SAYILARDA BASAMAK DEĞERİ KAVRAMI VE ÖĞRENCİLERİN YAŞADIĞI ZORLUKLAR
İÇİNDEKİLER
• BASAMAK DEĞERİ KAVRAMI VE TARİHÇESİ
• BASAMAK DEĞERİ KAVRAMININ ÖĞRENCİLERDE GELİŞİMİ VE ZORLUKLARIN OLASI NEDENLERİ
• BASAMAK DEĞERİYLE İLGİLİ KARŞILAŞILAN ZORLUKLAR, HATALAR VE KAVRAM YANILGILARI
• BASAMAK DEĞERİ KAVRAMI İLE KARŞILAŞILAN ZORLUKLARI ENGELLEMEK İÇİN ÖNERİLER
• SONUÇ
BASAMAK DEĞERİ KAVRAMI VE TARİHÇESİ
Basamak Değeri :
Rakamların sayı içinde bulundukları yere göre almış oldukları değere basamak değeri denir. Çok büyük ve çok küçük sayıları kolayca okumayı ve sembollerle yazmayı sağlayan basamak değeri, kullandığımız sayı sisteminin ve aritmetiğin önemli özelliklerinden ve en soyut kavramlarından biridir.
Örneğin : 5 rakamı sayıdaki yerine göre 5, 50, 500…. Veya 0.5, 0.05, 0.005… gibi değerlere sahip olabilir.
Bir rakamın basamak değeri, söz konusu rakam ile o rakamın bulunduğu basamak değerinin çarpımının sonucu diye hesaplanır.
Örneğin: 10luk sayı sisteminde 6742 sayısındaki 2 rakamı 2x1=2, 4 rakamı 4x10=40, 7 rakamı 7x100=700 , 6 rakamı ise 6x1000=6000 değerine sahiptir.
Çok basit temel aritmetik işlemleri yapmak için öğrencinin basamak değeri kavramın iyi öğrenmiş olması gerekmektedir.
Örneğin: 54+29 işleminin yapılması için 54 ün 5 onluk ve 4 birlikten , 29 sayısının ise 2 onluk ve 9 birlikten oluştuğunun bilinmesi gerekir. Dolayısıyla toplamda 7 onluk+13 birlik yani 8 onluk+3 birlik buradan da toplam 83 sayısı elde edilir.
Tarihsel Gelişimi
Sayıların yazıya döküldüğüne dair ilk izlere yazıyı icat eden Sümerlere ait kil tabletlerinde rastlanmaktadır.Çok eski medeniyetlerin sayı saymak için 1,2 ve 3 sayılarının yanında çok kavramı ile yetindikleri düşünülmektedir.
Daha sonra sayı sayı saymak için çakıl taşlarından, mağara duvarlarına ve kemikler üzerine atılan kertiklerden ve el parmakları gibi araçlarda faydalanılmaya başlanıldığı düşünülmektir.
Çeltikler, çakıl taşları ve parmaklar yetersiz kalmaya başlayınca medeniyetler sahip oldukları sayma ve hesaplamada farklı bir strateji uygulamaya başlamışlardır. Belirli sayıdaki çakıl taşları(örneğin. 12, 60 gibi) farklı yapı ve boyuttaki bir başka çakıl taşıyla temsil edilerek birer birer saymak yerine paket paket saymaya başlanmıştır.
1 10 60 3 600 36 000
Mezopotamyalılarda ki kil toprağından yapılmış farklı sayı şekilleri
Ancak medeniyetlerin çoğalmasıyla insanlar sahip olduklarını saymak için daha farklı materyalleri (sayılara) ihtiyaç duymuş ve bu ihtiyaç neticesinde çakıl taşları ve el parmaklarına nispeten daha kullanışlı olan Babil, Mısır vb. sayı sistemleri ortaya çıktı.
Bu sayı sistemlerinin bazılarında sayılar özel sembollerle ifade etmekteyken(mısırlılarda lotus çiçeği, elleri havada olan adam vb.). Bazı medeniyetler kullandıkları alfabenin harflerinden yararlanmayı tercih etmişlerdir (eski yunanlılarda 1 için alfa, 2 için beta, …).
SAYI 1 10 100 1000 10 000 100 000 1 000 000
Mısır sistemindeki karşılığıAnlamı Lotus
çiçeğiEğik parmak
Kurbağa yavrusu
Elleri havada adam
Mısırlıların kullandıkları rakam
=10 237
Sayı sistemleri, sayıların yazılışı ve okunuşu yönünden 3 ana grupta toplanır. Bunlar :
Yığmalı sayı sistemi
Bu sistem sembollerin ardı ardına yazılarak yeni sayıların türetilmesine dayanmaktadır. Bu sistemin en belirgin örneği romen sayı sistemidir. Bu sistemde 7 tane sembol vardır.I, V, X, L, C, D ve M sembolleri sırasıyla 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000 çokluklarını göstermektedir.
