Download - Sistem Persamaan Non Linier

8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .

http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 1/27

7/4/2012 SUGENG2010 1

METODE NUMERIK

JURUSAN TEKNIK SIPILFAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS BRAWIJAYA

Copyright 1996-98 © Dale Carnegie & Associates, Inc.



Kesalahan (ERROR):

Selisih antara

nilai perkiraan dengan

nilai eksak(nilai sesungguhnya)



Jika ã adalah nilai perkiraan (nilai pendekatan)

a adalah nilai eksak

Maka kesalahan atau error adalah :

ε= ã - aatau

ã = a + ε

nilai pendekatan = nilai eksak + kesalahan



sedangkan Kesalahan Relatif (εr )

adalahPerbandingan antara kesalahan terhadap nilai

eksak

εr = eksak nilai

error

a

aa

a

~



Contoh soal :

Pada saat mengukur panjang sebuah

jembatan dan sebuah paku masing-masing 9999cm dan 9cm,jika nilai

eksak masing-masing adalah 10000cm

dan 10cm,hitunglah kesalahan relatif

yang terjadi!



ε jembatan=10000 – 9999 =1cm

εpaku = 10

–

9 = 1 cm

maka :

εr jembatan =

εr paku =

%01.0

10000

1

%1010

1



Soal 2

Berdasarkan deret Maclaurin :

!n

x.........

!3

x

!2

xx1

n32ex =

Hitung e0,5,jika nilai eksak e0,5=1,648721271



Penyelesaian :

Jika kita melakukan pendekatan dengan hanya

menggunakan dua suku pertama maka:

ex=1+xe0,5=1+0,5 = 1,5

9,02%11,64872127

1,511,64872127εr



kar persamaan NonLinear

Pada matematika Rekayasa sering kali kita harus

menentukan akar-akar persamaan sebuah fungsi yangberbentuk f(x)=0,jika dilakukan pendekatan nilai x=smaka f(s)=0 dengan f adalah fungsi yang diberikandan s adalah nilai pendekatan.

Formula yang memberikan nilai-nilai eksak untukmenjawab masalah numerik akan terjadi jika

permasalahan yang ada adalah masalah sederhana.

Pada beberapa kondisi maka diperlukan metode iterasiagar didapatkan hasil pendekatan yang mendekatinilai eksak.

Jadi untuk menentukan nilai x tersebut diatasdilakukan tahap demi tahap mulai darix0,x1,x2,x3,x4……..

Yang perlu dicatat adalah persamaan harus disusunulang menjadi bentuk f(x) = 0



cara yang umum digunakan untuk memecahkan akar-

akar persamaan Non Linier adalah dengan

menggunakan metode :

Newton RaphsonModified Newton Raphson

Bisection

Secant



Bisection MethodAlgoritma penyelesaian:

• Tetapkan nilai awal xn dan x

n+1 dengan syarat

f(xn) x f(xn+1) < 0

• Hitung:

• Hitung harga f(xr ).Jika,

f(xr ) x f(xn) > 0 maka xn = xr

f(xr ) x f(xn) < 0 maka xn+1 = xr

• Hitung kesalahan

2

1 nnr

x x x

1

1

n

nn

x

x x



Contoh:

Carilah nilai x yang memenuhi persamaan tan x = 1/x

dengan metode bisection

Jawab:

Susun ulang persamaan menjadi x tan x – 1 = 0

Sehingga f(x) = x tan x – 1

Dicoba nilai awal : xn = 0,5 f(xn) = -0.72685

xn+1 = 1

f(xn+1) = 0,55741

x r = (0,5 + 1 ) / 2 = 0,75 f(xr ) = -0,3013

Karena f(xn) x f(x

r ) > 0 maka x

n = 0,75

Cek error:

Ulangi langkah di atas sampai error mendekati nol

25,01

75,011

n

nn

x

x x



Newton-Raphson Method

Algoritma penyelesaian:

• Tetapkan nilai awal x = xn

• Hitung:

• Cek kesalahan:

• Jika kesalahan > toleransi, ulangi langkah di atas

sampai dengan kesalahan dalam batas toleransi

)('

)(1

n

nnn

x f

x f x x

1

1

n

nn

x x x



Contoh Soal :

Tentukan besarnya akar positif dari persamaan berikut :

X3 + √3(x2) - 2x =2√3

JAWABAN :

Dengan menggunakan Formula Newton :

