Resumen de capítulo 4 .1 C o n c e p t o de fue rza

4.2 P r imera ley de Newton

4.3 Segunda ley de Newton

4.4 Tercera ley de Newton

4.5 Algunas apl icaciones de las leyes de Newton

4.6 Fuerzas de f r icc ión

Este surfista que se desliza sobre las olas en un tablón se eleva por el aire debido a la acción de fuerzas ejercidas por el viento y la vela, así como por las olas que actúan

V s o b r e el tablón. Peter Sterling/FPG/Getty Images

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8 2 C A P . -JA Las leyes del movimiento

"JT a mecánica clásica describe la relación que hay entre el movimiento de objetos de uso cotidiano y las fuerzas que actúan sobre ellos. Existen condiciones bajo las

. -í, J cuales la mecánica clásica no se aplica, o se aplica sólo en forma limitada. Con mucha frecuencia, estas condiciones se encuentran cuando tratamos ya sea con objetos su-mamente pequeños (de un tamaño comparable a un átomo, o incluso menor, de unos 10~10 m) o con objetos que se mueven a rapideces cercanas a la de lá luz (3 X 108 m / s ) . Nuestro estudio de la relatividad y la mecánica cuántica, en capítulos posteriores a éste, hará posible que manejemos estas situaciones. Sin embargo, para objetos grandes que se mueven con cierta lentitud, podemos hacer cálculos precisos con el uso de las leyes de la mecánica clásica que se estudian en este capítulo.

Aquí veremos que un objeto permanece en movimiento con velocidad constante si sobre él no actúa una fuerza externa. También veremos que si una fuerza externa actúa sobre un objeto, éste acelera en respuesta a esa fuerza. La aceleración se puede determi-nar si se conocen la fuerza neta que actúa sobre el objeto y la masa del objeto. Por últi-mo, veremos que no existe una sola fuerza aislada, sino que surgen fuerzas en pares por la interacción de dos entidades, cada una empujando o j a l a n d o a la otra con fuerzas de igual magnitud y dirección opuesta.

4 . 1 CONCEPTO DE FUERZA

Cuando hablamos de una fuerza, por lo general imaginamos un empuje o una tracción sobre algún objeto. Por ejemplo, se ejerce una fuerza sobre una pelota cuando la lanza-mos o la pateamos, y ejercemos una fuerza sobre una silla cuando nos sentamos en ella. Lo que ocurre a un objeto cuando sobre él actúa una fuerza, depende de la magnitud y dirección de la fuerza. La fuerza es una cantidad vectorial y la denotamos con una flecha dirigida, tal como lo hacemos con la velocidad y la aceleración.

Si se tira de un resorte, como en la figura 4.1a, el resorte se alarga. Si un niño tira suficientemente fuerte de un carro de juguete (figura 4.1b), el carro se mueve. Cuando se patea un balón de fútbol (figura 4.1c), se deforma y se pone en movimiento. Todos es-tos son ejemplos de fuerzas de contacto, así llamadas porque resultan del contacto físico entre dos objetos.

Otra clase de fuerzas no involucra el contacto físico entre dos objetos. Los primeros científicos, incluyendo a Newton, se sentían incómodos con el concepto de fuerzas que actúan entre dos objetos que no tienen contacto entre sí. Para superar esta dificultad conceptual, Michael Faraday (1791-1867) introdujo el concepto de un campo, y las fuer-zas asociadas a él se denominan fuerzas de campo. Según este método, cuando un obje-to de masa m se coloca en algún pun to P cerca de un segundo objeto de masa M, deci-mos que el primer objeto interactúa con el segundo en virtud del campo gravitacional que existe en P. Por lo tanto, la fuerza de atracción gravitacional entre dos objetos, ilus-trada en la figura 4.Id, es un ejemplo de una fuerza de campo. Esta fuerza mantiene los objetos unidos a la Tierra y da lugar a lo que comúnmente llamamos peso del objeto.

Otro ejemplo común de una fuerza de campo es la fuerza eléctrica que una carga eléctrica ejerce sobre otra (figura 4.1e). Un tercer ejemplo es la fuerza ejercida por un imán de barra sobre un trozo de hierro (figura 4.1f).

Las fuerzas fundamentales conocidas en la naturaleza son todas fuerzas de campo y son, en orden de intensidad decreciente: (1) fuerzas nucleares fuertes entre las par-tículas subatómicas; (2) fuerzas electromagnéticas entre cargas eléctricas; (3) fuerzas nucleares débiles, que aparecen en ciertos procesos de desintegración radiactiva y (4) atracciones gravitacionales entre objetos. En física clásica, nos ocupamos sólo de fuerzas gravitacionales y electromagnéticas.

Siempre que una fuerza se ejerza sobre un objeto, puede cambiar la forma de éste. Por ejemplo, cuando se patea un balón de fútbol o se golpea una pelota de tenis con una raqueta, como se ve en la figura 4.2, los objetos se deforman en alguna medida. In-cluso objetos que por lo general consideramos rígidos e inflexibles se deforman bajo la acción de fuerzas externas. A veces las deformaciones son permanentes, como es el caso de una colisión entre automóviles.

Primera ley de Newton

4 . 2 PRIMERA LEY DE NEWTON Considere el siguiente experimento. Un libro está sobre una mesa. Obviamente, el libro permanece en reposo si se deja solo. Ahora imaginemos que una persona empuja el li-bro con una fuerza horizontal suficientemente grande para vencer la fuerza de fricción ent ie ci hbro y la mesa, de modo que el libro se pone en movimiento. Como la magni-tud de la fuerza aplicada es mayor que la magnitud de la fuerza de fricción, el libro ace-lera. Si se deja de aplicar la fuerza, el libro deja de deslizarse después de desplazarse una corta distancia, debido a que la fuerza de fricción retarda su movimiento. Ahora imagi-nemos que se empuja el libro por un piso liso y encerado. El libro otra vez llega al repo-so una vez que la fuerza ya no se aplica, pero no tan pronto como antes. Por último, ima-ginemos que el libro se mueve sobre una superficie horizontal y sin fricción. En esta situación, el libro continúa su movimiento en línea recta con velocidad constante hasta que toque una pared o algún otro objeto.

Antes de 1600, los estudiosos pensaban que el estado natural de la materia era el esta-do de reposo. Galileo fue el primero en enfocar este problema a través de un método dife-rente; concibió experimentos mentales como el de un objeto que se mueve en una superfi-cie sin fricción, como acabamos de ver, y concluyó que la naturaleza de un objeto no es detenerse, sino estar en movimiento; más bien, es la naturaleza de un objeto continuar en. su es-tado original de movimiento. Este enfoque acerca del movimiento fue más tarde formalizado por Newton en una forma que ha llegado a conocerse como la primera ley de Newton:

(b) FIGURA 4.2 (a) Un balón de fútbol se pone en movimiento a través de la fuerza de contacto F ejercida sobre él por el pie del jugador. El balón se defor-ma durante el corto tiempo que perma-nece en contacto con el pie. (Loren Win-ters/Visuah Unlimited) (b) Cuando una pelota de tenis se golpea con una raque-ta, ésta experimenta una fuerza de con-tacto grande y una aceleración igual-mente grande. (Amoz Eckerson/Visuals Unlimited)

Fuerza de contacto FIGURA 4.1 Ejemplos de fuerzas aplicadas a di-versos objetos. En cada caso, una fuerza actúa sobre el objeto rodeado por líneas interrumpidas. Algo en el entorno exterior de la zona que está dentro de la caja ejerce esta fuerza.

Si la fuerza neta 2 F ejercida sobre un objeto es cero, el objeto continúa en su estado original de movimiento. Esto es, si 2 F = 0, un objeto en reposo perma- Primera ley de Newton nece en reposo y un objeto en movimiento con alguna velocidad continúa con esa misma velocidad.

Por fuerza neta queremos decir la suma vectorial de todas las fuerzas externas ejercidas sobre el objeto. Una fuerza externa es cualquier fuerza que resulta de la interacción entre el objeto

8 4 C A P . -JA Las leyes del movimiento

A menos que sea sometido a una fuerza externa, un objeto en reposo permane-cerá en reposo y un objeto en movi-miento continuará en movimiento con velocidad constante. En este caso, la pa-red del edificio no ejerció una fuerza externa suficientemente grande sobre el tren en movimiento como para pararlo. (Roger Viollet, Mili Valley, CA, University Science Books, 1982)

y su entorno o sus alrededores, por ejemplo la fuerza ejercida sobre un objeto cuando es levantado.

Como caso especial, veamos lo que ocurre a un objeto sobre el que no se ejercen fuerzas externas. Por ejemplo, considere una nave espacial que se desplaza en el espacio, lejos de algún planeta u otra clase de materia. La nave espacial requiere de un sistema de propulsión para cambiar su velocidad; pero, si el sistema de propulsión se apaga cuando se alcanza una velocidad v, la nave avanza por inercia con una velocidad constan-te y los astronautas viajan sin esfuerzo alguno.

MASA E INERCIA

Una bola de boliche y una pelota de golf están una al lado de la otra en el piso. La pri-mera ley de Newton nos dice que ambas permanecen en reposo mientras no haya una fuerza externa que actúe sobre ellas. Ahora imaginemos que se aplica una fuerza neta al golpear cada una con un palo de golf. Ambas se resisten al intento de cambiar su estado de movimiento, pero sabemos por experiencia diaria que si se golpean con igual fuerza, la pelota de golf será lanzada mucho más lejos que la bola de boliche. Esto es, la pelota de boliche tiene más éxito en mantener su estado original de movimiento. La tendencia que presenta un objeto para continuar con su movimiento original se llama inercia.

Si bien la inercia es la tendencia de un objeto para continuar su movimiento en au-sencia de una fuerza, la masa es una medida de la resistencia de un objeto a cambios en su movimiento debidos a una fuerza. Cuanto mayor es la masa de un cuerpo, acelera me-nos bajo la acción de una fuerza aplicada. La unidad de masa en el SI es el kilogramo. La masa es una cantidad escalar que obedece las reglas de la aritmética ordinaria.

La inercia se puede usar para explicar el funcionamiento de un tipo de mecanismo de cinturón de seguridad. En caso de un accidente, la finalidad del cinturón de seguridad es mantener al pasajero firmemente en su lugar con respecto al auto para evitar lesiones

Á P L t C A G l Ú N graves. La figura 4.3 ilustra la forma en que opera un tipo de arnés de hombro. Bajo con-diciones normales, el trinquete gira libremente para permitir que el arnés se enrolle o de-

CINTURONES DE SEGURIDAD senrolle de la polea cuando el pasajero se mueve. Cuando ocurre un accidente, el auto experimente una elevada aceleración y rápidamente alcanza el reposo. El bloque grande situado bajo el asiento, debido a su inercia, continúa deslizándose hacia delante a lo largo de las correderas. La conexión del perno entre el bloque y la varilla hace que esta última haga un movimiento de pivote alrededor de su centro y engancha la rueda del trinquete. En este punto la rueda del trinquete se bloquea en su lugar y el arnés ya no se desenrolla.

Segunda, ley de Newton 8 5

Cinturón de seguridad

FIGURA 4 .3 Mecanismo del cinturón de seguridad de un automóvil.

Correderas C o n e x i ó n del perno

Bloque grande

4 . 3 SEGUNDA LEY DE NEWTON

La pr imera ley de Newton explica lo que ocurre a un objeto cuando sobre éste n o actúa n inguna fuerza: el objeto permanece en reposo o cont inúa en movimiento en línea rec-ta con rapidez constante. La segunda ley de Newton responde a la p regunta de lo que ocurre a un objeto sobre el cual actúa una fuerza neta.

Imagine que empuja un bloque de hielo por una superficie horizontal sin fricción. Cuando ejerce alguna fuerza horizontal sobre el bloque, éste se mueve con aceleración de 2 m <'s2

; por ejemplo; si aplica el doble de la fuerza, la aceleración se duplica; si empu-j a con el triple de la fuerza se triplica la aceleración, y así sucesivamente. De estaí!' obser-vaciones, concluimos que la aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta que actúe sobre él.

La experiencia común de empuja r objetos nos dice que la masa también afecta la aceleración. Imagine que coloca bloques de hielo idénticos u n o sobre el otro y los em-puja con fuerza constante. Si la fuerza cuando empuja un b loque p roduce una acelera-ción de 2 m / s 2 , la aceleración bajará a la mitad de ese valor cuando se e m p u j e n dos blo-ques, bajará a un tercio de ese valor inicial cuando se e m p u j e n tres bloques, y así sucesivamente. Concluimos que la aceleración de un objeto es inversamente proporcio-nal a su masa. Estas observaciones se resumen en la segunda ley de Newton:

1 fM"^ 9 K . J - W f

ISAAC NEWTON, FÍSICO Y MATEMÁTICO • INGLÉS ( 1 6 4 2 - 1 7 2 7 )

Newton fue uno de los científicos más brillantes de la historia. Antes de cumplir 30 años, formuló los concep-tos básicos y leyes de la mecánica, descubrió la ley de la gravitación uni-versal e inventó los métodos matemá-ticos del cálculo. C o m o consecuencia de sus teorías, Newton pudo explicar los movimientos de los planetas, el subir y bajar de las mareas y nume-rosas características especiales de los movimientos de la Luna y la Tierra. También interpretó muchas observa-ciones fundamentales relativas a la naturaleza de la luz. Sus aportaciones a las teorías físicas dominaron el pen-samiento científ ico durante dos siglos y son importantes aun en nuestros días. (Giraudon/ArtResource)

Nota web 4.1 Encuentre más sobre Isaac Newton en: http://www.newton.cam.ac.uk/ newtlife.html http://userwww.sisu.edu/~rsauzier/ Newton.html

La aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él e inversamente proporcional a su masa.

X F a =c

En forma de ecuación vectorial, y seleccionadas adecuadamente las unidades de todas las cantidades, es posible expresar la segunda ley de Newton como

X F = ma [4.1]

en donde a es la aceleración del objeto, m es su masa y £ F representa la suma vectorial

S e g u n d a ley de Newton

onse/o 4.1

UNA FUERZA PRODUCE CAMBIOS EN UN MOVIMIENTO

Muchas veces, algunos estudiantes co-m e t e n el error de pensar que siempre que haya movimiento debe haber una fuerza involucrada. Puede haber movimiento en ausencia de fuerzas, c o m o se describe en la primera ley de Newton. La fuerza es la causa de los cambios en el movimiento.

8 6 C A P . -JA Las leyes del movimiento

de todas las fuerzas que actúan sobre el objeto. Debe observarse que como ésta es una ecuación vectorial, es equivalente a las siguientes tres ecuaciones de las componentes:

2Fx = 2 Fy = may = [4.2]

Definición de newton

UNIDADES DE FUERZA Y MASA

La unidad de fuerza en el SI es el newton, definido como la fuerza que, cuando actúa so-bre un objeto que tiene una masa de 1 kg, produce una aceleración de 1 m/s 2 . De esta definición y de la segunda ley de Newton, vemos que el newton se puede expresar en tér-minos de las unidades fundamentales de masa, longitud y tiempo:

^\nsejo 4.2

1 N = 1 kg • m / s 2 [4.3]

MA NO ES UNA FUERZA

La ecuación 4.1 no dice que el pro-ducto ma sea una fuerza. Todas las fuerzas ejercidas sobre un objeto se suman vectorialmente para generar la fuerza neta en el lado izquierdo de la ecuación. Esta fuerza neta se iguala entonces al producto de la masa del objeto y la aceleración que resulta de la fuerza neta. No incluya el lector una "fuerza ma" en sus análisis. Ase-gúrese de usar unidades consistentes cuando aplique la segunda ley de Newton.

