Download - segitiga bola
PENGERTIAN DASARILMU UKUR SEGITIGA BOLA
Perpotongan antara sebuah bidang datar dengan
permukaan bola berupa lingkaran.
Apabila bidang datar tersebut melalui pusat bola,
maka lingkarannya disebut lingkaran besar
Apabila bidang datarnya tidak melalui posat bola
maka lingkarannya disebut lingkaran kecil.
Panjang busur lingkaran besar sama dengan sudut
pada pusat bola yang menghadap busur tersebut.
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
DASAR SEGITIGA BOLA
Dua lingkaran besar pada bola saling membagi dua sama besar
Teorema :
Bukti :
Dari definisi tentang lingkaran besar, maka setiap dua lingkaran besar selalu berpotongan menurut garis lurus yang melalui pusat bola.Garis lurus ini merupakan garis tengah dari kedua lingkaran besar tersebut.Jadi kedua lingkaran membagi dua sama besar.
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
Sudut antara lingkaran besar sama dengan panjang busur lingkaran besar yang kutubnya adalah titik sudut tersebut
Teorema :
Bukti :
Andaikan P adalah kutub dari
lingkaran AB’A’B.
PC garis singgung pada busur PA.
PD garis singgung pada busur PB
maka OA// PC, OB// PD
Jadi < CPD = <AOB
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
DASAR SEGIDUA BOLA
Segidua bola adalah bagian dari permukaan bola yang dibatasi oleh dua lingkaran besar yang ujung-ujungnya berimpit.
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
Jika sudut A segidua bola maka luas segidua bola
Teorema :
Bukti :
Jika AC busur lingkaran besar yang melalui tengah-tengah dari segidua bola AB’A’CA.
Lingkaran BCB’B terdiri dari 3600 dibagi menjadi 36 bagian yang sama besar, dan terbentuklah segi dua bola yang titik sudutnya A dan A’.
Maka tiap segi dua bola luasnya adalah
Dengan demikian, apabila sudut segi dua bola adalah A maka luas permukaan segidua bola adalah
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
SEGITIGA BOLA
Segitiga bola adalah bagian dari
permukaan bola yang dibatasi oleh
tiga busur lingkaran besar, yang
masing-masing lebih kecil dari 1800
Definisi :
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
SEGITIGA SAMPING
Segitiga samping adalah segitiga bola
yang terjadi dengan memperpanjang
dua sisi dari sebuah segi tiga bola
sampai berpotongan.
Definisi :
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
SEGITIGA KUTUB
Segitiga kutub adalah segitiga bola
yang titik-titik sudutnya merupakan
titik-titik kutub dari sisi-sisi segi tiga
bola semula.
Definisi :
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
SEGITIGA LAWAN
Panjang sisi-sisi segitiga bola sama dengan panjang sisi-sisi segitiga lawannya.
Teorema :
Bukti :
Karena perpotongan dua buah lingkaran besar saling membagi samapanjang, maka:AC sama dengan A’C’AB sama dengan A’B’BC sama dengan B’C’.Sehingga panjang sisi-sisi segitiga bola ABC sama dengan panjang sisi-sisiA’B’ dan C’.
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
LUAS SEGITIGA BOLA
Luas daerah dalam segitiga bola sama dengan luas daerah dalamsegitiga lawannya.
Teorema :
Bukti :
Karena panjang sisi-sisi segitiga bola ABC
sama dengan panjang sisi-sisi
A’B’C’ maka luas ABC sama dengan luas
A’B’C’.
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG`
SIFAT SUDUT SEGITIGA BOLA
Jumlah tiga buah sudut sebuah segitiga bola lebih besar dari 180º
Teorema :
Bukti :
Luas segitiga bola =
Luas ini adalah positif, maka
Sehingga
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG`
Dalam sebuah segitiga bola, jumlah dua sudut dikurangi sudut yang lain kurang dari 180º
Teorema :
Bukti :
Pandang segi tiga samping A’BC.Menurut teorema di atas,A'CB + A'BC + A' > 180 .(180º - C)+ (180º - B)+ A > 180º- C - B + A > ( - 180º )A + B + C < 180º
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG`
SIFAT SISI SEGITIGA BOLA
Jumlah sisi sebuah segitiga bola kurang dari 360º
Teorema :
Bukti :
Pandang segitiga kutub berikut ini.
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG`
Dalam sebuah segitiga bola satu sisi lebih kecil dari jumlah kedua sisi yang lain dan lebih besar dari selisih kedua sisi tersebut.
Teorema :
Bukti :
Pandang segitiga kutub di atas.
