كامل پژوهشي مقاله
در 8/8/91افتيتاريخ
پذ 8/9/91رشيتاريخ
30/12/91تيدرساارائه
اويلرانو با-تير برنولي
غير تئوري اساس بر و برنولي اويلر نانوتير يك ي
است شده بيان مناسب مرزي به.شرايط توجه با
ديناميكي شكل تغيير مقدار از تئوري،هميشه
است از.ه استفاده با روش، اين از حاصل نتايج
آلومينيوم و مناسبي)لاد همگرايي و شده مقايسه
فركانسيافتهزايش همه مقدار درو نانوتير هاي
Low velocity impac
nanobeam using a n
S. Seifoori1, GH. Liaghat
2*
1- PhD. Student, Mech. Eng., Tarbiat Modares Un2- Prof., Mech. Eng., Tarbiat Modares Univ., Teh* P. O. B. 14115-141 Tehran, Iran. ghlia530@mo
Abstract- In this paper, analytical so
presented by using the nonlocal theory t
a mass on simply supported and clamp
In order to obtain an analytical result foimpulse is replaced by a suitable boun
both nonlocal and classic beam have be
theory is always smaller than those pre
nonlocal effect increases the magnitude
the velocity of the nanoparticle (striker)
Keywords: Nonlocal Elasticity, Low Velo
�������������
پژوهشي علمي مجله
دوره1392خرداد 44-37صص3شماره13،
برضربهي سرعت نارويكم
الاستيسيته محلي غير ي
لياقت سين2*
تهران مدرس، تربيت دانشگاه
تهران مدرس، يت
روي بر نانوذره يك سرعت كم ضربه بررسي براي جديد تحليلي ش
ش با نانوتير به شده وارد ايمپالس تير، آزاد ارتعاش معادلات گرفتن
ديناميكي شكل محليبينيپيشيير غير تئوري توسط ه،شده
مرزيتأثير شدهوشرايط بررسي شكل تغيير روي بر پرتابه جرم
كلاسيك تير تئوري و الاستيسته مختلف،وري ماده دو فولا(براي
افز نانوتير، وسط ماكزيمم شكل تغيير محلي، غير پارامتر افزايش ا
است .ه
نانوتير سرعت، كم .ربه
ct of a nanoparticle on eu
nonlocal elasticity model
niv., Tehran, Iran.hran, Iran.odares.ac.ir
lutions of low velocity transverse impact of a nanop
to bring out the effect of the nonlocal behavior on dyn
ed nanobeams are investigated by using nonlocal Eul
or this problem, an approximate method has been devendary condition. A number of numerical examples w
een presented and discussed. The dynamic deflection
edicted by the nonlocal theory due to the nonlocal ef
es of dynamic deflection and decreases frequencies. F
) have significant effects on the dynamic behavior of n
ocity Impact, Nanobeam.
بررسيوتحليل
تئوري از استفاده
صيفوري سجاد1غلامحس،
مكانيك،-1 مهندسي دكتراي دانشجوي
تربيتاستاد-2 دانشگاه مكانيك، مهندسي
پستيتهران،* ،14115-141صندوق
رو-چكيده يك تحقيق اين در
است شده ارائه گ.محلي نظر در با
محلي،تأثير غير تغيپارامترهاي
است بيشتر تأادامهدر.كلاسيك
تئو اساس بر و موجود هاي تحليل
است شده باطورهب.مشاهده كلي
نسبت يافتههمه كاهش جرم، هاي
ضر:واژگانكليد محلي، غير تئوري
uler–bernoulli
particle on a nanobeam are
namic deflection. Impact of
ler–Bernoulli beam theory.
eloped wherein the appliedwith analytical solutions for
n predicted by the classical
ffects. The inclusion of the
Furthermore, the mass and
nanobeam.
