Transcript
Page 1: Soal Latihan & Kunci Jawaban

Barisan,Deret dan Notasi Sigma

A.Pilihan Ganda

1.Bilangan 237 pada barisan 3,12,21 ,...

Merupakan suku ke....

a. 20

b. 23

c. 25

d. 27

e. 29

2.∑n=1

5

(2n−1 ) xn , penjumlahan beruntunnya adalah...

a. 2 x+4 x2+6 x3+8x4+10x5

b. x+3 x2+5 x3+7 x4+9 x5

c. 3 x+5x2+7 x3+9 x4+11 x5

d. 2 x2+4 x3+6 x4+8 x5+10x6

e. 1+2 x+3 x2+5 x3+7 x4

3.Suku ke-n suatu deret geometri un=4n . Jumlah n suku pertama deret geometri

tersebut...

a. 4 (1−4n )

b.34

(1−4n)

c. 4 (4n−1 )

d.34

(4n−1 )

e.43

(4n−1 )

Asesmen Pembelajaran Matematika Page 1

Page 2: Soal Latihan & Kunci Jawaban

Barisan,Deret dan Notasi Sigma

4.Jika u , v ,w membentuk barisan gometri maka hubungan berikut yang benar...

a. v2=uv

b. u2=vw

c. w2=uv

d. v=u2w

e. u=v2w

5.∑n=1

5 n (n+1 ) (n+2 )3

=¿....

a. 100

b. 110

c. 120

d. 130

e. 140

6.Jumlah n bilangan asli ganjl yang pertama adalah...

a. n

b. n2

c. 2n2

d. n2−n

e. 12n2+1

7.Dari suatu barisan aritmetika,suku ketiga 36.Jumlah suku kelima dan ketujuh

144.Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut...

Asesmen Pembelajaran Matematika Page 2

Page 3: Soal Latihan & Kunci Jawaban

Barisan,Deret dan Notasi Sigma

a. 840

b. 660

c. 640

d. 630

e. 315

8.Nilai x yang memenuhi persamaan ∑k +1

5k

x2=1=3 adalah...

a. −1atau1

b. −2atau2

c. −3atau 3

d. −4atau 4

e. −5atau5

9.Rumus suku ke-n suatu deret geometri adalah n−n.Jumlah tak hingga deret tersebut...

a.13

b.12

c.23

d. 1

e.32

10.Diketahui (x2+ y2 ) merupakan suku pertama suatu deret aritmetika dan ( x+ y )2

merupakan suku keduanya,beda deret aritmetika tersebut...

a. 2 xy

b. x2 y

Asesmen Pembelajaran Matematika Page 3

Page 4: Soal Latihan & Kunci Jawaban

Barisan,Deret dan Notasi Sigma

c. x+ y

d. x y2

e. x− y

11.Dari suatu deret geometri,U 1+U 2=5 dan jumlah deret tak hingganya 9.Rasio positif

deret tersebut...

a.78

b.56

c.23

d.13

e.12

12.Suatu barisan geometri diketahui U 4=83

dan U 3+U 5=203

. suku pertama barisan

tersebut...

a.23

b.43

c.163

d.323

Asesmen Pembelajaran Matematika Page 4

Page 5: Soal Latihan & Kunci Jawaban

Barisan,Deret dan Notasi Sigma

e.643

13.Suatu deret geometri mempunyai suku pertama p−2 dan suku kedua p2x .Jika suku

kesepuluh p88 maka nilai x=¿...

a.14

b.12

c. 1

d. 2

e. 4

14.Notasi sigma 9∑k=1

n

k 2−6∑k=1

n

k+n , sama dengan...

a. ∑k=1

n

(3 k+1 )2

b. ∑k=1

n

(3 k−3 )2

c. ∑k=1

n

(3 k−1 )2

d. ∑k=1

n

(k−1 )2

e. ∑k=1

n

(k−3 )2

15.Bentuk notasi ∑k=2

101k−∑

k=1

81

k+2 bernilai...

