PROBLEMA 1. Fórmulas para el calor específico
Deduzca una expresión para el como función de ( ) y evalúela para:
(a) Un gas ideal.
(b) Un fluido incompresible.
(c) Un gas que obedece la ecuación virial truncada en el segundo término.
Virial truncada explícita en :
Virial truncada explícita en :
SOLUCIÓN:
A partir de la definición de calor específico a presión constante y una de las relaciones obtenidas
anteriormente para la entalpía se tiene que las derivadas parciales de la entalpía son:
(
) (
) (
)
Luego calculando las derivadas parciales cruzadas en las ecuaciones anteriores se tiene que
(
)
( )
(
)
( (
) ) (
) (
) (
)
(
)
Igualando las dos ecuaciones anteriores ya que las derivadas parciales cruzadas de la entalpía
son iguales:
( ) (
)
Integrando la ecuación anterior a T constante desde una estado de presión "cero" o de gas ideal
y un estado arbitrario se tiene que
(
)
∫ (
)
(a) Para un gas ideal se tiene que
(
)
(b) Para una sustancia incompresible se tiene que
(
)
(
)
( )
(
)
Además se puede suponer constante:
∫ (
)
∫ (
)
(
)
(c) Para la ecuación virial truncada en el segundo término
Explícita en :
(
)
(
)
∫ (
)
∫
Explícita en :
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
∫ (
)
∫ (
)
(
)
Y con la relación entre y se encuentra la expresión para de la ecuación virial
truncada en el segundo término explícita en el volumen.
PROBLEMA 2. Relación entre calores específicos
Las capacidades caloríficas y se definen como derivadas de y respecto a la
temperatura. Ya que estas propiedades están relacionadas, se espera que también lo estén las
capacidades caloríficas. Demuestre que la expresión general que conecta y es:
(
) (
)
A que se reduce esta relación:
(a) Si la sustancia es un gas ideal.
(b) Si la sustancia tiene propiedades volumétricas y .
SOLUCIÓN:
Igualando los diferenciales de entropía en función de T y P y para T y v se tiene que
(
)
(
)
Sacando factor común dT y despejando este
(
) (
)
Si se pone "v" constante y se divide todo entre dP (o también poniendo "P" constante y
dividiendo todo entre dv):
(
) (
)
por lo tanto se obtiene que la relación entre calores específicos es
(
) (
)
(a) Si la sustancia es un gas ideal entonces:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(b) Para una sustancia de parámetros volumétricos y :
(
) (
)
( )
( )
(
)
(( ) )
( )
( )
PROBLEMA 3. Cambio de entropía de mezclado de una sustancia incompresible
Una masa de agua a temperatura se mezcla adiabática e isobáricamente con otra masa
igual de agua a una temperatura . Demuestre que el cambio de entropía del universo es
(
√ )
Donde es el calor específico a presión constante del agua.
SOLUCIÓN:
A partir de la primera ley de termodinámica en un sistema cerrado a presión constante,
considerando que es adiabático ( )
( ) ( )
Donde es la temperatura final de la mezcla. Simplificando con
( ) ( )
El cambio de entropía del universo viene dada por
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Se conoce que el cambio de entropía a partir de relaciones termodinámicas es
(
) (
)
(
)
Como la presión es constante, entonces
∫
∫
Integrando la expresión anterior con constante
(
) (
) (
) (
) (
)
Sustituyendo la expresión para
((
)
) (
√ )
(
√ )
Y esta cantidad siempre es positiva ya que el promedio aritmético es siempre mayor al
promedio geométrico de y .
PROBLEMA 4. Proceso isotérmico-reversible para una sustancia incompresible
Para una expansión isotérmica-reversible de un líquido desde un estado ( ) hasta un
estado ( ) para el cual se conocen los valores de y pueden suponerse que son
independientes de la presión, demuestre que:
( )
( )
( )
SOLUCIÓN:
Expresión para el volumen:
Para un líquido la relación termodinámica para el volumen específico es
(
) (
)
(
) ⏟
(
) ⏟
Para una expansión isotérmica, la temperatura es constante y por lo tanto y la expresión
anterior se reduce a
Trabajo:
El trabajo viene dado por
∫
Como se tiene que ( ) ( ) y sustituyendo
permite calcular el trabajo de forma más práctica
∫
∫ ( )
∫
∫
Cambio de entropía:
La relación termodinámica general para la entropía es
(
)
Combinando las dos ecuaciones obtenidas anteriormente
(
)
E integrando la ecuación anterior entre los estados 1 y 2 y como y son independientes de
la presión
∫
∫
∫
( )
Cambio de entalpía:
A partir de la relación termodinámica para la entalpía
(
)
Integrando la expresión anterior
∫
∫
∫
∫
∫
(
( ))
( )
Calor:
El calor en un proceso isotérmico-reversible viene dado por
∫
∫
( )
PROBLEMA 5. Aumento de presión en un fluido incompresible con una bomba
Considere una bomba en el que entra un fluido a una temperatura y una presión y sale a
una presión . La bomba trabaja adiabáticamente-reversible y por lo tanto isentrópico. Este
fluido tiene propiedades constantes y y tiene calor específico constante . El volumen
específico si y es . Encuentre una expresión que permita calcular la
temperatura a la salida de la bomba (esta temperatura es llamada temperatura isentrópica).