Dow
nloa
ded
from
mm
e.m
odar
es.a
c.ir
at 1
2:27
IRD
T o
n S
atur
day
Aug
ust 2
1st 2
021
اويلر نانوتير روي بر سرعت كم ضربه بررسي و با-تحليل .برنولي . همكار. صيفوريو سجاد
مدرس38 مكانيك 3شمارة13دورة،1392خردادمهندسي
مقدمه-1
روش نانومكانيك به مربوط مسائل بررسي متفاوتبراي هاي
داردتحليلي وجود تجربي و عددي استفادهسالدر.، اخير هاي
غير تئوري استاز شده مرسوم تيرها نانو تحليل در .محلي
در الاستيسيته محلي غير و كلاسيك تئوري بين اصلي تفاوت
است تنش تئوري.تعريف مكانيكبيشتر كلاسيك هاي
پيوستهمحيط هايپرالاستيك،هاي ساختاري روابط اساس بر
كه هستند مياستوار نقطهفرض هر تنش تابعي،كند صورت به
كرنش استهاياز نقطه ابتدا.همان كه محلي غير تئوري
شد]3-1[ارينگنطتوس اين،ارائه هرابيانگر تنش كه ست
بلكهنقطه است نقطه آن كرنش ميدان از تابعي تنها تابعنه
استكرنش پيوسته محيط نقاط در.همه تئوريها قبيل اين
اتمةبرگيرند مابين نيروهاي از طولاطلاعاتي اندازه و هايها
كوچك(داخلي مقياس ب)اثر ساختاري روابط در صورتهكه
مي تعريف مادي در.هستند،شوندپارامترهاي محلي غير تئوري
الاستيك تنش موج انتشار داخل،بررسي موج انتشار
شكست،هاكامپوزيت و،مكانيك تير اجباري و آزاد ارتعاشات
و استغيرهورق گرفته قرار استفاده به.]4،5[مورد توجه با
ممكن شده گفته نانوتيوبموارد نانوذره)نانوتير(است توسط
گيرد قرار اصابت ماكرو.مورد مقياس در ضربه پديده ،بررسي
محققطوربه توسط بررسياوسيعي استشدن .]6،7[ه
مقاله اين رويدر بر نانوذره يك سرعت كم ضربه پديده
شده بررسي محلي غير تئوري پايه بر و برنولي اويلر تير يك
اثر.است در نانوتير به شده وارد ايمپالس روش اين اساس بر
حركت اندازه مقدار به توجه با و مناسب مرزي شرايط با ضربه
ش بيان برخورد، از بعد بلافاصله درست نانوتير و استپرتابه .ده
حالت اين در قسمتهمانبنابراين در كه نشانطور بعد هاي
است شده نانوتير،داده آزاد ارتعاشات معادلات حل به نياز فقط
همچنين.است و گيردار و ساده مرزي پارامترهايتأثيرشرايط
و شده بررسي نانوذره به نانوتير جرم نسبت و محلي غير
تحليل آمده بدست مربوطه ذكر.استشدهمعادلات به لازم
تحليل كه واست بوده جديد مقاله اين در شده انجام هاي
است شده ارائه بار اولين براي نانوتير در ضربه .بررسي
محلي-2 غير تئوري اساس بر برنولي اويلر تير مدل
اويلر تير يك ساختاري-براي رابطه ايزوتروپيك، همگن برنولي
رابطه صورت به محلي .]5[است)1(غير
,Ex
xx
xx
xxε
σµσ =
∂
∂−
2
2
,
x
wz
xx 2
2
∂
∂−=ε )ae( 22
0=µ
)1(
رابطه اين الاستيستهEدر دادن.استمدول قرار صفر با
محلي غير كلاسيك،µپارامتر حالت در ساختاري رابطه به
صرف.رسيممي معادلهبا دوراني اينرسي اثر از كردن نظر
اويلر تير عرضي مي-ارتعاشات بدست .]8،9[آيدبرنولي
)2(2
2
t
wAQ
x
V
∂
∂+−=
∂
∂ρ
رابطه اين تيرVدر مقطع سطح روي بر برشي نيروي منتجه
عرضيQو نيروي محور،توزيع طول رxدر و زيرابطهاست
است :برقرار
)3(x
MV
∂
∂=
استMكه تير خمشي :ممان
)4(xx
A
M z dAσ= ∫
رابطه به توجه رابطه)1(با با تواند مي خمشي )5(ممان
شود :بيان
)5(2
A
I z dA= ∫2 2
2 2,
M wM EI
x xµ∂ ∂
− = −∂ ∂
روابط جايگذاري رابطه)3(و)2(با خمشي)5(در ممان
حسب بر محلي ميجابجاغير بيان تير عرضي .]10-8[دشويي
)6()Qt
wA(
x
wEIM −
∂
∂+
∂
∂−=
2
2
2
2
ρµ
رابطهطوربههمچنين از برشي نيروي مي)7(مشابه :آيدبدست
)7()x
Q
tx
wA(
x
wEIV
∂
∂−
