1,0000

110 150 190 230 270 310 350 390 430 462

| V5 |

Potência Activa




-60,00

-50,00

-40,00

-30,00

-20,00

-10,00

0,00

110 150 190 230 270 310 350 390 430 462

Delta V5

Potência Activa




58

160 0,5041 0,9041 0,9040 0,8334 -4,49 -3,68 -4,30

190 0,5672 0,8776 0,8775 0,7859 -4,30 -3,13 -4,03

220 0,6324 0,8489 0,8488 0,7376 -4,14 -2,53 -3,76

250 0,6992 0,8174 0,8171 0,6877 -4,02 -1,90 -3,50

280 0,7672 0,7819 0,7814 0,6354 -3,96 -1,19 -3,25

310 0,8362 0,7405 0,7398 0,5790 -4,01 -0,40 -3,02

340 0,9060 0,6887 0,6878 0,5144 -4,24 0,56 -2,80

380 0,9999 0,5338 0,5329 0,3533 -6,37 3,02 -2,75

Figura 4.13 – Valores dos módulos da tensão �{para os três modelos com a variação da potência reactiva no barramento 5 e com potência activa constante.

Figura 4.14 – Valores dos argumentos da tensão �{para os três modelos com a variação da potência reactiva no barramento 5 e com potência activa constante.

No cálculo do módulo da tensão no barramento 5, o Modelo 1 mantém uma curva

extremamente parecida com a curva do Trânsito de Energia. O Modelo 2 apresenta um erro

considerável acima dos 10 % a partir da quarta medição, que vai aumentando até atingir o seu

máximo para KJ = 380 �� (33,81 %).

0,3000

0,4000

0,5000

0,6000

0,7000

0,8000

0,9000

1,0000

100 130 160 190 220 250 280 310 340 380

| V5 |

Potência Reactiva




-8,00

-6,00

-4,00

-2,00

0,00

2,00

4,00

100 130 160 190 220 250 280 310 340 380

Delta V5

Potência Reactiva




59

Relativamente ao cálculo do argumento de �{, a curva do Modelo 2 mantém-se quase

constante, sendo que a do Modelo 1 diverge da curva do Trânsito de Energia, apresentando

inclusive valores positivos enquanto as curvas do Modelo 2 e do Trânsito de Energia mantêm-

se sempre no eixo negativo.



estabilidade podem ser vistos na Tabela 4-24 e nas Figuras 4.15 (módulos de �{) e 4.16

(argumentos de �{).


·Ã ºÃ VCPI

(power)


Trânsito de

Energia



Trânsito de

Energia



90 90 0,4136 0,9535 0,9525 0,9351 -6,54 -5,62 -6,67

110 110 0,4891 0,9319 0,9300 0,8953 -7,97 -6,08 -8,18

130 130 0,5631 0,9088 0,9061 0,8543 -9,50 -6,57 -9,71

150 150 0,6356 0,8839 0,8806 0,8118 -11,13 -7,10 -11,27

170 170 0,7062 0,8568 0,8530 0,7675 -12,90 -7,66 -12,87

190 190 0,7745 0,8269 0,8227 0,7208 -14,84 -8,27 -14,54

210 210 0,8400 0,7930 0,7888 0,6707 -17,04 -8,96 -16,31

230 230 0,9017 0,7531 0,7492 0,6155 -19,60 -9,76 -18,23

250 250 0,9574 0,7028 0,6995 0,5508 -22,84 -10,76 -20,45

276 276 0,9922 0,5574 0,5581 0,3913 -32,20 -13,59 -25,82

Figura 4.15 – Valores dos módulos da tensão �{para os três modelos com a variação das potências activa e reactiva no barramento 5.

0,3500

0,4500

0,5500

0,6500

0,7500

0,8500

0,9500

90 110 130 150 170 190 210 230 250 276

90 110 130 150 170 190 210 230 250 276

| V5 |





60

Figura 4.16 – Valores dos argumentos da tensão �{para os três modelos com a variação das potências activa e reactiva no barramento 5.

O Modelo 1 volta a apresentar resultados extremamente semelhantes aos do Trânsito

de Energia (erro máximo de 0,53 %), no que diz respeito ao módulo da tensão �{. No Modelo 2,

o erro vai aumentando atingindo um máximo de 29,80 %, ou seja, já bastante considerável.

Com esta variação, os valores obtidos do argumento da tensão no barramento 5 pelo

Modelo 2 e pelo Trânsito de Energia voltam a ser semelhantes. O Modelo 1 apresenta erros

próximos dos 50 %.

Na Figura 4.17 observa-se a diferença do valor da tensão �{ entre os dois modelos,

nos três casos de variação de potência de carga. Claramente que o Modelo 2 volta a

apresentar erros maiores, mostrando um valor máximo de 33,81 % que ocorre na variação da

potência reactiva. Os erros do Modelo 1 voltam a ser mínimos, tendo um valor máximo de

1,63% na variação da potência activa.

Figura 4.17 – Percentagem de erro dos dois modelos no cálculo do módulo da tensão �{.

