位置天文學 Algorithms

初版(2005.9)

申 龍得 著

位置天文學 Algorithms

목 차 제1제 행성의 좌표 계산방법 ..............................................................................2 제2제 해의 좌표 계산방법...................................................................................4 제3제 행성의 位相 및 등급 계산방법..................................................................5 제4제 달의 位相 계산방법...................................................................................7 제5제 均時差 계산방법........................................................................................9 제6제 日食현상의 局地상황 계산방법.................................................................10 (부록) Bessel 요소를 이용한 일식계산법........................................................23 제7제 月食현상 계산방법...................................................................................41 제8제 掩蔽현상 계산방법...................................................................................49 제9제 각 행성의 북극의 위치............................................................................61 제10제 천체의 出入시각 계산법........................................................................62 제11제 日辰 및 요일 계산법.............................................................................63 제12제 달의 위치계산법....................................................................................64 제13제 세계시와 恒星時와의 관계.....................................................................65 제14제 좌표계간의 상호환산방법......................................................................67 제15제 천체간의 角距離....................................................................................71 제16제 VSOP87을 이용한 해 및 행성의 위치계산...........................................71 제17제 日面通過 계산방법................................................................................75 제18제 ΔT의 값................................................................................................82 제19제 해와 달의 照度 계산법..........................................................................85 제20제 恒星의 위치 계산법...............................................................................87 제21제 천체의 南中시각 계산법........................................................................98 주요 참고서적....................................................................................................100

2

제1제. 행성의 좌표 계산방법 1. 행성의 日心황경 lm, 황위 lb, 動徑 r(AU)(순간의 평균적도 및 황도에 대한 값)에서

행성의 日心적도 직각좌표 xm, ym, zm 구하기(순간의 평균분점 및 적도에 대한 값) xm = r cos lm cos bm ym = r(sin lm cos bm cos εm – sin εm sin bm) zm = r(sin lm cos bm sin εm + cos εm sin bm) 여기서, εm = 황도의 평균경각 (예1-1) lm = 279° 36´ 23.89″, bm = -1° 20´ 35.23″, r = 0.72749725(AU), εm = 23° 26´ 40.067″ xm = +0.12137353 ym = -0.65111461 zm = -0.30094929 2. 행성의 日心적도 직각좌표 xt, yt, zt 구하기(순간의 眞분점 및 적도에 대한 값) xt = xm – (ym cos εt + zm sin εt) ΔΨ yt = ym + xm cos εt ΔΨ – zm Δε zt = zm + xm sin εt ΔΨ + ym Δε 여기서, εt = 眞황도경각 , ΔΨ = 황경의 章動, Δε = 황도경각의 장동 (예1-2) ΔΨ = -0.744″, Δε = -8.836″에서 εt = 23° 26´ 31.231″ xt = xm – 0.53352″ = xm – 0.00000259(rad) = +0.12137094 yt = ym – 2.742″ = -0.65112790 zt = zm + 5.717″ = -0.30092157 3. 해의 地心 적도직각좌표 Xt, Yt, Zt(순간의 眞분점 및 적도에 대한 값)에서 행성의 지심 적도직각좌표 ξt, ηt, ζt(순간의 眞분점에 대한 값) 구하기 ξt = xt + Xt = Δ cos δt cos αt ηt = yt + Yt = Δ cos δt sin αt ζt = zt + Zt = Δ sin δt 여기서, Δ = 행성의 眞진심거리(AU), αt = 행성의 眞적경, δt = 행성의 眞적위 (예1-3) Xt= +0.96481710, Yt= -0.21349908, Zt = -0.09257861에서 ξt = +1.08618804 ηt = -0.86462698 ζt = -0.39350019 tan αt = ηt / ξt = -0.79601961에서 αt = 21h25m55.085s Δ2 = ξt2 + ηt2 + ζt2 = 2.08222667에서 Δ = 1.44299226(AU)

3

sin δt = ζt / Δ 에서 δt = -15° 49´ 29.42″ 4. 행성의 地心視位置 αA, δA 구하기

(행성광행차를 보정한, 순간의 眞분점에 대한 시적경 및 시적위) αA = αt – 0.0057755183 Δ αt의 순간의, 1일당 변화량 ×δA = δt – 0.0057755183 Δ δt의 순간의, 1일당 변화량 ×여기서, Δ = 행성의 보정전 지심거리(= 眞지심거리,AU) (예1-4) 이 때의 αt의 순간의, 1일당 변화량 = +295.0s, δt의 순간의, 1일당 변화량 = +1238″에서 αA = 21h 25m 52.626s, δA = -15° 49´ 39.74″ 제2제. 해의 좌표 계산방법 1. 해의 지심평균황경 λm, 황위 βm, 動徑 R(AU)에서(순간의 평균적도 및 황도에 대한 값) 해의 지심 적도직각좌표 Xm, Ym, Zm(순간의 평균분점 및 적도에 대한 값) 계산 Xm = R cos βm cos λm Ym = R ( cos βm sin λm cos εm - sin βm sin εm) Zm = R ( cos βm sin λm sin εm + sin βm cos εm) 여기서 , εm = 황도의 평균경각 (예 2-1) 해의 λm = 346° 26´ 23.47″, βm = -0.65″, R =0.9924841 εm = 23° 26´ 40.067″에서 Xm = +0.96481793 Ym = -0.21349194 Zm = -0.09258639 여기서, 해의 평균적경 αm, 평균적위 δm은, tan αm = Ym/Xm 을 써서 αm = 23h10m05.476s sin δm = Zm/R 을 써서 δm = -5° 21´ 09.95″ 2. 해의 지심 적도직각좌표 Xt, Yt, Zt(순간의 眞분점 및 적도에 대한 값) 구하기 해의 地心眞황경 λt, 황위 βt(순간의 眞분점 및 황도에 대한 값)을 먼저 구한다 λt = λm + ΔΨ (ΔΨ = 황경의 장동) βt = βm 에서 Xt = R cos βt cos λt Yt = R ( cos βt sin λt cos εt - sin βt sin εt) Zt = R ( cos βt sin λt sin εt + sin βt cos εt) 여기서 , εt = 황도의 眞경각 = 황도의 평균경각 + 황도경각의 장동

4

(예 2-2) ΔΨ = -0.744″, Δε = -8.836″에서 εt = 23° 26´ 31.231″ λt = 346° 26´ 22.73″에서 Xt = +0.96481710 Yt= -0.21349908 Zt = -0.09257862 따라서 해의 眞지심적경 αt 및 적위 δt는, tan αt = Yt/Xt 를 써서 αt = 23h10m05.376s sin δt = Zt/R 을 써서 δt = -5° 21´ 08.33″ 3. 해의 지심 視黃經 λA 및 시황위 βA의 계산 (행성광행차를 보정한, 순간의 眞분점 및 황도에 대한 값) λA = λt – 0.0057755183 R Δλ βA = βt 여기서, Δλ = 그 순간의 해의 황경의, 1일당 변화량 (예 2-3) 이 때의 Δλ = +3601.57″에서 λA = λt – 20.64″ = 346° 26´ 02.09″ 4. 해의 지심 시적경 αA, 시적위 δA 계산 tan αA = ( sin λA cos εt – tan βA sin εt) / cos λA sin δA = sin βA cos εt + cos βA sin εt sin λA 에서 구한다 (예 2-4) tan αA = -0.22138166에서 αA = 23h10m04.103s sin δA = -0.09331840에서 δA = -5° 21´ 16.35″ 제3제. 행성의 位相 및 등급 계산방법 1. 행성의 離角(Elongation, 해로부터 동쪽 또는 서쪽으로 잰 각도) 계산법 離角은 행성-지구-해 사이에 이루는 각도를 말한다.

cos E = Δ−Δ+

RrR

2)( 222

에서 離角, E를 구한다.

여기서, R = 해의 動徑, Δ = 행성의 지심거리, r = 행성의 動徑(전부 AU단위) (예 3-1) R = 0.9924841, Δ = 1.44299226, r = 0.72749725에서 E = 27.62° 이 값이 해의 동쪽인지 서쪽인지는 행성의 衝과 合의 시각을 보고 판단해야 한다. 1) 수성이나 금성의 경우에는 내합-서쪽으로 離角-외합-동쪽으로 離角-내합…순으로 일어난다

5

2) 외행성의 경우에는 衝-동쪽으로 離角-합-서쪽으로 離角-衝…순으로 일어난다 외행성의 경우에는 離角이 180°까지 가능하지만, 내행성의 경우에는 금성은 47°, 수성은 28°정도까지만 가능하다. 離角이 20°정도보다 작으면, 보기가 힘들고, 10°정도이하이면 행성을 볼 수가 없다 ※ 금성이 가장 밝을 때에는, 동방최대이각 1개월후쯤이나 서방최대이각 1개월전쯤이고, 수성은 서방최대이각후나 동방최대이각전이나, 수성의 경우에는, 해때문에, 가장 밝을 때라고 항상 쉽게 볼 수 있는 것은 아니다. 금성이 가장 밝을 때는, 최대이각일 때가 아니라,

33))((

Δ+Δ+−Δ+

rRrRr 이 극대인 순간이다.

대략적으로, 位相角 i = 117.9°, 즉 離角이 39.7°일 때가 가장 밝게 보이며, 이때의 밝기는 -4.3m 정도이다 2. 지구에서 볼 때, 행성의 원반형태의 빛나는 부분의 비율 구하는 법 빛나는 부분의 비율(행성의 겉보기 지름 = 1로 한 단위), k는 k = (1 + cos i) /2에서 구한다 여기서 i는 位相角(phase angle, 해-행성-지구 사이의 각도)으로, cos i = ( r2+ Δ2 - R2) / ( 2rΔ) 로 주어진다. 수성과 금성은 k가 0부터 1사이 값을 가지나, 화성은 k가 항상 0.838이상이며, 목성은 0.989에서 1사이를 변동하고 토성은 0.997과 1사이값을 가진다. 수성은 位相角이 3° - 123° 사이에서만 육안으로 관측가능하다 위상각이 0°이면 행성은 둥근 원형으로 보이고, 90°이면 반원모양으로 보이며, 180°이면 안보인다 (예 3-2) 예 3-1의 데이터에서 cos i = 0.7747, i = 39.22°, k = 0.887 3. 행성의 겉보기 등급구하기 지구에서 볼 때 행성의 등급은 Δ, r, i(위상각) 에 의해 결정된다. 토성은 고리의 보이는 각도에 의해서도 영향을 받는다. Δ, r 는 AU단위, i 는 deg 단위로 할 때, 수성 = -0.42 + 5 log(Δr) + 0.0380 i – 0.000273 i2 + 2e-6 i3(log는 상용로그이다) 금성 = -4.40 + 5 log(Δr) + 0.0009 i + 0.000239 i2 – 6.5e-7 i3화성 = -1.52 + 5 log(Δr) + 0.016 i 목성 = -9.40 + 5 log(Δr) + 0.005 i

6

토성 = -8.88 + 5 log(Δr) + 0.044 i - 2.60 sin B + 1.25 sin2 B

※ 토성의 뒤의 B항은 고리의 영향에 의한 값이다. 여기서, sin B = sin i cos β sin (λ – Ω) – cos i sin β 에서 구하고, i = 28.075216° - 0.012998° T + 4° e-6 T2

(i = 순간의 평균분점과 황도에 대한 고리面의 경사각) Ω = 169.508470° + 1.394681° T + 4.12° e-4 T2

(Ω = 순간의 평균분점과 황도에 대한 고리면의 승교점 황경) T = (JD -2451545) / 36525 λ, β = 토성의 지심황경 및 황위

B = 토성중심에서 본, 지구의 위도(토성고리면을 기준으로 북쪽이 +, B가 +이면 고리의 북쪽면이 보인다는 의미이다) 토성에서 i는 절대값을 취한다 위 식들은 관측에서 구한 것으로, 실제의 행성의 밝기는 변동이 있으므로 0.1m

미만자리까지 구하는 것은 무의미하다 (예를 들면, 화성의 경우, 위의 식에서 얻은 값에서 0.3m 까지 변동되는 수도 있다) (예 3-3) 예 3-1과 3-2는 금성의 경우인 데, 이 값들을 대입하면, 등급 = -3.9 m 를 얻는다 (예 3-4) 토성의 고리의 밝기 구하는 시각을 1992.12.16 0h0m59s TDT라 하면, T = -0.070431193, i = 28.076131°, Ω = 169.410243°, λ = 314.777850° β = -1.013885° 에서 B = +16.442° 따라서 고리의 기여값 = -0.64 m

제4제. 달의 位相 계산방법

7

(그림 4-1: 달의 모양) O : 달의 원반형태의 중심 N : 천구의 北點 D : 달의 밝게 빛나는 가장자리(limb), ACDA의 中點 χ : 中點의 위치각(원반의 北點에서 동쪽:반시계방향 으로 잰 각도) k = 밝게 빛나는 부분의 비율 = 선분ED / 선분BD 타원의 일부인 AEC를 terminator, 점 A를 북쪽 cusp, 점 C를 남쪽 cusp라 한다 1. 위치각의 계산법 α, δ = 해의 지심적경 및 적위 α’, δ’ = 달의 지심적경 및 적위라 하면, tan χ =

)'cos(cos'sinsin'cos)'sin(cos

ααδδδδααδ

−−− 로 주어진다

(예 4-1) 1979.2.2 21h TDT의 달의 밝은 가장자리의 위치각 계산 α, δ = 315.8930°, -16.7915° α’, δ’ = 28.5777°, +8.0299° 에서 χ = 250.38° 따라서 250.38 90° 되는 지점을 연결하여 그림을 그리면 된다 ±上弦무렵에는 χ = 270°, 望후에는 χ = 90° 정도가 된다 관측자의 天頂기준의 위치각을 알려면, 먼저 다음 식에서 구해지는 視差角, q를 알아야 한다 tan q =

HH

cos'sin'costansin

δδφ −

여기서, φ = 관측자의 지리위도 H = 그 순간의 時角 = θ – α’ θ = 그 순간의 지방항성시 = 그리니치 항성시 – 관측자의 지리서경 지리서경 = 역표서경 – 1.002738 ΔT ΔT = TDT – UT 그러면, 천정기준의 위치각 = χ – q 가 얻어진다 2. k의 계산법

달의 원반의 빛나는 부분의 비율, k = 2cos1 i+ 로 주어진다.

여기서 i는 달의 位相角으로, tan i =

ψψ

cossinR

R−Δ

의 관계에서 구한다

8

단, R = 해의 動徑(km)(※ 1 AU = 149597870km) Δ = 달의 지심거리(km) Ψ = 달의, 해로부터의 地心離角으로, cos Ψ = cos βm cos(λm – λs) 또는 cos Ψ = sin δ sinδ’ + cos δ cos δ’ cos( α – α’)로 주어지는 각도이다 (예 4-2) 1992.4.12 0h TDT에 대해서, α’ = 134.6885°, Δ = 368408km, δ’ = +13.7684°, α = 20.6579°, R = 149971520km, δ = +8.6964°이므로, Ψ = 110.7929°, tan i = +2.615403, i = 69.0756°, k = 0.6786, χ = 285.0° 제5제. 均時差 계산방법 均時差(Equation of time) = 視太陽時 – 평균태양시 = 평균태양의 적경 – 시태양의 적경으로 정의되는 양이다. 지방평균태양시(LMT라 한다) = 세계시 + 동경의 관계가 있다. 즉, 실제태양의 남중때를 12시로 한 시각계가 시태양시이고, 평균태양의 남중때를 12시로 한때가 평균태양시이다. 임의시각에 대한 균시차는 다음과 같이 구한다. 균시차 = Ls – 0.0057183° - αs + ΔΨ cos ε (deg) 여기서, Ls = 해의 평균황경(deg)

= 280.4664567 + 360007.6982779 τ + 0.03032028 τ2 + 49931

3τ

- 15299

4τ - 1988000

5τ

단, τ = 365250

)2451545( −JD (즉, 1000년 단위)

αs = 해의 시적경(deg) ΔΨ = 황경의 장동(deg) ε = 眞황도경각(deg) 이다 얻어지는 값은 각도의 도단위이므로, 1h = 15°, 1° = 4m 에서 시간으로 환산하면 된다 (예 5-1) 1992.10.13 0h TDT의 균시차 계산 τ = -0.007218343600, Ls = 201.807193° αs = 198.378178°, ΔΨ = +0.004419°, ε = 23.4401443° 에서 균시차 = +3.427351° = +13m42.6s

9

균시차의 절대값은 항상 20m 미만이므로, 얻어지는 결과가 지나치게 큰 값일 때에는 24h을 가감하여 그 값을 구해야 한다 제6제. 일식현상의 局地상황(local circumstances) 계산방법 일식현상을 계산하는 통상적인 방법은, 해와 달의 위치자료에서 일식계산에 필요한 여러 요소(Bessel 요소라 한다)를 계산한 후 이를 가지고 행하는 것이다. 기존의 Bessel요소의 산정에서 구하는 방법은 너무나 알려져 있지만, 쓸데 없는 계산 품이 많이 들므로 여기에서는 해당 지점의 蝕分과 시각만 계산하면 되는 입장에서 다른 방법으로 계산해 보이겠다. 이하, 실례를 들어 계산해 보이는 방법으로 설명한다 사례는 삼국사기에 있는 신라 哀莊王2年 夏五月朔壬戌日當食不食이다. 음력은 801.5.1 임술, 율리우스력으로 환산하면 801.6.15이다. 관측지는 별다른 언급이 없으므로 당시의 왕도인 慶州로 간주하여 그 위치를 첨성대의 위치인 동경 129도 13분, 북위 35도 49분으로 한다(유인모, 강인준, 양인태, 경주 첨성대의 위치해석에 대한 고찰, 한국과학사학회지 제3권 제1호, 1981). 표고는 알 수 없어 0m로 한다. 일식은 定朔(달과 해의 視黃經이 일치하는 순간)일 때에만 일어나므로, 일단 이 무렵의 定朔의 시각부터 구해야 한다. 6월 15일 무렵의 달과 해의 시황경의 값을 일정한 간격으로 일단 구한다. 위치계산식은 DE406기준의 값으로 하겠다. 시각계는 TDT(地球力學時)기준이다. 대략의 정삭의 시각은 02.5시경이므로(이것은 여러가지 방법으로 구할 수 있으므로 어떻게 구했는 지는 생략). 이 시각에서 전후 30분 간격으로 1시간씩 해와 달의 視位置좌표를 구한다. 정삭의 定義는 視黃經의 差=0도이므로 視黃道좌표를 구한다. 시각(TDT) 해의 視黃經(도) 달의 視黃經(도) 해-달의 視黃經차(도) 01:30 86.876807 86.461385 + 0.415422 02:00 86.896659 86.707058 + 0.189601 02:30 86.916511 86.952719 - 0.036208 03:00 86.936363 87.198368 - 0.262005 03:30 86.956215 87.444004 - 0.487789 위에서 알수 있듯이 定朔의 순간은 02:00과 02:30 사이이다. 정확한 시각을 계산해 내기위해 위 표에서 3차의 階差까지 사용하여 內揷해내면(방법은 각자 알아서... ), 定朔의 순간으로, 801.6.15 02:25:11(TDT)를 얻는다. 이제 이 날 일식이 (전지구상으로 볼 때) 있는 가를 알기 위해서는, 이 순간의 달의 視黃緯를 구해야 한다. 계산하면, 定朔때의 달의 視黃緯는 질량중심치 -0˚ 03′ 42.84″를 얻는 데,

10

여기에 형태중심치로의 보정치 -0.25˝를 가하면, 그 중심의 시황위는 -0˚ 03′ 43.09″가 되고 이 값의 절대치는 1˚ 24.6′ 미만이므로(이 값은 일식의 黃緯한계라 불리는 값이다. 참고로 일식의 황위한계는 다음과 같다 定朔일 때, 시황위를 형태중심값으로 고친 후, 달의 地心시황위 > 1° 34.9´ : 일식 없음(지구상 어디에서도) 1° 24.6´ ≤ 시황위 ≤ 1° 34.9´ : 일식여부 불확실(별도 정밀계산 요함)

1° 03.2´< 시황위 < 1° 24.6´ : 부분일식만 있음 0° 52.9´ ≤ 시황위 ≤ 1° 03.2´ : 일식은 있으나 중심식인지 여부 불확실(별도

정밀계산 요함) 시황위 < 0° 52.9´ : 중심일식(개기식 , 금환식) 있음

구체적인 산출방법은 다른 책 참조), 일식이 반드시 일어나게 된다. 이제, 일식이 있다는 것을 알았으니, 慶州에서의 그 진행상황을 구해보겠다. 지상의 한 지점에 대한 일식의 진행상황을 계산하기 위해서는 다음과 같은 여러가지 요소가 필요하다. (지금부터의 계산은 적도좌표계를 기준으로 한다. 현재는 황도좌표계보다 적도좌표계를 일반적으로 더 많이 사용하고 있기 때문이다. 일식의 계산방법의 주류로 크게 두가지가 있는 데, 황도좌표계를 이용하는 Hansen법과 적도좌표계를 이용하는 Bessel법이다. 그 원리는 동일하며, 현재는 Bessel법으로 일식을 계산한다) 1) 각 시각에 대한 해와 달의 위치량(적경, 적위, 거리) 2) 각 시각에 대한 視恒星時 3) 해당지점의 좌표(경도, 위도, 표고) 4) Delta T의 값(TDT – UT의 구체적인 값) 5) 기타요소 먼저 기타요소에 대해 설명한다.

가) 그날의 그 순간의 그 지점의 기온, 습도 – 大氣差를 고려하기 위해 필요하다. 하지만 당시의 값을 알 수 없으므로, 지상평균인 15℃, 1013.25mb로 한다

나) 위의 慶州 좌표치는, 현재의 우리나라 測地基準系인 Bessel 측지기준계로 구한 값이므로 DE406의 수치와 같은 GRS80이나 WGS84에 의한 좌표값으로 바꾸어야 할 필요가 있다. 그러나 이 보정량은 우리나라의 위치에서는 각도로 대략 10″이하이므로(정확히 계산해보면 경주 첨성대의 위치에서 이 보정치는 東經에 -8″, 북위에 +11″가 된다), 위의 좌표치가 ′ 단위까지 주어져 있는 걸 감안하면 무시할 수 있으므로 생략한다.

다) 현재 우리나라가 위치한 地殼은 매년 동쪽으로 최대 5㎝/년의 속도로 움직이므로 이에 따라 좌표값도 현재와 과거가 달랐을 것이다. 최대로 계산해보면 지난 1200

11

년간 최대 약 60m 동쪽으로 경주의 위치가 이동해 왔다 하더라도, 60m는 經度로 2.5″정도에 불과하므로 역시 이 효과는 무시하기로 한다.