En el sistema de unidades usual en Estados Unidos, la unidad de fuerza es la libra. La siguiente conversión de libras a newtons será útil en numerosos problemas:

1 N = 0.225 Ib [4.4]

Las unidades de masa, aceleración y fuerza en los sistemas SI y en el usual en Esta-dos Unidos se resumen en la tabla 4.1. f

E x a m e n ráp ido

4.1

Examen ráp ido

4.2

Examen rápidc

4.3

Verdadero o falso: (a) Es posible tener movimiento en ausencia de una fuerza, (b) Si un objeto no se mueve, sobre él no actúa una fuer-za externa.

Verdadero o falso: (a) Si una sola fuerza actúa sobre un objeto, éste acelera, (b) Si un objeto experimenta una aceleración, sobre él ac-túa una fuerza, (c) Si un objeto no experimenta aceleración, sobre él no actúa una fuerza externa.

Verdadero o falso: Si la fuerza neta que actúa sobre un objeto está en la dirección x, el objeto se mueve en la dirección x.

^jjnsejo 4.3

USO DE LA SEGUNDA LEY DE NEWTON

El procedimiento para aplicar la se-gunda ley de Newton es sumar vecto-rialmente todas las fuerzas que actúen sobre un objeto y luego hallar la ace-leración resultante. No encuentre ace-leraciones individuales para cada fuerza y luego sume vectorialmente aceleraciones.

FUERZA GRAVITACIONAL

La fuerza gravitacional es la fuerza mutua de atracción entre cualesquiera dos objetos en el universo. Es interesante y curioso observar que aun cuando la fuerza gravitacional puede ser muy fuerte entre objetos macroscópicos, es la más débil de las fuerzas funda-mentales. Por ejemplo, la fuerza gravitacional entre el electrón y el protón de un átomo

l nidades de masa, aceleración y fuerza

Sistema Masa Aceleración Fuerza

SI kg m / s 2 N = kg • m / s 2

Común en E.U. slug f t / s 2 Ib = s l u g - f t / s 2

Nota: 1 N = 0.225 Ib.

de hidrógeno tiene una magnitud del orden de 10~47 N, mientras que la fuerza electro-magnética entre estas dos mismas.partículas es del orden de 10" ' N.

Además de sus aportaciones para comprender el movimiento, Newton hizo profun-dos estudios de la gravedad. La ley de la gravitación universal de Newton expresa que to-da partícula del universo atrae a toda otra partícula con una fuerza que es directamente proporcional al producto de las masas de las partículas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas. Si las partículas tienen masas m\ y Y están separa-das por una distancia r, como en la figura 4.4, la magnitud de la fuerza gravitacional es

m-i rtir, [4.5]

donde G = 6.67 x 10 11 N • m 2 /kg 2 es la constante de gravitación universal. Examina-mos la fuerza de gravitación universal con más detalle en el capítulo 7.

PESO

La magnitud de la fuerza gravitacional que actúa sobre un objeto de masa m cerca de la superficie terrestre se llama peso del objeto w. Como los objetos de cualquier masa caen con la misma aceleración g e n la superficie de la Tierra (si se desprecia la resistencia del aire), es posible expresar la segunda ley cqmo "el peso es igual a la masa por la acelera-ción", o sea

w = mg [4.6]

Como la magnitud de la fuerza gravitacional también está dada por la ecuación 4.5, vemos que w = y se deduce que

G MEm

•r [4.7]

donde M¡?es la masa de la Tierra y res la distancia del objeto al centro de la Tierra. Si el objeto está en reposo sobre la superficie terrestre, entonces r es igual al radio de ¿a Tie-rra, Re- Cuando r aumenta, la ecuación 4.7 muestra que el peso del objeto decrece por-que r está en el denominador. Así, el peso de un objeto elevado en la atmósfera es me-nor que el peso del mismo objeto en la superficie terrestre.

Al comparar las ecuaciones 4.6 y 4.7, vemos que o-está dada por

g= G-M„

[4.8]

Ya que depende de g, el peso varía con la ubicación geográfica. Los objetos pesan menos a altitudes mayores que al nivel del mar porque, como se indica en la sección 2.7, g disminuye con una distancia creciente sobre la superficie de la Tierra. En consecuen-cia, el peso, a diferencia de la masa, no es una propiedad inherente de un objeto. Por ejemplo, si un objeto tiene una masa de 70.0 kg, entonces su peso en un punto donde g = 9.80 m,/s2 es mg = 686 N. En lo alto de una montaña, donde g podría ser 9.76 m/s 2 , el peso del objeto será 683 N. Por lo tanto, si desea perder peso rápidamente sin ponerse a dieta, ¡vaya a lo alto de una montaña o suba a una báscula a una altitud de 30 000 ft du-rante un vuelo en avión!

Otra característica interesante de la ecuación 4.8 es que es un resultado general que se puede usar para calcular la aceleración de un objeto en caída en la superficie de cual-quier objeto de gran tamaño, si se conocen el radio y la masa del objeto de mayor masa. El lector debe demostrar que gSo¡ = 274 m/ s 2 y gLuna = 1.67 m/ s 2 si se usan los valores de la tabla 7.3.

F„ Wa \ *

FIGURA 4.4 La fuerza gravitaciunal entre dos partículas es atractiva.

El astronauta Edwin E. Al drill, Jr. cami-na sobre la superficie lunar tras el ate-rrizaje del Apollo 11 en la Luna. El peso de Aldrin en la Luna e.s menor que en la Tierra, pero su masa es ¡a misma en am-bos lugares. (NASA)

Neivton

Ley de gravitación universal

8 8 C A P . -JA Las leyes del movimiento

Examen rápido

4.4

Examen rápida

4.5

Imaginemos que usted habla por teléfono interplanetario a una ami-ga que vive en la Luna. La amiga le dice a usted que acaba de ganar 1 newton de oro en un concurso. Con emoción, le contesta que us-ted acaba de entrar en la versión terrícola del mismo concurso y tam-bién ha ganado 1 newton de oro. ¿Quién es más rico? (a) Su amiga, (b) usted o (c) es empate.

Una pelota de béisbol de masa m es lanzada hacia arriba con cierta rapidez inicial. Si se desprecia la resistencia del aire, la fuerza que ac-túa sobre la pelota cuando llega a su altura máxima es (a) mgy hacia arriba, (b) mgy hacia abajo, (c) cero o (d) ninguno de éstos.

4,4 TERCERA LEY DE N E W T O N

En la sección 4.1 encontramos que se ejerce una fuerza sobre un objeto cuando éste en-tra en contacto con algún otro objeto. Por ejemplo, considere la tarea de meter un clavo en un bloque de madera, como se ilustra en la figura 4.5a. Para acelerar el clavo y clavar-lo en el bloque, el martillo debe ejercer una fuerza neta en el clavo. Sin embargo, New-ton reconoció que una sola fuerza aislada (por ejemplo la fuerza ejercida por el martillo sobre el clavo) no puede existir. En lugar de ello, las fuerzas en la naturaleza siempre existen en pares. Según Newton, el martillo ejerce una fuerza sobre el clavo y éste ejerce una fuerza sobre el martillo. Se puede pensar que allí claramente hay una fuerza ejerci-da por el clavo sobre el martillo, porque el martillo rápidamente reduce su velocidad después de entrar en contacto con el clavo.

Newton describió este tipo de situación en términos de su tercera ley:

Si dos objetos interactúan, la fuerza F12 ejercida por el objeto 1 sobre el objeto Tercera ley de Newton jj^ 2 es igual en magnitud pero opuesta en dirección a la fuerza F21 ejercida por el

objeto 2 sobre el objeto 1.

Esta ley, que se ilustra en la figura 4.5b, es equivalente a decir que una sola fuerza aislada no puede existir. La fuerza F1 2 ejercida por el objeto 1 sobre el objeto 2 a veces se deno-mina fuerza de acción, y la fuerza Fgi ejercida por el objeto 2 sobre el objeto 1 se llama

v (a) (b)

FIGURA 4 . 5 Tercera ley de Newton, (a) La fuerza ejercida por el marrillo sobre el clavo es igual en magni-tud y opuesta en dirección a la fuerza ejercida por el clavo sobre el marrillo. (John Gillmoure, The Stock Market) (b) La fuerza F] ̂ ejercida por el objeto 1 sobre el objeto 2 es igual en magnitud y opuesta en dirección a la fuerza F2¡ ejercida por el objeto 2 sobre el objeto 1.

Tercera Ley de Newton 89

fuerza de reacción. En realidad, cualquiera de estas dos fuerzas se puede llamar de acción o de reacción. La fuerza de acción es igual en magnitud a la fuerza de reacción y opues-ta en dirección. En todos los casos, las fuerzas de acción y reacción actúan sobre ob-jetos diferentes. Por ejemplo, la fuerza que actúa sobre un proyectil en caída libre es la fuerza ejercida por la Tierra sobré el proyectil, Fg, y la magnitud de esta fuerza es mg. La reacción a esta fuerza es la fuerza ejercida por el proyectil sobre 1a. Tierra, Fg = — Fg.. La fuerza de reacción debe acelerar la Tierra hacia el proyectil igual que la fuerza de acción Fg acelera el proyectil hacia la Tierra. Sin embargo, como la Tierra tiene una masa tan enorme, su aceleración debida a la fuerza de reacción es sumamente pequeña.

Una persona experimenta directamente la tercera ley de Klewton siempre que con el puño golpee una pared o patee un balón de fútbol con el pie descalzo, además que debe estar en posibilidad de identificar las fuerzas de acción y reacción en estos casos.

Como otro ejemplo de la tercera ley de Newton, considere al helicóptero. La mayo-ría de los helicópteros tienen un conjunto grande de aspas giratorias en un plano hori-zontal sobre el cuerpo, y otro conjunto pequeño que gira en un plano vertical en la par-te trasera. Otros helicópteros tienen dos grandes conjuntos de aspas sobre el cuerpo que giran en direcciones opuestas. ¿Por qué siempre tienen los helicópteros dos conjuntos de aspas? En el primer tipo de helicóptero, el motor aplica una fuerza a las aspas y hace que éstas cambien su movimiento giratorio. Sin embargo, de acuerdo con la tercera ley de Newton, las aspas deben ejercer una fuerza en ese motor, de igual magnitud y en di-rección opuesta. Esta fuerza haría que el cuerpo del helicóptero girara en dirección con-traria a las aspas. Un helicóptero que gira sería imposible de controlar, de modo que se utiliza entonces un segundo conjunto de aspas, pequeñas, situadas en la parte trasera de la nave, que dan una fuerza opuesta a la que tiende a hacer girar el cuerpo del helicópte-ro, manteniendo el cuerpo orientado en una posición estable. En helicópteros con dos conjuntos de aspas grandes y que giran en sentidos opuestos, los motores aplican fuerzas en direcciones opuestas para que no haya una fuerza neta que haga girar al helicóptero.

Como ya mencionamos antes, la Tierra ejerce una fuerza Fg sobre cualquier objeto. Si el objeto es un televisor en reposo sobre una mesa, como en la figura 4.6a, la fuerza de reac-ción a Fg es la fuerza que el televisor ejerce sobre la Tierra, El aparato no acelera hacia abajo porque está sostenido por la mesa. La mesa, por lo tanto, ejerce sobre el aparato una fuerza hacia arriba n llamada fuerza normal. (Se llama fuerza normal porque es normal, o perpendicular, a la superficie de la mesa.) Esta es la fuerza que evita que el aparato círiga de la mesa; puede tener cualquier valor necesario, hasta el punto de romper la mesa. La fuerza

c pnsejo 4.4

PARES DE ACCIÓN-REACCIÓN

Cuando se aplique la tercera ley de Newton, observe que las fuerzas de acción y reacción actúan sobre obje-tos diferentes. Dos fuerzas externas que actúan sobre el mismo objeto, incluso si son iguales en magnitud y opuestas en dirección, no pueden ser un par de acción-reacción.

APLICACIÓN

VUELO DE UN HELICÓPTERO

(a) y' (b) FIGURA 4.6 Cuando un televisor está colocado sobre una mesa, las fuerzas que actúan sobre el aparato son la fuerza normal n ejercida por la mesa y la fuerza de gravedad como se ilustra en (b). La reacción a n es la fuerza ejercida por el televisor sobre la mesa, n'. La reacción a Ft, es la fuerza ejercida por el televisor so-bre la Tierra, F„\

9 0 C A P . -JA Las leyes del movimiento

Nota web 4.2 La propulsión de un cohete es otra excelente aplicación de la tercera ley de Newton. Vea, por ejemplo: http://www.howstuffworks.com/

rocket.htm

norma] es la fuerza elástica que surge del pandeo de la superficie de la mesa, pandeo causa-do por el pesado aparato. La fuerza normal equilibra el peso. La reacción a n es la fuerza ejercida por el televisor sobre la mesa, n'. Por lo tanto, concluimos que

F f = - F / y n = - n ' Las fuerzas n y n' t ienen la misma magni tud, que es igual a Fg a menos que la tabla se rompa. Note que las fuerzas que actúan sobre el televisor son Fg. y n, como se ve en la fi-gura 4.6b. Las dos fuerzas de reacción, F^' y n', son ejercidas po r el televisor sobre obje-tos que no son el televisor. Recuerde, las dos fuerzas en un par de acción-reacción siem-pre actúan sobre dos objetos diferentes.

De la segunda ley de Newton vemos que como el televisor no está acelerando en n inguna dirección (a = 0), se sigue que Fg = mg.

APLICACIÓN

VEHICULOS EN COLISION

E x a m e n ráp ido

4.6

Un pequeño auto deportivo choca de f rente con u n enorme camión. ¿Cuál vehículo experimenta la mayor fuerza de impacto (en magni-tud)? (a) el auto, (b) el camión, (c) experimentan la misma fuerza. ¿Cuál vehículo experimenta la mayor aceleración? (d) el auto, (e) el camión, (f) experimentan la misma aceleración.

FÍSICA APLICADA 4.1 Un caballo tira de un trineo con una fuerza horizontal, haciendo que acelere como en la figura 4.7a. La tercera ley de Newton dice que el trineo ejerce una fuerza de igual magni-tud y dirección opuesta sobre el caballo. En vista de esto, ¿cómo puede el trineo acelerar, es decir, no se cancelan estas fuerzas?

Explicación Al aplicar la tercera ley de Newton, es importante recordar que las fuerzas involucradas actúan sobre objetos diferentes. Note gue la fuerza ejercida por el caballo es sobre el trineo, mientras que la fuerza ejercida por el trineo es sobre el caballa. Como estas fuerzas actúan en objetos diferentes, no se pueden cancelar.

Las fuerzas horizontales ejercidas sobre el trineo son la fuerza hacia adelante F ejercida por el caballo y la fuerza de fricción hacia atrás fnieve, trineo, ejercida por la nieve sobre el tri-neo (figura 4.7b). Cuando F es mayor que f n i e v e , mneo> e l trineo acelera a la derecha.

Las fuerzas horizontales ejercidas sobre el caballo son la fuerza de fricción hacia delante fnieve, caballo ejercida por la nieve, que aparece como reacción a la fuerza ejercida por el ca-ballo que empuja contra el suelo, y la fuerza F hacia atrás ejercida por el trineo que actúa por medio del arnés. Esta última fuerza aparece como reacción a la fuerza ejercida por el caballo que tira del trineo hacia delante (figura 4.7c). La resultante de estas dos fuerzas hace que el caballo acelere. Cuando f n ¡ e v e , caballo e s mayor que F, el caballo acelera a la derecha.

