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Tema 3

Introducción a la Síntesis de Dipolos

Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos T3.2

3.1. IntroducciónEn este tema vamos a ver cómo es posible calcular los elementos circuitales de una admitancia Y(s), o de una impedancia Z(s) a partir de su expresión analítica, determinando previamente su realizabilidad.

Hasta ahora, hemos venido analizando circuitos:

En este capítulo: dados Z(s) ó Y(s), deberemos comprobar si es realizable, y después deberemos sintetizar el circuito: disponer cada elemento y determinar su valor.

1/Cs

Ls R

V(s)

I(s)

Z(s)=V(s) / I(s)

L= 1 H

C= 1 F

R= 1 Ω1

1)()()(

11

)()()(

2

2

+++

==

+++

==

sss

sVsIsY

sss

sIsVsZ

11 2

+++

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+

sRCRLssLRC

CsRLs


3.2. Caracterización de las funciones reales positivas3.2.1: Realizabilidad (def)

Una impedancia Z(s) (o una admitancia Y(s)) se dice que es REALIZABLE cuando se puede implementar empleando exclusivamente elementos R, L, y C (con valores todos ellos positivos).

3.2.2: Teorema de Brune (Otto Brune en 1931)

Una impedancia Z(s) (o una admitancia Y(s)) es REALIZABLE mediante elementos R, L, y C (todos positivos) si y solo si Z(s) (o Y(s)) es una FUNCIÓN RACIONAL REAL POSITIVA en ‘s’; es decir, si:

a) Z(s) es función REAL y RACIONAL de ‘s’; es decir, se puede expresar como cociente de dos polinomios de coeficientes reales:

mm

mm

nn

nn

sbsbsbbsasasaa

sDsNsZ

⋅+⋅++⋅+⋅+⋅++⋅+

== −−

−−

1110

1110

......

)()()(


3.2. Caracterización de las funciones reales positivas

b) Si para cualquier valor de ‘s’ con parte real positiva o nula, la parte real de Z(s) también es positiva o nula:

Es decir, cualquier punto en el semiplano cerrado derecho del plano ‘s’ se corresponde con un punto en el semiplano cerrado derecho del plano ‘Z’

0)(Re0Re ≥⇒≥ sZs

σ

jωplano ‘s’

R

jXplano Z


3.2. Caracterización de las funciones reales positivas3.2.3: Condiciones equivalentes

La condición b) anterior es poco práctica, pues para una Z(s) dada es muy difícil asegurar si se cumple o no la condición. Por esta razón, enunciamos ahora condiciones equivalentes más prácticas y fáciles de comprobar:

a’) Idéntica a a)

b’) Para cualquier frecuencia ω , excepto en los polos (similar a condición b)), pero ahora restringida al eje ‘jω’)

0)(Re ≥⇒ ωjZ


3.2. Caracterización de las funciones reales positivas3.2.3: Condiciones equivalentes (sigue)

c’)

c’.1) Todos los polos de Z(s) están en el SEMIPLANO COMPLEJO IZQUIERDO CERRADO (SCIC) (que incluye el eje ‘jω’ )

c’.2) Los polos de Z(s) que están en el eje ‘jω’ son polos simples y con residuos reales y positivos.

Como s=0 y s=∞ caen en el eje ‘jω’ , la condición c’.2) tiene que cumplirse para polos en el origen o en el infinito.


3.2. Caracterización de las funciones reales positivas3.2.3.1: Forma alternativa de comprobar la condición b’)

La condición b’) decía que (excepto en los polos). Supongamos un polinomio P(s), que queremos descomponer en sus términos pares (con potencias de ‘s’ pares) y en sus términos impares (con potencias de ‘s’ impares):

Par: Pp(s) ⇒ 1, s2, s4, s6 … ⇒ (s=jω) ⇒ 1, - ω2, ω4, - ω6 ⇒ reales

⇒ Pp(s) PAR y REAL

Impar: Pi(s) ⇒ s, s3, s5 … ⇒ (s=jω) ⇒ jω, -jω3, jω5 ⇒ imaginarias

⇒ Pi(s) IMPAR e IMAGINARIO

ωω ∀≥ ,0)(Re jZ

)()()(Impar)(Par)( sPsPsPsPsP ip +=+=



De esta forma, tenemos que:

