Transcript
Page 1: predavanja brujic ljuske

273

10. ARMIRANOBETONSKE LJUSKE

10.1.10.1.10.1.10.1. UVODUVODUVODUVOD

Ljuske su noseće konstrukcije formirane od zakrivljenih površi, koje prihvataju

opterećenje primarno silama u ravni (ravnomerno raspodeljenim po debljini ljuske),

ali i savijanjem, posebno u zoni oslanjanja i veze sa drugim elementima. Pogodnim

izborom geometrije, sa malim debljinama, ljuske mogu biti izuzetno racionalni ele-

menti kad je o utoršku materijala reč.

U opštem slučaju, ljuske mogu biti različitih oblika površi koje karakteriše Gauss-

ova mera krivine, proizvod krivina glavnih pravaca (κα i κβ):

1

Kr rα βα β

κ κ= ⋅ =⋅

, .......................................................................... (10.1)

gde su rα i rβ poluprečnici krivina. Prema znaku krivine, razlikuju se (Sl. 323):

• Eliptične površi imaju pozitivnu Gauss-ovu krivinu, odnosno, centri oba polu-

prečnika glavnih krivina su sa iste strane površi. Ove ljuske ne mogu menjati

svoj oblik bez istezanja srednje površi, zbog čega su vrlo krute.

• Hiperboličke površi imaju negativnu Gauss-ovu krivinu, odnosno, centri

poluprečnika glavnih krivina su na različitim stranama površi. Karakterišu se

pravim izvodnicama.

• Parabolične površi imaju nultu Gauss-ovu krivinu. Jedan od poluprečnika gla-

vne krivine im je beskonačno velik.

Sl. 323. Površine različite Gauss-ove krivine

Kada je debljina ljuske (h) mala u poreñenju sa poluprečnikom krivine (r), ljuska se

smatra tankom, a statički tretman ovih elemenata može biti baziran na teoriji tankih

ljuski. Načelno, ljuska se smatra tankom ukoliko je zadovoljeno:

1

20

h

r≤ . ........................................................................................... (10.2)

Page 2: predavanja brujic ljuske

Betonske konstrukcije – radna verzija - 2. decembar 2010

274

Osnovne pretpostavke tehničke teorije tankih ljuski su:

• Smatra se da prava vlakna upravna na srednju površ ljuske ostaju prava i

upravna na deformisanu srednju površ, ne menjajući svoju dužinu.

• Normalni naponi u pravcu normale na srednju površ su zanemarljivi u odnosu

na ostale komponentalne napone.

Analizu sila u preseku ljuske je pogodno sprovesti na delu površi ograničenom lini-

jama glavnih pravaca (koordinatnim linijama). Glavni pravci su odreñeni maksimal-

nim i minimalnim poluprečnicima krivine. U opštem slučaju, postoji deset sila u pre-

sečnim površima ljuske: normalne sile Nα i Nβ, smičuće sile Nαβ i Nβα, transverzalne

sile Qα i Qβ, momenti savijanja Mα i Mβ i momenti torzije Mαβ i Mβα (Sl. 324). Ovih

deset veličina, načelno, nije moguće odrediti samo iz uslova ravnoteže (problem nije

statički odreñen), nego se moraju postaviti i dopunske veze izmeñu napona, defor-

macija i pomeranja ljuske.

Sl. 324. Sile u presečnim površinama ljuske, opšti slučaj

Opšti problem je, pod odreñenim uslovima, moguće dekomponovati na nezavisne

slučajeve membranskog i fleksionog naprezanja ljuske.

Pretpostavljajući elastično ponašanje ljuski (Hooke-ova hipoteza), ljuska se može

analizirati na način koji podrazumeva njeno naprezanje samo u srednjoj površi,

poput membrane koja ne pruža nikakav otpor savijanju. Od presečnih sila, javljaju

se samo normalne sile Nα i Nβ, smičuće sile Nαβ i Nβα, a ova vrsta naprezanja se nazi-

va membransko naprezanje ljuskmembransko naprezanje ljuskmembransko naprezanje ljuskmembransko naprezanje ljuskiiii, dok je odgovarajuća teorija proračuna - mem-

branska teorija (Sl. 325a). Membransko stanje naprezanja se može analizirati i kod

ljuski konačne debljine pod sledećim uslovima:

• Granični uslovi oslanjanja moraju biti takvi da reaktivne sile naprežu ljusku

samo u njenoj srednjoj površi. Ovim, mogu biti sprečena samo pomeranja u

pravcu tangente na meridijalnu ivicu na kojoj se ljuska oslanja (Sl. 325b).

• Debljina ljuske mora biti dovoljno mala da se član z/r u izrazima datim na Sl.

324 može zanemariti u odnosu na jedinicu. Ovim i raspodela normalnih i

smičućih napona po visini h preseka postaje konstantna:

N hα ασ= ⋅ , N hβ βσ= ⋅ , N N hαβ βα αβτ= = ⋅ . ...................................... (10.3)

Page 3: predavanja brujic ljuske

10. Armiranobetonske ljuske

275

• Srednja površ mora biti glatka i ne sme biti naglih promena u debljini ljuske.

• Opterećenje mora biti kontinualno raspodeljeno, bez skokova ili koncentrisa-

nih dejstava.

Sl. 325. Membranske sile i membranski uslovi oslanjanja

Sada, kada je broj nepoznatih veličina samo tri, (10.3), ove se mogu odrediti samo iz

uslova ravnoteže.

Konturni uslovi ljuske su najčešće takvi da ne dozvoljavaju slobodnu membransku

deformaciju kraja – ljuske su po konturi obično kruto vezane (elastično uklještene)

za druge elemente (ljuske, ploče, prstenaste grede...). Ovim i membranski uslovi

rada na krajevima ljuske ne mogu biti ostvareni, nego su „poremećeni“ fleksionim

silama. Osim konturnih uslova, do pojave momenata savijanja dovode i nagle pro-

mene debljine ljuske, koncentrisana opterećenja, skokovi u kontinualno promenlji-

vom opterećenju ili koncentrisana opterećenja.

Sl. 326. Fleksione sile

Pored membranskih, u presečnim ravnima ljuske javljaju se momenti savijanja i tor-

zije, te transverzalne sile (Sl. 326). Teorija ljuski kojom se analiziraju naponi i

deformacije ljuski uključujući i dejstvo momenata savijanja i transverzalnih sila

naziva se fleksiona teorija ljuskifleksiona teorija ljuskifleksiona teorija ljuskifleksiona teorija ljuski.

Nije ni potrebno posebno naglašavati da je danas uobičajen proračun uticaja u ljus-

kastim elementima primenom softvera za strukturalnu analizu baziranom na prime-

ni metode konačnih elemenata. Modeliranje ljuske proizvoljne geometrije kao polie-

darske površine formirane od površinskih konačnih elemenata, mogućnost aplicira-

nja proizvoljnog opterećenja, mogućnost uticaja na tačnost rezultata gustinom mre-

že, mogućnost proračunskog obuhvatanja realnih konturnih uslova... su samo neke

od nespornih prednosti ovog načina proračuna. Ipak, sa stanovišta inženjerskog

razumevanja problema, klasični pristup proračunu je od nemerljivog značaja i dalje.

Page 4: predavanja brujic ljuske

Betonske konstrukcije – radna verzija - 2. decembar 2010

276

10.2.10.2.10.2.10.2. ROTACIONE LJUSKEROTACIONE LJUSKEROTACIONE LJUSKEROTACIONE LJUSKE

Rotacione (rotaciono-simetrične) ljuske su one čija je srednja površ rotaciona površ

nastala obrtanjem ravanske krive linije oko jedne prave, ose obrtanja (Sl. 327).

Koordinatne linije ovako formiranih ljuski su meridijalne krive i paralelni krugovi. U

ravni meridijalnih krivih meri se ugao α, a u ravni kružnica ugao φ. Poluprečnici gla-

vnih krivina su rα i rφ64.