-35,00

-30,00

-25,00

-20,00

-15,00

-10,00

-5,00

0,00

90 110 130 150 170 190 210 230 250 276

90 110 130 150 170 190 210 230 250 276

Delta V5





1,63%

23,11%

33,81%

29,80%

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

30,00%

35,00%

40,00%

∆P ∆Q ∆S

Percentagem de erro

Variações



61



Sabendo que a tensão �RS é a diferença de potencial entre o barramento 12 e a terra

na situação pré-defeito:

_RS = 1,0000 ∙ �q5n,ZZ = 0,9920 − �0,1256 �. I. Para o Modelo 1 foram usados os circuitos das Figuras Anexo.13 e Anexo.14 e os

dados da Tabela Anexo-3 para calcular �RS. Com a obtenção dos valores �RS¥Q�4; e �?¥Q�4; para

o barramento 12, recorre-se à equação 3.37:

¦RS,�U�� m = b�RS¥Q�4;�?¥Q�4; c �:À = b5847 ∙ �5mn{,}

401,9 ∙ �5ÁÁ,¿Mc 484Â

¦RS,�U�� m = 0,0301 ∙ �5Án,mM = 0,0015 + �0,0300 �. I. No Modelo 2 foi injectada corrente no valor de ∆^ = 1,0000 � no barramento 12, como

mostra a Figura Anexo.17. Assim, através da equação 3.38:

¦RS,�U�� Z = _mZV4�9� − _mZ4�4;49�∆^ �:9g⁄ = �0,9921 − �0,1254� − �0,9920 − �0,1256�

1,0000 262,43⁄

¦RS,�U�� Z = 0,0586 ∙ �5Á{,m¿ = 0,0050 + �0,0584 �. I.


Com a variação da potência activa no barramento crítico, mantendo constante a


evolução da tensão no barramento 12 e do índice de estabilidade podem ser vistos na Tabela

4-25 e nas Figuras 4.18 (módulos de �mZ) e 4.19 (argumentos de �mZ).


·Ã VCPI

(power)

módulo _½¾ argumento _½¾

Trânsito de

Energia



Trânsito de

Energia



120 0,1072 0,9972 0,9975 0,992 -10,8218 -9,1433 -10,9437

230 0,1606 0,9928 0,9939 0,98 -14,4316 -11,0643 -14,6086

340 0,2220 0,9867 0,989 0,9638 -18,1194 -13,0222 -18,2677

450 0,2902 0,9788 0,9826 0,9434 -21,913 -15,0342 -21,9281

560 0,3663 0,9689 0,9747 0,919 -25,8469 -17,1216 -25,6007

670 0,4524 0,9565 0,9648 0,8903 -29,9658 -19,3124 -29,3031

780 0,5518 0,9413 0,9526 0,8571 -34,3316 -21,6451 -33,0623

890 0,6700 0,9225 0,9374 0,8189 -39,0356 -24,1776 -36,9223

1000 0,8165 0,8988 0,918 0,7747 -44,2258 -27,0053 -40,9587

1104 0,9987 0,8697 0,8939 0,7252 -49,826 -30,1118 -45,0692

62

Figura 4.18 – Valores dos módulos da tensão �mZpara os três modelos com a variação da potência activa no barramento 12 e com potência reactiva constante.

Figura 4.19 – Valores dos argumentos da tensão �mZpara os três modelos com a variação da potência activa no barramento 12 e com potência reactiva constante.

Observa-se que, no que diz respeito ao módulo da tensão no barramento 12, os

Modelos 1 e 2 voltam a apresentar resultados distintos. O Modelo 1, quando comparado com o

Trânsito de Energia, apresenta sempre um erro mínimo. Por sua vez, o Modelo 2 apresenta

sempre algum erro, atingindo um máximo de 16,61 %.

No cálculo do argumento de �mZ, o Modelo 2 é o que obteve resultados mais próximo

dos do Trânsito de Energia, com um erro máximo de 10 %.


activa em �J = 8,5 �´, atinge-se o ponto crítico de tensão em KJ = 585 ��. A evolução da


Figuras 4.20 (módulos de �mZ) e 4.21 (argumentos de �mZ).

0,7

0,75

0,8

0,85

0,9

0,95

1

120 230 340 450 560 670 780 890 10001104

| V12 |

Potência Activa




-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

120 230 340 450 560 670 780 890 1000 1104

Delta V12

Potência Activa




63


ºÃ VCPI

(power)


Trânsito de

Energia



Trânsito de

Energia



140 0,1281 0,9824 0,9831 0,9677 -7,21 -7,17 -7,07

190 0,1841 0,9648 0,9663 0,9364 -7,21 -7,13 -6,93

240 0,2461 0,9465 0,9487 0,9048 -7,20 -7,09 -6,78

290 0,3153 0,9274 0,9303 0,8728 -7,20 -7,04 -6,64

340 0,3931 0,9074 0,9111 0,8403 -7,20 -6,99 -6,49

390 0,4815 0,8863 0,8907 0,8072 -7,20 -6,94 -6,34

440 0,5832 0,8639 0,8690 0,7732 -7,21 -6,88 -6,19

490 0,7019 0,8399 0,8459 0,7381 -7,21 -6,82 -6,03

540 0,8433 0,8140 0,8208 0,7017 -7,22 -6,76 -5,87

585 0,9969 0,7887 0,7961 0,6672 -7,24 -6,70 -5,71

Figura 4.20 – Valores dos módulos da tensão �mZpara os três modelos com a variação da potência reactiva no barramento 12 e com potência activa constante.

Figura 4.21 – Valores dos argumentos da tensão �mZpara os três modelos com a variação da potência reactiva no barramento 12 e com potência activa constante.

0,6500

0,7000

0,7500

0,8000

0,8500

0,9000

0,9500

1,0000

140 190 240 290 340 390 440 490 540 585

| V12 |

Potência Reactiva




-7,50

-7,00

-6,50

-6,00

-5,50

-5,00

140 190 240 290 340 390 440 490 540 585

Delta V12

Potência Reactiva




64

No cálculo dos módulos da tensão no barramento 12, a curva do Modelo 2 mantém um

erro com subida constante (a diferença aumenta cerca de 1,5 % em cada simulação), atingindo

um máximo de 15,41 %. O Modelo 1 volta a ter uma curva sempre com um erro inferior a 1 %.