Asesmen Pembelajaran Matematika Page 5

Page 6: Soal Latihan & Kunci Jawaban

Barisan,Deret dan Notasi Sigma

a.12k

b.1

k+1

c.14

d.12

e. 0

B.Benar – Salah

Pilihlah jawaban B jika Benar dan S jika Salah pada pernyataan di bawah ini!

16. B – S : Suatu barisan bilangan U 1 ,U 2 ,U 3 ,… dinamakan barisan aritmetika

jika diantara dua suku yang berurutan mempunyai selisih yang

konstan (tetap).

17. B – S: Rumus suku ke-n barisan geometri adalah Sn−Sn−1=U n

18. B – S : Rumus suku ke- n barisan aritmetika adalah U n=a+(n−1 )b

19. B – S : Rumus jumlah n suku pertama deret gepmetri tak hingga adalah

U n=arn−1

Asesmen Pembelajaran Matematika Page 6

Page 7: Soal Latihan & Kunci Jawaban

Barisan,Deret dan Notasi Sigma

20. B – S : Notasi sigma yang dilambangkan dengan “Σ” merupakan huruf

Yunani yang artinya jumlah dan diperkenalkan oleh ahli

Matematika Yunani Diophantus.

21. B – S : Barisan bilangan aritmetika terdiri atas 21 suku .suku tengah

barisan tersebut 52,sedangkan U 3+U 5+U 15=106.maka suku ke-7

barisan tersebut adalah 35.

22. B – S : Jumlah suatu deret gometri tak hingga 6 dan jumlah dari suku-suku

bernomor ganjil adalah 4.maka suku ke-6 deret tersebut adalah

332

.

23. B – S : Rumus suku tengah barisan geometri jika n ganjil adalah

U n=Sn−Sn−1

24. B – S : Induksi Matematika merupakan salah satu cara pembuktian dalam

.

25. B – S : Suatu barisan geometri diketahui suku keempat dan keenam

berturut-turut −54 dan −486.Rasio dari barisan geometri tersebut

adalah 2.

26. B – S : Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan oleh

Sn=n2

(5n−19 ).beda deret tersebut adalah 5.

27. B – S : Suku tengah barisan 19,15,11 ,…,−21 merupakan suku ke-5

28. B – S : Suatu deret aritmetika,diketahui suku ke-3 adalah 18 dan jumlah

suku ke-5 dan ke-8 adalah 29.suku ke-31 sama dengan −10.

29. B – S : Deret geometri tak hingga yang mempunyai limit jumlah disebut

divergen.

30. B – S: Di antara bilangan-bilangan 4 dan 28 disisipkan 5 bilangan

sehingga bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang

disisipkan membentuk barisan aritmetika.beda barisan aritmetika

tersebut adalah 4.

Asesmen Pembelajaran Matematika Page 7

Page 8: Soal Latihan & Kunci Jawaban

Barisan,Deret dan Notasi Sigma

C.Mencocokkan

31. Deret geometri tak hingga yang mempunyai

limit jumlah

a. Deret Geometri

Tak Hingga

32. Cara singkat menuliskan penjumlahan beruntun

suku-suku barisan bilangan yang mempunyai

pola tertentu

b. Rumus jumlah n

suku pertama

deret geometri

33. Seorang ahli Paradoks Yunani,yaitu pernyataan

yang menurut perhitungan secara logika benar

tetapi bertentangan dengan akal sehat,tertarik

pada masalah ketakterhinggaan

c. Syarat geometri

konvergen

34.Sn=

a (1−rn )1−r

atau Sn=a ( rn−1 )r−1

d. Barisan geometri

35. Penjumlahan berurut suku-suku suatu barisan

aritmetika

e. Zenon

36. Perbandingan dua suku yang berurutan selalu

sama

f. Induksi

Matematika

37. −1<r<1atau∨r∨¿1 g. Deret konvergen

38 Digunakan untuk membuktikan kebenaran

sifat,dalil,rumus atau teorema dalam

Matematika

h. Sifat-sifat notasi

sigma

39. Deret geometri yang jumlah sukunya tak

berhingga

i. Deret Aritmrtika

40.∑k=1

n

(ak+bk )2=∑k=1

n

ak2+2∑

k=1

n

ak bk+∑k=1

n

bk2j. Notasi sigma

Asesmen Pembelajaran Matematika Page 8

Page 9: Soal Latihan & Kunci Jawaban

Barisan,Deret dan Notasi Sigma

D.Isian

41.Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika adalah Sn=2n2−10n.tentukan

nilai dari U 5+U 6+U 7+U 8…

42.Tentukan tiga suku pertama barisan geometri U s=181

;r=13

jika diketahui u dan

r...

