Download - Riješeni ispitni zadaci, riješeni primjeri i zadaci za ...e-ucenje.gfmo.ba/predmeti/attachments/article/645/rijeseni_zadaci... · ZADACI IZ FIZIKE Riješeni ispitni zadaci, riješeni

ZADACI IZ FIZIKE

Riješeni ispitni zadaci, riješeni primjeri

i zadaci za vježbu

(1. dio) (1/2)

Zadaci iz fizike (1. dio) (1/2) 1

1. Zadana su dva vektora 4 2a i j k= − + i 4 2 3 .b i j k= − + + Odrediti kut između njih.

Rješenje Kut možemo odrediti na dva načina. Možemo naći zbroj vektora a i ,b te preko kosinusova poučka odrediti kut .ϕ Drugi način, koji ćemo upotrijebiti, pošto su nam vektori dati u komponentama, je preko skalarnog umnoška. Skalarni umnožak vektora a i b je

cosa b ab ϕ⋅ = Ili, preko skalarnih komponenti

x x y y z za b a b a b a b⋅ = + + Iz ova dva izraza možemo dobiti kut vektora ϕ

cos x x y y z za b a b a bab

ϕ+ +

=

( )22 2 2 2 24 2 1 4,58x y za a a a= + + = + − + =

( )22 2 2 2 24 2 3 5,39x y zb b b b= + + = − + + =

cos 0,6886x x y y z za b a b a bab

ϕ+ +

= = −

Traženi kut je

( )arccos arccos 0,6886 133,519 133 31' 9,8''ϕ ϕ= = − = ° = ° 2. Grafički su prikazana tri vektora u xy ravnini. Izraziti ove vektore, te naći: a) A B C+ + i ;A B C+ + b) ( )A B C− ⋅ i kut ϕ između

A B− i ;C c) ( )A C B− × i ( ) .A C B− ×

Rješenje

2 7x yA A i A j i j= + = − +

5 2x yB B i B j i j= + = −


3x yC C i C j i j= + = − − a) ( ) ( ) 4x x x y y yA B C A B C i A B C j j+ + = + + + + + =

4A B C+ + =

b) ( ) ( ) ( ) 12x x x y y yA B C A B C A B C− ⋅ = − + − =

( ) ( )22 11,4x x y yA B A B A B− = − + − =

2 2 3,16x yC C C= + =

( )

cos 0,333A B C

A B Cϕ

− ⋅= =

− ⋅

arccos arccos0,333 70,549 70 32 ' 56,5''ϕ ϕ= = = ° = °

c) d) ( ) 0

0x x y y

x y

i j kA C B A C A C

B B− × = − − =

( ) ( ) ( )2 40 42x x y y y xA C B A C B k k k⎡ ⎤= − − − = − − = −⎣ ⎦

( ) 42A C B− × =

Na slici smo vektor ( )A C B− × prikazali simbolom

koji označava da imamo vektor usmjeren okomito na sliku, u smjeru od nas prema slici. (U slučaju da imamo vektor okomito na sliku, u smjeru iz slike prema nama, simbol bi bio .) Iznos vektorskog umnoška na slici je predstavljen površinom paralelograma ograničenog s A C− i ,B te s nasuprotnim paralelnim crtama. 3. Tijelo se giba po ravnoj putanji i na sukcesivnim dionicama puta, jednake duljine s, ima stalne brzine v1, v2, v3,…, vn. Kolika je srednja brzina gibanja tijela?


Rješenje

1 1 2

1 2

1 21 1

1

n

ii nn n

ni

ni i i

ss s s s nv s s st t

v v v v

=

= =

ΔΔ Δ + Δ + + Δ

= = = =Δ Δ ΔΔ + + +Δ

∑

∑ ∑

4. Tijekom prve polovice vremena gibanja automobil ima brzinu 54 km/h, a tijekom druge polovice vremena brzinu 36 km/h. Kolika je srednja brzina gibanja automobila? Rješenje

1 1 2 1 2

1 2

1 2 2

n

iin

ii

ss s s s sv t tt t tt

=

=

ΔΔ Δ + Δ Δ + Δ

= = = =Δ Δ + Δ +Δ

∑

∑

1 1 1s v tΔ = Δ

2 2 2s v tΔ = Δ

2 2 2tt tΔ = Δ =

v vv +

= = =1 2 m km12, 5 452 s h

5. Dva čamca krenu iz istog mjesta stalnim brzinama 1v i 2v u pravcima koji međusobno zaklapaju kut α. a) Kolika je relativna brzina gibanja čamaca? b) Koliko je njihovo rastojanje poslije vremena t0 od polaska?

Rješenje a) 12 1 2v v v= −

2 212 1 2 1 22 cosv v v v v α= + −

b) 12 0d v t= ⋅ 6. Dva vlaka, A i B, putuju u suprotnim smjerovima duž paralelnih ravnih tračnica, s brzinama istog iznosa od 60 km/h. Lagani zrakoplov prelazi iznad njih. Putniku u vlaku A izgleda da se zrakoplov giba pod pravim kutom u odnosu na njihov pravac gibanja, a putniku u vlaku B izgleda da se giba pod kutom od 30° u odnosu na njihov pravac gibanja. Kojim iznosom brzine i pod kojim kutom zrakoplov prelazi tračnice ako promatramo njegov let izvan vlakova.


Rješenje

ZAv i ZBv su vektori relativnih brzina zrakoplova prema

vlakovima A i B. Ovi vektori zajedno s vektorima brzina vlakova A i B i zrakoplova konstruiraju trokutove koje vidimo na slici. Vidimo da je:

tg30 ZA

A B

vv v

° =+

( ) tg30 19,25 m/sZA A Bv v v= + ° =

tg ZA

A

vv

α =

Kut između pravca gibanja zrakoplova i pravca gibanja vlakova je:

arctg 49 06' 29,8''ZA

A

vv

α = = °

Brzina zrakoplova iznosi:

25,46 m/scos

AZ

vvα

= =

7. Između dvije točke koje se nalaze sa iste strane obale, na međusobnom rastojanju od 140 km, usmjeren je motorni čamac koji ide niz rijeku i prelazi to rastojanje za 5 h, a kad se kreće uz rijeku za 12 h. Odrediti brzinu protjecanja rijeke i brzinu čamca u odnosu na vodu. Rješenje Zamislimo koordinatni sustav kojemu je x – os u pravcu kretanja rijeke. Označimo brzinu rijeke sa u, a brzinu čamca sa v, tako da imamo 1 uvv += (1) gdje je v1 - brzina čamca u zamišljenom sustavu kad se kreće niz rijeku. A ako se čamac kreće uz rijeku imamo 2 uvv +−=− (2) gdje je v2 - brzina čamca u zamišljenom sustavu kad se kreće uz rijeku. S brzinom v1 čamac pređe put od 140 km za 5 h, slijedi da brzina v1 iznosi


5

1 4

140km 1,4 10 m m7,785h 1,8 10 s s

v ⋅= = =

⋅

S brzinom v2 čamac pređe put od 140 km za 12 h, slijedi da brzina v2 iznosi

5

2 4

140km 1,4 10 m m3,2412h 4,32 10 s s

v ⋅= = =

⋅

Jednadžbe (1) i (2) čine sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice. Tako je brzina rijeke

1 2 7,78 3,24 m km2,27 8,1722 2 s h

v vu − −= = = =

Brzina čamca je

1m km7,78 2,27 5,51 19,836s h

= − = − = =v v u

8. Promatrač koji u trenutku polaska vlaka stoji ispred prvog vagona primijetio je da je prvi vagon prošao pored njega za 3 s. Koliko vremena će se pored njega kretati n-ti (deseti) vagon? Kretanje vlaka smatrati jednako ubrzanim.

Rješenje Kad prvi vagon duljine l prođe pored promatrača možemo reći da je vlak prešao put l kojeg možemo izraziti ovako

212

1 atl =

Isto tako kad dva vagona prođu pored promatrača možemo pisati

222

12 atl =

Možemo pisati općeniti izraz za n vagona

2

21

natnl =

Sad podijelimo putove koje su prošli n vagona i jedan vagon

21

2

nttn =

Dobili smo vrijeme za koje pored promatrača prođe n vagona


nttn 1=

Na isti način izračunamo vrijeme za koje pored promatrača prođe (n – 1) vagona

1 1 1nt t n− = −

Na kraju imamo da n-ti (u našem slučaju deseti) vagon prođe pored promatrača za vrijeme

s487,01 =−=Δ −nnn ttt 9. Tijelo je bačeno vertikalno uvis početnom brzinom 10 m/s. U trenutku kada tijelo dostigne najvišu točku svog kretanja, baci se drugo tijelo vertikalno uvis, istom početnom brzinom. Na kojoj visini će se tijela sudariti? Otpor zraka zanemariti.

Rješenje Visina do koje se tijelo popne pri vertikalnom hitcu je

2

0 2gth v t= − (1)

A brzina pri vertikalnom hitcu je

0v v gt= −

U maksimalnom položaju brzina tijela je jednaka nuli pa imamo da je

0vtg

=

Uvrstivši ovaj izraz u (1) imamo

gvh2

20= (2)

Tijela će se susresti na nekoj visini h1

21 hhh += (3)

Drugo tijelo pređe put h1 za isto vrijeme za koje prvo tijelo pređe put h2

22 2

tgh = (4)

2

01 2tgtvh −= (5)


Iz (4) i (5) slijedi

22

012 hghvh −= (6)

Jednadžbe (2), (3) i (6) čine sustav od tri jednadžbe s tri nepoznanice. Rješavanjem ovog sustava dobiva se rezultat

m823,383 2

01 =⋅=

gvh

10. Tijelo slobodno pada s visine h. U točki A ima brzinu Av = 29,43 ms-1, a u točki B brzinu

Bv = 49,05 ms-1. Kolika je visinska razlika točaka A i B? Za koje će vrijeme tijelo preći put AB?

Rješenje

Vrijeme za koje tijelo dođe u točku A je

gA

Av

t =

A vrijeme za koje dođe u točku B je

gB

Bv

t =

Tako će tijelo preći put AB za vrijeme

s2=−

=−=Δg

vvttt AB

AB

Udaljenost točke A od polazne točke je

2

2A

A

gth =

Udaljenost točke B od polazne točke je

2

2B

Bgt

h =

Duljina puta AB je


( )2 2 78,5m2B A B Agh AB h h t tΔ = = − = − =

11. Lopta je bačena s ruba krova zgrade vertikalno uvis, početnom brzinom od 30 m/s. Koliku će brzinu imati lopta jednu sekundu nakon njenog prolaska pored ruba krova pri padanju na tlo?

