Download - Sistem persamaan-linier

Sistem Persamaan LinierPenulisan Dalam Bentuk Matriks

Eliminasi Gauss

Sistem Persamaan Linier

Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang

tak diketahui.

Bentuk umum:

mnmnm

nn

nn

bxaxa

bxaxabxaxa

11

22121

11111

. . . . . . . . . . .

Sistem ini mengandung m persamaan dengan n unsur yang tak diketahui yaitu x1 ….xn.

Bilangan a11 …..amn disebut koefisien dari sistem itu, yang biasanya merupakan bilangan-bilangan yang diketahui.

Bilangan-bilangan b1 ….bm juga merupakan bilangan-bilangan yang diketahui, bisa bernilai tidak nol maupun bernilai nol

Jika seluruh b bernilai nol maka sistem persamaan tersebut disebut sistem persamaan homogen


Dari sistem persamaan linier diharapkan adanya solusi yaitu satu set nilai dari x1 …xn yang memenuhi sistem persamaan tersebut.

Jika sistem ini homogen, ia mengandung solusi trivial (solusi tak penting) yaitu x1 = 0, …., xn = 0.

Pertanyaan-pertanyaan yang timbul tentang solusi dari sistem persamaan ini adalah:

a). Benar adakah solusi dari sistem ini ?

b). Bagaimanakah cara untuk memperoleh solusi?

c). Kalau sistem ini mempunyai lebih dari satu solusi, bagaimanakah himpunan solusi tersebut?

d). Dalam keadaan bagaimanakah sistem ini tepat mempunyai satu solusi?


Operasi Baris

mnmnm

nn

nn

bxaxa

bxaxabxaxa

11

22121

11111

. . . . . . . . . . .

Pada sistem ini kita dapat melakukan operasi-operasi yang disebut operasi baris sebagai berikut:

a). Ruas kiri dan ruas kanan dari setiap persamaan dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama, tanpa mempengaruhi himpunan sistem persamaan tersebut.

c). Mempertukarkan tempat (urutan) persamaan tidaklah mengganggu himpunan sistem persamaan.

b). Ruas kiri dari setiap persamaan dapat dijumlahkan ke ruas kiri persamaan yang lain asal ruas kanannya juga dijumlahkan. Operasi ini tidak mengganggu keseluruhan sistem persamaan tersebut.

Penulisan Dalam Bentuk Matriks


Sistem persamaan linier dapat dituliskan dalam bentuk matriks dengan memanfaatkan pengertian perkalian matriks. Bentuk itu adalah

mnmnmm

n

n

b

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

2

1

2

1

21

22221

11211

Penulisan Persamaan Linier Dalam Bentuk Matriks

atau secara singkat bAx

mnmnmm

n

n

b

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

2

1

2

1

21

22221

11211

; ; bxA

dengan

Dari cara penulisan tersebut di atas, kita dapat membangun suatu matriks baru yang kita sebut matriks gandengan, yaitu dengan menggandengkan matriks A dengan b menjadi

mmnmm

n

n

baaa

baaabaaa

||||

~

21

222221

111211

A


Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan linier secara lengkap. Operasi-operasi baris pada sistem persamaan linier kita terjemahkan ke dalam matriks gandengan menjadi sebagai berikut

a). Setiap elemen dari baris yang sama dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama.

b). Satu baris boleh dijumlahkan ke baris yang lain.

c). Tempat baris (urutan baris) dapat dipertukarkan.


Setiap operasi baris akan menghasilkan matriks gandengan baru.

Operasi baris dapat kita lakukan lagi pada matriks gandengan baru dan menghasilkan matriks gandengan yang lebih baru lagi dan yang terakhir

inipun setara baris dengan matriks gandengan yang lama.

Matriks gandengan baru ini disebut sebagai setara baris dengan matriks gandengan yang lama.

Dengan singkat kita katakan bahwa operasi baris menghasilkan matriks gandengan yang setara baris dengan matriks gandengan

asalnya.

Hal ini berarti bahwa matriks gandengan baru menyatakan sistem persamaan linier yang sama dengan matriks gandengan asalnya.

Eliminasi Gauss


Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss merupakan langkah-langkah sistematis untuk memecahkan sistem persamaan linier. Karena matriks gandengan merupakan pernyataan lengkap dari suatu sistem persamaan linier, maka eliminasi Gauss cukup dilakukan pada matriks gandengan ini.

Suatu sistem persamaan linier:Contoh:

02348253

0248

DCBA

DCBA

CBA

BA

xxxxxxxx

xxxxx

Kita tuliskan persamaan ini dalam bentuk matriks:

0808

23412531

02410011

D

C

B

A

xxxx


Matriks gandengnya adalah:

0|23418|25310|02418|0011

Langkah-1: Langkah pertama pada eliminasi Gauss pada matriks gandengan adalah mempertahankan baris ke-1 (disebut mengambil baris ke-1 sebagai pivot) dan membuat suku pertama baris-baris berikutnya menjadi bernilai nol.