라) 標高는 평균해수면상의 높이, 다시 말하자면 지오이드로부터의 높이를 일컫는 데, 지오이드와 지구타원체는 일치하지 않으므로, 계산을 위해서는 표고를 지구타원체로부터의 높이로 바꾸어 주어야 한다. WGS-84기준으로 , 한반도의 지오이드의 높이(地球楕圓體面으로부터)는 대략 20-30m 사이이므로(理科年表 2000년판, P 894참조) 이것을 감안해야 하나(경주 첨성대에서 지오이드 높이는 30m임) 어차피 표고를 0으로 하였으므로 이 값도 무시하기로 한다(즉, 0으로 간주)

마) 지구의 極운동의 영향은 이미 ΔT = TDT –UT1(극운동을 보정한 세계시)에 반영되어 있으므로 별도로 고려할 필요는 없다

바) 달의 형태는 완전한 원이 아니고 지역에 따라 산이나 골짜기가 있는 형태이다. 평균적인 月緣에 대해 최대로 약 2″의 차이가 있어, 이를 고려하려면, 月緣데이터

인 Watts의 데이터를 고려해야 하나 精度상 무시하기로 한다. 1) 해와 달의 위치 일식이 언제 일어나는 지 알 수 없으므로 정삭의 시각을 기준으로 전후 20분간격으로(간격이 좁을수록 계산은 정밀해지겠지만, 어차피, 分단위까지의 시각만 구할 요량이므로 이것도 사실 더 넓게 계산해도 무방하다), ±3시간에 대해 계산한다. 定朔의 시각이 整數가 아니므로, 기준시각으로 02시(TDT)를 잡는다. 기준시각 = 801. 6.14 26h(TDT) 가) 해의 위치 TDT 地心시적경(도) 지심시적위(도) 眞지심거리(AU) 6.14 23:00 86.484300 23.554382 1.01719944 23:20 86.498733 23.554706 1.01719913 23:40 86.513167 23.555028 1.01719882 24:00 86.527600 23.555349 1.01719851 6.15 00:20 86.542033 23.555669 1.01719820

00:40 86.556467 23.555987 1.01719789 01:00 86.570901 23.556304 1.01719757 01:20 86.585334 23.556620 1.01719726 01:40 86.599768 23.556934 1.01719694 02:00 86.614202 23.557247 1.01719662 02:20 86.628636 23.557559 1.01719630 02:40 86.643070 23.557869 1.01719598 03:00 86.657504 23.558178 1.01719566

12

03:20 86.671938 23.558486 1.01719534 03:40 86.686373 23.558792 1.01719501 04:00 86.700807 23.559098 1.01719469 04:20 86.715241 23.559401 1.01719436 04:40 86.729676 23.559704 1.01719404 05:00 86.744110 23.560005 1.01719371

-------------------------------------------------------------------- 나) 달의 위치 달의 위치에 대해서는, 달은 형태중심과 질량중심이 일치하지 않으므로 이 값을 보정해 현태중심의 값을 구해야 한다. Explanatory Supplement to the astronomical Almanac(1992) p.425에 의하면, 이 보정치는 일식때의 달의 秤動에 의해 좌우되는 데, 그 최대치는 0.5˝에 불과하고, The Astronomical Almanac에 채택되는 값은, DE200에 대해, Δλ(황경에 대해) = +0.50 ˝, Δβ(황위에 대해) = -0.25˝이다. 이 값들을 보정하지 않더라도, 계산결과의 시각에 대략 1s정도의 오차밖에 생기지 않으므로 여기서 구하는 精度에서는 무시할 수 있어 보정을 하지 않기로 한다. TDT 지심시적경(도) 지심시적위(도) 眞지심거리(km) 6.14 23:00 86.796517 23.601151 406187.05 23:20 84.975772 23.591823 406195.36 23:40 85.154995 23.582290 406203.53 24:00 85.334185 23.572551 406211.58 6.16 00:20 85.513341 23.562608 406219.50

00:40 85.692463 23.552459 406227.30 01:00 85.871550 23.542106 406234.96 01:20 86.050602 23.531549 406242.50 01:40 86.229619 23.520787 406249.90 02:00 86.408600 23.509821 406257.18 02:20 86.587544 23.498650 406264.33 02:40 86.766452 23.487276 406271.36 03:00 86.945322 23.475698 406278.25 03:20 87.124154 23.463917 406285.02 03:40 87.302949 23.451932 406291.68 04:00 87.481704 23.439743 406298.18 04:20 87.660421 23.427352 406304.54 04:40 87.839098 23.414758 406310.80 05:00 88.017735 23.401961 406316.92

13

다) 曆表視恒星時 (계산공식은 다른 여러 서적 참고) TDT 曆表視恒星時(h) ---------------------------------------------------------------

6.14 23:00 16.7958868 23:20 17.1301328 23:40 17.4643787 24:00 17.7986247

6.15 00:20 18.1328707 00:40 18.4671166 01:00 18.8013626 01:20 19.1356086 01:40 19.4698545 02:00 19.8041005 02:20 20.1383465 02:40 20.4725924 03:00 20.8068387 03:20 21.1410847 03:40 21.4753306 04:00 21.8095766 04:20 22.1438226 04:40 22.4780685 05:00 22.8123145

라) 경주의 地理座標 東經 129.2167˚, 북위 35.8167˚, 標高 0m (계산을 위해 유효숫자를 늘여 잡았음. 나중에 계산결과에 반영할 것임) 蝕分 및 시각의 계산 표에 주어진 각 시각에 대한 자료로 매 시각마다의 蝕分을 계산한다. 이를 위해서는 Delta-T값을 먼저 알아야 한다. TDT 801.6.15 02:25의 율리우스통일은 2013788.7262153일이므로, F.R.Stephenson의 Historical Eclipses and Earth’s Rotation(1997)에 의한 ΔT의 값을 구하면, +2965s를 얻는 데, 이는 潮汐項을 -26.0˝로 한 값이므로 DE 406의 -25.7376″로 보정하면 +2933s가 된다. 사실 Stephenson의 표는 이 시대에는 100초단위로 주어져 있으므로 +2900s로 해야 하나 일단 그냥 계산하여 결과 導出시 반영하기로 한다. ΔT를 감안한, 경주의 좌표는, 曆表東經 = 129.2167 -12.2543 = 116.9624˚ 북위 = 35.8167˚ (그대로)

14

標高 = 0 (m) 가 된다. 6.14 23:00에 대한 식분을 계산한다 1. 계산의 기초데이타 수집 : 위에 있음 2. 해의 地心직각좌표 계산 해의 시적경을 αs, 시적위를 δs, 지심거리를 rs(AU 단위), A = 149597870.66이라 하면, 지구의 적도면을 x-y면, 춘분점방향을 x축의 陽의 방향으로 하는 해의 地心직각좌표(xs,ys,zs)(단위는 km)는, xs = A rs cos δs cosαs ys = A rs cos δs sinαs zs = A rs sin δs에서 구해진다. 따라서 xs = 8553945, ys= 139229655, zs= 60810418 이다 3. 달의 지심직각좌표 계산 달의 시적경을 αm, 시적위를 δm, 지심거리를 rm(km 단위)이라 하면, 지구의 적도면을 x-y면, 춘분점방향을 x축의 陽의 방향으로 하는 달의 지심직각좌표(xm,ym,zm)(단위는 km)는, xm = rm cos δm cosαm ym = rm cos δm sinαm zm = rm sin δm에서 구해진다. 따라서 xm = 33757.01, ym= 370677.5, zm= 162624.1 이다 4. 관측자의 지심직각좌표 관측자의 經度(동경을 陽으로 한다)을 λ, 위도(북위를 陽으로 한다)를 φ, 표고를 h(단위는 m)라 하자. 일단의 관측자의 경도를 力學時(TDT)에 맞춰 曆表經度로 바꾸어야 한다. 역표동경 = 지리동경 -1.002738ΔT의 관계에서 계산하면, 당시의 경주의 曆表동경 = 116.9624˚가 된다 지구의 적도면을 x-y면, 曆表기준 經線을 지나는 子午面에 x축을 잡아 좌표계를 정하면, 이 좌표계에 대한 관측자의 좌표(ξ1, η1, ζ1)(단위는 km)는 ξ1 = (aC + h + hg) cos φ cos λ/1000 η1 = (aC + h + hg) cos φ sin λ/1000 ζ1 = (aS +h +hg) sin φ/1000이 된다 여기서 a = 지구의 적도반경 = 6378137(m) f = 지구의 편평률 = 1/298.257

15

e = 지구타원체의 이심율 = )2( ff − = 0.081819221

C = )sin1(

122 φe−

= 1.001148228

S = C(1-e2) = 0.994446156 h = 관측자의 표고(m) hg = 지오이드의 높이(m), 여기서는 h +hg = 0으로 한다 曆表視恒星時를 θ라 하면, 지구의 적도면을 x-y면, 춘분점방향을 x축의 陽의 방향으로 하는 좌표계에 대한 관측자의 좌표(ξ2, η2, ζ2) (단위는 km)는, ξ2= ξ1 cos θ - η1 sinθ η2= ξ1 sin θ + η1 cosθ ζ2 = ζ1이 되고 ξ2= 5115.57434, η2= 801.1417785, ζ2 = 3711.718395가 된다 5. 관측자가 본 해의 위치(測心위치라 한다) 관측자가 본 해의 적경α’s ,적위 δ’s, 거리 r’s는 r’s cos δ’s cos α’s = xs – ξ2 r’s cos δ’s sin α’s = ys – η2 r’s sin δ’s = zs - ζ2 가 되고 관측자가 본 해의 시반경 ss는 sin ss = 695989/r’s에서 구한다. 따라서, α ’ s = 1.509472(rad), δ ’ s = 0.411082(rad), r ’ s = 152168367(km), ss= 0.004574(rad)이 얻어진다 6. 달의 測心위치 관측자가 본 달의 적경 α’m ,적위 δ’m, 거리 r’m는 위의 해의 식에서, 해 대신에 달의 좌표를 대입하여 같은 방법으로 구할 수 있고, 관측자가 본 달의 시반경 sm은, sin(sm) = 1738.091/r’m에서 구한다 따라서, α’m = 1.493515(rad), 적위 δ’m = 0.404708(rad), 거리 r’m = 403586.4(km), 시반경 sm = 0.004307(rad)이 구해진다 7. 해와 달사이의 角距離 계산 관측자가 본 해와 달의 중심간의 각거리 D, 해의 중심에 대한 달의 중심의 위치각(천구의 북극방향에서 反시계방향으로 잰 각도) P는, 구면삼각법의 공식에서, sin D sin P = cos δ’m sin (α’m - α’s) sin D cos P = sin δ’m cos δ’s – cos δ’m sin δ’s cos (α’m - α’s)

16

cos D = sin δ’m sin δ’s + cos δ’m cos δ’s cos (α’m - α’s) 에서 구할 수 있다. 식분을 구하기 위해서는 여기에서 D를 구해야 한다. 계산해보면, D = 0.015974(rad), P = -1.97806(rad)이다. 8. 蝕分과 식의 시작 및 종료시각의 계산 이제 마지막 계산만 하면 된다. 다음식에서 구해지는 M이 그 시각에 대한 식분이다. M = (ss + sm –D)/(2 ss) 따라서 M = -0.775474 M이 양수일 때 해가 가려짐을 의미하므로 M이 음에서 陽으로 바뀌는 순간이 일식이 시작되는 순간이고 陽에서 陰으로 변하는 순간이 일식이 끝나는 순간이다. 마찬가지 방법으로 하여 매 20분마다의 M을 계산한 결과는 다음과 같다 시각 (TDT) M 해의 시고도(°) 6.14 23:00 -0.775474 23.220 23:20 -0.531316 27.181 23:40:00 -0.301910 31.177 6.15 00:00 -0.089325 35.078 0:20 0.099709 39.239 0:40 0.258092 43.289 1:00 0.369971 47.339 1:20 0.416312 51.376 1:40 0.389273 55.385 2:00 0.303370 59.343 2:20 0.181428 63.217 2:40 0.040060 66.956 3:00 -0.111561 70.470 3:20 -0.268829 73.605 3:40 -0.429576 76.095 4:00 -0.592916 77.542 4:20 -0.758663 77.570 4:40 -0.927028 76.173 5:00 -1.098449 73.715 ㈜ 해의 視高度는 大氣差를 고려한 값임 위의 데이터를 가지고 기준시각 전후의 총 5개의 점을 가지고 補間하여 아래 값을 얻을 수

17

있다. ------------------------------------------------------------------ 상황 TDT(h) UT(h) 해의 고도 蝕分 시작 6.15 0.15197 6.14 23.33725 食甚 6.15 1.37376 6.15 0.55904 51.86 0.41653 종료 6.15 2.75635 6.15 1.94163 위의 값은 필요이상으로 자리수를 늘인 것으로 최종적으로 다음과 같이 정리한다 (경주에서의 상황- 지방평균태양시 기준) 일식의 시작 801.6.15 07:57 식의 최대 09:10, 식분 0.417, 해의 시고도 51.9° 일식의 종료 10:33 이제 이 계산이 얼마나 다른 ‘전문가’들의 계산과 일치하는 지 비교해보자

1) 渡邊敏夫, 日本朝鮮中國日食月食寶典(1979), p298 식의 최대(LMT) 09:04, 식분 0.41

- 경주의 좌표로 동경 129도 12분, 북위 35도 50분 사용 2) 齊藤國治, 小沢賢二, 中國古代の天文記錄の檢證(1992), p397 경주에서의 식분은 0.4정도

- 좌표값등 언급 없음 3) skymap pro v10.0.5 정식판

동경 129도13분, 북위 35도 49분, 표고 0, 기온 15도, 기압 1013.25로 놓고, 식의 시작 08:04 최대 09:20, 식분 0.430, 해의 고도 53.9° 종료 10:45 (내장 ΔT = + 2243.7s 사용)

식의 시작 07:56 최대 09:09, 식분 0.415, 해의 고도 51.6° 종료 10:32 ( ΔT = + 2733s 사용)

4) Emapwin v1.21(takesako제작, 기준은 DE406) 동일한 좌표로 그냥 계산시(내장 ΔT 값 = + 2988.1s 사용),

식의 시작 07:56 최대 09:09, 식분 0.415, 해의 고도 51.6° 종료 10:32 ΔT = 2933s로 하고 계산시

식의 시작 07:57 최대 09:10, 식분 0.417, 해의 고도 51.8°

18

종료 10:33 5) EclipseComplete v2(Zephyr services 제작)

식의 시작 07:24 최대 09:01, 식분 0.407, 해의 고도 50.0° 종료 10:22

6) EphemerisTool v3.274L(M.Dings 제작, 기준은 ELP2000-82) 동일한 좌표로 그냥 계산시(내장 ΔT값 = + 2523.2s 사용), 식의 시작 08:00

최대 09:14, 식분 0.422, 해의 고도 52.6° 종료 10:38 ΔT = 2733s로 하고(DE200에 맞게 수정) 계산시

식의 시작 07:56 최대 09:09, 식분 0.415, 해의 고도 51.6° 종료 10:32 결국, 그 날 경주에서는 오전에 식분 0.41이나 0.42의 부분일식이 있었으며, 이 것은 충분히 관측할 수 있었음이 분명하다. 왜 ‘日當食不食’으로 기록되었을까? 氣象문제라면, 陰雲/陰雨不見이라 기록했을 텐데... (附錄) 大氣差(atmospheric refraction)의 보정방법 정확한 일식예보를 위해서는 다음 사항들을 고려해야만 한다.

1) 정확한 천체위치의 추산 2) 지구의 자전에 대한 보정(ΔT) 3) 달의 형태중심과 질량중심의 차이 보정 4) 달의 가장자리(limb)의 불규칙한 형태에 대한 보정 5) 지구 大氣에 의한 효과(대기차) 보정

일반적으로 1, 2, 3항은 감안되고 4, 5항은 보통 무시되나 이중 5항은 영향이 클 수도 있으므로 그 보정방법을 설명하기로 한다

1. 大氣差(R) = 視高度(h0) – 眞高度 (h) 로 정의된다 가. G.G.Bennett의 공식(1982)에 의하면,

1) R1 = )

)4.4(31.7tan(

1

00 ++

hh

에서 R1 계산

19

R1 : min of arc 단위 h0 : deg of arc 단위

2) R2 = -0.06 sin(14.7× R3 +13) 에서 R2 계산

R2 : min of arc 단위 R3 : 위의 R1를 deg of arc 단위로 고친 값

3) 구하는 대기차, R = R1 + R2이다 이 식은 0 ≤ h0≤ 90(deg of arc)에서 유효하고 최대오차는 0.9″ 이다

4) 이 식은, 해면상에서 10℃, 1010mb 상태하에서 계산한 것으로, T ℃, P mb에서는

위의 R 값에 1010

P ×T+273

283 의 값을 곱하면 된다.

고도 H(m)에서의 대기차 = 地上대기차 + 0.37′ H 에서 구할 수 있다 ※ 실제관측에 의하면, 지평선에서의 대기차는 평균치에서 0.3° 만큼 변동되며 때때로 훨씬 더 큰 변동을 보이는 수도 있다. 따라서, 대기차 보정을 0.1″단위까지 한다든지, 천체의 출입시각 계산을 sec of time 이상으로 정확히 산정하는 것은 무의미하다고 볼 수 있다 이 글에서는 이론의 흥미상 다룬다. 나. 위에서는 視高度 기준으로 大氣差를 구했지만, 일식의 계산등에 있어서는 眞高度기준의 대기차 값이 필요하다 Þ . Sæmundsson의 공식(1986)에 의하면,

R = )

)11.5(3.10tan(

02.1

++

hh

+0.0019279 로 주어진다.

R : min of arc 단위 h : deg of arc 단위

이 식은 Bennett의 식과 최대 4″의 차이로 일치하며, 0 ≤ h≤ 90(deg of arc)에서 유효하다 이 식도, 海面상에서 10℃, 1010mb 상태하에서 계산한 것으로, T ℃, P mb에서는

위의 R 값에 1010

P ×T+273

283 의 값을 곱하면 된다

마찬가지로, 고도 H(m)에서의 대기차 = 地上대기차 + 0.37′ H 에서 구할 수 있다

(주) 대기차는, 천체가 무한한 거리에 있다고 가정하여 구하는 것이다.

20

따라서, 달이상의 가까운 천체에 대해서는, 視差때문에, 대기차 R에 대한 보정이 필요해진다. 그 보정치, r은

r = 'cos'tan421

zz

D×

− (sec of arc, z’ °에서 유효)로 주어진다 75≤

여기서 D =천체의 測心거리(km) z’ = 천체의 眞지심거리이다

2. 日食시 大氣差 효과의 보정방법 ① 일식의 局地計算시 산정하는 관측자의 地心直角좌표 ξ, η, ζ 에 대해(기호의 의미는 일식계산서적 참조), Δk = μ0 sin Z’ / sin Z 에서 얻어지는 Δk를 ξ, η, ζ 에 각각 곱하여 재계산하면 된다. ×여기서, cos Z ≒ ζ Z : 眞 천정거리 = 90 - h0 Z’ : 視 천청거리 = 90 - h μ0 : 관측자에 있어 대기의 굴절지수 ≒ 1.0002774 (파장 0.5753 μm에 대해) 또는, ② 대기차 효과만큼 관측자의 표고를 늘여 보정하여 재계산하면 된다 평균적인 대기상태하에서 海面상의 보정치는 다음과 같다(실제값은 이 평균치와 많이 다를 수도 있다) 眞고도(°) Δk 표고의 보정치(m) 眞고도(°) Δk 표고의 보정치(m) 90 1.000000 0 8 1.000016 100 60 1.000000 0 6 1.000026 170 30 1.000001 5 4 1.000046 290

20 1.000003 20 2 1.000095 610 15 1.000005 30 1 1.000148 940 10 1.000011 70 0 1.000242 1540

표에서 보듯이, 고도가 10°이하가 되어야 보정치가 중요해진다 (別添) 1) 구체적인 계산데이타는 별첨의 “801 경주일식. xls” 파일을 참조할 것. 2) 남한의 몇몇 지점의 지리좌표(WGS84기준치, deg 단위, 높이는 지오이드 높이) - 대구시청앞 128.6017E, 35.8711N, 타원체 높이 75m - 경주시 반월성 129.2203, 35.8308, 30m - 경주시 계림 129.2189, 35.8325, 30m

21

- 경주시 안압지 129.2269, 35.8347, 30m - 공주 송산리고분군 127.1126, 36.4624, 22m - 부여 부소산성 126.9146, 36.2846, 22m - 부여 낙화암 126.9135, 36.2925, 22m - 부여 부여산성 129.9149, 36.2824, 22m - 강화군 관청리 126.4793, 37.7511, 17m - 강화군 송해면 사무소 126.4630, 37.7656, 17m - 강화군청 126.4866, 37.7475, 17m - 서울 광화문 126.9769, 37.5761, 18m - 서울 세종문화회관 입구 126.9762, 37.5722, 18m - 경복궁 126.9769, 37.5794, 18m - 서울 몽촌토성 127.1194, 37.5219, 18m - 서울 풍납토성 127.1158, 37.5303, 18m - 경주 첨성대 129.2186, 35.8353, 30m(첨성대의 천문좌표는 129.2222, 35.8314) - 경주 석굴암 129.3492, 35.7956 - 경북 군위 제2석굴암 128.6428, 36.0503, 31m - 대구 경북대학교 본관 128.613, 35.891, 타원체 높이 80m - 대구측후소 128.618, 35.888, 타원체높이 87m - 경기도 하남시 춘궁동 127.20, 37.52 23m - 경기도 하남시 이성산 127.18, 37.52, 표고 210m - 대구 동화사 128.704, 35.993, 타원체 높이 530m - 대구 은적사 128.591, 35.825, 타원체 높이 280m - 대구 송림사 128.578, 35.981, 타원체 높이 140m - 대구 파계사 128.644, 36.001, 타원체 높이 540m - 경주 토함산 129.35, 35.80, 표고 745m - 울릉도 성인봉 130.87, 37.50, 표고 984m - 한라산 126.52, 33.38, 타원체 높이 1973m - 팔공산 128.70, 36.02, 타원체 높이 1221m - 경북도청 128.601, 35.893, 타원체 높이 70m - 대구 갓바위 128.734, 35.978, 타원체 높이 880m 3 ) 식 계산시의 k의 값 일식의 모든 상황을 계산하기 위해서는 베셀요소를 먼저 구해야만 하는 데, 그 값을 계산하기위해 필수적으로 필요한 것 중의 하나가 k이다. k란, 달의 반경의, 지구적도반경에 대한 比이다. 달의 실제형태는 불규칙하므로, 그 평균으로써 시대에 따라 曆계산시에 사용하는 k의 값을

22

달리해 왔다. 미국력을 기준으로 하자면, 1962년까지는 k= 0.272274로 하다가. 1963-1968년까지는 일반적인 일식계산용으로는 k = 0.2724807, 중심선상에서 개기식의 계속시간계산용으로는 k = 0.272274를 썼고, 1968년부터는 위의 두 값이 0.2724880(일반용), 0.272281(중심선…계산용)으로 쓰다가, 1982년 8월에 IAU에서 k = 0.2725076으로 통일채택한 후에는 이 단일값을 쓴다. 학자에 따라서는 개별적으로 옛날 값을 더 선호하는 사람들이 많다. 달에 의한 엄폐의 경우에도 베셀요소 계산이 필요한 데, 이 때의 k는 1920년대부터 0.2724953, 1968년 이후에는 0.2725026을, 지금에는 보통 0.2725를 쓰고 있다. (附錄) Bessel 요소를 이용한 일식 계산법 일식현상이 그 지점에서 어떻게 보이는가만 알려면 위의 방법으로 하면 충분하나, 전반적인 상황등을 확실히 계산하려면 그 기본이 되는 제반 수치를 알아야 한다. 이 값들을 일식요소라 부르는 데, 그 구하는 방법부터 이를 이용한 일식의 제반상황 계산법을 이하에서 설명하기로 한다 이 글의 주요맥락은 Explanatory Supplement to the Astronomical Ephemeris and The American Ephemeris and Nautical Almanac의 제9장에 의한 것이다 上記書는 1961년 초판이래, 1977년 수정 4刷가 나왔다. (참고) 천체력에 있는 일식의 예보치는 大氣差효과를 고려하지 않은 값이다. 대기차효과는 정확한 위치를 나타내기 위해 관측자료를 정리(reduction)하기 위해서는 중요한 것이지만 일식의 Bessel요소는 大氣差(refraction)를 전혀 고려하지 않는다. 1. 일식의 Bessel 요소 계산 가. 천체력의 補正 일월식을 계산하기 위해 기본적으로 필요한 값들은, 식이 진행되는 동안의 매 시간(TD단위)마다의 해의 시적경 αs, 시적위 δs, 動徑(Radius Vector) R과 달의 시적경 αm, 시적위 δm, 적도지평시차 πm, 식이 있는 날과 그 다음날의 0h TD의 曆表 視恒星時이다. 0h TD의 역표 視恒星時는 曆表자오선상의 地方視恒星時로, 수치적으로는, 천체력에 주어진, 0h UT의 그리니치 視恒星時와 같다. 천체력은 해당천체의 질량중심에 대한 위치를 싣고있다. 그러나 식현상은 해와 달의 형태중심의 위치에 의해 좌우되는 데, 달의 형태중심은 질량중심과 일치하지 않으므로, 이를 감안하여, 표에 나타난 달의 황위값에 대해 -0.5"의 보정 , Δβm을 해주고 있다.

23

1964년부터는 Δβm는 -0.6"로 개정되었으며 이 값은 최근의 관측치와 더 잘 일치하게 조정된 값이다(이 값과 다른 값으로 보정하는 연구자도 있다). Δβ를 Δα(적경에 대한 보정치)와 Δδ(적위에 대한 보정치)에 대한 보정치로 바꾸는 데는 아래 공식을 쓴다. Δα = -sin ε cos λ sec2 δΔβ Δδ = + (cos ε cos λ cos α + sin λ sin α) Δβ 여기서, ε은 眞황도경각이고 α는 시적경, δ는 시적위, λ는 시황경이다 모든 값은, Oppolzer의 食寶典에 주어진 것처럼, 대략적인 황경의 합(또는 衝)의 시각에 대해 구해지며 보정치는 식이 진행되는 동안 일정한 것으로 처리한다. 식의 계산에 사용하는 해와 달의 시반경은 光輝(irradiation)를 포함하지 않는 값이다. 단위거리에서 해의 시반경, ss의 채택치는 15’59.63"(A.Auwers,1891)이고 달의 시반경, sm은 sin sm = k sin πm으로 계산한다. 여기서 πm은 달의 地平視差이고 k는 지구의 적도반경에 대한 달의 적도반경비이다. 1962년까지 k는 0.272274로 했었으나 1963년부터는 0.2724807로 바뀌어 천체력에 있는 달의 시반경의 값과 일치하게 되었다. 허나, 달의 가장자리(limb)의 불규칙성으로 인하여 개기일식의 중심선상에서의 계속시간을 계산하는 데는 k값으로 0.272274를 여전히 쓴다. 1968년부터는 이 들 값은 각각 0.2724880과 0.272281로 다시 바뀌었다가, 1982년 IAU의 결의에 따라 통일된 값 0.2725076을 사용하기로 하였으나, 연구자에 따라서는 여전히 두가지의 k값을 쓰기도 한다. 實例 이하에서는 주로, 1961.2.15의 개기일식을 예로 보인다. 대략의 合의 시각은 1961.2.15 08:11 TD이다. 설명을 위해서 계산에서는 필요이상의 자리수까지 수치를 보인다. 단, Bessel요소 계산등을 위한 몇몇의 경우에는 최고의 정밀도로 계산을 할 필요는 있다. (예 1) 달의 좌표의 補正 合의 대략시각 1961.2.15 08:11에 대해서, λm= 326.4 °, αm = 21h53m22s, δm= -11.9°, Δβm = -0.50", sin ε = 0.398에서 (답) Δαm= -0.347″ , Δβm= +0.17", Δδm = (+0.650+0.290)Δβm = -0.47" 나. 일식이 일어날 조건 일식이나 월식은 해, 지구, 달의 중심이 거의 직선상에 올 때 일어난다. 이런 조건은 달의 궤도의 교점근처에서 合이나 衝이 일어날때에만 충족된다. 일식이 일어날 조건은 다음과 같이 구한다. 달과 해의 중심간의 最小時 角距離가 그들의 시반경의 합보다 작을 때 일식이 일어나므로,

24

βm cos I’-(πm – πs) < sm + ss 또는 βm < (πm – πs + sm + ss) sec I’ 일 때 일식이 일어나게 된다. 위에서, 첨자 m은 달, s는 해의 의미이고 β는 황위, π는 시차, s는 시반경이고 I’는 아래 식에서 얻어지는 각도이다. (q-1) tan I’ = q tan I (q는 해와 달의 황경상의 운동比) (표 1) 極값과 평균치 최대 최소 평균주)

황도에 대한 달의 궤도의 5°18´ 4°59´ 5°08´ 경사각(I) 황경상의 운동비(q) 16.2 10.9 13.5 secI’ 1.0052 1.0043 1.00472 달의 시차(πm) 61´27" 53´53" 57´02.70" 해의 시차(πs) 8.96" 8.65" 8.80" 달의 시반경(sm) 16´45" 14´41" 15´32.58" 해의 시반경(ss) 16´18" 15´46" 15´59.63" 주) 1968년이후에는 시차의 평균치로 57´02.608" 와 8.794"를 쓴다 합의 순간에 일식이 일어날 수 있는 βm의 최대값은 , πm, sm, ss는 최대값, πs는 최소값을 위식에 대입하여 구할 수 있다. 마찬가지로, 합의 순간에 일식이 확실히 일어나는 βm의 최대값은, πm, sm, ss의 최소값, πs의 최대값을 대입하면 구할 수 있다. 일반적목적의 계산에 있어서는 βm에 대한 식 중 0.00472((πm – πs + sm + ss)부분에 대해서 sec I’와 πm, πs, sm , ss의 평균값을 써도 충분하므로, 이를 대입하면, 定朔일 때, 시황위를 형태중심값으로 고친 후, 달의 地心시황위 > 1° 34.9´ : 일식 없음(지구상 어디에서도) 1° 24.6´ ≤ 시황위 ≤ 1° 34.9´ : 일식여부 불확실(별도 정밀계산 요함)