Rješenje

Lopta će se popeti na visinu H i početi padati. Kod ruba zgrade imat će brzinu jednaku početnoj što je lako pokazati. Lopta će se popeti na visinu H

2

2

0tgtvH −=

gdje je brzina nula .0=v A pošto je

00 gtvgtvv =⇒−= Ako ovo uvrstimo u izraz za H imamo

gvtgtggtH222

20

222 ==−=

Iz tog položaja lopta počinje padati, a brzina joj iznosi

gtvv += 0 dok je 00 =v

Trebamo brzinu izraziti preko visine tj. preko dužine puta kojeg prelazi. Dužina puta kojeg prevali lopta padajući je

gsttgs 2

2

2

=⇒=

Uvrštavajući ovo u izraz za v imamo

gsgsgv 22==

Pored ruba zgrade lopta će biti kad prijeđe put s = H tako da je brzina u tom trenutku

0

20

222' v

gvggHv ===


Sad možemo uzeti ovu brzinu kao početnu brzinu i u idućem trenutku će brzina, koju ćemo označiti sa 1v biti zbroj te brzine i brzine koju lopta dobije ubrzavanjem u vremenu t.

11 ' gtvv += dakle sm s

sm

sm

2 81,39181,930 =⋅+=v

12. Tijelo je bačeno horizontalno brzinom 20 ms-1. Odrediti radijus putanje tijela 2 s nakon što se počelo kretati. Otpor zraka zanemariti.

Rješenje Tijelo će se nakon 2 s kretati nekom brzinom v pod kutom α u odnosu prema početnoj brzini

0v . U tom trenutku ubrzanje g možemo rastaviti na tangencijalnu komponentu u pravcu kretanja tijela ta , te na radijalnu komponentu .ra Radijalna komponenta ubrzanja iznosi

αcos2

gRvar == (1)

gdje je vv

vvx 0cos ==α (2)

Brzina iznosi

2220 tgvv += (3)

Iz (1), (2) i (3) dobijemo radijus zakrivljenosti

( )3

2 2 2 20

0

112,088 mv g t

Rgv+

= =

13. Tijelo je bačeno pod kutom α prema horizontu početnom brzinom v0. Vrijeme kretanja tijela iznosi 2,4 s. Odrediti najveću visinu na kojoj će se tijelo naći pri tom kretanju. Otpor zraka zanemariti.

Rješenje

y - komponenta brzine u ovisnosti o vremenu iznosi: 0y yv v gt= − (1)


U maksimalnom položaju brzina tijela yv = 0, tako da je

0yv gt= (2)

Isto tako visina u ovisnosti o vremenu je

2

0 2ygty v t= − (3)

Uvrstivši (2) u (3) dobivamo za maksimalni položaj

22

222

maxgtgtgty =−= (4)

U tekstu zadatka nam je zadano vrijeme (tD = 2,4 s) kretanja tijela od bacanja do padanja, tako da će tijelo biti u maksimalnom položaju za pola ovog vremena.

( )2 2

max

/ 27,063m

2 8D Dg t gty = = =

14. Pod kutom od 60°, prema horizontu, bačeno je tijelo početnom brzinom od 25 m/s. Kroz koliko sekundi će njegova brzina zaklapati sa horizontom kut od 45°?

Rješenje

Odnos komponenti brzina vy i vx određuje kut koji brzina v zaklapa prema horizontu.

y

x

vtg

vα =

°−°

==°60cos

60sin45

0

0

vgtv

vv

tgx

y

Odavde slijedi

s933,060cos4560sin 00 =°⋅°−°

=g

vtgvt


15. Igrač udari loptu pod kutom od 40° prema horizontu dajući joj početnu brzinu od 20 m/s. Drugi igrač, udaljen od prvog 30 m, počinje da trči prema lopti u momentu kad je ona udarena. Koliku najmanju srednju brzinu mora imati drugi igrač da bi udario loptu u trenutku pada na zemlju?

Rješenje Domet do kojeg lopta dođe je DxD tvx = (1) gdje je tD – vrijeme leta lopte, možemo ga dobiti iz vremena koje je potrebno lopti da se popne do maksimalne visine. U točki maksimalne visine komponenta brzine u y smjeru je nula.

max0 gtv y = (2)

gv

gv

t y αsin00max ==

gdje tmax – vrijeme potrebno lopti da se popne do maksimalne visine i ono iznosi pola vremena leta lopte tD.

s62,2sin22 0maxD ===

gvtt α (3)

Ako ovo uvrstimo u xD dobijemo domet do kojeg lopta putuje

m16,402sinsin2cos200

0D ==⋅=g

vg

vvx ααα

Put koji igrač treba preći do lopte je

m16,102D =−=Δ xxx

Znači treba se kretati ovom prosječnom brzinom

D

m3,87si

xvtΔ

= =

16. Dva tijela bačena su istovremeno iz jedne točke na zemlji, i to jedno vertikalno uvis, drugo pod kutom od 45° prema horizontu. Njihove početne brzine su jednake i iznose 30 m/s. Kolika je udaljenost između tijela poslije vremena od 2 s od trenutka kad su bačena?


Rješenje Vektor položaja prvog tijela u ovisnosti o vremenu je:

21 1 0

12

r y j v t gt j⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Vektor položaja drugog tijela u ovisnosti o vremenu je:

22 2 2 0 0

1cos sin2

r x i y j v t i v t gt jθ θ⎛ ⎞= + = + −⎜ ⎟⎝ ⎠

Razlika ova dva vektora je

( ) ( )12 1 2 2 1 2 0 0cos 1 sinr r r x i y y j v t i v t jθ θ= − = − + − = − + − A iznos ovog vektora predstavlja udaljenost dvaju tijela u ovisnosti o vremenu

12 1 2r r r= −

( )22 2 2 2 212 0 0 0cos 1 sin 2(1 sin ) 46 mr v t v t v tθ θ θ= + − = − =

17. Kuglica mase 0,1 kg udara pod pravim kutom u kruti vertikalni zid brzinom od 20 m/s. Mjesto udara nalazi se na visini od 4,9 m iznad tla. Kuglica se odbija od zida i pada na tlo na horizontalnoj udaljenosti 15 m od zida. Koliki je impuls sile kojim je zid djelovao na kuglicu?

Rješenje Zid je na kuglicu djelovao impulsom sile I i promijenio joj brzinu s 1v na 2.v 1v i 2v su na istom pravcu ali imaju suprotan smjer. Nakon odbijanja kuglica se giba po putanji horizontalnog hica, dakle, po putanje parabole. Iz visine te putanje možemo odrediti vrijeme padanja

2

2gth =

2htg

=

Iznos brzine kuglice nakon odbijanja je

2 15 m/s2gxv x

t h= = =


Impuls sile je

( ) ( )2 1 2 1 3,5 kgm/sI mv mv m v v= − − = + = 18. Tijelo mase 15 kg koje miruje raspadne se, uslijed eksplozije, na tri jednaka dijela. Jedan dio ode prema sjeveru, drugi prema istoku, oba brzinom 20 ms-1. Kolikom brzinom i u kojem smjeru je odletio treći dio?

Rješenje

Primjenom zakona očuvanja količine gibanja imamo 0332211 =++ vmvmvm

1 2 3 1 1 2 2; ;m m m v v j v v i= = = = ⇒ 0321 =++ vivjv

( )ivjvv 213 +−=

Iznos ove brzine je

-1ms 28,2822

213 =+= vvv

Treći dio je odletio prema jugozapadu brzinom 28,28 ms-1.

19. Saonice sa vrećom pijeska, ukupne mase 500 kg kreću se po zamrznutom jezeru brzinom 0,5 m/s. Metak mase 10 g i brzine 400 m/s pogodi sa strane vreću pijeska pod kutom 30° u odnosu na pravac gibanja i zabije se u nju. Kolika je promjena brzine saonica i u kojem smjeru će saonice nastaviti gibanje?

Rješenje

Na osnovi zakona očuvanja količine gibanja imamo

( )1 1 2 2 1 2m v m v m m v+ = + ⋅


Količine gibanja rastavimo na x i y komponente:

( )1 1 2 2 1 2x xm v m v m m v+ = + ⋅

( )2 2 1 2y ym v m m v= +

2 2mcos 346,4sxv v α= ⋅ =

2 2msin 200syv v α= ⋅ =

Iz gornjih izraza slijedi

m0,5069sxv = i m0,00399

syv =

Brzina saonica je

2 2 m0,5069

sx yv v v= + =

dakle promjena brzine saonica je

sm0069,01 =−=Δ vvv

sm107 3−⋅≈

Smjer gibanja je određen kutom

0,450985 27 8y

x

varctg

vβ ′ ′′= = =

20. Tijelo mase m1 udari u tijelo mase m2 koje miruje. Odrediti koliki treba biti odnos masa ovih tijela (m1/m2) da bi se pri centralnom elastičnom sudaru brzina prvog tijela smanjila tri puta. Izračunati kinetičku energiju drugog tijela poslije sudara ako je početna kinetička energija prvog tijela 1500 J.

Rješenje

Količina gibanja je očuvana

,, vmvmvm 221111 += (1)


gdje su: 1v - brzina tijela mase m1 prije sudara, 1

,v - brzina tijela mase m1 poslije sudara, 2,v -

brzina tijela mase m2 poslije sudara.

Ako u (1) uvrstimo da je3

11

vv , = dobijemo

12

1

32 vv ,

2 mm

= (2)

Isto tako, ukupna energija je očuvana

222

2,22

2,11

211

211

,,

vvv mmmEEE

+=

+= (3)

uvrstivši izraze za v ,

1 i ,2v dobijemo odnos masa

22

1 =mm

Uvrštavanjem ovog odnosa u (2) i (3) dobivamo

,

2kE

333,1,

2 =kE kJ

21. Koliko se dugo spušta tijelo niz kosinu visine h = 2 m i nagiba α = 45° ako je maksimalni kut pri kojem tijelo može mirovati na kosini β = 30°?