1) baris (1) baris (

baris1) (pivot

8|23300|25208|02308|0011

Pada matriks yang diberikan ini, langkah pertama ini dilaksanakan dengan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-2, mengurangkan baris ke-1 dari baris ke-3 dan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-4. Hasil operasi ini adalah

0808

23412531

02410011

D

C

B

A

xxxx


Langkah-2: Langkah kedua adalah mengambil baris ke-2 dari matriks gandeng yang baru saja kita peroleh sebagai pivot, dan membuat suku kedua baris-baris berikutnya menjadi nol. Ini kita lakukan dengan mengalikan baris ke-2 dengan 2/3 kemudian menambahkannya ke baris ke-3, dan mengurangkan baris ke-2 dari baris ke-4. Hasil operasi ini adalah

8|23300|25208|02308|0011

2) (-baris2) baris 2/3(

(pivot)

0|21003/16|23/4500

8|02308|0011

1) baris (1) baris (

baris1) (pivot

8|23300|25208|02308|0011


2) (-baris2) baris 2/3(

(pivot)

0|21003/16|23/4500

8|02308|0011

Kalikan baris ke 3 dengan 3 agar diperoleh bilangan bulat

0|21003/16|23/4500

8|02308|0011

0|210016|611008|02308|0011


0|210016|611008|02308|0011

Langkah-3: Langkah ketiga adalah mengambil baris ke-3 sebagai pivot dan membuat suku ke-3 dari baris ke-4 menjadi nol. Ini dapat kita lakukan dengan mengalikan baris ke-4 dengan 11 kemudian menambahkan kepadanya baris ke-3. Hasilnya adalah:

3 baris 11pivot

16|1600016|611008|02308|0011


Matriks gandeng terakhir ini menyatakan bentuk matriks:

161616611

8238

D

DC

CB

BA

xxxxx

xxyang dengan substitusi mundur akan memberikan:

12 ; 4 ; 2 ; 1 ABCD xxxx

Hasil terakhir langkah ketiga adalah:

16|1600016|611008|02308|0011

Matriks terakhir ini menyatakan sistem persamaan linier:

161688

1600061100

02300011

D

C

B

A

xxxx

Sistem Tertentu dan Tidak Tertentu


Sistem-sistem Tertentu Dan Tidak Tertentu

Sistem tertentu adalah sistem yang memberikan tepat satu solusi. Sistem tertentu terjadi jika unsur yang tak diketahui sama banyak dengan persamaannya, dan persamaan-persamaan ini tidak saling bergantungan.

Jika persamaan lebih banyak dari unsur yang tak diketahui, sistem menjadi tertentu berlebihan.

Jika unsur yang tak diketahui lebih banyak dari persamaannya, maka sistem itu menjadi kurang tertentu. Sistem yang kurang tertentu memberikan tidak hanya satu solusi akan tetapi banyak solusi.

Sistem yang kurang tertentu selalu mempunyai solusi (dan banyak) sedangkan sistem tertentu dan tertentu berlebihan bisa memberikan solusi bisa juga tidak memberikan solusi.


Contoh Sistem Persamaan Yang Memberikan Banyak Solusi

823024

8

CB

CBA

BA

xxxxx

xx

Matriks gandeng:

8|2300|2418|011

Eliminasi Gauss:

8|2308|2308|011

0|0008|2308|011

Contoh:


Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan :

00823

8

CB

BAxx

xx

3/)28( CB xx Dari persamaan ke-2 kita mendapatkan

3/)28(8 CA xx yang kemudian memberikan

Karena xC tetap sembarang maka kita mendapatkan banyak solusi. Kita hanya akan memperoleh nilai xA dan xB jika kita menentukan nilai xC lebih dulu

Contoh Sistem Yang Tidak Memberikan Solusi


1023024

8

CB

CBA

BA

xxxxx

xx

Matriks gandeng dan eliminasi Gauss memberikan

10|2300|2418|011

10|2308|2308|011

2|0008|2308|011

Contoh:

Sistem persamaan dari matriks gandeng terakhir ini adalah


20823

8

CB

BAxx

xx

Kita lihat di sini bahwa penerapan eliminasi Gauss pada akhirnya menghasilkan suatu kontradiksi yang dapat kita lihat pada baris

terakhir.

Hal Ini menunjukkan bahwa sistem persamaan yang sedang kita tinjau tidak memberikan solusi.

Bentuk Eselon


Bentuk matriks pada langkah terakhir eliminasi Gauss, disebut bentuk eselon.

000230

011

2|0008|2308|011

dan

Secara umum bentuk eselon matriks gandengan adalah

m

r

rrnrr

n

n

b

bbkk

bccbaaa

|0||0|||0|

1

2222

111211

Dari contoh di atas, bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya adalah

dan sistem yang telah tereduksi pada langkah akhir eliminasi Gauss akan berbentuk

m

r

rnrnrrr

nn

nn

b

bbxkxk

bxaxcbxaxaxa

0

0

1

22222

11212111

dengan 0 , 0 ,0 2211 rrkaa , dan r n


a). Jika dan sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan ini akan memberikan tepat satu solusi.

b). Jika dan sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan ini akan memberikan banyak solusi.

c). Jika ataupun dan tidak sama dengan nol atau mempunyai nilai, maka sistem persamaan ini tidak memberikan solusi.

nr mr bb ,,1

nr mr bb ,,1

nr nr mr bb ,,1

Perhatikan bentuk ini:


Jadi suatu sistem persamaan akan memberikan solusi jika sama dengan nol atau tidak ada.

mr bb ,,1

Pada suatu sistem persamaan yang memberikan solusi, ketunggalan solusi terjadi jika . nr

Nilai r yang dimiliki oleh matriks gandengan ditentukan oleh banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam matriks gandeng. Pengertian

tentang kebebasan linier vektor-vektor kita bahas berikut ini.

nr Jika persamaan akan memberikan banyak solusi.