Sl. 327. Rotaciona ljuska

Pretpostavljajući membrmembrmembrmembranski radanski radanski radanski rad, na elementarnom delu površine rotacione ljuske

opterećenom komponentama površinskog opterećenja u pravcima tangente na glav-

ne pravce, te normale na srednju površ (px, py, pz), dolazi se do tri uslova ravnoteže

(Sl. 328): dva po sumi sila u pravcu tangenti i jedan po sumi sila upravnih na srednju

površ. Pretpostavljajući, dodatno, i rotacionorotacionorotacionorotaciono----simetričnu distribuciju opterećenjasimetričnu distribuciju opterećenjasimetričnu distribuciju opterećenjasimetričnu distribuciju opterećenja,

kada je px jednako nuli, svi uticaji postaju samo funkcije jednog parametra – ugla α:

Sl. 328. Membransko stanje rotacionih ljuski

( )/zN r p N rφ φ α α= − ⋅ + , 0Nαφ = , ........................................................ (10.4)

( )sin cos / ( sin )y zN r r p p d C rα α α α α α = − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ∫ , ...................... (10.5)

gde je sa r obeležen poluprečnik kružnice (paralele), a integraciona konstanta C se

odreñuje iz konturnih uslova.

64 Primetiti da rφ nije poluprečnik kružnice (paralele).

Page 5: predavanja brujic ljuske

10. Armiranobetonske ljuske

277

Pod dejstvom rotaciono-simetričnog opterećenja ljuska se deformiše i tačke ljuske

dobijaju odgovarajuća pomeranja u pravcu tangente na meridijalnu krivu, v, i u pra-

vcu normale na površ, w. Koristeći se vezama izmeñu napona i deformacija (ε), iz

teorije tankih ljuski je poznato:

( )1N N

E hα α φε ν= ⋅ − ⋅⋅

, ( )1N N

E hφ φ αε ν= ⋅ − ⋅⋅

. ................................. (10.6)

Nakon uvoñenja veza izmeñu deformacija i pomeranja, mogu se karakteristična

pomeranja – izduženje poluprečnika paralele, ∆r, i promena ugla tangente na meri-

dijalnu krivu, χ – naći kao:

( )rr r N N

E hφ φ αε ν∆ = ⋅ = ⋅ − ⋅⋅

............................................................ (10.7)

( ) ( )cot 1r rdN N N N N N

E h r r d E hφ φ

α φ φ α φ αα α

αχ ν ν να

= ⋅ − − − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

. ..... (10.8)

Analiza fleksionog naprezanjafleksionog naprezanjafleksionog naprezanjafleksionog naprezanja ljuske, makar i rotacione, je znatno složenije od

membranskog. Za slučaj rotaciono-simetričnog opterećenja polovina presečnih sila

je identički jednaka nuli:

0N Nαφ φα= = , 0M Mαφ φα= = , 0Qφ = . ............................................... (10.9)

Sl. 329. Fleksiono stanje rotacionih ljuski, rotaciono-simetrično opterećenih

Za preostalih pet sila mogu se postaviti uslovi ravnoteže na elementu površine (Sl.

329). Suma sila u pravcu tangente na meridijalnu krivu, u pravcu normale na površ,

te suma momenata, respektivno, daju:

( ) cos 0y

dr N r N r Q p r r

d α α φ α ααα

⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ = , ................................. (10.10)

( )sin 0z

dr N r N r Q p r r

dα α φ α ααα

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = , i ................................ (10.11)

( ) cos 0d

r M r M r r Qd α α φ α ααα

⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = . .......................................... (10.12)

Veze izmeñu dilatacija i pomeranja su:

Page 6: predavanja brujic ljuske

Betonske konstrukcije – radna verzija - 2. decembar 2010

278

1 dv

wr dαα

εα

= ⋅ +

, cotv w

rφφ

αε ⋅ += , 1 dw

vr dα

χα

= ⋅ −

, .................... (10.13)

a veze izmeñu presečnih sila i pomeranja su date sa:

( )1cot

dvN D w v w

r d rαα φ

ν αα

= ⋅ + + ⋅ +

, 21

E hD

ν⋅=

−, ........................ (10.14)

( )1cot

dvN D w v w

r d rφα φ

ν αα

= ⋅ + + ⋅ +

, ( )3

212 1

E hK

ν⋅=

⋅ −, ................. (10.15)

1 1

cotd dw dw

M K v vr d r d r r dαα α α φ

ν αα α α

= − − + −

......................... (10.16)

1 1

cotd dw dw

M K v vr d r d r r dφα α α φ

ν αα α α

= − − + −

.......................... (10.17)

Jednačine (10.10) do (10.17) predstavljaju sistem od deset jednačina sa deset nepo-

znatih: pet presečnih sila, dve komponente pomeranja (v i w) i tri komponente

deformacijskih veličina (εα, εφ i χ). Prkatična rešenja će biti razmatrana na primeru

pojedinih tipova ljuski.

U realnim konstrukcijama ljuski, membransko stanje naprezanja, pod rotaciono-

simetričnim opterećenjem, ostvaruje se u većem delu ljuske, osim, najčešće, u oko-

lini konture. Ljuska je najčešće po svojoj konturi kruto vezana za neki drugi ele-

ment. Zato, zbog sprečenosti membranskog deformisanja, na konturi se remeti

membransko stanje i u ljusci se javljaju uticaji od savijanja (Sl. 330).

Sl. 330. Ivični poremećaji cilindrične ljuske kruto spojene sa drugim elementima

Sl. 331. Momenti savijanja poduž izvodnice za dugu i kratku cilindričnu ljusku

Po svom karakteru fleksioni uticaji (poremećajni uticaji) su takvi da se relativno brzo

prigušuju za uobičajene dimenzije ljuski. Njihova veličina se (na makro-nivou pos-

matrano) smanjuje sa udaljenjem od ivice. Ako se može smatrati da se poremećajni

uticaji na jednom kraju ljuske „ne osećaju“ (ne utiču na deformaciju) na drugom kra-

Page 7: predavanja brujic ljuske

10. Armiranobetonske ljuske

279

ju ljuske, takve ljuske nazivaju se dugimdugimdugimdugim. U suprotnom, ljuske su kratkekratkekratkekratke. Na Sl. 331

su, za dugu i kratku cilindričnu, membranski oslonjenu na dnu, ljusku, opterećenu

radijalnim horizontalnim linijskim opterećenjem na obe ivice, prikazani oblici dija-

grama momenata savijanja Mα.

Presečne sile kod rotaciono-simetrično opterećenih rotacionih ljuski u sklopu slože-

nije konstrukcije mogu biti odreñene primenom metode sile. Ukupne vrednosti sila

odreñuju se superpozicijom membranskog rešenja i uticaja dobijenih fleksionom

analizom ivičnih poremećaja. Prvo se veze ljuske sa susednim elementima prekidaju,

konstrukcija se dekomponuje, na način da se pretpostavljaju membranski uslovi

oslanjanja pojedinih elemenata. Ovim je formiran takozvani osnovni sistem, za koji

je samo analizom uslova ravnoteže moguće odrediti membransko rešenje. Na mestu

raskinute veze uvode se dve statički nepoznate veličine: horizontalna sila XH (linijsko

opterećenje, kN/m’) i moment savijanja XM (linijsko opterećenje, kNm/m’) (Sl. 332).

Sl. 332. Dekompozicija konstrukcije: osnovni sistem i statički nepoznate

Veličine statički nepoznatih veličina odreñuju se iz uslova-pretpostavke da nema

meñusobnog razmicanja elemenata u horizontalnom pravcu u vezi, niti meñusobne

promene nagiba tangente. Skraćeno, krajevi ljuski spojenih u čvoru imaju jednako

horizontalno pomeranje ∆r i obrtanje χ. Uslovne jednačine virtualnog rada, kojima

se sumiraju ovi uslovi imaju poznat oblik, a broj ovih jednačina, N, odgovara broju

statički nepoznatih veličina:

1 11 2 12 10

1 21 2 22 20

1 1 2 2 0

... 0

... 0

...