Rješenje

Jednadžba gibanja za situaciju kad tijelo miruje je

0GT trF F− =

sinsin cos tg 0,577cos

mg mg ββ μ β μ ββ

= ⋅ ⇒ = = =

Jednadžba gibanja za situaciju kad tijelo se tijelo giba GT trF F ma− =

1sin cos 2,93 msmg mg ma aα μ α −− ⋅ = ⇒ = Vrijeme za koje se tijelo spusti niz kosinu možemo dobiti iz relacije za pređeni put


2 2 1,39 ssin 2 sin

h at hs taα α

= = ⇒ = =

22. Dva tijela različitih masa vezana su užetom, kao na crtežu i kreću se po različitim podlogama. Koeficijenti trenja između tijela i odgovarajućih podloga su: μ1 i μ2. Kakav mora biti odnos masa da bi sustav mirovao? Masa koloture se zanemaruje.

Rješenje

Jednadžba gibanja za tijelo mase m1 je

'1 1Z trm a F F= −


2 2 2G T Z trm a F F F= − −

2 2 sinG TF m g α= Iznosi sila zatezanja na oba tijela jednaki su.

'Z ZF F=

Imamo dvije jednadžbe s dvije nepoznate. Pošto je a = 0 iz gornje dvije jednadžbe dobivamo

2 1 1 2 20 sin cosm g m g m gα μ μ α= − −

Tako da je traženi odnos masa

( )21

2 1

sin cosmm

α μ αμ−

=

23. Automobil mase 2,5·103 kg spušta se cestom nagiba 25°. U momentu kada brzina iznosi 30 m/s vozač počinje kočiti. Koliku silu kočenja treba primijeniti da bi se automobil zaustavio na putu od 150 m. (Stalna sila kočenja je paralelna nagibu.)

Rješenje

Na pravcu paralelnom nagibu vrijedi

GT Kma F F= −

sinGTF mg α=

Kod jednolikog ubrzanog gibanja brzina i prijeđeni put su


0v v at= +

2

0 2ats v t = +

Iz ove dvije relacije dobivamo

2

220

220

2 svv aas vv −

=⇒+=

Kako je na kraju puta 0v = imamo

220 3 ms

2vas

−−= = −

Tako je sila kočenja ( ) 3sin 17,025 10 NKF m g aα= − = ⋅ 24. Dva tijela, mase m1 i m2, vezana su užetom i postavljena na podlogu. Koeficijent trenja između tijela i podloge je μ. Kolika je sila zatezanja užeta, a koliko ubrzanje sustava?

Rješenje


G T tr Zm a F F F= − −2 2 2 G TF m g= α2 2 sin


Z trm a F F= −'1 1

Iznosi sila zatezanja na oba tijela jednaki su.

'Z ZF F=

Imamo dvije jednadžbe s dvije nepoznate. Njihovim rješavanjem dobivamo ubrzanje sustava

m ma gm m

α −μ α −μ=

+2 1

1 2

(sin cos )

Sila zatezanja užeta je


[ ]Z Zm gF F m m m g

m m= = α −μ α −μ +μ

+' 1

2 1 11 2

(sin cos )

25. Na kosini, čiji kut je α = 30° nalazi se tijelo mase m = 500 kg. Koeficijent trenja između tijela i podloge je μ = 0,1. Tijelo se gurne niz kosinu brzinom v0 = 2 m/s. Kolikom silom treba djelovati na tijelo da se ono zaustavi poslije vremena t = 5 s?

Rješenje

Brzina kod jednoliko usporenog kretanja je

0v v at= −

Pri zaustavljanju tijela 0v = pa je

0vat

=

Jednadžba gibanja tijela je (negativan smjer akceleracije smo

GT trma F F F− = − − sinGTF mg α=

Tražena sila je

0 0sin ( sin cos ) 2227,5 Ntrv vF m mg F m g gt t

α α μ α= + − = + − =

26. Kuglicu mase m = 1 kg, obješenu o nit, otklonimo iz ravnotežnog položaja za kut α = 30° i pustimo. Izračunati silu zatezanja niti u trenutku prolaska kuglice kroz ravnotežni položaj.

Rješenje

Jednadžba gibanja za kuglicu u radijalnom pravcu je

2

rZ GNvml

F F ma =− =

cosGN mgF α=

Pa je

2

cosZ lvF m g α⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

U trenutku prolaska kroz ravnotežni položaj ( )0α = sila zatezanja je


2

Z lvF m g⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

Brzinu v u trenutku prolaska kroz ravnotežno položaj dobit ćemo koristeći zakon očuvanja energije. Nemamo vanjske sile pa nam vrijedi

K PE EΔ + Δ = 0

K PE EΔ = −Δ

( )K PE E− = − −2 10 0

mv mgl v gl= − α ⇒ = − α2

(1 cos ) 2 (1 cos )2

Uvrštavajući ovaj izraz u izraz za silu zatezanja imamo

( )3 2cos 12,44 NZF mg α= − =

27. Na platformi kamiona bez bočnih strana nalazi se sanduk mase m = 1200 kg. Kolikim najvećim ubrzanjem kamion može krenuti bez opasnosti da sanduk padne s platforme? Koeficijent trenja između sanduka i platforme je μ = 0,3.

Rješenje

Na sanduk djeluje inercijska sila ma koja mora biti manja od sile trenja

trma F≤

mF

a tr≤

Maksimalno ubrzanje kamiona je

2ms943,2 −=== gmmga μ

μ

28. Na kosini nagiba α = 30° nalaze se dva tijela, čije su mase m1 = 1 kg i m2 = 2 kg. Koeficijent trenja između tijela mase m1 i podloge je μ1 = 0,25, a koeficijent trenja između tijela mase m2 i podloge je μ2 = 0,1. Odrediti:

a. silu međudjelovanja dvaju tijela i b. minimalnu vrijednost kuta pri kojem će se tijela početi gibati.


Rješenje

a) Jednadžbe gibanja za prvo i drugo tijelo su:

1 21 1 1G T trF F F m a+ − =

2 12 2 2G T trF F F m a− − =

1 1 sinG TF m g α=

2 2 sinG TF m g α=

gdje je 12F - sila međudjelovanja između tijela mase m1 i tijela mase m2, zbog koje ova dva tijela čine jedan sustav.

12 21= −F F Tijelo 2 silom 21F gura tijelo 1, a tijelo 1 silom 12F koči tijelo 2. Iz jednadžbi izrazimo ubrzanje a i uvrstimo u izraz za silu 12F .

( )1 1 2 2

1 2

sin cosm m

a g gm m

μ μα α

+= −

+

( )1 2 1 212

1 2

cos0,85 N

α μ μ−= =

+m m g

Fm m

b) Tijela će se početi gibati kad su sile u ravnoteži. Tada je ubrzanje jednako nuli.

0a =

( )1 1 2 2

1 2

sin cosm m

g gm m

μ μα α

+=

+

( )1 1 2 2

1 2

tg 0,15m mm m

μ μα

+= =

+

Traženi kut je

arctg 0,15 8,53° 8 31' 4 ''α = = = °

29. Sila stalnog intenziteta F = 1 N daje tijelu ubrzanje a = 10 cm/s2. Ako je prije djelovanja sile tijelo mirovalo izračunati njegovu kinetičku energiju poslije vremena t = 5 s od početka kretanja.


Rješenje

Rad vanjske sile jednak je promjeni energije tijela, u ovom slučaju samo kinetičke energije ' P KW E E E= Δ = Δ + Δ 0PEΔ = 2 0K KE EΔ = − Rad vanjske sile je 'W Fs= Put s možemo odrediti kinematičkom jednadžbom

2

1,25 m2

ats = =

Na osnovi gornjih izraza dobivamo da je kinetička energija 1,25 JKE Fs= =

30. Tijelo, mase m1 = 15 kg, počne da klizi sa vrha kosine, nagibnog kuta α = 60°. Na kraju kosine, tijelo se zabije u kolica napunjena pijeskom, mase m2 = 90 kg koja miruju na horizontalnoj podlozi. Ako je visinska razlika tijela i kolica u početnom položaju h = 10 m, odrediti brzinu kojom će se kretati kolica zajedno sa tijelom. Trenje zanemariti.

Rješenje

Ukupna mehanička energija nekog sustava je očuvana. Ukupna energija u ovom primjeru jednaka je potencijalnoj energiji tijela na vrhu kosine. Ona se pretvara u kinetičku energiju gibanja tijela.

2

1 11 2

m vm gh =

Na dnu kosine brzina tijela će biti -1

1 2 14msv gh= = Dakle, količina gibanja tijela na dnu kosine je 1 1m v . Ovu količinu gibanja možemo rastaviti na dvije komponente, komponentu u pravcu gibanja kolica 1 1xm v i komponentu okomitu na pravac gibanja kolica 1 1ym v . Komponenta 1 1ym v nije očuvana. Primjenom zakona očuvanja

količine gibanja, za komponentu 1 1xm v možemo pisati

( )1 1 1 2 2Xm v m m v= +


Tako je brzina kolica zajedno s tijelom

-112 1

1 2

cos 1msmv vm m

α= =+

31. Na jezeru se nalazi čamac, duljine 10 m i mase 140 kg, postavljen pramcem (prednji dio čamca) okomito na obalu. Udaljenost između obale i pramca je 3,75 m. Da li će čamac dodirnuti obalu u toku kretanja čovjeka, mase 60 kg, od pramca čamca do krme (zadnji dio čamca)? Trenje čamca i vode zanemariti.

Rješenje

Količina gibanja ovog sustava prije početka kretanja čovjeka jednaka je nuli. Pošto se radi o zatvorenom sustavu ukupna količina gibanja nakon početka kretanja čovjeka treba biti jednaka nuli. Čovjek se u odnosu na čamac giba brzinom v1, a čamac se u odnosu na obalu giba brzinom v2. Možemo onda pisati ( )2 1 2 1 2 0m v v m v− − = Brzina čovjeka u odnosu na čamac je

1lvt

=

Brzina čamca u odnosu na obalu je

2svt

=

Iz gornjih izraza možemo izvući

2

1 2

3 mms lm m

= =+

Dakle, čamac neće dodirnuti obalu.


32. Da bi mogao uzletjeti, zrakoplov, mase 4 t, na kraju piste treba da ima brzinu 144 km/h. Duljina piste je 100 m. Kolika je potrebna snaga motora za uzlijetanje zrakoplova ako je njegovo kretanje jednoliko ubrzano? Koeficijent trenja između kotača i piste iznosi μ = 0,2.