Os valores dos argumentos de �mZmantêm valores quase constantes nos dois modelos,

assim como os do próprio Trânsito de Energia.



estabilidade podem ser vistos na Tabela 4-27 e nas Figuras 4.22 (módulos de �mZ) e 4.23

(argumentos de �mZ).


·Ã ºÃ VCPI

(power)


Trânsito de

Energia



Trânsito de

Energia



22 140 0,1290 0,9821 0,9829 0,9670 -7,65 -7,41 -7,52

35 190 0,1862 0,9642 0,9658 0,9350 -8,08 -7,60 -7,82

48 240 0,2498 0,9456 0,9479 0,9027 -8,52 -7,81 -8,12

61 290 0,3210 0,9261 0,9292 0,8700 -8,98 -8,02 -8,42

74 340 0,4013 0,9057 0,9095 0,8367 -9,46 -8,24 -8,73

87 390 0,4929 0,8840 0,8887 0,8027 -9,95 -8,47 -9,04

100 440 0,5989 0,8610 0,8664 0,7678 -10,47 -8,72 -9,36

113 490 0,7234 0,8363 0,8426 0,7317 -11,02 -8,99 -9,69

126 540 0,8729 0,8094 0,8166 0,6940 -11,61 -9,28 -10,03

140 574 0,9964 0,7893 0,7971 0,6667 -12,23 -9,60 -10,46

Figura 4.22 – Valores dos módulos da tensão �mZpara os três modelos com a variação das potências activa e reactiva no barramento 12.

0,6500

0,7000

0,7500

0,8000

0,8500

0,9000

0,9500

1,0000

140 190 240 290 340 390 440 490 540 574

22 35 48 61 74 87 100 113 126 140

| V12 |





65

Figura 4.23 – Valores dos argumentos da tensão �mZpara os três modelos com a variação das potências activa e reactiva no barramento 12.

Esta variação forma gráficos muito parecidos dos módulos e argumentos de �mZ com a

variação anterior (variação de potência reactiva mantendo a potência activa constante). Tal

facto deve-se à maior variação de potência reactiva e menor variação de potência activa.

Na Figura 4.24 observa-se a diferença do valor da tensão �mZ entre os dois modelos,

nos três casos de variação de potência de carga. O Modelo 2 volta a apresentar erros

consideráveis, mostrando valores máximos muito semelhantes em cada uma das variações de

potência de carga. No entanto, o erro máximo volta a acontecer na variação da potência activa

(16,61 %). Os erros do Modelo 1 voltam a ser mínimos, atingindo neste sistema um valor

máximo de 2,78 %, na variação da potência activa.

Figura 4.24 – Percentagem de erro dos dois modelos no cálculo do módulo da tensão �mZ.

-14,00

-12,00

-10,00

-8,00

-6,00

-4,00

-2,00

0,00

140 190 240 290 340 390 440 490 540 574

22 35 48 61 74 87 100 113 126 140

Delta V12

Potência Reactiva




2,78%

16,61%15,41% 15,53%

0,00%

2,00%

4,00%

6,00%

8,00%

10,00%

12,00%

14,00%

16,00%

18,00%

∆P ∆Q ∆S

Percentagem de erro

Variações



66

4.5 Perturbações num Ramo

Como referido nos objectivos deste capítulo (secção 4.1), o estudo de perturbações

num ramo é efectuado apenas no sistema New England de 39 barramentos. Deste modo, esta

secção foca-se sobre a modificação do ramo crítico deste sistema, ou seja, o ramo que liga os

barramentos 12 e 11.

4.5.1 Cálculo dos equivalentes de Thévenin

Tendo em conta a diferença de potencial entre o barramento 12 e o barramento 11, o

valor da tensão �RS é dada por:

_RS = _mZM − _mmM

_RS = 0,0125 ∙ �5mn},Mp = −0,0125 + �0,0013 �. I. Para o Modelo 1 foram usados os circuitos das Figuras Anexo.9 e Anexo.10 e os dados

da Tabela Anexo-3 para calcular �RS. Com a obtenção dos valores �mm¥Q�4;, �mZ¥Q�4; e �?¥Q�4;

para os barramentos 11 e 12, recorre-se à equação 3.37:

¦RS,�U�� m = b�mZ¥Q�4; − �mm¥Q�4;�?¥Q�4; c �:9gÀ = t�5847 ∙ �5mn{,}� − �1746 ∙ �5mn¿,{�

378,6 ∙ �5ÁÁ,{Z w 484Â

¦RS,�U�� m = 0,0224 ∙ �5Án,p| = 0,0009 + �0,0224 �. I. No Modelo 2, foi injectada corrente no valor de ∆^mZ = 1,0000 � no barramento 12 e

corrente no valor de ∆^mm = −1,0000 � no barramento 11, como mostra a Figura Anexo.12.

Assim, através da equação 3.39:

¦RS,�U�� Z = ∆_9:V4�9� − ∆_9:4�4;49�∆^ �:9g⁄ = �`_mZV4�9� − _mmV4�9�a − `_mZ4�4;49� − _mm4�4;49�a�

∆^mZ �:9g⁄≅ �h�0,9920 − �0,1256� − �1,0045 − �0,1269�i − h�0,9920 − �0,1256� − �1,0045 − �0,1269�i�

1,0000 262,43⁄

¦RS,�U�� Z = 0,0237 ∙ �5Án,p| = 0,0010 + �0,0237 �. I.

4.5.2 Curto-circuito entre os terminais do equivalente

De modo a que o ramo crítico tenda para um curto-circuito, são colocados vários ramos

em paralelo aos terminais e !, fazendo com que a impedância de carga �9: diminua

progressivamente.

Nas Figuras 4.25 e 4.26 encontram-se os gráficos dos dois modelos estudados para as

variações de �9: e �9: (módulos e argumentos), respectivamente, considerando � = 1000.

