Download - Statistika-Testiranje hipoteza

Basic Business Statistics, 10e © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 9-1

Testiranje hipoteza

StatistikaŠkolska 2010 – 2011.


Fokus predavanja

Osnovni principi testiranja hipoteza

Testiranje hipoteza o aritmetičkoj sredini i proporciji

Procedura i pretpostavke u testiranju hipoteza,

Kako izbjeći greške u testiranju hipoteza

Etička pitanja


Šta je hipoteza?

Hipoteza je tvrdnja (pretpostavka) o parametru populacije:

sredina populacije

proporcija populacije

Primjer: Prosječni mjesečni račun za mobilni telefon u gradu je μ = 42 €

Primjer: Proporcija odraslih u gradu koji imaju mobilni telefon je π = 0.68


Nulta hipoteza, H0

Tvrdnja ili pretpostavka koju treba testirati

Primjer: Prosječan broj TV aparata u

gradskom domaćinstvu je ( )

Uvijek je o parametru populacije, nikad o statistici uzorka

3μ:H0

3μ:H0 3X:H0


Nulta hipoteza, H0

Polazi se od pretpostavke da je nulta hipoteza istinita Slično kao u pravu “nevin dok se ne

dokaže da je kriv” Odnosi se na status quo Uvijek sadrži znak “=” , “≤” ili “” Može ali ne mora da bude odbačena

(nastavak)


Alternativna hipoteza, H1

Suprotna nultoj hipotezi npr., Prosječan broj TV aparata u gradskim

domaćinstvima nije jednak 3 ( H1: μ ≠ 3 )

Dovodi u pitanje status quo Nikad ne sadrži znak “=” , “≤” ili “” Može ili ne biti dokazana Obično je to hipoteza koju istraživač

pokušava da dokaže

Basic Business Statistics, 10e © 2006 Prentice-Hall, Inc.

Populacija

Tvrdnja: prosječna starost populacije je 50.(Nulta hipoteza:

Odbaci

Pretpostavimoda je u uzorku

prosječna starost 20: X = 20

Uzoraknultu hipotezu

20 ako je μ = 50?Je li

Proces testiranja hipoteza

Ako ne,

Odabira se slučajni uzorak

H0: μ = 50 )

X


Distribucija iz uzoraka za X

μ = 50Ako je H0

tačnoAko nije vjerovatno da ćemo dobiti ovu vrijednost prosjeka u uzorku ...

... onda odbacujemo nultu hipotezu da je μ = 50.

Razlog za odbacivanje H0

20

... ako je u stvari ovo sredina za populaciju…

X


Nivo značajnosti,

Definiše malo vjerovatne vrijednosti statistike testa ako je nulta hipoteza tačna Definiše oblast odbacivanja nulte hipoteze

Označava se sa , (nivo signifikantnosti) Tipično ima vrijednosti 0.01, 0.05, ili 0.10

Određuje ga istraživač na početku

Daje kritičnu vrijednost za test


Nivo signifikantnosti i oblast odbacivanja H0

H0: μ ≥ 3

H1: μ < 30

H0: μ ≤ 3

H1: μ > 3

Reprezentuje kritičnu vrijednost

Jednosmjerni lijevi test

Nivo signifikantnosti =

0Jednosmjerni

desni test

Dvostrani test

Oblast odbacivanja je osjenčena

/2

0

/2H0: μ = 3

H1: μ ≠ 3


Greške u odlučivanju o H0

Greška I tipa Odbaciti istinitu (tačnu) nultu hipotezu Predstavlja ozbiljan tip greške

Vjerovatnoća greške I tipa je

Naziva se nivo signifikantnosti (značajnosti) testa Istraživač unaprijed određuje


Greške u odlučivanju o H0

Greška II tipa Ne odbacuje se netačna nulta hipoteza

Vjerovatnoća greške II tipa je β

(nastavak)


Ishodi i vjerovatnoće

Stvarna situacija

Odluka

Neodbacujemo

H0

Pravilna odluka (1 - )

Greška II tipa ( β )

Odbacujemo

H0

Greška I tipa( )

Mogući ishodi testiranja hipoteze

H0 Netačna H0 Tačna

Ishodi (Vjerovatnoća)

Pravilna odluka( 1 - β )