Rješenje

Pišemo jednadžbu gibanja za zrakoplov m trF F ma− = Tako je vučna sila motora

m trF ma F= +

Brzinu možemo odrediti iz kinematičke jednadžbe

asv 22 =

Pa je

2

2mmvF mg

sμ= +

Tako je potrebna snaga motora

2

61,59 10 W 1,59 MW2mvP F v g mv

sμ

⎛ ⎞= = + = ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Drugi način

Veza rada i promjene energije je ' tr P KW W E E E+ = Δ = Δ + Δ

' mW F s=

trW mgsμ= − 2

0;2P K

mvE EΔ = Δ =

Iz gornjih izraza dobivamo

2

2mmvF mg

sμ= +

Tako je potrebna snaga motora


261,59 10 W 1,59 MW

2mvP F v g mv

sμ

⎛ ⎞= = + = ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

33. Kugla mase 1 kg bačena je vertikalno uvis, početnom brzinom 10 m/s. Na koju visinu će kugla odskočiti ako pri udaru u podlogu gubi količinu topline 10 J?

Rješenje

Ukupna energija koju lopta ima u početnom trenutku jednaka je kinetičkoj energiji.

1KE E= Promjena energije kugle jednaka je gubitku energije na toplinu. P KE E E QΔ = Δ + Δ = − Tako je 2 1P KE E Q= −

Qmvmgh −=2

21

2

Visina na koju kugla odskoči je

21

22 4,077 m

2mv Qh

mg−

= =

34. Zamašnjak, polumjera R = 0,8 m, okreće se stalnom brzinom ω0 = 7,5 rad/s. Pokretački stroj zamašnjaka u jednom trenutku prestane djelovati, ali se on nastavi okretati s usporavanjem još tijekom vremena t = 24 s. Koliko je kutno ubrzanje zamašnjaka, kao i tangencijalno ubrzanje točke na obodu zamašnjaka tijekom zaustavljanja? Rješenje Kutna brzina u ovisnosti o vremenu je ω = ω0 + αt Kad se zamašnjak zaustavi, ω = 0, pa imamo 0 = ω0 + αt ω0 = - αt Tako da je kutno ubrzanje


0

tωα = − = -0,313 rad/s2

Tangencijalno ubrzanje ta Rα= = -0,25 m/s2 35. Puni homogeni valjak radijusa 7 cm pusti se kotrljanjem, bez klizanja, niz kosinu duljine 2 m i nagibnog kuta 37 °. Odrediti kutnu brzinu valjka u podnožju kosine.

Rješenje

Ukupna mehanička energija valjka na kosini, pošto nema djelovanja vanjskih sila, je očuvana 0P KE E EΔ = Δ + Δ =

2 1 2 1 0P P K KE E E E− + − =

1 2P K kotrljanja translacijeE E E E= = +

2 2

2 2ω

= +I mvmgh

Moment tromosti valjka je 2

2mR , a brzina v Rω= ⋅ .

2 2 2 2 2 23

4 2 4ω ω ω

= + =mR mR mRmgh

Tako je kutna brzina na kraju kosine

2 56,60 s3gh

Rω = =

36. Preko dva homogena valjka prebačena je nit na kojoj vise dva utega. Mase utega su m1 = 2 kg i m2 = 1 kg, a mase valjaka m3 = 1 kg i m4 = 5 kg. Odrediti ubrzanje sustava pod pretpostavkom da nema klizanja.

Rješenje

Za svako tijelo pišemo jednadžbu gibanja. Za uteg mase m1

1 1 1Zm g F m a− = (1) Za valjak mase m3 izražavamo jednadžbu za moment sile


( )'1 1 2 1Z ZM F F R= −

1M je moment sile koji djeluje na valjak je

2

3 11 1 1 1 1

1

; ;2

m R aM I IR

α α= ⋅ = =

' 31 2 2Z Z

m aF F− = (2)

Za valjak mase m4 moment sile je

( )' '2 2 3 2Z ZM F F R= −

' ' 42 3 2Z Z

m aF F− = (3)

Jednadžba gibanja za uteg mase m2 je 3 2 2ZF m g m a− = (4) Iz jednadžbi (1), (2), (3) i (4) slijedi

-21 2

1 2 3 4

2( ) 1,635 ms2( )

m m gam m m m

−= =

+ + +

37. Koloturu, mase 10 kg i vanjskog promjera 50 cm, vučemo konopcem koji je namotan na osovinu, polumjera 10 cm, silom od 10 N. Koliki mora biti faktor trenja između podloge i koloture kako bi kolotura klizila bez trenja?

Rješenje Pišemo jednadžbu gibanja za koloturu koja klizi

trF F ma− = (1)

trF mgμ= (2) Rezultantni moment sile na koloturu mora biti jednak nuli kako ne bi došlo do okretanja koloture.

0trFr F R− = (3) Iz (1) i (3) dobivamo ubrzanje kojim kolotura klizi


( ) 20,3 m/sF R r

amR−

= =

Minimalni faktor trenja između koloture i podloge, kako ne bi došlo do okretanja, mora biti

0,07F mamg

μ −= =

38. Platforma oblika diska mase 90 kg rotira frekvencijom 0,5 s-1 oko okomite osi koja prolazi kroz centar mase. Na rubu platforme stoji dječak mase 30 kg. Kolikom će frekvencijom rotirati platforma ako se dječak pomjeri u sredinu platforme. (Aproksimirati dječaka materijalnom točkom.) Rješenje Ako nemamo djelovanje momenta sile ukupna kutna količina gibanja je očuvana.

const.i ii

I ω =∑

I1ω1 = I2 ω2

Ukupni moment tromosti diska i čovjeka na rubu je

22

1 1 2 2

RI m m R= +

Ukupni moment tromosti diska i čovjeka u sredini diska je

2

2 1 2RI m=

1 12ω πν= 2 22ω πν=

Uvrstivši izraze za momente i kutne brzine u gornju jednakost imamo

-11 22 1

1

2 4 0,833 sm mm

ν ν+= =

39. Dva tijela, jednakih masa m, povezana su užetom kroz otvor na horizontalnoj podlozi. Jedno tijelo se nalazi na podlozi i po njoj rotira, dok drugo visi u zraku. Koliku kutnu brzinu treba imati tijelo koje rotira da bi tijelo koje visi ostalo na istom nivou? Polumjer putanje tijela na podlozi je R. Sva trenja zanemariti.

Rješenje

Jednadžba gibanja za obješeno tijelo je


Zmg F ma− = Jednadžba gibanja za tijelo na horizontalnoj podlozi je

' 2Z r cpF ma m R Fω= = =

Iznosi sila zatezanja su jednaki

'Z ZF F=

Uvjet je da obješeno tijelo ostane na istoj visini, dakle 0=a , pa je

2m R mgω =

Kutna brzina je

gR

ω =

40. Knjiga mase m1 = 500 g nalazi se na stolu, a ispod knjige je list papira mase m2 = 50 g. Koeficijent trenja između svih površina je 0,1. Papir je povučen silom F. Koliki treba biti iznos ove sile kako bismo papir izvukli ispod knjige?

Rješenje Djelovanjem sile F knjiga i papir se gibaju kao jedno tijelo. Ako iznos sile F preraste graničnu vrijednost gibat će se samo papir.

trF F ma− =

( ) ( )1 2 1 2F m m g m m aμ− + = + Ubrzanje kojim se gibaju knjiga i papir pod djelovanjem sile F je:

1 2

Fa gm m

μ= −+

Knjiga se praktično nalazi u inercijskom sustavu vezanom za papir i na nju djeluje inercijska sila iznosa 1m a . Ako ova sila preraste silu trenja knjiga će se odvojiti od papira.

1in trF F=

1 1m a m gμ=


a gμ=

1 2

Fg gm m

μ μ= −+

( )1 22 1,08 NF g m mμ= + =

41. Vlak se giba po zakrivljenom dijelu staze brzinom v = 50 km/h. Kuglica obješena o nit u vagonu otklanja se pri tome za kut α = 5°. Odrediti radijus zakrivljenosti putanje. Rješenje Vlak koji se giba po zakrivljenoj stazi predstavlja neinercijski sustav. Stoga na kuglicu obješenu u vagonu djeluje inercijska centrifugalna sila

22

cfmvF m r

rω= =

Pored inercijske sile na kuglicu djeluje sila teža, te sila zatezanja niti. Iznos vektorskog zbroja inercijske sile i sile teže jednak je iznosu sile zatezanja. Tako možemo pisati

cosZmg F α=

sincf ZF F α=

Iz gornjih izraza dobivamo

2

226,98 m 227 mtgvr

g α= = ≈

42. Stožasto njihalo sastoji se od niti duljine 2 m i kuglice mase 0,5 kg. Njihalo rotira i u sekundi čini dva okreta oko vertikale. Izračunati silu zatezanja u niti i kut položaja niti u odnosu na vertikalu.

Rješenje Kuglica se giba po putanji kružnice u horizontalnoj ravnini. Horizontalna komponenta sile zatezanja predstavlja centripetalnu silu.

2sinzx z rF F ma m Rα ω= = = Pošto su


sinR l α= i 2 fω π= Iz gornjih izraza dobivamo da je iznos sile zatezanja

( )22 157,75 NzF m f lπ= = Vertikalna komponenta sile zatezanja izjednačena je sa silom teže

coszy zF F mgα= = Kut položaja niti u odnosu na vertikalu je

arccos 88,218 88 13' 5,6 ''z

mgF

α = = ° = °

43. Tijelo mase 2 kg vezano je koncem i rotira oko jedne točke u vertikalnoj ravnini u polju Zemljine teže. Izračunati razliku među silama zatezanja konca kada se tijelo nalazi u najvišoj i najnižoj točki putanje.

Rješenje

Jednadžba gibanja u radijalnom pravcu za tijelo koje na koncu rotira u vertikalnoj ravnini je

2

Z GN rvF F ma mR

− = =

cosGNF mg α=

2

cosZ RvF m g α⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

U najvišoj u točki, označenoj s A, gornja jednadžba gibanja postaje

2A

ZA RvF m g⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

A u najnižoj u točki, označenoj s B, postaje

2B

ZB RvF m g⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

Razlika ove dvije sile zatezanja je

( )2 2

2B AZB ZA

v vF F F m g

R

⎡ ⎤−Δ = − = +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦


Razlika 2 2

B Av v− se dobije iz zakona o očuvanju energije, iznos potencijalne energije tijela u točki A se pretvara u kinetičku energiju u točki B.

