J. Huek

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE-biljeke s predavanja-

Varadin, 2007.

1

1. UVODPredmet prouavanja "Osnova elektrotehnike I" je gradivo iju cjelinu ine sljedea poglavlja: a) Elektrostatika b) Strujni krugovi istosmjerne struje c) Magnetizam d) Prijelazne pojave u krugovima istosmjerne struje U prouavanju problematike pojavljivati e se zakoni u dva oblika: -diferencijalni oblik -integralni oblik

1.0. Diferencijalni oblik zakona vrijedi za odreenu toku prostora, a u njemu se pojavljujudiferencijalne veliine i svojstva materije. Diferencijalne veliine se odnose na jedinicu duine, povrine ili volumena. 1.1. Integralni oblik zakona vrijedi za odreeni prostor, plohu ili duinu, a u njemu se pojavljuju integralne veliine i konstante koje se odnose na materiju obraivanu dotinim zakonom. Integralne veliine zahvaaju fizikalnu veliinu u prostoru, na plohi ili duini. Pri obraivanju gradiva moramo se koristiti Meunarodnim sustavom mjernih jedinica (SI) za sedam fizikalnih veliina kako je prikazano u tablici 1.1. Fizikalna veliina Osnovna jedinica Oznaka jedinice duljina metar m masa kilogram kg vrijeme sekunda s jakost elektrine struje amper A termodinamika temperatura kelvin K koliina tvari mol mol jakost svjetlosti kandela cd Tablica 1.1. Osnovne jedinice SI sustava Jedinice svih ostalih fizikalnih veliina odreujemo iz osnovnih zakona primjenom osnovnog sustava mjernih jedinica. Nazivamo ih izvedene jedinice, a povezane su s osnovnim jedinicama preko dimenzijske jednadbe odreene veliine. Na primjer, iz F = m a izlazi da je izvedena jedinica za silu (kg m s-2 = N). Faktor 1018 1015 1012 109 106 103 102 101 Prefiks eksa peta tera giga mega kilo hekto deka Oznaka E P T G M k h da Faktor 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 Prefiks deci centi mili mikro nano piko femto ato Oznaka d c m n p f a

Tablica 1. Pfiksi jedinica fizikalnih veliina

2

Pri objanjavanu gradiva esto se pojavljuju grka slova iji pregled je dati u sljedeoj tabeli

Naziv Alfa Beta Gama Delta Epsilon Zeta Eta Teta Jota Kapa Lambda Mi

Veliko Malo Naziv Ni Ksi Omikron Pi Ro Sigma Tau Ipsilon Fi Hi Psi Omega

Veliko Malo , u u v u v = v2 v

1.2. Matematiki podsjetnik(sin x) = cos x (cos x) = sin x 1 (tgx) = cos 2 x 1 (ctg ) = 2 sin x

x n +1 x dx = n + 1 + kn

n 1

x12

12

dx =

1 +k x

x dx = ln x + k cos x dx = sin x + k sin12

1

sin x dx = cos x + ky

cos

x

dx = tan x + k

x

= ctgx + k

e

x

dx = e x + k

Skalarni produkt vektora a i b je broj a b = a b cos(a, b) Pritom vrijedi da je: i i = j j = k k = 1 ;

i j = j i = i k = k i = j k = k j = 0

jkz

iSl.1.1

x

Vektorski produkt vektora a i b je vektor

c = a b c = a b sin (a , b ) Pritom vrijedi da je: i i = j j = k k = 0 i j =kj i = k k j = i i k = j

j k = i

k i = j

i , j , k su jedinini vektori u osima x, y, z Pravilo desnog vijka: Ako ravnina i , j rotira u naznaenom smjeru (Sl. 1.1) po pravilu desnog vijka jedinini vektorr k ima orijentaciju prema nama (iz papira). Zato je i j = k i a b = ax b x j ay by k az = (a y bz az by ) i + (az bx ax bz ) j + (ax by a y bx ) k bz 3