43.Jumlah tak hingga deret x+1+1x+ 1x2

+… adalah 9 x ,maka nilai x=…

44.Jika U n adalah suku ke-n dari suatu barisan geometri maka U p+2×U 5 p+4

adalah....

45.Tentukan rumus suku ke-n setiap barisan geometri berikut.

a. 7,14,28 ,…

b. 1 ;1,2;1,44 ;…

46.Diketahui ∑k=5

20

Xk=4. nilai ∑k=5

20

(2+Xk )

47.Diberikan suatu deret geometri tak hingga dengan suku pertama −3 dan jumlahnya −6.maka rasionya adalah...

48.Jika Sn jumlah n suku suatu deret geometri yang rasionya r maka S4n2S2n

adalah...

49.Diketahui suku ke-3 dan ke-6 suatu deret aritmetika berturut-turut 8 dan 17.jumlah 8 suku pertama deret tersebut adalah...

50.Jumlah suku ganjil deret geometri tak hingga 18.jika jumlah tak hingga 24 maka suku pertamanya adalah...

E. Essay

1. Sebuah deret aritmetika terbentuk dari suku-suku yang nilainya positif dengan

a=2 dan U 5 .U 10=200. Hitunglah suku ke-20 dan jumlah 20suku pertama deret tersebut.

2. Seutas tali dipotong menjadi 6 ruas dengan panjang masing-masing potongan itu membentuk barisan geometri.jika potongan tali yang paling pendek 3cm dan potongan tali yang paling panjang 96 cm,tentukan panjang tali sebelum dipotong.

3. Banyaknya suku suatu deret aritmetika 12 dengan suku terakhirnya 200.jika jumlah semua sukunya 30maka suku pertamanya adalah..

Asesmen Pembelajaran Matematika Page 9

Page 10: Soal Latihan & Kunci Jawaban

Barisan,Deret dan Notasi Sigma

4. Jika Sn merupakan jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika,buktikan bahwa :

Sn+3 Sn+3 Sn−1−Sn=0

5. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika dirumuskan Sn=4n2−3n .suku

ke−2 deret aritmetika itu adalah..

Kunci Jawaban

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban : dPenyelesaian

a=3 b=12−3=9U n=273

U n=a+(n−1 )b⟹237=3+ (n−1 )9⟹237=3+9n−9⟹237=9n−6 ⟺243=9n

n=2439

=27

Jadi,237 padabarisantersebut merupakansuku ke−27 .

2. Jawaban : bPenyelesaian

∑n=1

5

(2n−1 ) xn=(2×1−1 ) x1+(2×2−1 ) x2+(2××3 ) x3+(2×4−1 ) x4+(2×5 ) x5=x+3x2+5 x3+7x 4+9 x5

3. Jawaban : e Penyelesaian

U n=4n

a=U 1=41=4

U 2=42=16

Asesmen Pembelajaran Matematika Page 10

Page 11: Soal Latihan & Kunci Jawaban

Barisan,Deret dan Notasi Sigma

r=U 2

U 1

=164

=4

Sn=a ( rn−1 )

(r−1 )

¿4 (4n−1 )4−1

¿ 43

(4n−1 )

4. Jawaban : aPenyelesaian

u , v ,wmerupakanbarisan geometrimakaberlaku :r=U n/U (n−1)

Sehinggar=v /u=w /v ⇔v2=uw

5. Jawaban : ePenyelesaian

Untuk n=1⟹1 (1+1 ) (1+2 )