Al reemplazar ‘s’ por ‘jω’ las funciones pares quedan reales y las funciones impares quedan imaginarias, con lo que:

[ ] [ ]22 )()(

)()()()()()()()()()()()(

)()()()(

)()()()(

)()()(

sDsDsDsNsDsNsDsNsDsN

sDsDsDsD

sDsDsNsN

sDsDsNsN

sDsNsZ

ip

ippiiipp

ip

ip

ip

ip

ip

ip

−⋅−⋅+⋅−⋅

=

=−−

⋅++

=++

==

[ ] [ ][ ] [ ]22 )()(

)()()()()()()()()(

ωωωωωωωωωω

ωjDjD

jDjNjDjNjDjNjDjNj

ip

ippiiipp

−

⋅−⋅+⋅−⋅=

R∈ Im

Z

∈R∈

R∈ R∈

Im∈



De forma que:

En el denominador, siempre se cumple que:

por lo que el denominador siempre será positivo

De esta forma, para comprobar que es suficiente con comprobar que:

[ ] [ ]22 )()()()()()(

)(Reωω

ωωωωω

jDjDjDjNjDjN

jZip

iipp

−

⋅−⋅=

[ ] 0)( 2 ≥ωjDp [ ] 0)( 2 ≤ωjDi

0)(Re ≥ωjZ

0)()()()()( 2 ≥⋅−⋅= ωωωωω jDjNjDjNP iipp



Así, de forma general, la condición b’) puede reformularse como:

ωωωωωω ∀≥⋅−⋅= 0)()()()()( 2 jDjNjDjNP iipp(excepto en los polos)


3.2. Caracterización de las funciones reales positivas3.2.3.2: Forma alternativa de comprobar la condición c’)

Dado:

c’)

c’.1) D(s) debe ser polinomio de HURWITZ (estricto o no), y por consiguiente N(s) y D(s) difieren a lo sumo en un grado

c’.2) Si D(s) es Hurwitz, sus ceros en el eje ‘jω’ deben ser simples y con residuos positivos y reales, incluyendo el polo de Z(s) en el ∞, si lo hubiera

)()()(

sDsNsZ =


3.2. Caracterización de las funciones reales positivas3.2.3.3: Polinomios de HURWITZ

Polinomio de Hurwitz: Polinomio que tiene todos sus ceros en el semiplano complejo izquierdo cerrado (SCIC) (incluye el eje ‘jω’ )

Polinomio de Hurwitz estricto: Polinomio que tiene todos sus ceros en el semiplano complejo izquierdo abierto (SCIA) (noincluye el eje ‘jω’ )

Polinomio no-Hurwitz: Polinomio que tiene algún cero fuera del semiplano complejo izquierdo cerrado (SCIC)

H-EH N-H


3.2. Caracterización de las funciones reales positivasCondiciones necesarias (no suficientes) para polinomios

de Hurwitz

Polinomio de Hurwitz estricto:

Todos los coeficientes son positivos

No hay términos ausentes

Polinomio de Hurwitz:

Todos los coeficientes son positivos


3.3. Realizabilidad de Inmitancias LC

En este caso, vamos a considerar dipolos LC, con el objeto de determinar las condiciones para que una impedancia o admitancia de un dipolo LC sea realizable.

Llamaremos F(s) a la inmitancia (impedancia o admitancia) realizable como dipolo LC.

3.3.1. Condiciones de realizabilidad de dipolos LC

F(s) será realizable como dipolo LC si y solo si F(s) es F.R.R.P. IMPAR.



Por consiguiente, se deberán cumplir las siguientes condiciones:

1) Igual que a) y que a’)

2) ; dado que sólo hay elementos LC, la parte real (que se corresponde con la parte resistiva del circuito) debe ser cero.