... 0N N N

X X

X X

X X

δ δ δδ δ δ

δ δ δ

⋅ + ⋅ + + =⋅ + ⋅ + + =

⋅ + ⋅ + + =

. ......................................................... (10.18)

Pri tome, svaki koeficijent δij čine dva sabirka, odnosno dobija se kao zbir odgovara-

jućih pomeranja na oba (prvom i drugom) elementa u vezi:

ij ij ijδ δ δ′ ′′= + . .................................................................................. (10.19)

Koeficijenti δi0 se odreñuju kao odgovarajuća pomeranja u osnovnom sistemu u pra-

vcu i smeru usvojenih statički nepoznatih od spoljašnjih opterećenja. I oni predstav-

ljaju zbir odgovarajućih koeficijenata sa dva u čvoru vezana elementa.

Kod konstrukcija formiranih od dugih ljuski, problem odreñivanja statički nepozna-

tih se znatno pojednostavljuje. Uvoñenjem pretpostavke da se ivični poremećaji na

Page 8: predavanja brujic ljuske

Betonske konstrukcije – radna verzija - 2. decembar 2010

280

jednom kraju ljuske „ne osećaju“ na drugom, čini odgovarajuće δij koeficijente jed-

nakima nuli. Za posledicu, umesto jednog sistema jednačina, problem se dekompo-

nuje na više manjih sistema jednačina (na primer, četiri puta statički neodreñen sis-

tem na Sl. 332, uz cilindričnu ljusku usvojenu dugom, postaje dva puta po dva puta

statički neodreñen – nezavisno je moguće odrediti statički nepoznate u gornjoj vezi

od onih u donjoj).

U slučaju dejstva koncentrisanog (zapravo, linijskog) opterećenja na ljusku, problem

se rešava formiranjem dve nezavisne ljuske, pokazano na Sl. 333. Pri tome je nebit-

no da li se samo opterećenje „pripisuje“ gornjoj ili donjoj ljuski, ili se „deli“. Slično se

postupa i u slučajevima ljuski kod kojih postoji skok u debljini (Sl. 334).

Sl. 333. Dekompozicija na mestu koncentrisanog opterećenja

Sl. 334. Dekompozicija na mestu skokovite promene debljine ljuske

Treba imati na umu da statički nepoznate veličine izazivaju u presecima ljuske, ne

samo momente savijanja (Mα i Mφ) i transverzalne sile (Qα), nego i aksijalne sile Nα i

Nφ, zbog čega se rezultujuće aksijalne sile odreñuju superpozicijom njihovih mem-

branskih i fleksionih vrednosti.

Ljuske se, u opštem slučaju, dimenzionišu u dva ortogonalna glavna pravca na slo-

ženo savijanje: prstenasta armatura proizilazi kao rezultat dimenzionisanja pravou-

gaonog poprečnog preseka jedinične širine (1m) na granične vrednosti uticaja Mφ i

Nφ, dok se meridijalna armatura odreñuje iz odgovarajućih graničnih uticaja Mα i Nα.

Pri tome, treba voditi računa o različitim statičkim visinama u dva upravna pravca, te

o minimalnim količinama armature, koje kod ljuski odgovaraju onima za pune ploče.

10.2.1.10.2.1.10.2.1.10.2.1. SFERNE LJUSKE (KUPOLSFERNE LJUSKE (KUPOLSFERNE LJUSKE (KUPOLSFERNE LJUSKE (KUPOLE)E)E)E)

Sferne kupole su najčešće konveksne ljuskaste figure pozitivne Gauss-ove krivine.

Primenu kao armiranobetonske pronalaze još na početku XX veka, uglavnom kao

krovne konstrukcije nad kružnim osnovama, zahvaljujući sposobnosti da premošća-

vaju velike raspone sa malim debljinama. U pogledu utroška materijala ovo ih svrs-

Page 9: predavanja brujic ljuske

10. Armiranobetonske ljuske

281

tava u red najracionalnijih konstrukcija. Sa druge strane, racionalnost njihove pri-

mene je limitirana pogodnošću i cenom izvoñenja (skupa oplata i skela).

Najčešće, rotacione sferne kupole se primenjuju za pokrivanje dvorana i hala kružne

osnove i većih raspona, te kao elementi rezervoarskih konstrukcija (Sl. 335). U

konstrukcijama se javljaju u kombinacijama sa drugim elementima: prstenastim

nosačima, pločama, drugim ljuskama...

Sl. 335. Primena sfernih kupola kod hala i rezervoara

Uobičajene debljine kupola su vrlo male – za krovne konstrukcije su izmeñu 5 i

14cm, a za raspone osnove i preko 100m. Zbog male debljine, a uglavnom pritisnu-

ti, ovi elementi mogu biti podložni gubitku stabilnosti, zbog čega je preporuka

usvajati debljinu ljuske na način da se membranskim radom iazazvani normalni

naponi ograniče na manju vrednost od dopuštenih (preporuka je 50% dopuštenih)65.

Još jedna preporuka u pravcu obezbeñenja od suviše malih debljina ljuske je ona

kojom bi debljinu valjalo ograničiti sa donje strane u funkciji poluprečnika krivine na

sledeći način: / 0.0015d r ≥ (približno 1/600!).

Sl. 336. Sferne ljuske sa otvorom za osvetljenje (lanternom)

S obzirom da su kupole opterećene uglavnom mirnim kontinualnim opterećenjem

(sopstvena težina, izolacija, sneg, tečnost...), to one rade pretežno membranski.

Samo u području oslonaca, zbog veze s drugim elementima (najčešće preko prste-

nastog nosača) javljaju se fleksioni poremećaji. Moguće neravnomerno opterećenje

vetrom redovno nije od velikog značaja budući je malo u odnosu na ostala. Otud,

kupole se mogu približno proračunavati kao rotaciono-simetrično opterećene.

65 Dopušteni naponi su „zaostatak“ ranije primenjivane „logike“ proračuna armiranobetonskih

konstrukcija, ali je data preporuka i dalje praktično validna.

Page 10: predavanja brujic ljuske

Betonske konstrukcije – radna verzija - 2. decembar 2010

282

Često se krovne kupole izvode sa otvorom za osvetljenje u temenu (Sl. 336). U tom

slučaju gornja ivica ljuske dobija prstenasto ojačanje na koje se pričvršćuju elementi

svetlosne lanterne. Sada se i gornja ivica ljuske karakteriše fleksionim uticajima.

Kako su kod sferne ljuske poluprečnici glavnih krivina jednaki:

r r aα φ= = , sinr a α= ⋅ , .................................................................. (10.20)

to se presečne sile po membranskoj teoriji nalaze lako (videti (10.4) i (10.5)):

( ) ( )2 sin sin cos / siny zN a p p d aα α α α α α = − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ∫ , .................... (10.21)

( )zN a p N aφ α= − ⋅ + . ..................................................................... (10.22)

Karakteristična pomeranja su:

( )( )sin1z

ar a p N

E h αα ν− ⋅∆ = ⋅ ⋅ + + ⋅

⋅, i ................................................ (10.23)

( )1zy

dpap

E h dχ ν

α = ⋅ − + ⋅ ⋅

............................................................. (10.24)

U nastavku je, u formi specifičnog slučaja, analizirano membransko dejstvo sops-

tvene težine sferne kupole. Kako je:

sinyp g α= ⋅ i coszp g α= ⋅ ,

to se aksijalne sile dobijaju:

1 cos

a gNα α

⋅= −+

i 1

cos1 cos

N a gφ αα

= ⋅ ⋅ − + .

Raspored i veličina aksijalnih sila prikazani su na Sl. 337. Primetiti da za ugao kupo-

le veći od 51.49º prstenaste sile Nφ prelaze iz pritiska u zatezanje. Takoñe, intere-

santno je primetiti i da normalni naponi ne zavise od debljine ljuske.