Si consideramos el caballo y el trineo como un sistema, las dos fuerzas descritas (ejerci-das por el caballo sobre el trineo y por el trineo sobre el caballo) forman un par de fuerzas de acción-reacción que son internas al sistema y, por lo tamo, no pueden afectar el movimiento del sistema.

(a) FIGURA 4 . 7 (Física aplicada 4.1)

1 nieve, tnneo (b)

•••nieve, caballo (c)

Algunas aplicaciones de las leyes de Newton 91

4 . 5 ALGUNAS .APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON Esta sección aplica las leyes de Newton a objetos que se mueven bajo las acciones de fuerzas externas constantes. Suponemos que los objetos se compor tan como partículas y, po r lo tanto, no nos ocupamos del movimiento rotacional. También despreciamos cual-quier efecto de fricción. Por último, despreciamos las masas de cualquier cuerda o hilo que intervenga; en estas aproximaciones, la magni tud de la fuerza ejercida a lo largo de una cuerda (la tensión) es la misma en todos los puntos de la cuerda. Esto se ilustra por la cuerda de la figura 4.8, que muestra las fuerzas T y T' que actúan sobre ella. Si la cuer-da tiene masa m, entonces la segunda ley de Newton aplicada a la cuerda da T— T'= ma. Sin embargo, si m = 0, como lo será en los próximos ejemplos, en tonces T = 7".

Cuando aplicamos la ley de Newton a un objeto, nos interesan sólo aquellas fuerzas que actúan sobre el objeto. Por ejemplo, en la figura 4.6b, las únicas fuerzas externas que actúan sobre el televisor son n y Fg. Las reacciones a estas fuerzas, n' y F? ' , actúan sobre la mesa y sobre la Tierra, respectivamente, y no aparecen en la segunda ley de Newton aplicada sobre e¡ televisor.

Considere un cajón del que se tira hacia la derecha sobre una superficie horizontal y sin fric ción, como en la figura 4.9a. Suponga el lector que se le p ide hallar la acelera-ción del cajón y la fuerza que la superficie ejerce sobre él. La fuerza horizontal ejercida sobre el cajón actúa po r medio de la cuerda. La fuerza que la cuerda ejerce sobre el ca-jón¡se denota por T (porque es una fuerza de tensión). La magni tud de T es igual a la tensión en la cuerda. Lo que queremos decir con las palabras "tensión en la cuerda" ¡es precisamente la fuerza que indica la báscula de resorte cuando la cuerda en cuestión se corta y se inserta la escala! Un círculo de líneas in ter rumpidas se traza a l rededor del ca-j ó n en la figura 4.9a para recordar al lector que debe aislarlo de su en torno .

Debido a que estamos interesados sólo en el movimiento del cajón, debemos ser ca-paces de identificar todas las fuerzas que actúan sobre él. Éstas se ilustran en la figura 4.9b. Además de la fuerza T, el diagrama de fuerzas del cajón incluye la fuerza de gra-vedad Fg ejercida por la Tierra y la fuerza normal n ejercida po r el piso. Este diagrama de fuerzas se conoce como diagrama de cuerpo libre. Lo l lamamos "diagrama de cuerpo

(b)

FIGURA 4.9 (a) Un cajón se arrastra a la derecha sobre una superficie sin fricción, (b) Diagrama de cuerpo libre que representa las fuerzas ejercidas so-bre el cajón.

r FIGURA 4.8 La segunda ley de Newton aplicada a la cuerda da T — T = ma. Sin embargo, si m = 0, (

entonces T = V. Así, la tensión en una cuerda sin masa es igual en todos los puntos de la cuerda.

onsejo 4.5

DIAGRAMAS DE CUERPO UBRE

El paso más importante al resolver un problema con el uso de la segunda ley de Newton es trazar el diagrama de cuerpo libre. Asegúrese de trazar sólo las fuerzas que actúan sobre el objeto que se desea aislar. Es muy probable que un diagrama incorrecto lleve a una solución incorrecta.

9 2 C A P . -JA Las leyes del movimiento

FÍSICA EN ACCIÓN Fuerzas y movimiento

A la izquierda vemos un atleta que corre al ponerse el sol. Las fuerzas externas que ac-túan sobre el atleta, descritas por los vectores, son (a) la fuerza Fg ejercida por la Tierra (b) la fuerza F ejercida por el suelo y (c) la fuerza R debida a la resistencia del aire. A la derecha está una fotografía tomada con destellos múltiples de un golfista que gol-pea una pelota de golf. La fuerza ejercida por el palo de golf sobre la pelota es igual en magnitud y opuesta en dirección a la fuerza ejercida por la pelota sobre el palo de golf.

(Mitchell Funk/The Jmage Bank) (Cortesía de Michael Hans/Photo Researchers, Inc.)

libre" porque el en to rno es sustituido po r una serie de fuerzas que actúan sobre el cuerpo que de ot ro m o d o es libre. La construcción de u n diagrama de cuerpo libre co-rrecto es un paso esencial en la aplicación de las leyes de Newton; su importancia nunca es excesiva.

Las reacciones a las fuerzas que hemos mencionado , es decir, la fuerza ejercida por la cuerda sobre la m a n o que tira de ella, la fuerza ejercida po r el cajón sobre la Tierra y la fuerza ejercida p o r el cajón sobre el piso, n o están incluidas en el diagrama de cuerpo libre porque actúan sobre otros objetos y no sobre el cajón. En consecuencia, no deter-minan el movimiento del cajón.

Ahora apl iquemos la segunda ley de Newton al cajón. Pr imero debemos escoger un sistema de coordenadas apropiado. En este caso es conveniente usar el que se ilustra en la figura 4.9b, con el eje x horizontal y el eje y vertical. Aplicamos la segunda ley de New-ton en la dirección x, dirección y, o ambas, d e p e n d i e n d o de qué se nos pide encont ra r en el problema. Además, podemos usar las ecuaciones de movimiento para acelera-ción constante que se encuen t r an en el capítulo 2. Sin embargo, el lector debe usar estas ecuaciones sólo cuando la aceleración es constante.

Nota web 4.3 Para conocer más sobre los diagramas de cuerpo libre, incluyendo material didáctico y un auto-examen, vea: http://ets.physics.uoguelph.ca/ tutorials/fbd/Q.fbd.html

O B J E T O S EN E Q U I L I B R I O

Se dice que los objetos que están en reposo o en movimiento con velocidad constante es-tán en equilibrio. En fo rma de ecuación, como a = 0, esta condición de equilibrio se pue-de expresar como

2 F = 0 [4.9]

Este enunc iado significa que la suma vectorial de todas las fuerzas (la fuerza neta) que ac-túa sobre un objeto en equilibrio es cero.

Por lo general , los problemas de equilibrio se resuelven con más facilidad si trabaja-mos con la ecuación 4.9 en términos de las componen tes de las fuerzas externas que ac-

Algunas aplicaciones de las leyes de Newton 9 3

túan sobre un objeto. Con esto queremos decir que, en un problema de dos dimensio-nes, la suma de todas las fuerzas externas en las direcciones x y y deben separadamente ser iguales a cero, esto es,

0 Y t4-10]

En este libro no vamos a considerar problemas en tres dimensiones, pero es posible ha-cer la extensión de la ecuación 4.10 a una situación de tres dimensiones si sumamos una tercera ecuación, *LFZ = 0.

Examen rápido

4.7

Considere las dos situaciones de la figura 4.10, donde no hay aceleración. En ambos casos, todas las personas jalan con una fuerza de magnitud F. La lectura de la escala en el inciso (i) de la figura, ¿(a) es mayor, (b) menor o (c) igual a la lectura de la escala en el inciso (ii)?

^onsejo 4,6

UNA PARTÍCULA EN EQUILIBRIO

Una fuerza neta cero sobre una par-tícula no significa que la partícula no se mueva. Significa que la partícula no está acelerando. Si la partícula tiene una velocidad inicial y experi-menta una fuerza neta cero, continúa en movimiento con la misma velo-cidad. A

ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS Objetos en equilibrio

Se recomienda el siguiente procedimiento para problemas que involucren objetos en equilibrio:

1. Haga un bosquejo de la situación descrita en el enunciado del problema. 2. Trace un diagrama de cuerpo libre para el objeto aislado bajo consideración, y

marque todas las fuerzas que actúan sobre el objeto. 3. Descomponga todas las fuerzas en sus componentes xy y, escogiendo un siste-

ma de coordenadas conveniente. 4. Utilice las ecuaciones 1FX = 0 y lFy = 0. Lleve un control de los signos de las

componentes de las fuerzas. .. 5. La aplicación del paso 4 lleva a un conjunto de ecuaciones con varias incógni-

tas. De las ecuaciones simultáneas que resultan despeje las incógnitas en térmi-nos de las cantidades conocidas. /

(i)

Sfemplo 4 .1 Un semáforo en reposo

Un semáforo que pesa 100 N cuelga de un cable vertical unido a otros dos cables que es-tán sujetos a un soporte, como en la figura 4.11a. Los cables superiores forman ángulos de 37.0° y 53.0° con la horizontal. Encuentre la tensión en cada uno de los tres cables.

R a z o n a m i e n t o Debemos construir dos diagramas de cuerpo libre. El primero es pa-ra el semáforo, mostrado en la figura 4.11b; el segundo es para el nudo que sostiene jun-tos los tres cables (figura 4.11c). El nudo es un punto conveniente para escoger porque todas las fuerzas en cuestión actúan en este punto.

Solución De la figura 4.11b, vemos que lFy = 0 da T3 - Fg = 0 o T3 = Fg = 100 N. A continuación, escogemos los ejes de coordenadas que se muestran en la figura 4.10c y descomponemos todas las fuerzas en sus componentes xy y:

Fuerza V

componente x componente y

TI - Ti eos 37.0° T} sen 37.0°

T 2 T2 eos 53.0° r 2 sen 53.0°

T 3 0 - 1 0 0 N

(ü) FIGURA 4.10 (Examen rápido 4.7) (i) Una persona tira con una fuerza de magnitud Fuña báscula de resorte que está unida a una pared, (ii) Dos perso-nas tiran con fuerzas de magnitud Fen direcciones opuestas una báscula de re-sorte que está entre ambas cuerdas.

Algunas aplicaciones de las leyes de Newton 9 3

túan sobre un objeto. Con esto queremos decir que, en un problema de dos dimensio-nes, la suma de todas las fuerzas externas en las direcciones x y y deben separadamente ser iguales a cero, esto es,

l F x = 0 y 2 ^ = 0 [4.10]

En este libro no vamos a considerar problemas en tres dimensiones, pero es posible ha-cer la extensión de la ecuación 4.10 a una situación de tres dimensiones si sumamos una tercera ecuación, XF, = 0.

Considere las dos situaciones de la figura 4.10, donde no hay aceleración. En ambos casos, todas las personas jalan con una fuerza de magnitud F. La lectura de la escala en el inciso (i) de la figura, ¿(a) es mayor, (b) menor o (c) igual a la lectura de la escala en el inciso (ii)?

£jOnsejo4.6

UNA PARTÍCULA EN EQUILIBRIO

Una fuerza neta cero sobre una par-tícula no significa que la partícula no se mueva. Significa que la partícula no está acelerando. Si la partícula tiene una velocidad inicial y experi-menta una fuerza neta cero, continúa en movimiento con la misma velo-cidad. A

ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS Objetos en equilibrio

Se recomienda el siguiente procedimiento para problemas que involucren objetos en equilibrio:

1. Haga un bosquejo de la situación descrita en el enunciado del problema. 2. Trace un diagrama de cuerpo libre para el objeto aislado bajo consideración, y

marque todas las fuerzas que actúan sobre el objeto. 3. Descomponga todas las fuerzas en sus componentes x y y, escogiendo un siste-

ma de coordenadas conveniente. 4. Utilice las ecuaciones 1FX = 0 y XFy = 0. Lleve un control de los signos de las

componentes de las fuerzas. ^ 5. La aplicación del paso 4 lleva a un conjunto de ecuaciones con varias incógni-

tas. De las ecuaciones simultáneas que resultan despeje las incógnitas en térmi-nos de las cantidades conocidas. /

Ejemplo 4.1 Un semáforo en reposo

Un semáforo que pesa 100 N cuelga de un cable vertical unido a otros dos cables que es-tán sujetos a un soporte, como en la figura 4.11a. Los cables superiores forman ángulos de 37.0° y 53.0° con la horizontal. Encuentre la tensión en cada uno de los tres cables.

Razonamiento Debemos construir dos diagramas de cuerpo libre. El primero es pa-ra el semáforo, mostrado en la figura 4.11b; el segundo es para el nudo que sostiene jun-tos los tres cables (figura 4.11c). El nudo es un punto conveniente para escoger porque todas las fuerzas en cuestión actúan en este punto.

Solución De la figura 4.11b, vemos que XFy = 0 da T3 - Fg = 0 o T3 = Fg = 100 N. A continuación, escogemos los ejes de coordenadas que se muestran en la figura 4.10c y descomponemos todas las fuerzas en sus componentes xy y:

Fuerza componente * componente y

TI - T , eos 37.0° Tj sen 37.0°

T2 T2 eos 53.0° r 2 sen 53.0°

T 3 0 - 1 0 0 N

(i)

<ü) FIGURA 4.10 (Examen rápido 4.7) (i) Una persona tira con una fuerza de magnitud Fuña báscula de resorte que está unida a una pared, (ii) Dos perso-nas tiran con fuerzas de magnitud Fen direcciones opuestas una báscula de re-sorte que está entre ambas cuerdas.

9 4 C A P . -JA Las leyes del movimiento

(c)

-

y

/ v:.:í.O-

/

FIGURA 4.11 (Ejemplo 4.1) (a) Semáforo suspendido por cables, (b) Diagrama de cuerpo li-bre para el semáforo, (c) Diagrama de cuerpo libre para el nudo que une los cables.

La condición de equilibrio nos da las ecuaciones

(En este caso, equilibrio significa un semáforo sin movimiento.) De (1) vemos que las com-ponentes horizontales de T^ y T2 deben ser iguales en magnitud, y de (2) vemos que la suma de las componentes verticales de TJ y T2 deben equilibrar la fuerza de gravedad que actúa so-bre el semáforo. De (1) podemos despejar T2 en términos de 7j para obtener

Este valor de T<¿ se puede sustituir en (2) para obtener

T\ sen 37.0° + (1.3371) (sen 53.0°) - 100 N = 0 7j = 60.1 N

T2 = 1.33Tj = 1.33(60.0 N) = 79.9 N

EJERCICIO ¿ C u á n d o es q u e 7 j = 7 2 ?

RESPUESTA Cuando los cables de sostén formen ángulos iguales con el soporte hori-zontal. EJERCICIO Resuelva este problema con el uso de las reglas de suma vectorial y la ley de cosenos y senos del apéndice A.4.

E f e m p í o 4 , 2 Trineo en una pendiente sin fricción Un niño sostiene un trineo en reposo en una pendiente sin fricción y cubierta de nieve, como se ve en la figura 4.12a. Si el trineo pesa 77.0 N, halle la fuerza T ejercida por la cuerda sobre el trineo y la fuerza n ejercida por la pendiente sobre el trineo.