2. ELEKTROSTATIKA2.0. Struktura materije i elektrini nabojiSva materija je sastavljena od atoma koji su graeni na jednak nain. U sredini atoma se nalazi jezgra dimenzije reda veliine 10-14 m, oko koje se gibaju elektroni. Promjer elektronskih putanja je reda veliine (2-3)10-10 m. Jezgru atoma ine teke estice, protoni i neutroni. Mase protona i neutrona su jednake i iznose 1,6710-27 kg, dok je masa elektrona oko 1840 puta manja i iznosi 9,1110-31 kg. Izmeu protona i elektrona djeluje privlana sila, a izmeu dva protona odnosno elektrona djeluje odbojna sila. Postojanje tih sila se pripisuje elektrinim nabojima koji su pridrueni elementarnim atomskim esticama protonima i elektronima. Prema konvenciji protonu se pripisuje pozitivni elektrini naboj, a elektronu negativni naboj, koji su istog iznosa e = 1,610-19 C] (elementarni naboj). Neutron ne nosi elektrini naboj. Atom je kao cjelina elektriki neutralan: u njemu je jednak broj protona i elektrona. Elektriziranje materije nastaje tako da se na neki nain povea ili smanji broj elektrona koji mogu prelaziti s jednog tijela na drugo. Neutralna materija koja iz vanjskog izvora primi elektrone postaje elektriki negativno nabijena, dok materija gubljenjem elektrona postaje pozitivno nabijena. Da bi se elektron odvojio od elektriki neutralnog atoma materije, potrebno je utroiti energiju za savladavanje privlane sile izmeu elektrona i jezgre (npr. trenjem). To u stvari znai da pozitivno nabijeno tijelo posjeduje obje vrste naboja, ali je broj negativnog naboja manji, tj. postoji manjak elektrona. Isto tako kod negativno nabijenog tijela postoji viak negativnog naboja tj. elektrona. Nabiti neko tijelo elektrinim nabojem znai poremetiti ravnoteu pozitivnog i negativnog naboja. Iznosi naboja su kvantizirani. Svaki naboj Q je cjelobrojni viekratnik elementarnog kvanta naboja e : Q = n e to su elektrini naboji ne znamo, ali znamo tota o njima pomou ega moemo objasniti pojave koje su u svezi s elektrinim nabojima.

2.1. Tokasti nabojAko su dimenzije nabijenog tijela zanemarive (kuglica iji polumjer R0), naboj tog tijela smatramo tokastim i oznaujemo ga sa Q. Mjerna jedinica naboja je As ili C (kulon). Pri opisivanju elektrinih pojava izmeu mirujuih naboja koristimo zakon kojeg je ve 1785. godine na temelju pokusa postavio Coulomb, pa ga zato zovemo Coulombov (Kulonov) zakon. Coulombov zakon je temeljni zakon elektrostatike koji glasi: Sila kojom dva tokasta naboja meusobno djeluju jedan na drugog je proporcionalna produktu tih naboja, a obrnuto proporcionalna kvadratu meusobne udaljenosti, to se zapisuje kao:

(2.1)

F =k

Q1 Q2 r012 [ N ] 2 r12

k=

Nm 2 = 8,987 109 9 109 2 4 0 C 1

gdje je 0 dielektrina konstanta vakuuma i iznosi:

0 = 8,854 10

12

109 = 36

C Vm

4

Apsolutni iznos sile izmeu 2 tokasta naboja u vakuumu iznosi:F = 1 4 0 Q1 Q2 [N ] 2 r12

Q1 > 0

F12 ako

je Q2 < 0

Q2

F12 ako

je Q2 > 0

r12 Sl.2.1

U izrazu 2.1 r012 je jedinini vektor vektora r12 . Openito, jedinini vektor r0 ima duljinu 1, kolinearan je vektoru r i ima istu orijentaciju.

r0

r

r 0

Sl.2.22.2. Elektrino polje i jakost elektrinog polja

(2.2)

r0 =

r r

Elektrino polje definiramo kao prostor kojeg su mirujui naboji doveli u "elektriki napeto stanje". Mjerilo napetog stanja moe biti sila na pokusni naboj u odreenoj toci polja. elimo li elektrina polja meusobno usporeivati moramo posvuda odabrati isti pokusni naboj (po iznosu i polaritetu). Zato je najbolje ako za pokusni naboj izaberemo +1As.