∂∂
∂+
∂
∂−=
2
3
3
3
ρµ
حركت معادله نانوسرانجام محلي اويلـرغير بـر،برنـولي-تير
ــي عرضـ ــايي جابجـ ــاس ــهاسـ رابطـ ــد)8(از خواهـ ــت بدسـ
.]5،9،10[آمد
)8(2
2
22
4
2
2
4
4
x
tx
w
t
wA
x
wEI
∂
∂−=
∂∂
∂−
∂
∂+
∂
∂µµρ
بـر-3 نانوذره سرعت كم اويلـرضربه نـانوتير روي
برنولي
مس اين حل تحليليأبراي صورت به بـه،له شـده وارد ايمپـالس
Dow
nloa
ded
from
mm
e.m
odar
es.a
c.ir
at 1
2:27
IRD
T o
n S
atur
day
Aug
ust 2
1st 2
021
اويلر نانوتير روي بر سرعت كم ضربه بررسي و با-تحليل .برنولي . همكار. صيفوريو سجاد
مدرس مكانيك 339شمارة13دورة،1392خردادمهندسي
مي بيان مناسب مرزي شرايط حـل.شـودصورت تنهـا بنـابراين
تير آزاد ارتعاشي مي،معادلات :شودبررسي
)9(022
4
2
2
4
4
=
∂∂
∂−
∂
∂+
∂
∂
tx
w
t
wA
x
wEI µρ
در نانوتير آزاد ارتعاشات براي معادله اين عمومي رابطهحل
است)11(و)10( شده داده ].9،11[نشان
)10(( , ) ( ) i tw x t W x e
ω
= ⋅
همچنينωكه و است تير داشتفركانس :خواهيم
)11(
( ) sinh( ) cosh( )
sin( ) cos( )
e e
f f
W x A k x B k x
C k x D k x
= +
+ +
ثابتهاي مرزيDوA,B,Cكه شرايط نوعاز به توجه با و
كهگاهتكيه آنچه مانند گيردار يا و ساده بخشهاي هايدر
است)2-3(و)3-1( شده داده آمد،توضيح خواهند .بدست
داشت خواهيم مقادير ديگر ]:9[براي
2
4242 )q()q(
qk f
µµ ++
=
)12(2
4242 )q()q(
qke
µµ −+
=
رابطه اين در محليµكه غير براي.استپارامتر همچنين
qداشت)12(رابطهدر :خواهيم
)13(A
EIc
ρ=
0,
cq
0
ω
=
رابطه اين در ازنانوفركانسωكه استفاده با كه است تير
شد خواهد تعيين نانوتير مشخصه الاستE.معادله ،تهيسيمدول
Iاينرسي وρ،ممان استAچگالي نانوتير مقطع .سطح
تكيه-3-1 با سادهنانوتير گاه
نانوذره كلي حالت جرمدر به سرعتm2اي رويv2و بر
طول به شكل،Lنانوتيري كند1مطابق مي تير.برخورد براي
تكيه سادهبا مقدار،گاه بودن صفر از متشكل مرزي شرايط
ممان و است،جابجايي تير طرف دو ].5،12،13[در
)14(2
4
2( ) 0 , 0 0
WW x M q W
xµ
∂= = → + =
∂
رابطه شرط دو جايگذاري رابطه)14(با در)11(در x=0و
شيب.B=D=0:داريم تير، وسط در تقارن اثر در همچنين
باشد صفر مساوي بايد شكل، ]:6[تغيير
)15(
( , )2 0
Lw t
x
∂
=∂
نانوتير1شكل به نانوذره برخورد
معادله شرايط جايگذاري رابطه)15(با )16(رابطه،)11(در
مي .آيدبدست
)16(cosh( )
2
cos( )2
ee
ff
k Lk
C Ak L
k
= −
تمــاس نقطــه در تيــر بــرش ناپيوســتگي نقطــه(همچنــين
عكسبايد،)برخورد نيروي واردمساوي باشـدالعمل پرتابـه .بـر
تقـارن بـه توجه با و مركزي برخورد براي )17(رابطـهبنابراين
مي .]6[دشوبيان
)17(2
Lx =at
2
2
22
1
t
wmV
∂
∂=
تقارن( به توجه با است ذكر به شـده،لازم وارد نيروي نصف
پرتابه طرف از تير هر،به شـودگـاهتكيهدر مـي بنـابراين،وارد
ضريب تير طرف هر در برش نيروي رابطـه1/2براي به توجه با
شـد)17( خواهد رابطـه).ظاهر بـه توجـه نظـر)7(بـا در بـا و
عرضي نيروي براي صفر مقدار رابطـه، Q=0گرفتن )17(بـراي
داشت :خواهيم
)18(3 3 2
23 2 2
1( )
2
w w wEI A m
x x t tµ ρ
∂ ∂ ∂− + =
∂ ∂ ∂ ∂
رابطه جايگذاري رابطه)10(با بدسـت)19(رابطه)18(در
آمد .خواهد
)19(1
4
24
3
3
2m
WLqm
x
Wq
x
W=
∂
∂+
∂
∂µ
ALmكه ρ=1
اسـت نانوتير جايگـذاري.جرم بـا سـرانجام
معادلـه)19(معادله اويلـر)11(در نـانوتير مشخصـه -معادلـه
Dow
nloa
ded
from
mm
e.m