Karma sayı sistemi
Bu sistemde sayıları ifade etmek için hem toplama hem de çarpma aynı anda kullanılmaktadır. 300 sayısı 3 tane yüz şeklinde ifade ediliyor ve önce 3 ardından da 100 ifade edilmekteydi.
BASAMAK DEĞERLİ SAYI SİSTEMİ Karma ve yığmalı sayı sistemlerinde karşılaşılan problemlere çare olması amacıyla ilk olarak Babiller tarafından icat edilmiş ve daha sonra Çin ve Maya imparatorluklarında da kullanılmıştır.
Bu sistemde başlangıçta 0 sayısının olmayışı bir takım problemlere yol açmıştır. Bu duruma çözüm bulmak için ilkel sıfır icat edildi : yatay iki çiviİşareti.
Bildiğimiz manada basamak kavramını Hintlilere borçluyuz. Hintliler şuan kullandığımız ve Hint-Arap rakamı olarak bilinen rakamlara benzer semboller sayesinde sayıların çoğunluğunu rahatça yazabiliyorlardı.
BASAMAK DEĞERİ KAVRAMININ ÖĞRENCİLERDE GELİŞİMİ VE ZORLUKLARIN OLASI NEDENLERİ
Basamak değeri kavramı basit gibi görünmesine rağmen öğrencilerin bu kavramla ilgili bir takım zorluklar yaşadığını biliyoruz.
Bilindiği gibi, değeri ne olursa olsun x tabanında yazılan herhangi bir N doğal sayısını N= şeklinde bir polinom halinde yazmak mümkündür. Burada öğrenci taban olarak yalnızca onluk tabanı kabul etmektedir. Ancak basamak değeri kavramı yalnızca onluk tabanda değil diğer sayı tabanlarında da anlam kazanır.Örneğin: 3621 şeklinde yazılan üç bin altı yüz yirmi bir doğal sayısı polinom olarak şeklinde ifade edilir. Burada 3621 sayısının yazımında ler gizlenmiş olduğundan öğrenci sayıda yer alan 6 rakamını 6x şeklinde göremiyor.
00
11
11 ... xaxaxaxa n
nn
n
0123 101102106103 xxxx n10
210
Sayı sistemimizin öğrenciler tarafından algılamasın zorlaştıran bir başka neden de kullandığımız sistemin yazı dilinde ve sözel dilde uyumsuzluk göstermesidir. Sayıları yazarken 0 dan 9 a kadar olan rakamlarla yetiniriz. Oysa sözel dilde 10 ve 10 un katları için farklı kelimeler kullanılır ve basamak değeri kavramını göz ardı ederiz.
Sözel dil ile yazı dili arasındaki bir diğer uyumsuzluk sıfır sayısı ile alakalıdır.günlük dilde sıfır sayısı hiçbir zaman söylenmezken yazılı dilde yer tutucu olarak karşımıza çıkar. Örneğin : 603 sayısı altı yüz sıfır üç şeklinde değil de altı yüz üç şeklinde okunur.
Bu konuda yapılan araştırmalara göre basamak değeri ile ilgili iki önemli kavram ortaya atılmıştır. Thompson ve Bramald’e göre basamak değeri iki ana kavramdan oluşmaktadır: çokluk değeri ve sıra değeri.
Çokluk değeri 65 sayısının 60 ve 5 şeklinde ayrılarak parçaların toplanması esasına dayanırken sıra değeri ise 65 in 6 onluk ve 5 birlik olduğunun bilinmesidir. Görüldüğü gibi sıra değeri kavramı bildiğimiz basamak değeri kavramına oldukça yakındır. Şu halde karşılaşılan zorlukların muhtemel nedenlerinden biri de öğrencilerin sıra değeri kavramıyla erken tanıştırılmasıdır.
Thompson çocukların büyük çoğunluğunun erken yaşlarda basamak değeri kavramını düşünebilmekte olduğunu ancak çok üzün bir süre boyunca konuyla ilgili kafa karışıklarını devam ettiğini, bunun nedeni de çokluk değeri kavramının öğrenciye verilmeden direkt olarak sıra değeri kavramının öğrenciye verilmesidir.