Sl. 337. Promena aksijalnih sila za dejstvo sopstvene težine

Za ravnomerno podeljeno opterećenje po osnovi, kakvo je opterećenje snegom, na

primer, važi:

sin cosyp p α α= ⋅ ⋅ i 2coszp p α= ⋅ ,

te aksijalne sile u obliku (Sl. 338):

0.5N a pα = − ⋅ ⋅ , ( )0.5 cos 2N a pφ α= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Page 11: predavanja brujic ljuske

10. Armiranobetonske ljuske

283

Sl. 338. Promena aksijalnih sila za dejstvo ravnomerno podeljenog opterećenja po osnovi

Za karakteristične slučajeve opterećenja (Sl. 339) izrazi za presečne sile se obično

mogu pronaći u obliku tabulisanih alata. NJima se uobičajeno daju i izrazi za karak-

teristična pomeranja.

Sl. 339. Neki karakteristični slučajevi opterećenja kupole

Za odreñivanje ivičnih poremećaja kod sferne kupole, jednačine (10.10) do (10.17)

se, uz odreñena zanemarenja malih veličina i konstatovanjem da je py = pz = 0,

svode na dve nezavisne diferencijalne jednačine oblika (k – koef. prigušenja):

4

44

4 0kχ χ

α∂ + ⋅ ⋅ =∂

, 44 0Q

k Qααα

∂ + ⋅ ⋅ =∂

, ( )23 1a

kh

ν= ⋅ ⋅ − . ............. (10.25)

Sl. 340. Oznake uglova na ivicama kupole

Uz oznake kao na Sl. 340, zavisno od posmatrane ivice (n = 1, 2), rešenje diferenci-

jalne jednačine se nalazi u obliku:

( )cosnk wnQ C e k wα ψ− ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ + , .......................................................... (10.26)

gde su C i ψ integracione konstante odreñene uslovima na konturi. Izrazi za sile u

presecima, te integracione konstante za slučajeve ivičnog opterećenja horizonztal-

nim silama i momentima, dati su na Sl. 341.

Page 12: predavanja brujic ljuske

Betonske konstrukcije – radna verzija - 2. decembar 2010

284

Sl. 341. Izrazi za presečne sile i karakteristična pomeranja

Dati izrazi se odnose na duge ljuske – one kod kojih je zadovoljeno:

( )2 1 6k α α⋅ − ≥ i 30nα ≥ ° . .............................................................. (10.27)

U praksi je, i za fleksione poremećaje, uobičajena primena tabulisanih izraza za sile

i pomeranja. Pri tome, dovoljno je analizirati samo slučajeve prikazane na Sl. 341.

U najvećem delu kupole vlada membransko stanje, pa se i dimenzionisanje u ovom

delu svodi na analizu centrično pritisnutog ili centrično zategnutog pravougaonog

preseka jedinične širine. U ivičnim zonama, u meridijalnom pravcu, preseci se

dimenzionišu na složeno savijanje, prema Mα i Nα. U zoni prostiranja poremećajnih

uticaja obično se ljuska kontinualno zadebljava. Momenat u tangencijalnom pravcu

je najčešće prihvaćen već podeonom armaturom.

Sl. 342. Armiranje sferne ljuske (osnova)

Sl. 343. Jednostruko i dvostruko armiranje ljuske

Page 13: predavanja brujic ljuske

10. Armiranobetonske ljuske

285

Sl. 344. Armiranje ivičnih delova kupole

Teme ljuske se, kao kod kružnih ploča, armira ortogonalnom mrežom. Ostatak ljus-

ke se armira meridijalnom i prstenastom armaturom . Kako se razmak meridijalne

armature povećava udaljavanjem od temena (smanjuje se površina armature po

jedinici dužine), to je neophodno (čak zbog održavanja neophodnog minimuma

armature ili dopuštenog razmaka izmeñu šipki) polovljenje razmaka sve kraćim šip-

kama (Sl. 342). Ljuska se u većem delu armira mrežom u sredini debljine (za ljuske

debljine manje od 7cm) ili simetričnim mrežama na oba lica (za debljine preko 7cm)

(Sl. 343). U zoni ojačanja, obostrano armiranje se u meridijalnom pravcu najčešće

postiže šipkama oblika ukosnica, a tangencijalna armatura u obe zone ima karakter

podeone (Sl. 344).

Tanke ljuske se, po pravilu, zadebljavaju na spoju sa ivičnim elementima (prstenom)

u cilju obezbeñenja mogućnosti prijema poremećejnih momenata savijanja (Sl. 344).

10.2.2.10.2.2.10.2.2.10.2.2. KONUSNE LJUSKEKONUSNE LJUSKEKONUSNE LJUSKEKONUSNE LJUSKE

Konusne ljuske se najčešće koriste (Sl. 345) za levkove silosa i bunkera, kod rezer-

voarskih konstrukcija i vodotornjeva, kao stubovi tornjeva, kod dimnjaka... Mogu se

izvoditi kao klasične armiranobetonske ili kao prednapregnute ljuske, najčešće u

horizontalnom pravcu. Kod konusnih ljuski, glavni poluprečnik krivine rα ima besko-

načnu dužinu, izvodnica u meridijalnom pravcu je prava linija.

Sl. 345. Primeri primene konusnih ljuski

Sl. 346. Membranski uslovi oslanjanja konusne ljuske i geometrijske oznake

Uvoñenjem veza (Sl. 346):

Page 14: predavanja brujic ljuske

Betonske konstrukcije – radna verzija - 2. decembar 2010

286

cotr yφ α= ⋅ , dy r dα α= ⋅ , cosr y α= ⋅ , yN Nα → , ............................ (10.28)

mogu se odrediti vrednosti presečnih sila i pomeranja po membranskoj teoriji:

( )cos sin cos

sin cos

y z

y

p p y dyN

y

α α αα α

− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅=

⋅ ⋅∫

, ...................................... (10.29)

cotzN y pφ α= − ⋅ ⋅ , .......................................................................... (10.30)

( )coscotz y

yr y p N

E h

α α ν− ⋅∆ = ⋅ ⋅ + ⋅⋅

, ................................................. (10.31)

( )2cotcoty z y

dN y p y p

E h dy

αχ α ν = + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

. .................................... (10.32)

Za slučaj dejstva sopstvene težine (Sl. 347), komponente opterećenja su:

sinyp g α= ⋅ , coszp g α= ⋅ ,

a vrednosti presečnih sila su:

( )/ 2 sinyN g y α= − ⋅ ⋅ , 2sin cotN g yφ α α= − ⋅ ⋅ ⋅ .

Sl. 347. Promena aksijalnih sila za dejstvo sopstvene težine

Za dejstvo jednako podeljenog opterećenja po osnovi (Sl. 348) biće:

sin cosyp p α α= ⋅ ⋅ , 2coszp p α= ⋅ , 1

cot2yN p y α= − ⋅ ⋅ ⋅ ,

3cos

sinN p yφ

αα

= − ⋅ ⋅

Sl. 348. Promena aksijalnih sila za dejstvo jednako podeljenog opterećenja po osnovi

Sl. 349. Neki karakteristični slučajevi opterećenja konusne ljuske

Za karakteristične slučajeve opterećenja (poput onih datih na Sl. 349) izrazi za pre-

sečne sile se obično mogu pronaći u obliku tabulisanih alata. NJima se uobičajeno

daju i izrazi za karakteristična pomeranja.

Neporemećeno membransko stanje je moguće samo ako je ivica ljuske oslonjena na

način da reakcija oslonca dejstvuje u srednjoj ravni ljuske. Normalno, ivica ljuske

Page 15: predavanja brujic ljuske

10. Armiranobetonske ljuske

287

završava obodnim prstenom, koji uzrokuje ivične poremećaje. Spoj ljuske i prstena

može biti zgloban ili krut (Sl. 350).