odar
es.a
c.ir
at 1
2:27
IRD
T o
n S
atur
day
Aug
ust 2
1st 2
021
اويلر نانوتير روي بر سرعت كم ضربه بررسي و با-تحليل .برنولي . همكار. صيفوريو سجاد
مدرس40 مكانيك 3شمارة13دورة،1392خردادمهندسي
براي حسبگاهتكيهبرنولي بر و آمدqساده خواهد :بدست
4
2 2tanh( ) tan( ) 2
( ) 2 2
e e f
e e f f
k L k k LLqm
k k k k
− =
+ )20(
كه21
m/mm پرتابـه= بـه نـانوتير جرم )نـانوذره(نسبت
ــه.اســت رابط ــون حســب)20(چ ــر ب ــه ريش ــدين چن داراي
رابطه صورت به كلي جواب است، گرفتـه)21(فركانس نظر در
شد .خواهد
1 1
( , ) ( ) ( ) ( sin( )
cos( ))
ai t
a a a a
a a
a a
w x t W x e W x E t
iF t
ω
ω
ω
∞ ∞
= =
= ⋅ = ⋅
+
∑ ∑
(21)
اوليه لحظه در اينكه علت صـفرجابجـا)صفر(به نـانوتير يي
داشت خواهيم :است
))الف-22( ,0) 0, 0a
w x F= =
رابطه جايگذاري داشت)21(در)الف-22(با :خواهيم
t(XG)t,x(w()ب-22(aa
a
aωsin
1
∑∞
=
=
رابطه اين در استكه برقرار زير :روابط
cosh( ),2
ae
a a a
k LG A E=
)ج-22(
sinh( ) sin( )
cosh( ) cos( )2 2
a a a
a aa
e e f
ae ff
k x k k xX
k L k Lk= −
ثابتa
Gوارده ايمپـالس جايگزيني برگيرنده در حقيقت در
نانوتير به است،شده مناسب اوليه سرعت سرعت.با با پرتابه اگر
اوليه2
vكنـد برخـورد نـانوتير مركـز قسمت انـدازهآنگـاه،به
برخـوردحركت از بعـد بلافاصله پرتابه و انـدازهبرابـربايـد،تير
باشدحركت :]6[اوليه
)23(2 2
( ,0)w xdS m v
t
∂=
∂∫
انتگرال dSكه
اسـت نـانوتير و پرتابه جرم كل حـال.روي
گرفته)24(رابطه نظر شوددر :مي
)24(1
( ,0)( )
a a a
a
w xG X x
tω ϕ
∞
=
∂= ≡
∂∑
دراگر رابطه طرف دوb
Xشودضرب:
)25(1
( )a a a b b
a
G X X x Xω ϕ
∞
=
≡∑
رابطه اگر در)24(حال2
mو شود درضرب انتگـرال مقدار
تير به،وسط توجه نـانوتيرالمانبا dx)L/m(dmجـرم11
=
رابطه شود)25(به تقارن،اضافه به توجه داشتبا :خواهيم
/ 2
0
/ 2
0
1
2
1
1
2
2( ) ( )2 2
2( ) ( ) ( )
2 2
L
L
a a a b a b
a
b b
m L LG X X dx m X X
L
m L LX x dx m X
L
ω
ϕ ϕ
∞
=
+
= +
∑ ∫
∫ (26)
انتگـرال از اسـتفاده مـيبا مسـتقيم دادگيـري نشـان تـوان
aكههنگامي b≠،معادلهباشد چپ سمت صـفر)26(قسمت
شد ثابت.خواهد بنابراينa
Gرابطه آمد)27(از خواهد :بدست/ 2
0
/ 2
0
1
2
2 21
2
2( ) ( ) ( )
1 2 2( )
2( )2
L
L
a a
a
a
a a
m L LX x dx m X
LG
m LX dx m X
L
ϕ ϕ
ω
+
= ⋅
+
∫
∫)27(
اوليه لحظه رابطه،در است)28(شرايط :برقرار
0=∂
∂
t
wبراي 0,
2
Lt x= ≠
)28(2v
t
w=
∂
∂براي 0,
2
Lt x= =
رابطه رابطه)27(بنابراين شد)29(به خواهد .تبديل
)29(2 2
/ 22 21
20
( )1 2( )
2( )2
a
aL
a
a a
Lm v X
Gm L
X dx m XL
ω
=
+∫جاب ــرانجام ــاييس ــرج اويل ــانوتير ن ــاميكي ــا-دين ب ــولي برن
رابطه رابطه)29(جايگذاري آمد)ب-22(در خواهد :بدست
/ 2
2 2
2 211
20
( )1 2( , ) ( )
2( )2
sinh( ) sin( )( )sin( )
cosh( ) cos( )2 2
L
a a a
a aa
a
a aa a
e e f
ae ff
Lm v X
w x tm L
X dx m XL
k x k k xt
k L k Lk
ω
ω
∞
=
=
+
× −
∑∫
)30(
تكيه-3-2 با سرنانوتير دو گيردارگاه
با تير گيردارگاهتكيهبراي سر صفر،دو از عبارت مرزي شرايط
مقدار وجابجابودن استشيبيي تير طرف دو ].5،12،13[در
)الف-31((0)
(0) 0, 0dW
Wdx
= =
)ب-31(( )
( ) 0, 0dW L
W Ldx
= =
رابطه شرط دو جايگذاري رابطه)الف-31(با در)11(در و
x=0 داريم:B=-D وfe k/kAC ⋅−=.