Relacije između greške I & II tipa

Greška I i greška II tipa ne mogu se dogoditi u isto vrijeme

Greška I tipa može se desiti samo ako je H0 tačna (istinita)

Greška II tipa može se desiti samo ako je H0 netačna (neistinita)

Ako vjerovatnoća greške I tipa ( ) , onda

vjerovatnoća greške II tipa ( β )


Faktori koji utiču na grešku II tipa

Ako je sve ostalo isto, β kada se razlika između vrijednosti

parametra u hipotezi i njegove prave vrijednosti

β kada

β kada σ

β kada n


Testiranje hipoteza o ar. sredini

poznata nije poznata

Testiranje hipoteza o

(Z test) (t test)


Z test - testiranje hipoteza o ar. sredini (σ poznata)

Pretvori statistiku uzorka ( ) u Z test statistiku X

Test statistika je:

n

σμX

Z

σ Known σ Unknown

Testiranje hipoteze o

poznata nije poznata(Z test) (t test)


Kritična vrijednost u testiranju

Za dvosmjerni test o aritmetičkoj sredini kad je σ poznata:

Pretvori statistiku iz uzorka ( ) u statistiku testa (Z statistika)

Odredi kritičnu Z vrijednost za željeni nivo značajnosti (iz tablica ili pomoću kompjutera)

Pravilo za odluku: Ako statistika testa pada u oblast odbacivanja, odbaci H0; u ostalim

slučajevima ne odbacuj H0

X


Ne odbacuj H0 Odbaci H0Odbaci H0

Dvije (kritične vrijednosti), definišu oblasti odbacivanja

Dvosmjerni testovi

/2

-Z 0

H0: μ = 3

H1: μ

3

+Z

/2

Donja kritična vrijednost

Gornja kritična vrijednost

3

Z

X


6 koraka u testiranju hipoteza

1. Formulisanje nulte hipoteze, H0 i alternativne hipoteze, H1

2. Izbor nivoa značajnosti, , i veličine uzorka, n

3. Determinisanje odgovarajuće statistike testa i njenog rasporeda vjerovatnoće

4. Određivanje kritičnih vrijednosti koje razdvajaju oblasti odbacivanja i ne-odbacivanja H0


6 koraka u testiranju hipoteza

5. Prikupljanje podataka (kreiranje uzorka) i izračunavanje vrijednosti statistike testa

6. Statistička odluka i zaključak o nultoj hipotezi. Ako statistika testa pada u oblast ne-odbacivanja, ne odbacuje se H0. Ako statistika testa pada u oblast odbacivanja, odbacuje se H0.

(nastavak)


Testiranje hipoteza - primjer

Testiraj tvrdnju da je pravi prosječan # TV aparata u gradskim domaćinstvima

jednak 3.

(Pretpostavimo da je σ = 0.8)1. Formuliši odgovarajuću nultu i alternativnu

hipotezu H0: μ = 3 H1: μ ≠ 3 (Ovo je dvosmjerni test)

2. Specificiraj željeni nivo značajnosti i veličinu uzorka Neka je = 0.05 i n = 100


2.0.08

.16

100

0.832.84

n

σμX

Z

Testiranje hipoteza - primjer

3. Odredi odgovarajući tip testa σ je poznata pa se koristi Z test.

4. Odredi kritične vrijednosti Za = 0.05 kritične Z vrijednsoti su ±1.96

5. Prikupi podatke i izračunaj statistiku testa Pretpostavimo da su iz uzorka dobijeni rezultati

n = 100, X = 2.84 (σ = 0.8 je već poznata)

Dakle vrijednost statistike testa je:

(nastavak)


Odbaci H0 Ne odbacuj H0

6. Da li je statistika testa u oblasti odbacivanja?

= 0.05/2

-Z= -1.96 0Odbaci H0 ako je Z < -1.96 ili

Z > 1.96; inače ne odbacuj H0

Testiranje hipoteza - primjer(nastavak)

= 0.05/2

Odbaci H0

+Z= +1.96

U primjeru, Z = -2.0 < -1.96, pa je statistika testa u oblasti odbacivanja


6(nastavak). Odluka i interpretacija rezultata

-2.0

Pošto je Z = -2.0 < -1.96, odbacujemo nultu hipotezu i zaključujemo da ima dovoljno dokaza da prosječan broj TV aparat u gradskim domaćinstvima nije jednak 3