BASAMAK DEĞERİYLE İLGİLİ KARŞILAŞILAN ZORLUKLAR, HATALAR VE KAVRAM YANILGILARI
1. Basamak değeri kavramının çokluk değerine indirgenmesi
2. Rakamın basamak ve sayı değerlerinin ayırt edilememesi
3. Basamaklar arasındaki ilişkiyi anlama ve ilgili güçlükler4. Sıfırı bir ‘yer tutucu’ olarak kabul etmede karşılaşılan
güçlükler5. 10 ile çarpmayla ilgili güçlükler6. Ondalık-yerler arasındaki ilişkileri belirleme güçlüğü7. Ondalık sayılarda basamak değeri ile ilgili güçlükler
1.Basamak Değeri Kavramının Çokluk Değerine İndirgenmesi
Yapılan çalışmalar, öğrencilerin çokluk değeri kavramını sıra değeri kavramına taşıyamadığını ve basamak değerini çokluk değeriyle sınırlandıklarını göstermektedir.
Thompson ve Bramald ilköğretim 2,3 ve 4. sınıflarda okuyan toplam 144 öğrenciyle birebir mülakatlar yapmış ve mülakatlarda 82 ve 59 sayılarından hangisi büyüktür? , 25+23 ve 46-24 kaça eşittir ? Gibi iki basamaklı zihinden hesap işlemleriyle basamak değeri kavramına yönelik 9 adet soru sormuşlardır. 25+23 sorusuna öğrencilerin 18 i yanıt vermezken 13 ü yanlış cevap vermiştir. Nitekim yanlış yapan 13 öğrencinin 4ünün stratejisi belirlemezken 4 öğrenci parmakla sayma, 5 öğrencide parçalama stratejisi kullanmıştır. Bu durumda 113 öğrenci verilen toplamı doğru yapabilmiştir. Ancak bu sonuç doğru cevap verenlerin basamak değeri kavramının özümsedikleri anlamına gelmemektedir. Çünkü bu öğrencilerden yalnız 14ü basamak değerini dikkate alarak toplama işlemi yapmışlardır.
2. Rakamın Basamak Ve Sayı Değerlerinin Ayırt Edilememesi
Bilindiği gibi bir rakamın sayı içerisindeki değeri ile yalın olarak alındığında sahip olduğu değer farklı olabilmektedir. Bu da herhangi bir rakam için sayı değeri ve basamak değeri ayırımını gerekli kılmaktadır. Rakamın sayı değeri 0 ile 9 arasında sabit bir değer alırken basamak değeri ise ; rakamın sayıda bulunduğu yere (basamağa ) göre aldığı değerdir.
Örneğin : 52 sayısındaki 2 iki birimi temsil ederken, 127 de iki onluğu ve 263 te iki yüzlüğü ifade etmektedir. Burada öğrenciler bir rakamın basamak değeriyle sayı değerini karıştırmaktadır.
3. Basamaklar Arasındaki İlişkiyi Anlama Ve İlgili Güçlükler
Bilindiği gibi basamak değeri kavramının doğal bir sonucu olarak basamaklar arsında 10 un kuvveti cinsinden bir ilişki vardır. Dolayısıyla sayıda yer alan bir rakam bir basamak sola geçerse değeri 10 katına çıkmaktadır. Basamaklar arasındaki ilişki ile ilgili olarak bir diğer husus ise sayının herhangi bir basamağına toplamda 10u aşacak bir rakam eklendiğinde 10 u aşan kısmın ilgili basamağa yazılması ve bir sonraki basamağa da 1 eklenmesidir( elde kavramı ). Araştırmalar öğrencilerin basamaklar arasındaki bu ilişkileri kuramadıklarını da göstermiştir.
Binler yüzler onlar birler onda birler yüzde birler binde birler
x10 x10 x10 x10 x10 x10
/10/10 /10 /10 /10 /10
4. Sıfırı Bir ‘Yer Tutucu’ Olarak Kabul Etmede Karşılaşılan Güçlükler
Sıfır rakam ve sayı olarak önemlidir. Öğrenciler için sıfırı, ‘hiç bir şey ’ i göstermek için kullanmak o kadar zor olmasa da basamak değeri sisteminde kullanmak çok zordur. Yani normalde hiçliği ifade etmek için kullanılan sıfırın basamakta önemli yer tutması öğrenciler tarafından zorlukla algılanabilmektedir. Oysa sayıların 10 luk sistemde yazımında sıfır hiçbir değer göstermiyor gibi görünse de önemlidir. Çünkü diğer basamakların doğru yerlerinin belirlenmesini sağlar.
Örneğin; 802 sayısında 0 bir yer tutucudur. Eğer 0 a sahip olmasaydık, sayı 82 olurdu.