1° 03.2´< 시황위 < 1° 24.6´ : 부분일식만 있음 0° 52.9´ ≤ 시황위 ≤ 1° 03.2´ : 일식은 있으나 중심식인지 여부 불확실(별도

정밀계산 요함) 시황위 < 0° 52.9´ : 중심일식(개기식 , 금환식) 있음

불확실한 경우에 대해서는, 그 순간에 대한 I’, πm, πs, sm , ss의 실제치를 대입하여 계산해 보아야한다. (해가 교점근처에 있을 때에는 경사각은 항상 최대값에 가까우므로 sec I’의 최대값을 사용하는 것이 더 타당한 데, 이 경우 βm의 한계는 3"정도 커지게 된다)

25

(예 2) 일식여부의 판별 q= 1961.2.15-16의 황경상의 달과 해의 1일간의 운동의 비 = 54143"/ 3636.8" = 14.9, I = 5.1°, q/(q-1) = 1.072 1961.2.15 08:11에 대해, πm = 61´05.7 " , sin sm = 0.272274 sin πm sm = 16´38.0" 또는 sm = 0.08" + 0.272239 πm πs = 8.9" ss = 16´11.4" (답) sec I’(πm – πs + sm + ss) = 1°34´11" 와 βm = 0°54´에서, 일식이 확실히 일어남을 알 수 있다 다. Bessel요소 일식계산은 Bessel이 고안한 방법에 따른다. 이를 위해 필요한 제반 수치를 Bessel 요소라 한다. 일식에서 Bessel요소란 지구에 상대적인 달의 그림자의 기하학적인 위치를 나타낸 것이다. 그림자의 축에 수직인 地心面을 기준면이라 하고 지심직각좌표계의 xy면으로 잡는다. x축은 기준면과 적도면과의 교선이고 동쪽방향을 + 로 한다. y축은 북쪽방향이 +이다. z축은 그림자의 축과 평행하게 잡고 달이 있는 방향을 +로 한다 기준면에 대한 달의 직각좌표 x,y,z는 지구 적도반경을 단위로 하여 다음 식에서 계산한다. x = rm { cos δm sin(αm- a)} y = rm { sin δm cos d – cos δm sin d cos(αm – a)} z = rm { sin δm sin d + cos δm cos d cos(αm – a)} 여기서, rm =1/sin πm이고 G cos d cos a = R cos δs cosαs – rm cos δm cosαm G cos d sin a = R cos δs sinαs – rm cos δm sinαm G sin d = R sin δs – rm sin δm 이다 R : 해의 거리(AU 단위) G : 해와 달의 중심간 거리 a,d : 천구상 그림자의 축이 있는 점(기준점)의 적경과 적위 기타 필요한 양으로, μ = 기준점의 역표 時角 = 역표 視恒星時 – a 半影(첨자1을 붙임)과 本影(첨자2를 붙임)圓錐가 그림자의 축과 만나서 이루는 각 f1, f2는 k = 0.272274로 할 때, sin f1 =(sin s0 + k sin π0)/(gR) = 0.004664016 /(gR)

26

sin f =(sin s0 - k sin π0)/(gR) = 0.004640784 /(gR) 에서 구한다. g = G/R이다. π0 는 평균거리에서 해의 지평시차 = 8.80 "이고 s0는 해의 시반경 = 15´59.63" 다. 1962년이후는 k =0.2724807로 하여 위의 상수는 f1에 대해서는 0.004664026, f2에 대해서는 0.004640776이 되고, 1968년 이후로는 k = 0.272281 k = 0.2724880 에 대해 f1 계수 0.004664009 0.004664018 f2 계수 0.004640792 0.004640783이 된다 현재 기준이 되는 k = 0.2725076을 사용하면, π0 = 8.794148″, s0 = 15´59.63" 에서 f1 계수 = 0.004664019 f2 계수 = 0.004640782가 된다 기준면으로부터 반영이나 본영원추의 꼭지점의 거리는, 지구적도반경단위로, c1 = z + k cosec f1 c2 = z – k cosec f2 이고 기준면에서 半影과 本影의 반경 l1, l2는 l1 = c1 tan f1 l2 = c2 tan f2 이다 개기식의 경우에는 l2< 0이고 금환식의 경우에는 l2 > 0이며 l1은 항상 +가 되는 것으로 약속한다. 이상의 x, y, sin d, cos d, μ, l1, l2 가 Bessel요소이다. 정확한 l1, l2를 위해서 tan f1, tan f2도 짧은 간격으로 계산해야 하나, 일식이 일어나는 동안 tan f1, tan f2는 상수로 생각해도 충분하다. 이들 x, y, l2의 매시간당의 변화량을 x’, y’, l2’로 표시하기로 한다. μ , d 의 시간당 변화량 μ’ , d’는 상수로 간주해도 된다. , μ’ , d’는 시간당 라디안 단위로 표시한다 (예 3) 1961.2.15 08h TD의 일식의 Bessel 요소 계산 αm = 328°13´44.29" πm = 61´05.814" δm = -11°53´31.83" R = 0.9878805 αs = 328°38´50.42" sin π0= 0.0000426636 δs = -12°42´49.04" rm = 56.27009 k = 0.272274 (답)

27

x = - 0.403040 c1 = 113.79279 y = +0.808354 c2 = -1.55510 z = +56.26284 l1 = 0.538557 l2= -0.007323 sin f1 = 0.004732735 sin f2 = 0.004709161 視恒星時 = 17h 40m 21.093s= 8h TD의 역표 視恒星時 = 265°05´16.40" 에서 a = 328°38´54.10" 역표時角 μ = 296°26´22.3" 2.15 09h에 대한 계산에서, μ = 311°26´29.2"에서 μ’= 15°0´06.9" = 0.2618328 sin d = - 0.21987475에서 d’ = +0.00024341 실제로는 이들 값을 다항식으로 근사시켜 계산에 이용하면 편리하다. 2. 일식 계산을 위한 보조량 산정 실제계산의 편의를 위해서는 Bessel요소외 여러가지 보조량을 미리 계산해 놓으면 좋다. (예) 1961.2.15 08h TD에 대한 예만 보인다.

d21 cos0066943850.01−=ρ = 0.99680989

d22 sin0066943850.01−=ρ = 0.99983782

dd sinsin 11 =ρ 에서 sin d1 = -0.22081662 dd cos99664719.0cos 11 =ρ = 0.97220398에서 cos d1 = 0.97531534

dddd cossin0066943850.0)sin( 2121 =−ρρ 에서 )sin( = -0.001442211 21 dd −99664719.0)cos( 2121 =− ddρρ 에서 )cos( 21 dd − = 0.99999896

dfxla costan''' μ−−=

dxyb sin''' μ+−= dfldyxc costan'sin''' μμ +++=

( ' 는, l,x,y의 매시간당 변화량이다) ,',' yxlx = -0.403040, y = +0.808354, μ’ = +0.2618328, sin d = -0.22011219, cos d = +0.97547456. tan f1 = 0.004732788, tan f2 = 0.004709213, l1 = 0.538557, l2= -0.007323에서 l2’ = +0.000057, y’ = +0.143031, x’ = 0.0561414에서

28

a2’ = +0.00042777, b’ = -0.11980276, c2’ = +0.51481766, c1’ = +0.51547748 위에서 기호 뒤의 1은 半影, 2는 본영에 대한 값이다. b’는 둘다 같다. 3. 地上의 상황계산 가. 中心線(달 그림자의 축과 지표가 만나는 점들의 궤적)상에 있는 지점 찾기 1961. 2.15 08h TD에 대한 계산만 보인다

4252857.0)}sin()cos({24241856.011

8109410.0

808354.0403040.0

211211

21

221

21

11

1

=−−−=

=−−=−−=

===

+==−==

ddddyx

yyyx

ηζρζηξζ

ρη

ηξ

4235316.0,1793790.0)''()''(143031.0',561414.0'

0231247.0'sin''1552103.0)cossin(''

222 ==−+−=

+=+=+=−=

+=+−=

nyxnyx

ddxddy

ηξ

ζμηζμξ

L2 = 기준면에서의 고도 ζ에서 本影의 반지름 = 0093258.02tan 에서 −2 fl ζ = −

중심선상에서 中心蝕의 半 계속시간, s = L2 / n (hrs) = -0.022019 hrs이므로 계속시간 = -158.54s (- 라는 것은 개기식이란 의미이며, 금환식은 +로 나타난다) 이 지점의 좌표를 구하기 위해서는 아래 값을 계산해야 한다

(deg)2073.446972560.0sincossin

5927840.0cossincos1cos403040.0sin1cos

1

11111

1111

+=+=++=

+=+−=−==

φζηφ

ζηθφφ θ ξ

dddd

그 지점의 지리위도, Ф는, tan Ф = 1.00336409 tan Ф1에서 Ф = +44.3035° sin θ = -0.562260, cos θ = 0.826962 에서 θ = 325.7878° 曆表 서경, λ = μ – θ = -29.3483° 지리 서경 = λ – 1.0027379 ΔT 에서, ΔT = +36s라 하면, 지리서경 = -29.4987° = 동경 29°29´55″

29

나. 本影의 南北限界 계산 1961.2.15 08h TD에 대한 예만 보인다 (제1 근사) 북한계 남한계 l2 -0.007323 -0.007323 ζ 0(가정) 0(가정) L2 = l2(가정) -0.007323 -0.007323 b’ -0.11980276 -0.11980276 c2’ +0.51481766 +0.51481766 tan Q = b’/c2’ -0.232709 -0.232709

QQ 2

2

tan11cos

+=

개기식의 북한계 및 금환식의 남한계에 대해서는 cos Q >0이고 개기식의 남한계 및 금환식의 북한계에 대해서는 cos Q <0이다 cos Q +0.973976 -0.973976 sin Q -0.226651 +0.226651

QLx sin2−=ξ -0.404700 -0.401380 11 /)cos2( ρη QLy −= +0.818096 +0.801199

21

21 1 ηξζ −−= +0.408579 +0.443818

)}sin()cos({ 2112112 dddd −−−=ζ ρ ζ η = +0.409692 +0.444901

dcQadbQ

cos''2sec'2''tan

ζμζ−−−

= = -0.293389 -0.297797

(제2근사) l2 -0.007323 -0.007323 ζ +0.409692 +0.444901 L2 = l2 – ζ tan f2 -0.009252 -0.009418 tan Q -0.293389 -0.297797 cos Q +0.959555 -0.958405 sin Q -0.281523 +0.285410

QLx sin2−=ξ -0.405645 -0.400352

11

)cos2(ρ

η QLy −= +0.819847 +0.801886

30

21

21 1 ηξζ −−= +0.404108 +0.443505

)}sin()cos({ 2112112 dddd −−−=ζ ρ ζ η = +0.405224 +0.444589

dcQadbQ

cos''2sec'2''tan

ζμζ−−−

= = -0.292589 -0.297720

이 작업을 tan Q가 수렴할 때까지 계속한다 (제3 근사) l2 -0.007323 -0.007323 ζ +0.405224 +0.444589 L2 = l2 – ζ tan f2 -0.009231 -0.009417 tan Q -0.292589 -0.297720 cos Q +0.959762 -0.958426 sin Q -0.280816 +0.285343

QLx sin2−=ξ -0.405632 -0.400353

11

)cos2(ρ

η QLy −= +0.819829 +0.801887

21

21 1 ηξζ −−= +0.404157 +0.443503

)}sin()cos({ 2112112 dddd −−−=ζ ρ ζ η = +0.405273 +0.444587

dcQadbQ

cos''2sec'2''tan

ζμζ−−−

= = -0.292597 -0.297720

따라서, 북한계 남한계 θφξ sin1cos= -0.405632 -0.400353

θφ sin1cos +0.575212 +0.609625 tan θ -0.705187 -0.656720 θ 324.8090° 326.7063° μ 296.4395° λ -28.3695° -30.2668° ΔT +36s 지리서경 -28.5199° -30.4172° sin Ф1 +0.710347 +0.684160 Ф1 +45.2632 +43.1696 Ф +45.3594° +43.2656°

31

半影의 남북한계는, 금환식의 本影의 경우에 준하여 계산하면 된다. 물론 요소는 반영의 값을 사용해야하고, cos Q의부호는 남한계가 +, 북한계가 –이다 제 1근사로, ζ = 0, L1 = l1, tan Q = b’/c1’로 시작하면 된다 다. 지상전체에서 일식 또는 중심식이 시작되거나 종료되는 상황 계산 근사시각을 T0라 하고, 始終시각을 T0 + t라 할 때,

222 '' yxn +=1

)1(''1sin

1 ρψ

+−

=ln

yxxy

211

)''(1cos)1(n

yyxxn

lt +−

+= ψρ 으로 t를 구한다(시간단위).

1cosψ 은 시작시 -, 종료시 +이다. ρ 는,

y1 = 1ρ

y , 222 yxm +=

222 1yxm +=1

1

(예) 1961.2.15의 일식의 始終時角 mm

=ρ 에서 구한다

이하의 계산에서는, J.Meeus에 의한 베셀요소(Elements of solar eclipses 1951-2200, 1989)를 사용하기로 한다. T0 = 8h

32 639.966.65614285.0403277.0 tetetx −−−−+−= 32 630.2555.31430349.0808295.0 tetety −−−+++=

263013946.071558.12(deg) tetd −++−= t001904.1543963.296(deg) +=μ

2529.1575.5538770.01 tetel −−−+= 2529.1572.5007317.02 tetel −−−+−=

tan f1 = 0.0047328 tan f2 = 0.0047092 여기서, t = T0부터 경과시간수 1) 시각 계산 T0 = 08h

32

x -0.403277 1ρ 0.99680989 y +0.808295 0.834930 1y

2m 0.815973 0.859740 2m1

ρ 0.974214

x’ +0.5614285 0.335661 2n1

y’ +0.1430349 0.579363 1nl1 0.538770 sin 1ψ -0.583507

시작 종료 cos 1ψ -0.812108 +0.812108 t -1.7907 +2.4509 제2근사는 시작시간에 대해서만 예시한다 시작 x -1.408594 y +0.552289 d -12.74054 (deg)

1ρ 0.99681052 1y 0.554056 2m 2.289160 2m1 2.291115

ρ 0.9995733 x’ +0.561362 y’ +0.142886

2n1 0.335544 l1 0.538626 sin Ψ1 -0.573840 cos Ψ1 -0.818967 t -0.053343 h ( = -3.20m) 따라서, 구하는 시각 = 8 – 1.7907 – 0.0533 = 6.1560 h(TD) 필요한 精度가 얻어질때까지 반복하면 더욱 정확한 값을 얻을 수 있다. 2) 지점좌표 계산

33

T = 6.1560 h (TD) x -1.438515 x’ +0.561357 y +0.544674 y’ +0.142881 d -12.74129 1ρ 0.9968105 μ 268.77612 2.365995 2m

1 1y 0.546417 2.367897 2m

1

11 m

y=η =

11ρmy = 0.355094

1mx

=ξ = -0.934831 = θφ sin1cos

1

= 0.975219 1

sinsinρ

dd = = -0.221242

1cos d

11 sincos1cos dηθφ −= = +0.0785617 = +0.346294 11 cos1sin dφ η+=

θ = 274.8038° θμλ −= = -6.0277°

ΔT = +36s에서 지리서경 = -6.178° Ф1 = +20.2608° 에서, Ф = +20.323° 本影에 대해서도 유사하게 계산할 수 있다. 근사시각, T0에 대한 보정치 t(hrs)는,

22

11

2

)''(2cosn

yyxxn

t +−=

ψ

21

222 '' yxn += ,

11

''ρyy =

2

시작시

11 )''(2sinn

yxxy −=ψ

2cosψ < 0, 종료시 2cosψ >0 이다 (예) 개기식의 始終시각 및 지점계산 T0 = 7.5h 이하는 시작시각에 대해서만 예를 보인다 x -0.683992 x’ +0.561428 y +0.736787 y’ +0.142998 d -12.72255 1ρ 0.996810

'1y 0.143456 11 / ρyy = = 0.739145

34

22n 0.335650

2

11 )''(2sinn

yxxy −=ψ = -0.885642

2cosψ -0.464369 t = +0.02665 h ∴ T = 7.52665h 이 시각에 대해 위의 계산을 반복한다

x=ξ -0.669030 d = -12.72218 y = +0.740598 μ = 289.33848

1ρ = 0.996810 1sin d = sin d / 1ρ = -0.220929

11 / ρyy = = 0.742968 = 1η 222 yxm += = 0.996087

222 yxm += 11 = 0.999603 θφξ sin1cos= = -0.669030

θφ cos1cos = 11 sin dη− = +0.164143 tan θ = -4.075897에서 θ = 283.7849°

θμλ −= = +5.554° 11 cos1sin dηφ += = 0.724609 에서

Ф1 = +46.436° 에서, Ф = +46.532° 라. 일식의 局地상황 계산 曆表서경 λ, 지심위도 Ф’, 타원체 중심에서의 거리 ρ인 지상관측자의 地心직각좌표 ξ,η,ζ는(지구적도반경 단위, 기준축은 x, y, z축과 동일),

θφρξ sin'cos= θφρφρη cossin'coscos'sin dd −= θφρφρζ coscos'cossin'sin dd += 로 주어진다

TΔ+= 0027379.1지리서경λ λμθ −=

이 들의 매시간당 변화량은, θφρμξ cos'cos'' +=

)coscos'cossin'sin('sinsin'cos'' θφρφρθφρμη dddd +−+= )cossin'coscos'sin('sincos'cos'' θφρφρθφρμζ dddd −+−=

또는, )cossin('' dd ζημξ +−+=

ζξμη 'sin'' dd −+= ηξμζ 'cos'' dd +−=

35

(여기서, 단위이다는 radd ','μ ) 지리위도 φ , 타원체에서의 높이 H(m)인 지점에 대해서는, tan u0 = 0.99664719 tan Ф

φφρ sin6378140

0sin99664719.0'sin Hu +=

φφρ cos6378140

0cos'cos Hu += 에서 지심좌표를 구한다

(예) φ = +44°24´12″ = +44.4033° 지리서경 = -33°59´48″ = -33.9967° ΔT = +36s, H= 346m라면, λ = -33.84629° u0 = 44.30711°

='sinφρ +0.69620010 ='cosφρ 0.71564482

1) 식이 최대인 순간(食甚) 구하기 식이 최대인 순간은 uu’ + vv’ =0 인 순간이다. 단, u = x – ξ, u’ = x’ – ξ’ v = y – η, v’ = y’ – η’ D = uu’ + vv’, 이라 하면, 222 '' vun +=근사시각, T0에 대한 보정치, t(hrs)는,

2nDt −

= 에서 얻는다

(예) 1961.2.15 일식의 上記지점에서의 식심시각 T0 = 8h 라 하면, λ = -33.84629° θ = μ – λ = 330.28592° ξ = -0.354725 η = +0.815935 ζ = +0.453059 μ’ = +0.2618326 ξ’ = +0.162741 d’ = +0.0002434 η’ = +0.0203334 ζ’ = +0.0907993

36

u = -0.048552, u’ = +0.398688 v = -0.007640, v’ = +0.122702 n2 = 0.174008, n = 0.417143 D = -0.0202945 t = +0.11663(h) 위 값은 제1근사치이므로, T0 +t = 8.11663h에 대한 값으로 다시 계산하면 더 나은 값을 구할 수 있다. (제2근사) T0 = 8.11663 여기에서는 大氣差도 보정해보기로 한다 x = -0.337798 y = +0.824978 d = -12.71395°, d’ = +0.0002434 μ = 298.18930°, μ’ = +0.261833 l1 = 0.538777 θ = μ – λ = 332.03559° ξ = -0.335582 η = +0.818242 ζ = +0.463365 ξ’ = +0.165501 η’ = +0.019225 ζ’ = +0.085911 관측자가 보는 해의 眞고도, h는,

ζφ ×−= )sin0066943850.01(sinh 2 이다. 따라서, h = +27.6°에 대한 대기차 보정치 1.000002를 ζηξ ,, 에 각각 곱하면 ξ = -0.335583 η = +0.818244 ζ = +0.463366 ξ’ = +0.165501 η’ = +0.019225 ζ’ = +0.085911이 된다 u = -0.002215, u’ = +0.395926 v = +0.006734, v’ = +0.123818 n2 = 0.171851, n = 0.414549 D = -0.0000432 t = +0.000251(h)

37

따라서, 식의 최대시각(TD) = 8.11688h가 얻어진다 b) 일식의 始終시각 계산 일식이 시작되거나 종료되는 순간에 대해서는, u2 + v2 = L12이 성립되므로, 근사시각, T0에 대한 보정시간, t는,

nvuuv )''( −

=Δ , 222 '' vun +=

L1 = 1tan1 fl ζ− , D = uu’ + vv’ 에서,

1sin

LΔ

=ψ

)(cos1 hrsnD

nLt −=

ψ 로 구한다.

L1은 항상 +이며, 일식시작시 ψcos < 0, 종료시 ψcos > 0 이다 (예) T0 = 08h라 하면, u = -0.048552, u’ = +0.398688 v = -0.007640, v’ = +0.122702

174008.0Δ = -0.006980, D = -0.0202945

2 =n , n = 0.417143

L1 = 0.536626 sin Ψ = -0.0130072 cos Ψ = 999915.0∓ 시작 종료 보정치(hrs) -1.1697 +1.4030 (제2근사) T0 6.6803 9.4030 x -1.059974 +0.384368 y +0.641039 +1.009036 d -12.73189 -12.69601 μ 278.89190 317.48730 l1 0.538685 0.538825 l2 -0.007402 -0.007262 x’ +0.561405 +0.561355 y’ +0.142942 +0.143121 d’ +0.0002433 +0.0002435 μ’ +0.261833 +0.261833 θ 312.73819 351.33359

38

ξ -0.525614 -0.107834 η +0.786119 +0.834665 ζ +0.320295 +0.537166 (대기차 보정은 생략한다) ξ’ +0.127165 +0.185240 η’ +0.030253 +0.006075 ζ’ +0.134430 +0.027747 u -0.534360 +0.492202 u’ +0.434240 +0.376115 v -0.145080 +0.174371 v’ +0.112689 +0.137046 n2 0.201263 0.160244 n 0.448624 0.400305 L1 0.537169 0.536353 Δ 0.006204 0.0046734 sin Ψ 0.011549 0.0087133 cos Ψ -0.999999 +0.999962 D -0.248389 +0.209021 보정치(h) +0.0368 +0.0354 따라서, TDT 6.8671 9.4384 고도계산 sin h 0.3198 0.5363 眞고도 18.65° 32.43° c) 중심식의 始終시각 계산 중심식의 시간은 기껏 몇분정도이므로, 제1근사시각으로 식의 최대시각,T = 8.11688을 이용한다

T에 대한 보정시간, t = 2cos2

nD

nL

−ψ (hrs)이다

여타의 공식은 半影에 대한 것과 동일하지만, L1 대신에 L2를 씀에 유의. 개기식의 시작과 금환식의 종료시에는 cos Ψ > 0, 개기식의 종료와 금환식의 시작시에는 cos Ψ < 0 이다

중심식의 半계속시간 = n

L ψcos2 (hrs) 이다

(예) T = 8.11688에 대해,

39

x = -0.337657 , y = +0.825013, d = -12.71395 μ = 298.19305, l2 = -0.0073105, x’ = +0.561427, y’ = +0.143043 d’ = +0.0002434, μ’ = +0.261833 θ = 332.03934, ξ = -0.335541, η = +0.818247, ζ = +0.463386 ξ’ = +0.165507, η’ = +0.0192228, ζ’ = +0.0859007 u = -0.002116, u’ = +0.395920, v= +0.006766, v’ = +0.123820 L2 = -0.0094927, n2 = 0.172084, n = 0.414830 Δ = -0.0070892, sin Ψ = +0.746805 시작 종료 cos Ψ +0.665043 -0.665043 D 0 0 보정치(h) -0.01522 +0.01522 제1근사시각 TDT 8.1017 8.1321 필요시 이 값들로 逐次계산을 하면된다 개기식의 半계속시간 = 0.913m, ∴ 개기시간 = 1.83m d) 접촉점의 북극기준 위치각(Q) 계산 일식 시작 일식 종료 T 6.8671 9.4384 u -0.53436 +0.49220 v -0.14508 +0.17437

vuQ =tan 에서

Q 254.8° 70.5° (천정기준 위치각, V 구하기) ξ -0.5256 -0.1078 η +0.7861 +0.8347

ηξ

=Ctan 에서

C 326.2° 352.6° V = Q – C 288.6° 77.9° e) 蝕分(Magnitude) 계산 식분은, 식의 최대순간에, 달에 의해 가려지는 해의 직경의 비율(해의 직경=1)로 정의된다

40

그 지점에서 부분일식일 때의 식분, M1 = )21()1(

LLmL

+− (단, m2 = u2 + v2)

그 지점에서 중심식일 때의 식분, M2 = )21()21(

LLLL

+− 로 구한다

예에서는 중심식이므로, T = 8.11688에서 l1 = 0.538777, L1 = +0.536584, L2 = -0.0094927에서 M2 = 1.0360(1이상일 경우는 개기식이라는 의미이다 제7제. 월식현상 계산방법 월식(lunar eclipse)은, 지구의 그림자속으로 달이 들어감으로써 달이 가리워지는 현상이다. 즉, 해에 의해 생기는 지구의 本影내로 달이 들어오는 현상인 것이다. 이 때에는 해-지구-달의 순으로 거의 일직선이 되지 않으면 안되므로 월식은 望일때에, 해가 지구의 궤도면과 달의 궤도면의 교점부근에 있어야만 일어나게 된다. 일식과 마찬가지로 달의 궤도와 해의 궤도가 기울어져 있는 관계로 每 定望때마다 월식이 일어나지는 않는다. 달의 일부분만이 本影내로 들어 올때에는 부분월식이, 전부가 들어올 때에는 개기월식이 된다. 지구에는 대기가 있으므로 지구 본영의 윤곽은 뚜렷하지 않아, 월식이 시작되고 끝나는 시각을 정밀히 측정할 수는 없다. 이것은 배율이 큰 망원경으로 쓸수록 심해지는 데, 따라서 월식의 시각을 0.5 min of time 이내의 정확도로 측정하는 것은 대단히 힘들다. 월식은, 식이 있는 동안에 달이 지평선보다 위에 있는 지상의 모든 지점에서 보이고 또 동일한 樣相을 나타낸다. 달이 지구의 半影속에 들어올때에는 반영월식이 일어나는 데, 반영에 의해 달빛이 희미해지는 정도는 매우 경미해 거의 알아차릴 수가 없을 정도여서 반영월식은 거의 관측되지 않는다. 옛기록에서도 반영월식일에 月當食不食이란 기록을 남긴 것이 다수 보인다 따라서, 반영월식은 월식에서 제외시키는 것이 보통이다. 월식의 계산방법은 일식에 비해 매우 간단하며, 여타의 여러 문제점 때문에 큰 정밀도로 구해 보아야 별의미가 없으므로 보통 0.1 min of time단위까지만 예보한다. 1. 월식의 食한계 월식의 경우도 일식처럼 食한계가 있다. 定望(달과 해의 시황경차가 180°인 순간)일 때, 달의 地心視黃緯 > 1° 36.6´ : 반영월식조차 없음(지구상 어디에서도) 1° 26.3´ ≤ 시황위 ≤ 1° 36.6´ : 반영월식여부 불확실(별도 정밀계산 요함)