3=2

Untuk n=2⟹2 (2+1 ) (2+2 )

3=8

Untuk n=3⟹3 (3+1 ) (3+2 )

3=20

Untuk n=4⟹4 (4+1 ) (4+2 )

3=4 0

Untuk n=5⟹5 (5+1 ) (5+2 )

3=7 0

Jadi, diperoleh :

∑n=1

5 n (n+1 ) (n+2 )3

=¿2+8+20+40+70=14 0¿

6. Jawaban : bPenyelesaian

Asesmen Pembelajaran Matematika Page 11

Page 12: Soal Latihan & Kunci Jawaban

Barisan,Deret dan Notasi Sigma

a=1danb=3−1=2

Sn=n2

(2a+(n−1 )b )

¿ n2

(2×1+(n−1 )×2 )

¿ n2

(2+2n−2 )

¿n+n2−n ¿n2

7. Jawaban : bPenyelesaian Deret aritmetik a

U 3=36⟹a+2b=36……… ( i)U 5+U 7=144⟹a+4b+a+6b=14 4 ⟺2a+10b=14 4a+5b=72………( ii)

Eliminasi adari ( i )dan ( ii ) :

a+2b=36a+5b=72

−3b=−36⟺b=12−¿

Subtitusi b=12ke persamaan (i )diperoleh:

a+2×12=36⟺a=12

Jumlahsepuluh suku pert amaderet :

S10=102

(2a+19b )=5 (2×12+9×12 )

¿5×132=660

8. Jawaban : bPenyelesaian

Asesmen Pembelajaran Matematika Page 12

Page 13: Soal Latihan & Kunci Jawaban

Barisan,Deret dan Notasi Sigma

∑k=1

5k

x2+1=3

⟺ 1x2+1

∑k=1

5

k=3

⟺ 1

x2(1+2+3+4+5 )=3

⟺ 15

x2+1=3

⟺3 (x2+1 )=15⟺ x2+1=5⟺ x2−4=0⟺ ( x+2 ) (x−2 )=0⟺ x=−2atau x=2

9. Jawaban : bPenyelesaian

U n=3−n

a=U 1=3−1=1

3

U 2=3−2=1

9

r=U 2

U 1

¿

1913

=13

S∞=a1−r

¿

13

1−13

=

1323

=12

jadi , jumlahtak hingga deret tersebut adalah12.

10.Jawaban : aPenyelesaian

Asesmen Pembelajaran Matematika Page 13

Page 14: Soal Latihan & Kunci Jawaban

Barisan,Deret dan Notasi Sigma

b=U 2−U 1

¿ ( x+ y )2−(x2+ y2 )¿ (x2+2xy+ y2)−(x2+ y2 )¿ x2+2xy+ y2−x2− y2

¿2 x y

11.Jawaban : cPenyelesaian U 1+U 2=5⟺a+ar=5⟺a (1+r )=5

⟺a= 51+r

S∞=9⟹9=

51+r1−r

⟺9= 5(1+r ) (1−r )

9= 5

1−r2

⟺9−9 r2=5⟺9 r2=4

⟺ r2=49⟺ r=2

3

12.Jawaban : ePenyelesaian

barisan geometriU 4=83danU 3+U 5=

203

U3+U5

U4

=

20383

⟺ ar2+ar 4

ar3=208

⟺ 1+r2

r=52

⟺2+2 r2=5 r⟺2 r2−5 r+2=0⟺ (2 r−1 ) (r−2 )=0

Asesmen Pembelajaran Matematika Page 14

Page 15: Soal Latihan & Kunci Jawaban

Barisan,Deret dan Notasi Sigma

⟺ r=12ataur=2

untuk r=12,mak a

U 4=a (12 )3

⟺ 18a=83

⟺a=643

untuk r=2 ,mak a

U 4=a .23makaU 4=a .23⟺8a=83

⟺a=13

jadi suku pertamabarisan tersebut643

atau13.