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG`
KESAMAAN DAN KESEBANGUNAN
Apabila dua segitiga bola semua unsurnya sama berpasang - pasangan, maka kedua segitiga bola tersebut dikatakan sama dan sebangun.
Definisi :
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG`
Dua buah segi tiga bola sama dan sebangun apabila dua buah sisidan sudut apitnya sama.
Teorema :
Bukti :
C = F ,BC = EF ,AC = DF
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG`
KeduaAndaikan unsur-unsur yang sama terletak dalam urutan yang berlawanan, maka segi tiga bola ABC dapat saling menutup setiga lawan DEF yaitu D’E’F’.Karena unsur-unsur segi tiga bola ABC dan segi tiga bola D’E’F’ terletak pada urutan yang sama.Jadi segitiga bola ABC dan DEF symetris.
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG`
Dua buah segitiga bola sama dan sebangun apabila sebuah sisidan dua buah sudut pada sisi tersebut sama.
Teorema :
Bukti :
Apabila kedua segitiga bola tersebut sama, sebuah sisi serta dua buah sudut pada sisi tersebut, maka segi tiga kutubnya sama sebuah sudut dan dua buah sisi yang mengapit sudut tersebut.Menurut teorema 13 kedua segi tiga kutub sama dan sebangun.Jadi kedua segi tiga yang semula sama dan sebangun.
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG`
Dalam sebuah segi tiga bola sama kaki maka sudut alasnya sama dan sebangun bila sudut alas segi tiga bola sama, maka merupakan segi tiga bola sama kaki.
Teorema :
Bukti :
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG`
Dalam setiap segitiga bola dihadapan sisi yang lebih besar terdapat sudut yang lebih besar pula.
Teorema :
Bukti :
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG`
Dalam setiap segitiga bola dihadapan sudut yang lebih besarterletak sisi yang lebih besar pula.
Teorema :
Bukti :
Andaikan dalam segitiga bola ABC dengan A > B.Maka pada segi tiga kutubnya, sisi b’ > a’.Menurut teorema 16, B’ > A’ dan a > b.
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG`
Bukti :
Pandang sebuah bola dengan radius satu satuan panjang beserta segi tiga bola ABC pada permukaan, sudut-sudut BOC, AOC dan AOB masing-masing besarnya a, b dan c karena berhadapan dengan sisisisia,b dan c.
Ambil b dan c sudut lancip.Dari A dibuat garis-garis singgung pada busur AC dan AB, yang masing-masing memotong OC di C’ dan OB di B’, menurut rumuscosinus dari segi tiga bidang datar didapat:
SEGITIGA KUTUB ATURAN COSINUS
UNTUK SUDUTDi depan telah dibuktikan bahwa untuk segitiga kutub, berlaku: Andaikan A’B’C’ segitiga kutub dari
segitiga bola ABC, maka segitiga bola ABC adalah segitiga kutub dari A’B’C’.
Sebuah sudut dalam sebuah segi tiga bola merupakan suplemen dari sisi segitiga kutubnya.
Aturan Sinus
sin(a) sin(b) sin(c)sin(A) sin(B) sin(C)atau
sin(A) sin(B) sin(C)sin(a) sin(b) sin(c)
sin(a) (a)sin(b) (b)sin(c) (c)
RUMUS YANG BERHUBUNGAN DENGAN SEGITIGA BOLA
Diperoleh rumus sebagai berikut :
sin A. sin C
diturunkan
A. Salah Satu Sudut Siku-siku
B. Aturan napier
Untuk memudahkan, aturan-aturan di atas, disajikan
dalam suatu aturan yang disusun oleh John Napier.
Aturan tersebut disusun dengan bantuan gambar
berikut.
Segita bola pada
gambar pertama
merupakan segitiga
bola ABC dan siku-
siku pada C
Pengertian dasar:
Bagian-bagian yang diberi tanda strip di atasnya
merupakan sisi miring dan dua sudut yang satu kakinya
menurut sisi miring.
a, b, , A, B disebut circular parts.
Bagian dari circular parts yang sedang menjadi perhatian
disebut middle part.
Dua bagian yang sebelah menyebelah middle part
dinamakan adjacent part.
Dua bagian lainnya yang tidak berdekatan dinamakan
opposite part.
B dab b merupakan adjacent part dari middle part a.
c dan A merupakan opposite part dari middle part a.
DUA ATURAN PENTING
Aturan penting pertama:
Cos A dan cos a harus
bertanda sama, karena sin B
selalu positif.
Hal ini berarti bahwa a dan A
keduanya lancip atau
keduanya tumpul atau dengan
kata lain terletak pada
kuadran yang sama.
Aturan penting kedua:
Aturan tersebut juga
menunjukkan bahwa B
dan b harus terletak
dalam kuadran yang
sama.