41

1° 03.8´≤ 시황위 < 1° 26.3´ : 반영월식만 있음 0° 53.4´≤ 시황위 < 1° 03.8´ : 반영월식은 있으나 월식여부 불확실(별도 정밀

계산 효함) 0° 32.2´≤ 시황위 < 0° 53.4´ : 부분월식만 있음 0° 21.8´≤ 시황위 < 0° 32.2´ : 월식은 있으나 개기월식인지는 불확실(별도 정

밀계산 요함) 시황위 < 0° 21.8´ : 개기월식 있음

으로 주어진다(자세한 계산근거는 다른 서적들을 참조). 2. 계산방법 여기에서는 1979.9.6의 월식을 예로써 설명한다. 가. 월식여부의 판별 월식여부를 알기위해서는 먼저 定望의 시각을 알 필요가 있다. 여러가지 방법이 있으니 각자 공부하면 된다. 첨부한 엑셀파일도 그 방법중 하나이니 필요시 이용할 것. 대략적으로 1979.9.6 10:59 TDT에 定望이다. 기준시각 11시 전후 2시간에 대해 해와 달의 황경과 달의 시황위값을 구한다 TDT 해의 시황경(°) 달의 시황경(°) 달의 시황위(°, 보정전) 달의 시황위(°, 보정후)주)

09 163.180918 341.999864 -0.325872 -0.325941 10 163.221315 342.633726 -0.384524 -0.384593 11 163.261712 343.267536 -0.443123 -0.443192 12 163.302110 343.901283 -0.501660 -0.501729 13 163.342509 344.534956 -0.560128 -0.560197 ㈜달의 시황위를 형태중심값으로 바꾸기 위해 달의 황위에 -0.25″를 한다 이 값들에서 定望의 시각을 구하면 9.6 10:59:25(TDT)이고 이 때 달의 시황위(보정후)는 -0.442622° = 26.557´이므로 월식이 일어남을(개기식인지는 아직 불확실하지만) 알 수가 있다 나. 월식요소의 계산 월식은 衝(定望)을 전후해 3시간씩이면 충분히 시작부터 끝날 때까지의 시간이 되므로 일단 기준시각을, 정수인 1979.9.6 11시로 잡고 그 전후 1시간 간격으로 3시간씩에 대해서 해와 달의 좌표를 구한다. 정확히 하려면 달에 대해서 형태중심치으로의 보정을 해야하나, 월식의 특성상 그냥 그대로 사용하기로 한다. 좌표계는 적도좌표계를 사용하였으며, DE406에 의한 값이다

42

시각(TDT) αs(°) δs (°) rs(AU) αm (°) δm(°) rm(km) 9.6 08 164.461766 6.624758 1.00797104 342.911774 -7.549203 357105.11 09 164.499326 6.609274 1.00796060 343.525437 -7.362061 357117.01 10 164.536885 6.593786 1.00795016 344.138537 -7.174098 357132.35 11 164.574442 6.578296 1.00793972 344.751071 -6.985340 357151.12 12 164.611997 6.562802 1.00792928 345.363040 -6.795813 357173.32 13 164.649551 6.547305 1.00791883 345.974442 -6.605544 357198.94 14 164.687104 6.531806 1.00790839 346.585278 -6.414560 357228.00 (기호) αs = 해의 지심 시적경 , δs = 해의 지심 시적위 , rs = 해의 眞지심거리

αm = 달의 지심 시적경 , δm = 달의 지심 시적위 , rm = 달의 眞지심거리 이제 각 시각에 대해서 월식계산에 필요한 요소를 계산한다. 08h에 대한 예를 보인다. 지구 그림자(이하 地影이라 함)는 지구가 球가 아니므로 완전한 원이 아니지만 실용상 지구의 평균반경을 쓸 수가 있으므로 위도 45°에 대한 반경을 사용하면, 달의 시차 πm은 π1 = 0.998340 πm 으로 대체할 수가 있다(실제관측에 의하면, 월식시 지구 그림자 本影의 편평율은 평균 1/102정도이나 월식마다 그 편차가 크다).

또한, 관측에 의하면, 지구대기탓에 地影은 501 정도만큼 커져보이는 것이 알려져 있으므로,

이를 감안하면, 달의 거리에서 地影의 시반경은, 반영에 대해서는 f1 = 1.02(π1 + ss + πs) 가 되고 본영에 대해서는 f2 = 1.02(π1 - ss + πs) 가 된다. (地影의 확대를 반영하기 위해 A. Danjon의 공식을 쓰는 나라도 있고, 최근에(1990) B.Soulsby는 편평률등을 더욱 정확히 감안하는 새로운 공식들도 유도해냈지만 월식의 특성상 五十步百步라 생각해 여기서는 전통적인 방법만 설명하기로 한다) 따라서, 달의 중심과 地影과의 각거리(L)는 서로 접하는 순간에 다음과 같은 값을 가지게 된다. 반영식의 시작 및 종료시에는 L1 = f1 + sm 월식의 시작 및 종료시에는 L2 = f2 + sm 개기월식의 시작 및 종료시에는 L3 = f2 - sm 08h에 대해 계산 해보면, πm = 1.023396(deg) , π1 = 1.021697(deg) f1 = 1.314348(deg), f2 = 0.774858(deg) L1= 1.593217(deg), L2 = 1.053727(deg), L3 = 0.495988(deg)이다

43

地影의 중심의 적경(a) 및 적위(d)는, 다음과 같이 주어진다 a = αs +12h, d = - δs 따라서 a = 344.461766 (deg), d = -6.624758 (deg) 다음 x, y값을 계산한다(충분한 精度의 근사식임). x = (αm – a ) cos δm = -1.5365573 (deg) y = δm – d + ε = -0.926847277(deg) 단, ε = 0.25(αm – a) sin 2d sin (αm – a) = -0.002402 (deg) => 이 ε값을 계산할 때 αm – a = 358.45008을 대입하는 것이 아니라 360을 차감한 -1.549992 (deg)를 써야함에 주의!. Ε는

항상 작은 양이므로 αm – a는 0도 근처의 값이 되게 적의 360의 배수를 가감해야 한다.

임의시각에 있어, 그림자와 달의 중심간의 角距離(m)는, m = 22 yx + 로 주어진다 定望의 순간에 가까운 시각 T0를 잡고 이 때의 x, y값을 x0, y0,라하고 x, y의 매시간당 변

화량을 x’,y’라 하면, 월식의 시작이나 종료순간에 대한 시각 T0 + t 는,

n2 = x’2 + y’2 , Δ = ± n1 ( x0 y’ - y0 x’) (Δ > 0) 에서

t = - 1/ n2 * ( x0x’ + y0y’) ∓n1 (L2 – Δ2)½ 에서 구할 수가 있다.

복부호중에 ‘-‘는 시작에, ‘+’는 종료에 적용한다. 08시부터 14시까지 매시각에 대한 요소값을 구하면 다음과 같다 TDT(h) x y L1 L2 L3 08 -1.5365573 -0.9268473 1.593217 1.053727 0.495988 09 -0.9658605 -0.7537333 1.592176 1.053680 0.495960 10 -0.3952294 -0.5804700 1.593122 1.053621 0.495924 11 0.1753179 -0.4070750 1.593055 1.053548 0.495882 12 0.7457663 -0.2335699 1.592976 1.053464 0.495831 13 1.3160959 -0.0599741 1.592884 1.053366 0.495774 14 1.8862906 0.1136931 1.592779 1.053256 0.495709 일식의 시종시각을 구하기 위해, T0 = 11h라 하고 계산하면, x = 0.175317936, y = -0.40707498, x’ = 0.570448354, y’ = 0.173505095 n2 = 0.355515343, Δ = 0.4404752에서, L1 = 1.593055, L2 = 1.053548, L3 =0.495882를 대입하여, 월식의 始終時刻의 제 1근사

치로 다음 값을 얻는다. 반영식 시작(TDT) = 8.34973308h, 종료 = 13.4849844h 월식 시작 = 9.312245297, 종료 = 12.52247213 개기식 시작 = 10.5353518, 종료 = 11.2993657h

44

이들 시각은 어차피 제1근사치이므로 제2근사치를 구하기위해 기준시각을 다음과 같이 잡아 다시금 해당시각에 대한 값으로 재계산을 한다 구분 반영식 월식 개기식 시작 종료 시작 종료 시작 종료 기준시 8.350 13.485 9.312 12.522 10.535 11.299 x -1.33681 1.59264 -0.787824 1.043479 -0.089985 0.345882 y -0.86626 0.024255 -0.699675 -0.142953 -0.0487704 -0.3552 x’ 0.5707 0.570195 0.570631 0.57033 0.57055 0.570448 y’ 0.173114 0.1736672 0.173263 0.173596 0.173395 0.173505 L 1.593202 1.592833 1.053662 1.053609 0.4959015 0.495867 n2 0.35566695 0.35528263 0.3556399 0.3554118 0.3555931 0.3555149 Δ 0.4409183 0.4408299 0.4406017 0.4406067 0.4404652 0.4404781 보정치(h) -0.000452 +0.0000145 +0.00000714 0.000708 0.000126 0.000305 시각 8.3495 13.4850 9.3120 12.5227 10.5351 11.2993 위의 시각은 TDT이므로 ΔT = TDT –UT의 관계에서 UT로 환산하여, 유효숫자를 고려한

최종결과치는 다음과 같다. 반영식의 시작(UT) 1979. 9. 6 8.336h 월식의 시작 9.298 개기식의 시작 10.521 개기식의 종료 11.285 월식의 종료 12.509 반영식의 종료 13.471h 식이 최대인 순간은 xx’ + yy’= 0 (∵ m이 최소인 순간이므로) 이어야 하는 조건에서, T0 에 대한 보정치 t는

t = = 200 )''(

nyyxx +− 에서 구한다. 역시 필요할 경우 逐次計算한다.

예에서는 T0 = 11로 하면, 제1근사치 = 10.917를 얻는 데, 이 시각에 대한 x= 0.1279625, x’ = 0.57055, y = -0.4214637, y’ =0.173395 , n2 = 0.35559313 따라서 제2근사치로 10.9172h(TDT)를 얻는다. 식의 최대인 순간의 蝕分은, 달의 직경=1로 하여 다음식으로 구한다

식분(D) = sm21 (L – m)

여기서 L은 본영에 대해서는 L2, 반영에 대해서는 L1의 값을 쓴다 여기서는 m = 0.4404612, sm = 0.278835, L2 = 1.053554, L1 = 1.593061이므로

45

본영의 식분 = 1.099, 반영의 식분 = 2.067을 얻는다. 달의 가장자리(limb)의 접촉점의 위치각 P(北點에서 동쪽으로 잰 각도)는 P = M +180°에

서 얻는다. 여기서 M = tan-1(

yx )이고 sin M과 x의 부호는 항상 같다.

월식의 상황에 따른 계산결과는 다음과 같다. 반영식의 시작시 57.057°, 종료시 269.127° 월식의 시작시 48.391°, 종료시 277.801° 개기식의 시작시 10.454°, 종료시 315.761° 이제, 주어진 시각에 달이 天頂에 있는 지점을 구해보겠다. 그 地心위도 = δm, 曆表西經 = 曆表視恒星時 – αm 에서 구한다. 지심위도(φ’)를 지리위도(φ )로 변환하기 위해서는 다음 공식을 쓴다. tan φ = 1.006740 tan φ’ 지리서경 = 曆表서경 – 1.002738 ΔT에서 역시 지리경도로 변환한다 위 예에서 계산한 결과는 다음과 같다. ΔT = +50.32sec 이고, 단위는 전부 deg of arc. 구분 반영식 월식 개기식 시작 종료 시작 종료 시작 종료 曆表 視항성시 110.07697 187.32038 124.55400 172.84636 142.95073 154.44512 지심위도 -7.4838 -6.5129 -7.3034 -6.6964 -7.0731 -6.8525 지리위도 -7.534 -6.556 -7.352 -6.741 -7.120 -6.898 지리서경 126.741 -159.161 140.627 -173.046 158.274 169.301 식심시각에 대해서도 계산해보면, 식심시에 달이 천정에 있는 지점은, 서경 163.787°, 남

위 7.048°임을 알수 있다. 3. 관측가능 여부 이를 알기 위해서는 해당 지점의 좌표를 먼저 알아야 한다. 대구(북위 35.928°, 동경 128.546°)에 대해 계산해 보겠다. 지평대기차는 34´으로 한다. sin φ’ sin δm + cos φ’ cos δm cos(曆表視恒星時 – 曆表西經 -αm) ≥ sin( πm -34´)을

만족하는 지점에서는 해당 상황이 보인다. 월식의 시작이 대구에서 보이는지 판단해 보자.

46

일단 대구의 曆表서경 = 지리서경 +1.002738ΔT에서 曆表서경 = -128.3358° 지심위도 = 35.745°. 월식 시작시에 대한, αm = 343.7167(deg), δm = -7.3034(deg), 역표시항성시 =

124.5540(deg), πm = 1.0233(deg)에서 좌변 = -0.08588, 우변 = +0.00797이므로 월식의 시작은 대구에서 보이지 않는다. 아직 달이 뜨기 전이군….. 다른 시각에 대해서도 마찬가지로 판단해볼 수 있다. 다른 방법으로는, 각 시각에 대한 달의 고도를 구해 고도가 0°이상인지 판단해 보아도 된

다(이 방법을 더 추천한다). 고도 h는 다음 식에서 구한다. sin h = sin φ’ sin δm + cos φ’ cos δm cos(曆表視恒星時 – 曆表西經 - αm) 월식시작시 h= -4.9267° 이것은 지심시고도(실제로는 眞고도)이므로 관측지의 측심시고도로 고쳐야 한다. 視差에 의한 시차효과(p)는 sin p = ρ sin πm cos h에서 구할 수 있다. ρ = 0.9983271 + 0.0016764 cos 2φ -0.0000035 cos 4φ 에서 구해지는 관측자의 지심반

경(해면기준, 지구적도반경=1 기준) = 0.998852에서 p = 1.0183(deg) , 따라서, 측심시고도 = -4.9267 – p = -5.945°. 따라서, 관측측심 視고도는 -5.38(deg, 대기차 감안후) 즉 달이 뜨기 전이므로 월식의 시

작은 대구에서 안보인다는 것을 알 수 있다. 4. 정리 계산결과를 정리하여 다른 데이터와 비교해보자 1979.9.6 월식의 진행상황(UT) 반영식의 시작 9.6 08:20.2 위치각 57.1도, 달이 천정인 지점 남위 7.53, 서경 126.74도 월식의 시작 09:17.9 위치각 48.4도, 달이 천정인 지점 남위 7.35, 서경 140.63도 개기의 시작 10:31.3 달이 천정인 지점 남위 7.12, 서경 158.27도 식의 최대 10:54.2 식분 1.099, 달이 천정인 지점 남위 7.05, 서경 163.79도 개기의 종료 11:17.1 달이 천정인 지점 남위 6.90, 서경 169.30도 월식의 종료 12:30.5 위치각 277.8도, 달이 천정인 지점 남위 6.74, 동경 173.05도 반영식의 종료 13:28.3 위치각 269.1도, 달이 천정인 지점 남위 6.56, 동경 159.16도 (관측치, J.Ashbrook, 1980 분석치) 월식의 시작 09:17.78 (O-C = -0.1m) 개기시작 10:31.13 ( -0.2) 개기종료 11:16.86 (-0.2) 월식의 종료 12:30.23 (-0.3)

47

(Ephemeris Tool light 3.274L) 반영식의 시작 9.6 08:20 달의 고도 -17.2°(대구기준) 월식의 시작 09:18 -5.9° 개기의 시작 10:31 +8.4° 식의 최대 10:54 식분 1.095, 고도 12.6° 개기의 종료 11:16 고도 16.7°

월식의 종료 12:29 고도 29.4° 반영식의 종료 13:27 고도 37.9° (skymap pro v. 10.0.5) Total Eclipse of the Moon Site information Latitude: 35° 55' 41" N Longitude: 128° 32' 44" E Height above sea level: 0 metres Time zone: 0h ahead of UTVisibility The eclipse is partially visible from this location. Circumstances of the Eclipse Moon enters penumbra: 1979 9 06 08:20:07Moon enters umbra: 1979 9 06 09:17:52Start of totality: 1979 9 06 10:31:15Maximum eclipse: 1979 9 06 10:54:11End of totality: 1979 9 06 11:17:06Moon leaves umbra: 1979 9 06 12:30:29Moon leaves penumbra: 1979 9 06 13:28:16Magnitude and Duration Umbral magnitude: 1.099 Penumbral magnitude: 2.067 Duration of total phase: 0h 45m 51sDuration of umbral phase: 3h 12m 37sDuration of penumbral phase: 5h 8m 9s Moon's Altitude Moon enters penumbra: -17.3°

48

Moon enters umbra: -6.0° Start of totality: 8.3° Maximum eclipse: 12.6° End of totality: 16.8° Moon leaves umbra: 29.5° Moon leaves penumbra: 38.0° Position Angles Position angles, measured from the north point of the Moon's disk First contact of penumbra: 57.1° First contact of umbra: 48.4° Last contact of umbra: 277.8°Last contact of penumbra: 269.1°Moon in the Zenith The Moon is in the zenith at the following geographical positions Moon enters penumbra: 07°29'S 126°44'WMoon enters umbra: 07°18'S 140°37'WStart of totality: 07°04'S 158°16'WMaximum eclipse: 07°00'S 163°47'WEnd of totality: 06°56'S 169°18'WMoon leaves umbra: 06°42'S 173°03'E Moon leaves penumbra: 06°31'S 159°10'E (별첨) 자세한 계산은 첨부한 “월식계산.xls”파일 참조

제8제. 掩蔽현상 계산방법 食(eclipse)이란, 한 천체가 다른 천체에 의해 가리워지는 현상을 통칭하는 말이다. 食은 크게 두가지로 나눌 수 있는 데, 가리워지는 천체가 스스로 빛을 내는 경우와 반사광에 의해 빛나는 경우이다. 앞의 경우는 日食이 대표적 인 데, 그밖에 스스로 빛나는 천체의 시반경이 이를 가리는 천체의 것보다 매우 작은 경우에는 掩蔽(Occultation)라 부르고, 반대로, 가리는 천체의 시반경이 매우 작은 경우에는 通過(Transit)라 부른다. 대표적인 것이 수성, 금성의 일면통과이다. 뒤의 경우에는 月食이 대표적인 것이다. 엄폐를 다시 분류하면, ① 달에 의한 항성의 엄폐, ② 달에 의한 행성의 엄폐, ③ 행성에 의

49

한 항성의 엄폐 , ④ 행성상호간의 엄폐로 나눌 수 있으나 이중 가장 일반적이고 빈번한 것은 ①이다. 일정한 장소에 있는 관측자는 평균하여 1년간 약 100개의 (달에 의한) 항성의 엄폐를 볼 수 있다. ④의 경우는 드물어, S.C.Albers(1979)에 의하면. 행성상호간의 엄폐는 지상의 고정된 한 지점에서는 200년마다 1회의 빈도로 보이며 지상전체로 볼 때는 50년당 1회정도 보인다고 한다. ②의 경우를 조사해보니, 중국은 고대로부터 明末까지 총 176회, 우리는 조선까지 총 66회의 기록이 있었다(이들 모두가 실제로 엄폐기록인 것은 물론 아니다) 위를 순차적으로 실례와 더불어 설명하기로 하겠다 1. 달에 의한 항성의 엄폐(恒星食이라고도 부른다) 달의 궤도인 白道의 對황도경사는 최대 5°20´06˝이고, 근지점에서 달의 최대시반경은 16´44˝, 그 最大地平視差는 61´29˝이므로, 이를 고려할 경우 달의 上緣 또는 下緣의 황위는 최대로 6°38´19˝에서 변동된다. 따라서 황위 ± ± 6°38´19˝내에 있는 항성들만 달에 의한 엄폐가 일어날 수가 있다. 황도경각 23.4°를 더하면, 30° 정도의 적위에 있는 별만이 지상에서 엄폐가 관측될 수 있는 것이다.

±

이 목적을 위해 적위 30° 이내의 항성표를 별도로 작성한 것중 가장 대표적인 것이 ±J.C.Hammon의 Catalogue of zodiacal Stars이다. 이 범위에 드는 항성들중 1등성은 Aldebaran, Regulus, Spica, Antares 4개뿐이고, 2등성은 β Tau, σ Sgr 2개뿐이다. 2등성의 엄폐는 매우 드물게 일어난다. 항성엄폐의 계산은, 일식의 경우의 해 대신에 항성을 대입하여 계산할 수 있지만, 항성은 무한대의 거리에 있다고 할 수 있어, 그 지평시차(최대 0.00001˝) 및 시반경(최대 0.033˝)을 0으로 간주할 수 있다. 따라서 계산은 상당히 간단해진다. 달의 중심과 별을 잇는 직선에 수직이고 지구의 중심을 지나는 평면을 기준면으로 想定하면, 이 면위에 그려지는 그림자는 달의 크기와 같은 원이 된다. 그림자의 원기둥이 지표면과 만나는 교선내에 있는 관측자는 엄폐를 보게된다(해의 고도, 별의 밝기, 달과 별과의 접촉점의 위치등에 따라 실제로 관측할 수 있는지는 엄밀히 검토해볼 필요는 있다) 항성이 달에 가리워지는 때를 潛入, 달의 뒤쪽에서 나타나는 때를 出現이라 한다. (실례) 1941.9.12 보이는 θ1 Tau의 엄폐계산 엄폐계산을 위해서는 일식의 경우처럼 엄폐의 Bessel요소를 계산할 필요가 있다. 항성과 달의 적경의 地心合의 시각에 대한 다음 값들이 엄폐의 베셀요소이다.

50

T0 = 적경의 지심합의 TDT H0 = T0에서 별의 曆表時角 = 역표 시항성시 – 항성의 시적경 Y0 = T0 에서 y의 값 x’ , y’ = x, y의 한시간당 변화량 αs, δs = 그 때의 항성의 적경, 적위 (아래 참조할 것) 관측지 지리좌표는 , 114.3625°E, 30.0333°N, 표고 100m, ΔT = +25.16s로 한다 먼저 대략의 赤經의 지심합의 시각을 알아야 한다. 여기에는 여러가지 방법이 있으니 각자 알아서 대략의 시각을 찾아내야 한다. 아래 데이터에서 정확히 계산해보면 1941.9.12 16.74279(TDT)에 적경의 地心合이 된다. 따라서 기준시각을 16시로 잡고 전후 2시간씩에 대해서 매시간마다 달과 항성의 視座標를 계산한다 항성의 데이터는 다음과 같다 θ1 Tau J2000.0의 평균위치 α = 4h28m34.50s , δ = +15°57´43.85″, μα = +0.103″/yr, μδ = -0.027″/yr

π = 0.038″, vr = +39.5km/s TDT αm δm Δm αs δs 14 64.943196 16.305826 404126.87 66.311206 15.832786 15 65.422485 16.375772 404072.54 66.311211 15.832786 16 65.932255 16.444509 404016.02 66.311217 15.832787 17 66.442510 16.512030 403957.31 66.311222 15.832787 18 66.953251 16.578330 403896.41 66.311228 15.832788 (주) 添字 m은 달, s는 별을 의미한다. 각도의 단위는 deg of arc, 거리는 km이다 달은 형태중심의 값으로 보정된 것으로 가정한다 각시각에 대한 曆表視恒星時도 계산한다 TDT 曆表視恒星時(deg) 14 201.18169 15 216.22276 16 231.26383 17 246.30490 18 261.34596 이제 표고를 감안한 관측지의 지심위도를 구한다. 계산하면 지심위도(φ’) = 29.8668262 (deg)이다.