3) 3.1) Todos los polos han de estar en el eje ‘jω’

3.2) Todos los polos deben ser simples, y con residuos reales y positivos

ωω ∀= 0)(Re jF

⎩⎨⎧

−−=⇒−=−⇒−=−=−=

)()()()()()()()()(

sFsFsFsFjFjXjFjXjF

ωωωωω

reactancia

Función impar en ‘s’



Consecuencias de las condiciones anteriores:

Si : F(s) debe tener un polo o un cero en el origen

Si : F(s) debe tener un polo o un cero en el infinito

Se cumplirá que:

⎩⎨⎧

∞→→

→0

)(,0 sFs

⎩⎨⎧

∞→→

∞→0

)(, sFs

1)()( ±= sDgradosNgrado



3.3.2. Expresión General de F(s)

=⋅⋅+⋅−⋅+⋅−

⋅+⋅−⋅+⋅−⋅= sós

jsjsjsjsjsjsjsjs

HsFpppp

zzzz 1...)()()()(...)()()()(

)(2211

2211

ωωωωωωωω

sósssss

Hpp

zz 1...)()(...)()(

2222

2222

21

21 ⋅⋅+⋅+

⋅+⋅+⋅=

ωωωω

polo en ∞cero en 0

polo en 0cero en ∞

Debe tener un polo o cero en el origen



Descomposición en fracciones simples: SÍNTESIS

Como los residuos tienen que ser reales,

Que resultará ser por fin la expresión que usaremos para sintetizar el dipolo LC

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧++

++

−+

++

−= ∞ s

kóyskjs

kjs

kjs

kjs

ksFpppp

02211 /...)(2211

**

ωωωωpolo en s=∞

polo en s=0*ii kk =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧+

+=

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧++

++

+=

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧++

+

−++=

∞

=

∞

∞

∑ sksk

ssk

sksk

ssk

ssk

sksk

sjskjsk

sF

óy

óy

óy

n

i p

i

pp

p

pp

i

0

122

022

222

1

02211

/

/

/

2

...22

...)()(

)(

21

1

11

ω

ωω

ωωω



Variación de la reactancia X(ω) con la frecuencia

)(2)( 0

122 / ω

ωω

ωωωω XjjkjkjkjF óy

n

i p

i

i

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −+

−= ∞

=∑

( )

( )

( )ℜ∈>

∀>⎭⎬⎫

⎩⎨⎧+

−

+⋅=

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧+

−

+−⋅=

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

−+−

−−−=

∞=

∞=

∞=

∑

∑

∑

ii

n

i p

pi

n

i p

pi

n

i p

ipi

kk

kkk

kkk

kkkk

dXd

óy

óy

óy

i

i

i

i

i

i

y0 queya

02

22

)2(2)(2)(

20

1222

22

20

1222

222

20

1222

22

/

/

/

ωωωω

ωω

ωωω

ωωω

ωωω

ωωωωωω


3.3. Realizabilidad de Inmitancias LCEsto significa que X(ω) es creciente con la frecuencia (pendiente siempre positiva).

Para que lo anterior se cumpla (que X(ω) sea creciente y que todos los ceros y los polos estén en el eje ‘jω’), los polos y los ceros deben estar alternados, dando lugar a:

ω

cero en el infinito

polo en el origen

X(ω)



O bien a:

ω

polo en el infinito

cero en el origen

X(ω)


3.3. Realizabilidad de Inmitancias LC¿Qué sucede cuando dos ceros no tienen un polo entre ellos (figura superior), o dos polos no tienen un cero entre ellos (figura inferior)?

ω

X(ω)

0)(<

ωω

ddX

ω

X(ω) 0)(<

ωω

ddX


3.4. Formas Canónicas de Foster para Inmitancias LC

Se denominan formas canónicas porque las redes sintetizadas contienen el mínimo número de elementos circuitales que cumplen las especificaciones:

3.4.1. Primera forma canónica de Foster

Partimos de Z(s) como impedancia de entrada. Si nos dan una admitancia, F(s)=Y(s), la transformaremos a impedancia.