13.Jawaban : ePenyelesaaian

U 1=p−2

U 2=p2x

r=U 2

U 1

= p2 x

p−2=p2x +2

U 10=p88

U 1 r9=p88

⟺ p88=p−2 ( p2 x+2 )9

⟺ p88=p−2 . p18 x+8

⟺ p88=p18 x+16

⟺88=18x+16⟺18 x=72⟺ x=4

Asesmen Pembelajaran Matematika Page 15

Page 16: Soal Latihan & Kunci Jawaban

Barisan,Deret dan Notasi Sigma

14.Jawaban :cPenyelesaian

9∑k=1

n

k 2−6∑k=1

n

k+n=∑k=1

n

9k2−∑k=1

n

6 k+∑k=1

n

1

¿∑k=1

n

(9k2−6k+1 )

¿∑k=1

n

(3k−1 )2

15.Jawaban : dPenyelesaian

∑k=2

101k−∑

k=1

81

k+2=∑

k=2

101k−∑

k=3

81k

¿( 12 +∑k=3

101k )−∑

k=3

101k

¿ 12+∑

k=3

10

( 1k−1k )

¿ 12

B.Benar – Salah

16.B⟶ (Benar )17.S⟶ (Salah )18.B⟶ (Benar )19.S⟶ (Salah )20.B⟶ (Benar )21.S⟶(salah)22.B⟶ (Benar )23.S⟶(Salah)24.B⟶ (Benar )25.S⟶(Salah)26.B⟶ (Benar )27.S⟶(Salah)28.B⟶ (Benar )

Asesmen Pembelajaran Matematika Page 16

Page 17: Soal Latihan & Kunci Jawaban

Barisan,Deret dan Notasi Sigma

29.S⟶ (Salah )30.B⟶ (Benar )

C. Mencocokkan

31. g. Konvergen32. j. Notasi33. e. Zenon34. b. Rumus jumlah n suku pertama deret geometri35. i. Deret Aritmetika36. d. Barisan Geometri37. c. Syarat geometri konvergen38. f. Induksi Matematika39. a. Deret geometri tak hingga40. h. Sifat notasi sigma

D.Isian

41. Jawaban :

Sn=2n2−10n

S1=2.12−10.1=−8

a=U 1=S1=−8

S2=2.22−10.2=−12

U 2=S2−S1 ¿−12−(−8 )¿−4 b=U 2−U 1

¿−4−(−8 ) ¿4

Asesmen Pembelajaran Matematika Page 17

Page 18: Soal Latihan & Kunci Jawaban

Barisan,Deret dan Notasi Sigma

U 5+U 6+U 7+U 8

¿ (a+4b )+(a+5b )+ (a+6 )+ (a+7b )¿4 a+22b¿4 (−8 )+22.4¿−32+88¿56

42. Jawaban :

U 5=182

⟺a( 13 )4

= 181⟺ 1

81a= 181⟺a=1

U 1=a=1

U 2=ar=13

U 3=ar2=19

jadi , ketigasukutersebut adalah1 ,13, dan

19.

43. Jawaban :

a=x ,r=1x

S∞=a1−r

⟹9 x= x

1−1x

⟹9 x= xx−1x

Asesmen Pembelajaran Matematika Page 18

Page 19: Soal Latihan & Kunci Jawaban

Barisan,Deret dan Notasi Sigma

⟹9 x= x2

x−1⟺9 x2−9 x=x2

⟺8 x2−9 x=0⟺ x (8x−9 )=0

⟺ x=0atau x=98

oleh karena r=1xmaka x ≠0

jadi ,nilai x=98.

44. Jawaban :

U n=arn−1

U p+2=ar p+2−1=ar p+1

U 5 p+4=ar5 p+4−1=ar5 p+3

U p+2 .U 5 p+4=ar p+1 . ar5 p+3

¿a2r6 p+4

¿ (ar 3p+2 )2

¿ (U 3 p+1 )2

45. Jawaban :

a. a=7 ;r=147

=2

U n=72n−1

b. a=1 ;r=1,21

=1,2

U n=1. (1,2 )n−1

¿ (1,2 )n−1

46. Jawaban :

∑k=5

20

(2+Xk )=∑k=5

20

2+∑k=5

20

X k

Asesmen Pembelajaran Matematika Page 19

Page 20: Soal Latihan & Kunci Jawaban

Barisan,Deret dan Notasi Sigma

¿2. (20−5+1 )+4 ¿2.16+4 ¿36

47. Jawaban :a=−3 , S∞=−6

S∞=a1−r

⟹−6= −31−r

−6+6 r=−36 r=6−3

r=12

jadi ,rasioderet tersebut adalah12.