Dow
nloa
ded
from
mm
e.m
odar
es.a
c.ir
at 1
2:27
IRD
T o
n S
atur
day
Aug
ust 2
1st 2
021
اويلر نانوتير روي بر سرعت كم ضربه بررسي و با-تحليل .برنولي . همكار. صيفوريو سجاد
مدرس مكانيك 341شمارة13دورة،1392خردادمهندسي
عمومي حل جايگذاري و)15(روابطدر))11(رابطه(با
اويلر)19( نانوتير مشخصه براي-معادله دوگاهتكيهبرنولي
حسب بر و آمدqسرگيردار خواهد :بدست4
3
2 3
2 3
sinh( ) cosh( )2 2 2
sin( ) cos( )2 2
cosh( ) sinh( )2 2
cos( ) sin( ) ,2 2
e e
e
f f f
e
e e
f f f f
e e
k L k LLqB
mk
k k L k LB
k
k L k LB
k k L k k LB
k k
−
− +
= −
+ +
)32(
cosh( ) cos( )2 2
sinh( ) sin( )2 2
e f
e f f
e
k L k L
Bk L k k L
k
−
=
+
براي قبل قسمت رابطـه،سـادهگاهتكيهمانند نيـز اينجـا در
اسـتداراي)32( فركـانس حسب بر ريشه جـوابلـذاچندين
رابطه صورت به شـد)21(كلي خواهـد گرفته نظر بنـابراين.در
داشت :خواهيم
,EAGaaa
=
1
( , ) sin( ),a a a
a
w x t G X tω
∞
=
=∑
sinh( ) cosh( )2 2
sin( ) cos( )2 2
a a
a a
a
e e
a a
f ff aa
e
k x k xX B
k k xk xB
k
= −
− +
)33(
cosh( ) cos( )2 2
sinh( ) sin( )2 2
a a
e a f a
a
f fe a
e a
k L k L
Bk k Lk L
k
−
=
+
جاب اويلرسرانجام نانوتير ديناميكي با-جايي گـاهتكيهبرنولي
روابط از استفاده با و قبل قسمت همانند گيردار سر تـا)23(دو
آمد)28( خواهد :بدست
)34(
2 2
/ 22 211
20
( )1 2( , ) ( )
2( )2
sinh( ) cosh( )2 2
sin( ) cos( ) sin( )2 2
a a
a a
a
a
La a
a a
e e
a
f ff aa a
e
Lm v X
w x tm L
X dx m XL
k x k xB
k k xk xB t
k
ω
ω
∞
=
= ⋅
+
× −
− + ⋅
∑∫
نتايجاعتبار-4 سنجي
اعتبار قسمتبراي اين در نتايج تئـوري،سنجي از حاصـل نتايج
در كه تير تئوري و است]14[الاستيسته حاصـل،آمده نتايج با
شـد خواهد مقايسه مقاله اين نتـايج.از مقايسـه خـواص،بـراي
جـدول هماننـد هدف و اسـت1پرتابه شـده ايـن.انتخـاب در
است شده انجام آزمايش دو اول.مقايسه آزمايش پرتابـه،در هم
هس فولادي هدف هم دومو آزمـايش در و و،تند پرتابـه جـنس
است شده انتخاب آلومينيوم از بـراي.هدف اسـت ذكـر به لازم
نتايج با مقاله اين از حاصل نتايج كـه]14[مقايسه اسـت كافي
محلـي غيـر پارامتر بـرايµ=0مقدار نتـايج تـا داده قـرار را
باشند قياس قابل ماكرو .مقياس
درطول تير ضخامت برابـر]14[و ترتيـب 10و100بـه
استميلي شكل.متر همانند هدف و پرتابه ب.است1شكل هتير
صورت به پرتابه و مربعي بلوك يك شـعاعكرهصورت به 10اي
استميلي نوع.متر از بـرايگاهتكيهتير نتيجـه در و بوده ساده
رابطه از نتايج سـري)30(مقايسه از جمله دو گرفتن نظر در با
است شده وجابجاحداكثر.استفاده سـرعت بـراي تيـر مركز يي
جرم پرتابه(1نسبت m/s1سرعت2=vهمانند پرتابه جرم و
است تير ميليو)m=1،جرم حسب جـدولمتربر نشـان2در
است شده .داده
جدول نتايج از كه گونه مـي2همان مقـدارشـود،ملاحظـه
جابجايي تيـرحداكثر يـك بـراي و جديد روش با شده محاسبه
بزرگ مقياس با)ماكرو(در مناسبي همخواني .دارد]14[نتايج،
هدف1جدول و پرتابه مختلفخواص آزمايش دو ]14[براي