R a z o n a m i e n t o La figura 4.12b muestra las fuerzas que actúan sobre el trineo y un sistema de coordenadas conveniente para este tipo de problema. Note que n, la fuerza ejercida por la pendiente sobre el trineo, es perpendicular (normal) a la pendiente. Ésta puede ejercer una componente de fuerza a lo largo de la pendiente sólo si hay fricción entre el trineo y la pendiente. Como el trineo está en reposo, podemos aplicar la condi-ción desequilibrio como 1FX = 0 y 2,Fy = 0.

Solución Primero, reemplazamos la fuerza de gravedad F ? que actúa sobre el trineo por sus componentes x y y. La componente x tiene magnitud mgsen 6 = (77.0 N) (sen 30.0°) y apunta a lo largo del eje x negativo. La componente y tiene magnitud

2 Fx = T2 eos 53.0° - Ti eos 37.0° = 0

2 Fy = 7i sen 37.0° + T2 sen 53.0° - 100 N = 0 (2)

(1)

(a)

Y-""

(b)

FIGURA 4 .12 (Ejemplo 4.2) (a) Un niño sostiene un trineo en una pendiente sin fricción, (b) Diagrama de cuerpo libre para el trineo.

raucos 6 = (77.0 N) (eos 30.0°) y apunta en la dirección y negativa. Si se aplica la condición para equilibrio al trineo, hallamos que

= T - (77.0 N) (sen 30.0°) = 0

T = 38.5 N

^Fy = n- (77.0 N) (eos 30.0°) = 0

n = 66.7 N

Observe que n es menor que el peso del trineo en esta situación. Esto es porque el tri-neo está sobre una pendiente y n es igual en magnitud y opuesta en dirección a la com-ponente de la fuerza de gravedad perpendicular a la pendiente.

EJERCICIO

ción?

RESPUESTA

EJERCICIO

RESPUESTA la cuerda sobre el trineo o es cero o está a lo largo de la horizontal.

¿Qué ocurre a la fuerza normal a medida que aumenta el ángulo de inclina-

Decrece.

¿Cuándo la magnitud de la fuerza normal es igual al peso del trineo?

Cuando el trineo está en una superficie horizontal y la fuerza ejercida por

9 6 C A P . -JA Las leyes del movimiento

I® Considere a un niño del que se tira en el tobogán de la figura 4.13. La magnitud de la fuerza normal ejercida por el suelo sobre el tobo-gán, ¿es (a) igual al peso total del niño más el tobogán, (b) mayor que el peso total, (c) menor que el peso total o (d) posiblemente ma-yor o menor que el peso total dependiendo de la magnitud del peso con relación a la tensión en la cuerda?

FIGURA 4 .13 (Examen rápido 4.8)

OBJETOS ACELERADOS Y SEGUNDA LEY DE NEWTON En una situación en la que una fuerza neta actúa sobre un objeto, el objeto acelera, y uti-lizamos la segunda ley de Newton para analizar el movimiento. Los ejemplos y sugeren-cias que aparecen a continuación le ayudarán a resolver problemas de este tipo.

ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS Newton

Se recomienda el siguiente procedimiento para trabajar problemas donde inter-viene la aplicación de la segunda ley de Newton: 1. Trace un diagrama del sistema. 2. Aisle el objeto de interés cuyo movimiento se esté analizando. Trace un diagra-

ma de cuerpo libre para este objeto, que muestre todas las fuerzas externas que actúan sobre él. Para sistemas que contengan más de un objeto, trace un dia-grama de cuerpo libre por separado para cada objeto.

3. Establezca ejes de coordenadas para cada objeto, y encuentre las componentes de las fuerzas a lo largo de estos ejes. Es conveniente seleccionar un sistema de coordenadas, donde uno de los ejes sea paralelo al movimiento de los objetos. Aplique la segunda ley de Newton en las direcciones xy y para cada objeto.

4. De las ecuaciones de componentes despeje las incógnitas. Recuerde que para obtener una solución completa, debemos tener tantas ecuaciones independien-tes como incógnitas haya.

5. Si es necesario, utilice las ecuaciones de cinemática (movimiento con acelera-ción constante) del capítulo 2 para hallar todas las incógnitas.

Fg=u:=300 N

FIGURA 4 .14 (Ejemplo 4.3)

E ¡ e m p ¡ 0 4 . 3 Movimiento de un cajón El peso combinado del cajón y la carretilla de la figura 4.14 es de 300 N. Si la persona ti-ra de la cuerda con una fuerza constante de 20.0 N, ¿cuál es la aceleración del sistema (cajón y carretilla)? y ¿qué distancia se moverá en 2.00 s? Suponga que el sistema arranca desde el reposo y que no hay fuerzas de fricción que se opongan a su movimiento. R a z o n a m i e n t o Podemos hallar la aceleración del sistema con la segunda ley de Newton. Debido a que la fuerza ejercida sobre el sistema es constante, su aceleración es constante. Por lo tanto, podemos aplicar las ecuaciones de movimiento con acelera-ción constante para encontrar la distancia recorrida en 2.00 s.

Algunas aplicaciones de las leyes de Newton 9 7

Solución Para aplicar la segunda ley de Newton al sistema, primero debemos conocer su masa:

w 300 N m = 7 = 9.80 m/s 2 = 3 ° ' 6 k g

Ahora podemos hallar la aceleración del sistema con la segunda ley:

F. 20.0 N m 30.6 kg

= 0.654 m/s J

Como la aceleración es constante, podemos hallar la distancia que mueve el sistema en 2.00 s con la relación x = vqí + |a í 2 con vq = 0:

x = ¡at2 = |(0.654 m/s2) (2.00 s)2 = 1.31 m

Es importante observar que la fuerza constante aplicada de 20.0 N se supone que actúa sobre el sistema todo el tiempo durante su movimiento. Si la fuerza se retirara en algún instante, el sistema continuaría moviéndose con velocidad constante y, por lo tanto, con aceleración cero.

•HHHMHHM ] .

Ejemplo 4 .4 El auto fugitivo Un automóvil de masa m está sobre un camino inclinado a un ángulo 6 = 20.0°, como en la figura 4.15a. Determine la aceleración del automóvil, suponiendo que el camino no ejerce fricción.

FIGURA 4.15 (Ejemplo 4.4)

R a z o n a m i e n t o El diagrama de cuerpo libre del automóvil se ilustra en la figura 4.15b. Las únicas fuerzas ejercidas sobre el auto son la fuerza normal n, que actúa per-pendicular a la superficie del camino, y la fuerza de gravedad F^que actúa verticalmente hacia abajo. Es conveniente seleccionar los ejes de coordenadas con el eje xa lo largo de la pendiente y el eje y perpendicular a ella. Luego sustituimos la fuerza de gravedad con una componente de magnitud mg sen 6 a lo largo del eje x positivo y una componente de magnitud mg eos 6 a lo largo del eje y negativo.

Solución Al aplicar la segunda ley de Newton en forma de componentes, con ay = 0, resulta:

2 Fx = mgsen 8 = max (1)

^Fy = n - mgcos 6 = 0 (2)

98 C A P . 4 Las Inés del movimiento

De (1) vemos que la aceleración del automóvil a lo largo del camino es proporcionada por la componente de la fuerza de gravedad dirigida a lo largo de éste:

"x = gsen f) (3)

Observe que la aceleración dada por (3) es constante e independiente de la masa del auto-móvil: depende sólo del ángulo de inclinación y de g. En nuestro ejemplo, 9 = 20.0°. pol-lo que encontramos que

ax = 3.35 m / s 2

EJERCICIO Un automóvil compacto y un gran sedán de lujo están en reposo sobre un camino cubierto de hielo (sin fricción). Si ambos se deslizan cuesta abajo por el camino, ¿cuál llega primero a la parte baja?

RESPUESTA Como la aceleración es independiente de la masa y, por tanto, es igual para ambos vehículos, éstos llegan simultáneamente.

EJERCICIO Si la longitud del camino es de 25.0 ni y un automóvil arranca desde el repo-so en lo alto, ¿cuánto tarda en llegar a la parte baja? ¿Cuál es la rapidez del auto en la parte baja?

RESPUESTA 3 . 8 6 s; 1 2 . 9 m / s . (

Ejemplo 4.5 Para pesar un pescado en un eievador Una persona pesa un pescado de masa m en una báscula de resorte unida al techo de un elevador, como se ve en la figura 4.16. Demuestre que si el elevador acelera hacia arriba o hacia abajo, la báscula dará una lectura diferente de! verdadero peso del pescado.

• z P V

mg mg

(b) (a)

FIGURA 4 . 1 6 (Ejemplo 4.5)

SoíursÓR Las fuerzas que actúan sobre el pescado son la fuerza hacia abajo de la gravedad Fgy la fuerza T hacia arriba ejercida por la báscula de resorte. Por la tercera ley de Newton, la tensión T también es la lectura de la báscula. Si el elevador está en reposo o se mueve a ve-locidad constante, el pescado no está acelerando y = T — F„ = 0 o bien T= Fg = mg.

Si el elevador se mueve con una aceleración a, entonces la segunda ley de Newton aplicada al pescado da la fuerza neta ejercida sobre éste:

I r T- mg - (1 )

donde hemos escogido la dirección hacia arriba como la positiva. Así, concluimos de (1) que la báscula que indica Tes mayor que el peso mg si a está hacia arriba, de modo que a,

es positiva como se ve en la figüra 4.16a. La lectura es menor que mg si a está hacia abajo, de modo que ay es negativa como en la figura 4.16b.

Por ejemplo, si el peso del pescado es 40.0 N y a está hficia arriba, a., — +2.00 m/s 2 , en-tonces la lectura de la báscula de acuerdo con (1) es

Por lo tanto, si compramos un pescado por peso en un elevador, debemos asegurar-nos de pesarlo cuando el elevador esté en reposo o ¡acelerando hacia abajo! C a s o s e s p e c i a l e s Si se rompe el cable del elevador, éste cae libremente y a , = — g. Vemos de (2) que la lectura Tde la báscula es cero en este caso; esto es, el pescado pare-ce no tener peso. Si el elevador acelera hacia abajo cfon una aceleración mayor que g, el pescado (junto con la persona en el elevador) finalmente toca el techo porque la acele-ración del pescado y la persona todavía es la de un objeto en caída libre.

Cuando un objeto está en movimiento sobre una superficie o en un medio viscoso, por ejemplo aire o agua, hay resistencia al movimiento porque el objeto interactúa con su entorno. A esta resistencia se le denomina fuerza de fricción. Las fuerzas de fricción son muy importantes en nuestra vida diaria; nos permiten caminar o correr y son necesarias para el movimiento de vehículos con ruedas. ..

Im^¿i.icu¡os que el lector está trabajando en su jardín y ha llenado un envase de plástico con pasto y ramas cortadas; luego trata de arrastrar el envase por la superficie en su patio de concreto. Si aplica una fuerza horizontal externa F al envase, que actúe hacia la derecha como se ve en la figura 4.17a, el envasé permanece parado si F es pequeña. La fuerza que contrarresta a F y evita que el envase se mueva a la izquierda se llama fuer-za de fricción estática í f . Mientras el envase no se mueva, fe = F. Entonces, si F aumenta, f„ también aumenta. Del mismo modo, si F disminuye, f„ también disminuye. Los experi-mentos demuestran que la fuerza de fricción aparece a causa de la naturaleza de las dos superficies: debido a su rugosidad, el contacto entre las dos superficies sólo ocurre en unos pocos puntos, como se ve en la imagen amplificada de las superficies que se mues-tra en la figura 4.17a.

Si aumentamos la magnitud de F, como en la figura 4.17b, el envase finalmente se desliza. Cuando el envase está a punto de deslizarse, fe es máxima como indica la figura 4.17c. Cuando Fes mayor q u e / c máXj el envase se mueve y acelera a la derecha. Cuando el envase está en movimiento, la fuerza de fricción es menor a fe¡ máx (figura 4.17c). La fuerza de fricción para un objeto en movimiento se denomina fuerza de fricción cinética f r La fuerza neta F— fc en la dirección x produce una aceleración a la derecha, de acuer-do con la segunda ley de Newton. Si F— fc, la aceleración es cero, y el envase se mueve a la derecha con rapidez constante. Si la fuerza aplicada se retira, la fuerza de fricción que actúa a la izquierda proporciona una aceleración del envase en la dirección -x y, final-mente, lo lleva al reposo, otra vez en consistencia con la segunda ley de Newton.

Experimentalmente, encontramos que, con una buena aproximación,/e> máx y / c p a r a un objeto sobre una superficie son proporcionales a la fuerza normal ejercida por la su-perficie sobre el objeto. Por lo tanto, las observaciones experimentales se pueden re-sumir como sigue:

(2)

Si a está hacia abajo, ay = —2.00 m/s2 , entonces (2) da

4 . 6 FUERZAS DE FRICCIÓ

1 0 0 C A P . -JA Las leyes del movimiento

FIGURA 4.17 (a) La fuer za de fric-ción f,„ ejercida por una superficie de concreto sobre un bote de basura está en dirección opuesta a la fuerza F que una persona ejerce sobre el bote. Mien-tras el bote.de basura no se mueva, la magnitud de la fuerza de fricción estáti-ca es igual a la fuerza aplicada F. (b) Cuando la magnitud de F es mayor que la magnitud de f 0 'la fuerza de fricción cinética, el bote de basura acelera a la derecha, (c) Gráfica de la magnitud de la fuerza de fricción contra la de la fuer-za aplicada. Note que n*.-lx > f...

fe, rnáx

miiii lf ' i''Molimiento

! I ¡ I " >

(c)

f onsep 4. /

USO DEL SIGNO DE IGUAL EN SITUACIONES LIMITADAS

En la ecuación 4.11, el signo de igual se usa sólo cuando las superficies es-tán a punto de comenzar a deslizarse. No caiga en el error común de usar fr =jn,nen cualquier situación estática.

La magni tud de la fuerza de fricción estática entre cualesquiera dos superficies en contacto puede tener los valores

/ , =£ AV" 14.11]

donde la constante sin dimensiones ¡j..,, se llama coeficiente de fricción estática y n es la magnitud de la fuerza normal ejercida por una superficie sobre la otra. La ecuación 4.11 se cumple cuando un objeto está a pun to de deslizarse, es decir, cuando fr = fr m¡íx = ¡xen. Esta situación se denomina movimiento inminente. La desigualdad se cumple cuando la componente de la fuerza aplicada paralela a las superficies es m e n o r que este valor. La magnitud de la fuerza de fricción cinética que actúa en t re dos superficies es

Je = /Arn

d o n d e ¡xc es el coeficiente de fricción cinética.

14.12]

• Los valores de /xcy ixe d e p e n d e n de la naturaleza de las superficies, pe ro /x, es, por lo general, m e n o r que / v La tabla 4.2 lista algunos valores repor tados .

• La dirección de la fuerza de fricción ejercida po r tina superficie sobre u n obje to es opuesta al movimiento real (fricción cinética) o al movimiento inminen te (fricción es-tática) del objeto con respecto a la superficie.

• Los coeficientes de fricción son casi independien tes del área de contacto en t re las su-perficies.

Aun cuando el coeficiente de fricción cinética varía con la rapide.z, aquí vamos a pa-sar po r alto estas variaciones. La naturaleza aproximada de las ecuaciones 4.11 y 4.12 se demuestra fáci lmente si t ratamos de hacer que u n objeto se deslice cuesta abajo en una pend ien te a rapidez constante. En especial a bajas rapideces, es probable que el movi-miento esté caracterizado por episodios alternos de pegarse y deslizarse.