Sl. 350. Sile na spoju konusme ljuske i prstena

Sl. 351. Oznake na krajevima ljuske

Za odreñivanje ivičnih poremećaja kod sferne kupole, jednačine (10.10) do (10.17)

se, uz odreñena uprošćenja, svode na diferencijalnu jednačinu četvrtog reda po

nepoznatoj promeni ugla obrtanja (k – koef. prigušenja):

4

44

4 0ky

χ χ∂ + ⋅ ⋅ =∂

, ( )2tan3 1k

y h

α ν= ⋅ ⋅ −⋅

........................................ (10.33)

Uz oznake kao na Sl. 351, rešenje jednačine se može napisati u obliku:

( )cosn nk dn nC e k dχ ψ− ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ + , .......................................................... (10.34)

gde se konstante C i ψ odreñuju iz konturnih uslova. Vrednosti presečnih sila i

karakterističnih pomeranja su date na Sl. 352. Izrazi važe za duge ljuske, kod kojih

je zadovoljeno:

( )2 1 6k y y⋅ − ≥ ................................................................................ (10.35)

Sl. 352. Izrazi za presečne sile i karakteristična pomeranja

Konusne ljuske se armiraju u smeru izvodnice i po koncentričnim krugovima. Broj

šipki koje se pružaju po izvodnicama, po jedinici dužine se smanjuje sa približava-

njem ivici, što valja nadomestiti ubacivanjem meñu-šipki. Ljuske deblje od 8cm se

Page 16: predavanja brujic ljuske

Betonske konstrukcije – radna verzija - 2. decembar 2010

288

armiraju u dve zone celom površinom. Uz prsten, ljuska se dimenzioniše na ekscen-

trični pritisak u pravcu izvodnice.

10.2.3.10.2.3.10.2.3.10.2.3. CILINDRIČNE LJUSKECILINDRIČNE LJUSKECILINDRIČNE LJUSKECILINDRIČNE LJUSKE

Armiranobetonski cilindri se koriste kod konstrukcija rezervoara, silosa i bunkera

kružne osnove (Sl. 353). Kod rezervoara, cilindar se sa donje strane zatvara kruž-

nom pločom, koja je najčešće kruto spojena s cilindrom, ali je moguće i rešenje sa

plivajućom varijantom. Sa gornje strane, cilindar se zatvara ili kružnom pločom ili

ljuskom, preko kružnog prstenastog nosača. Kod vodotornjeva, cilindri se projektu-

ju u sklopu sa ostalim ljuskastim elementima u cilju formiranja pogodne geometrije.

Kod silosa, ćelije kružne osnove su dugački cilindri u dnu najčešće vezani s konus-

nom ljuskom levka.

U svim ovim slučajevima, opterećenje na površinu cilindra je po pravilu rotaciono

simetrično (pritisak tečnosti, zrnastog materijala ili tla).

Sl. 353. Primeni primene cilindričnih rotacionih ljuski

Kod cilindrične ljuske je glavni poluprečnik rα beskonačne dužine, a ugao α je 90º,

što meridijalnu krivu transformiše u vertikalnu pravu izvodnicu.

Sl. 354. Membranski uslovi oslanjanja cilindrične ljuske i geometrijske oznake

Uvoñenjem veza:

r aφ = , dy r dα α= ⋅ , yN Nα → , ........................................................ (10.36)

izrazi za membranske sile i pomeranja postaju:

y yN p dy= ⋅∫ , ................................................................................ (10.37)

zN a pφ = − ⋅ (kotlovska formula), .................................................... (10.38)

( )z y

ar a p N

E hν−∆ = ⋅ ⋅ + ⋅

⋅, ............................................................... (10.39)

zy

dpaa p

E h dyχ ν

= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ . ............................................................... (10.40)

Page 17: predavanja brujic ljuske

10. Armiranobetonske ljuske

289

Za slučaj delovanja sopstvene težine (Sl. 355a) biće:

yN g y= − ⋅ , 0Nφ = , a g y

rE h

ν ⋅ ⋅ ⋅∆ =⋅

, a g

E h

νχ − ⋅ ⋅=⋅

.

Sl. 355. Dejstvo sopstvene težine i tečnosti

Za dejstvo tečnosti (Sl. 355b) biće:

0yN = , p a y

NLφ

⋅ ⋅= , 2a p y

rE h L

⋅ ⋅∆ =⋅ ⋅

, 2a p

E h Lχ − ⋅=

⋅ ⋅.

Za druge slučajeve opterećenja (poput onih na Sl. 356) izrazi za presečne sile i kara-

kteristična pomeranja se obično mogu pronaći u obliku tabulisanih alata.

Sl. 356. Karakteristični slučajevi opterećenja

Jednačine fleksione teorije se, uz (10.36) i:

yQ Qα → , yM Mα → , .h const= , .................................................... (10.41)

svode na jednu diferencijalnu jednačinu četvrtog stepena:

4

44

4 0zpd wk w

dy K+ ⋅ ⋅ + = ,

( )23 1k

a h

ν⋅ −=

⋅. ....................................... (10.42)

U opštem slučaju, rešenje je oblika:

( ) ( )0 1 2 3 4cos sin cos sinky kyw w e C ky C ky e C ky C ky−= + + + + , ............... (10.43)

gde je w0 partikularno rešenje, a integracione konstante se odreñuju iz konturnih

uslova. Za duge ljuske, kod kojih je:

6k L⋅ ≥ , ........................................................................................ (10.44)

ivični poremećaji se odreñuju iz rešenja homogenog dela diferencijalne jednačine,

koja se odnosi na ljusku bez površinskog opterećenja, a za opterećenje samo po

konturi:

4

44

4 0d w

k wdy

+ ⋅ ⋅ = . .......................................................................... (10.45)

Rešenje jednačine:

( ) ( )1 2 3 4cos sin cos sinky kyw e C ky C ky e C ky C ky−= + + + ....................... (10.46)

Page 18: predavanja brujic ljuske

Betonske konstrukcije – radna verzija - 2. decembar 2010

290

predstavlja zbir dve prigušene oscilatorne funkcije. Kad je ljuska duga, uticaji s jed-

nog kraja se ne prenose na drugi, pa se rešenje svodi na oblik s dve integracione

konstante:

( )1 2cos sinkyw e C ky C ky−= + . .......................................................... (10.47)

Sl. 357. Oznake na krajevima ljuske

Uz oznake sa Sl. 357, rešenje se može napisati u obliku:

( )cosnk dnw C e k d ψ− ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ + , ............................................................ (10.48)

gde se konstante C i ψ odreñuju iz konturnih uslova. Vrednosti sila u preseku i

karakterističnih pomeranja su date na Sl. 358.

Sl. 358. Izrazi za presečne sile i karakteristična pomeranja

Za delovanje samo horizontalne sile XH na konturi, integracione konstante su:

22

H

a kC X

E h

⋅ ⋅= ⋅⋅

, i 0ψ = , ............................................................... (10.49)

dok je za delovanje samo momenta savijanja XM:

2 24

2M

a kC X

E h

⋅ ⋅= ⋅⋅ ⋅

, 4

πψ = . .............................................................. (10.50)

Puno uklještenje cilindričnog zida u temelj (Sl. 359a) rezultira većim poremećajnim

momentima My i manjim aksijalnim silama Nφ u odnosu na slučaj elastičnog uklješ-

tenja dna cilindra (Sl. 359b).

Sl. 359. Puno i elastično uklještenje dna cilindričnog zida

Page 19: predavanja brujic ljuske

10. Armiranobetonske ljuske

291

Sl. 360. Armiraje donjeg dela cilindra i veza sa oslonačkim elementima

Rotaciono simetrične cilindrične ljuske se u tangencijalnom pravcu dimenzionišu i

armiraju na centrični pritisak ili zatezanje. U pravcu izvodnice, preseci su opterećeni

na složeno savijanje (momenti My i aksijalne sile Ny).

Zatežuće prstenaste sile Nφ se prihvataju prstenastom armaturom, koja se, po pravi-

lu, postavlja sa unutrašnje strane, budući da ne prihvata momente savijanja. U verti-

kalnom pravcu, krak unutrašnjih sila se maksimizira postavljanjem vertikalne arma-

ture kao spoljašnja. Na Sl. 360 prikazan je detalj armiranja cilindra za slučaj punog i

elastičnog uklještenja.