)(')( )(

)(

)1(n

n

nn

x f x f x x



f(x)= x3 + √3(x2) – 2x - 2√3 = 0

f’(x)= 3x2 + 2√3(x) - 2

coba x(0) = 1,7

f(x0) = 3,0545

f’(x0)= 12,559

46,1559,12

0545,37,1)('

)()0(

)0(0)1(

x f

x f x x

4,1452,942,046,1

)(')()1(

)1(

1)2(

x f x f x x

coba x(1) = 1,46

f(x1) = 0,42

f’(x1)= 9,452

coba x

(2)

= 1,4f(x2) = -0,125

f’(x2)= 8,73

4,173,8

)125,0(4,1)('

)()2(

)2(2)3(

x f

x f x x

karena x(2) = x(3) maka proses iterasi sudah selesai.



Jika dianggap bahwa akar persamaannya adalah x = 1,4, maka

jika disubtitusikan ke dalam persamaan semula :

f(x) = x3 + √3(x2) – 2x - 2√3 = 0f(1,4) = (1,4)3 + √3(1,4)2 – 2(1,4) - 2√3

f(1,4) = - 0,125 ~ 0

Catatan : tingkat ketelitian adalah satu angka di belakang koma



Demikian juga jika akan menyelesaikan dua buah persamaan dengan dua

variabel yang tidak diketahui :

f 1 (x1,x2) = 0f 2 (x1,x2) = 0

Maka dengan cara yang sama Metode Newton dapat ditulis sebagai berikut

1

)(

2

)(

11

)(

2

)(

11)(1

)1(1

),(),(

x

x x f x x f x x

nn

nn

nn

2

)(

2

)1(

12

)(

2

)1(

12)(

2

)1(

2),(

,(

x

x x f x x f x x

nn

nn

nn



2x1 – x2 = -3

x1 – 2x2 = -3

Solusi eksak : x1 = -1

x2= 1

f 1(x1,x2) = 2x1 – x2 + 3

f 2(x1,x2) = x1 – 2x2 + 3

2

32

2

32

2),(

2),(

)(2

)1(1)(

2)1(

2

)(

2

)(

1)(

1)1(

1

2

212

1

211

nnnn

nnnn

x x x x

x x x x

x

x x f

x

x x f



Untuk mencoba awal digunakan :

x1(0) = x2

(0) = 0 dan ω = 1,maka :

x1(1) = -(3/2),x2

(1) = (3/4)

x1(2) = -(9/8),x2

(2) = (15/16)

x1(3) = -(33/32),x2

(3) = (63/64), dst

Sehingga sampai didapat x1(n+1) = x1

(n) = -1

x2(n+1) = x2

(n) = 1 konvergen



Modified Newton-Raphson Method

Untuk sistem persamaan yang panjang,penghitungan nilai turuan yang terus menerus

akan menyebabkan proses hitungan dalamiterasi cukup lama.

Modifikasi metode Newton-Raphson dilakukandengan mengambil nilai turunan pada iterasi

pertama untuk digunakan pada setiap iterasiberikutnya

Misal diambil nilai awal x = x0 mak proses iterasi

menjadi:

)('

)(

0

1 x f

x f x x n

nn



Contoh:


dengan metode modified newton-raphson

Jawab:


Sehingga f(x) = x tan x – 1 dan f’(x) = tan x + x sec 2 x

Dicoba nilai awal : x0 = 1 f(x0) = 0,55741

f’(x0) = 4,98293

Proses iterasi selanjutnya menggunakan persamaan

98293,4

1tan1

nnnn

x x x x



Secant MethodAlgoritma penyelesaian:

• Tetapkan nilai awal xn-1

dan xn

• Hitung:

• Hitung kesalahan:

• Jika ε > toleransi, maka xn = xn+1 dan xn-1 = xn

ulangi langkah di atas sampai dengan akar persamaan x = xn

)()(

))((

1

11

nn

nnnnn

x f x f

x x x f x x

1

1

n

nn

x x x



Contoh:


dengan metode secant

Jawab:


Sehingga f(x) = x tan x – 1

Dicoba nilai awal : xn = 1 dan xn -1 =1,1

Proses iterasi selanjutnya menggunakan persamaan

1tan1tan1tan11

11

nnnn

nnnnnn

x x x x x x x x x x



stop

Download - Sistem Persamaan Non Linier

Top Related