5. 10 İle Çarpmayla İlgili Güçlükler
Terimleri eşit olan toplama işleminin kısa yoldan yapılışına çarpma işlemi denir. Thompson ‘bir sayıyı 10 ile çarptığımızda ne olur ?’ sorusunu ister ilköğretim, ister ortaöğretim veya lise ve hatta öğretmen yetiştiren kurumlarda soralım cevabın ‘sayının sonuna 0 eklersin’ olacağını belirtmektedir. Zira, bu tür bilgiyi veren öğretmenin aslında bu anlamda öğrencileri kavram yanılgısına götüreceği açıktır. Ancak bu tip bir bilgi ondalık sayılarda geçerli değildir.
Gerçekte de ‘sıfır ekleme ’ düşüncesinin yetersizliği Brown’un yapmış olduğu çalışmada bazı öğrencilerin 4,19x10=? Sorusuna 4,190 cevabını vermeleriyle görmekteyiz.
6. Ondalık-yerler Arasındaki İlişkileri Belirleme Güçlüğü
Ondalık sayılarda toplama ve çıkarma problemlerinde en sık karşılaşılan hatalar basamak değeri veya ondalıktaki yerler dikkate alınmadan noktadan sonraki son basamaktan toplama ve çıkarma yapıldığını göstermektedir. Brown’un çalışmasında yapılan yüz yüze görüşmede bazı çocukların ondalık yerler arasındaki ilişkileri tahlil etmeye çalıştıkları ortay konmuştur. ‘2,9 a bir ondalık(0,1) ekleyin’ sorusuna bazı öğrenciler 2,19 , bazı öğrencilerde 2,10 yanıtını vermişlerdir. Bütün bu sonuçlar göstermektedir ki öğrenciler ondalık sayıların, paydası 10 ve 10 un katları olan kesirler olduğunu anlayamamaktadırlar.
Öğrencilerden 3,64 ile 3,641 kıyaslamaları istendiğinde ; öğrenciler ikinci sayıdaki 1 ile kıyaslayabilmek için birinci sayıda 4 ten sonra 0 konulabileceğini bilmemektedir.
7. Ondalık Sayılarda Basamak Değeri İle İlgili Güçlükler
Ondalık sayılarda öğrencilerin karşılaştıkları temel zorluk, noktadan sonra ki rakamların bir birimden küçük ve sayının bir parçası olduğunu anlayamamalarıdır. Farrel ve Mcintos 14 yaşındaki Avusturyalı öğrencilerle yaptığı çalışmada öğrencilerin 1,52 ve 1,53 sayıları arasında sayı olmadığını düşünmüşlerdir. Bu da öğrencilerin ondalık kısmın basamaklarının onda bir, yüzde bir, binde bir vs. olarak basamaklandırılmasını anlamadıklarını göstermektedir.
Diğer yandan bazı öğrenciler noktadan sonra yazılan rakamları onluk, yüzlük vs. olan ayrı bir sayı olarak düşünmektedirler. Bu yüzden en uzun sayı en büyük sayıdır kavramsal yanılgısına sahiptirler.
BASAMAK DEĞERİ KAVRAMI İLE KARŞILAŞILAN ZORLUKLARI ENGELLEMEK İÇİN ÖNERİLER
1. Öncelikle basamak değerinin ilişkili olduğu kavram ve bilgiler gerekirse modellemelerden de faydalanılıp öğrencinin anlayacağı şekilde verilmelidir.
2. Bir sayıda yer alan farklı basamaklar ve basamak değerinin altı çizilmelidir.
Örneğin; farklı basamaktaki rakamların farklı bir materyalle ( büyük küp, sütun, küçük küp gibi) veya farklı renklerle gösterildiği bir öğretim materyali de kullanılabilir.
3. Verilen bir sayıda kaç tane onluk, yüzlük, vs. olduğunu fark ettirilmesi basamaklar arasındaki ilişkileri pekiştirmek için önemlidir.
Örneğin; 456768 sayısında 456 tane binlik 768 tane birlik veya 4567tane yüzlük 68 tane birlik vardır, 45678tane onluk 8 birlik vardır, gibi.
4. Aynı zamanda tarihten de faydalanılarak öğrencilerin konudaki öğrenmeleri desteklemekle birlikte öğrenmeleri de sağlanabilir.
Örneğin; başlangıç sayılarına (1, 10, 100 ,1000,…) farklı hayvan şekilleri özdeşleştirilerek daha eğlenceli hale getirilebilir. Birler güvercin, onlar serçe, yüzler baykuş… ile gösterildiğinde 135 sayısının göstermek için 1 baykuş 3 serçe 5 güvercin kullanılacaktır.