Bebas Linier Dan Tak-bebas Linier Vektor-Vektor

Bebas Linier Dan Tak-bebas Linier Vektor-vektor


Misalkan maaa , , 21

adalah vektor-vektor baris dari suatu matriks A =[abk].

Kita tinjau suatu persamaan vektor

02211 mmccc aaa

Apabila persamaan vektor ini terpenuhi hanya jika semua koefisien (c1 cm) bernilai nol, maka vektor-vektor baris tersebut adalah

bebas linier.

Jika persamaan vektor tersebut dapat dipenuhi dengan koefisien yang tidak semuanya bernilai nol (artinya setidak-tidaknya ada satu koefisien yang tidak bernilai nol) maka vektor-vektor itu

tidak bebas linier.

Jika satu himpunan vektor terdiri dari vektor-vektor yang bebas linier, maka tak satupun dari vektor-vektor itu dapat dinyatakan dalam

kombinasi linier dari vektor yang lain. Hal ini dapat dimengerti karena dalam persamaan tersebut di atas semua koefisien bernilai nol untuk

dapat dipenuhi.


Vektor a1 misalnya, dapat dinyatakan sebagai

01

21

21 m

mcc

cc aaa

karena koefisien-koefisien ini tidak seluruhnya bernilai nol

Jika vektor-vektor tidak bebas linier maka nilai koefisien pada persamaan tersebut di atas (atau setidak-tidaknya sebagian tidak

bernilai nol) maka satu vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor yang lain.


Contoh: Dua vektor baris 21321 a 26242 a dan

Vektor a1 dan a2 adalah bebas linier karena

026242132 212211 cccc aa

hanya akan terjadi jika 021 cc

Ambil vektor ketiga 42643 a

Vektor a3 dan a1 tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan a3 sebagai

4264213222 13 aa

Vektor a1, a2 dan a3 juga tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan a3 sebagai

42642624 02132 202 213 aaa

Akan tetapi jika kita hanya melihat a3 dan a2 saja, mereka adalah bebas linier.

Rank Matriks

Sistem Persamaan Linier Rank Matriks

Dengan pengertian tentang vektor yang bebas linier, didefinisikan rank matriks. Banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam suatu matriks A = [abk] disebut rank matriks A disingkat rank A. Jika matrik B = 0 maka rank B adalah nol.

Operasi baris pada suatu matriks menghasilkan matriks yang setara baris dengan matriks asalnya. Hal ini berarti pula bahwa rank matriks

baru sama dengan rank matriks asalnya.

Dengan perkataan lain operasi baris tidak mengubah rank matriks. Jadi rank suatu matriks dapat diperoleh melalui operasi baris, yaitu sama dengan rank matriks yang dihasilkan pada langkah terakhir

eliminasi Gauss.

Bentuk eselon matriks yang diperoleh pada langkah terakhir eliminasi Gauss, mengandung vektor-vektor baris yang bebas

linier karena vektor yang tak bebas linier telah tereliminasi.

Bagaimana menentukan rank suatu matriks?


Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang memberikan solusi tunggal dalam contoh, adalah

1600061100

02300011

16|1600016|611008|02308|0011

dan

Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks gandengan, yaitu 4. Selain dari pada itu rank matriks sama dengan

banyaknya unsur yang tak diketahui yaitu 4

Contoh:

Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang memberikan banyak solusi, adalah


Contoh:

000230

011

0|0008|2308|011

dan

Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks gandengan, yaitu 2. Akan tetapi rank matriks ini lebih

kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui.


Contoh:

Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang tidak memberikan solusi, adalah

000230

011

2|0008|2308|011

dan

Dalam kasus ini rank matriks koefisien tidak sama dengan rank matriks gandengan. Rank matriks koefisien adalah 2 sedangkan rank matriks gandengannya adalah 3. Ketidak

samaan rank dari kedua matriks ini menunjukkan tidak adanya solusi.

Apa yang kita amati dalam contoh-contoh di atas ternyata berlaku umum.


c). jika rank matriks koefisien lebih kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui maka akan diperoleh banyak solusi.

a). agar suatu sistem persamaan memberikan solusi maka rank matriks koefisien harus sama dengan rank matriks gandengannya;

b). agar sistem persamaan memberikan solusi tunggal maka rank matriks koefisien harus sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui;

Course Ware


Sudaryatno Sudirham

Download - Sistem persamaan-linier

Top Related