67

Figura 4.25 – Variação de �9: de modo a que o ramo 35 tenda para curto-circuito usando: a) Modelo 1; b) Modelo 2.

Figura 4.26 – Variação de �9: de modo a que o ramo 35 tenda para curto-circuito usando: a) Modelo 1; b) Modelo 2.

Como se pode observar, os modelos obtêm resultados muito semelhantes para todas

as curvas. Os valores obtidos dos módulos de �9: e �9: após � iterações foram os seguintes:

Å_9:Æ�U�� mÅ = 2,4460q{ �. I. Å_9:Æ�U�� ZÅ = 2,3106q{ �. I.

Å^9:Æ�U�� mÅ = 0,5586 �. I. Å^9:Æ�U�� ZÅ = 0,5276 �. I.

Tal como esperado, os valores de |_9:| e |^9:| dos dois modelos obtidos por simulação

encontram-se muito próximos de zero e dos valores máximos da corrente (Å^9:Æ�U�� mÅ =Ç _ÈÉ

¦ÈÉÊËÌÍÎË ÏÇ = 0,5597 �. I. e Å^9:Æ�U�� ZÅ = Ç _ÈÉ¦ÈÉÊËÌÍÎË ÐÇ = 0,5286 �. I.), respectivamente.

68

4.5.3 Circuito aberto entre os terminais do equivalente

Para que o ramo crítico tenda para um circuito aberto, aumenta-se o valor da

impedância de carga �9: progressivamente.

Nas Figuras 4.27 e 4.28 encontram-se os gráficos dos dois modelos estudados para as

variações de �9: e �9: (módulos e argumentos), respectivamente, considerando � = 1000.

Figura 4.27 – Variação de �9: de modo a que o ramo 35 tenda para circuito aberto usando: a) Modelo 1; b) Modelo 2.

Figura 4.28 – Variação de �9: de modo a que o ramo 35 tenda para circuito aberto usando: a) Modelo 1; b) Modelo 2.

Tal como na situação de curto-circuito, os dois modelos voltam a obter curvas muito

próximas. Os valores obtidos dos módulos de �9: e �9: após � iterações foram os seguintes:

Å_9:Æ�U�� mÅ = 0,0125 �. I. Å_9:Æ�U�� ZÅ = 0,0125 �. I.

Å^9:Æ�U�� mÅ = 2,8598q} �. I. Å^9:Æ�U�� ZÅ = 2,8597q} �. I.

69

Tal como para a secção anterior, estes resultados também foram os esperados, pois os

valores de |_9:| e |^9:| dos dois modelos obtidos por simulação encontram-se muito próximos

dos valores máximos da tensão (Å_RSÆéx�U� mÅ = Å_RSÆéx�U� ZÅ = 0,0125 �. I.) e de zero,

respectivamente.

4.6 Conclusões

Neste capítulo foi realizado um estudo sobre o comportamento dos equivalentes

Thévenin (secções 3.3 e 3.4, juntamente com a secção 3.5) e as equações do trânsito de

energia, quando existem perturbações em sistemas de energia eléctrica. Para isso, foram

utilizados três sistemas como exemplo (3, 6 e 39 barramentos).

Após a análise dos casos iniciais, foi encontrado o barramento crítico e o

correspondente ramo crítico de cada sistema (método descrito em 3.2). Esses barramentos e

ramos foram os escolhidos para serem alterados nos estudos de perturbações de carga num

barramento (secção 4.4) e de perturbações de rede num ramo (secção 4.5), respectivamente.

De modo a comparar as duas situações de funcionamento dos SEE (Modelo 1 e

Modelo 2) com as equações de trânsito de energia obtidos pelo método de Newton, foram

realizadas na secção 4.4 três diferentes variações no barramento crítico para cada sistema:

variação apenas da potência activa, variação apenas da potência reactiva e variação destes

dois tipos de potência simultaneamente, ou seja, da potência aparente.

Através dos resultados obtidos nesse estudo (perturbação no barramento) é possível

concluir que, tal como esperado, o modelo equivalente Thévenin aplicado aos curto-circuitos

(Modelo 1) apresenta bons resultados no cálculo do módulo da tensão no barramento crítico.

Este, comparativamente com o cálculo do trânsito de energia obtido pelo MATPOWER,

manteve sempre um erro inferior a 2,78% (sistema de 39 barramentos). Por sua vez, o modelo

equivalente Thévenin na situação de funcionamento normal dos SEE (Modelo 2) obteve

sempre erros consideráveis no cálculo do módulo da tensão junto do limite de estabilidade,

principalmente para o sistema de 6 barramentos (obteve erros de 23,11 %, 33,81 % e 29,80 %

nos três tipos de variação). De notar que, em ambas as situações, os erros dos modelos

tendem a ir aumentando consoante a proximidade do ponto de colapso de tensão, como seria

de esperar.

Relativamente ao cálculo dos argumentos da tensão no barramento crítico, foi o

Modelo 2 que apresentou melhores resultados do que o Modelo 1, com excepção para a

variação de potência reactiva nos sistemas de 3 e 39 barramentos.

Na secção 4.5 foram realizados dois tipos de perturbação (curto-circuito e circuito

aberto) no ramo crítico do sistema de 39 barramentos (ramo que liga os barramentos 12 e 11,

ambos do tipo PQ), apresentando-se as curvas da tensão �9: e da corrente �9: (módulos e

argumentos) para ambas as situações (Modelos 1 e 2).

70

Tal como esperado numa situação de curto-circuito, com a diminuição da impedância

de carga �9: a tensão �9: aproximou-se de zero e a corrente �9: tendeu para o seu valor

máximo, ou seja, �9: = ÒÈÉÓÈÉ.