Q

r0

r

Q1 = 1As

F E

Sl. 2.3Sila kojom elektrino polje djeluje na +1As u zadanoj toci se zove jakost elektrinog polja kojuoznaavamo s E . Elektrino polje naboja Q djeluje na naboj Q1 silom:

(2.3)

F =k

Q Q1 r0 [ N ] r2

Ako za Q1 uzmemo +1As po definiciji za jakost elektrinog polja izlazi:

(2.4)

E=

1 4 0

Q N r0 r2 C

N N V C = As = m

5

Ako bi umjesto naboja +1As imali naboj Q1, na njega bi djelovala Q1 - puta vea sila, a to znai da je:

(2.5)

F = E Q1

Jakost elektrinog polja je vektorska veliina koja elektrino polje definira u zadanoj toci prostora. Zato je to diferencijalna elektrina veliina.Primjer izraunavanja jakosti el. polja: Zadatak 1: Treba izraunati jakost elektrinog polja u toci T prema slici 2.4, ako je Q = +1 nC

y (cm)

4 3 2 1Q r0 r

T

ET Ex

Ey

je jedinini vektor koji je dogovorno uvijek orijentiran prema toci u kojoj izraunavamo jakost elektrinog polja. r 2 = 3 2 + 4 2 = 5 cm

r0

1

2

3

4

x (cm)

Sl. 2.4

ET 9 109

1109 9 V kV 104 0,36 104 3, 6 4 25 10 25 m m

elimo li jakost elektrinog polja Er izraunati po komponentama moramo jedinini vektor r0 rastaviti na komponente u osi x i y prema izrazu:

r0 = cos i + sin j , gdje su i i j jedinini vektori u smjeru osi x i y, a cos i komponenta jedininog vektora r0 u smjeru osi x i sin j komponenta jedininog vektora r0 usmjeru osi y.4 3 4 3 Slijedi da je: r0 = i + j = 0,81i + 0,6 j jer je cos = i sin = . 5 5 5 5 kV Prema tome ET = 3, 6 (0,8i + 0, 6 j ) = 2,88i + 2,16 j . m kV 2 Jasno da je ET = Ex2 + E y = 2,882 + 2,162 = 12,96 = 3, 6 . Pri izraunavanju jakosti m elektrinog polja koje je rezultat veeg broja naboja koristimo se metodom superpozicije. To e pokazati sljedei primjer.

Zadatak 2: Treba izraunati jakost elektrinog polja u toci T ako je zadano: Q1 = 1nC , Q2 = 2 nC ,Q3 = 2 nC .6

y (cm)

Q23 2

E1T

r02

r2

T

E2T

r1r011 2 3

E3T

Q1

1

r3 Q3 r034

x (cm)

Sl. 2.5U toci T zamiljamo pokusni naboj +1As, pa prema tome slijede smjerovi i orijentacije jakosti elektrinog polja kako je prikazano na slici 2.5. Svi jedinini vektori r01 , r02 i r03 su orijentirani prema toci T u kojoj izraunavamo ukupnu jakost elektrinog polja ET . Rezultantna jakost elektrinog polja u toci T prema slici 2.5 iznosi:

E =ET +E2T +ET T 1 3E1T (iz prethodnog zadatka) iznosi: E1T = 2,88 i + 2,16 j . Jakost polja naboja Q2 iznosi: Q E2T = k 22 r02 , gdje je r02 = i , pa je: r2E1TE2T

E2T =

9 109 2 109

( 4 10 )2

2

r02 = 11, 25 i

kV . m

Jakost polja naboja Q3 iznosi:2 1092 2

E3T

ET

E3T 9 109

( 3 10 )

j=

18 j = 20 j 9 104

kV . m

Sl.2.5 a

Vidimo da rezultati izraunavanja potvruju jakost elektrinog polja po smjeru i orijentaciji. Ukupna jakost elektrinog polja u toki T se dobije vektorskim zbrojem jakosti elektrinog polja pojedinih naboja. ET = 2,88 i + 2,16 j + 11,25 i 20 j = 14,13 i 17,84 j kV Apsolutni iznos: ET = 14,132 + 17,842 = 22, 75 . m