Fuerzas de fricción 101

Coeficientes de fricción2

V-c Me

Acero sobre acero 0.74 0.57 Aluminio sobre acero 0.61 0.47 Cobre sobre acero 0.53 0.36 Caucho sobre concreto 1.0 0.8 Madera sobre madera 0.25-0.5 0.2 Vidrio sobre vidrio 0.94 0.4 Madera encerada sobre 0.14 0.1

nieve húmeda Madera encerada sobre — 0.04

nieve seca Metal sobre metal (lubricado) 0.15 0.06 Hielo sobre hielo 0.1 0.03 Teflón sobre teflón 0.04 0.04 Articulaciones sinoviales 0.01 0.00Í

del ser humano Todos los valores son aproximados.

fc :: " n i 2 ™ Con su mano, un estudiante presiona su libro de física contra una r á p i d o pared vertical. ¿Cuál es la dirección de la fuerza de fricción ejercida

4 . 9 P o r P a r e d sobre el libro? (a) hacia abajo (b) hacia arriba (c) fuera de la pared (d) entrando en la pared.

E x o r n e n Un cajón está apoyado en el centro de la plataforma de un camión. " Z . p t d o El camión acelera hacia el oriente, y el cajón se mueve con él, sin

4 . 1 0 resbalar sobre la plataforma del camión. ¿Cuál es la dirección de la fuerza de fricción ejercida por la plataforma del camión sobre el ca-jón? (a) Al poniente, (b) Al oriente, (c) No hay fuerza de fricción'"' porque el cajón no resbala.

Ex amen Un estudiante juega en la nieve con su hermana más joven, quien es-p O iá sentada en un trineo y le pide pasearla por un campo plano y ho-4 . 1 1 rizontal. El joven tiene la opción de (a) empujarla desde atrás apli-

cando una fuerza hacia abajo en los hombros de ella a 30° abajo de la horizontal (figura 4.18a), o (b) atar una cuerda al f rente del tri-neo y tirar con una fuerza a 30° arriba de la horizontal (figura 4.18b). ¿Cuál será más fácil y por qué?

(*) (b)

FIGURA 4.18 (Examen rápido 4.11)

1 0 2 C A P . -JA Las leyes del movimiento

Movimiento

a

v » - g

FIGURA 4.19 (Ejemplo 4.6) Después que al disco se le comunica una veloci-dad inicial a la derecha, las fuerzas externas que actúan sobre él son la fuer-za de gravedad F,„ la fuerza normal n y la fuerza de fricción cinética f r

-Ejemplo 4 . 6 Un disco de hockey deslizante Al disco de hockey de la figura 4.19 se le da una rapidez inicial de 20.0 m/s sobre un lago congelado. El disco permanece sobre el hielo y se desliza 120 m antes de detenerse. Determine el coeficiente de fricción cinética entre el disco y el hielo'.

Razonamiento El disco se desliza hasta llegar al reposo con una aceleración cons-tante a lo largo de la horizontal. Por lo tanto, podemos usar la ecuación cinemática ir = «o2 + 2aA* para hallar a. La segunda ley de Newton aplicada en la dirección hori-zontal es —fc = — = ma. Para encontrar p,c> primero hallamos la fuerza normal n al aplicar lFy = 0 en la dirección"vertical.

Solución Con la rapidez final v = 0, la rapidez inicial vq = 20.0 m/ s y el desplaza-miento, Ax = 120 m:

v2 = vQ- + 2oAx

Mf 2Ax

0 - (20.0 m/s) 2

2(120 m) —1.67 m/s 2

El signo negativo significa que la aceleración es a la izquierda en la figura 4.19, opuesta a la dirección de la velocidad.

La magnitud de la fuerza de fricción cinética se encuentra de f • tra de tFy = 0 como sigue:

fxcn, y n se encuen-

HjFy= n-

n = F„

Fg= 0

= mg

Entonces,

fc = Me" = V-cW-g

Ahora aplicamos la segunda ley de Newton a lo largo de la dirección horizontal, toman-do la dirección positiva hacia la derecha:

2 Fx = -fr.= ma

- ixcmg — Ma

a_ _ 1.67 m/s 2

g 9.80 m/s2 0.170

Ejemplo 4 .7 Objetos conectados Dos objetos están conectados por una cuerda delgada que pasa sobre una polea sin fric-ción, como en la figura 4.20a. El coeficiente de fricción cinética entre el cubo y la super-ficie es de 0.300. Halle la aceleración de los dos objetos y la tensión en la cuerda.

R a z o n a m i e n t o Los objetos conectados se manejan mejor si se aplica la segunda ley de Newton a cada uno por separado. Los diagramas de cuerpo libre para el cubo y la pelota se ilustran en la figura 4.20b. Si se supone que la cuerda que une los dos objetos no se estira, la magnitud de la aceleración para ambos objetos tiene el mismo valor, a. Vamos a obtener dos ecuaciones que se puedan resolver simultáneamente y que con-tengan a las incógnitas Ty a. Solución Con la dirección x positiva a la derecha y la dirección y positiva hacia arriba, la segunda ley de Newton aplicada al cubo de masa m-¡ da

lFx= T — fc= m¡a

2 Fy = n — mig = 0

Fuerzas de fricción 101

Coeficientes de fricción2

V-c Me

Acero sobre acero 0.74 0.57 Aluminio sobre acero 0.61 0.47 Cobre sobre acero 0.53 0.36 Caucho sobre concreto 1.0 0.8 Madera sobre madera 0.25-0.5 0.2 Vidrio sobre vidrio 0.94 0.4 Madera encerada sobre 0.14 0.1

nieve húmeda nieve húmeda Madera encerada sobre — 0.04

nieve seca Metal sobre metal (lubricado) 0.15 0.06 Hielo sobre hielo 0.1 0.03 Teflón sobre teflón 0.04 0.04 Articulaciones sinoviales 0.01 0.005

del ser humano Todos los valores son aproximados.

. ' . Con su mano, un estudiante presiona su libro de física contra una r á p i d o pared vertical. ¿Cuál es la dirección de la fuerza de fricción ejercida

4 . 9 P o r P a r e d sobre el libro? (a) hacia abajo (b) hacia arriba (c) fuera de la pared (d) entrando en la pared.

Examen Un cajón está apoyado en el centro de la plataforma de un camión, rápido El camión acelera hacia el oriente, y el cajón se mueve con él, sin

4 . 1 0 resbalar sobre la plataforma del camión. ¿Cuál es la dirección de la fuerza de fricción ejercida por la plataforma del camión sobre el ca-jón? (a) Al poniente, (b) Al oriente, (c) No hay fuerza de fricción" porque el cajón no resbala.

E x a m e n Un estudiante juega en la nieve con su hermana más joven, quien es-• s p ü w Q ' tá sentada en un trineo y le pide pasearla por un campo plano y ho-

4 . 1 1 rizontal. El joven tiene la opción de (a) empujarla desde atrás apli-cando una fuerza hacia abajo en los hombros de ella a 30° abajo de la horizontal (figura 4.18a), o (b) atar una cuerda al f rente del tri-neo y tirar con una fuerza a 30° arriba de la horizontal (figura 4.18b). ¿Cuál será más fácil y por qué?

( a ) (b)

FIGURA 4.18 (Examen rápido 4.11)

1 0 2 C A P . -JA Las leyes del movimiento

Movimiento

m g

FIGURA 4.19 (Ejemplo 4.6) Después que al disco se le comunica una veloci-dad inicial a la derecha, las fuerzas externas que actúan sobre él son la fuer-za de gravedad F,,, la fuerza normal n y la fuerza de fricción cinética f,.

.Ejemplo 4 , 6 Un disco de hockey deslizante Al disco de hockey de la figura 4.19 se le da una rapidez inicial de 20.0 m/s sobre un lago congelado. El disco permanece sobre el hielo y se desliza 120 m antes de detenerse. Determine el coeficiente de fricción cinética entre el disco y el hielo'. R a z o n a m i e n t o El disco se desliza hasta llegar al reposo con una aceleración cons-tante a lo largo de la horizontal. Por lo tanto, podemos usar la ecuación cinemática v2 = Vq2 + 2flAx para hallar a. La segunda ley de Newton aplicada en la dirección hori-zontal es —fc = —/J-cn = ma• Para encontrar /x„ primero hallamos la fuerza normal n al aplicar lFy = 0 en la dirección\ertical. Solución Con la rapidez final v = 0, la rapidez inicial vü = 20.0 m/s y el desplaza-miento, Ax = 120 m:

„2 2 + 2aAx

«o" 2AJC

0 - (20.0 m/s ) s

2(120 m ) - 1 . 6 7 m/s 2

El signo jnegativo significa que la aceleración es a la izquierda en la figura 4.19, opuesta a la dirección de la velocidad.

La magnitud de la fuerza de fricción cinética se encuentra def = /xcn, y n se encuen-tra de 2/*,: = 0 como sigue:

2 Fy = n - Fg = 0 n = F„ = mg

í : Entonces,

fc = = M

Ahora aplicamos la segunda ley de Newton a lo largo de la dirección horizontal, toman-do la dirección positiva hacia la derecha:

2 Fx = — f = ma

- ¡¿¿mg = Ma

1.67 m/s2

9.80 m/s2 = 0.170

1 E jemp lo 4 . 7 Objetos conectados Dos objetos están conectados por una cuerda delgada que pasa sobre una polea sin fric-ción, como en la figura 4.20a. El coeficiente de fricción cinética entre el cubo y la super-ficie es de 0.300. Halle la aceleración de los dos objetos y la tensión en la cuerda. Razonamiento Los objetos conectados se manejan mejor si se aplica la segunda ley de Newton a cada uno por separado. Los diagramas de cuerpo libre para el cubo y la pelota se ilustran en la figura 4.20b. Si se supone que la cuerda que une los dos objetos no se estira, la magnitud de la aceleración para ambos objetos tiene el mismo valor, a. Vamos a obtener dos ecuaciones que se puedan resolver simultáneamente y que con-tengan a las incógnitas Ty a.

Solución Con la dirección x positiva a la derecha y la dirección y positiva hacia arriba, la segunda ley de Newton aplicada al cubo de masa m\ da

lFx= T — f = m,a

y, Fy = n - viig = 0

4.00 kg

4.00 kg m ¡ íc~* «

7.00 kg

(a)

miS

) 7.00 kg

i Vm2g

(b)

FIGURA 4 .20 (Ejemplo 4.7) (a) Dos objetos enlazados por una cuerda delgada que pasa sobre una polea sin fricción, (b) Diagramas de cuerpo libre para los objetos.

Como fc = /Jicny n = mig, tenemos /,. = ^cm\gy la primera ecuación de arriba se convier-te en

T - P c r n g = m\ a ( i )

Ahora aplicamos la segunda ley de Newton a la pelota, que se mueve en la dirección ver-tical y tiene masa Como la pelota se mueve hacia abajo cuando el cubo se mueve en la dirección x positiva (a la derecha), definimos hacia abajo como la dirección positiva para la pelota:

m2g - T = m2a ' (2)

Al sumar (1) y (2) se elimina T. dejando una sola ecuación para a:

m¡g — ncmig= (m,i + m¡)a

m¡g - l±crn$g a = mi + m^

Sustituyendo los valores conocidos en esta ecuación tendremos

__ (7.00 kg) (9.80 m/s 2 ) - (0.300) (4.00 kg) (9.80 m/s 2 ) 0 ~~ (4.00 kg + 7.00 kg)

Cuando este valor para la aceleración se sustituya en (1), obtenemos

T= 32.4 N

Es interesante que el resultado para a se pueda obtener (y verificar) más directamente si consideramos los dos objetos conectados como un solo sistema. En este método, la masa total del sistema es mi + m¿ porque ambos objetos están acelerados; la fuerza externa neta ejercida por el mundo exterior sobre el sistema de dos objetos es la diferen-cia entre la fuerza gravitacional sobre y la fuerza de fricción que retarda m\. Esto es,

= m2g ~ \Lcm\g = ( m i + m2)a- Po'r lo tanto,

mg g - ¿v^i g a =

wii + m»

= 5.17 m/s¿

Desafortunadamente, el método de un solo sistema no da información acerca de las

1 0 4 C A P . -JA Las leyes del movimiento

Nota web 4.4 Las poleas como la del ejemplo 4.7 aparecen en varios problemas de fin de capítulo. Las configura-ciones prácticas de poleas a veces son más complicadas que las que se ¡lustran en este libro de texto. El lector interesado puede estudiar sistemas de poleas en: h ttp://www. howstu ffvvorks. com/ pulley.htm

FIGURA 4 .21 Las fuerzas horizonta-les que actúan sobre ei automóvil son las fuerzas f hacia delante, ejercidas por el pavimento sobre cada neumático, y la fuerza de la resistencia del aire R. que actúa opuesta a la velocidad del auto. (Los neumáticos del auto ejercen una fuerza hacia atrás sobre el pavimento, que no se ilustra aquí.)

A PLíCACSOí

PARACAIDISMO

fuerzas internas, que son fuerzas entre partes adyacentes de un sistema. Aquí la tensión es una fuerza interna que no contribuye a la fuerza externa neta sobre el sistema.

EJERCICIO Si el coeficiente de fricción cinética fuera muy grande, la pelota y el cubo podrían moverse con velocidad constante. ¿Qué coeficiente de fricción se requiere para que exista esta situación?

RESPUESTA ¡Sssüssffti ,-i,-

1 . 7 5

L A FRICCIÓN Y EL MOVIMIENTO DE U N AUTOMÓVIL

Las fuerzas de fricción son importantes en el análisis del movimiento de los automóviles y otros vehículos de ruedas. Hay varios tipos de fuerzas de fricción a considerar, s iendo la principal la fuerza de fricción en t re los neumáticos y la superficie del camino y la fuerza de arrastre producida po r la resistencia del aire.

Si se supone que un auto es un vehículo de tracción en las cuatro ruedas y masa m, cuando cada rueda gira para impulsar el auto hacia delante, el neumát ico ejerce sobre el camino una fuerza hacia atrás. La reacción a esta fuerza hacia atrás es una fuerza f hacia delante ejercida por el camino sobre la rueda (figura 4.21). Si suponemos que la misma fuerza f hacia delante se ejerce sobre cada rueda, la fuerza neta hacia delante sobre el auto es 4f, y la aceleración del auto es, po r tanto, a = 4f /m.

Cuando el automóvil está en movimiento, se debe considerar también la fuerza de la resistencia de! aire R, que actúa en dirección opuesta a la velocidad del automóvil. La fuerza neta ejercida sobre el auto es, por tanto, 4f - R, y así la aceleración del auto es

APLICADA & ------ ' r f 4.2

Considere a una paracaidista que cae en el aire antes ele alcanzar su rapidez terminal, como en la figura 4.22. Cuando su rapidez aumenta, ¿qué ocurre con su acelera-ción? ¿Cuál es su aceleración una vez que ella alcanza su rapidez terminal?

Expl icación Las fuerzas ejercidas sobre la paracaidista son la fuerza de la gravedad mg hacia abajo y la fuerza R de la resistencia del aire hacia arriba. Antes que ella al-cance su rapidez termina!, la magnitud de R es menor que el peso de ella. A medida que aumenta su.rapidez hacia abajo, aumenta la fuerza de la resistencia del aire. La suma vectorial de la fuerza de gravedad y la fuerza de la resistencia del aire da una fuerza total que disminuye con el tiempo, de modo que !a aceleración de la mujer disminuye. Una vez que las dos fuerzas se equilibran entre sí de modo que ia fuerza neta es cero, la aceleración es consecuentemente cero, y ella ha alcanzado su rapidez terminal.