2 2

2 22 42 2

B AB A

mv mv Rmg v v Rg= + ⇒ − =

Tako je razlika sila zatezanja 6 117,72 NF mgΔ = = 44. Luster mase 6 kg visi na plafonu koji se može opteretiti silom od 93,34 N. Luster se otkloni za kut α i pusti. Koliki može biti maksimalni kut otklona da luster ne bi pao?

Rješenje

Luster u mirovanju opterećuje plafon svojom težinom mg. Luster otklonjen za kut α djelovat će na plafon dodatnom silom, iznosom centripetalne sile. Jednadžba gibanja za luster u radijalnom pravcu je

2

Z GN rvF F ma ml

− = =

cosGNF mg α=

Pa je sila zatezanja

2

cosZ lvF m g α⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

'

Z ZF F= U trenutku prolaska kroz ravnotežni položaj ( )0α = sila zatezanja će biti maksimalna

2

Z lvF m g⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

Brzinu v u trenutku prolaska kroz ravnotežno položaj dobit ćemo koristeći zakon očuvanja energije. Nemamo vanjske sile pa nam vrijedi

K PE EΔ + Δ = 0

K PE EΔ = −Δ

( )K PE E− = − −2 10 0


mv mgl v gl= − α ⇒ = − α

2

(1 cos ) 2 (1 cos )2

Uvrštavajući ovaj izraz u izraz za silu zatezanja dobivamo

cos 32 2

ZFmg

α = −

Tako je maksimalni kut otklona

arccos 4532 2

ZFmg

α⎛ ⎞

= − = °⎜ ⎟⎝ ⎠

45. Tijelo, mase m = 1 kg, vezano je na kraju niti duljine l = 0,5 m. Nit s tijelom rotira u vertikalnoj ravnini stalnom kutnom brzinom ω = 10 rads-1. Kolika je zatezna sila niti kad je tijelo u točkama A, B, C i D?

Rješenje

Jednadžba gibanja u radijalnom pravcu za tijelo koje na koncu rotira u vertikalnoj ravnini je

2Z GN rF F ma m lω− = =

cosGNF mg α=

Pa je sila zatezanja

( )2cosZ lF m g ωα= +

Sile zatezanja u traženim točkama su:

( 0 ) : 59,81 NZA Fα = ° =

( 90 ) : 50 NZB Fα = ° =

( 180 ) : 40,19 NZC Fα = ° =

( 270 ) : 50 NZD Fα = ° =

46. Leteći brzinom v = 600 kmh-1 avion napravi “petlju” u vertikalnoj ravnini polumjera R = 600 m. Kolikom silom djeluje pilot, mase m = 80 kg, na svoje sjedalo u trenutku kad se avion nalazi u najvišoj točki, a kolikom kad se nalazi u najnižoj točki putanje?


Rješenje Možemo pisati jednadžbu gibanja za pilota u radijalnom pravcu. Na njega djeluje sila sjedala i sila teže.

2

S GN rvF F ma mR

− = =

cosGNF mg α= U najnižoj točki (α = 0°) sila sjedala je

2

4,485 kNSAvF m gR

⎛ ⎞= + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

A u najvišoj točki (α = 180°) sila sjedala je

2

2,918 kNSBvF m gR

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

47. Odrediti vrijeme obilaska Mjeseca oko Zemlje, ako je poznato da je:

a) ubrzanje slobodnog pada na Zemlji (Zemljinom polu) g0 = 9,83 m/s2, b) polumjer Zemlje RZ = 6400 km, c) udaljenost od centra Zemlje do centra Mjeseca 53,84 10d = ⋅ km

Rješenje

Centripetalna sila rotacije Mjeseca oko Zemlje je gravitacijska sila između Zemlje i Mjeseca.

2

2m m Zm v m mGR R

=

Ako zamijenimo obodnu brzinu Mjeseca s kutnom brzinom možemo izračunati period obilaska Mjeseca oko Zemlje.

0 2Z

Z

mv R g GR

ω= =

2

20 3ω = ZRg

R

2 2

0 3

2π⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

ZRgT R


2 3

62

0 0

4 2 2,355 10 s 27 danaπ π= = = ⋅ ≈

Z Z

R R RTg R R g

48. Koliku brzinu treba imati umjetni Zemljin satelit koji se kreće po kružnoj putanji na visini H? Koliki je period kretanja ovog satelita?

Rješenje: Centripetalna sila rotacije satelita oko Zemlje je gravitacijska sila između Zemlje i satelita.

2

2( )S S Z

Z Z

m v m mGR H R H

=+ +

Odavde nalazimo da je tražena brzina

Z

Z

mv GR H

=+

Period kretanja satelita je

( ) ( )22 2Z ZZ

Z

R H R HT R Hv Gm

ππ πω

+ += = = +

49. Cilindrična posuda prikazana na slici napunjena je do vrha vodom. Kolika sila djeluje na: a) dno posude, b) bočnu stranu proširenog dijela cijevi? Gustoća vode je 103 kg/m3, d = 70 cm, h1 = 30 cm i h2 = 70 cm. Rješenje a) Sila na dno posude je

2

1 2( ) 3773,42 N4dF pS g h hρ π= = + =

a) Sila na bočnu stranu šireg dijela cijevi je

1 2

2p pF pS S+⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )1 1 2p g h hρ= +

2 2p ghρ=


12 1( ) 5498,41 N

2hF g h d hρ π= + =

50. Potrebno je napraviti splav od hrastovih balvana, a svaki od njih ima težinu 1200 N. Ako se na splav stavi teret od 6000 N splav potone. Odrediti minimalni broj balvana potrebnih da se napravi takav splav (Gustoća vode je103 kgm-3; a drveta 800 kgm-3).

Rješenje Splav će početi tonuti kad je sila uzgona jednaka težini splava i tereta.

U B TF Nm g m g= + N – broj balvana

V B B TN V g Nm g m gρ = + Kako je

B

BB

mVρ

=

Dobivamo da je minimalan broj balvana

V

B

20 1

T

B

mNm ρ

ρ

= =⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠

51. Od 20 g aluminija treba napraviti šuplju kuglu koja će lebdjeti u vodi. Odrediti debljinu zida kugle. Gustoća aluminija je 2710 kg/m3, a gustoća vode je 1000 kg/m3.

Rješenje Da bi šuplja kugla lebdjela u vodi treba vrijediti

G UF F= mg gVρ= Tako da je volumen šuplje kugle

334 20 cm

3m rV πρ

= = =

Od toga je volumen šupljine


31 1' 12,62 cmAl

Al

V V V mρ ρ

⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟

⎝ ⎠ Odavde određujemo radijuse kugle i šupljine, a iz toga debljinu zida.

3 34 3 1,68 cm3 4

ππ

= ⇒ = =V r r V

3 3

4 3' ' ' ' 1, 44 cm3 4

ππ

= ⇒ = =V r r V

Debljina zida kugle je

' 0, 24 cmh r r= − = 52. Željezni splav, mase 6 t, ima vanjski volumen 56 m3. Koliko ljudi, prosječne mase 70 kg može primiti ovaj splav, pod uvjetom da je dozvoljeno potapanje splava samo do polovine njegovog volumena?

Rješenje Težina splava zajedno s N ljudi treba biti jednaka sili uzgona

2čVmg Nm g gρ+ =

2 314,29č

V mN

m

ρ −= =

Splav može primiti 314 ljudi. 53. U kojem odnosu moraju biti polumjeri lopte od čelika i lopte od pluta da bi spojene lebdjele u vodi? Gustoća vode je 1000 kg/m3, gustoća čelika 7850 kg/m3 i gustoća pluta 300 kg/m3.

Rješenje Težina lopti treba biti jednaka sili uzgona

P č Um g m g F+ =

P VČgV gV g V Vρ +ρ = ρ +1 2 1 2( )

P VČR R R Rπ π π

ρ +ρ = ρ +3 3 3 31 2 1 2

4 4 4 ( )3 3 3


3 31 2( ) ( )V P VČR Rρ −ρ = ρ −ρ

VČ

V P

RR

ρ −ρ= = =

ρ −ρ

3313 32

( ) 6850 kg/m 9,785( ) 700 kg/m

Polumjeri lopti imaju odnos

1

2

2,14RR

=

54. Željezna bačva, bez poklopca, mase m1 = 4 kg, ima vanjski volumen V1 = 0,4 m3. Koliko je pijeska, gustoće ρ = 3000 kgm-3, potrebno usuti u bačvu da bi potonula u vodi?

Rješenje Da bi bačva potonula težina bačve s pijeskom mora biti veća ili jednaka sili uzgona. Dakle minimalna težina bačve jednaka je sili uzgona

gVmggm 1V1 ρ=+

11V mVm −= ρ Minimalan volumen pijeska kojeg treba usuti u bačvu je

3V 1 1 0,132 mV mmV ρ

ρ ρ−

= = =

55. Loptica, mase m i polumjera R zagnjurena je u vodu do dubine h i puštena. Do koje visine h0 će loptica “iskočiti” prilikom izlaska iz vode? Zanemariti trenje u vodi.

Rješenje Na lopticu djeluje sila

uF mg F− = Ova sila, ako zanemarimo trenje ubrzava lopticu ubrzanjem

uF mg gVa gm m

ρ−= = −

Tako loptica na površini vode ima brzinu

2 2 1Vv ah g hmρ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟

⎝ ⎠


Visina do koje će loptica uspjeti “iskočiti” je

2 34' 1 12 3v V Rh h hg m m

ρ ρ π⎛ ⎞⎛ ⎞= = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

56. Kroz horizontalnu cijev teče tekućina gustoće 0,9 g/cm3. Ako je brzina tekućine u užem dijelu cijevi 5 m/s, a razlika tlakova šireg i užeg dijela iznosi 5 kPa, za koliko je potrebno podići širi dio cijevi da bi se brzina smanjila 50 %? Brzina u užem dijelu ostaje stalna.

Rješenje Po Bernoullijevoj jednadžbi imamo

v vp pρ ρ+ = +

2 21 2

1 22 2

Odavde odredimo v2:

22 1

2 3,73 m/spv vρΔ

= − =

Nakon podizanja šireg dijela cijevi imamo:

v vp p ghρ ρρ+ = + +2 2

1 21 2

' '2 2

Zadatkom je zadano

2

2 ' 1,86 m/s2vv = =

1 1'v v=

2 1 5 kPap p pΔ = − = Iz ovih izraza dobivamo visinu na koju treba podići širi dio cijevi

2 21 2' ' 0,53 m

2pv vh

g gρΔ−

= − =

57. U vertikalnoj “U” cijevi površina unutarnjeg presjeka jednog kraka je S1, a drugog 3S1. U cijev je ulivena živa (gustoća 13,6 g/cm3) tako da je l = 30 cm. Za koliko će se povisiti nivo žive u širem dijelu cijevi ako se u uži dio nalije voda do vrha (gustoća 1 g/cm3)?