ماده هدفنوع و پرتابه الاستيسيتهبراي )kgm-3(چگالي)GPa(مدول
2067841فولاد
712750آلومينيوم
تيرجابجاحداكثر2جدول مركز )mm(يي
ماده الاستيسيتهنوع تير]14[تئوري )30(رابطه]14[تئوري
368/0304/0346/0فولاد
373/0325/0352/0آلومينيوم
نهايي روابط كه است ذكر به تحقيـقلازم و)34(روابـط(ايـن
محلي،))30( غير پارامتر تعريف نانوتيرµبا يك در(براي تيـر
Dow
nloa
ded
from
mm
e.m
odar
es.a
c.ir
at 1
2:27
IRD
T o
n S
atur
day
Aug
ust 2
1st 2
021
همكار و صيفوري سجاد
مدرس مكانيك 3شمارة13دورة،1392خردادي
با نانوتير ماكزيمم گيردارگاهتكيهل سر دردو
محلي غير پارامتر يرات
شكلهاي مي3و2ز افـزايشمشاهده با شود
µ،نـانوتير وسـط مـاكزيمم شكل درتغيير ،
استم، يافته افـزايش.افزايش بـا همچنـين
جرم هـر)نسبت براي ماكزيمم شكل تغيير ،
مقـادير همـه ازاي بـه افـزايش،µگيردار،
پـارامتر تغييـرات مقابل در ششم تا اول هاي
جرم نسبت تكيهm=1زاي وبراي سـاده گاه
معادله اساس مشخصهر در)32(و)20(هاي
است شده داده .شان
براي محلي غير پارامتر با ششم تا اول هاي كانس
سادهگاهكيه
اويلر نانوتير روي بر با-ت .برنولي . .
مهندسي
قـرار صفر با كه است حالي در ين
در تيـر يـك براي روابط اين از ن
كلاسيك كردي همانند(استفاده
ارتعاشـي و اسـتاتيكي مسـائل ي
روابـط از حاصـل عـددي نتايج ه
و زير پارامترهاي ]5[براساساز
ذكـر مرجـع بـه توجه با است كر
شـده آورده نتايج مقايسه براي ها
:)شوندمي6
30 10 , 10, 0E L h= × = =
توجـه با پرتابه جرم و بوده پرتابه
شد (خواهد21
m/mm نسبت=
است.)است ذكر به توانمي،لازم
كـرد بيان نانومتر حسب بر در.و
در ثانيـه بـر نانومتر حسب بر عت
بـا نـانوتير مـاكزيمم شـكل غييـر
محلي غير پارامتر تغييرات ،µبل
شش)34(و) گرفتن نظر در با و
جــرم نســبت درm=1/2,1,2ير
است .ده
با مقابلگاهتكيهنانوتير در ساده
حلي
شكل3شكل تغيير
تغيي مقابل
از كه گونه همان
محلي غير µپارامتر
نسبت جرهمة هاي
پرتابه كاهش(جرم
تكيه ودو ساده گاه
است .يافته
فركانس همقادير
محلي ازµغير به ،
بر ترتيب به گيردار،
نش5و4هايشكل
فرك4شكل تغييرات
با تكنانوتير
سرعت كم ضربه بررسي و تحليل
42
نانو است)مقياس شده اين،داده
مي محلي غير پارامتر تواندادن
تئوري اساس بر و بزرگ مقياس
محقق ساير بـراي]5،11[ناكار
دربار.)نانوتيرها بعد قسمت در
تحقيق شد،اين خواهد .بحث
بحث-5 و عددي نتايج
تحقيق اين روابط بررسي براي
است شده ذك(.استفاده به لازم
پارامتره اين اينكه علت به شده
م گرفته نظر در بعد بدون است،
20.1, 1, 1vρ = = )35(
رابطه اين در سرعتv2كه
خ گرفته نظر در جرم نسبت به
پرتابه به نانوتير )نانوذره(جرم
نانو مقياس در را پارامترها اين
سرع مثال عنوان به صورت اين
شد خواهد گرفته تغ.نظر مقدار
مقابگاهتكيه در گيردار و ساده
روابط اساس بر ترتيب )30(به
ا مقــادجملــه بــراي و ســري ز
شد3و2هايشكل داده نشان
ماكزيمم2شكل شكل تغيير
مح غير پارامتر تغييرات
Dow
nloa
ded
from
mm
e.m
odar
es.a
c.ir
at 1
2:27
IRD
T o
n S
atur
day
Aug
ust 2
1st 2
021
همكار و صيفوري سجاد
43
اول مقاديركانس ازاي به جرم نسبت پارامتربه