Com o aumento da impedância de carga �9:, o ramo crítico passa a estar numa

situação de circuito aberto. Assim, também já era esperado que a tensão �9: tendesse para o

seu valor máximo, �9: = �RS, e que a corrente �9: se aproximasse de zero.

71

Capítulo 5 5. Conclusão

5.1 Síntese de Resultados

Este trabalho foi iniciado com um estudo sobre os princípios fundamentais teóricos.

Assim, foi realizado um trabalho bibliográfico sobre os temas mencionados na dissertação

(trânsito de energia, estabilidade de tensão, teorema de Thévenin e teorema de Tellegen

aplicado às redes adjuntas), que pode ser observado no capítulo 2. Esse estudo também inclui

resumidamente alguns dos métodos existentes de aplicação.

No capítulo 3 são analisados os modelos utilizados na parte prática deste trabalho. O

trânsito de energia é calculado através do programa MATPOWER; a estabilidade de tensão é

verificada por um indicador de proximidade de colapso de tensão (��); as situações de

curto-circuito e de funcionamento normal dos SEE são analisadas respectivamente através dos

Modelos 1 e 2 (equivalentes Thévenin), juntamente com o modo de calcular a tensão entre os

terminais desses equivalentes.

O Modelo 1 (equivalente Thévenin), que se baseia na situação de curto-circuito onde o

teorema de Thévenin é habitualmente usado com garantias, usa o software OrCAD PSpice

juntamente com o PSpice Schematics para construir circuitos eléctricos de modo a calcular a

impedância �RS. Os passos para a construção desses circuitos e a respectiva análise

computacional encontram-se explicados detalhadamente na secção 3.3.

O Modelo 2 foi criado para servir de equivalente Thévenin na situação de

funcionamento normal dos sistemas de energia eléctrica, e baseia-se nos pressupostos da lei

de Ohm e da definição de impedância. Ao injectar-se potência no barramento onde queremos

encontrar o equivalente (através da colocação de uma fonte independente de corrente unitária

72

entre os terminais do equivalente de Thévenin), é possível encontrar a variação de tensão e

corrente nesse barramento, logo o próprio valor da impedância de Thévenin. Este modelo

encontra-se explicado com mais detalhe na secção 3.4.

De referir que, dada a grande dificuldade em inserir fontes de corrente no

MATPOWER, foi necessário criar algoritmos em MatLab (cujos fluxogramas se encontram na

subsecção 3.4.1) que o fizessem. Assim, estes algoritmos tornam possível a injecção de fontes

de corrente unitárias em um (+1�) ou dois barramentos (+1�/−1�), um requisito essencial

neste modelo de equivalente Thévenin.

Depois de obtidos os parâmetros do equivalente de Thévenin (tensão �RS e impedância

�RS), é necessário calcular a tensão entre os terminais desse circuito equivalente �9:, que

depende da potência de carga inicial e após a perturbação nesse barramento. O modo como

esse cálculo é efectuado encontra-se explicado na secção 3.5.

No capítulo 4 conclui-se sobre a validade dos modelos equivalentes Thévenin criados

para as duas situações de funcionamento distintas (situação de curto-circuito e situação de

funcionamento normal dos SEE). Para isso, e após uma análise inicial dos três sistemas de

teste (3, 6 e 39 barramentos) e determinação dos seus barramentos e ramos críticos, recorreu-

se a um estudo de dois tipos de perturbação nesses sistemas: perturbação de carga no

barramento crítico e perturbação no ramo crítico.

Tal como esperado (na situação de curto-circuito o sistema está próximo da

linearidade), o Modelo 1 apresentou excelentes resultados aquando da perturbação de carga

no barramento crítico (erro máximo no módulo da tensão de 2,78%). Por outro lado, o Modelo 2

exibe resultados com erros consideráveis junto do limite de estabilidade de tensão nas

perturbações de carga no barramento crítico, principalmente no sistema de 6 barramentos

(23,11%, 33,81% e 29,80% nos três tipos de variação de potência de carga). Como os sistemas

de 3 e 39 barramentos obtiveram melhores resultados (erros máximos de 14,99% e 16,61%,

respectivamente, no limite da estabilidade de tensão), não é possível concluir sobre a relação

entre o erro do modelo e o tamanho do sistema. De notar que, em ambos os modelos, o erro

tende a aumentar com a proximidade do ponto de colapso de tensão, sendo por isso muito

baixo para pequenas variações de potência de carga (dai a necessidade de se ter encontrado

um método de análise do limite de estabilidade de tensão).

Relativamente às perturbações no ramo crítico de um sistema de energia eléctrica

(ramo a tender para curto-circuito e para circuito aberto testados no sistema de 39

barramentos), ambos os modelos de equivalentes Thévenin obtêm resultados muito

semelhantes. Quando esse ramo tende para curto-circuito, tal como esperado, a tensão �9:

aproxima-se de zero e a corrente �9: tende para o seu valor máximo. Ao contrário, quando o

ramo crítico tende para circuito aberto a tensão �9: aproxima-se do seu valor máximo e a

corrente �9: de zero.

73

5.2 Utilidade dos Modelos Equivalentes

Conforme verificado na secção anterior, os dois modelos equivalentes Thévenin

obtiveram resultados diferentes. Isso já seria de esperar, visto tratarem-se de situações

diferentes de análise, como referido anteriormente.

Apesar dos excelentes resultados obtidos do Modelo 1 na situação de curto-circuito,

este revelou-se pouco prático devido à necessidade de construção do circuito no OrCAD

PSpice para cada sistema de energia eléctrica e de reconstrução do mesmo para cada

pequena reconfiguração da rede do sistema. Para além destes problemas também se deve

referir que, quanto maior o SEE, mais complexo e difícil será de construir o circuito. Tal pode

ser observado através das figuras do Anexo C.2, onde os circuitos já são bastante complexos

ainda que o sistema contenha apenas 39 barramentos (os sistemas deste género podem ter

centenas ou milhares de barramentos).