Rješenje Težina ulivene vode u uži krak cijevi treba biti jednaka težini žive koja se podigla u širem kraku cijevi

1 13v žgS l g S xρ ρ= Tako je visina za koju se povisio nivo žive u širem kraku

0,735 cm3

v

ž

x lρρ

= =

58. Mali komad drveta potopljen je u vodu do dubine 2,9 m. Odrediti akceleraciju komada drveta nakon što je pušten i vrijeme za koje dođe do površine vode. Zanemariti viskoznost.

Rješenje Jednadžba gibanja za potopljeno drvo je

uF mg ma− = Odavde dobivamo akceleraciju kojom se drvo giba prema površini vode.

-21 14,72 msu

d

Fa g gm

ρρ

⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟

⎝ ⎠ Iz puta koji prijeđe drvo odredimo vrijeme za koje drvo dođe do površine vode.

2

2ats h= =

2 0,63shta

= =

59. Cilindrična posuda promjera 0,5 m ima na dnu kružni otvor promjera 8 mm. Odrediti brzinu opadanja nivoa vode u posudi u trenutku kada je visina stuba vode 40 cm.

Rješenje Po Bernoullijevoj jednadžbi imamo

22

22

21 vv ρ

=ρ+ρ gh

Preko jednadžbe kontinuiteta izrazimo v2


1

2

12 vv

SS

=

Uvrstivši izraz za v2 u prvu jednadžbu dobijemo brzinu istjecanja tekućine na visini h, tj. brzinu opadanja nivoa vode

2 41 2 4 4

1 2

2 7,168 10 m/sghv dd d

−= = ⋅−

60. Kroz horizontalnu cijev protječe voda. Na mjestima gdje su presjeci cijevi S1 = 1 cm2 i S2 = 3 cm2 vertikalno su spojene dvije manometarske cijevi. Neka se odredi protok vode kroz horizontalnu cijev ako je razlika nivoa vode u manometrima ∆h = 10 cm.

Rješenje: Prema Bernoullijevoj jednadžbi možemo pisati

2 21 2

1 22 2ρv ρvp p+ = +

Razlika nivoa vode u manometrima je ∆h, stoga bi oni pokazali razliku pritisaka ∆p

2 1p p p ρg hΔ = − = Δ Napomena: Promjeri cijevi nisu na visinskoj razlici, već samo nivoi vode u manometrima koji su pokazatelji veličine tlaka. Protok kroz cijev je očuvan:

21 1 2 2 1 2

1

Sv S v S v vS

= ⇒ = ⋅

Ako ove izraze uvrstimo u Bernoullijevu jednadžbu dobijemo

2 22 2

21

12ρv SΔp

S⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠

=

Tako imamo

-12 1 2 2

2 1

2 0,5 msgΔhv SS S

= =−

Traženi protok je

4 3 -12 2 1,5 10 m sq v S −= = ⋅

61. Na dnu cilindrične posude promjera 0,4 m nalazi se kružni otvor promjera 0,01 m. Odrediti brzinu opadanja nivoa vode u trenutku kada je visina stupa vode 0,3 m.


Rješenje

Po Bernoullijevoj jednadžbi imamo

22

22

21 vv ρ

=ρ+ρ gh

(1) Iz jednadžbe kontinuiteta izrazimo v2

1

2

12 vv

SS

=

Uvrstivši izraz za v2 u (1) dobijemo brzinu istjecanja tekućine na visini h

2 31 2 4 4

1 2

2 1,516 10 m/sghv dd d

−= = ⋅−

62. Kroz cijev AB struji zrak tako da je protok q = 5 L/min. Površina poprečnog presjeka cijevi na širem dijelu je S1 = 2 cm2, a na užem dijelu S2 = 0,5 cm2. Treba odrediti razliku nivoa vode ∆h u dijelu cijevi abc. Gustoća zraka je 1,32 kg/m3, gustoća vode 1000 kg/m3.

Rješenje Bernoullijeva jednadžba za ovaj slučaj je

2 21 2

1 22 2Z Zv vp pρ ρ+ = +

( )2 21 2 2 12

Zp p v vρ− = − (1)

Razlika nivoa vode u dijelu cijevi abc (koja predstavlja manometar) pokazuje razliku tlakova p1 i p2

1 2p p p g hρ− = Δ = Δ (2) Preko jednadžbe kontinuiteta izrazimo v1

21 2

1

Sv vS

= (3)

Izraze (2) i (3) uvrstimo u (1) i dobivamo

2 2

422 22 1

1 1,75 10 m2

Z q Shg S S

ρρ

−⎛ ⎞Δ = − = ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠


1. Grafički su prikazana dva vektora u xy ravnini. Izraziti ove vektore, te naći: a) A C B+ − i ;A C B+ − b) B D A+ − i ;B D A+ − c)

( ) ;A B C+ ⋅ i kut ϕ između A B+ i ;C d) ( ) ;C D A− ⋅ i

kut ϕ između C D− i ;A e) ( )C D B− × i ( ) ;C D B− ×

f) ( ) ( )C B B A− × − i ( ) ( ) .C B B A− × −

(Rješenje: a) 3 ;A C B i j+ − = + 3,16;A C B+ − = b)

5 3 ;B D A i j+ − = + 5,83;B D A+ − = c)

( ) 30;A B C+ ⋅ = − 120 58' 9,7 '';ϕ = ° d)

( ) 2;C D A− ⋅ = − 93 22 ' 8,3'';ϕ = ° e)

( ) 26 ;C D B k− × = ( ) 26;C D B− × = f) ( ) ( ) 32 ;C B B A k− × − = ( ) ( ) 32;C B B A− × − =

2. Brzina gibanja automobila na prvoj polovici puta je 36 km/h, a na drugoj 54 km/h. Kolika je srednja brzina gibanja automobila na putu? (Rješenje: v = 43,2 km/h) 3. Na prvoj trećini puta automobil se kreće brzinom v1, a na ostalom dijelu puta brzinom v2 = 54 km/h. Srednja brzina automobila na cijelom putu je v = 36 km/h. Kolika je brzina v1? (Rješenje: v1 = 21,6 km/h) 4. Tijelo se kreće po ravnoj putanji tako što u jednakim sukcesivnim vremenskim intervalima, koji traju ∆t, ima stalne brzine v1, v2, v3,…, vn. Kolika je srednja brzina tijela?

(Rješenje: 1

n

ii

vv

n==∑

)

5. Lokomotiva se kreće brzinom v1 = 54 km/h. Nasuprot njoj naiđe vlak, duljine l = 150 m, koji se kreće brzinom v2 = 36 km/h. Koliko će vremena kompozicija vlaka prolaziti pored strojovođe lokomotive? (Rješenje: t = 6 s) 6. Ako ubrzanje autobusa pri polasku i kočenju ne smije biti veće od 1,2 m/s2, a njegova najveća brzina je 40 km/h, naći najkraće vrijeme za koje će autobus prijeći put između dvije susjedne stanice koje se nalaze na udaljenosti od 2 km. (Rješenje: tmin = 190 s) 7. Od trenutka zapažanja signala „stop“ pa do primjene kočnice vozaču je potrebno vrijeme od 0,7 s. Ako kočnice automobila mogu ostvariti usporenje od 5 m/s2, izračunati duljinu puta koju će automobil prijeći od trenutka zapažanja signala pa do zaustavljanja. Brzina automobila prije početka kočenja iznosila je 100 km/h. (Rješenje: s = 96,6 m)


8. Automobil i kamion počinju se gibati u isto vrijeme, u istom smjeru, s tim da kamion počinje gibanje na nekoj udaljenosti ispred automobila. Automobil i kamion se gibaju sa stalnim ubrzanjima, iznosa a1 = 2 m/s2 i a2 = 1 m/s2. Automobil dostigne kamion nakon što je kamion prešao 32 m. Koliko vremena je bilo potrebno automobilu da dostigne kamion? Kolike su bile brzine automobila i kamiona u tom trenutku? Koliko su automobil i kamion bili udaljeni na početku gibanja? (Rješenje: t = 8 s; v1 = 16 m/s, v2 = 8 m/s; d = 32 m) 9. Jedno tijelo slobodno pada s vrha zgrade, visoke 100 m. Jednu sekundu kasnije, drugo tijelo je bačeno prema dolje početnom brzinom v0. Drugo tijelo sustigne prvo tijelo na visini 20 m iznad tla. Kolika je bila početna brzina v0? (Rješenje: v0 = 11, 42 m/s) 10. Lopta je bačena pod kutom od 60° prema horizontali. Ona slijeće 2 m od ruba zgrade visoke 20 m. Rub zgrade je 38 m udaljen horizontalno od mjesta bacanja lopte. Odrediti brzinu kojom je lopta bačena. (Rješenje: v0 = 25, 24 m/s) 11. Tijelo se gurne uz kosinu početnom brzinom 48 m/s. Ako je nagib kosine 30°, odrediti koliki će put tijelo prijeći po njoj do zaustavljanja, pod uvjetom da je trenje zanemarivo. (Rješenje: s = 235 m) 12. Automobil, čiji kotači imaju promjer 0,60 m, giba se po ravnom putu brzinom 60 km/h. Pri kočenju se automobil zaustavi poslije prijeđenog puta od 20 m. Pod pretpostavkom da je usporenje automobila jednoliko, izračunati kutno ubrzanje njegovih kotača tijekom kočenja. (Rješenje: α = - 23,2 rad/s2) 13. Automobil se kreće po horizontalnoj kružnoj putanji polumjera R = 43 m, tangencijalnim ubrzanjem at = 2 ms-2. Za koje vrijeme će automobil prijeći prvi krug ako mu je početna brzina v0 = 36 kmh-1? (Rješenje: t1 = 12 s.) 14. Osovina nekog motora okreće se stalnom kutnom brzinom 200π rad/s. Kočenjem se kutna brzina osovine smanji na 160π rad/s za vrijeme od 4 s. Koliko je srednje kutno ubrzanje i broj učinjenih okretaja za vrijeme kočenja? (Rješenje: -2rads10π−=α i n = ϕ/2π = 360 ok) 15. Tijelo, pri gibanju stalnom kutnom brzinom ω0 = 4 rad/s, dobije kutno ubrzanje α = - 0,5 rad/s2. Kolika će biti kutna brzina tijela nakon:

a) vremena t = 1 s, b) kutnog pomaka od ϕ = (π/3) rad, c) n = 2 okretaja?