با نانوتير سادهگاهتكيهبراي
پارامتر مقادير ازاي به جرم نسبت به اول ركانس
با نانوتير گيردارگاهتكيهبراي سر دو
نانوتير به شده وارد بـاايمپالس ضربه اثر در
دو براي و بيـانگـاهتكيهب گيـردار و سـاده
روش ايــن از حاصــل از،نتــايج اســتفاده بــا
تيـرو تئـوري و الاستيسـته تئوري اساس بر
مختلف ماده آلومينيـوم(و و مقايسـه)فـولاد
استاسبي شده .مشاهده
سـاير در شده درج عددي مقادير از استفاده
تحقيق اين از گرفتـهل قـرار بررسـي مـورد
محلي غير پارامتر شـكل،µافزايش تغيير
فركانسمقداروافزايش،ير نانوتيرهايهمه
استكاهشجرم، .يافته
محلي غير مقادير همه در نانوتير وسط ،زيمم
از بيشــتر ــهه ــاهتكي اســتگ ســرگيردار .دو
همـه،سـرگيرداردوگـاهتكيـهبـا ازاي بـه
از نتگاهتكيهبيشتر اين و است بـهيساده جه
با استگاهتكيهنانوتير سرگيردار .دو
اويلر نانوتير روي بر با-ت .برنولي . .
3شمارة13دورة،1392داد
محلي غير پارامتر با ششم تا اول
گيردار سر دو
مي افـزايششاهده ازاي بـه شود،
پيـداس كـاهش ششـم تا اول هاي
از به محلـيس غير پارامتر هر اي
است كرده پيدا افزايش .شم
تكيـه بـا نانوتير براي دوششم گـاه
از بيشـتر مـوارد همـه در يشـتر،
بيشترين آن، به مربوط جابجايي ر
دارد ــانوتير ن ــز مرك ــرات.يي تغيي
نظـر در با همچنين و جرم نسبت
شـكل در نشـان7و6هـايلـي،
مي7و6ي بامشاهده شود،
نانوتير به نسبت پرتابه ،)جرم
دوسرگيردار، و ساده مرزي شرايط
غير پارامتر مقدار افزايش با ين،
تكيه استدو يافته كاهش .گاه
نسبت7و6هايشكل در هاي،
سرعت كم ضربه بررسي براي يد،
اويلر تئوري-ر اساس بر و برنولي
فرك6شكل تغييرات
محلي غير
فر7شكل تغييرات
محلي غير
روش اين اساس بر
مناسب مرزي شرايط
اســت اابتــد.شــده
موجودتحليل وهاي
دو براي و كلاسيك
منا همگرايي و شده
با بعد مرحله در
حاصل،هاهمقال نتايج
باكليطوربه.است
نانوتي وسط ماكزيمم
نسبت همه هايدر
ماكز شكل تغيير
ــه تكي ــراي ــادهب س
نانوتيرفركانس هاي
محلي غير ب،مقادير
بيشتر صلبيت علت
سرعت كم ضربه بررسي و تحليل
مدرس مكانيك خردمهندسي
هاي5شكل فركانس تغييرات
با نانوتير گاهتكيهبراي
مش تصاوير از كه گونه همان
محلي غير فركانسµپارامتر ،
فركانس.اندكرده مقدار همچنين
شش تا اول فركانس از مشخص،
فركانس شمقدار تا اول هاي
بي صـلبيت علت به گيردار، سر
استتكيه ساده .گاه
مقدار و نانوتير اول فركانس
جابجــاي ــاكزيمم م در را ــأثير ت
ن حسب بر نانوتير، اول فركانس
محلـ غير پارامترهاي اثر گرفتن
است شده .داده
كه گونه شكلهاهمان در
جرم نسبت كاهش(افزايش
ش دو هر در نانوتير اول فركانس
است يافته ا.افزايش بر علاوه
هر براي اول فركانس محلي،
مطابق فركانس كاهش مقدار
است بيشتر بزرگتر .جرم
گيرينتيجه-6
جدي تحليلي روش مقاله اين در
نانوتير يك روي بر نانوذره، يك
است شده ارائه محلي .غير
Dow
nloa
ded
from
mm
e.m
odar
es.a
c.ir
at 1
2:27
IRD
T o
n S
atur
day
Aug
ust 2
1st 2
021
اويلر نانوتير روي بر سرعت كم ضربه بررسي و با-تحليل .برنولي . همكار. صيفوريو سجاد
مدرس44 مكانيك 3شمارة13دورة،1392خردادمهندسي
مراجع-7