Testiranje hipoteza - primjer(nastavak)

Odbaci H0 Ne odbacuj H0

= 0.05/2

-Z= -1.96 0

= 0.05/2

Odbaci H0

+Z= +1.96


p-vrijednost

p-vrijednosti: Vjerovatnoća da će se realizovati vrijednost statistike testa koja se upravo javila u uzorku, ili neka od vrijednosti koja je još ređa kada je H0 istinita

Naziva se i realizovani nivo značajnosti

Najmanja vrijednost za koju se H0 može

odbaciti


p-vrijednost

Pretvori statistiku uzorka (npr., ) u statistiku testa (npr., Z statistiku )

Dobij p-vrijednost iz tablice ili kompjutera

Uporedi p-vrijednost sa

Ako je p-vrijednost < ,odbaci H0

Ako je p-vrijednost ,ne odbacuj H0

X

(nastavak)


0.0228

/2 = 0.025

p-vrijednost - primjer

Primjer: Koliko je vjerovatno da će aritmetička sredina uzorka biti 2.84 ako je prava sredina = 3.0?

-1.96 0

-2.0

0.02282.0)P(Z

0.02282.0)P(Z

Z1.96

2.0

X = 2.84 se preračuna u Z vrijednost Z = -2.0

p-vrijednost

= 0.0228 + 0.0228 = 0.0456

0.0228

/2 = 0.025


Uporedi p-vrijednost sa Ako je p-vrijednost < , odbaci H0

Ako je p-vrijednost ,ne odbacuj H0

Ovdje: p-value=0.0456 = 0.05

Pošto je 0.0456 < 0.05, odbacujemo nultu hipotezu

(nastavak)

p-vrijednosti - primjer

0.0228

/2 = 0.025

-1.96 0

-2.0

Z1.96

2.0

0.0228

/2 = 0.025


Veza sa intervalima povjerenja

Za X = 2.84, σ = 0.8 i n = 100, interval povjerenja sa 95% pouzdanosti je:

2.6832 ≤ μ ≤ 2.9968

Pošto ovaj interval ne sadrži vrijednost aritmetičke sredine koja se testira (3.0), odbacujemo nultu hipotezu sa = 0.05

100

0.8 (1.96) 2.84 do

100

0.8 (1.96) - 2.84


Jednosmjerni testovi

U mnogim slučajevima, alternativna hipoteza se odnosi na određeni smjer

H0: μ ≥ 3

H1: μ < 3

H0: μ ≤ 3

H1: μ > 3

Ovo je lijevi-jednosmjerni test pošto je alternativna hipoteza fokusirana na dio rasporeda gdje su vrijednosti manje od aritmetičke sredine=3

Ovo je desni-jednosmjerni test pošto je alternativna hipoteza fokusiranja na desni dio rasporeda gdje su vrijednosti veće od prosječne vrijednosti=3


Odbaciti H0

Ne može se odbaciti H0

Jedna kritična

vrijednost, pošto je

oblast odbijanja

samo u jednom

“repu”

Lijevi jednosmjerni test

-Z 0

μ

H0: μ ≥ 3

H1: μ < 3

Z

X

Kritična vrijednost


Odbaciti H0


Desni jednosmjerni test

Zα0

μ

H0: μ ≤ 3

H1: μ > 3

Jedna kritična

vrijednost, pošto je

oblast odbijanja

samo u jednom

“repu”

Kritična vrijednost

Z

X_


Primjer: jednosmjerni Z test za ar. sredinu ( poznata)

Menadžer u kompaniji telefona smatra da su mjesečni računi za telefone porasli, i da je njihov prosjek veći od 52 € mjesečno. Kompanija želi da testira tu tvrdnju.

(Pretpostavlja se da je poznata, = 10)

H0: μ ≤ 52 mjesečni prosjek nije veći od 52 €

H1: μ > 52 mjesečni prosjek je veći od 52 €(tj. ima dovoljno dokaza koji potvrđuju menadžerovu tvrdnju)

Testira se hipoteza:


Odbaciti H0


Neka je = 0.10 određeno za test

Nađi oblast odbacivanja:

= 0.10

1.280

Odbaci H0

Odbaciti H0 ako je

Z > 1.28

Primjer: oblast odbacivanja(nastavak)


Primjer:Kritična vrijednost

Z .07 .09

1.1 .8790 .8810 .8830

1.2 .8980 .9015

1.3 .9147 .9162 .9177z 0 1.28

.08

Tablica standardizovane normalne distribucije (dio)

Koliko je Z ako je = 0.10?