Esto supone la conexión de elementos en serie, identificándose el valor de cada elemento con los residuos calculados (siendo éstos todos reales y positivos)

sksk

ssksZsF

n

i p

i

i

0

122

2)()( +++

== ∞

=∑ ω

[ ])(),(elementosdeNúmero sDsNMax=



Se denominan formas canónicas porque las redes sintetizadas contienen el mínimo número de elementos circuitales que cumplen las especificaciones:

⇒+

=+⋅

=

=+

=+

⋅==

222

2

2

2

2

1212

2

11

11

i

i

i

p

i

ip

i

p

i

ii

i

ii

ii

iii

ssk

sk

k

sk

sCLsL

sCsLsCsL

sCsLZ

ωω

ω

skZkL ∞∞∞∞ == sk

sCZ

kC 0

00

00

11===

22

ip

ii

kLω

=

ii k

C21

= sCsL

Z

sCsLZ

ii

i

iii

+=

+=

11

11



Conectando todos los elementos en serie, quedará:

Z(s)

∞k0

1k

21

1

2p

kω

121k

22

np

nkω

nk21


3.4. Formas Canónicas de Foster para Inmitancias LC3.4.2. Segunda forma canónica de Foster

Esta forma es válida para admitancias.

paraleloenconexión)(

1)(

1)(

)()(⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

==

=

sFsZsY

sYsF

Y(s)

∞∞ = kC00

1k

L =

21

11

2p

kCω

=

11 2

1k

L =n

n kL

21

=

22

np

nn

kCω

=



Con esto, se tiene que:

Y así, en conclusión, podemos expresar:

sk

sk

sLZY

LL

0

0

0 1111

0

0====

22222

2

2

2

1

221

1

21

21

1

1111

iii

i

p

i

i

p

i

p

i

p

ii

i

ii

ii

iii

ssk

sks

sks

ksksk

Y

sCsLZ

YsC

sLZ

ωωω

ω

+=

+=

+

=+

=

+==⇒+=

sCskYC ∞∞ ==∞

∑=

++=∞

n

iiCL YYYsY

10

)(


3.5. Formas Canónicas de Cauer para Inmitancias LC

Efecto de la extracción total de polos en el infinito

Veamos un ejemplo para entender esto:

Es decir, extraemos un polo en el infinito, y la impedancia resultante, Z1(s), lo que tiene es un cero en el infinito.

Cambiamos el polo en el infinito por el cero en el infinito.

Gráficamente, tenemos:

)(2

52292)( 122

3

sZsks

sss

sssZ +=+

+=++

= ∞

2320 20 ∞



a) Primera forma canónica de CauerLa función tienen un polo o un cero en el infinito. Este método consiste en la extracción sucesiva de polos en el infinito.

)(1)()(

11 sY

sksZsksZ +=+= ∞∞

)(1)()(

2

'2

'1 11 sZ

sksYsksY +=+= ∞∞

)(1)()(

332 22 sY

sksZsksZ +=+= ∞∞

)()( 4'

3 3sYsksY += ∞

polo en ∞ polo en ∞

cero en ∞ polo en ∞LC

LC Así hasta que se terminan de

extraer todos los polos en el infinito



De forma que queda:

Si al principio Z(s) 0 cuando s ∞ (no tiene polo en el infinito), empezamos con Y1(s) y k∞=0

)(1

11)(

4'

'

3

2

1

sYsksk

sksksZ

++

++=

∞∞

∞

∞

∞k'

1∞k '

3∞k '5∞k

4∞k2∞k



b) Segunda forma canónica de CauerConsiste en la extracción sucesiva de polos en el origen.

)(1)()(

1

01

0

sYsksZ

sksZ +=+=

polo en 0polo en 0

cero en 0 polo en 0

1/C

)(1)()(

2

'0

2

'0

111

sZsk

sYs

ksY +=+=

1/L

)(1)()(

3

03

02

22

sYsk

sZs

ksZ +=+=

1/C)()( 4

'0

33 sY

sk

sY +=

1/LAsí hasta que se terminan de

extraer todos los polos en el origen



De forma que queda:

Si al principio Z(s) 0 cuando s 0 (no tiene polo en el origen), empezamos con Y1(s) y k0=0

)(

11

1)(

4

'0

0

'0

0

3

2

1

sYs

ksks

ksksZ

++

+

+=

0

1k

'01

1k

20

1k

40

1k

'03

1k '

05

1k



Debe hacerse notar, que para N≤3 (siendo N el número de elementos) las realizaciones coinciden, esto es:

1ª Foster ≡ 1ª Cauer2ª Foster ≡ 2ª Cauer

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