PROIECT DE LICENCURBE I HIPERSUPRAFEE N TEORIA EUCLIDIANA

UNIVERSITATEA PETROL-GAZE PLOIETI

FACULTATEA DE LITERE I TIINE

SPECIALIZAREA: MATEMATICCUPRINS:

Introducere......3CAPITOLUL I: CURBE N En-TEORIA LOCAL1. Puncte regulate. Tangenta. Hiperplanul normal-Hiperplanul oasculator.42. Reper Frenet. Formule Frenet. Teorema fundamental a teoriei curbelor103. Curbe plane..224. Curbe strmbe.25CAPITOLUL II: HIPERSUPRAFEE N En+1-TEORIA LOCAL

1. Hiperplanul tangent. Normala. Reperul Gauss272. Prima form fundamental a hipersuprafeelor. Geometria intrisec...........293. Forma a doua fundamental a hipersuprafeelor.geometria extrinsec......4. Teorema fundamental a hipersuprafeelor.Proprietii de rigiditate..

5. Suprafee n E3 . Reperul Darboux

CAPITOLUL III: APLICAII

1. aplicaii curbe..

2. aplicaii suprafeeINTRODUCEREn acest proiect voi prezenta teoria local i teoria general a suprafeelor i a hipersuprafeelor n spaiul euclidian .

n primele dou capitole voi prezenta teoria local a curbelor i a hipersuprafeelor din spaiul Euclidian En .

n aceste capitole sunt definii : invariani geometrici importani i sunt demonstrate teoremle de existen i unicitate ale reperelor Frenet, Gauss i Darboux. Rezultatele sunt particularizate i completate n cazul curbelor plane i strmbe n aplicaiile din capitolul III. n primul capitol introducem noiunea de curb parametrizat, aa cum apare cel mai simplu n aplicaii. O clas de echivalen de asemenea curbe putem studia cu ajutorul unor obiecte geometrice naturale: tangent, hiperplan normal, hiperplan osculator.Pentru curbe n poziie general, exist i este unic un reper privilegiat: reperul Frenet. Acesta este intrinsec legat de curb i permite definirea curburilor asociate, care determin curba modulo o izometrie a spaiului ambiant En i o schimbare de parametru. n ultimele trei paragrafe , particularizm rezultatele la cazul curbelor plane i al curbelor strmbe, studiem anumite clase de curbe i propunem cteva exerciii utile.

n capitolul al doilea vom studia invarianii i proprietile locale ale hipersuprafeelor parametrizate, n spaiul euclidian.n primul paragraf al acestui capitol, definim reperul Gauss, reper privilegiat la care ne raportm cu predilecie. Geometria intrisec i geometria extrinsec sunt studiate plecnd de la forma I i de la forma aII-a fundamental. Aceste forme fundamentale determin hipersuprafaa, o izometrie a spaiului euclidian.n paragrafele urmtoare vom particulariza rezultatele precedente la cazul suprafeelor n E3, n plus, introducem un alt reper important(reperul Darboux) , util n studiul curbelor pe suprafee.

n cel de-al treilea capitol vom arta cateva aplicaii pentru a putea nelege mai bine teoremele prezentate, n coninutul acestei lucrri.Capitolul I

CURBE N En- TEORIA LOCALIntroducem noiunea de curb parametrizat, aa cum apare cel mai simplu n aplicaii. O clas de echivalen de asemenea curbe putem studia cu ajutorul unor obiecte geometrice naturale: tangent, hiperplan normal, hiperplan osculator.

Pentru curbe n poziie general, exist i este unic un reper privilegiat: reperul Frenet. Acesta este intrinsec legat de curb i permite definirea curburilor asociate, care determin curba modulo o izometrie a spaiului ambiant En i o schimbare de parametru.

n ultimele trei paragrafe , particularizm rezultatele la cazul curbelor plane i al curbelor strmbe, studiem anumite clase de curbe i propunem cteva exerciii utile.

PUNCTE REGULATE. TANGENT. HIPERPLAN NORMAL. HIPERPLAN OSCULATOR.

Considerm un interval IR.

1.Definiie. Se numete curb parametrizat (sau pe scurt curb) n En orice aplicaie diferenial c : IEn .

Punctele din imaginea geometric c(I) se numesc puncte ale curbei c. n limbaj clasic, curbele din E2 se numesc curbe plane iar cele din E3 se numesc curbe strmbe.

Notnd cu M= c(I) , spunem c c este o parametrizare (de clasa C) a lui M .Variabila tI se numete parametru pe curb. O curb c : I En este parametrizat canonic daca (t)= 1,oricare ar fi t I . In acest caz t se numete parametru canonic.

Observaie : Dac I nu este interval deschis , atunci c : I En este curb dac exist un interval deschis , , i o curb , astfel nct |I=c

Definiie. Se spune c : En a fost obinut din c : IR , printr-o schimbare de parametru, daca exista un difeomorfism astfel nct . Notm .

Dac

>0, spunem c schimbarea de parametru pstreaz parametrizarea .

Definiie . Un punct c(to) al unei curbe c : I En se numete punct regulat dac (to) 0, i punct singular n caz contrar.0 curb cu toate punctele regulate se numete curb regulat.Observaie. Curbele c , : R E2 , c(t) = (t,0) , (t)=(t3,0) au aceeai imagine geometric (axa Ox).Curba c este regulat , dar curba nu este regulat. n concluzie, proprietatea de regularitate depinde de parametrizare, nu de imaginea geometric!0 curba c : I En este regulat n t0 dac i numai dac aplicaia diferenial este o imersie n t0. Daca c este regulat n punctul t0, atunci local (pe o vecintate suficient de mica a lui t0) c este injectiv. Exist curbe regulate care nu sunt global injective: de exemplu parametrizarea canonic a cercului c : I E2 , c(t) =(cos t, sin t) este injectiv pe orice interval deschis de lungime 2. , dar c(0) =c(2).

0 imersie injectiv se numete scufundare. 0 scufundare c : I En se numete regulat dac c este homeomorfism pe imagine.Exist exemple de scufundri regulate, de scufundari care nu sunt regulate, de imersii care nu sunt scufundari.

Definiie. Fie curba c: I En i fie [a,b] I. Curba c|[a,b]:[a,b] En se numete arc al curbei c. Prin lungimea arcului de curb c|[a,b] se nelegeL(c|[a,b])=

Propoziie .(i) Lungimea unui arc de curb este invariant la schimbri de parametru.

(ii) Orice curb regulat este echivalent cu o curb parametrizat canonic.

Demonstraie. (lungimea arcului de curb) (i) Fie c: I En , : En , dou curbe care difer printr-o schimbare de parametru , deci . Considerm i notm a=(), b=(), dac >0 i a=(), b=() dac e1(t) + ||f2(t)|| e2(t)Relaiile (1) i (2) ne arat c :sp((t) , c(2)(t)) = sp(e1(t) , e2(t)).Deoarece :

> 0,

Rezult c sistemele de vectori {e1(t) , e2(t)} sunt orientate la fel .

Pasul IIIPresupunem c am construit e1(t),, ej-1(t), , unitari ,ortogonali doi cte doi, cu proprietatea c:sp(c(t), c(2) (t),,c(j-1)(t))=sp(e1(t),, ej-1(t)) ,

i astfel nct sistemele de vectori {c(t),, c(j-1)(t)} i {e1(t),, ej-1(t)} sunt la fel orientate pentru . Vectorul fj(t) l construim astfel:(6) fj(t) = c(j)(t) + j = 0, j