= 0.10

Kritična vrijednost = 1.28

0.90

.8997

0.10

0.90

(nastavak)


Odabrati uzorak i izračunati statistiku testa

Pretpostavimo da je iz uzorka dobijeno: n = 64, X = 53.1 (=10 pretpostavlja se da je poznata)

Onda je statistika testa:

0.88

64

105253.1

n

σμX

Z

Primjer: statistika testa(nastavak)


Odbaciti H0


Primjer: odluka

= 0.10

1.280

Odbaciti H0

Ne može se odbaciti H0 pošto je Z = 0.88 ≤ 1.28

tj.: nema dovoljno dokaza da je prosječni mjesečni račun za telefon veći od 52€

Z = 0.88

Donesi odluku i interpretiraj rezultat:(nastavak)


Odbaci H0

= 0.10


1.28

0

Odbaci H0

Z = 0.88

Nađi p-vrijednost i uporedi sa (pretpostavljajući da je μ = 52.0)

(nastavak)

0.1894

0.810610.88)P(Z

6410/

52.053.1ZP

53.1)XP(

p-vrijednost = 0.1894

Primjer: p -vrijednost

Ne može se odbaciti H0 pošto je p-vrijednost = 0.1894 > = 0.10


t test za hipotezu o ar. sredini (σ nepoznata)

Pretvori statistiku uzorka ( ) u t statistiku testa

X

Statistika testa je:

n

SμX

t 1-n

Testiranje hipoteza o

σ Known σ Unknown poznata nepoznata(Z test) (t test)


Primjer: dvostrani test( nepoznata)

Smatra se da je prosječna cijena hotelske sobe na noć u New York-u 168 €. Iz slučajnog uzorka od 25 hotela izračunato je X = 172.50 € i S = 15.40 €. Testiraj ovu tvrdnju uz = 0.05.(Pretpostaviti da populacija ima normalnu distribuciju) H0: μ=

168 H1:

μ 168


= 0.05

n = 25

nije poznata, pa se koristi t statistika

Kritična vrijednost:

t24 = ± 2.0639

Primjer: dvostrani test( nepoznata)

Ne može se odbaciti H0: nema dovoljno dokaza da je prava prosječna cijena različita od

168 €

Odbaciti H0

Odbaciti H0

/2=.025

-t n-1,α/2


/2=.025

-2.0639 2.0639

1.46

25

15.40168172.50

n

SμX

t 1n

1.46

H0: μ=

168 H1:

μ 168t n-1,α/2


Veza sa intervalima povjerenja

Za X = 172.5, S = 15.40 i n = 25, 95% interval povjerenja je:

172.5 - (2.0639) 15.4/ 25 do 172.5 + (2.0639) 15.4/ 25

166.14 ≤ μ ≤ 178.86

Pošto ovaj interval sadrži prosječnu vrijednost iz hipoteze (168), ne može se odbaciti nulta hipoteza sa = 0.05


Testiranje hipoteza o proporciji

Dva moguća ishoda “Uspjeh” (posjeduje određenu karakteristiku)

“Neuspjeh” (ne posjeduje tu karakteristiku)

Frakcija ili proporcija populacije koja je “uspjeh” označava se sa π


Proporcije

Proporcija iz uzorka je p

Kada je i nπ i n(1-π) makar 5, p se može aproksimirati normalnom distribucijom sa ar. sredinom i standardnom devijacijom

uzorka velicina

uzorkuu uspjeha broj

n

Xp

pμn

)(1σ

p

(nastavak)


Pošto se uzoračka distribucija p aproksimira normalnoj, statistika testa je Z vrijednost:

Testiranje hipoteza o proporciji

n)(1

pZ

ππ

π

nπ 5i

n(1-π) 5

Testiranje

hipoteza o p

nπ < 5ili

n(1-π) < 5


Z vrijednost iskazana preko X:

Z test za proporciju

)(1n

nXZ

X 5i n-X 5

Testiranje hipoteza o p

X < 5ili

n-X < 5


Primjer: Z test za proporciju

Marketinška kompanija tvrdi da prima 8% odgovora na upitnike poslane poštom. Za testiranje ove tvrdnje, slučajni uzorak od 500 upitnika je odabran sa 25 odgovora. Testirati sa nivoom signifikantnosti = 0.05.