10.3.10.3.10.3.10.3. LJUSKASTI I KROVOVILJUSKASTI I KROVOVILJUSKASTI I KROVOVILJUSKASTI I KROVOVI

Tanke ljuske se danas uspešno primenjuju kao krovne konstrukcije velikih raspona,

kod hangara, hala, stadiona, dvorana... Prostorni rad omogućava značajno smanje-

nje težine. Mogu biti prizmatične (cilindrične), konusne, ljuske dvojne zakrivljenosti

ili naborane konstrukcije.

10.3.1.10.3.1.10.3.1.10.3.1. PRIZMATIČNE (CILINDRPRIZMATIČNE (CILINDRPRIZMATIČNE (CILINDRPRIZMATIČNE (CILINDRIČNE) KROVNE LJUSKEIČNE) KROVNE LJUSKEIČNE) KROVNE LJUSKEIČNE) KROVNE LJUSKE

Prizmatičnim se nazivaju one ljuske koje nastaju translacijom prave izvodnice po

dvema identičnim voñicama, najčešće u obliku elipse, parabole ili kružnice. Gauss-

ova krivina ovih ljuski je jednaka nuli, a, da bi zadržale oblik pod opterećenjem,

moraju završavati krutim dijafragmama (Sl. 361a). Kako su, iz uslova na konturi,

meridijalne sile Nφ jednake nuli na podužnim ivicama, to se opterećenje ljuske može

prenositi samo savijanjem.

Sl. 361. Elementi prizmatične krovne konstrukcije i membranske presečne sile

Page 20: predavanja brujic ljuske

Betonske konstrukcije – radna verzija - 2. decembar 2010

292

Sl. 362. Poprečni i podužni presek kroz prizmatičnu ljuskastu krovnu konstrukciju

U podužnom pravcu, grubo, ljuska se ponaša kao gredni element raspona l1, a

savojna krutost ovakve „grede“ se uvećava projektovanjem ivičnih elemenata (Sl.

361, Sl. 362).

Ovakve ljuske se najčešće projektuju kao višetalasne, reñanjem jedne uz drugu na

način da dve susedne imaju zajednički ivilni element. Kod srednjih ivičnih elemenata

ovo rezultira poništavanjem horizontalnih projekcija membranskih sila Nφ. Kod sre-

dnjih ljuski je, ovim, savijanje u poprečnom pravcu značajno redukovano, a u podu-

žnom pravcu raspodela normalnih sila Nx približno odgovara onoj kod grednih ele-

menata. Krajnje ljuske, pak, zahtevaju složeniji (momentni) proračunski tretman u

oba pravca. Alternativa je dodatno ukrućenje krajnjih ljuski poprečnim dijafragmama

u cilju smanjenja poprečnih deformacija. Na Sl. 363, za jednorasponsku ljusku, pri-

kazan je uticaj poprečnog ukrućenja na deformaciju ljuske.

Sl. 363. Deformacija ljuske, opterećene sopstvenom težinom, bez i sa poprečnim ukrućenjem

I u podužnom pravcu ljuske mogu biti projektovane kao višerasponske.

Specifičan način primene cilindričnih ljuski, kod šed krovova, prikazan je na Sl. 364.

Sl. 364. Primena cilindričnih ljuski kod šed krovova

Iako je membransko stanje naprezanja karakteristika većeg dela površine ljuske (bar

kad je o opterećenjima od sopstvene težine ili snega reč), na spoju ljuske sa dijafra-

gmama i ivičnim elementima ono je neminovno narušeno i, na ovim mestima, javlja-

ju se poremećajni uticaji. Njihovo proračunsko odreñivanje je moguće samo

korišćenjem klasične momentne teorije ljusaka ili, danas je to uobičajena praksa,

primenom softvera baziranih na metodi konačnih elemenata.

Page 21: predavanja brujic ljuske

10. Armiranobetonske ljuske

293

Ljuske kod kojih je odnos raspona l2 prema l1 veći od 1 (redovno izmeñu 3 i 4) nazi-

vaju se dugimdugimdugimdugim. Njihov rad u podužnom pravcu je blizak grednom elementu raspona

l1 i poprečnog preseka koji formiraju ljuska i ivični elementi. Raspon dugih ljuski u

podužnom pravcu je uobičajeno izmeñu 20 i 30m. Strela svoda, f, zajedno sa visi-

nom ivičnog elementa, usvaja se većom od desetine podužnog i šestine poprečnog

raspona. Ivični elementi (Sl. 365; date su i uobičajene dimenzije) mogu biti projek-

tovani različitih oblika, zavisno od intenziteta pojedinih uticaja, te potrebe prijema

horizontalnih i/ili vertikalnih opterećenja s ljuske.

Sl. 365. Mogući oblici poprečnog preseka ivičnih elemenata

Oslonačke dijafragme mogu biti projektovane kao puni zidni nosači, rešetkasti, lučni

(sa zategom) ili okvirni. Na Sl. 366 prikazani su neki oblici oslonačkih dijafragmi i

poprečni preseci ivičnih elemenata višetalasnih ljuski.

Sl. 366. Dijafragme i ivični elementi višetalasnih ljuski

Približni proračun dugih ljuski, za srednja polja višetalasnih dispozicija, može odgo-

varati proračunu grednih elemenata čiji poprečni presek formiraju preseci ljuske i

ivičnih elemenata. Položaj neutralne linije odreñuje se za ovako pretpostavljeni

homogen presek. Dodatna aproksimacija može biti pretpostavka linearne raspodele

normalnih napona po visini preseka, kako je na Sl. 367 prikazano za presek ljuske

bez ivičnih elemenata.

Sl. 367. Aproksimacija raspodele normalnih i smičućih napona po visini preseka ljuske

Kod krajnjih talasa, ili jednotalasnih ljuski, krajevi preseka se mogu pomerati i hori-

zontalno i vertikalno, pa prethodna aproksimacija ne može biti efikasno primenjena.

Page 22: predavanja brujic ljuske

Betonske konstrukcije – radna verzija - 2. decembar 2010

294

Presek dugih ljuski se dimenzioniše prema dijagramu normalnih napona σx, glavnih

kosih napona po vrednosti jednakih smičućim τxφ i napona od poremećajnih mome-

nata savijanja. Zatežuće normalne napone u celini prihvata armatura, čija se potreb-

na površina odreñuje iz rezultantne sile zatezanja. Za kružni cilindar Sl. 367, biće:

( )0 0

2sinxg

u gg

r hZ r r y

y

σα α

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ − . .......................................... (10.51)

Sl. 368. Opterećenje dijafragme

Smičući naponi (na visini neutralne linije brojno jednaki glavnim kosim naponima) se

odreñuju iz globalne smičuće sile, Tu, na poznat način, usvajajući za širinu preseka

dvostruku debljinu ljuske (S – statički moment površine preseka iznad težišta):

2

ux

T S

I hτ ⋅=

⋅ ⋅. ................................................................................... (10.52)

Na dijafragme se opterećenje s ljuske prenosi preko sila Sx, koje tangiraju srednju

površ ljuske (Sl. 368), a odreñuju se iz smičućih napona u ljusci na osloncu. Uz ovo,

dijafragme su, naravno, opterećene i sopstvenom težinom.

Podužna zategnuta armatura (10.51) se, po pravilu, koncentriše u dno ivičnog ele-

menta (na maksimalnom kraku) i, načelno, njena količina opada od sredine raspona

ka osloncima (Sl. 369a). Ljuska se armira mrežom, u podužnom i poprečnom prav-

cu, po celoj površini, a ljuske debljine veće od 9cm se armiraju dvostruko. Uz ivične

elemente i uz dijafragme, potreba za armaturom se odreñuje i na osnovu intenziteta

poremećajnih uticaja, kada je ljuska opterećena na savijanje sa aksijalnom silom.