SOLUCIÓN:
(
) (
)
(
) ⏟
(
) ⏟
Integrando la expresión anterior entre
∫
∫
∫
(
) ( ) ( )
( ( ) ( ))
Como el proceso es isentrópico entonces
(
)
Integrando entre un proceso isotérmico ( ) ( ) y luego un proceso isobárico
( ) ( ) se tiene que
∫
|
∫
|
∫
∫ ( ( ) ( ))
( ) ∫ ( ( ))
( )
( ( ))
|
( )
( ( ))
(
)
( ( ))
Por lo que la temperatura isentrópica es
(
( ( )))
PROBLEMA 6. Trabajo en una turbina de un gas real
Determine el trabajo realizado por un gas que se expande a través de una turbina adiabática
desde 1 MPa y 200 K hasta 0,5 MPa. Este gas obedece la siguiente ecuación de estado
Donde , y [ ] en .
SOLUCIÓN:
Suponiendo que el proceso se lleva a cabo reversiblemente, entonces adiabático-reversible es
isentrópico (a entropía constante) . La relación termodinámica de entropía es
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
Falta calcular la expresión para el calor específico de gas real
∫ (
)
(
)
(
)
(
)
Sustituyendo
∫ (
)
∫
∫
Por lo que la expresión para la entropía sustituyendo las derivadas de la ecuación de estado se
convierte en
(
) (
)
Donde es el calor específico a presión constante de gas ideal. En un proceso
isentrópico del estado 1 ( ) al estado 2 ( ) viene dado por:
∫
∫
(
) (
)
( )
( )
Esta integral no es posible evaluarla directamente a menos que se empleen trayectorias sencillas.
El valor de la integral no depende de la trayectoria. Para esto se emplea un camino isobárico y
luego un camino isotérmico tal como se muestra en la siguiente figura
En este sentido se separa la integral de la entropía en dos integrales con caminos isobáricos e
isotérmicos respectivamente:
Proceso del estado
1 ( ) a un estado intermedio ( )
∫
(
)
|
Proceso del estado
intermedio ( ) al estado 2 ( )
∫ (
)
|
Proceso del estado
1 al estado 2
∫
(
)
|
∫ (
)
|
Donde
(
)
(
)
Sustituyendo expresiones
∫
( (
) )
∫ (
)
Arreglando y simplificando la expresión para integrar
∫ (
)
∫ (
)
Integrando
( ) ( ) (
) (
)
( )
Sustituyendo valores
(
) ( ) (
) ( )
( )
I 1
2
Se resuelve para
Con un balance de energía (primera ley de termodinámica) en la turbina, se calcula el trabajo
El cálculo del trabajo se reduce a calcular la diferencia de entalpía
( (
) ) (
)
∫
∫ (
)
( )
( )
Proceso del estado
1 ( ) a un
estado intermedio ( )
∫ (
)
|
Proceso del estado
intermedio ( ) al estado 2 ( )
∫ (
)
|
Proceso del estado 1 al estado 2
∫ (
)
|
∫ (
)
|
Sustituyendo expresiones
∫ ( (
) )
∫ (
)
|
Simplificando para integrar
∫ (
)
∫ (
)
( ) (
) (
) (
) ( )
( )
( ) (
)
(
) ( )
(
)
PROBLEMA 7.
Se tiene un cilindro pistón que contiene 0,1 m3 de un gas a 2 MPa y 30 °C se le transfiere calor
desde un reservorio a 700 °C, hasta alcanzar una presión interna de 2,5 MPa. El balance de
fuerzas indica que la presión interna en todo momento viene dada por
donde . El gas tiene peso molecular 29 kg/kmol y su comportamiento volumétrico
se rige por la siguiente ecuación de estado:
Donde ,
[ ] en .
(a) Determine los estados inicial y final ( ). Calcule la masa de gas contenida.
(b) Calcule el trabajo producido.
(c) Halle el calor consumido.
(d) Encuentre la entropía generada.