48. Jawaban :

S4n2S2n

=

a (r4n−1)r−1

2a (r2−1)r−1

¿ r 4n−12 ( r2n−1 )

¿(r2n−1 ) (r2n+1 )2 (r2n−1 )

¿ 12

(r2n+1 )

Asesmen Pembelajaran Matematika Page 20

Page 21: Soal Latihan & Kunci Jawaban

Barisan,Deret dan Notasi Sigma

49. Jawaban :

Deret aritmetika

U 3=8⟹a+2b=8U 6=17⟹a+5b=17−3b=−9⟺b=3

−¿

subtitusib=3ke persamaana+2b=8diperoleh:

a+2.3=8⟺a=1

Jumlahdelapan suku pertama :

S8=82

(2a+7b )

¿4 (2..2+7.3 ) ¿4.25¿100

50. Jawaban : S∞=24

Sgenap=24−18 ¿6

r=Sgenap

Sganjil

= 618

=13

S∞=a1−r

⟹24= a

1−13

⟺a=16

jadi suku pertamanyaadalah 16 .

Asesmen Pembelajaran Matematika Page 21

Page 22: Soal Latihan & Kunci Jawaban

Barisan,Deret dan Notasi Sigma

E. Essay

1. U 5 .U 10200⟺ (a+4b ) (a+9b )=200⟺ (2+4 b ) (2+9b )=200⟺4+26b+36b2

⟺36b2+26b−196=0⟺18b2+13b−98=0⟺ (18b+49 ) (b−2 )=0

⟺b=−498

ataub=2

deret aritmetikaterbentuk suku−suku yangnilainya positif makab=2

U n=a+(n−1 )b=2+ (n−1 )2=2n

U 20=202

(a+U 20 )=10 (2+40 )=420

jadi sukuke−20=40dan jumlah20 suku pertamanya420 .

2. Diketahuibarisan geometri ;a , ar , ar2 , ar 3 , ar 4 , ar5dengan a=3danar 5=96.ar5=96⟺3 r5=96⟺ r5=32⟺ r=2

panjangtali sebelum dipotongberarti S6 .

Sn=a ( rn−1 )r−1

⟺Sc=3 (26−1 )2−1

¿3. (64−1 ) ¿3.36 ¿189cm .

jadi , panjangtali sebelum dipotong189cm.

Asesmen Pembelajaran Matematika Page 22

Page 23: Soal Latihan & Kunci Jawaban

Barisan,Deret dan Notasi Sigma

3. Diketahuideret aritmetika dengan: n=12 S12=30U 12=200

S12=122

(a+U 12)

⟺30=6 (a+200 )

⟺ 306

=a+200

⟺5=a+200⟺a=−195

jadi , suku pertamanya−195 .

4. Sn+3−3Sn+2+3 Sn+1−Sn

¿ (Sn+3−Sn )−3 (Sn+2−Sn+1 )¿U n+1+U n+2+U n+3−(U n+2 )¿U n+1+U n+3−2U n+2

¿2U n+2−2U n+2

¿0

jadi ,terbukti bahwaSn+3−3Sn+2+3Sn+1−Sn

5. Sukuke−nsuatu deret aritmetika diperolehdari :U n=Sn−Sn−1

U n=(4 n2−3n )−(4 (n−1 )2 )−3 (n−1 )¿

¿ (4n2−3n )−(4 (n2−2n+1 )−3 (n−1 ) ) ¿ (4n2−3n )−(4n2−8n−4+3n−3 )¿8n−7

U 2n=8.2n−7=16n−7

Asesmen Pembelajaran Matematika Page 23


Top Related