51

ρ sin φ’ = 0.49757791, ρ cos φ’ = 0.86647505, 관측지의 曆表西經 (ω ) = -114.25738(deg)도 구한다

(曆表서경 = 지리서경 +1.002738 ΔT의 관계가 있다) 地心을 지나고 항성과 月心을 잇는 선에 수직인 면을 기준면으로 하면, 기준면과 적도면의 교점중 동쪽방향을 x 축의 양의 방향, 이 것에 직각인 북쪽방향으로 y축의 양의 방향을 잡으면 이 좌표계에 대한 달의 좌표는, x = cos δm sin(αm- αs) Δ /6378.137 y = [sin δm cos δs – cos δm sin δs cos(αm- αs)] Δ /6378.137 로 주어진다 x, y의 매시간당 변화량을 x’,y’라 한다. 각 시각에 대해 이들을 계산하면 다음과 같다 TDT x x’ y y’ 14 -1.48367 + 0.52805 15 -0.94278 0.54090 0.60237 0.07432 16 -0.40182 0.54095 0.67664 0.07427 17 +0.13914 0.54096 0.75086 0.07422 18 0.68007 0.54093 0.82501 0.07415 x=0이 되는 순간이 달과 항성의 시적경의 지심합의 시각이므로, 계산하면, 지심합의 시각(TDT, T0) = 16.74279가 된다. 이 시각에 대해서, y0 = 0.73177, x’ = 0.54095, y’ = 0.075091, αs = 66.31122(deg), δs = 15.832787(deg), 역표시항성시 = 242.43619(deg)를 얻는다. 이 시각에 대한 항성의 曆表時角(H) = 역표시항성시 – αs = 176.12497(deg), 항성의 曆表지방時角(h0) = H – ω = 290.382350(deg)를 가지고 , 관측지에서 본 달과 별의 測心합의 순간의 근사치를 계산하기 위해 다음 양을 구한다 가. 측심합의 시각 계산 ξ0 = ρ cos φ’ sin h0 = -0.8122245 ξ0’ = 0.26252 ρ cos φ’ cos(4 h0/3) = +0.20234017 t = ξ0 /( x’ - ξ0’) = -2.3987 이 t(단위: hrs)가 T0에 더할 보정치이고 따라서 측심합의 시각(TDT)= 14.3441이 된다. 이 결과의 최대오차는 2-3 min of time 정도이다 나. 잠입 및 출현시각 계산 14.3441에 대한 다음 양을 계산한다.. 여기서 t0는 t를 항성시단위로 고친것이다

(t0 = t * 1.002738의 관계가 있다) t0 = -36.0790(deg)에서

52

h= h0 +t0 = 254.30335(deg) ξ = ρ cos φ’ sin h = -0.83416 η1 = ρ sin φ’ cos δs = 0.47870 η2 = ρ cos φ’ sin δs cos h = -0.06396 η = η1 – η2 = 0.54266 ξ’ = 0.26252 ρ cos φ’ cos h = -0.06154 η’ = 0.26252 ξ sin δs = -0.05974 x = -1.29750, x’ = 0.54092 y = +0.55364 , y’ = 0.07433 m sin M = x – ξ = -0.46334 m cos M = y – η = 0.01098 n sin N = x’ – ξ’ = 0.60246 n cos N = y’ – η’ = 0.13407 여기서 값을 구하면, M = -88.64221(deg), m =0.46347, N = 77.45351(deg), n= 0.61719 sin Ψ = 3.66985 m sin (M-N) = -0.40862 (-90° <Ψ <+90° ) 이상에서, τ = -60 m cos(M-N) / n 16.35 cos Ψ / n 및 ∓이의 보정치, δτ = +0.0005742 τ2 [η2 cos(N Ψ) – ξ sin (N ∓ Ψ)]/( n cos Ψ)를 계산한다. ∓복부호는 잠입시에 -, 출현시에 +를 쓴다. τ 와 δτ는 시간의 분단위 값이다. 계산하면, 잠입시 τ = +19.5128(분), 출현시 τ = +67.9138(분)이다. 잠입시 보정치 δτ = +0.3221(분), 출현시는 +2.9662(분)이므로, 최종 제1근사치로써, 잠입은 14.6747(TDT) = 14.6677(UT) 출현은 15.5254(TDT) = 15.5184(UT)를 얻는다 검산은 다음과 같이 하면 된다(여기서는 생략함) 각각의 최종결과시각에 대해, ξ, η, x, y를 계산하여,

22 )()( ηξ −+− yx = 0.2725를 만족시키면 그 것은 정확하다. m sin(M-N) > 0.2725이면 그 지점에서는 엄폐가 보이지 않는다 각각의 제1근사치의 시각을 가지고 위의 계산을 반복하면, 더 정확한 시각을 얻을 수 있다. 계산해보면(생략), 잠입시 보정치 = +0.06420 + 0.00000 = +0.06420(min)

53

출현시 보정치 = +0.42975 + 0.00014 = +0.42989(min) 이 값을 위의 제1근사치에 더해 제2근사치로 다음 값을 얻는다. 잠입 14.6758(TDT) = 14.6688(UT) 출현 15.5326(TDT) = 15.5256(UT) 다. 위치각의 계산 접촉점의 위치각(달의 가장자리의 北點에서 동쪽으로 잰 각도. 月心에서 항성까지 이은 선 기준)은 다음과 같이 계산한다. 잠입시 P = N – Ψ + δP 출현시 P = N + Ψ + δP +180° 여기서 δP = 0.002013 τ∓ 2 ( η2 sin N + ξ cos N) /cos Ψ (deg) 복부호중 –는 잠입시, +는 출현시 쓴다, τ는 위의 최종보정치(분단위)이다. 계산하면, 잠입시 δP = +0.04(deg), 출현시는 -2.33(deg)에서 잠입시의 P = 101.8(deg), 출현시 = 228.5(deg)를 얻는다. 이제 이 현상이 그 지점에서 보이는 지 확인하기 위해 視高度를 계산해보자. 먼저 항성의 眞高度(k)는 다음 식에서 구할 수 있다. sin(k) = sin φ sin δs + cos φ cos δs cos h h 는 항성의 時角이고 φ는 그 지점의 지리위도이다. 여기서 각각 계산하면, 잠입시, k = -1.41°, 출현시 = +9.66°를 얻는다. 대기차를 감안한 시고도는 다음과 같이 구한다. 시고도 = 진고도 + 대기차(R) 진고도 k (deg)일 때, 대기차는 다음식에서 구한다. R = 1.02 / tan( k + 10.3/(k+5.11)) (0 ≤ k ≤ 90에서 유효) (min of arc) 계산하면 , k= -1.41에서 R = 42.5´ k = +9.66에서 R= 5.6´ 여기서 k= -1.41일때의 값은 의미가 없으므로 k<0일때는 R = 34´으로 한다. 따라서, 잠입시 시고도 = -0.8° => 이 지점에서 잠입은 보이지 않음을 알수 있다 출현시 시고도 = +9.8° (결과 비교) 현상(UT) 계산치 Ephemeris tool 4.2003 winOccult 3.1.0 잠입 14:40.1 14:40.1 (안보여 자료출력 자동안함) 위치각 101.6 101.7 - 출현 15:31.5 15:31.5 15:31.5

54

위치각 231.0 230.8 231 시고도(°) 잠입시 -0.8 -0.4 - 출현시 +9.8 +9.7 10 자세한 계산데이타는 별첨의 “엄폐계산자료xls”를 참조할 것 2. 달에 의한 행성의 엄폐(行星食이라고도 부른다) 행성식은 지상전체로 볼 때는 빈번히 일어나지만 局地的인 상황은 그러하지 못하다. 행성식의 계산법도 항성의 경우와 원리상은 동일하나 실제로는 행성의 크기와 운동을 명확히 산입시켜야 하므로 일식의 계산방법에서 해대신에 그 행성의 시차 및 시반경을 대입시켜 계산해야 한다. 실제 계산예로써 이하 설명한다 (예) 1860.4.25 金星食의 局地豫報 관측지는 미국의 Albany로, 지리서경 73.77958°, 북위 42.65356°, 표고 70m, ΔT = +6.1s로 한다 먼저, 대략적인 적경의 합의 시각을 구해보면, 1860.4.25 02시경(TDT)이다. 이 날의 전후 2시간에 대해 달과 금성의 위치를 구한다. ±달의 위치는 형태중심치로 보정한 것으로 간주한다. ※ 정확히 말하자면, 달의 형태중심값을 구하기 위해서는, 구해지는 視黃經에 +0.38″, 視黃緯에 -0.19″ 정도의 보정을 가해 환산하여 시적경, 적위를 구해야 한다(이 보정치는, DE200기준으로, 일본의 水路局이 달에 의한 항성의 엄폐관측에서 1993년 구한 값이다) TDT αm δm Δm αp δs rp 00 78.341282 26.703472 384136.80 78.571188 25.977462 0.83095589 01 78.956491 26.713597 383992.25 78.619729 25.982373 0.83062903 02 79.572212 26.721068 383847.70 78.668264 25.987267 0.83030214 03 80.188414 26.725878 383703.13 78.716794 25.992142 0.82997521 04 80.805070 26.728021 383558.57 78.765319 25.996999 0.82964825 (주) 添字 m은 달, p는 행성을 의미한다. 각도의 단위는 deg of arc, 거리는 Δm은 km, r p

는AU이다 각 시각에 대한 曆表視恒星時도 계산한다 TDT 曆表視恒星時(deg) 00 213.22873

55

01 228.26979 02 243.31086 03 258.35193 04 273.39300 가. 베셀요소의 계산 이들 자료를 가지고 일식의 식에 적용하여 베셀요소를 다음과 같이 구한다. 0h TDT에 대한 예만 보인다. b= rm/r p = 0.003090171 (1 AU = 149597870km) a = αp -

)1( bb−

cos δm sec δp (αm – αp) = 78.5718962(deg)

d = δp - )1( b

b−

( δm – δp) = 25.9752116(deg)

g = 1 –b rm = Δ/6378.137 = 60.22708815 x = rm cos δm sin (αm –a) = -0.216557

y = rm sin (δm – d) cos 2 21

(αm –a) + rm sin (δm +d) sin2 21

(αm –a) = +0.765689

z = rm cos(δm – d) cos 2 21

(αm –a) - rm cos (δm +d) sin2 21

(αm –a) = 60.22183

μ = 역표시항성시 – a = 134.65683(deg) 금성의 반경 = 6051.9km = 4.0454453e-5 AU 달의 반경 = 1738.091km = 1.161842e-5 AU 에서 sin f = (행성의 반경 달의 반경) /(r p * g) ±

= ( 4.0454453e-5 1.161842e-5 )/( r p * g) ±복호중 +는 半影(외접), -는 본영(내접) 에 사용한다 반영의 첨자를 1, 본영의 첨자를 2로 하면, 금성에 대해서는, sin f1 = +0.0000520729 /( r p * g) = 0.0000628605 sin f2 = +0.000028836 /( r p * g) = 0.0000348098 (다른 행성에 대한 상수값은 첨부한 엑셀파일 참조할 것) 따라서 tan f1= 0.0000628605, tan f2 = 0.0000348098 c1 = z +

1sin2725076.0

f = 4395.338

c2 = z - 2sin

2725076.0f

= -7768.2467

56

l1 = tan f1 c1 = 0.276293 l2 = tanf2 c2 = -0.270411 매 시각에 대해 이들 값을 계산해 정리하면 다음과 같다 TDT x y d(deg) μ(deg) l1 l2 00 -0.216557 0.765689 25.97521155 134.65683 0.276293 -0.270411 01 +0.317061 0.771115 25.98010635 149.65110 0.276293 -0.270411 02 0.850658 0.776080 25.98499232 164.64538 0.276293 -0.270411 03 1.384189 0.780585 25.98986748 179.63967 0.276292 -0.270412 04 1.917612 0.784631 25.99473286 194.63396 0.276291 -0.270412 TDT tanf1 tanf2 00 0.000062860 0.000034810 01 62885 34824 02 62910 34837 03 62935 34851 04 62960 34865 나. 局地계산 해당지점의 지리좌표 및 ΔT에서 tan u = 0.9966472 tan φ u = 42.55768(deg)

ρ sinφ’ = 0.9966472 sin u + 6378137

)(m표고 sin φ = 0.67407195

ρ cosφ’ = cos u + 6378137

)(m표고 cos φ = 0.73660487

상황의 시종시각을 모르므로 제1근사치로 적경의 합시각부근인 0.4h(TDT)로 하여 다음을 계산한다 h = μ – 역표서경 = 140.65452 -73.805066 = 66.8494537(deg) 관측지의 지심직각좌표를 계산한다 ξ = ρ cosφ’ sin h = 0.677290 η = ρ sinφ’ cos d - ρ cosφ’ sind cos h = 0.479123 ζ = ρ sinφ’ sin d + ρ cosφ’ cosd cos h = 0.555589 대기차를 보정하기 위해 다음을 계산한다. 관측자의 眞천정거리 = cos -1 ζ = 56.25(deg) 따라서 眞고도 = 33.75(deg)이므로, 이 고도에 대한 대기차 보정치는(첨부한 엑셀파일 참조) 1.000001이다 이 값을 지심직각좌표에 곱하여 다음을 얻는다.

57

ξ = 0.677290 η = 0.479124 ζ = 0.555590 μ ‘ = μ의 시간당 변화량을 라디안단위로 고친 것 = 0.261700 d’ = d의 시간당 변화량을 라디안단위로 고친 것 = 0.000085 ξ’ = μ ‘ρ cosφ’ cos h = 0.075787 η’ = μ ‘ξ sin d – ζ d’ = 0.077589 이 시각의 l1 = 0.276293, tan f1 = 0.00006287에서 L1 = l1 – ζ tanf1 = 0.276258 다음 보조량들을 계산한다 u = x – ξ = -0.680400 u’ = x’ – ξ’ = +0.457833 v = y – η = 0.288791 v’ = y’ – η’ = -0.072117 n2 = u’ 2 + v’ 2 = 0.214812 n = 0.463478 Δ = (u v’ – u’ v) / n = -0.179404 D = u u’ + v v’ = -0.332337 sin ψ = Δ / L1 = -0.649407 여기서 cos ψ = 0.7604가 얻어지는 데, 시작시 -, 종료시 +를 쓴다. ±시작과 종료시각에 대한 보정치는 다음과 같이 구한다 (시작)

= n

L ψcos - D / n2 = +1.0938 (h)

(종료)

= n

L ψcos - D / n2 = +2.0004 (h)

이제 제1근사치로 시작은 1.4938h, 종료는 2.4004h(TDT)를 얻었다. (제2 근사치 계산) 시작 종료 x 0.580557 1.064295 x’ 0.533599 0.533542 y 0.773624 0.777939 y’ 0.004968 0.004551 μ(deg) 157.0553 170.64916 d(deg) 25.98252 25.98695 μ’ 0.2617 0.2617

58

d’ 0.00008528 0.00008512 h(deg) 83.25023374 96.84409374 (대기차 보정후) ξ 0.731502 0.731363 η 0.568015 0.644388 ζ 0.373135 0.216453 ξ’ 0.022657 -0.022972 η’ 0.083835 0.083846 l1 0.276293 0.276292 l2 -0.270411 -0.270411 tan f1 0.000062897 0.000062920 tan f2 0.000034830 0.000034843 u -0.150945 0.332932 u’ 0.510942 0.556514 v 0.205609 0.133551 v’ -0.078867 -0.079295 n 0.516993 0.562135 Δ -0.180176 -0.179179 D -0.093340 +0.174691 L1 0.276270 0.276278 L2 -0.270424 -0.270419 sin ψ1 -0.652174 -0.648546 sin ψ2 +0.666272 0.662599 cos ψ1 -0.758069(-값) +0.761176(+값) cos ψ2 +0.745709(+값) -0.748974(-값) ※ 본영에 대해서는 시작시 cos ψ2>0, 종료시 cos ψ2<0 되는 값을 쓴다 반영보정치(h) -0.0559 -0.1787 본영보정치(h) -0.0408 -0.1925 따라서 제2 근사치로 다음 값을 얻는다. 시작 1.4379 h(TDT) 내접시작 1.4530 내접종료 2.2079 종료 2.2217 이들 값을 가지고 제3 근사를 행하면 다음 값을 얻는다(첨부한 엑셀파일 참조) 최종치

59

시작 1.4378 h(TDT) 내접시작 1.4529 내접종료 2.2060 종료 2.2200 이들을 UT로 고치면 된다. 北點 기준 접촉점의 위치각 (P)는 P = N + Ψ +180 ° 에서 구한다. 여기서 tan N = u’ /v’이다 시작시는 P = 139.5, 종료시는 237.6°이다. 시고도를 구하기 위해 최종의 ζ를 이용하면 , 시작시 眞高度 = 22.50, 종료시 = 14.32°를 얻고 여기에 각각의 고도에 대한 대기차 2.4´과 3.8´를 더하면, 시고도로 22.5, 14.4°를 얻는다. 즉, 이지점에서 시작과 종료를 다 볼 수 있다. 물론 이것은 계산상의 결과로 실제로는 해의 고도 및 행성의 밝기에 따라 볼 수 있는지ᅟ여부가 결정될 것이다 다. 계산결과의 비교 이상의 결과를 다른 자료와 비교하면 다음과 같다(UT기준) 현상 계산치 WinOccult 3.1.0 EphemerisTool 4.2003 엄폐시작 01:26:10 01:26:38 01:26:37 시작시 시고도(°) 22.5 22 22.5 시작시 P(°) 139.5 140 132.5 내접시작 01:27:04 - - 내접종료 02:12:15 - - 엄폐종료 02:13:06 02:12:37 02:13:04 종료시 시고도(°) 14.4 14 14.4 종료시 P(°) 237.6 237 236.9 ㈜자세한 계산 데이터는 별첨의 “금성식계산.xls”를 참조할 것 WinOccult는 행성의 중심을 기준으로 계산된 값이다 3. 행성에 의한 항성의 엄폐나 행성에 의한 다른 행성의 엄폐의 경우는 매우 희소한 현상이므로 다루지 않겠다. 그러나 원리상으로 말한다면, 일식의 공식에 달 대신 행성으로 치환함으로써 마찬가지 방법으로 이들 현상을 계산할 수 있을 것이다. 행성상호간의 엄폐기록중 동양 最古의 것은, 302년 西晉에서 관측된 것으로 기록된, 十二月熒惑襲太白于營室이었다

60

중국기록에는 고대로부터 明말까지 총 16회의 행성상호간의 엄폐기록이 있고, 우리나라는 고려2회, 조선 2회 총4회에 불과하다. 우리나라 것은, 고려 明宗23년(1193) 3월정축(10일)辰星掩太白이 최초이다. 이들 모두의 엄폐기록이 실제로 엄폐현상이었던건 물론 아니다. 제9제. 각 행성의 북극의 위치 해를 제외하고는, M. E.Davies et al(1991)에 의한, 각 행성의 북극의 적경 및 적위. 전부, J2000.0 적도 및 분점기준치임

T = 36525

)2451545( −JD

1. 해의 북극의 적경, 적위(R.C.Carrington, 1863) α = 286.1300° δ = 63.8700° 2. 수성 α = 281.01° - 0.033° T δ = 61.45° - 0.005° T 3. 금성 α = 272.72° δ = 67.15° 4. 화성 α = 317.681° - 0.108° T δ = 52.886° - 0.061° T 5. 목성 α = 268.05° - 0.009° T δ = 64.49° + 0.003° T 6. 토성 α = 40.58° - 0.036° T δ = 83.54° - 0.004° T 7. 천왕성

61

α = 257.43° δ = -15.10° 8. 해왕성 α = 299.36° + 0.07° sin N δ = 43.46° - 0.51° cos N N = 357.85° + 52.316° T 제10제. 천체의 출입시각 계산법 1. 해 日出入의 순간은, 해의 중심의 眞천정거리가 90°50´이 되는 순간이다. 즉, 해의 겉보기원반의 中心의 地心眞고도가 -50´이 되는 순간으로 정의된다. (50´ = 지평대기차 34´ + 해의 시반경 16´) 이 때는, 해의 가장자리의 윗변이 視지평선에 오는 순간이다 위는 해면상에 대한 값이고, 관측자의 표고가 H(m)라면, 地心眞고도가 -50´ - 2.12´ H 가 되는 순간이 일출입시각이 된다. 2.12´ 는, 고도 H(m)상의 大氣差 = + 0.37´ H “ 眼高差 = + 1.75´ H 를 합한 값이다. 2.12´ 는 실제로는 H의 함수로 조금씩 감소하는 값이나, 5000m이하에서는 일정하며, 100km고도에서는 2.00이 된다 2. 달 달의 원반의 중심의 地心眞천정거리가 90°34´ + 시반경 – 지평시차인 순간이다. 즉, 달의 중심의 地心眞고도가 -34´ - 시반경 + 지평시차인 순간이다. 이 때는 달의 윗변이 視지평선상에 오는 순간이며, 달의 위상변화는 고려치 아니한다. 위는 해면상에 대한 값이고, 관측자의 표고가 H(m)라면, 地心眞고도가 -34 – 시반경 + 지평시차 - 2.12´ H 가 되는 순간이 월출입시각이 된다. 매달, 월출이 없는 날(하현 근처에서), 월입이 없는 날(상현근처에서)이 있다. 高緯度地方에서는, 출입이 없이 종일 지평선위에 있거나, 계속해서 지평선아래에 있을 수도 있으며, 하루중 달이 두번 뜨거나 두번 지는 날이 있을 수도 있다. 3. 항성및 행성의 경우 해당 천체의 중심의 地心眞고도가 -34´ - 2.12´ H 가 되는 순간이 출입시각이 된다 즉, 해당 천체의 중심이 視지평선상에 오는 순간이다

62

4. 박명(twilight) 시각의 정의 박명에는 세가지가 있다. 가. 시민박명 해의 중심의 地心眞高度가 -6°가 되는 순간. 청명한 상태에서는, 가장 밝은 항성(1등성)과 수평선 및 지평선이 또렷이 보이는 순간이다 나. 항해박명 해의 중심의 地心眞高度가 -12°가 되는 순간. 청명한 상태에서는, 수평선 및 지평선이 보이지 않는 순간이다 다. 천문박명 해의 중심의 地心眞高度가 -18°가 되는 순간. 청명한 상태에서는, 완전히 어두워져 6등성이 보이는 순간이다. 해로부터의 間接照度가 6 10 × -4 lux 정도로, 항성의 빛에 의한 것보다 작다 제11제. 日辰 및 요일 계산법 1. 日辰 일진은 율리우스통일을 먼저 구한 후 계산한다. 실례로 설명한다 (예11-1) 율리우스력 333.1.27의 일진 먼저 이 날 12시의 율리우스통일 = 1842713에서 1842713 60 = 30711...53 ÷나머지가 53이므로 기준인 계축일에서 53일 후인 丙午일이다 (예11-2) 그레고리력 1910.4.20의 일진 먼저 이 날 12시의 율리우스통일 = 2418782에서 2418782 60 = 40313...2 ÷나머지가 2이므로 기준인 계축일에서 2일 후인 乙卯일이다 2. 曜日 요일도 그날 12시의 율리우스통일을 먼저 구한 후 계산한다.

요일 수 = JD – 7 [ 7

)1( +JD ] N + 2

첨자 N은, 整數만 취한다는 의미이다. (예 11-3) 율리우스일 2451545일 때 요일 수 = 2451545 – 7 350220 + 2 = 7 ×

63

요일수 1이 일요일이므로, 이 날은 토요일이다 제12제. 달의 위치 계산법 1. 달의 지심황경 V, 지심황위 U, 眞지심거리 R을 먼저 구한다(예를 들면, ELP2000-85) 여기서 좌표는 달의 질량중심기준치이고, 거리는 지구와 달의 질량중심간 거리이다. 순간의 평균황도 및 분점에 대한 값으로, 光行差는 포함되지 않은 값이다 (예 12-1) 1986. 8.7 22h16m07s TDT JD = 2446650.4278587962963 에서 t = - 0.13400608189 V = 160.466436°, U = +3.422415°, R = 388150.6km 2. 광행차의 보정 V에의 보정치, ΔV = - 0.70286″ - 0.03812″ cos lb U의 보정치, ΔU = - 0.06314″ cos Fb R에의 보정치, ΔR = - 0.0708 sin lb (km) 여기서, lb = 134.96341138 + 477198.86763133 t Fb = 93.27209932 + 483202.01752731 t

t = 36525

)2451545( −JD 이고 TDT기준이다

따라서, 순간의 평균황도 및 분점에 대한 시황경 = V + ΔV 시황위 = U+ ΔU 시거리 = R+ ΔR 이 된다 (예 12-2) 위의 시각에 대해, lb = -63812.58708° = 267.41292° Fb = -64658.73699° = 141.26301° ΔV = -0.70114″ = -0.000195° ΔU = +0.04925″ = +0.000014° ΔR = +0.0707km 3. 평균적경 및 적위 계산(순간의 평균적도 및 분점에 대한 값) cos α cos δ = cos V cos U

64

sin α cos δ = cos ε sin V cos U – sin ε sin U sin δ = sin ε sin V cos U + cos ε sin U 에서 구한다. 여기서, ε = 황도의 평균경사각 = 23.43928 – 0.01300 t + 5.55 t710−× 3

- 1.4 t1010−× 4 (deg) 4. 眞황도좌표 계산 ΔΨ = 황경의 章動 Δε = 황동경각의 章動이라 하면, 眞황도경각 = ε + Δε 眞황경 Vt = V + ΔV, 시황경 = Vt + ΔV 진황위 Ut = U, 시황위 = Ut + ΔU (예 12-3) ΔΨ = -0.001535° , ε + Δε = 23.4433746° Vt = 166.464901° 5. 眞적도좌표(αt, δt) 계산 (순간의 眞적도 및 분점에 대한 달의 적경 및 적위값) cos αt cos δt = cos( V + ΔΨ) cos U

sin αt cos δt = cos (ε + Δε ) sin ( V + ΔΨ) cos U – sin (ε + Δε ) sin U sin δt = sin (ε + Δε ) sin ( V + ΔΨ) cos U + cos (ε + Δε) sin U 에서 구한다. (예 12-4) 위에서, αt = 10.8857555h, δt = +10.810665° 6. 視적도좌표 계산 위의 5 식에서 V 대신 V + ΔV, U 대신 U + ΔU 를 대입해서 구한다 (예 12-5) 시황경 = 166.464706° 에서 시적경 = 10.8857436h, 시적위 = +10.810752° 제13제. 世界時와 恒星時와의 관계 1982년의 IAU총회에서 채택한, 0h UT의 그리니치평균항성시(GMST) = 24110.54841s + 8640184.812866s T + 0.093104s T2 – 6.2e-6 T3

여기서, T = (JD -2451545) /36525이다 이 식을 T에 대해 미분하면, 36525일동안의 항성시의 秒수 ,s’ =

65

8640184.812866 + 0.186208 T – 1.86 e-5 T2을 얻는다 이 값을 36525로 나누면, UT(정확히는UT1)의 하루동안에 대한 항성시의 길이, s = 86636.55536790872 + 5.098097e-6 T -5.09e-10 T2 (sec)를 얻는다 s를 86400으로 나누면, UT1에 대한 평균항성시의 길이의 비, r’ = 1.002737909350795 +5.9006e-11 T -5.9e-15 T2 을 얻고,

역으로, 평균항성시에 대한 UT의 길이의 비, '

1r

=

0.997269566329084 – 5.8684e-11T +5.9e-15T2이 얻어진다. 따라서, 미세한 영년변화를 무시하면, 평균항성일의 길이 = 23h56m04.090524s (UT단위) UT의 하루의 길이 = 24h03m56.5553678s (평균항성시 단위)가 된다. ※ 항성일 = 分店이 上자오선을 두번통과하는 데 걸리는 시간. 정의상, 평균항성일은 지구의 對항성자전주기, P보다, 적경상의 1일동안의 세차인, 0.008417s + 5.1e-6s T 만큼 짧다 따라서, P에 대한 평균항성일의 비는, 0.999999902907 -5.9e-11T가 되고, 역으로 P는 1.000000097093 + 5.9e-11 T 평균항성일이 된다 UT1의 하루에 대한 P의 비 = 1.002737811906이 되고, P = 86164.09890369732 UT1 단위의 초가 되며, 자전율은 15.04106717866910″/sec가 된다 위의GMST 식은, 0h UT에 대해서만 유효한 식으로, 임의시각에 대한 그리니치평균항성시, θ는 다음과 같이 얻을 수 있다. JD를 그 순간에 대한 율리우스통일이라하면,

T = 36525

)2451545( −JD 에서,

θ = 280.46061837 + 360.98564736629(JD – 2451545) + 0.000387933 T2

- 38710000

3T (deg)