FIGURA 4 . 2 2 (Física aplicada 4.2). (Guy Sauvage, Pimío Researchers, Inc.)

Preguntas conceptuales 1 0 5

a = (4f — R)/m. A rapideces normales de conducción, la magnitud de R es proporcio-nal a la primera potencia de la rapidez, es decir, R = bv, donde b es una constante. En-tonces, aumenta la fuerza de la resistencia del aire con una rapidez creciente. Cuando R es igual a 4f la aceleración es cero, y el auto se mueve a una rapidez constante.

Ocurre una situación semejante cuando un objeto cae en el aire. Cuando la fuerza hacia arriba ejercida por el aire sobre un objeto equilibra la fuerza hacia abajo de la gra-vedad ejercida sobre el objeto, la fuerza neta sobre el objeto es cero y, por lo tanto, su aceleración es cero. Una vez alcanzada esta condición, el objeto continúa su movimiento hacia abajo con alguna rapidez máxima constante llamada rapidez terminal.

RESUMEN J -La primera ley de Newton establece que si la fuerza neta ejercida sobre un objeto es cero, un ob-jeto en reposo permanece en reposo y un objeto en movimiento continúa en movimiento con una velocidad constante.

La tendencia de un objeto a conservar su estado de movimiento original se llama inercia. Ma-sa es una cantidad física que mide la resistencia de un objeto a cambios en su velocidad.

La segunda ley de Newton expresa que la aceleración de un objeto es directamente proporcio-nal a la fuerza neta que actúa sobre él e inversamente proporcional a su masa. En forma de ecua-ción, esto se expresa como

2 f = m a [4.1]

La magnitud de la fuerza de gravedad ejercida sobre un objeto se denomina peso de un obje-to, denotado por w. El peso de un objeto de masa m es igual al producto mg:

w = mg [4.6]

La tercera ley de Newton expresa que si dos objetos interactúan, la fuerza F12 ejercida por el objeto 1 sobre el objeto 2 es igual en magnitud y opuesta en dirección a la fuerza F21 ejercida por el objeto 2 sobre el objeto 1. Entonces, una fuerza aislada nunca puede existir en la natura-leza.

Sobre un objeto en equilibrio no actúa una fuerza neta externa, y la segunda ley, en forma de componentes, implica que %FX = 0 y 2Fy = 0.

La magnitud de la fuerza máxima de fricción estática, fc m¿x, entre un objeto y una superficie es proporcional a la magnitud de la fuerza normal que actúa sobre el objeto. Esta fuerza máxima ocurre cuando el objeto está a punto de deslizarse. En general,

' [4.11]

donde /x(, es el coeficiente de fricción estática. Cuando un objeto se desliza sobre una superficie, la dirección de la fuerza de fricción cinética sobre el objeto f r es opuesta a la dirección del movi-miento del objeto respecto a la superficie, y la magnitud es proporcional a la de la fuerza nor-mal. La magnitud de f r es

fc = Ven [4.12]

donde ¡xc es el coeficiente de fricción cinética. En general, /x, < \xr.

PREGUNTAS CONCEPTUALES I .

1. Una pelota está sostenida por la mano de una persona, (a) Identifique todas las fuerzas externas que actúan sobre la pelo-ta y la reacción de cada una. (b) Si la pelota se deja caer, ¿qué fuerza se ejerce sobre ella mientras cae? Identifique la fuerza de reacción en este caso. (Desprecie la resistencia del aire.)

2. Si un auto se desplaza hacia el oeste cofi rapidez constante de 20 m/s, ¿cuál es la fuerza resultante que actúa sobre él?

3. Si un auto se mueve con aceleración constante, ¿puede con-cluirse que no hay fuerzas que actúen sobre él?

4. Una pelota de caucho se deja caer sobre el piso. ¿Qué fuerza hact JUÍ; Ir pelota rebote?

5. Si empujamos una caja pesada que está en reposo, debemos ejercer alguna fuerza para iniciar su movimiento. Sin embar-go, una vez que la caja se deslice, ¿es posible aplicar una fuer-za más pequeña para mantener ese movimiento? ¿Por qué?

6. Si el oro se vendiera por peso, ¿preferiría el lector comprarlo en Acapulco o en la Ciudad de México? Si se vendiera por masa, ¿en cuál de estos dos lugares preferiría comprarlo? ¿Por qué?

7. Una pasajera sentada en la parte trasera de un autobús dice que resultó lesionada cuando el operador del vehículo aplicó los frenos bruscamente, debido a que una valija que estaba

106 C A P . -JA Las leyes del movimiento

enfrente salió despedida y la golpeó. Si el lector fuera juez en este caso, ¿qué disposición daría? ¿Por qué?

8. Una exploradora espacial se mueve por el espacio lejos de cualquier planeta o estrella. Ella observa una gran piedra, to-mada como espécimen en un planeta extraño, flota alrede-dor de la cabina de la nave. ¿Debe empujarla con suavidad o patearla al compartimiento de carga? ¿Por qué?

9. ¿Qué fuerza hace que se mueva un automóvil? ¿Y un avión de hélices? ¿Y un bote de remos?

10. Analice el movimiento de una piedra que se deja caer en agua, en términos de su rapidez y aceleración a medida que cae. Suponga que sobre la piedra actúa una fuerza de resis-tencia que aumenta cuando crece la velocidad.

11. En la película Ocurrió una noche (Columbia Pictures, 1934), Clark Gable está de pie dentro de un autobús estacionado, frente a Claudette Colbert, quien está sentada. El autobús arranca de pronto hacia delante y Clark cae en las piernas de Claudette. ¿Por qué ocurrió esto?

12. Un levantador de pesas está de pie en una báscula de baño y mueve una mancuerna hacia arriba y abajo. ¿Qué pasa con la lectura de la báscula cuando hace esto? Suponga que el hom-bre es tan fuerte que puede lanzar la mancuerna hacia arriba. ¿Cómo varía entonces la lectura de la báscula?

13. En un juego de tirar de una cuerda entre dos atletas, cada uno de ellos tira de la cuerda con una fuerza de 200 N. ¿Cuál es la tensión de la cuerda? Si la cuerda no se mueve, ¿qué fuerza horizontal ejerce cada atleta contra el suelo?

14. Cuando un cohete se dispara desde su plataforma de lan-zamiento, su rapidez y aceleración aumentan con el tiempo mientras sus motores continúan encendidos. Explique por

qué ocurre esto aun cuando el empuje de los motores es constante.

15. Identifique los pares de acción-reacción en las siguientes si-tuaciones: (a) Un hombre da un paso, (b) una bola de nieve golpea a una muchacha en la espalda, (c) un jugador de béis-bol atrapa una pelota, (d) una corriente de aire choca con una ventana.

16. El operador de un camión vacío aplica de pronto los frenos y patina hasta detenerse a una distancia d del semáforo, (a) Si el camión llevara una carga del doble de la masa del camión, ¿fuál sería la "distancia de patinazo" del camión? (b) Si la ra-pidez inicial del camión se redujera a la mitad, ¿cuál sería la "distancia de patinazo" del camión?

17. Supongamos que el lector conduce un auto a alta veloci-dad. ¿Por qué debería evitar "aplicar bruscamente" los frenos cuando desea detenerse en la distancia más corta posible? (Los autos huevos tienen un antiseguro de frenos que evitan este problema.)

18. Un camión cargado con arena acelera a lo largo de una carrete-ra. Si la fuerza que impulsa al camión permanece constante, ¿qué ocurre a la aceleración del camión si su remolque tira are-na a un ritmo constante por un agujero de su parte inferior?

19. Un cajón grande se coloca sobre la plataforma de un camión pe-ro sin sujetarlo, (a) A medida que el camión acelera hacia delan-te, el cajón permanece en reposo respecto al camión. ¿Qué fuer-za hace que el cajón acelere hacia delante? (b) Si el conductor aplica de pronto los frenos, ¿qué debe ocurrirle al cajón?

20. Describa unos cuantos ejemplos en los que la fuerza de fric-ción ejercida sobre un objeto sea en la dirección de movi-miento del objeto.

PROBLEMAS 1, , : = sencillo, intermedio, difícil

web = solución en http://info.brookscole.com/serway = aplicación biomédica

Sección 4.1 Concepto de fuerza

Sección 4.2 Primera iey de Newton

Sección 4.3 Segunda ley de Newton

Sección 4.4 Tercera iey de Newton

1. Un objeto de 6.0 kilogramos experimenta una aceleración de 2.0 m/s2 . (a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre él? (b) Si esta misma fuerza se aplica a un ob-jeto de 4.0 kg, ¿qué aceleración se produce?

2. Un jugador de fútbol hace que un balón acelere desde el re-poso a una rapidez de 10 m / s durante el tiempo en el que su pie está en contacto con el balón (alrededor de 0.20 s). Si el balón tiene una masa de 0.50 kg, ¿qué fuerza media ejerce el jugador sobre el bal™-5

3. El invertebrado más pesado es el calamar gigante, que se esti-l é ma tiene un peso de unas 2 toneladas repartidas en toda su

longitud de 70 pies. ¿Cuál es su peso en newtons? 4. El ave de mayor peso es el cisne trompetero, que pesa unas

| | | 38 libras. ¿Cuál es su peso en newtons?

5. Una bolsa de azúcar pesa 5.00 Ib en la Tierra.v'¿Cuánto debe pesar en newtons en la Luna, donde la aceleración en caída libre es | la de la Tierra? Repita para Júpiter, donde ges 2.64 veces la de la Tierra. Encuentre la masa de la bolsa de azúcar en kilogramos en cada uno de estos tres lugares.

6. Un tren carguero tiene una masa de 1.5 X 107 kg. Si la loco-motora puede ejercer una tracción constante de 7.5 X 10® N, ¿cuánto tiempo se necesita para aumentar la rapidez del tren desde el reposo a 80 km/h?

7. El aire ejerce una fuerza de 10 N hacia delante de la hélice de un avión de juguete de 0.20 kg. Si el avión acelera hacia de-lante a 2.0 m/s 2 , ¿cuál es la magnitud de la fuerza de arrastre ejercida por el aire sobre el avión? Una bala de 5.0 g sale de la boca del cañón de un fusil con una rapidez de 320 m/s . ¿Cuánto vale la fuerza total (que se supone es constante) ejercida sobre la bala cuando avanza por el cañón de 0.82 m de largo del fusil? Un actor de circo es disparado desde un cañón como "bala humana" y sale del cañón con una rapidez de 18.0 m/s . La masa del actor es de 80.0 kg. El cañón mide 9.20 m de largo. Encuentre la fuerza neta media ejercida sobre el actor cuan-do es acelerado dentro del cañón. Para levantar a un paciente, cuatro enfermeras aseguran la sá-

g j i baña sobre la que está el paciente y lo levantan. Si cada enfer-mera ejerce una fuerza de 240 N hacia arriba y el paciente tie-ne una aceleración de 0.504 m/s 2 hacia arriba, ¿cuál es el peso del paciente? Un bote navega sobre el agua con dos fuerzas actuando sobre él. Una es de 2000 N de empuje del agua hacia delante so-bre la hélice, y la otra es una fuerza de arrastre de 1800 N debida al agua alrededor de la proa, (a) ¿Cuál es la acelera-

Problemas 1 0 7

ción del bote de 1000 kg? (b) Si arranca desde el reposo, ¿cuánto avanzará en 10.0 s? (c) ¿Cuál será su velocidad al fi-nal de este tiempo? Se aplican dos fuerzas a un auto en un esfuerzo por moverlo, como se ve en la figura P4.12. (a) ¿Cuál es la resultante de estas dos fuerzas? (b) Si el auto tiene una masa de 3000 kg, ¿qué aceleración tiene? Haga caso omiso de la fricción.

* * " ^ 1' Ü 1BMI 31 FIGURA P 4 . 1 2

1 L a pelvis de ia figura P4.13 tiene una masa de 30 kg. Determi-¡LJ| ne su aceleración.

FIGURA P 4 . 1 5

16. Encuentre la tensión en los dos alamares que sostienen la lámpara de 100 N de la figura P4.16.

300 N 690 N

5100 N J , _Jfe'J

FIGURA P 4 . 1 6

17. Un alimentador de pájaros, que pesa 150 N, está sostenido por tres cables como se ve en la figura P4.17. Encuentre la tensión en cada cable.

FIGURA P 4 . 1 3

14. La fuerza ejercida por el viento sobre las velas de un bote de velas es de 390 N hacia el norte. El agua ejerce una fuerza de 180 N al este. Si el bote (incluyendo su tripula-ción) tiene una masa de 270 kg, ¿cuáles son la magnitud y dirección de su aceleración?

V

Sección 4.5 A l g u n a s apl icaciones de las leyes de N e w t o n

15. Encuentre la tensión en cada cable que sostiene al ladrón de 600 N de la figura P4.15. FIGURA P 4 . 1 7

1 0 8 C A P . -JA Las leyes del movimiento

18. La pierna y escayola de la figura P4.18 pesan 220 N (a^). Deter-mine el peso y el ángulo a necesarios para que la pierna y la escayola no ejerzan fuerza sobre la articulación de la cadera.

FIGURA P 4 . 1 8

Una persona con un antebrazo roto tiene el brazo en un ca-p í bestrillo, como se ve en la figura P4.19. La escayola y el ante-

brazo juntos pesan 98.0 N. Suponiendo que el brazo superior ejerce una fuerza horizontal de 24.0 N a la derecha del ante-brazo, como se muestra, determine la fuerza ejercida por el cabestrillo sobre el cuello.

La distancia entre dos postes de teléfonos es de 50.0 m. Cuan-do un pájaro de 1.00 kg se posa sobre el alambre a la mitad entre ambos postes, el alambre se curva 0.200 m. Trace un diagrama de cuerpo libre del pájaro. ¿Cuánta tensión produ-ce el pájaro en el alambre? Soslaye el peso del alambre. Supongamos que el lector es juez en un concurso infantil de volar cometas, donde dos niños ganarán premios por las co-metas que tiren con más fuerza y con menos fuerza de sus cuerdas. Para medir las tensiones de las cuerdas, usted pide prestado un gancho, algunas pesas y un transportador a su maestro de física, y usa el protocolo que se ilustra en la figura P4.22. Espera que una niña controle bien su cometa, cuelga el gancho sobre la cuerda de la cometa a unos 30 cm de 1 á mano de la niña, pone pesas hasta que esa sección de la cuer-da esté horizontal, registra la masa necesaria y toma nota del ángulo entre la horizontal y la cuerda que corre hasta la co-meta. (a) Explique cómo funciona este método. Cuando us-ted elabore su explicación, imagine que los papás de los ni-ños le preguntan acerca de su método, que pueden hacer falsas suposiciones acerca de su capacidad sin evidencia con-creta, y que su explicación es una oportunidad para darles confianza en su técnica de evaluación, (b) Encuentre la ten-sión de la cuerda si la masa es 132 g y el ángulo es 46.3°.

FIGURA P 4 . 2 2

Una cubeta de agua de 5.0 kg es subida desde un pozo por una cuerda. Si la aceleración de la cubeta hacia arriba es de 3.0 m/s2, encuentre la fuerza ejercida por la cuerda sobre la cubeta.