SOLUCIÓN:
(a) Con la ecuación de estado se halla los volúmenes específicos y la temperatura del
estado 2:
Con esto se tiene definido el estado 1. Ahora para calcular el volumen ocupado por el gas en el
estado 2:
}
La constante es
Con esto se tiene el estado 2 faltaría calcular la temperatura
(
)
Sustituyendo valores
Resolviendo para se tiene que
(b) Calculando el trabajo sustituyendo
∫
∫ ( )
( )
( )
(c) El calor se halla a partir del balance de energía en un sistema cerrado:
Primero se halla el cambio en la energía interna por relaciones termodinámicas
( (
) )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Falta calcular la expresión para el calor específico de gas real
∫ (
)
Sustituyendo
∫ (
)
∫
∫
( (
) ) (
) (
)
∫
∫ (
) (
)
( )
( )
En este sentido se separa la integral de la entropía en dos integrales con caminos isobáricos e
isotérmicos respectivamente:
Proceso del estado
1 ( ) a un
estado intermedio ( )
∫ (
)
|
Proceso del estado intermedio ( ) al estado 2 ( )
∫ (
)
|
Proceso del estado
1 al estado 2
∫ (
)
|
∫ (
)
|
Donde
(
)
(
)
Sustituyendo expresiones
∫ ( (
) )
∫ (
)
|
Simplificando para integrar
∫ (
)
∫ (
)
( ) (
) (
) (
) ( )
I
2
1
Sustituyendo valores se obtiene que la diferencia de entalpías es
} ( )
( )
(d) La entropía generada se halla a partir de la segunda ley de la termodinámica
La diferencia de entropía entre los estados 2 y 1 se encuentra a partir de relaciones
termodinámicas
(
)
(
)
Integrando por el mismo camino isobárico-isotérmico que se usó para calcular la diferencia de
entalpías se tiene que
∫ (
)
|
∫ (
)
|
∫ (
)
∫ (
)
( ) ( ) (
) (
)
( )
Sustituyendo valores se obtiene que la diferencia de entropías es
La entropía generada es
PROBLEMA 8. Expansión isobárica de una sustancia incompresible
Un kilogramo de aluminio se calienta a presión atmosférica desde 22 hasta 44 °C. Determine
el:
(a) Cambio de volumen experimentado.
(b) Trabajo producido.
(c) Calor intercambiado.
(d) Cambio en su energía interna y cambio de entropía.
Datos adicionales: , .
Densidad del aluminio = 2700 kg/m3 a 22 °C y 1 atm
Calor específico: [ ]
SOLUCIÓN:
Para un líquido la relación termodinámica para el volumen específico es
(
) (
)
(
) ⏟
(
) ⏟
Para una expansión isobárica, la presión es constante y por lo tanto y la expresión
anterior se reduce a
∫
∫
( ) ( ) ( ( ))
Sustituyendo valores
( ( ))
( ( ))
( ) (
)
Trabajo:
El trabajo viene dado por
∫
∫
( )
Cambio de entalpía:
A partir de la relación termodinámica para la entalpía
( (
) )
Integrando la expresión anterior
∫
∫
∫ ( )
( ) (
)
Sustituyendo valores
( ) (
)
Calor:
Cambio de entropía:
La relación termodinámica general para la entropía es
(
)
Combinando las dos ecuaciones obtenidas anteriormente
∫
∫
∫
∫
∫ ( )
( ) ( )
( ) ( )
PROBLEMA 9. Proceso isocórico en una sustancia incompresible
Se tiene aluminio a 20 °C y 1 atm, experimentando un proceso isocórico hasta alcanzar 20 atm.
Calcule:
(a) Los estados inicial y final.
(b) El calor transferido.
Datos adicionales: , .
Densidad del aluminio = 2700 kg/m3 a 22 °C y 1 atm
Calor específico:
SOLUCIÓN:
(
) (
)
(
) ⏟
(
) ⏟
En un proceso isocórico el cambio en el volumen es cero , se tiene que
∫
∫
Con esto se despeja el incremento de temperatura en el proceso
( )
(a) Y se tiene la temperatura del estado final
(b) Para calcular el calor transferido, primero se calcula la diferencia de energía interna
( (
) ) (
)
En un proceso isocórico y la expresión anterior se reduce a
De la diferencia de calores específicos en un fluido incompresible
(
) (
)
( )
Por lo que y el calor transferido por kmol de aluminio es
∫
PROBLEMA 10
Si la energía interna es considerada como función de T y P, la capacidad calorífica natural sería
(
)
Desarrolle las siguientes expresiones que relacionan dicha capacidad con y
(
)
( )
SOLUCIÓN:
Poniendo el volumen específico como función de ( ):
(
) (
)
Expresando la energía interna como función de ( ) y luego sustituyendo la expresión
anterior
(
) (
) (
) (
) ((
) (
) )
Agrupando términos en factores comunes de y
((
) (
) (
) ) (
) (
)
Luego, por otro lado, expresando la energía interna como función de ( ):
(
) (
)
Igualando las dos últimas expresiones
((
) (
) (
) ) (
) (
) (
) (
)
Igualando término a término
(
) ⏟
(
) (
) (
) (
) (
) (
)
Como
(
) (
)
Por lo que se tiene que
(
) (
) (
) ( (
) )(
) ( (
) )(
)
(
) ( (
) )(
)
(
) (
) (
) (
)
Además considerando la relación de calores específicos (deducida en el PROBLEMA 2)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
) (
) ⏟
(
) (
) ⏟
(
) (
) (
) (
)
( )
Así se tiene que
(
)
( )