眞춘분점에 대한 視恒星時는, θ 에 ΔΨ cos ε 을 더하면 구할 수 있다. ΔΨ = 황경의 장동, ε = 眞황도경각 ΔΨ cos ε 를, 적경의 장동 또는 分點差라 부른다 (예 13-1) 1987.4.10 19h21m UT의 값 구하기 JD = 2446896.30625에서 T = -0.12727430 ∴ θ = 128.7378734° = 8h34m57.0896s 이 때의 ΔΨ = -3.788″, ε = 23°26´36.85″라 하면, 시항성시 = θ – 0.2317s = = 8h34m56.8579s가 된다

66

지방 視恒星時 = 그리니치 시항성시 + 지리동경 = 그리니치 視恒星時 – 지리서경 이다 제14제. 좌표계간의 상호변환방법 먼저, 다음과 같이 기호를 정의한다 α = 적경(춘분점에서 천구의 적도를 따라 동쪽으로 잰 각도) δ = 적위(천구의 적도에서 북으로 잰 각도) λ = 황경(춘분점에서 황도를 따라 동쪽으로 잰 각도) β = 황위(황도에서 북쪽으로 잰 각도) h = 고도(지평선에서 위쪽으로 잰 각도) A = 방위각(남쪽에서 지평선을 따라 서쪽으로 잰 각도, 정남 = 0°, 정서 = 90°, 정북 =

180°, 정동 = 270°...) ε = 황도경각(황도와 천구의 적도가 이루는 각) φ = 관측자의 지리위도(북반구가 +) H = 관측자의 지방 時角(남쪽에서 서쪽으로 잰 각도) = θ – α = θ0 – L - α θ = 지방항성시 θ0 = 그리니치 항성시 L = 관측자의 지리경도(서경이 +) 1. 적도좌표를 황도좌표로 변환

tanλ = α

εδεαcos

sintancossin +

sin β = sin αεδεδ sinsincoscos − (예 14-1) Pollux의 J2000.0 분점 기준 적도좌표 α = 7h45m18.946s = 116.328942° δ = +28°01´34.26″ = +28.026183° ε = 23.4392911° 에서 λ = 113.215630° β = +6.654170° (J2000.0 분점기준치) 2. 황도좌표를 적도좌표로 환산

=αtan λ

εβελcos

sintancossin −

δsin = λεβεβ sinsincoscossin + 3. 적도좌표를 地平좌표로 환산

67

tan A = Φ−Φ costansincos

sinδH

H

sin h = sin φ sin δ + cos φ cos δ cos H (예 14-2) 1987. 4.10 19h21m UT에서 L = +77°03´56″, φ = +38°55´17″ 에서 금성의 고도 및 방위각 계산 이 때의 금성의 地心시적도좌표는, α = 23h09m16.641s δ = -6°43´11.61″ 19h21m의 평균항성시 = 8h34m57.0896s, 황경의 장동, ΔΨ = -3.868″ 진황동경각, ε = 23°26´36.87″ 따라서, 그리니치 시항성시, θ0 = 8h34m56.853s 관측지에서 금성의 時角, H = - 19h42m35.488s(L = +5h08m15.7s) = +64.352133° 따라서, A = +68.0337°, h = +15.1249° 고로, 금성은 지평선위 15.1°, 대략 서남서방향에 있다 이 값은, 대기차, 眼高差, 행성의 시차등을 고려하지 않은 지심값이다. 정확히 하려면, 아래와 같은 값을 보정해야 한다. 1) 大氣差(refraction) 眞高度 h(deg)에서 대기차 = 시고도 –진고도

= )

11.53.10tan(

02.1

++

hh

+ 0.0019279 (min of arc)

위의 대기차 값은 1010mb, 10℃에 대한 값이므로, 임의 p 기압, T℃ 온도에 대해서는 위

값에다가 T

mbp+

×273

2831010

)( 를 곱해주면 된다

예에서는 , h = +15.1249° 에서 대기차 = 0.29´ = 0.0048° ※ 대기차는 방위각에는 영향을 미치지 않는다 2) 眼高差(the dip of the horizon) 고도 H(m)에서의 대기차 = 지상 대기차 + 0.37´ H 고도 H(m)에서의 안고차 = + 1.75´ H 合, + 2.12´ H 의 영향이 있다. 예에서 H = 100m라면, 21.2´ = 0.353° 만큼 고도가 높아진다 3) 천체의 視差(parallax)

68

赤道地平視差만큼, 행성의 測心시고도는 地心시고도보다 항상 낮다. A = 地心方位角 A’ = 測心방위각(관측자가 보는 방위각) ζ = 地心 천정거리 = 90 – h ζ’ = 測心 천정거리 = 90 – h’ φ = 관측자의 지리위도 φ’ = 관측자의 地心위도 π = 천체의 地心 적도지평시차 π’ = 천체의 측심 적도지평시차 Δ = 천체의 지심거리 (지구적도반경 단위, 1 AU = 23454.78 × 지구적도반경) Δ’ = 천체의 측심거리(지구적도반경 단위) ρ = 관측자의 地心거리(지구적도반경 단위) H = 관측자의 타원체상 고도(m) 라 하면, tan u = 0.996647187 tan φ

ρ sin φ’ = 0.996647187 sin u + 6378140

H sin φ

ρ cos φ’ = cos u + 6378140

H cos φ

sin Δ

=1π

sin '

1'Δ

=π 에서,

)'sin(cossin'cos'sin' φφρζζ −−Δ=Δ AA AA sinsin'sin'sin' ζζ Δ=Δ

)'cos(cos'cos' φφρζζ −−Δ=Δ 를 사용하여 측심방위각 및 고도를 구할 수 있다 (예 14-3) 위의 예에서, π = 12.15″라 할 때, φ = +38.92139°, u = +38.82737° ρ sin φ’ = 0.62488374, ρ cos φ’ = 0.77905075 ζ = +74.8751°, A = +68.0337° φ – φ’ = +0.09402°, ρ = 0.998699, sin π = 0.000058905, Δ = 16976.53

=Δ 'cos'sin' Aζ +6130.282 =Δ 'sin'sin' Aζ +15198.716

=Δ 'cos' ζ +4428.587 에서

69

A’ = +68.0337° (실제로 보정치는 +0.002″에 불과) =Δ 'sin' ζ +16388.452

='ζ +74.8784°에서 h’ = 90-74.8784 = +15.1216°(보정치는 -12″) 따라서, 관측자가 보는 지평좌표는, A’ = A = +68.0337° h’ = +15.1216°(시차를 고려한 고도) + 0.0048°(해면상 대기차) + 0.353°(고도 100m에 대한 대기차 및 眼高差) = +15.479° 가 된다 고도만 알고 싶을 경우에는, 충분한 근사식으로, sin p = ρ sin π cos h 에서 측심시고도 = h – p로 구할 수도 있다. 위의 예에서, ρ = 0.99869903, sin π = 5.8905e-5, h = +15.1249° 에서, p = +0.003254° = 11.71″, h’ = +15.1216° 가 얻어진다. π = 12.15″ 에서 금성의 Δ = 0.723797 AU, 따라서 Δ’ = 0.723786 AU 4. 지심적도좌표를 측심적도좌표로 변환 α, δ = 천체의 지심 적경 및 적위 α’, δ’ = 천체의 측심 적경 및 적위라 할 때, α’ = α + Δα , δ’= δ + Δδ인 Δα, Δδ 를 구하는 식은, π = 천체의 적도지평시차 H = 천체의 지심 時角 = 그리니치항성시 – 西經 – 地心적경 에서, tan Δα =

HH

sinsin'coscossinsin'cosπφρδ

πφρ−

−

tan δ’ = Hcossin'coscos

cos)sin'sin(sinπφρδ

απφρδ−

Δ− (δ’는 직접 구해진다)

에서 구한다 Δα는, 최대인 달의 경우에, ° 사이이다 2±(예 14-4) 2003.8.28 3h17m UT에, L = +7h47m27s, φ = +33°21´22″, H = 1706m에서 화성의 測心적도좌표 계산 ρ sin φ’ = 0.546861, ρ cos φ’ = 0.836339, 화성의 α = 22h38m07.25s = 339.530208° δ = -15.771083°, π = 23.592″, θ0 = 1h40m45s 에서 H = θ0 - L – α = +288.7958° Δα = +0.0053917° = +1.29s α’ = 22h38m08.54s δ’ = -15°46´30.0″ 또, 측심 時角, H’는,

70

tan H’ = πφρδ

δsin'coscoscos

sincos−H

H 에서 얻어진다

따라서, H’= -71.2096° = +288.7904° 제15제. 천체간의 角距離 적도좌표가 (α1, δ1) (α2, δ2)인 두천체간의 角距離, d는 Δα = α1 – α2 Δδ = δ1 – δ2라 할 때, hav d = hav Δδ + cos δ1 cos δ2 hav Δα 로 구한다.

여기서, hav θ = 2cos1 θ− 로 정의되는 각이다

(예 15-1) J 2000.0 기준의, α Boo α1 = 14h15m39.7s = 213.9154°

δ1 = +19°10´57″ = +19.1825° α Vir α2 = 13h25m11.6s = 201.2983° δ2 = -11°09´41″ = -11.1614°간의 각거리는, Δα = α1 – α2 = 12.6171° Δδ = δ1 – δ2 = 30.3439° hav d = 0.079683737, d = 32.7930° 제16제. VSOP87을 이용한 해 및 행성의 위치계산 1. 해의 위치 계산 VSOP87에서는 해의 위치를 계산하기 위해, 총 2425개의 주기항을 주고 있는 데, 이중 1080항은 황경, 348항은 황위, 997항은 動徑계산용이다. 지구의 日心황경을 L, 일심황위를 B, 동경을 R이라 하면, 해의 지심황경 = L +180°, 지심황위 β = -B이다( VSOP에 의해 정의되는, 순간의 분점 및 평균 역학적 황도 기준치)

Θ

1. FK5 준거계로의 변환 λ’ = - 황경상의 일반세차 = - 1.397° T – 3.1°e-4 TΘ Θ 2

T = ( JD – 2451545) / 36525 라 하면, Δ = -0.09033″ ΘΔ β = +0.03916″ (cos λ’ – sin λ’) 에서 구해지는 값을, 각각 Θ , β 에 더한다

71

2. 시위치 계산 해의 視黃經, λ = + ΔΘ + ΔΨ (황경의 장동) + 광행차 Θ광행차 = -0.005775518 R Δλ, R = 해의 動徑(AU) Δλ = 해의 지심황경의 1일당 변화량(arcsec/day)이다

τ = 10T 라 할 때,

Δλ ≒ 3548.330 + 118.568 sin (87.5287 + 359993.7286 τ) + 2.476 sin (85.0561 + 719987.4571 τ)

+ 1.376 sin (27.8502 + 4452671.1152 τ) + 0.119 sin (73.1375 + 450368.8564 τ) + 0.114 sin (337.2264 + 329644.6718 τ) + 0.086 sin (222.5400 + 659289.3436 τ) + 0.078 sin (162.8136 + 9224659.7915 τ) + 0.054 sin (82.5823 + 1079981.1857 τ) + 0.052 sin (171.5189 + 225184.4282 τ) + 0.034 sin (30.3214 + 4092677.3866 τ) + 0.033 sin (119.8105 + 337181.4711 τ) + 0.023 sin (247.5418 + 299295.6151 τ) + 0.023 sin (325.1526 + 315559.5560 τ) + 0.021 sin (155.1241 + 675553.2846 τ) + 7.311 τ sin (333.4515 + 359993.7286 τ) + 0.305 τ sin (330.9814 + 719987.4571 τ) + 0.010 τ sin (328.5170 + 1079981.1857 τ) + 0.309 τ2 sin (241.4518 + 359993.7286 τ) + 0.021 τ2 sin (205.0482 + 719987.4571 τ) + 0.004 τ2 sin (297.8610 + 4452671.1152 τ) + 0.010 τ3 sin (154.7066 + 359993.7286 τ)

이 식은 순간의 평균분점에 대한 값이고, sin 인수의 단위는 deg이다. 이 식의 최대오차는 0.1″이다. 이들 모든 보정을 마친 후의 λ의 오차는 0.001″이하이다. 황위의 광행차는 무시해도 되는 작은 양이다(0.000002″을 넘지않는다) (예 16-1) 1992. 10.13 0h TDT의 해의 위치 JD = 2448908.5에서 T = -0.072183436 L = +19.907372°, B = -0.000179° = -0.644″, R = 0.99760775 AU에서

72

Θ = 199.907372°, β = + 0.644″ λ’ = 200.01°, Δ = -0.000025°, Δβ = - 0.023″ Θ∴ = 199°54´26.449″, β = + 0.62″ ΘΔΨ = +15.908″, Δλ = 3563.366″ 에서 광행차보정치 = -20.531″ 따라서, 시황도좌표, λ = 199°54´21.83″, β = + 0.62″(그대로) R = 0.99760775 AU가 얻어진다 (순간의 황도에 대한 해의 황위는 1.2″를 넘지 않는다) 2. 행성의 위치계산 L = 행성의 일심황경 B = “ 일심황위 R = 動徑 (VSOP87에 의해 정의되는 평균 역학적 황도 및 순간의 分點 기준) L0 = 지구의 일심황경 B0= “ 일심황위 R0 = 動徑 (VSOP87에 의해 정의되는 평균 역학적 황도 및 순간의 分點 기준) 라 하면, x = R cos B cos L – R0 cos B0 cos L0 y = R cos B sin L – R0 cos B0 sin L0 z = R sin B – R0 sin B0에서 행성의 지심 황경 λ, 황위 β는,

tan λ = xy , tan β =

22 yxz+

에서 구한다(순간의 평균분점 및 황도에 대한 값)

여기에 光差(light-time)과 광행차를 보정하면 시위치를 얻는다 (a) 광차의 보정 t의 순간에 보이는 행성은 t – τ 전의 모습이다. τ = 0.0057755183 Δ (day)에서 구한다

여기서, Δ = 222 zyx ++ = 행성의 眞지심거리(AU) (b) 光行差의 보정 Δλ =

βλπκλκ

cos)cos()cos( −+−Θ− e

Δβ = ))sin()(sin(sin λπλβκ −−−Θ− e 여기서, e = 지구 궤도의 이심율

73

= 0.016708617 – 4.2037e-5 T -1.236e-7 T2

π = 지구궤도의 근일점황경 = 102.93735° + 1.71953° T + 4.6°e-4 T2

T = (JD -2451545) /36525 κ = 광행차상수 = 20.49552″ Θ = 해의 진황경 = L0 180°이다 ± λ, β를 FK5 기준의 황도 및 분점으로 바꾸기 위해서는, Δλ = -0.09033″ + 0.03916″ (cos L’ + sin L’) tan β Δβ = +0.03916″ (cos L’ – sin L’)의 보정치를 더해주면 된다. 여기서, L’ = λ – 황경상의 일반세차 = λ – 1.397° T – 0.00031° T2

여기에 황경의 장동, ΔΨ 및 황도경각의 장동, Δε을 가지고, 지심시황경 = λ + Δλ + ΔΨ 지심시황위 = β + Δβ 를 구한다. 행성의 離角(해로부터의 角距離), Ψ는 cos Ψ≒ cos β cos(λ – λ0)에서 구한다 여기서, λ, β는 행성의 시황경, λ0는 해의 시황경이다 (예 16-2) 1992. 12.20 0h TD의 금성의 시위치계산 JD = 2448976.5에서, L = 26.11428°, B = -2.62070°, R = 0.724603 지구의 L0 = 88.35704°, B0 = +0.00014°, R0 = 0.983824 x = +0.621746, y= -0.664810, z= -0.033134에서 Δ = 0.910845 τ = 0.0052606(days), Δ 는 계산순간의 금성의 眞지심거리이다 이제, JD – τ = JD 2448976.4947394에 대한 금성의 日心좌표를 구한다. L = 26.10588°, B = -2.62102°, R = 0.724604 이 것과 위의 지구값(지구값은 안바뀐다)에서 x = +0.621794, y = -0.664905, z = -0.033138, Δ = 0.910947, τ = 0.0052612(days), 다시, JD 2448976.4947388에 대해 계산하면, L = 26.10588°, B = -2.62102°, R = 0.724604를 얻는다(필요한 자리수가 얻어질 때까지 이 작업을 반복한다) 최종적으로, τ = 0.0052612(days), Δ = 0.910947(1992.12.20 0hTD인 순간에, 행성이 있는 것으로 보이는 거리. 즉, T-τ인 순간에 행성을 출발한 빛이 T 인 순간에 지구에 도달하

74

는 이동거리) λ = 313.08102°, β = -2.08474° (광차만 보정된 값) e= 0.016711573, π = 102.81643° 에서, Θ = 268.35704° Δλ = -14.868″, Δβ = -0.531″ 따라서 시황경, λ = 313.07689°, 시황위 β = -2.08489° (장동은 미보정) FK5 좌표계로의 변환치는, Δλ = -0.09027″, Δβ = +0.05535″ 이므로, λ = 313.07686°, 시황위 β = -2.08488° (장동은 미보정) ΔΨ = +16.749″, Δε = -1.933″, 진황도경각 = 23.439669°에서 장동보정후 λ = 313.08151° 따라서, 지심시적경 = 316.17291° = 21h04m41.50s 지심시적위 = -18°53´16.9″를 얻을 수 있다 제17제. 日面通過 계산방법 내행성인 수성과 금성은, 지구에서 볼 때, 때때로 탱야면을 가로질러 간다, 이 현상을 日面通過(Transit)이라 하는 데, 근대까지 해의 視差측정의 한 방법으로 이용되었다. 가. 수성의 경우 해가 수성의 교점을 통과하는 것은, 매년 5.8(승교점), 11.10(강교점)일 전후이므로, 이 무렵에만 수성의 일면통과가 일어나는 데, 수성은 태양흑점보다 더 새까만 小圓이 되어 지나가는 데, 크기가 해의 1/200정도로 망원경이 없이는 보이지 않는다. 최초로 관측된 것은, 1631.11.7 프랑스 파리의 P.Gassendi(1592-1655)에 의한 것으로, Kepler의 예언에 의해서였다. 매년 11월때는 5월때보다 해에 더 가까워, 일면통과시간은 5월의 대략 8시간보다 3시간 정도 짧지만, 통과회수는 더욱 빈번하다. 100년간 일어나는 일면통과회수는 5월에 평균 4회, 11월에 평균 9회, 총 13회정도이다. 내행성의 회합주기를 s, 지구의 對恒星공전주기를 E, 내행성의 對恒星공전주기를 P라 하면,

sEP111

=− 의 관계가 있으므로, E = 365.25636일, P = 87.96925일에서 s = 115.8775일이

된다. 이 s와 P의 比에서 생각하면, 같은 교점에서 일면통과가 반드시 일어나는 일면통과주기는 회합주기의 45배(공전주기의 191배)인 46년이 된다. 혹은 공전주기의 901배인 217년이나 1092배인 263년주기를 쓰면 더욱 확실하게 일면통과 날짜를 예측할 수 가 있다. 단, 이 사이에 윤년이 몇번이나 드느냐에 따라, 그 날짜는 다소간 차이가 날 수는 있다. 예를 들면, 1677.11.7의 일면통과 + 46년 = 1723.11.7(실제는 11.9), +217년 = 1894.11.7(실제는 11.10), +263년 = 1940.11.7(실제는 11.11)...

75

나. 금성의 경우 해가 금성 궤도의 교점을 지나는 것은, 매년 6.7(강교점)과 12.8(승교점)무렵이므로, 이 무렵에만 일면통과가 일어난다. 금성이 일면통과를 할 때의 시반경은 30″정도로, 해의 크기의 1/30정도여서 망원경이 없이도 볼 수 있다(물론 검은 유리등을 이용해야겠지만). 최초로 관측된 것은, 교회목사였던 J.Horrocks로, 日入 조금전에 본, 율리우스력 1639.11.24의 것이었다. 금성의 일면통과는 상당히 드물어, 한번도 일어나지 않는 세기(예를들면, 3세기, 9세기, 15세기, 20세기, 26세기, 32세기, 37세기등)도 있다. 일면통과의 최대가능시간은 약 8시간이다. 일면통과는 8년, 235년, 478년 주기가 있지만, 3번 연속 쓸수는 없다. 精度가 좋은 주기는 10751년이지만 너무 길다. 다른 계산에 의하면, 일면통과는 8년, 105.5년, 8년, 121.5년, 8년, 105.5년...의 주기로 일어난다. 예를 들면, 1518.6.2, 1826.6.1, 1631.12.7, 1639.12.4, 1761.6.6, 1769.6.3, 1874.12.9, 1882.12.6, 2004.6.8, 2012.6.5, 2117.12.10, 2125.12.8, 2247.6.11, 2255.6.9...순이다 일면통과의 계산법은, 달 대신에 그 행성으로 치환하여 일식과 마찬가지 방법으로 계산할 수 있으나(이 경우, 달의 k = 0.2725076대신에, 수성의 k = 0.38251, 금성의 k = 0.94885를 써야 한다), 양 천체의 시차가 작음을 감안한, J.Lagrange의 방법(1766)이 더욱 실용적이다. 이 방법은 0.1s 이상의 정확도를 주는 것으로 이하 이 방법으로 계산하는 법만을 실례로 설명하기로 한다 (예 17-1) 1861.11.12 수성의 일면통과 상황계산 우선, 양천체의 지심적경의 합의 시각을 구해야 한다. DE200으로 계산한 양천체의 지심좌표는 다음과 같다. 시각계는 TDT이다 TDT 시적경(d) 시적위(d) 지심거리 시적경(d) 시적위(d) 지심거리

5 227.684480 -17.636668 0.67631656 227.385767 -17.710420 0.989194696 227.631884 -17.607854 0.67640161 227.428182 -17.721723 0.989185187 227.579312 -17.579036 0.67649209 227.470604 -17.733016 0.989175678 227.526769 -17.550216 0.67658798 227.513032 -17.744301 0.989166179 227.474258 -17.521395 0.67668929 227.555465 -17.755577 0.98915668

10 227.421781 -17.492574 0.67679603 227.597905 -17.766844 0.9891472011 227.369342 -17.463756 0.67690820 227.640351 -17.778102 0.98913772

앞의 것이 수성, 뒤의 것이 해의 위치이다.

76

이 식에서, 지심시적경의 합의 시각이 1861.11.12 08h08m40.80s(TDT) = 8.144667h 임을 구할 수 있다(이 시각을 T0라 한다). 계산의 편리를 위해, 시각(t)에 대한 위의 값들을 다항식으로 구할 수가 있다. 수성의 시적경(α라 한다) = 229.947971 - 0.0527763 t +1.57619e-5 t2 (deg) 수성의 시적위(δ라 한다) = -17.780741 + 0.0288121 t +4.40476e-7 t2 (deg) 수성의 眞지심거리(Δ라 한다) = 0.67597265 + 5.52267e-5 t +2.71119e-6 t2 (AU) 해의 시적경(α’라 한다) = 227.173780 + 0.0423821 t +3.0357e-6 t2 (deg) 해의 시적위(δ’라 한다) = -17.65377429 – 0.0113514 t +4.4405e-6 t2 (deg) 해의 眞지심거리(Δ’라 한다) = 0.98924238 – 9.55595e-6 t + 3.8095e-9 t2 (AU) 역표 視恒星時(μ라 한다)도 마찬가지로 구하여, = 51.1059799 + 15.041065 t +1.1905e-7 t2 (deg) T0 때의 다음 값들을 구한다 α = 227.519171°, α’ = 227.519171° δ = -17.546047°, δ’ = -17.745933° Δ = 0.67660230, Δ’ = 0.98916480 s(시반경) = 4.97161″, s’ = 970.14168″ π(시차) = 12.99751″, π’ = 8.89048″ 이 순간의 매시간당 α의 변화량, Δα = -189.0704″ 이 순간의 매시간당 α’의 변화량, Δα’ = +152.7536″ 이 순간의 매시간당 δ의 변화량, Δδ = +103.7494″ 이 순간의 매시간당 δ’의 변화량, Δδ’ = -40.6046″ a = Δα - Δα’ = -341.8240″ d = Δδ - Δδ’ = +144.3540″

δ0 = 2

'δδ + = -17.645792 (deg)

1. 地心狀況 계산 T0 때의 다음 값들을 구한다 . m sin M = (α – α’) δ0 = 0 m cos M = δ – δ’ = +719.5896″

77

n sin N = a cos δ0 = - 325.7404″ n cos N = d = +144.3540″ 에서, M = 0 °, m = 719.5896″ N = 293.90086°, n = 356.2933″

)'()sin(sin

ssNMm

±−

=ψ (복호는, 外接시 +, 내접시 – 사용)

(외접) (내접) sin Ψ 0.6746737 0.6816242 進入시 cos Ψ <0, 出離시 cos Ψ >0 이다

(진입) (출리) (진입) (출리) cos Ψ -0.7381161 + 0.7381161 -0.7317024 +0.7317024

보정시간, τ1 = n

NMm )cos( −− (hrs) ; 이 값만 보정하면 식심시각이 얻어진다

-0.81827 -0.81827 -0.81827 -0.81827

보정시간, τ2 = n

ss ψcos)'( + (hrs) n

ss ψcos)'( − (hrs)

-2.02010 +2.02010 -1.98212 +1.98212 제1근사시각 = T0 + τ1 + τ2 (TDT) 5.30630 9.34650 5.34428 9.30852 따라서, TDT로, 지심에서 볼 때, 제1근사로, 1861.11.12 05:18.4, 해의 원반에 들어가기 시작함(진입) 05:20.7, 해의 원반내로 완전히 들어감 07:19.6, 해의 원반내로 가장 깊숙이 들어감(食甚) 09:18.5, 해의 원반을 벗어나기 시작함 09:20.8, 해의 원반을 완전히 벗어남(출리) 여기서 얻어진, 제1근사시각 각각을 T0 로하여, 진입과 출리에 대한 계산을 다시 행하면 더 좋은 근사값을 얻을 수가 있다. 이하에서는, 외접 및 식심에 대해서만 재계산하기로 한다. (외접) (식심) (진입) (출리) T0 5.3063 9.3465 7.3264 α(d) 227.66837 227.45607 227.56216 δ(d) -17.62784 -17.51141 -17.56963 Δ 0.676342 0.676726 0.676523 α’(d) 227.39876 227.57017 227.48445 δ’(d) -17.71388 -17.75948 -17.73670