24. Una compradora en un supermercado empuja un carro car-gado, con una fuerza horizontal de 10 N. El carro tiene una masa de 30 kg. (a) ¿Cuánto avanzará en 3.0 s, si arranca des-de el reposo? (Haga caso omiso de la fricción.) (b) ¿Cuánto avanzará en 3.0 s si la compradora pone a su bebé de 30 N en el carro antes de empezar a empujarlo?

25. Un auto de 2000 kg reduce su velocidad uniformemente de 20.0 m/s a 5.00 m/s en 4.00 s. (a) ¿Qué fuerza total media ac-tuó sobre el auto durante este tiempo, y (b) ¿qué distancia re-corrió el auto durante este tiempo?

26. Dos cajones de empaque de masas de 10.0 y 5.00 kg están unidos por una cuerda delgada que pasa sobre una polea sin fricción como se ve en la figura P4.26. El cajón de 5.00 kg es-tá apoyado sobre un plano inclinado liso que forma un án-gulo de 40.0° con la horizontal. Encuentre la aceleración del cajón de 5.00 kg y la tensión en la cuerda.

27. Suponga que los tres bloques de la figura P4.27 se mueven so-bre una superficie sin fricción y que una fuerza de 42 N actúa, como se ilustra, sobre el bloque de 3.0 kg. Determine (a) la ace-

98.0 N FIGURA P 4 . 1 9

Dos personas tiran de un bote que está en agua, como en la fi-gura P4.20. Cada una ejerce una fuerza de 600 N dirigida a un ángulo de 30.0° con respecto al movimiento del bote hacia de-lante. Si el bote avanza con velocidad constante, encuentre la fuerza de arrastre F ejercida por el agua sobre el bote.

FIGURA P 4 . 2 0

Problemas 1 0 9

FIGURA P 4 . 3 1

F

FIGURA P 4 . 2 7

leración comunicada a este sistema, (b) la tensión en la cuerda que enlaza los bloques de 3.0 kg y de 1.0 kg y (c) la fuerza ejer-cida por el bloque de 1.0 kg sobre el bloque de 2.0 kg.

28. Un objeto de masa de 2.0 kg arranca desde el reposo y se des-liza por un plano inclinado de 80 cm de largo en 0.50 s. ¿Qué fuerza neta está actuando sobre el objeto a lo largo del plano inclinado?

29. Un vagón de 40.0 kg es remolcado cuesta arriba en una pen-diente a 18.5° con respecto a la horizontal. La cuerda del re-molque es paralela a la pendiente y tiene una tensión de 140 N. Suponga que el vagón arranca desde el reposo en la parte ba-ja de la pendiente y desprecie la fricción. ¿Cuál es la rapidez del vagón después de subir 80.0 m por la pendiente?

30. Un objeto de masa mi = 5.00 kg, que se apoya en una mesa horizontal sin fricción, está conectado a un hilo que pasa so-bre una polea y luego se sujeta a un objeto colgante de masa m¿ = 10.0 kg, como en la figura P4.30. Encuentre la acelera-ción de cada objeto y la tensión en el cable.

mj

FIGURA P 4 . 3 0 (Problemas 30, 36 y 45)

31. El antebrazo (incluyendo la mano) de la figura P4.31 tiene una masa de 4.26 kg. El brazo ejerce la fuerza que se mues-tra sobre el antebrazo. Si éste tiene una aceleración de 2.54 m/s2, determine la masa del objeto jalado por la mano. (Suponga que el objeto se desliza sobre una superficie sin fricción.) y*

32. Determine la magnitud y dirección de la fuerza F ejercida por la parte superior de la mano sobre la frente, de modo que la cabeza no ejerza fuerza sobre el cuello en la figura P4.32. No haga caso del peso de la cabeza y suponga que ésta permanece en reposo.

5.00 kg

FIGURA P 4 . 3 4

FIGURA P 4 . 2 6

270 N

FIGURA P 4 . 3 2

33. Un auto de 1000 kg tira de un remolque de 300 kg. Ambos w eb tienen una aceleración de 2.15 m/s2 en la dirección hacia de-

lante. Despreciando las fuerzas de fricción sobre el remolque, determine (a) la fuerza neta sobre el auto, (b) la fuerza neta sobre el remolque, (c) la fuerza ejercida por el remolque so-bre el auto, (d) la fuerza resultante ejercida por el auto sobre el camino.

34. Dos objetos con masas de 3.00 y 5.00 kg están unidos por una cuerda delgada que pasa sobre una polea sin fricción, como en la figura P4.34. Determine (a) la tensión en la cuerda, (b) la aceleración de cada objeto y (c) la distancia que cada obje-to se moverá en el primer segundo de movimiento si ambos objetos arrancan desde el reposo.

1 1 0 C A P . -JA Las leyes del movimiento

Sección 4.6 Fuerzas de fricción

35. Un trabajador del muelle de un puerto carga cajas en un barco y encuentra que una caja de 20 kg, inicialmente en re-poso sobre una superficie horizontal, requiere de una fuerza horizontal de 75 N para ponerse en movimiento. Sin em-bargo,. después que la caja está en movimiento, es necesaria una fuerza horizontal de 60 N para mantenerla en movimien-to con una rapidez constante. Encuentre los coeficientes de fricción estática y cinética entre la caja y el piso.

36. En la figura P4.30, m1 - 10 kgy m̂ = 4.0 kg. El coeficiente de fricción estática entre m\ y la superficie horizontal es 0.50, mientras que el coeficiente de fricción cinética es 0.30. (a) Si el sistema se suelta desde el reposo, ¿cuál será su aceleración? (b) Si el sistema se pone en movimiento con m% moviéndose hacia abajo, ¿cuál será la aceleración del sistema?

37. Un cajón de 1000 N se empuja en un piso horizontal a una rapidez constante por una fuerza F de 300 N, a un ángulo de 20.0° abajo de la horizontal, como se ve en la figura P4.37a. (a) ¿Cuál es el coeficiente de fricción cinética entre la caja y el piso? (b) Si la fuerza de 300 N jala en lugar de empujar el bloque a un ángulo de 20.0" sobre la horizontal, como se ve en la figura P4.37b, ¿cuál será la aceleración de la caja? Su-ponga que el coeficiente de fricción es el mismo que se halló en (a).

FIGURA P 4 . 4 0

(a) (b)

FIGURA P 4 . 3 7

Un disco de hockey es golpeado sobre un lago congelado y empieza a moverse con una rapidez de 12.0 m/s. Cinco se-gundos después, su rapidez es de 6.00 m/s. (a) ¿Cuál es su aceleración media? (b) ¿Cuál es el valor medio del coeficien-te de fricción cinética entre el disco y el hielo? (c) ¿Qué dis-tancia recorre el disco durante este intervalo de 5.00 s?

39. El coeficiente de fricción estática es 0.800 entre las suelas de los zapatos de deporte de una corredora y la superficie a nivel' de la pista sobre la que corre. Determine la máxima acelera-ción que puede alcanzar. ¿Es necesario saber que la masa de ella es de 60.0 kg?

40. Una mujer en un aeropuerto está remolcando su maleta de 20.0 kg a rapidez constante al tirar de una correa a un ángulo 0 arriba de la horizontal (figura P4.40). Ella tira de la correa con una fuerza de 35.0 N, y la fuerza de fricción sobre la ma-leta es de 20.0 N. Trace un diagrama de cuerpo libre de la maleta, (a) ¿Qué ángulo forma la correa con la horizontal? (b) ¿Qué fuerza normal ejerce el suelo sobre la maleta? El coeficiente de fricción estática entre la caja de 3.00 kg y el plano inclinado de 35.0° de la figura P4.41 es de 0.300. ¿Qué fuerza mínima F debe aplicarse a la caja en dirección perpen-dicular al plano para evitar que la caja baje por el plano incli-nado? Una caja de libros que pesa 300 N es empujada por el piso de un departamento por una fuerza de 400 N ejercida hacia aba-jo a un ángulo de 35.2° abajo de la horizontal. Si el coeficien-te de fricción cinética entre caja y piso es 0.570, ¿cuánto tiem-po se necesita para mover la caja 4.00 m, comenzando desde el reposo? Un objeto que cae por efecto de la atracción gravitacional ex-perimenta una fuerza de fricción debida a la resistencia del

aire. La magnitud de esta fuerza es aproximadamente pro-porcional a la rapidez del ob je to , /= bv. Suponga que b = 15 kg/s y m = 50 kg. (a) ¿Cuál es la rapidez terminal que alcanza el objeto mientras cae? (b) Su respuesta al inciso (a), ¿depen-de de la rapidez inicial del objeto? Explique.

44. Una estudiante decide mover una caja de libros a su dormito-rio al tirar de una cuerda unida a la caja. Ella tira con una fuerza de 80.0 N a un ángulo de 25.0° arriba de la horizontal. La caja tiene una masa de 25.0 kg, y el coeficiente de fricción cinética entre caja y piso es de 0.300. (a) Encuentre la acele-ración de la caja, (b) La estudiante empieza ahora a subir la caja por una pendiente de 10.0°, conservando su fuerza de 80.0 N dirigida a 25.0° arriba de la línea de la pendiente. Si el coeficiente de fricción no cambia, ¿cuál es la nueva acelera-ción de la caja?

' Objetos con masas m\ = 10.0 kg y m¿ = 5.00 kg están unidos web por una cuerda delgada que pasa sobre una polea sin fric-

ción, como en la figura P4.30. Si, cuando el sistema arranca desde el reposo, mq, cae 1.00 m en 1.20 s, determine el coefi-ciente de fricción cinética entre m\ y la mesa.

46. Un auto se desplaza a 50.0 km/h en una carretera plana, (a) Si el coeficiente de fricción entre el pavimento y los neumáti-cos en un día lluvioso es 0.100, ¿cuál es la distancia mínima en la que el carro se detendrá? (b) ¿Cuál es la distancia de pa-rada cuando la superficie está seca y el coeficiente de fricción es de 0.600?

47. A un bloque de 2.00 kg se le comunica una rapidez inicial de 2.50 m/s subiendo por una pendiente de 15.0° con la hori-zontal. El coeficiente de fricción cinética entre bloque y pla-no es 0.250. ¿Qué rapidez tiene precisamente cuando regresa a su posición inicial?

48. El conductor de un auto deportivo de 600 kg, que va directa-mente hacia un crucero de ferrocarril que está a 250 m de

3.00 kg

FIGURA P 4 . 4 1

Problemas 1 1 1

49.

50. Un bloque de 2.00 kg sp mantiene en equilibro sobre una pendiente de un ángulo 8 = 60.0° por una fuerza horizontal F aplicada en la dirección que se muestra en la figura P4.50. Si el coeficiente de fricción estática entre el bloque y la pen-diente es ¡le = 0.300, determine (a) el valor mínimo de F y (b) la fuerza normal de la pendiente sobre el bloque.

distancia, aplica los frenos en una parada de pánico. El auto se desplaza (ilegalmente) a 40 m/s, y los frenos pueden pro-ducir una fuerza de fricción de 1200 N. (a) ¿Con qué rapidez se mueve el auto cuando llega al crucero? (b) ¿Escapará el conductor a una colisión con un tren carguero que está a 80.0 m de la intersección y que avanza a 23 m/s? Encuentre la aceleración experimentada por cada uno de los dos objetos que se ven en la figura P4.49, si el coeficiente de fricción cinética entre el objeto de 7.00 kg y el plano es de 0.250.

FIGURA P 4 . 4 9

FIGURA P4.5T

FIGURA P 4 . 5 0

La persona de la figura P4.51 pesa 170 libras. Las muletas for-man cada una un ángulo de 22.0° con la vertical (vista de frente). La mitad de su peso está sostenida por las muletas; la otra mitad, por las fuerzas verticales ejercidas por él suelo so-bre sus pies. Si se supone que él está en reposo y la fuerza ejercida por el suelo sobre las muletas actúa a lo largo de és-tas, determine (a) el coeficiente de fricción mínimo posible entre muletas y suelo y (b) la magnitud de la fuerza de com-presión sostenida por cada muleta.

52. Un pequeño bloque de masa m — 2.00 kg se apoya sobre el borde izquierdo de un bloque de longitud L = 3.00 m y masa M = 8.00 kg. El coeficiente de fricción cinética entre los dos bloques es /Uc = 0.300, y la superficie sobre la cual se apo-ya el bloque de 8.00 kg no tiene fricción. Se aplica una fuerza horizontal constante de magnitud F = 10.0 N al bloque de 2.00 kg, que lo pone en movimiento como se ve en la figura P4.52a. (a) ¿Cuánto tiempo es necesario que transcurra antes que este bloque esté al lado derecho del bloque de 8.00 kg, como se muestra en la figura P4.52b? (Nota: Ambos bloques se ponen en movimiento cuando se aplica F.) (b) ¿Qué dis-tancia se mueve el bloque de 8.00 kg en el proceso?

V

PROBLEMAS ADICIONALES 53. Hállese la fuerza neta ejercida por los cables sobre la pierna

de la figura P4.53. Los cables están horizontales antes de pasar sobre las poleas. Suponga que la pierna permanece en reposo.

(b) FIGURA P 4 . 5 2

FIGURA P 4 . 5 3

54. Uno de los grandes peligros para los montañistas es una ava-lancha, en la que una gran masa de nieve y hielo se despren-de y baja por una superficie esencialmente sin fricción sobre un colchón de aire comprimido. Si una persona está en la pendiente de 30.0° de una montaña y se inicia una avalancha

1 1 2 C A P . -JA Las leyes del movimiento

a 400 m cuesta arriba, ¿cuánto tiempo tendría para apartarse del camino?

55. (a) ¿Cuál es la fuerza resultante ejercida por los dos cables que sostienen el semáforo de la figura P4.55? (b) ¿Cuál es el peso del semáforo?

FIGURA P 4 . 5 5

56. Como protesta por las decisiones de un umpire (árbitro en el béisbol), un lanzador tira una pelota al aire directamente ha-cia arriba a una rapidez de 20.0 m/s. En el proceso, él mueve su mano una distancia de 1.50 m. Si la pelota tiene una masa de 0.150 kg, encuentre la fuerza que el lanzador ejerce sobre la pelota para darle esta rapidez hacia arriba.

57. Una muchacha baja por inercia en un trineo, llegando a una superficie al nivel de la parte baja con una rapidez de 7.0 m/s. Si el coeficiente de fricción entre correderas y nieve es de 0.050 y la muchacha y el trineo juntos pesan 600 N, ¿qué dis-tancia recorre el trineo sobre la superficie a nivel antes de de-tenerse?

58. (a) ¿Cuál es la fuerza de fricción mínima necesaria para sos-tener en equilibrio el sistema de la figura P4.58? (b) ¿Qué coeficiente de fricción estática entre el bloque de 100 N y la mesa asegura el equilibrio? (c) Si el coeficiente de fricción cinética entre el bloque de 100 N y la mesa es 0.250, ¿qué peso colgante debe sustituir al peso de 50.0 N para que el sis-tema se mueva a rapidez constante una vez que se ponga en movimiento?

100 N

50.0 N

i,' FIGURA P 4 . 5 8

59. Una caja descansa sobre la plataforma de un camión. El coefi-web ciente de fricción estática entre la caja y la plataforma es de

0.300. (a) Cuando el camión acelera hacia delante, ¿qué fuer-za acelera la caja? (b) Encuentre la máxima aceleración que puede tener el camión antes que la caja se deslice. Un bloque de 4.00 kg es empujado a lo largo del techo con una fuerza aplicada constante de 85.0 N que actúa a un ángu-lo de 55.0° con la horizontal, como en la figura P4.60. El blo-que acelera a la derecha a 6.00 m/s2. Determine el coeficien-te de fricción cinética entre el bloque y el techo.