Por outro lado, os algoritmos desenvolvidos do Modelo 2 permitem que este seja

utilizado em qualquer sistema de energia eléctrica não linear, não dependendo do seu

tamanho. Este modelo funciona aceitavelmente apenas para pequenas variações de potência

de carga. Caso existam reconfigurações da rede do sistema, o Modelo 2 de equivalente

Thévenin também tem de ser refeito, o que provoca um maior tempo dispendido.

5.3 Perspectivas de Trabalho Futuro

Visto que nesta dissertação concluiu-se sobre o mau funcionamento do teorema de

Thévenin aplicado a modelos equivalentes de cálculo de tensões e correntes em sistemas de

energia eléctrica (excepto para curto-circuitos, como esperado), parece ser extremamente

interessante procurar outro tipo de equivalente que obtenha melhores resultados em sistemas

não lineares quando comparado com as equações de trânsito de energia.

Já a pensar nesse objectivo, neste trabalho preparou-se a aplicação do teorema de

Tellegen aplicado às redes adjuntas como possível base para o estudo de modelos

equivalentes adjuntos, dada a sua validade neste tipo de problemas (referida na secção 2.4)

como o cálculo de tensões e correntes em sistemas não lineares (caso dos SEE).

Espera-se que estes novos modelos obtenham resultados precisos, quando

comparados com os dois modelos de equivalentes de Thévenin desenvolvidos nesta

dissertação (nomeadamente com o Modelo 2, pois este é o equivalente de Thévenin que pode

ser utilizado em qualquer SEE) e com a própria solução do trânsito de energia habitual (método

de Newton).

74

(Página em branco)

75

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31. MATLAB Central. [Online] http://www.mathworks.com/matlabcentral.

77

Anexos

Anexo A: Sistema de 3 barramentos

A.1 Dados iniciais do sistema

function [baseMVA, bus, gen, branch] = caso3_base %%----- Power Flow Data -----%% %% system MVA base baseMVA = 100; %% bus data % bus_i type Pd Qd Gs Bs area Vm Va baseKV zone

Vmax Vmin bus = [ 1 3 0 0 0 0 1 1 0 220 1 1.1 0.9; 2 2 0 0 0 0 1 1 0 220 1 1.1 0.9; 3 1 140 50 0 0 1 1 0 220 1 1.1 0.9; ]; %% generator data % bus Pg Qg Qmax Qmin Vg mBase status Pmax Pmin gen = [ 1 0 0 300 -300 1.02 100 1 300 10; 2 50 0 300 -300 1.01 100 1 300 10; ]; %% branch data % fbus tbus r x b rateA rateB rateC ratio angle status branch = [ 1 2 0.02 0.08 0.02 250 250 250 0 0 1; 1 3 0.02 0.08 0.02 250 250 250 0 0 1; 2 3 0.02 0.08 0.02 250 250 250 0 0 1; ]; return;

A.2 Circuitos OrCAD PSpice

Tabela Anexo-1 – Dados do circuito.

Ramo tipo R X Barramento R X

1 Linha 9,71105 0,123430 3 294,29880 0,334570

2 Linha 9,71005 0,123430

3 Linha 9,71105 0,123430 Barramento |V| delta

3 215539,2 -3,2093

78

Figura Anexo.1 – Circuito PSpice para a obtenção do valor de �RS¥Q�4; no barramento 3.

Figura Anexo.2 - Circuito PSpice para a obtenção do valor de �?¥Q�4; no barramento 3.

79

A.3 Injecção de corrente

Figura Anexo.3 – Injecção de corrente no valor de 1 � no barramento 3.

80

Anexo B: Sistema de 6 barramentos

B.1 Dados iniciais do sistema


Vmax Vmin bus = [ 1 3 0 0 0 0 1 1 0 220 1 1.1 0.9; 2 2 0 0 0 0 1 1 0 220 1 1.1 0.9; 3 2 0 0 0 0 1 1 0 220 1 1.1 0.9; 4 1 70 70 0 0 1 1 0 220 1 1.1 0.9; 5 1 70 70 0 0 1 1 0 220 1 1.1 0.9; 6 1 70 70 0 0 1 1 0 220 1 1.1 0.9; ]; %% generator data % bus Pg Qg Qmax Qmin Vg mBase status Pmax Pmin gen = [ 1 0 0 300 -300 1.05 100 1 250 10; 2 50 0 300 -300 1.05 100 1 300 10; 3 60 0 300 -300 1.07 100 1 300 10; ]; %% branch data % fbus tbus r x b rateA rateB rateC ratio angle

status branch = [ 1 2 0.10 0.20 0.00 250 250 250 0 0 1; 1 4 0.05 0.20 0.00 250 250 250 0 0 1; 1 5 0.08 0.30 0.00 250 250 250 0 0 1; 2 3 0.05 0.25 0.00 250 250 250 0 0 1; 2 4 0.05 0.10 0.00 250 250 250 0 0 1; 2 5 0.10 0.30 0.00 250 250 250 0 0 1; 2 6 0.07 0.20 0.00 250 250 250 0 0 1; 3 5 0.12 0.26 0.00 250 250 250 0 0 1; 3 6 0.02 0.10 0.00 250 250 250 0 0 1; 4 5 0.20 0.40 0.00 250 250 250 0 0 1; 5 6 0.10 0.30 0.00 250 250 250 0 0 1; ]; return;

81

B.2 Circuitos OrCAD PSpice


Ramo tipo R X Barramento R X

1 Linha 48,40000 0,308124 4 334,39690 0,002199

2 Linha 24,20000 0,308124 5 327,92440 0,002157

3 Linha 38,72000 0,462186 6 344,66290 0,002267

4 Linha 24,20000 0,385155

5 Linha 24,20000 0,154062


7 Linha 33,88000 0,308124 5 214264,8 -5,1749

8 Linha 58,08000 0,400561

9 Linha 9,68000 0,154062

10 Linha 96,80000 0,616248

11 Linha 48,40000 0,462186


82

Figura Anexo.5 – Circuito PSpice para a obtenção do valor de �?¥Q�4; no barramento 5.