(Rješenje: a. ω = 3,5 rad/s; b. ω = 3,9 rad/s; c. ω = 1,85 rad/s)


16. Jedno tijelo slobodno pada s visine h = 8000 m, a u isto vrijeme je sa zemlje izbačeno drugo tijelo vertikalno uvis brzinom v0. Kolika treba biti brzina v0 da se tijela susretnu na pola puta? (Rješenje: v0 = 280 m/s) 17. Tijelo slobodno pada, i u posljednjoj sekundi kretanja pređe put koji je jednak putu koji je tijelo prešlo za prve 3 s kretanja. Odrediti ukupno vrijeme padanja kao i visinu sa koje je tijelo palo. (Rješenje: t = 5s; 122,625 mh = ) 18. Kamen se pusti da slobodno pada u bunar. Udar u vodu čuje se nakon 2,58 s. Odrediti dubinu bunara. Uzeti da je brzina zvuka c = 340 m/s. (Rješenje: h = 30,4 m) 19. S iste visine i u istom trenutku počnu padati dvije kuglice, i to jedna kuglica bez početne brzine, a druga početnom brzinom v0 = 20 m/s. Prva kuglica padne za drugom nakon Δt = 2 s. S koje visine su kuglice pale, te koja su vremena padanja kuglica? (Rješenje: h = 14,1 km; t1 = 53,6 s i t2 = 51,6 s) 20. Tijelo, koje slobodno pada, prijeđe drugu polovicu puta za vrijeme ∆t = 1 s. a) Koliko je ukupno vrijeme padanja tijela b) S koje visine je tijelo pušteno? (Rješenje: a) t = 3,42 s, b) h = 57,2 m) 21. S tornja visokog 25 m bačeno je tijelo vertikalno uvis, početnom brzinom 10 m/s. Koliko je vrijeme padanja tijela, a kolika njegova brzina pri padu na tlo? (Rješenje: t = 3,5 s; v = 24,3 m/s) 22. Tijelo se baci u horizontalnom pravcu s visine h = 6 m iznad zemlje. Tijelo padne na udaljenosti l = 10 m od mjesta bacanja. Pod kojim kutom će tijelo pasti na zemlju? (Rješenje: α = 56°18') 23. Iz tri točke na vertikalnoj obali istovremeno su izbačene tri jednake kuglice u horizontalnom pravcu, početnim brzinama v01 = 50 m/s, v02 = 75 m/s i v03 = 100 m/s. Prva kuglica padne na površinu vode na horizontalnoj udaljenosti 100 m od obale. Ako sve tri kuglice istovremeno padnu na površinu vode izračunati: a) vrijeme padanja svake kuglice, b) visine h1, h2 i h3 s kojih su kuglice izbačene, c) brzine kuglica v1, v2 i v3 u trenutku pada u vodu. (Rješenje: a) t1 = t2 = t3 = 2 s; b) h1 = h2 = h3 = 19,6 m; c) v1 = 53,7 m/s, v2 = 77,4 m/s, v3 = 102 m/s) 24. Tijelo je bačeno pod kutom α = 70° prema horizontu. Za vrijeme tm = 80 s ono dostigne najvišu točku. Odrediti početnu brzinu rakete i položaj pada rakete. (Rješenje: v0 = 835 m/s; xD = 45,7 km)


25. Pri lansiranju rakete, mase m = 200 kg, trenutno sagori 1/4 njene mase i kao produkt sagorijevanja izleti u suprotnom smjeru od smjera kretanja rakete. Ako je brzina produkata sagorijevanja u odnosu na raketu v1 = 1800 m/s, kolika je početna brzina rakete? Na kojoj će udaljenosti od mjesta lansiranja pasti raketa ako je kut prema horizontu pod kojim je izbačena raketa α = 30°? (Rješenje: v0 = 600 m/s; xD = 31,78 km) 26. Tijelo, mase 10 g, ispaljeno je u horizontalnom pravcu brzinom v1. Ono se zabija u drveni blok, mase 7 kg, koji se nalazi na glatkoj horizontalnoj podlozi, nakon čega se blok počinje klizati brzinom 0,5 m/s. Odrediti brzinu tijela prije sudara s drvenim blokom i izgubljenu energiju u ovom sudaru. (Rješenje: v1 = 350,5 m/s; Q = 613,38 J) 27. Nogometni vratar, mase 80 kg, udara loptu, mase 0,5 kg, koja je prema njemu dolazila horizontalno brzinom 1 m/s. Odmah nakon udara lopta se nastavila gibati horizontalno, u suprotnom smjeru, brzinom 0,8 m/s. Pretpostaviti da je udar trajao 0,2 s. Koja je minimalna vrijednost statičkog faktora trenja između vatara i tla kako vratar ne bi proklizao. (Rješenje: μ = 0,006) 28. Na zaustavljenom željezničkom vagonu, mase m1 = 8 t, nalazi se raketna rampa s koje rakete polijeću brzinom v0 = 1000m/s. Istovremeno se lansiraju dvije rakete, svaka mase m2 = 80 kg, u horizontalnom pravcu, koji se poklapa s pravcem tračnica. Za koliko se pomjeri vagon pri ovome ako je ukupni koeficijent trenja pri gibanju vagona µ = 0,06? (Rješenje: s = 339,8 m) 29. Metalna kuglica, mase 10 g, slobodno pada s visine od 30 m. Kuglica padne na glatku metalnu ploču, od koje se odbije ne promijenivši iznos brzine. Ako je dodir kuglice s pločom trajao 1 ms, izračunati iznos impulsa sile, kao i veličinu srednje sile kojom kuglica djeluje na ploču. (Rješenje: I = 0,48 kgm/s, F = 485,2 N) 30. Padobranac, mase 50 kg, iskače iz zrakoplova i slobodno pada do trenutka kad postigne brzinu od 20 m/s. Tada otvara padobran, te mu se za 5 s brzina smanji na 5 m/s. Pretpostavljajući da je akceleracija bila stalna odredite ukupnu silu zatezanja u padobranskim nitima i rezultantnu silu na padobranca. (Rješenje: FZ = 640, 5 N; F = 150 N) 31. U sustavu tijela prikazanom na slici mase tijela su m1 = 10 kg i m2 = 5 kg. Koeficijent trenja između tijela mase m1 i podloge je μ = 0,2 dok je kut kosine α = 30°. Odrediti: a) ubrzanje sustava tijela i b) silu zatezanja užeta. (Rješenje: a. a = 5,4 m/s; b. FZ = 22 N) 32. Automobil, mase m = 4000 kg, kreće se brzinom v0 = 120 km/h po horizontalnom putu. Ako je sila trenja pri kretanju automobila Ftr = 10 kN, odrediti duljinu puta koju će automobil prijeći poslije prestanka rada motora. (Rješenje: s = 222,2 m)


33. Skijaš stoji nepomično na snježnoj padini nagiba 15° u odnosu na horizontalu. Zbog pritiska skija sloj snijega ispod skija se postupno topi, te se smanjuje statičko trenje i u jednom trenutku skijaš se počne gibati. Kolika je vrijednost statičkog koeficijenta trenja u ovom trenutku? Ako vrijednost koeficijenta trenja klizanja između skija i snijega iznosi 0,1 odrediti brzinu skijaša poslije 5 s, te prijeđeni put u ovom vremenu. (Rješenje: μS = 0,268; v = 7,95 m/s; s = 19,88 m) 34. Na horizontalnom dijelu puta, duljine s = 3 km, brzina automobila se poveća s v1 = 36 km/h na v2 = 72 km/h. Ako je masa automobila m = 1,5 t, a koeficijent trenja između automobilskih guma i puta iznosi μ = 0,02, odrediti: a) rad koji izvrši automobil na tom putu b) srednju snagu koju razvija motor automobila na tom putu. (Rješenje: a. W = 1,11⋅106 J = 1,11 MJ; b. P = 5,54 kW) 35. S vrha kosine, visine 1 m i duljine 10 m klizi tijelo mase 2 kg. Odrediti kinetičku energiju koju tijelo postiže pri dnu kosine ako je faktor trenja klizanja 0,06. (Rješenje: 7,91JkE = ) 36. Za sustav tijela prikazan na slici i uz date podatke odrediti ubrzanje sustava i silu zatezanja konopca. m1 = 250 g m2 = 500 g α = 30° β = 45° (Rješenje: a = 2,989 ms-2; FZ = 1,974 N) 37. Po kosini se giba tijelo mase M. Koeficijent trenja između tijela i podloge je μ = 0,01. S ovim tijelom je preko koloture povezano drugo tijelo mase m = 2 kg. Treba odrediti masu tijela M ako se ono po kosini giba ubrzanjem 2 m/s2. (Rješenje: M = 53,17 kg) 38. Tijelo mase m, koje se nalazi na kosini nagiba 40°, vezano je užetom preko koloture s tijelom mase 0,5 m, kao što je prikazano na slici. Odrediti koliki treba biti koeficijent trenja μ između tijela na kosini i podloge da bi tijela mirovala. Trenje u koloturi zanemariti. (Rješenje: 0,187μ = ) 39. Kameni blok, mase 200 kg, nalazi se na kosini nagiba 15°. Da bi se blok gibao niz kosinu potrebno je na njega djelovati tangencijalnom silom od 490 N. a) Koliki je koeficijent trenja između bloka i kosine ako je gibanje bloka jednoliko? b) Kolikom silom bi se mogao vući isti blok uz kosinu? (Rješenje: µ = 0,52 b) F = 1493 N)