Prelaz od ljuske prema ivičnom elementu često (posebno u slučaju vrlo tankih ljuski)

treba projektovati kao zadebljan (vuta). Na spoju sa ivičnim elementom debljina lju-

ske je 2 do 2.5 puta veća od one u središnjem delu, a dužina postepenog povećanja

debljine je minimalno 10 debljina ljuske (Sl. 369b).

Sl. 369. Armiranje preseka ivičnog elementa

Page 23: predavanja brujic ljuske

10. Armiranobetonske ljuske

295

KratkeKratkeKratkeKratke ljuske su one sa podužnim rasponom manjim od poprečnog. Podužni rasponi

su uobičajeno u granicama izmeñu 5 i 12m, poprečni idu i do 30m, strela luka se

usvaja većom od sedmine poprečnog raspona, a debljine ljuski se usvajaju u grani-

cama izmeñu 6 i 12cm.

Sl. 370. Kratka prizmatična ljuska

Ovakve ljuske prostorno prenose opterećenje i aproksimacije komentarisane kod

dugih ljuski ovde ne mogu biti primenjene. Ljuska preko smičućih napona koji tan-

giraju srednju površ prenosi opterećenje na dijafragme (samo 4-5% opterećenja lju-

ske se na dijafragme prenese preko poprečnih poremećajnih sila).

Približno, zategnuta armatura u ivičnim elementima može se odrediti usvajanjem

kraka unutrašnjih sila jednakim oko 55% visine celog preseka:

( ) ( )2 2

2 1 2 11

8 2 0.55 9u u

av v v v

Z M q l l q l lA

z f a f aσ σ σ σ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +. ................ (10.53)

Ljuska se armira lakom mrežom (na primer prečnikom Ø6 na razmaku 12 ili 15cm),

a maksimalni razmak žica ne sme biti veći od dvostruke debljine niti od 20cm. Iznad

dijafragmi i na spoju ljuske sa ivičnim elementima postavlja se dopunska armatura

za prijem momenata savijanja.

DijafragmaDijafragmaDijafragmaDijafragma kratkih ljuski opterećena je smičućim silama koje deluju tangencijalno

na srednju površ ljuske. U tom, poprečnom, pravcu, ljuska je pritiskujuće napregnu-

ta, a za maksimalnu silu pritiska dovoljno je tačno odrediti:

N q rφ = − ⋅ , .................................................................................... (10.54)

gde je q ukupno opterećenje, a r poluprečnik zakrivljenosti ljuske. Ukupna sila priti-

ska za krajnju i za srednju dijafragmu (podužni pravac) iznosi:

1

1

2N q r l= ⋅ ⋅ ⋅ , 1N q r l= ⋅ ⋅ . .............................................................. (10.55)

Kako ivični elementi ne mogu primiti pritiskujuće sile poprečnog pravca, Nφ, to se

ove postepeno smanjuju od maksimalne vrednosti u temenu do nule na ivicama.

Zakon ove promene se može aproksimirati kvadratnom parabolom (Sl. 371):

Page 24: predavanja brujic ljuske

Betonske konstrukcije – radna verzija - 2. decembar 2010

296

( ) 21 2 22 /xN q r l l x x l= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ . za krajnju, i .......................................... (10.56)

( ) 21 2 24 /xN q r l l x x l= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ , za srednju dijafragmu. ........................ (10.57)

Sl. 371. Kvadratna parabola

Smanjenje sile pritiska u ljusci rezultira rastom tangencijalnih sila:

( )122

2

42x

x

dN q r lT l x

dx l

⋅ ⋅ ⋅= = ⋅ − ⋅ . ........................................................ (10.58)

Za x = 0, za krajnju, odnosno srednju, dijafragmu, biće:

1max

2

2 q r lT

l

⋅ ⋅ ⋅= , i 1max

2

4 q r lT

l

⋅ ⋅ ⋅= . ................................................... (10.59)

Uz pretpostavku da se aksijalna sila smanjuje po zakonu sinusa, rezultati za optere-

ćenje dijafragme su slični, za krajnju, odnosno za srednju, dijafragmu:

1max

22

q r lT

l

π ⋅ ⋅ ⋅=⋅

, i 1max

2

q r lT

l

π ⋅ ⋅ ⋅= . .................................................. (10.60)

10.3.2.10.3.2.10.3.2.10.3.2. KROVNE LJUSKE DVOJNEKROVNE LJUSKE DVOJNEKROVNE LJUSKE DVOJNEKROVNE LJUSKE DVOJNE ZAKRIVLJENOSTIZAKRIVLJENOSTIZAKRIVLJENOSTIZAKRIVLJENOSTI

Sferne krovne ljuske se mogu izvoditi i ojačane rebrima u vidu rebrastih kupolarebrastih kupolarebrastih kupolarebrastih kupola.

Rebra se pružaju u meridijalnim i prstenastim ravnima i monolitno su vezana s tan-

kom ljuskom. Pri dnu kupole, rebra se spajaju pomoću ležišnog prstena, koji prima

razupiruće sile meridijalnih rebara. Često se izvode od montažnih elemenata (Sl.

373).

Sl. 372. Rebraste kupole

Page 25: predavanja brujic ljuske

10. Armiranobetonske ljuske

297

Sl. 373. Montažni element rebraste kupole i detalj spoja rebrom

Proračun rebrastih kupola je relativno komplikovan već i za rotaciono simetrično

opterećenje, zbog visokog stepena statičke neodreñenosti.

Plitke ljuskePlitke ljuskePlitke ljuskePlitke ljuske nastaju translacijom izvodnice u obliku parabole, elipse ili kružnice po

dvema voñicama koje su takoñe u obliku parabole, elipse ili kružnice. Mogu se

zamisliti kao isečak kupole nad ne-kružnom (pravougaonom, trougaonom...) osno-

vom. Poput ostalih ljuski s pozitivnom Gauss-ovom krivinom, odlikuju se velikom

krutošću, a opterećenje prenose u dva smera. Otud, njihova primena je karakteristi-

čna za velike raspone i površine i u tom smislu su u prednosti nad prizmatičnim

(izmeñu ostalog, i manje debljine ljuske). Plitkima se nazivaju one ljuske kod kojih

odnos strele prema kraćem rasponu nije veći od 1/5.

Mogu biti jednotalasne i višetalasne, kao i kratke i duge. Kratke ljuske u podužnom

pravcu najčešće naležu na dijafragme, a u poprečnom na ivične elemente (Sl. 374a).

Krajevi ljuske, uz spoj sa oslonačkim elementima, se postepeno zadebljavaju do

debljine 2 do 2.5 puta veće od one u središnjem delu, na širini od približno petna-

estine do desetine odgovarajućeg raspona.

Sl. 374. Plitke ljuske

I eksperimentalna ispitivanja potvrñuju membranski rad središnjeg dela ljuske –

središnji deo je izložen dvoosnom aksijalnom pritisku, što implicira konstruktivno

armiranje. Podužne zatežuće sile, kao i momenti savijanja u poprečnom pravcu, se

javljaju u zoni ivičnih elemenata. Smičuće sile su koncentrisane u uglovima ljuske i

prihvataju se ivičnim ojačanjima.

Page 26: predavanja brujic ljuske

Betonske konstrukcije – radna verzija - 2. decembar 2010

298

Sl. 375. Pomeranje i aksijalne sile Nx plitke ljuske opterećene sopstvenom težinom

Plitke ljuske se mogu proračunavati samo približno po teoriji ljuski, ali se danas

uspešno proračunavaju primenom numeričkih metoda (MKE). Problematičnost

egzaktnog proračunskog tretmana posebno je izražena u aspektu kontrole izboča-

vanja, zbog čega ovde valja biti oprezan i konzervativan.

Ljuska se armira u smeru glavnih napona zatezanja i mrežom koja se postavlja po

celoj površini. Uz ivice, ljuska se obavezno armira dvostruko.