B.3 Injecção de corrente


83

Anexo C: Sistema de 39 barramentos

C.1 Dados iniciais do sistema


Vmax Vmin bus = [ 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1.06 0.94; 2 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1.06 0.94; 3 1 322 2.4 0 0 1 1.0341 -9.73 0 1 1.06 0.94; 4 1 500 184 0 0 1 1.0116 -10.53 0 1 1.06 0.94; 5 1 0 0 0 0 1 1.0165 -9.38 0 1 1.06 0.94; 6 1 0 0 0 0 1 1.0172 -8.68 0 1 1.06 0.94; 7 1 233.8 84 0 0 1 1.0067 -10.84 0 1 1.06 0.94; 8 1 522 176.6 0 0 1 1.0057 -11.34 0 1 1.06 0.94; 9 1 0 0 0 0 1 1.0322 -11.15 0 1 1.06 0.94; 10 1 0 0 0 0 1 1.0235 -6.31 0 1 1.06 0.94; 11 1 0 0 0 0 1 1.0201 -7.12 0 1 1.06 0.94; 12 1 8.5 88 0 0 1 1.0072 -7.14 0 1 1.06 0.94; 13 1 0 0 0 0 1 1.0207 -7.02 0 1 1.06 0.94; 14 1 0 0 0 0 1 1.0181 -8.66 0 1 1.06 0.94; 15 1 320 153 0 0 1 1.0194 -9.06 0 1 1.06 0.94; 16 1 329.4 32.3 0 0 1 1.0346 -7.66 0 1 1.06

0.94; 17 1 0 0 0 0 1 1.0365 -8.65 0 1 1.06 0.94; 18 1 158 30 0 0 1 1.0343 -9.49 0 1 1.06 0.94; 19 1 0 0 0 0 1 1.0509 -3.04 0 1 1.06 0.94; 20 1 680 103 0 0 1 0.9914 -4.45 0 1 1.06 0.94; 21 1 274 115 0 0 1 1.0337 -5.26 0 1 1.06 0.94; 22 1 0 0 0 0 1 1.0509 -0.82 0 1 1.06 0.94; 23 1 247.5 84.6 0 0 1 1.0459 -1.02 0 1 1.06 0.94; 24 1 308.6 -92.2 0 0 1 1.0399 -7.54 0 1 1.06

0.94; 25 1 224 47.2 0 0 1 1.0587 -5.51 0 1 1.06

0.94; 26 1 139 17 0 0 1 1.0536 -6.77 0 1 1.06 0.94; 27 1 281 75.5 0 0 1 1.0399 -8.78 0 1 1.06

0.94; 28 1 206 27.6 0 0 1 1.0509 -3.27 0 1 1.06

0.94; 29 1 283.5 26.9 0 0 1 1.0505 -0.51 0 1 1.06 0.94; 30 2 0 0 0 0 1 1.0475 0 0 1 1.06 0.94; 31 3 9.2 4.6 0 0 1 0.982 0 0 1 1.06 0.94; 32 2 0 0 0 0 1 0.9831 1.63 0 1 1.06 0.94; 33 2 0 0 0 0 1 0.9972 2.18 0 1 1.06 0.94; 34 2 0 0 0 0 1 1.0123 0.74 0 1 1.06 0.94;

84

35 2 0 0 0 0 1 1.0493 4.14 0 1 1.06 0.94; 36 2 0 0 0 0 1 1.0635 6.83 0 1 1.06 0.94; 37 2 0 0 0 0 1 1.0278 1.27 0 1 1.06 0.94; 38 2 0 0 0 0 1 1.0265 6.55 0 1 1.06 0.94; 39 2 1104 250 0 0 1 1.03 -10.96 0 1 1.06