Provjeriti:

n π = (500)(.08) = 40

n(1-π) = (500)(.92) = 460


Primjer: Z test za proporciju

= 0.05

n = 500, p = 0.05

odbaciti H0 sa = 0.05

H0: π = 0.08

H1: π

0.08

Kritična vrijednost: ± 1.96

Statistika testa:

Odluka:

Zaključak:

z0

Odbaciti Odbaciti

.025.025

1.96

-2.47

Ima dovoljno dokaza da se odbaci tvrdnja kompanije da je stopa odgovora 8%.

2.47

500.08).08(1

.08.05

n)(1

pZ

-1.96


Ne može se odbaciti H0 Odbaciti H0Odbaciti H0

/2 = .025

1.960

Z = -2.47

Kalkulisati p-vrijednost i uporediti sa (Za dvostrani test p-vrijednost je uvijek u dva repa)

(nastavak)

0.01362(0.0068)

2.47)P(Z2.47)P(Z

p-vrijednost =0.0136:

p-vrijednost

Odbacuje se H0 pošto je p-vrijednost = 0.0136 < = 0.05

Z = 2.47

-1.96

/2 = .025

0.00680.0068


Odbaciti H0: μ 52

Ne može se odbaciti

H0 : μ 52N

Moć testa Moć testa je vjerovatnoća ispravnog

odbacivanja netačne H0

5250

Pretpostavimo da se ispravno odbaci H0: μ 52

kada je u stvari prava sredina μ = 50

Moć = 1-β


Odbaciti H0: 52


H0 : 52

Greška II tipa

Pretpostavimo da nijesmo odbacili H0: 52 kada je u stvari prava sredina = 50

5250

Ovo je prava distribucija x ako je = 50

Ovo je opseg x gdje H0 nije odbačena

Vjerovatnoća greške II tipa = β


Odbaciti H0: μ 52


H0 : μ 52

Greška II tipa

Pretpostavimo da nijesmo odbacili H0: 52 kada je u stvari prava sredina = 50

5250

β

Ovdje, β = P(X krit. vr.) ako je

μ = 50

(nastavak)


Odbaciti H0: μ 52


H0 : μ 52

Neka je n = 64 , σ = 6 , i = .05

5250

β = P( x 50.766 ) ako μ=50

Kalkulisanje β

50.76664

61.64552

n

σZμX

(for H0 : μ 52)

50.766


Odbaciti H0: μ 52


H0 : μ 52

0.15390.84611.01.02)P(z

646

5050.766zP50)μ|50.766xP(

Neka je n = 64 , σ = 6 , i = 0.05

5250

Kalkulisanje β i moć testa(nastavak)

Vjerovatnoća greške II tipa:

β = 0.1539

Moć = 1 - β = 0.8461

50.766Vjerovatnoća ispravnog odbacivanja neistinite nulte hipoteze je 0.8641


Moć testa

Zaključci koji se odnose na moć testa:

1. Jednostrani test ima veću moć od dvostranog testa

2. Povećanje nivoa signifikantnosti () rezultira povećanjem moći testa

3. Povećanje veličine uzorka rezultira povećanjem moći testa


Etička pitanja

Koristiti slučajno prikupljene podatke da bi se smanjila pristrasnost

Odabrati nivo značajnosti, α, i tip testa (jednostrani ili dvostrani) prije prikupljanja podataka

Ne sprovodite “čišćenje podataka” tradi skrivanja opservacija koje ne potvrđuju hipoteze

Prikaži sve nalaze


Rezime

Metodologija statističkog testiranja hipoteza

Z test o aritmetičkoj sredini (σ poznata)

Testiranje hipoteza na osnovu kritične vrijednosti i p–vrijednosti

Jednostrani i dvostrani testovi


Rezime

t test za aritmetičku sredinu (σ nije poznata)

Z test za proporciju

Vjerovatnoća greške II tipa i moć testa

Etička pitanja

(nastavak)

Download - Statistika-Testiranje hipoteza

Top Related