" FIGURA P 4 . 6 0

61. Un plano sin fricción mide 10.0 m de largo y está inclinado 35.0°. Un trineo arranca en la parte inferior con una rapidez inicial de 5.00 m/s cuesta arriba por la pendiente. Cuando llega al punto en el que momentáneamente se detiene, un se-gundo trineo se suelta desde lo alto de esta pendiente con una rapidez inicial v¿. Ambos trineos llegan al fondo de la pendiente en el mismo momento, (a) Determine la distancia, que el primer trineo recorrió al subir la pendiente, (b) Deter-mine la rapidez inicial del segundo trineo.

i 62. Tres objetos están unidos por cuerdas delgadas, como se muestra en la figura P4.62. La cuerda que conecta el objeto de 4.00 kg y el objeto de 5.00 kg pasa sobre una polea sin fric-ción. Determine (a) la aceleración de cada objeto y (b) la tensión en las dos cuerdas.

1

FIGURA P 4 . 6 2

; 3. Una bloque de 3.00 kg arranca desde el reposo en lo alto de una pendiente de 30.0° y se desliza 2.00 m por la pendiente en 1.50 s. Halle (a) la aceleración del bloque, (b) el coefi-ciente de fricción cinética entre el bloque y la pendiente, (c) la fuerza de fricción que actúa sobre el bloque y (d) la rapi-dez del bloque después que se ha deslizado 2.00 m.

* Un pingüino de 5.0 kg se sienta en un trineo de 10 kg, como en la figura P4.64. Una fuerza horizontal de 45 N se aplica al trineo, pero el pingüino trata de impedir el movimiento sos-teniéndose de una cuerda unida a una pared. El coeficiente de fricción cinética entre el trineo y la nieve, así como entre el trineo y el pingüino, es de 0.20. (a) Trace un diagrama de cuerpo libre para el pingüino y uno para el trineo, e identifi-que la fuerza de reacción para cada fuerza que se incluya. De-termine (b) la tensión en la cuerda y (c) la aceleración del trineo.

Problemas 113

FIGURA P 4 . 6 4

65. Dos cajas de fruta sobre una superficie horizontal sin fric-ción están unidas por una cuerda delgada, como en la figura P4.65, donde mj = 10 kg y m¿ = 20 kg. Se aplica una fuerza de 50 N a la caja de 20 kg. (a) Determine la aceleración de cada caja y la tensión en la cuerda, (b) Repita el problema pa-ra la caja cuando el coeficiente de fricción cinética entre cada caja y la superficie es de 0.10.

m\

FIGURA P 4 . 6 5

f>6. Un deportista de clavados, de 70 kg de masa, salta de un trampolín a 10.0 m sobre al agua. Si su movimiento hacia aba-jo se detiene 2.00 s después que entra al agua, ¿qué fuerza media hacia arriba ejerció el agua sobre él?

67. Dos personas tiran cuanto pueden de cuerdas unidas a un bo-te de 200 kg. Si tiran en la misma dirección, el bote tiene una aceleración de 1.52 m/s2 a la derecha. Si tiran en direcciones opuestas, el bote tiene una aceleración de 0.518 m/s2 a la iz-quierda. ¿Cuál es la fuerza ejercida por cada persona sobre el bote? (Haga caso omiso de cualesquiera otras fuerzas que ac-túen sobre el bote.)

68. Un objeto de 3.0 kg cuelga de un extremo de una cuerda que está unida a un soporte en un furgón de ferrocarril. Cuando el furgón acelera a la derecha, la cuerda forma un ángulo de 4.0° con la vertical, como se ve en la figura P4.68. Encuentre la aceleración del furgón.

FIGURA P 4 . 6 8

69. Los tres bloques de masas 10.0 kg, 5.00 kg y 3.00 kg están uni-dos por cuerdas delgadas que pasan sobre poleas sin fricción, como se muestra en la figura P4.69. La aceleración del blo-que de 5.00 kg es de 2.00 m/s2 a la izquierda, y las superficies son rugosas. Encuenue (a) la tensión en cada cuerda y (b) el coeficiente de fricción cinética entre bloques y superficies.

(Suponga la misma /¿c para ambos bloques en contacto con las superficies.) //< •.,'• '

5.00 kg / /<? ..;

FIGURA P 4 . 6 9

70. Un inquieto estudiante de física, que desea combinar el pla-cer con la investigación científica, viaja en un carro de monta-ña rusa sentado sobre una báscula de baño. (No trate usted de hacer esto en carros de montaña rusa que prohiban llevar paquetes pesados y sueltos.) La parte inferior del asiento del carro de la montaña rusa ^stá en un plano paralelo a la vía. El asiento tiene un respaldo perpendicular y un cinturón de se-guridad que se ajusta alrededor del pecho del estudiante en un plano paralelo a la parte inferior del asiento. El estudiante levanta sus pies desde el piso, de modo que la báscula indica su peso, 200 Ib, cuando el carro está horizontal. En un punto durante el viaje, el carro se mueve a gran velocidad con fric-ción despreciable por una pendiente recta inclinada a 30.0° abajo de la horizontal. ¿Qué indica allí la báscula?

71. Una camioneta de reparto (van) acelera cuesta abajo (figura P4.71), partiendo del reposo hasta 30.0 m/s en 6.00 s. Duran-te la aceleración, un juguete [m = 0.100 kg) cuelga de una cuerda del techo de la van. La aceleración es tal que la cuer-da permanece perpendicular al techo del vehículo. Determi-ne (a) el ángulo 0 y (b) la tensión en la cuerda.

FIGURA P 4 . 7 1

72. Un "doble" (persona que sustituye a otra en un acto peligro-so) de 80 kg salta desde lo alto de un edificio de 30 m sobre una red de rescate. Si se supone que la resistencia del aire ejerce una fuerza de 100 N sobre el "doble" cuando éste cae, determine su velocidad justo antes que llegue a la red.

73. El paracaídas de un auto de carreras de 8800 N se abre al fi-nal de una carrera de un cuarto de milla cuando el auto co-rre a 35 m/s. ¿Qué fuerza de arrastre debe proporcionar el paracaídas para detener el auto en una distancia de 1000 m?

74. En el despegue, la acción combinada del aire alrededor de los motores y alas de un avión ejerce una fuerza de 8000 N so-bre el avión, dirigida hacia arriba a un ángulo de 65.0° sobre la horizontal. El avión se eleva con velocidad constante en la dirección vertical mientras que continúa acelerando en la di-rección horizontal, (a) ¿Cuál es el peso del avión? (b) ¿Cuál es la aceleración horizontal?

75. Un hombre de 72 kg está de pie sobre una báscula de resorte en un elevador. Arrancando desde el reposo, el elevador asciende y alcanza su máxima rapidez de 1.2 m/s en 0.80 s. Se desplaza con

1 1 4 C A P . -JA Las leyes del movimiento

esta rapidez constante durante 5.0 s, experimenta una acele-ración uniforme negativa por 1.5 s y se-detiene. ¿Qué registra la báscula de resorte (a) antes que el elevador comience a moverse, (b) durante los primeros 0.80 s, (c) mientras el elevador se des-plaza a rapidez constante', (d) durante la aceleración negativa?

76. Un trineo que pesa 60.0 N es jalado horizontalmente a través de un terreno nevado, de modo que el coeficiente de fricción cinética entre el trineo y la nieve es de 0.100. Un pingüino que pesa 70.0 N viaja en el trineo, como en la figura P4.76. Si el coeficiente de fricción estática entre el pingüino y el trineo es de 0.700, halle la máxima fuerza horizontal que se pueda ejer-cer sobre el trineo antes que el pingüino empiece a deslizarse.

FIGURA P 4 . 7 8

La tabla intercalada entre las otras dos tablas que se muestran en la figura P4.77 pesa 95.5 N. Si el coeficiente de fricción entre las tablas es de 0.663, ¿cuál debe ser la magnitud de las fuerzas de compresión (que se supone son horizontales) que actúan so-bre ambos lados de la tabla del centro para evitar que resbale?

ACTIVIDADES DE GRUPO BUS! | B

AG.L Hay un método sencillo para medir los coeficientes de frición estática y cinética entre un objeto y alguna superfi-cie. Para esta investigación se necesitan unas pocas mone-das, un libro de texto o alguna otra superficie plana que se pueda inclinar, un transportador y un poco de cinta de do-ble pegadura. Coloque una moneda en un extremo del li-bro cuando éste está sobre una mesa, y levante ese borde del libro hasta que la moneda apenas se deslice hacia abajo por la pendiente a rapidez constante, después de empujar-

la un poco para hacer que se mueva, como se ve en la figu-ra AG4.1. Cuando esto ocurra, mida el ángulo de inclina-ción con el transportador. Repita las mediciones cinco ve-ces y encuentre el valor promedio de este ángulo crítico 8C. El coeficiente de fricción estática entre la moneda y la su-perficie del libro es /xp = tan 6C. (El estudiante debe probar esto como ejercicio.) Calcule el valor promedio de ¡xe. Para medir el coeficiente de fricción cinética, encuentre el án-gulo 6J al que la moneda baja por la pendiente con rapi-

FIGURA P 4 . 7 7

Determine la magnitud de la fuerza neta ejercida por el cable sobre la pierna en la figura P4.78.

79. Un niño ingenioso de nombre Chris desea alcanzar una man-zana de un árbol sin trepar a éste. Sentado en una silla unida a una cuerda que pasa sobre una polea sin fricción (figura P4.79), Chris jala del extremo flojo de la cuerda con tal fuer-za que una báscula de resorte indica 250 N. El verdadero pe-so de Chris es 320 N y la silla pesa 160 N. (a) Demuestre que la aceleración del sistema es hacia arriba y encuentre su mag-nitud. (b) Halle la fuerza que Chris ejerce sobre la silla.

FIGURA P 4 . 7 9

Un helicóptero contra incendios lleva una cubeta de agua de 620 kg al extremo de un largo cable de 20.0 m. Cuando el heli-cóptero está volando hacia un incendio a una rapidez constan-te de 40.0 m/s, el cable forma un ángulo de 40.0° con respecto a la vertical. Determine la fuerza ejercida por la resistencia del aire sobre la cubeta.

FIGURA P 4 . 7 6

Actividades de grupo 115

FIGURA AG4.1

AG.2 Pida prestada una báscula de resorte a su maestro y úsela para estudiar algunas propiedades de la fuerza de fricción. (1) Ate la báscula a un bloque de madera que descanse sobre la su-perficie de una mesa y tome nota de la fuerza necesaria para hacer que el bloque empiece a moverse. Usted y un colabora-dor deben realizar cada uno por lo menos cinco intentos y promediar sus resultados. Esta fuerza medida es el valor máxi-mo de la fuerza de fricción estática entre el bloque y la super-ficie. (2) Ahora utilice la báscula de resorte para medir la fuer-za necesaria para mantener el bloque moviéndose a velocidad constante. De nuevo, efectúe ranos intentos para hallar el va-lor promedio para esta fuerza. La fuerza que el lector encuen-tre es la fuerza de fricción cinética. (3) Voltee el bloque de r ^ d o que un lado con diferente área superficial se encuentre en contacto con la mesa. Repita los experimentos citados lí-neas antes para ver si el área de contacto entre las superficies produce valores diferentes para las fuerzas de fricción.

AG.3 Consiga una báscula de baño y póngase de pie en ella cuan-do suba a un elevador. Observe cuidadosamente lo que ocu-rre a su peso aparente (la lectura de la báscula) como fun-ción del tiempo, cuando el elevador sube o baja. A partir de sus lecturas, ¿qué información puede obtener acerca de la aceleración del elevador durante el viaje?

AG.4 (a) Un elevador que se mueve hacia arriba siente dos fuerzas que actúan sobre él, la tensión en el cable y su peso. Cuando el elevador está acelerando hacia arriba, ¿cuál es mayor, T o w? (b) Cuando el elevador se mueve a velocidad constante ha-cia arriba, ¿cuál es mayor, T ó w? (c) Cuando el elevador se mueve hacia arriba, pero la aceleración es hacia abajo, ¿cuál es mayor, T o w? (d) Supongamos que el elevador tiene una masa de 1500 kg y una aceleración hacia arriba de 2.5 m/s2. Encuentre T. ¿Es su respuesta consistente con la respuesta del inciso (a)? (e) El elevador del inciso (d) ahora se mueve con una velocidad constante hacia arriba de 10 m/s. Encuentre ¡f. ¿Es su respuesta consistente con su respuesta del inciso (b)? (f) El elevador que ahora Se mueve inicialmente hacia arriba empieza a acelerar hacia abajo a 1.50 m/s2. Encuentre T. ¿Es su respuesta consistente con su respuesta del inciso (c)?

AG.5 Supongamos que el lector empuja un bloque que está en re-poso sobre una mesa, (a) Usted presiona sobre el bloque, pe-ro no lo suficientemente fuerte como para hacer que empiece a moverse. ¿Cuáles son las fuerzas que actúan sobre el bloque? (Asegúrese de especificar el tipo de fuerza y el objeto que pro-duce cada fuerza.) Siempre que pueda, compare las magni-tudes de fuerzas. Dé una breve explicación de cómo es que conoce cada uno de los resultados que exprese, (b) Usted pre-siona un poco más fuerte y el bloque empieza a moverse. Des-pués de un momento de arranque, usted presiona de modo que el bloque se mueve con velocidad constante. Durante el tiempo mientras el bloque se está moviendo con velocidad constante, ¿han cambiado alguna de las comparaciones que expresó en (a)? ¿Cuáles? ¿Han cambiado alguna de las fuer-zas? ¿Cuáles? (c) Suponga que el bloque tiene una masa de 0.4 kg y el coeficiente de fricción cinética entre el bloque y la mesa es de 0.3. ¿Qué fuerza tendrá usted que usar para con-servarlo en movimiento a una rapidez constante de 0.2 m/s?

AG.6 Considere una esfera metálica (S) de unos cuantos centí-metros de diámetro y una pluma (F). Para cada cantidad de la lista que aparece a continuación, indique si la canti-dad es mayor para S que para F, igual para ambas o mayor para E Explique cada una de sus respuestas. (a) La fuerza gravitacional. (b) El tiempo que tardará en caer una distancia dada en aire. (c) El tiempo que tardará en caer una distancia dada en vacío. (d) La fuerza total sobre el objeto cuando cae en el vacío. (e) La fuerza total sobre el objeto cuando cae en aire. (Los problemas 5 y 6 son cortesía de E. F. Redish. Para más problemas de este tipo, visite http://www.physics.umd. edu/perg/)

dez constante después de empujarla para que empiece a moverse. Este ángulo debe "ser menor a 8C. Mida cinco ve-ces este nuevo ángulo y obtenga su valor promedio. Calcule el valor promedio de ju,,. usando el hecho de que ¡xr = tan 8C', donde 8,' < 8C. Repita estas mediciones usando dos o tres monedas puestas una sobre la otra, con cinta de doble pegadura entre ellas. Deben obtenerse los mismos resulta-dos que con una moneda. ¿Por qué?

Moneda

GABRELD JIM DAVIS

HOLGAZÁN, HOLGAZÁN HOLGAZÁN, HOLGAZÁN

ERES HOLGAZÁN, GARFIELD

ESTOY EJECUTANDO

UN EXPERIMENTO, GRACIAS

ESTOY PROBANDO LA PRIMERA

LEY DE FÍSICA