0.94; ]; %% generator data % bus Pg Qg Qmax Qmin Vg mBase status Pmax Pmin gen = [ 30 250 103.3 9999 -9999 1.0475 100 1 350 0; 31 572.9 170.3 9999 -9999 0.982 100 1 1145.55 0; 32 650 175.9 9999 -9999 0.9831 100 1 750 0; 33 632 103.3 9999 -9999 0.9972 100 1 732 0; 34 508 164.4 9999 -9999 1.0123 100 1 608 0; 35 650 204.8 9999 -9999 1.0493 100 1 750 0; 36 560 96.9 9999 -9999 1.0635 100 1 660 0; 37 540 -4.4 9999 -9999 1.0278 100 1 640 0; 38 830 19.4 9999 -9999 1.0265 100 1 930 0; 39 1000 68.5 9999 -9999 1.03 100 1 1100 0; ]; %% branch data % fbus tbus r x b rateA rateB rateC ratio angle status branch = [ 1 2 0.0035 0.0411 0.6987 9900 0 0 0 0 1; 1 39 0.001 0.025 0.75 9900 0 0 0 0 1; 2 3 0.0013 0.0151 0.2572 9900 0 0 0 0 1; 2 25 0.007 0.0086 0.146 9900 0 0 0 0 1; 3 4 0.0013 0.0213 0.2214 9900 0 0 0 0 1; 3 18 0.0011 0.0133 0.2138 9900 0 0 0 0 1; 4 5 0.0008 0.0128 0.1342 9900 0 0 0 0 1; 4 14 0.0008 0.0129 0.1382 9900 0 0 0 0 1; 5 6 0.0002 0.0026 0.0434 9900 0 0 0 0 1; 5 8 0.0008 0.0112 0.1476 9900 0 0 0 0 1; 6 7 0.0006 0.0092 0.113 9900 0 0 0 0 1; 6 11 0.0007 0.0082 0.1389 9900 0 0 0 0 1; 7 8 0.0004 0.0046 0.078 9900 0 0 0 0 1; 8 9 0.0023 0.0363 0.3804 9900 0 0 0 0 1; 9 39 0.001 0.025 1.2 9900 0 0 0 0 1; 10 11 0.0004 0.0043 0.0729 9900 0 0 0 0 1; 10 13 0.0004 0.0043 0.0729 9900 0 0 0 0 1; 13 14 0.0009 0.0101 0.1723 9900 0 0 0 0 1; 14 15 0.0018 0.0217 0.366 9900 0 0 0 0 1; 15 16 0.0009 0.0094 0.171 9900 0 0 0 0 1; 16 17 0.0007 0.0089 0.1342 9900 0 0 0 0 1; 16 19 0.0016 0.0195 0.304 9900 0 0 0 0 1; 16 21 0.0008 0.0135 0.2548 9900 0 0 0 0 1; 16 24 0.0003 0.0059 0.068 9900 0 0 0 0 1; 17 18 0.0007 0.0082 0.1319 9900 0 0 0 0 1; 17 27 0.0013 0.0173 0.3216 9900 0 0 0 0 1; 21 22 0.0008 0.014 0.2565 9900 0 0 0 0 1; 22 23 0.0006 0.0096 0.1846 9900 0 0 0 0 1; 23 24 0.0022 0.035 0.361 9900 0 0 0 0 1; 25 26 0.0032 0.0323 0.513 9900 0 0 0 0 1; 26 27 0.0014 0.0147 0.2396 9900 0 0 0 0 1; 26 28 0.0043 0.0474 0.7802 9900 0 0 0 0 1; 26 29 0.0057 0.0625 1.029 9900 0 0 0 0 1; 28 29 0.0014 0.0151 0.249 9900 0 0 0 0 1;

85

12 11 0.0016 0.0435 0 9900 0 0 1.006 0 1; 12 13 0.0016 0.0435 0 9900 0 0 1.006 0 1; 6 31 0 0.025 0 9900 0 0 1.07 0 1; 10 32 0 0.02 0 9900 0 0 1.07 0 1; 19 33 0.0007 0.0142 0 9900 0 0 1.07 0 1; 20 34 0.0009 0.018 0 9900 0 0 1.009 0 1; 22 35 0 0.0143 0 9900 0 0 1.025 0 1; 23 36 0.0005 0.0272 0 9900 0 0 1 0 1; 25 37 0.0006 0.0232 0 9900 0 0 1.025 0 1; 2 30 0 0.0181 0 9900 0 0 1.025 0 1; 29 38 0.0008 0.0156 0 9900 0 0 1.025 0 1; 19 20 0.0007 0.0138 0 9900 0 0 1.06 0 1; ]; return;

C.2 Circuitos OrCAD PSpice


Ramo tipo R X Ramo tipo R X

1 Linha 1,79564 0,065177 38 Transformador 0,00000 0,032969









10 Linha 0,38848 0,017283

11 Linha 0,29100 0,014188

12 Linha 0,33957 0,012647 Barramento R X

13 Linha 0,19374 0,007089 3 159,57978 0,003786

14 Linha 1,14459 0,056704 4 85,89752 0,100619

15 Linha 0,51440 0,039705 7 182,10861 0,208265

16 Linha 0,19372 0,006627 8 82,47290 0,088814

17 Linha 0,19372 0,006627 12 52,62951 1,734376

18 Linha 0,43712 0,015587 15 127,01909 0,193313

19 Linha 0,88520 0,033697 16 155,06961 0,048401

20 Linha 0,43700 0,014505 18 314,45510 0,190052

21 Linha 0,33961 0,013728 20 68,32695 0,032944

22 Linha 0,78366 0,030220 21 159,97933 0,213728

23 Linha 0,38988 0,020870 23 191,19969 0,208033

24 Linha 0,14532 0,009093 24 155,05654 -68,710806

25 Linha 0,33953 0,012647 25 231,36679 0,155183

26 Linha 0,63626 0,026801 26 379,78235 0,147849

27 Linha 0,39000 0,021646 27 173,06454 0,148013

86

28 Linha 0,29143 0,014816 28 254,54312 0,108556

29 Linha 1,09223 0,054609 29 186,53120 0,056338

30 Linha 1,60143 0,050592 31 4058,54623 6,459377

31 Linha 0,68240 0,022726 39 44,24178 0,031890

32 Linha 2,24408 0,075805

33 Linha 3,15095 0,102844


35 Transformador 0,77905 0,067419 12 219990,7 -7,22

36 Transformador 0,77905 0,067419

37 Transformador 0,00000 0,041211


87

Figura Anexo.8 – Circuito PSpice para a obtenção do valor de �?¥Q�4; no barramento 12.

88

Figura Anexo.9 – Circuito PSpice para a obtenção do valor �RS¥Q�4; entre os barramentos 12 e 11.

89

Figura Anexo.10 – Circuito PSpice para a obtenção do valor �?¥Q�4; entre os barramentos 12 e 11.

90

C.3 Injecção de corrente


Figura Anexo.12 – Injecção de corrente entre os barramentos 12 e 11.

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