Konoidne ljuskeKonoidne ljuskeKonoidne ljuskeKonoidne ljuske nastaju translacijom prave izvodnice po dvema voñicama, od kojih

je prva prava, a druga je kriva. Kako kriva voñica može biti različitih oblika, to je i

velik broj mogućnosti obrazovanja konoidnih ljuski. Za pokrivanje površina najpo-

godnije su one konoidne ljuske kojima je druga izvodnica mimoilazni pravac (hiper-

bolični paraboloid, Sl. 376a) ili parabola (konoid, Sl. 376b).

Sl. 376. Primeri konoidnih ljuski: hiperbolični paraboloid i konoid

Hiperbolični paraboloid je ljuska negativne Gauss-ove krivine (jedan pravac je kon-

veksan, drugi konkavan), što je čini deformabilnom i zategnutom u jednom pravcu,

ali se oplata može formirati od pravih dasaka, što značajno pojednostavljuje izvoñe-

nje (Sl. 377).

Sl. 377. Konkavni i konveksni pravac hiperboličnog paraboloida i prave izvodnice

Može biti oslonjen na samo dva stuba. Ako stubovi podupiru niže uglove, potrebno

je izmeñu stubova projektovati zategu (Sl. 378b). Ako su poduprti viši uglovi, pože-

ljno je projektovati razupirač, kako je pokazano na Sl. 378a.

Page 27: predavanja brujic ljuske

10. Armiranobetonske ljuske

299

Sl. 378. Hiperbolični paraboloid oslonjen na dva stuba

Krovnu konstrukciju je moguće formirati i kombinovanjem više hiperboličnih para-

boloida (Sl. 379).

Sl. 379. Kombinovani krovovi od hiperboličnih paraboloida

Sl. 380. Proračunski model hiperboličnog paraboloida

Vertikalno opterećen (ravnomerno po osnovi) hiperbolični paraboloid se može jed-

nostavno proračunati po membranskoj teoriji (drugi izvod po x i y osi je jednak

nuli). Jednačina srednje površi je (Sl. 380):

z C x y= ⋅ ⋅ ...................................................................................... (10.61)

Smičuće sile u presecima paralelnim s ivicama se odreñuju prema:

( ) ( )2 2xyN Z C G C= ⋅ = ⋅ , za Z G= , .............................................. (10.62)

a normalne sile, ondo glavne normalne sile (u dijagonalnim presecima) su:

0x yN N= = , 1 2 xyN N N= − = . ........................................................... (10.63)

Na ivicama ljuske smičuće sile moraju preuzeti ivični elementi ili dijafragme.

Hiperbolični paraboloidi su zbog svoje statičke i konstrukcijske jednostavnosti, te

zbog vizuelnog efekta, vrlo provlačne za primenu. Meñutim, valja biti oprezan kad

su njihove mane u pitanju (negativna Gauss-ova krivina čini ove ljuske vrlo osetlji-

vim na promenljiva lokalna i na koncentrisana opterećenja, kao i na promenne obli-

ka usled, na primer, izduženja zatege).

Page 28: predavanja brujic ljuske

Betonske konstrukcije – radna verzija - 2. decembar 2010

300

Armiraju se ortogonalnom mrežom u jednom ili dva reda, a izmeñu njih se postavlja

kosa armatura za prihvat smičućih sila.

Sl. 381. Isečak konoidne ljuske kao šed-krov

Konoid je racionalna ljuska pretežno naprezana membranskim uticajima, a pogodna

za šed krovne konstrukcije (Sl. 381). U donjem delu konoida se javljaju zatežuće sile

i potreba za zategnutom armaturom. Armatura se postavlja u dva reda u području

pritiska, a u zategnutoj zoni se može armirati jednostrukom mrežom. Izmeñu dva

sloja armature, u uglovima ploče treba postaviti kosu armaturu za prihvatanje glav-

nih kosih napona zatezanja.

10.3.3.10.3.3.10.3.3.10.3.3. POLIEDARSKEPOLIEDARSKEPOLIEDARSKEPOLIEDARSKE KROVNE KONSTRUKCIJEKROVNE KONSTRUKCIJEKROVNE KONSTRUKCIJEKROVNE KONSTRUKCIJE

Poliedarske površi se formiraju od tankih ravnih ploča monolitno vezanih pod izves-

nim uglom na način da formiraju noseću strukturu. Svaka ivica je oslonac dveju

susednih ploča. Zavisno od oblika pojedinih ploča (pravougaone, trapezne, trougao-

ne) razlikujemo prizmatične ili piramidalne poliedarske konstrukcije. Ploče poliedara

su uglavnom napregnute u sopstvenim ravnima, ali neizostavno i momentima savi-

janja i smičućim silama na ivicama: zbog monolitne veze izmeñu nosećih površina,

podužne deformacije u pravcu pružanja ivice moraju biti jednake, a time i normalni

naponi, zbog čega po se ivici javljaju smičuće sile. Proračun uticaja u presecima

površi je danas podrazumevan kao rezultat primene metode konačnih elemenata.

Sl. 382. Neke mogućnosti oblikovanja poliedarskih krovnih konstrukcija

Rasponi poliedarskih krovnih konstrukcija uobičajeno dostižu raspone reda 20 do

30m, a kao prednapregnute – i znatno veće (do 60m). Nabori se postavljaju u pop-

rečnim pravcima i oslanjaju se na dijafragme krute u svojoj ravni (Sl. 382). Zbog

Page 29: predavanja brujic ljuske

10. Armiranobetonske ljuske

301

jednostavnijeg izvoñenja (jednostavnija oplata) mogu biti u značajnoj prednosti u

odnosu na cilindrične ljuske (uprkos manjoj ekonomičnosti po pitanju utroška

materijala).

Širina jednog poliedarskog elementa uobičajeno ne prelazi 3.0 do 3.5m i projektuju

se debljine, uobičajeno, 5 do 9cm. Visina krovne konstrukcije je u intervalu izmeñu

dvadesetine i desetine raspona. Često se izvode od montažnih elemenata, a neki od

češće korišćenih oblika poprečnih preseka su prikazani na Sl. 383. Mogu biti jedno-

rasponske ili višerasponske, a širina talasa, l2, je uobičajeno izmeñu 10 i 12m.

Sl. 383. Često korišćeni preseci montažnih elemenata poliedarskih krovova

Približni proračun prizmatičnih poliedarskih konstrukcija može biti sproveden ana-

logno cilindričnim (Sl. 384).

Sl. 384. Proračunski model – približni proračun

Neki primeri složenijih poliedarskih krovova, formiranih od trougaonih ploča su pri-

kazani na Sl. 385.

Sl. 385. Složeni poliedarski krovovi formirani od trougaonih ploča

Šatoraste konstrukcije su poliedarske konstrukcije formirane od monolitno vezanih

trapeznih i trougaonih ploča okrenutih vrhom nagore, najčešće oslonjene u uglovi-

ma na stubove (Sl. 386).

Sl. 386. Šatorasti krovovi

Zbog konveksnog oblika, mogu biti racionalne i za blage nagibe, a pri tome mini-

malno armirane. Strele šatora su uobičajeno u rasponima L/12 do L/8.

Page 30: predavanja brujic ljuske

Betonske konstrukcije – radna verzija - 2. decembar 2010

302

Na Sl. 387a prikazan je karakterističan detalj armiranja u poprečnom preseku nabo-

ra. Ploče se armiraju glavnom armaturom za prijem savijanja u pravcu raspona slo-

žene ljuske (tačkasto prikazana armatura u ivičnoj zoni), te poprečnom armaturom

koja, načelno, obezbeñuje poprečni prenos opterećenja sa ploča na ivične elemente

(ivice). U blizini ivice i dijafragme ploče se armiraju u dva reda radi prihvatanja

negativnih momenata savijanja. Dodatno, na spoju ploče i dijafragme se postavlja

armatura za prijem smičućih sila (Sl. 387b).

Sl. 387. Neki detalji armiranja poliedarskih krovova

Za maksimalne dopuštene razmake šipki armature, te za minimalne procente armi-

ranja, važe iste odredbe kao i za pune ploče.


Top Related