[1] Eringen A.C., “On Differential Equations of
Nonlocal Elasticity and Solutions of Screw
Dislocation And Surface Waves”, Journal ofApplied Physics, Vol. 54, No. 9, 1983, pp.
4703-4710.
[2] Eringen A.C., Nonlocal Continuum Field Theories,
Springer-Verlag, New York, 2002.
[3] [3] Eringen A.C., Edelen D.G.B., “On Nonlocal
Elasticity”, International Journal of EngineeringScience, Vol. 10, No. 3, 1972, pp. 233-248.
[4] Wang C.Y., Zhang J., Fei Y.Q., Murmu T.,
“Circumferential Nonlocal Effect on Vibrating
Nanotubules”, International Journal of Mechanical
Science, Vol. 58, No. 1, 2012, pp. 86-90.
[5] Reddy J.N., “Nonlocal theories for bending,buckling and vibration of beams”, International
Journal of Engineering Science, Vol. 45, No. 2,
2007, pp. 288-307.
[6] Goldsmith W., Impact, The Theory and PhysicalBehavior of Colliding Solids, Edward Arnold,
London, 1960.
[7] Seifoori S., Liaghat G.H., “A Semianalytical and
Numerical Study of Penetration And Perforation of
an Ogive-Nose Projectile Into Concrete TargetsUnder Normal Impact”, Proceedings of the
Institution of Mechanical Engineers, Part C:
Journal of Mechanical Engineering Science, Vol.
225, No. 8, 2011, pp. 1782-1797.
[8] Simsek M., “Nonlocal Effects in the Forced
Vibration of an Elastically Connected Double-
Carbon Nanotube System under a Moving
Nanoparticle”, Computational Materials Science,Vol. 50, No. 7, 2011, pp. 2112-2123.
[9] Lu P., Lee H.P., Lu C., Zhang P.Q., “Dynamic
Properties of Flexural Beams using a Nonlocal
Elasticity Model”, Journal of Applied Physics, Vol.
99, No. 7, 2006, pp. 73510-73519.
[10]Lu P., Lee H.P., Lu C., Zhang P.Q., “Applicationof Nonlocal Beam Models for Carbon Nanotubes”,
International Journal of Solids and Structures, Vol.
44, No. 16, 2007, pp. 5289-5300.
[11]Reddy J.N., “Nonlocal Nonlinear Formulations For
Bending of Classical and Shear DeformationTheories of Beams and Plates”, International
Journal of Engineering Science, Vol. 48, No. 11,
2010, pp. 1507-1518.
[12]Yang J., Ke L.L., Kitipornchai S., “Nonlinear Free
Vibration of Single-Walled Carbon Nanotubes
Using Nonlocal Timoshenko Beam Theory”,Physica E, Vol. 42, No. 5, 2010, pp. 1727–1735.
[13]Wang C.M., Zhang Y.Y., He X.Q., “Vibration of
Nonlocal Timoshenko Beams”, Nanotechnology,
Vol. 18, No. 10, 2007, pp. 105401-105410.
[14]Schonberg W.P., “Predicting the Low Velocity
Impact Response of Finite Beams in Cases of Large
Area Contact”, International Journal of Impact
Engineering, Vol. 8, No. 2, 1989, pp. 87-97.
Dow
nloa
ded
from
mm
e.m
odar
es.a
c.ir
at 1
2:27
IRD
T o
n S
atur
day
Aug
ust 2
1st 2
021