78

Δ’ 0.989192 0.989153 0.989173 Δα(d) -0.052609 -0.052482 -0.052532 Δδ(d) +0.028817 +0.028820 +0.028819 Δα’(d) +0.042414 +0.042439 +0.042427 Δδ’(d) -0.011304 -0.011268 -0.011286 a(″) -342.0828 -341.7156 -341.8524 d(″) +144.4356 +144.3168 +144.3780 δ0(d) -17.67086 -17.63544 -17.65316 m sinM(d) +0.256889 -0.108738 +0.0740506 m cos M(d) +0.086040 +0.248070 +0.167070 n sin N(″) -325.9420 -325.6562 -325.7545 n cos N(″) +144.4356 +144.3168 +144.3780 m(d) 0.270915 0.0270855 0.1827454 M(d) 71.48261 -23.66961 23.90440 n(″) 356.5106 356.2012 356.3159 N(d) -66.10031 -66.09914 -66.09654 s(″) 4.9735 4.9707 s’(″) 970.1150 970.1336

식심의 보정치(h) +8.4e-9 = 0.0 sec

식심때의 角距離 = m sin(M-N) = 657.9″ = 10´ 57.9″ sin Ψ 0.674665 0.674665 cos Ψ -0.738124 +0.738124 τ1 +2.01962 -2.02052 τ2 -2.01884 +2.02062 제2 근사시각(TDT) T = 5.30708(+2.8s) 9.34660 ( +0.4s) 따라서, 지심에서 볼 때, TDT로, 1861.11.12 05:18:25.5 進入 07:19:35.0 食甚, 角距離 = 10´ 57.9″ 09:20:47.8 出離를 얻는다 2. 地上상황 계산을 위한 상수계산 (진입) (出離) Ψ(d) 137.5719 42.4281 Q = N + Ψ 71.4716 366.3290

79

Q는, 해의 北點에서 동쪽(반시계방향)으로 잰, 접촉점의 위치각으로, 지상 모든 지점에서 거의 동일한 값을 가진다 위치각(d) 71.5 366.3 π(″) 13.0025 12.9951 π’(″) 8.8902 8.8906

)'(21tan

)'()'(tan ss ±

−+

=ππππγ (복호는 외접시 +, 내접시 – 사용)

tan γ 0.0125836 0.0126037 γ (deg) 0.72095 0.72210

QFfFf

coscoscossinsin

γγ

==

f sin F 0.0125826 0.0126027 f cos F 0.317750 0.915793 f 0.31800 0.91588 F(deg) 2.2677 0.78843

0α = 2

)'( αα + = 227.5336 227.5131

0δ = 2

)'( δδ + = -17.6709 -17.6354

QAD sincos)sin(cos 0 γα =− )sin()cos(cos 00 FfAD +−=− δα

에서 )cos(sin 0 FfD += δsin D 0.306578 0.876572 D(deg) 17.8531 61.2316 cos D 0.951846 0.481270 A(deg) 312.443 170.985 기준시각에 대한 曆表視恒星時 μ(deg) 130.93012 191.68881 Θ = μ – A = 178.487(deg) 20.704 (deg)

ψππcos

sin)'(n

DB −= (hrs)

B -0.004791 +0.013680 = -17.25s = +49.25s

ψππcos

cos)'(n

DC −= (hrs)

C -0.01487 +0.00751

80

= -53.55s = +27.05s 3. 지리위도 Φ, 曆表西經 ω 인 지점에 대한 시각 계산 이 지점에서의 시각 = 지심에 대한 시각 + B ρ sin Φ’ + C ρ cos Φ’ cos(Θ – ω)로 주어진다. ρ sin Φ’, ρ cos Φ’는 해당지점의 地心좌표이다 따라서, 지상 임의지점에 대한 시각(TDT)는, 진입 = 5.30708 -17.25s ρ sin Φ’ -53.55s ρ cos Φ’ cos(178.487 – ω) 出離 = 9.34660 +49.25s ρ sin Φ’ +27.05s ρ cos Φ’ cos(20.704 – ω) 예로써, 다음 지점에 대한 상황을 계산해 본다. ΔT = +5.91s이다 관측지, Φ = +53.545917°, 지리서경 = 350.05792°에서 ω = 350.05792 + 1.002738 5.91s = 350.08261° ×ρ sin Φ’ = 0.80068452, ρ cos Φ’ = 0.5954693 따라서, 진입 = 5:18:43.2(TDT), 5:18:37.3(UT), 5:58:23.4(LMT) 出離 = 09:21:41.1(TDT), 9:21:35.2(UT), 10:01:21.3(LMT) ※ 관측된 出離시각은, 10:01:08.5(LMT) 였다. 이 현상이 그 지점에서 보이는 가를 알려면, 그 순간의 수성의 고도를 계산해보면 된다 (進入) (出離) TDT 5.3120 9.3614 α 227.668 227.455 δ -17.628 -17.511 θ0 131.004 191.911 ω 350.083 350.083 H 273.253 334.373 Φ 53.546 53.546 sin h -0.2114 +0.2689 h(deg) -12.2 +15.6 ρ 0.99784 0.99784 π 13.00 ″ 13.00 ″ p 12.7″ 12.5″ h’(측심 진고도) -12.2° +15.6° 대기차 +0.6° +0.0° 측심시고도 -11.6° +15.6° 따라서, 이 지점에서는 진입은 안보이고 出離만 볼 수 있다

81

제18제. ΔT의 값 ΔT는, 천문현상의 계산에 있어 관측자의 測心위치와 관계되는 값을 구하기 위해서는 불가결한 요소이다. F.R.Stephenson의 연구에 의하면(1997), 지구는 달과 해에 의한 潮汐현상때문에 그 자전속도가 점차로 느려지고 있어 하루의 길이는 매100년당 평균 2.3ms씩 길어지고 있다. 이런 증가율은 BCE700부터 현재까지 지난 2700년간 거의 일정한 비율을 보여왔다. 하지만, 관측되는 하루의 길이의 증가율(LOD)는 위 값보다 짧은 +1.70ms/cy이다. 이 것은, 지구자전에 있어 -0.6ms/cy의 가속도도 존재함을 의미한다. 또한, 非조석항으로 , 진폭이 약 4ms이고 주기가 약 1500년인 진동도 발견되었다. ΔT는 관측에 의해서만 결정할 수 있는 양으로, 과거의 전세계의 각종 일월식 엄폐등의 천문자료를 분석하여 그 구체적인 값을 구하려는 시도가 여러 학자들에 의해 있어왔으며, 가장 최근의 연구성과로는 상기의 F.R.Stephenson의 “Historical Eclipses and Earth’s Rotation”, Cambridge university press, 1997이다 이 책도 BCE500년부터 CE1600년까지의 50년 간격의 값만 주고있다(pp.515-516). 1620년이후는, 근대의 정밀한 데이타가 많이 남아있어 sec of time 이상의 정밀한 값을 구할 수가 있지만, 1620년이전은 연구자마다 조금씩 그 구체적인 값을 달리한다. Delta T 전반에 관한 가장 체계적인 자료는, R.H. van Gent의 웹사이트, Delta T: Approximate algorithms for historical periods, http://www.phys.uu.nl/~vgent/astro/deltatime.htm 이다 ΔT = TT – UT1으로 정의되는 값이다. 여기서 TT는 Terrestrial Time의 약어로, 현대의 천체역학이론의 기본이 되는 시간단위이며, UT1은 극운동을 고려한 세계시이다. TT는, 최초로 도입되었을 때는 ET(Ephemeris Time)이라 불렸다가(1952년), 1984년부터는 TD(Dynamical Time)로 용어가 변경되었다가 2001년부터는 다시 TT로 용어가 변경되었지만 그 정의는 바뀌지 않았다 현재도 TT란 용어보다는 TD란 용어를 선호하는 학자가 많고 여기서도 TDT라 쓰기로 한다. TDT의 결정에 있어 가장 중요한 값은, 달의 黃經상 가속도인수(潮汐項이라 부른다)라 불리는 값이다. 최초에 H. Spencer Jones(1939)의 연구에 의한 이 값은 -22.44″/cy2 이었으나, 그후의 연구의 진전으로 현재는 -26″/cy2 보다 약간 작은 값이 얻어지고 있다. 현재의 ΔT의 값은 조석항을 -26″/cy2 라 하고 분석한 것이 발표되고 있다. 하지만, 구체적으로 Ephemeris를 산정하는 데 있어, 주요한 曆마다 각기 다른 값을 쓰고 있기 때문에, 발표되는 값을 그대로 이용해서는 정확한 현상을 계산하기가 곤란해진다. 실제로, DE200은 -23.8″, VSOP87, ELP2000-82, ELP2000-85등은 -23.8946″/cy2,

82

DE403 또는 DE406은 -23.8946″/cy2를 채용하고 있으므로 양자의 ΔT 값은 다를 수 밖에 없다. 조석항의 값이 n ″/cy2 일때, -26″/cy2 의 ΔT 값을 환산하는 공식은 다음과 같다 ΔT (sec) = ΔT( -26″ 기준의 sec 값) - 0.91072 ( n + 26.0 ) u2

단, u = 100

)5.1955 ( −년

구체적으로, t = 100

)2000-(년 이라 하면, u = t + 0.445이므로 n = -23.8946에 대해서는

ΔT (sec) = ΔT( -26″ 기준의 sec 값) – 0.38 -1.706 t – 1.917 t2 이 된다 -500년 이전의 ΔT의 값을 구하는 방법은 여러가지가 있겠지만, 일본의 Shinobu Takesako가 그의 일식소프트웨어인 Emapwin v1.21에서 사용한 방법(2000년)이 가장 타당하다고 생각되어 여기에 소개한다. 먼저, Stephenson의 상기 책의 Fig. 14.7(p. 514)에서, 관측된 LOD 곡선의 식으로, 그는

ΔLOD(ms) = 100

)1830(7.1 년−− + 4.3 sin [ π21485

)1785(×

−년 ] - 0.8 를 얻었다.

(sin의 인수는 rad단위이다) 위 식은 아래와 同値이다 ΔLOD(ms) = +0.0170 91.31)0042311.055252.7sin(3.4 −×−+× 년년 위 식을 적분하여 A라하면,

(ms) )2311013sin(0.004970.453119 )004231101.0cos(7512094.301)117647.3754(0085.0

년

년년년

×+×+−×−=A

를 얻을 수 있다. 구체적으로 값을 구하려면, 구하려는 해의 값을 A의 년에 대입하여 그 값을 구한 후, 기준연도인 1785년에 대한 A값을 빼면 된다. 여기서 얻어지는 값에 365.25(1년의 일수)를 곱하면 ΔT를 얻을 수 있다. (예 18-1) -500년의 ΔT 계산 A-500 = +17093.64555, A1785 = -28860.15356 에서 45953.79911(ms) 365.25 = 16784.62512 (s) , 여기서 유효숫자를 감안하여 16785 또는 16800s로 하면 된다.

×

(또한 Stephenson의 표에도 16800s로 주어져 있다). 이런 식으로 계산하면, -400년부터 -4000년정도까지의 ΔT를 합리적으로 추정할 수가 있다. 그 구체적인 값은 아래와 같다(Takesako는 1년의 일수를 365일로 하여 계산한 ΔT 값을 그의 소프트웨어에 사용하고 있어 아래 값과는 조금 다름에 유의. 표의 기준 n = -26″)

년 ΔT(sec) -400 15335 -450 16044 -500 16785

83

-550 17557 -600 18360 -650 19192 -700 20049 -750 20930 -800 21831 -850 22748 -900 23678 -950 24618 -1000 25564 -1050 26514 -1100 27466 -1150 28418 -1200 29368 -1250 30318 -1300 31268 -1350 32218 -1400 33171 -1450 34130 -1500 35097 -1550 36075 -1600 37069 -1650 38081 -1700 39115 -1750 40174 -1800 41261 -1850 42377 -1900 43525 -1950 44704 -2000 45916 -2050 47159 -2100 48432 -2150 49732 -2200 51058 -2250 52406

84

-2300 53773 -2350 55156 -2400 56550 -2450 57953 -2500 59362 -2550 60774 -2600 62215 -2650 63599 -2700 65011 -2750 66422 -2800 67832 -2850 69244 -2900 70660 -2950 72082 -3000 73513 ※ 이 수치모두가 유효숫자가 아니므로, 계산최종결과를 얻은 후 적당히 반올림해야함 상세한 것은 첨부한 “델타 T 계산.xls”참조 제19제. 해와 달의 照度계산법 자연적인 光源에서 오는 照度는 매일 변화가 크다. 청명한 상태에서 지표면이 받는 照度는 光源의 高度의 함수이다. 照度는 ㎡당 lux단위로 잰다 1. 해의 照度 lux 단위조도 , I는, log I = l0 + l1x + l2x2 + l3x3 + ΔI 로 주어진다 log는 상용로그이며, x = h/90, h는 해의 眞高度이고, l0, l1, l2, l3 는 다음표에서 구한다 ΔI 는 낮인 경우에만 보정되는 양으로,

ΔI = 2 log(63.959

S ) 으로 주어진다. S 는 sec of arc 단위의 해의 시반경이다

眞高度범위(°) l0 , l1 l2 l3

20에서 90이하 3.74 3.97 -4.07 1.47 5에서 20 3.05 13.28 -45.98 64.33

85

-0.8에서 5 2.88 22.26 -207.64 1034.30 -5에서 -0.8 2.88 21.81 -258.11 -858.36 -12에서 -5 2.70 12.17 -431.69 -1899.83 -18에서 -12 13.84 262.72 1447.42 2797.93

(예 19-1) 해의 고도가 -0.8°일 때 照度 계산 표에서 h = -0.8일 때(즉, 일출/일입무렵), l0 = 2.88, l1 = 21.81, l2 = -258.11, l3 = -858.36 에서 x = -0.0089를 대입하면, log I = 2.6661, ∴ I = 463.6 lux. 이 값은, 구름이 없는 상태하에서 直接光과 間接光을 합한 값이다.

낮일 때, 해의 照度는 직접광과 간접광의 합성이다. 간접광의 크기는 직접광의 101 이하수

준이다. 구름이 덮였다면, 간접광은 101 수준만큼 줄여야 하고, 하늘이 매우 어둡다면, 그

크기는 100

1 수준만큼 줄여야 한다.

실제로는 낮일 경우, 위의 照度값에 해의 시반경의 크기에 의한 보정치를 더해주어야 한다. (예 19-2) 해의 지심거리가 0.9830 AU라면, S = 976.23″이므로, ΔI = +0.015에서 log I = 2.681 ∴ I = 479.7 lux가 된다 2. 薄明시 박명은 지구대기의 상층부가 햇빛을 산란시킴으로써 일어난다. 해의 중심의 진고도가 -18°인 천문박명에서는 해로부터의 간접조도는, 地平面에서 0.0006 lux정도이다. 실제의 하늘의 밝기는, 관측자가 어디를 보며, 조도가 어디서 오는가 및 기상상태에 의해 좌우된다. 3. 달의 照度 보름달이 천정에 있을 때, 지평면이 받는 조도는 0.27 lux정도로, 해의 고도가 -8°일때와 비숫하다.

반달은 보름달의 조도의 91 정도에 불과하다.

달에 의한 지평면의 조도, M은, lux 단위로, log M = L1 + L2 + L3로 주어진다 L1 = l0 + l1x + l2x2 + l3x3

L2 = -0.00868 f – 2.2e-9 f4

L3 = 2 log( )951.0π

86

f = 180 – E cos E = sin δs sin δm + cos δs cos δm cos (αm – αs) L1 = 보름달로부터의 지상의 照度 L2 = 위상보정치 L3 = 시차보정치 E = 離角

眞高度범위(°) l0 , l1 l2 l320에서 90이하 -1.95 4.06 -4.24 1.56

5에서 20 -2.58 12.58 -42.58 59.06 -0.8에서 5 -2.79 24.27 -252.95 1321.29

4. 기타 光源 항성으로부터의 조도의 총합은 0.00022 lux정도로 천문박명의 순간의 해의 조도보다 작다. 항성과 大氣光(airglow)의 합계는 0.002 lux정도이며, Aurora의 조도는, 해의 활동에 좌우되지만, 드물게는 달의 조도에 육박하기도 한다. 黃道光과 對日照에 의한 조도는, 매우 어두워, 최대의 경우라도 항성에 의한 조도를 크게 넘지는 못한다. 제20제. 항성의 위치계산법 항성이 보이는 위치를 구하기 위해서는 제일 먼저 평균위치를 알아야 한다. 평균위치란, 관측자가 태양계의 重心에서 보았을 때, 그 항성이 천구상에 보이는 위치를, 순간의 평균적도 및 平均分點(바꾸어 말하면 순간의 황도 및 평균분점) 기준으로 잰 위치이다. 視位置란, 지구 中心에서 보았을 때, 순간의 眞적도, 황도 및 분점을 기준으로 잰, 그 항성이 천구상에 보이는 위치이다. 관측위치란, 관측점에 볼 때, 관측의 순간에 그 항성이 직접보이는 위치를 말한다. 시위치에 日週光行差 와 大氣差를 보정하면 구할 수 있는 것으로(이들에 대해서는 이후에 순차적으로 설명함), 관측의 오차, 계산오차가 없고 이론이 완벽하다면 星表의 평균위치에서 계산한 위치는 최종적으로 관측위치와 일치할 것이다 (주) 평균분점 = 순간의 평균적도와 황도의 교점 眞분점 = 순간의 眞적도(장동의 영향을 고려한 적도) 및 황도와의 교점 황도에는 평균이란 개념이 없다. 황도는 부단히 움직이기 때문이다 해의 中心이 천구상을 움직이는 大圓을 黃道라 한다. 해가 천구의 적도를 남에서 북으로 지나는 교점을 춘분점이라하고, 북에서 남으로 지나는 점을 추분점이라 한다.

87

어느 순간의 평균위치에서 임의 순간의 시위치를 구하려면 다음 요소를 고려해야 한다 1) 두 시점사이의 항성의 고유운동 2) 歲差 3) 章動 4) 年周光行差 5) 年周視差 이 시위치를 최종적인 관측위치(측심위치)로 바꾸려면, 지구의 極運動, 日週光行差 및 대기차를 추가로 고려해야 한다 이하 이들을 순차로 설명한다 1. 고유운동에 의한 항성위치의 차이 항성의 고유운동은 E.Halley에 의해 1718년 발견되었다. 현재 알려진 고유운동 최대의 별은 Barnard星으로 1년에 10.3″정도 움직인다. 고유운동이 연간 1″를 넘는 별은 200여개이다. 고유운동은 이론적으로 산출할 수 있는 양이 아니며 관측에 의해서만 결정된다. 항성의 고유운동 보정과 관련되는 양은, 視線速度(Ra), 적경상의 고유운동(μα), 적위상의 고유운동(μδ), 연주시차(π)이다 星表에 표시된 시기(元期라 한다)의 항성의 적경 및 적위를 α0, δ0, 그로부터 t년후의 적경, 적위를 α1, δ1이라 하면, 원기에 대한 고유운동속도, μ0, 그 방향 Ψ0는,

20

220 cos μδδμαμ +=

μδδμαψ 0cos0tan = 로 주어진다

Ψ0는, 천구의 북극을 기준으로 반시계방향으로 잰 각도이다 t년간의 항성의 이동 각거리, σ는,

taRat

πμσ+

=1

0tan 로 주어진다.

근사적으로, )1(0 taRat πμσ −≈ 로 해도 실제상 전혀 지장이 없다

고유운동으로 항성이 이동한 점(α1, δ1)의 값은 다음과 같이 구한다 L1 = σψδαψασδα sin)0cos0sin0cos0sin0(sincos0cos0cos +− M1 = σψδαψασδα sin)0cos0sin0sin0sin0(coscos0cos0sin −+ N1 = σψδσδ sin0cos0coscos0sin +

88

111tan

LM

=α

11sin N=δ (예20-1) θ Persei의 2028.11. 13.19 TDT의 고유운동만 고려한 위치 이 때의 JD = 2462088.69 J2000.0(JD 2451545)의 항성의 평균위치는, α0 = 2h44m11.986s = 41.04994167° δ0 = +49°13´42.48″ = +49.22846667° μα = +0.03425s/yr = +0.000142708°/yr μδ = -0.0895″/yr = -0.000024861°/yr π = 0.082″ = 0.000000398 (rad) Ra = +25km/s 에서 μ0 = 0.000096454°, t = (2462088.69 – 2451545) /365.25 = 28.86705 Ψ0 = 104.9367°

)1( taRaπ

− = 1.00000에서 σ = 0.00278434°

L1 = +0.49246157 M1 = +0.42890676 N1 = +0.75731142 ∴ α1 = 41.0540608°( +14.829″) δ1 = +49.227748° ( -2.58″) 이 값은, J2000.0 기준의 평균위치이다 2. 歲差에 의한 적경, 적위의 변화 지구의 자전축의 방향이 주기적으로 바뀌는 현상중 진폭이 크고 주기가 긴 성분을 歲差(Precession)이라 한다. 세차가 생기는 원인은, 주로 2가지인데, 지구가 적도부분이 부푼 회전타원체인 관계로 여기에 가해지는 해와 달의 인력에 의해 생기는 日月歲差가 그 하나이고(이것에 의해, 천구의 북극은 약 25800년의 주기로, 천구상을 반경 약 23.5°의 원을 그리면 돈다. 이에 의해 춘분점은 황도상을 1년에 약 50.3″씩 서쪽으로 이동한다), 다른 행성의 인력에 의행 지구의 평균궤도면이 조금씩 움직여 생기는 행성세차가 있다. 행성세차에 의해 춘분점은 적도상을 1년에 약 0.12″씩 동쪽으로 이동한다. 실제로는 이 두세차의 합성으로, 춘분점은 서쪽으로 움직이게 되는 데, 이를 일반세차라 통칭한다.

89

세차는 BCE2세기에 Hipparchos에 의해 발견되었다. 세차만을 고려한 천구의 적도를 평균적도, 춘분점을 평균춘분점, 북극을 평균북극이라 한다.

T = 36525

)2451545( −JD 라 하면, J2000.0으로부터의 세차량은 다음과 같이 구한다

32 "017998.0"30188.0"2181.2306 TTT ++=ζ

32 "018203.0"09468.1"2181.2306 TTTz ++= 32 "041833.0"42665.0"3109.2004 TTT −−=θ

1)sincos(1)sincoscoscossin(1)sinsincoscos(cos2

NzMzzLzzL

θζθζζθζ

−+−−+−=

1)sinsin(1)coscoscossinsin(1)cossincossin(cos2

NzMzzLzzM

θζθζζθζ

−++−++=

1cos1)sinsin(1sincos2 NMLN θθζθζ +−+= 에서,

222tan

LM

=α

22sin N=δ 로 α2, δ2를 구한다 (예 20-2) T =0.2886705에서 ζ = +665.76272″= +0.18493409° z= +665.82879″= +0.18495244° θ = +578.54887″= +0.16070802° L2 = +0.48755633 M2 = +0.43207014 N2 = +0.75868585 α2 = 41.5472121° δ2 = +49.348482° 이 값은, 순간의 평균분점에 대한 위치가 된다 3. 章動에 의한 적경 및 적위의 변화 지구자전축의 방향이 주기적으로 바뀌는 것중, 진폭과 주기가 짧은 성분을 장동이라 한다. 장동의 주기는 18.6년정도이고 그 크기는 최대 10″정도에 불과하다. 장동은 J.Bradley에 의해 1747년 발견되었다. 장동까지 고려한, 그 순간에 대한 지구의 진짜 자전축의 방향을 기준으로 한 춘분점과 적도를, 眞춘분점, 眞적도라 하면, 세차만을 고려한 평균춘분점 및 평균적도와의 차이를 생각할 수가 있고, 이에 의해, 진춘분점과 평균춘분점간의 황도상의 角距離, ΔΨ를 황경의 장동(평균

90

춘분점에서 서쪽이 +)이라 하고, 진황도경각(진적도와 황도와의 경사각)과 평균황도경각과의 차이, Δε를 황도경각의 장동이라 한다. 장동은 상당히 복잡한 지구자전축의 운동으로, 여러가지 주기와 진폭의 진동의 합성이다. 장도을 고려한 항성의 위치는 다음과 같이 구한다. 아래에서 ε은, 순간의 평균황도경각이다

2sinsin2sincos2cos3 NMLL ψεψεψ Δ−Δ−Δ=

2}cos)sin(cossin){cos(2}sin)sin(coscos){cos(2sin)cos(3

NMLM

εεεψεεεεεεψεεεψεε

Δ+−ΔΔ++Δ++ΔΔ++ΔΔ+=

2}cos)cos(cossin){sin(2}sin)cos(coscos){sin(2sin)sin(3

NMLN

εεεψεεεεεεψεεεψεε

Δ++ΔΔ++Δ+−ΔΔ++ΔΔ+=

333tan

LM

=α

33sin N=δ 로 α3, δ3를 구한다. 이 좌표를 항성의 眞위치라 한다. 진위치는, 항성을 태양계의 重心에서 볼 때, 순간의 진춘분점 및 진적도를 기준으로 잰 값이다. 평균위치는 고유운동 및 세차만 고려한 반면, 진위치에는 장동도 고려되었다. (예 20-3) 위의 예에서, 순간의, ΔΨ = +14.861″ = +0.004128056° Δε = +2.705″ = +0.000751389° ε = 23.43554° 에서 L3 = +0.48750603 M3 = +0.43209242 N3 = +0.75870549 α3 = 41.5516129° δ3 = +49.350209° 4. 視差에 의한 항성위치의 차이 위의 3번까지에서 얻어지는 항성의 위치는 그 항성을 태양계의 重心에서 보았을 때의 위치이다. 실제로는 지구는 약 1.5억km 떨어진 해의 주위를 공전하고 있으므로 지구에서 본 항성의 위치는 태양계의 重心에서 본 위치와 일치하지는 않는다. 따라서, 지구중심에서 본 위치를 정확히 산정하기 위해서는 지구의 공전에 의한, 그 항성의

91

年周視差를 고려해야 한다. 연주시차는 그 최대인 Proxima Cen의 경우도 0.8″정도에 불과한 작은 양이다. 항성의 위치는 최대로 연주시차의 2배만큼 차이가 날 수 있다. 항성의 시차가 최초로 측정된 것은 1838년 F.W.Bessel에 의해서였다. 연주시차는 지동설의 확실한 직접증거다. 연주시차를 감안하려면, 해의 위치(즉, 지구의 위치)를 먼저 알 필요가 있다. 계산순간의 해의 眞적도좌표 αs, δs에서 Ls = cos αs cosδs Ms = sin αs cosδs Ns= sin δs L4 = ]3333)31[(3 2 NsNLMsMLLsLL −−−+πM4 = ]33)31(33[3 2 NsNMMsMLsMLM −−+−+πN4 = ])31(3333[3 2 NsNMsNMLsNLN −+−−+π