5. Bilindiği gibi sayıların, temelde üç farklı gösterimi vardır: nesnelerle gösterim, rakamlarla gösterim ve sayının sözel dilde ifade edilesi. Chambris sayıları yazıdan rakama (veya tersi) geçerek söylemenin öğrencinin sayıyı tam anlamıyla kavradığını ortaya koyamayacağını ifade etmektedir. Bu nedenle öğretim faaliyetinde basamak değerini farklı boyutlar kazandıracak farklı gösterimlerden faydalanılmalıdır.
Örneğin; 25 sayısı öğretilirken hem rakam(25) hem yazıya(yirmi beş) hem de nesnelere (25 tane misket) atıfta bulunacak farklı öğretim ortamları kullanılmalıdır.
6. Ölçme öğrenme alanıyla ilgili etkinliklerin yapılması basamak değerinin kavramsallaştırılmasında önemlidir.
Örneğin; sayıları araştırırken öğrencilerden 6328=6000+300+20+8 şeklinde yazmaları istemekle yetinmek yerine anlamlı öğrenmeyi desteklemek amacıyla ölçme öğrenme alanıyla ilişkilendirip 6328 m =6000m+300m+20m+8m ayrıştırmasını yaptırmak yerinde olabilir.
7. Farklı öğretim materyallerinin kullanımına önem verilmelidir. Bu materyaller sayesinde öğrenciler 2,3 veya daha yüksek basamaklı sayıların temel bileşenlerini dikkate alacaklardır. Bununla ilgili akla ilk gelen somut materyal abaküstür. Ancak Thompson ve Bramald bu konuda yaşanan zorlukları yenmek için Gattegno Tabloları ve Basamak Değeri Kartlarının sınıfta öğretmenler tarafından kullanımını tavsiye etmektedir.
7.a. GATTEGNO TABLOLARI Gattegno tablosu (veya onluk tablo olarak da adlandırılır) 9x4 sayı ihtiva etmesine rağmen bu tablo sayesinde 9999 a kadar ki tüm sayılar görülebilir.
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
100 200 300 400 500 600 700 800 900
10 20 30 40 50 60 70 80 90
1 2 3 4 5 6 7 8 9
7346 sayısını tabloda gösterelim mi ?
7.b. Basamak Değeri (Gattegno) KartlarıGattegno tablolarının bir benzeri ve daha basiti olarak düşünülebilecek bir materyalde basamak değeri kartlarıdır.
624 sayısını basamak
değeri kartları ile gösterelim
6 0 0
2 0
4
6 0 02 04
7.C. Diğer MateryallerBasamak değerinin öğretiminde aşağıdaki sayı çözümleme tablosu da tavsiye edilebilir.
Binler bölüğü Birler bölüğü
Yüzler Onlar Birler Yüzler Onlar Birler
3 5 9 6 2 7
3 0 0 0 0 05 0 0 0 0
9 0 0 06 0 0
2 07
359 627
300 000 50 000
9 000 600 20
7
Bir sayının basamak ve bölükleriyle ilgili tüm bilgilerinin özetleyen tablo
Bir sayının basamak ve bölükleriyle ilgili tüm bilgileri özetleyen bir başka tablo:
Bölük adları
Binler Bölüğü Birler Bölüğü
Basamak adları
Yüz binler basamağı
On binler basamağı
Binler basamağı
Yüzler basamağı
Onlar basamağı
Birler basamağı
Sayı
235 964Rakamın basamak değeri
200 000 30 000 5 000 900 60 4
SONUÇ Bu bölümde, tarihsel-epistemolojik bir yaklaşım benimsenerek basamak değeri kavramının önemi ortaya konmuş ve böylece matematik ve diğer disiplinlerde oynadığı rol vurgulanmıştır.
Literatür dikkate alındığında kavramın öğreniminde öğrencilerin önemli zorluklar yaşadıkları bilinmektedir. Bu bölümde bu zorluklar detaylanmadan önce bu zorlukları tetikleyen epistemolojik nedenler araştırılarak kavramın öğrenimini zor kılan nedenler ortaya konmaya çalışılmıştır.
Ardından basamak değeri kavramıyla ilgili olarak yaşanan belli başlı zorluklar yedi grup halinde sunularak bölümün son kısımlarında bu zorlukları en aza indirgemenin belli başlı yollarından bahsedilmiştir.
HAZIRLAYANLARSELAHATTİN AL
RECEP ÇINARDALI
SALİH ALPFİDAN
İSMAİL KARDAŞOĞLU
SERCAN TETİK