40. Automobil ukupne mase 2·103 kg spušta se cestom nagiba 30°. U trenutku kad brzina automobila iznosi 20 m/s vozač je započeo kočiti. Koliku silu kočenja treba primijeniti da bi se automobil zaustavio na putu od 100 m? Pretpostavlja se stalna sila kočenja paralelna nagibu. (Rješenje: 13,81 kNKF = ) 41. Tijelo je gurnuto početnom brzinom 10 m/s uz kosinu nagiba 20° u odnosu na horizontalu. Koeficijent trenja iznosi 0,2. Odrediti vrijeme gibanja tijela do trenutka kad se zaustavi i započne klizanje nazad, te prijeđeni put u ovom vremenu. Odrediti vrijeme u kojem se tijelo vrati u početnu točku. (Rješenje: t1 = 1,92 s; s = 9,62 m; t2 = 3,57 s) 42. Vlak u zabavnom parku penje se na maksimalnu visinu od 50 m i tuda prolazi brzinom od 0,5 m/s. Zatim se spušta na minimalnu visinu od 5 m, te se ponovno uspinje, sada do visine 30 m. Zanemarujući trenje odrediti brzinu vlaka u ove dvije točke. (Rješenje: v2 = 29,72 m/s; v3 = 19,82 m/s) 43. Dizalica vertikalno diže teret mase 500 kg stalnom brzinom od 2 m/s. Odrediti potrebnu snagu dizalice za ovaj rad. Koliki rad je dizalica učinila ako je teret podignut 20 m? Druga dizalica može podići isti teret dvostruko većom brzinom. Izračunati snagu i rad te dizalice za podizanje tereta na istu visinsku razliku. (Rješenje: P1 = 9810 W; W1 = 98100 J; P2 = 19620 W; W2 = 98100 J) 44. Tobogan u zabavnom parku, kojim se giba vlak, na jednom mjestu ima kružnu petlju polumjera 20 m. Vlak se spušta s visine h, gdje je bio u mirovanju. Pretpostavljajući da se vlak giba slobodno, bez sile trenja i bez motora, odrediti potrebnu visinu h kako bi vlak prošao ovu kružnu petlju. (Rješenje: h = 50 m) 45. Najveće dozvoljeno ubrzanje lifta, mase 600 kg, iznosi 1,2 m/s2. Kolika je: a) najveća sila zatezanja užeta koje nosi lift, b) ova sila kad bi bilo a = g, c) sila zatezanja užeta kad lift stoji, a kolika kad se kreće jednoliko? (Rješenje: a) FZmax = 6,6 kN; b) FZmax = 11,8 kN; c) FZ = 5,9 kN)


46. Vlak se kreće po kružnom željezničkom kolosijeku, polumjera R = 0,5 km kutnim ubrzanjem α = 0,0049 rad/s2. Koliko je ubrzanje vlaka u trenutku kad je njegova brzina v = 60 km/h? Kolika je tada kutna brzina kotača vagona ako je njihov polumjer r = 0,5 m? (Rješenje: a = 2,5 m/s2, ω = 33,3 rad/s)

47. Disk, polumjera R = 12 cm, počne se okretati kutnim ubrzanjem α = 2 rad/s2. Izračunati ubrzanje točke na obodu diska poslije vremena t = 2 s od trenutka početka kretanja? (Rješenje: a = 1,935 m/s2) 48. Kotač, polumjera R = 20 cm počne se okretati stalnim kutnim ubrzanjem α = 6,28 rad/s2. Kolika je brzina i ubrzanje točke na obodu kotača poslije vremena t = 5 s od početka kretanja? (Rješenje: a = 197,2 m/s2) 49. Metalna kugla, polumjera r = 20 cm i mase m = 40 kg, rotira stalnom kutnom brzinom ω = 2 rad/s oko osi: a) koja prolazi kroz njen centar mase, b) koja se nalazi na udaljenosti d = 2r od prethodne osi. Kolika je kinetička energija kugle u oba slučaja? (Rješenje: a) Ek = 1,3 J; b) Ek = 14,1 J) 50. Na osovini motora koji stvara moment sile M = 785 Nm, nalazi se cilindar, mase m = 400 kg i polumjera R = 20 cm. Ako motor pođe iz mirovanja za koje vrijeme će napraviti prvi okretaj? Kolika je energija predana cilindru za to vrijeme? (Rješenje: t = 0,358 s; Ek = 4,94 kJ) 51. Koloturu, vanjskog promjera 40 cm, vučemo konopcem koji je namotan na osovinu, promjera 16 cm i ona pri tome klizi ubrzanjem 0,4 m/s2. Koliki mora biti faktor trenja između podloge i koloture kako bi kolotura klizila bez okretanja? (Rješenje: µ = 0,027) 52. Na homogeni tanki cilindar mase m1 i polumjera R, namotano je tanko nerastegljivo uže zanemarive mase, na čijem je kraju privezano tijelo mase m2. Zanemarujući trenje u osi cilindra odrediti: a) kutnu brzinu cilindra i b) kinetičku energiju cijelog sustava u funkciji vremena kretanja.

(Rješenje: a) 1

2

12

gtmRm

ω =⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

; b) 2 2

2

1

2

2 12

km g tE

mm

=⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

)

53. Tijelo, mase m = 200 g, vezano konopcem duljine l = 0,5 m, rotira u vertikalnoj ravnini. Izračunati najveću kutnu brzinu rotiranja tijela pod uvjetom da se konopac ne prekine. Maksimalna sila zatezanja koju konopac može izdržati je FZmax = 295 N. (Rješenje: ωmax = 54,1 rad/s)


54. Udaljenost od Zemlje do Mjeseca iznosi približno RZM = 3,85⋅108 m, a period obilaska Mjeseca oko Zemlje je TM = 27,3 dana. Saturnov satelit Diona ima polumjer putanje oko Saturna RSD = 3,78⋅108 m, a period obilaska oko Saturna TD = 2,7 dana. Na osnovu ovih podataka odrediti odnos masa Zemlje i Saturna. (Rješenje: mZ/mS = 0,01) 55. Planet, mase m, kreće se po kružnoj putanji oko Sunca brzinom v = 34,9 km/s. Odrediti period obilaska ovog planeta oko Sunca, ako je masa Sunca mS = 2⋅1030 kg. (Rješenje: T ≈ 225 dana) 56. Stacionarni Zemljin satelit kreće se oko Zemlje po kružnoj putanji. a) Koliki je polumjer njegove putanje? b) Koliki su njegova brzina i ubrzanje? (Rješenje: a) r = 4,2·107 m; b) v = 3,02·103 m/s, a = 0,22 m/s2 57. Umjetni Zemljin satelit kreće se u ekvatorijalnoj ravnini Zemlje na udaljenosti R = 2·107 m od njenog centra. Smjer kretanja je od zapada prema istoku (isti je kao i smjer rotacije Zemlje). Jednu istu točku na ekvatoru satelit nadlijeće poslije svakih TS = 11,6 h. Kolika je na osnovi ovih podataka masa Zemlje? (Rješenje: mZ = 5,97·1024 kg) 58. Posuda u obliku kocke stranice 32 cm napunjena je do vrha živom. Odrediti silu koja djeluje na jednu bočnu stranu kocke. Gustoća žive iznosi 13,59·103 kg/m3. (Rješenje: F = 2185,89 N) 59. Željezni splav, mase 8 t, ima vanjski volumen 40 m3. Koliko ljudi, prosječne mase 60 kg može primiti ovaj splav, pod uvjetom da je dozvoljeno potapanje splava samo do polovine njegovog volumena? (Rješenje: 200 ljudi) 60. Koliki rad je potrebno uložiti da bi se kocka, stranica a = 20 cm, izrađena od drveta gustoće ρ = 800 kg/m3, potopila u vodu? (Rješenje: W = 0,31 J) 61. U moru pliva santa leda tako da joj iznad površine viri volumen 195 m3. Koliki je ukupan volumen sante leda ako je gustoća morske vode ρv = 1,03 g/cm3, a gustoća leda ρled = 0,9 g/cm3? (Rješenje: 31545 mV = ) 62. Tijelo od pluta, gustoće ρP, privezano je nekom niti za dno jezera tako da je 60 % volumena tijela ispod površine vode. Odrediti silu zatezanja niti ako je težina tijela G.

(Rješenje: (0,6 1)vz

p

F G ρρ

= − )

63. Tijelo gustoće 800 kg/m3 pušteno je da slobodno pada s visine od 10 m u jezero s vodom gustoće 1000 kg/m3. Zanemarivši viskoznost odrediti: a) brzinu tijela u trenutku ulaska u vodu, b) akceleraciju tijela u jezeru i c) dubinu do koje tijelo zaroni. (Rješenje: a) v = 14 m/s; b) a = -2,45 m/s2; c) h = 40 m)


64. Sila kojom je potrebno pritisnuti drvenu kocku, stranice a = 0,1 m, da bi ušla cijela u vodu iznosi 3,43 N. Izračunati gustoću drveta. Koliki dio kocke bi potonuo u vodu ako ne bi djelovala sila? (Rješenje: ρD = 650,36 kg/m3; h = 6,5 cm) 65. Kocka stranice 0,1 m visi na dinamometru i uronjena je u posudu s tekućinom. U posudi se nalazi voda i iznad nje sloj ulja, debljine 20 cm i gustoće 500 kg/m3. Dno kocke nalazi se 20 mm ispod granice ulja i vode. Dinamometar pokazuje 0,49 N. Odrediti masu kocke i hidrostatski tlak na dnu kocke. (Rješenje: m = 0,64 kg; p = 1177,2 Pa) 66. Odrediti apsolutni tlak na morskom dnu na dubini od 30 m ako je atmosferski tlak jednak tlaku od 720 mm žive. Gustoća žive iznosi 13600 kg/m3, a gustoća morske vode je 1020 kg/m3. (Rješenje: p = 396,245 kPa) 67. Na dnu cilindrične posude promjera d = 0,4 m nalazi se kružni otvor promjera d1 = 0,01 m. Odrediti brzinu opadanja nivoa vode u trenutku kad je visina vode u posudi h = 0,3 m. (Rješenje: 31,516 10 m/sv −= ⋅ ) 68. Voda se pumpa kroz cijev na visinu h = 20 m stalnim protokom od 6 m3/min. Cijev uz pumpu na tlu ima promjer d1 = 0,2 m, a na visini h promjer joj je d2 = 0,4 m. Iz cijevi voda izlazi u otvoreni spremnik. Kolikom brzinom voda izlazi iz cijevi? Koliki je tlak vode u cijevi pored pumpe? (Rješenje: 5

2 10,8 m/s; = 2,91 10 Pav p= ⋅ )

Download - Riješeni ispitni zadaci, riješeni primjeri i zadaci za ...e-ucenje.gfmo.ba/predmeti/attachments/article/645/rijeseni_zadaci... · ZADACI IZ FIZIKE Riješeni ispitni zadaci, riješeni

Top Related