444tan

LM

=α

44sin N=δ 로 α4, δ4를 구한다. π < 0.01″인 항성에 대해서는 시차의 보정을 할 필요가 실제로 없다 (예 20-4) 위의 예에서, αs = 228.9000° δs= -18.0904° Ls = -0.6248797 Ms = -0.71631308 Ns = -0.31051716 π = 0.082″ L4 = L3 – 0.0243″ = +0.48750591 M4 = M3 – 0.0286″ = +0.43209228 N4 = N3 + 0.0274″ = +0.75870562 α4 = 41.551611° δ4= +49.350221° 5. 光行差에 의한 항성위치의 차이 광행차는 빛의 속도가 유한하기때문에 생기는 항성위치의 차이이다 광행차를 발견한 것은, 1727년 J.Bradley로, 이 것으로 지구가 공전하고 있다는 것과 빛의

92

속도가 유한하다는 것을 동시에 증명하였다 광행차에는, 태양계전체가 진행함으로써 생기는 永年광행차(위치계산에 전혀 고려할 필요가 없다), 지구의 공전에 의한 年周光行差 및 지구의 자전에 의한 日週光行差 세종류가 있다. 연주광행차를 보정하는 방법을 일단 설명한다

T = 36525

)2451545( −JD 라 하면,

e(지구궤도의 이심율) = 275 10236.110203.4016708617.0 TT −− ×−×−Π(지구궤도의 근일점황경) = 102.93735° + 1.74953° T + 0.00046° T2

光行差, κ = 21"4926.20

e−

λs = 해의 지심평균황경(광행차, 장동 비고려) ε = 평균황도경각이라 하면,

2145 LeLLL Δ+Δ+= κκ 2145 MeMMM Δ+Δ+= κκ

2145 NeNNN Δ+Δ+= κκ ]sincos44coscos44sin)41[(1 2 ελελλ sNLsMLsLL ++−=Δ

]sincos44coscos)41(sin44[1 2 ελελλ sNMsMsMLM +−−−=Δ ]sincos)41(coscos44sin44[1 2 ελελλ sNsNMsNLN −−+−=Δ

]sincos44coscos44sin)41([2 2 εε Π−Π−Π−−=Δ NLMLLL ]sincos44coscos)41(sin44[2 2 εε Π−Π−+Π=Δ NMMMLM

]sincos)41(coscos44sin44[2 2 εε Π−+Π−Π=Δ NNMNLN

555tan

LM

=α

55sin N=δ 로 α5, δ5를 구한다. 이 α5, δ5를 그 항성의 視位置라 한다. 시위치는, 항성의 위치를 지구의 重心에서 본 것으로, 관측순간의 진춘분점, 진적도를 기준으로 잰 값이다 (예 20-5) T = +0.2886705 e = 0.016696474 Π = 103.43377°

93

κ = 20.4983″ λs = 231.328° ε = 23.43554° ΔL1 = -0.807872 ΔM1 = +0.549263 ΔN1 = +0.206286 ΔL2 = -0.662403 ΔM2 = +0.0618155 ΔN2 = +0.390422 L5 = L4 -16.787″ = +0.48742452 M5 = M4 +11.280″ = +0.43214697 N5 = N4 +4.362″ = +0.75872677 α5 = 41.559959° = 2h46m14.390s δ5 = +49°21´07.49″ 광행차를 더욱 정확하게 보정하려면, C.Ron, J.Vondrák의 식(1986)을 쓰면 되나, 여기서는 생략한다. 흥미있으면, Astronomical algorithms(1991) pp.141-145를 참조할 것 6. 重力場에 의한 빛의 굴절 보정 앞에서는 언급하지 않았지만, 광선이 해를 지날 때, 해의 중력장의 영향으로 해쪽으로 휘어지게 된다. 항성의 日心離角이 해로부터 90°라면 0.004″만큼 해쪽으로 위치가 이동되어 보이고, 90°이하라면 더 커지게 된다. 따라서 정확한 위치산정을 위해서는 이 효과도 고려해야 한다 D = 항성의, 해로부터의 地心이각(0-180°) θ = 굴절각(해쪽으로 항상 +) α, δ = 항성의 지심 적경 및 적위 αs, δs = 해의 지심 적경 및 적위 Δα, Δδ = α, δ에 더해야 하는 보정치라 하면,

)cos(coscossinsincos sssD ααδδδδ −+=

DD

sin)cos1("00407.0 +

=θ

)cos1("00407.0

D−=μ 라 하면,

)sin(cossec ss ααδδμα −=Δ ]cossin)cos(cos[sin δδααδδμδ sss −−=Δ

94

위 식들은 태양계밖의 천체에 대해서만 쓸 수 있다 (예 20-6) α = 41.559959° δ = +49.352081° αs = 228.9000° δs = -18.0904° 에서 cos D = -0.84973 μ = +0.00220″ Δα = +0.000410″ Δδ = -0.00113″ 따라서 보정후의 좌표는 실제로 변동이 없다. 실례에서 알 수 있듯이, 이 효과는 지극히 정밀한 계산외에는 고려할 필요가 없을 것이다. 여기서는 이론의 흥미상 다루었다. 7. 日週光行差의 보정 일주광행차에 의한 위치의 차이는, 지평좌표계(고도 및 방위각)에만 영향을 미친다. 같은 항성을 같은 시각에 관측하더라도 관측점의 위치에 따라 일중광행차의 양은 차이가 난다. t = 항성의 時角 = 자오선에서 서쪽을 +로 하여 잰 각도 = Θ – α5 Θ = 관측순간의 지방 視恒星時라 하면, 지구의 자전각속도, ω = 7.292115 /sec 510−×지구의 적도반경, a = 6378140m 光速, c = 299792458 m/sec 에서

일주광행차 상수, k = caϖ = 0.32000″ = 0.021333s 가 되므로,

t’ ≒ t – 0.021333s 5cos

cos'cosδ

ϕρ t

δ’ ≒ δ5 + 0.32000″ 5sinsin'cos δϕρ t 만큼 적경, 적위가 바뀌게 된다. 여기서, 관측자의지심위도단위지구적도반경지심거리관측자의 == ',) ( ϕρ 이다

'cosϕρ 는 근사적으로 cos φ( φ = 지리위도)로 해도 된다. 이 식에서 알 수 있듯이, 일주광행차에 의해 항성의 時角은

0.021333s 5cos

cos'cosδ

ϕρ t 만큼 작아지고(적경은 이만큼 커짐),

적위는 0.32000″ 5sinsin'cos δϕρ t 만큼 커져보이게 된다 예를 들면, 항성이 보이는 천구의 북극보다 남쪽에서 자오선을 통과하는 경우, 이 때 t=0이

95

므로 眞위치로 계산한 시각보다도, 항성시 단위로, 0.021333s5cos

1'cosδ

ϕρ 만큼 늦게 자

오선을 통과하는 것 같이 보이게 된다. 위 식은, 근사식으로, δ5의 절대값이 90°에 가까울 경우에는 다음의 일반식을 써야 한다

)5cossin(cos'cos"32000.0' 2 δϕρξξ tt+= )5sinsin(cos'cos"32000.0' 222 δϕρηη tt ++=

)5sin5cos(sin'cos"32000.0' δδϕρζζ t+= tcos5cosδξ = tsin5cosδη −=

5sinδζ =

'''tan

ξη−

=t

''sin ζδ = (계산례는 극운동과 같이 보인다) 8. 極運動이 항성위치에 미치는 영향 항성의 위치를 관측위치로 바꾸기 위해 이용하는 관측자의 좌표로는, 정확히 말하자면 천문경위도를 사용해야 한다. 한 지점의 天文經緯度는 常數가 아니다. 단지 그 변화량이 각도의 1″이하이므로 특별히 정밀한 계산데이타가 필요하지 않는 한 무시할 수 있을 뿐이다. 천문경위도는 지표면상에서 극의 위치가 이동하는 극운동때문에 부단히 변화한다. 지구의 자전축은 우주공간의 일정한 방향에 고정되어 있으나, 그 자전축에 대해 지구본체가 움직임으로써 지구표면의 남북극의 위치가 이동하는 현상이 극운동인 것이다. 지구상에서는 극의 위치가 움직이는 것같이 보여도, 이것은 자전축의 방향이 바뀌는 것이 아니라 지구본체가 움직이는 것으로 생각한다. 천문경위도는 지구의 자전축을 기준으로 측정하므로 극의 위치가 바뀌면 천문경위도도 변하게 된다. 관측에 따르면, 북극은 반경 약 10m정도의 범위내에서 원에 가까운 궤도를 움직이고 있고 여기서 생기는 천문위도의 변화는 최대로 "3.0± 정도의 미세한 양이다. 극운동은 지상관측자의 천문경위도를 바꾸므로 이에 따라 항성의 방위각, 고도등의 지평좌표도 변하나, 자전축의 방향과는 무관하므로 항성의 적경, 적위에는 영향을 미치지 않는다. 천문경위도는 또한, 지도에서 구한 測地경위도와 정확히 말하자면 일치하지는 않지만, 그 차는 각도로 기껏해야 30″정도이므로 근사적으로 測地경위도를 천문경위도로 생각해도 된다. (일본표준시의 기준인 동경 135°를 나타내는 탑은, 지도상의 135°E보다, 경도로 20″만큼

96

동쪽(거리로는 약 400m)에 서있다) 극운동이 존재할 가능성은 1756년에 L.Euler가 이론적으로 주기 305일 정도의 변화를 지적하였으며, 19세기말에야, K.F.Küstner와 S.C.Chandler에 의해 각각 독립적으로, 428일의 극운동이 존재함이 밝혀졌다. Euler가 구한 305일의 주기는 지구를 剛體로 가정했을 때이고, 실제의 지구에 대해서는 428일 정도의 주기가 얻어짐이 S.Newcomb의 계산으로 밝혀졌다. ΔT의 예측이 불가능한 것처럼, 극의 위치를 예측하는 것도 현재로서는 불가능하다. 극의 위치는, 1900-1905년간의 북극의 평균위치를 원점(CIO)으로 하여, 여기에서 그리니치 방향으로 뻗은 경도 0°의 경선을 x축의 +방향, 서경 90°의 경선을 y축의 +방향으로 하여 극의 위치를 (x,y)의 좌표값으로 나타낸다. 이 경우, 각도의 1″ = 30.82m 이다 (여담이지만, 세계시 UT1 = 관측에서 정해지는 세계시( UT0) + Δλ, Δλ = 000 tan)cossin( ϕλλ yx +− 의 관계에서 정해진다) 어느 지점의 CIO 기준의 경위도를 00 ,λϕ 라 하자. 북위와 동경을 +로 한다 어느 순간의 眞北기준의 경위도 λϕ , 는 다음과 같이 구한다

0

000

000

sinsincoscoscos

ϕλϕλϕ

===

cba

yxcybyxacyxcybyxab

xcxaa

coscossincossinsincoscossinsin

sincos

000

000

00

+−=++=

−=

ab

=λtan

c=ϕsin 또는, 근사적으로,

0000

000

tan)cossin(sincos

ϕλλλλλλϕϕ

yxyx

++=−+= 에서 구해도 된다

(예 20-7) 극운동과 일주광행차를 보정한 위치계산

=0ϕ +35°47´20.0″ = 35.788889°

97

+139.531556°라 가정하고, 이 순간에 대한 (x,y)를 =0λx = -0.075″, y = +0.450″ 라 하자. =ϕ =− "235.00ϕ 35°47´19.8″ = 35.788833°

0.282″ = 139°31´53.3″ = +139.531472° −=λ 0λ이 위치에 대해 일주광행차를 보정한다 α5 = 41.559959° δ5 = +49.352081° Θ = 그리니치 시항성시 + 동경 = 121.224713° + 139.113664° (曆表좌표로 바꾼 것) = 260.338377° ※ ΔT = +100sec라 가정하면, 曆表동경 = 지리동경 – 1.002738 ΔT = +139.113664° 따라서, t = Θ - α5 = +218.778418° t’ = t + 0.311″, t’ = 218.778504° δ’ = δ5 – 0.123″ = +49.352047° 이 값을 지평좌표로 바꾸어 보면,

ϕδϕ cos'tansin'cos'sintan

−=

ttA 에서 A = 204.09° (대략 남서방향)

'cos'coscos'sinsinsinh tδϕδϕ += 에서 h = +1.82° (지평선 약간 위) 이 A, h에 대기차에 의한 값만 보정하면, 관측되는 A, h가 얻어진다 방위각 A에는 대기차의 영향이 없으므로 h에 대한 값만 고려하면 된다 h° 에 대한 대기차, R은, p(mb), T℃일 때,

)(min273

2831010

]0019279.0)

11.53.10tan(

02.1[ ofarcT

p

hh

R+

××+

++

= 로 주어진다

(예 20-8) p =1016, T = 25에서 h = +1.82° 에 대한 대기차, R = 16.9´ = 0.282° 에서, 관측고도 = h + 대기차 = +2.10° 만약, 관측자가 지상 H(m)의 높이라면, 위의 값에, 높이에 대한 대기차 H'37.0+ + 높이에 대한 眼高差 HH '12.2'75.1 +=+ 를 더해주어야 한다 가령, H= 70m라면, 높이보정치 = +17.7´ = +0.30°가 되어, 최종적으로, 보이는 고도 = +2.4°가 될 것이다. 제21제. 천체의 南中(Transit)시각 계산법

98

南中이란 천체가 관측자를 지나는 자오선상에 오는 것(글자그대로 정남쪽)을 말한다. 크게 어려운 계산이 아니므로 실례로 설명한다 (예 21-) 1988.3.20 미국 Boston에서의 금성의 南中時刻 보스톤의 지리경도 = 71°05´ W = +71.0833° 위도 = 42°20´ = +42.3333° ΔT = +56s 보스톤의 曆表서경 = 지리서경 + 1.0027379 ΔT = +71.3173° 3.20 0h TDT의 曆表視恒星時 = 177.74208° 3.20 0h TDT의 금성의 시적경 = 41.73129° ∴ 남중시각 = (금성의 시적경 + 역표서경 – 역표시항성시) / 360 = = -0.17970 (days) 이 값이 0과 1사이가 되게 을 해주어야 한다. 1±따라서, 남중의 제1근사시각 = +0.82030(days) 이 시각에 대한 曆表視恒星時 = 177.74208 + 0.82030 × 360.985647 = 113.8586° 3월 20.82030일에 대한 금성의 시적경 = 42.59324° 에서 금성의 地方時角 = 역표시항성시 – 역표서경 – 금성의 시적경 = 113.8586 – 71.3173 - 42.59324 = -0.05194°

따라서 남중시각에 대한 보정치 = 360 지방시각금성의

− = +0.000144(days)

필요시 逐次계산을 하면 된다 ∴ 남중시각(TDT) = 3.20 19:41.4 (UT) = 19:40.5 (LMT) = UT – 지리서경 = 3.20 14:56.2 제22제. 달의 秤動(librations) 계산법 칭동이란, 천체의 자전 또는 공전에 대하여 1주기마다 그 회전에 過不足이 생기는 현상을 말한다. 1. 幾何秤動(Optical librations) 달의 평균자전주기는 지구둘레를 도는 평균항성주기와 같고, 달의 적도의 平均面은 황도와 일정한 각도(I)로 궤도의 승교점에서 적도의 강교점과 만난다. 따라서, 평균하면, 달은 항상 같은 쪽半球만 지구쪽으로 향하게 된다. 하지만 달이 궤도를 도는 동안 달의 표면에 상대적인 지구의 기하학적 위치가 변하는 관계로 생기는, 기하칭동

99

이라 부르는 겉보기의 振動때문에 달 표면의 59%를 볼 수가 있다. 기하칭동은 經度의 칭동과 緯度의 칭동으로 나눌 수 있다. 달의 겉보기 원반의 평균 중심점은 달표면의 월면좌표의 원점이 된다. 월면경도는 겉보기의 원반의 평균중심을 지나는 달의 자오선에서 Mare crisium(위기의 바다)방향을 +로 하여 잰다. 즉, 地心天球의 서쪽방향이 +이다. 월면위도는 달의 적도에서 북쪽으로 잰 값이다. 즉, Mare serenitatis(고요의 바다)를 포함하는 半球쪽이 +이다. 경도의 칭동이 +일때(즉, 지구의 월면경도가 +일때), 달의 원반의 평균중심점을 천구상에서 동쪽으로 치우쳐, 달의 서쪽가장자리 부분이 보이게 되고(여분으로 보이는 부분은 달표면 거리로 환산하면 약 240km), 위도의 칭동이 +일 때(즉, 지구의 월면위도가 +일때)는, 달의 원반의 평균중심점이 남쪽으로 치우쳐 달의 북쪽 가장자리 부분이 보이게 된다(여분으로 보이는 거리는 달의 표면거리로 환산하여 약 204km정도이다). 경도의 칭동은 달의 궤도가 타원이기때문에 생기고 위도의 칭동은 달의 적도면이 달의 궤도면과 평균 6°43´ 기울어져있어 생긴다. 경도상의 기하칭동(l’), 위도상의 기하칭동(b’)는 다음과 같이 계산한다. I = 황도에 데한 달의 적도의 평균 경사각 = 1°32´32.7″ λ = 달의 지심시황경 β = 달의 지심시황위 Δψ = 황경의 장동

F = 달의 黃緯引數 =

863310000

35260000034029.00175273.4832022720993.93

4

32

T

TTT

+

−−+ (deg)

T = (JD – 2451545) / 36525 Ω = 달의 궤도의 승교점평균황경 = 125.0445550 – 1934.1361849 T

60616000467410

0020762.043

2 TTT −++ (deg)

W = λ – Δψ – Ω

βββ

coscossinsincoscossintan

WIIWA −

=

l’ = A –F

IIWb cossinsincossin'sin ββ −−=

100

(예 22-1) 1992.4.12 0t TDT에 대한 기하칭동 T = -0.077221081451 F = 219.889726°, Ω = 274.400655° λ = 133.167269°, β = -3.229127°, Δψ = +0.004610° W = 218.762004°,

778515282.0623350089.0tan

−−

=A

A = 218.683937° l’ = -1.2058°, b’ = +4.1940° 2. 物理秤動(Physical librations) 달이 실제로 달 자신의 重心주위를 회전하는 함으로써 생기는 진동이다. 이 것은 달이 3軸不等楕圓體이기때문에 생긴다. 물리칭동은 광학칭동보다 매우 작아, 경도, 위도 共히 0.04°를 넘지않는다. 달의 표면상의 거리로는 약 1.5km이다. 경도상의 물리칭동(l”)와 위도상의 물리칭동(b”)를 구하면, 달의 總칭동은 이들의 합이므로, l = l’ + l”, b = b’ + b”로 구한다 물리칭동을 구하기 위해서는 다음 값들을 계산해야 한다. D = 달의 평균이각 = 297.8502042 +445267.1115168 T -0.0016300 T2

(deg)113065000545868

43 TT−+

M = 해의 평균근점이각 = 357.5291092 + 35999.0502909 T

(deg)24490000

0001536.03

2 TT +−

M’ = 달의 평균근점이각 = 134.9634114 + 477198.8676313 T

(deg)1471200069699

0089970.043

2 TTT −++ 20000074.0002516.01 TTE −−=

K1 = 119.75 + 131.849 T (deg) K2 = 72.561 + 20.186 T(deg) 에서, ρ = -0.02752 cos M’ – 0.02245 sin F + 0.00684 cos(M’ -2F) -0.00293 cos 2F -0.00085 cos(2F-2D) -0.00054 cos(M’-2D) -0.00020 sin(M’+F) -0.00020cos(M’+2F) -0.00020cos(M’-F) +0.00014 cos(M’+2F-2D) τ = +0.02520 E sin M + 0.00473 sin(2M’-2F) -0.00467 sin M’

101

+0.00396 sin K1 +0.00276 sin(2M’-2D) +0.00196 sin Ω -0.00183 cos(M’-F) +0.00115 sin(M’-2D) -0.00096 sin(M’-D) +0.00046 sin(2F-2D) -0.00039sin(M’-F) -0.00032 sin(M’-M-D) +0.00027 sin(2M’-M-2D) + 0.00023 sin K2 -0.00014 sin 2D +0.00014 cos(2M’-2F) – 0.00012 sin(M’-2F) – 0.00012 sin 2M’ +0.00011 sin(2M’-2M-2D) σ = -0.02816 sin M’ + 0.02244 cos F -0.00682 sin(M’-2F) -0.00279 sin 2F -0.00083sin(2F-2D) +0.00069 sin(M’-2D) +0.00040 cos(M’+F) -0.00025 sin 2M’ -0.00023 sin(M’+2F) +0.00020 cos(M’-F) +0.00019 sin(M’-F) +0.00013 sin(M’+2F-2D) - 0.00010 cos(M’ -3F) l” = - τ + (ρ cos A + σ sin A) tan b’ b” = σ cos A – ρ sin A 를 구한다 (예 22-2) 위의 예와 같은 시각에 대해, D = 113.842309°, E = 1.000194, M = 97.643514°, M’ = 5.150839°, K1 = 109.57°, K2= 71.00° ρ = -0.01042, σ = -0.01574, τ = +0.02673 l” = -0.025°, b” = +0.006° ∴ l = -1.23°, b = +4.20° 3. 자전축의 위치각 달의 자전축의 위치각(P)는, 원반의 중심으로부터 자전축의 북극까지의 달의 자오선이, 중심을 지나는 赤緯圓(declination circle)과 이루는 각도이다. 원반의 北點으로부터 동쪽으로 잰다. 즉, 0°이면 천구의 북쪽, 90°는 동쪽, 180°는 남쪽, 270°는 서쪽이다. α = 달의 지심시적경, ε =眞황도경각이라 하면,

IV

sinσψ +Δ+Ω=

X = sin(I + ρ) sinV ερερ sin)cos(coscos)sin( +−+= IVIY

YX

=ωtan

bYXP cos/)cos(sin 22 ωα −+= 이다 (예22-3) 앞의 예에서, α = 134.688473°, ε = 23.440636°, V = 273.520506°, I + ρ = 1.53200°

102

X = -0.026676, Y = -0.396022, ω = 183.8536°, P= 15.08° 4. 測心秤動(Topocentric librations) 日週秤動이라고도 한다. 이것은, 달의 지평시차가 평균 57´이므로, 지심에서 보는 경우에 비해 월출무렵에는 달의 서쪽가장자리가 여분으로 보이고, 월입무렵에는 달의 동쪽가장자리가 여분으로 보이는 것이다. 여분으로 보이는 부분은 달 표면상의 거리로는 27-31km이다. 정확한 달의 가장자리 윤곽선을 정하기위해서는 위에서 구한 지심칭동값들을 측심칭동값으로 고칠 필요가 있다. 그 방법은 두가지가 있다. 가. 직접 산출법 앞의 식들에서 λ, β, α의 지심값대신에 측심값을 대입하여 계산한다 나. 補正法 φ’ = 관측자의 地心위도, δ = 달의 地心시적경, H = 달의 지심 地方時角 = 地方視恒星時 – 달의 지심시적경, 地方視恒星時 = 그리니치항성시 –관측자의 서경, π = 달의 地心地平視差라 하면,

HHQ

cos'cossin'sincossin'costan

φδφδφ

−=

Hz cos'coscos'sinsincos φδφδ += )2sin0084.0(sin' zz +=ππ (π’는 달의 測心시차이다)

지심칭동 l, b 및 위치각 P에 대한 보정치는,

bPQl

cos)sin(' −−

=Δπ

)cos(' PQb −+=Δ π

δπ tansin')sin( QbblP −Δ+Δ+=Δ 로 주어진다 計算예는 생략한다 (終)

103

(최신 天文常數) The Astronomical almanac for the year 2006에 의함(SI 단위계) 1. 定義 상수 가우스인력상수, k = 0.01720209895 광속, c = 299292458 m/s 2. 기타 단위거리에 대한 光差, τA = 499.0047863852 sec 단위거리(AU), A = 149597871.464 km 지구적도반경, ae = 6378.1366km 지구의 편평률, f = 0.0033528197 = 1/298.25642 지구자전 각속도, ω = 7.292115 rad/s 510−×地心인력상수, GE = 3.98600439 231410 −× sm日心인력상수, GS = 1.32712442076 232010 −× sm인력상수, G= 6.673 2131110 −−−× skgmJ2000.0에서 황경상의 일반세차, pA = 5029.796195″/julian century J2000.0의 황도경각, = 23°26´21.406″ 0ε달의 對지구질량비, μ = 1/81.30056 = 0.0123000383 지구의 對日질량비, S/E = 332946.050895 지구+달의 對日질량비 = 328900.561400 해의 질량, S = 1.9884 kg3010×J2000.0에서 장동상수, N = 9.2052331″ 해의 시차, Θπ = 8.794143″ J2000.0에서 광행차상수, κ = 20.49551″ DE405에서 사용한 행성 및 소행성의 對日질량비 수성 6023600 금성 408523.71 지구 + 달 328900.561400 화성 3098708 목성 1047.3486 토성 3497.898 천왕성 22902.98 해왕성 19412.24 Pluto 135200000 (이상은 역수) 1ceres = 4.7 Θ× − M10102pallas = 1.0 Θ× − M10104vesta = 1.3 Θ× − M1010위성의 모행성질량비(위성/모행성) 목성 Io 4.70e-5, Europa 2.53e-5, Ganymede 7.80e-5, Callisto 5.67e-5 토성 Titan 2.37e-4 천왕성 Titania 4.06e-5, Oberon 3.47e-5 해왕성 Triton 2.09e-4

104

행성의 적도반경 수성 2439.7km 금성 6051.8km 지구 6378.14km 화성 3396.19km 목성 71492km 토성 60268km 천왕성 25559km 해왕성 24764km pluto 1195km, 달의 평균반경 1737.4km, 해 696000km

105

(주요 참고서적- 無順) Astronomical Algorithms, J.Meeus, Willmann-Bell,Inc., 1991 Explanatory supplement to the Astronomical almanac, 1992 Explanatory supplement to the Astronomical Ephemeris and the American Ephemeris and Nautical almanac, 1977 Astronomical formulae for calculators, J.Meeus, Willmann-Bell,Inc., 1985 數理天文學, 渡邊敏夫, 恒星社厚生閣, 1977 A Manual of spherical and practical astronomy, W.Chauvenet, 1891 Practical Ephemeris calculations, O.Montenbruck, Springer-Verlag, 1987 Computational spherical astronomy, L.G.Taff, John wiley & sons, 1981 天體の位置計算, 長沢 工, 地人書館, 1981 天文計算入門, 長谷川一郞, 恒星社厚生閣, 2002 Elements of solar Eclipses 1951-2200, J.Meeus. Willmann-Bell,Inc.,1989

106