Da bi dobili to zorniju sliku o elektrinom polju, polje prikazujemo elektrinim silnicama. Elektrine silnice su zamiljene linije za prikaz elektrinog polja, a pomou njih moemo utvrditi smjer, orijentaciju i jakost elektrinog polja. Silnice izlaze iz pozitivnog naboja, a ulaze u negativan naboj. Polje je jae gdje su silnice gue, odnosno slabije gdje su silnice rjee.7

Prikaz elektrinog polja tokastog naboja pomou silnica:

B A +

Sl. 2.6

Toka B ima veu jakost elektrinog polja od toke A, jer su tu silnice gue. Polje tokastog naboja je radijalno prostorno polje. Jakost elektrinog polja je dana izrazom: kvadratom udaljenosti.

(2.6)

E=

Q r0 , 4 r2

to znai da opada s

2.3. Linijski nabojNaboj beskonano dugog i beskonano tankog ravnog vodia nazivamo linijski naboj, koji je jednoliko rasporeen po duljini tako da je koliina naboja po jedinici duljine jednaka [ As m ] . Prouavanje zakonitosti u svezi linijskog naboja ima opravdanje zbog elektrinih vodova i kabela koji po svojim geometrijskim dimenzijama priblino udovoljavaju zahtjevima da naboj skupljen na njima tretiramo kao linijski. Elektrino polje linijskog naboja je radijalno polje u ravnini.

+ Sl. 2.7Jakost elektrinog polja linijskog naboja moemo izraunati na osnovi zakona superpozicije kojim se rauna rezultantna jakost elektrinog polja E veeg broja tokastih naboja, jer je ovdje mogue matematikim postupcima provesti sumiranje pojedinih komponenata. 8

x dxx

+

dEA

EdE

y

x

dx

Sl. 2.8

,a 4 0 r 2 ukupna jakost E od cijelog vodia bit e jednaka sumi, tj. integralu svih diferencijalnih jakosti, pri emu se integracija po varijabli x provodi od do + . Iz slike se vidi da se komponente polja u smjeru vodia meusobno ponitavaju, te preostaju samo komponente okomite na smjer vodia.

Prema slici 2.8. u toki A je od naboja dx stvorena jakost elektrinog polja: dE =

1

dx

dE cos =

dE cos je radijalna komponenta jakosti elektrinog polja (jedina preostala) pa emo je oznaiti s E.

dx cos 4 0 r2

+ dx cos E= 4 0 r2 Integriranje je jednostavnije po varijabli koja se za beskonano dugi vodi mijenja od 90 do + 90 . Pri tome su potrebne sljedee supstitucije:

y 1 y2 2 r= dx = y d , r = x = y tg , cos , cos2 cos 2 +90 +90 cos d = sin | , E = pa je: E = 2 0 y 4 0 y 90 4 0 y -90Budui da postoje samo radijalne komponente, jakost elektrinog polja beskonano dugog vodia zapiemo: E = , gdje je r okomita udaljenost neke toke od vodia. 2 0 r 9

r0 A rA

A

EA

(2.7)

EA =

r0 A 2 0 rA

Sl. 2.9Polja tokastog i linijskog naboja su nehomogena jer silnice u razliitim tokama polja nemaju jednaku gustou niti su meusobno paralelne.

2.4. Elektrino polje tijela realnih dimenzijaU praksi se susreemo s nabijenim tijelima ije su dimenzije realne (kugla, vodi, valjak, ploha i sl.) Konfiguracija elektrinog polja kod nabijenih tijela nepravilnog oblika je sloena i takva tijela nisu primjerena za prouavanje osnovnih zakonitosti koje vladaju u elektrinom polju. Zato emo razmotriti sljedea nabijena tijela: - kuglu - valjak - ravninu Ako su navedena tijela vodljiva (kovine), sav dovedeni naboj e se pojaviti na povrini, a razlog tome su odbojne sile izmeu istoimenih naboja. Naboji se jedan od drugog nastoje to vie udaljiti, a najvee udaljavanje je upravo na povrini. To znai da postoji samo normalna komponenta polja. Tangencijalna komponenta elektrinog polja na povrini bi prouzroila gibanje naboja po povrini koji bi se razmjestili tako da se ta komponenta polja poniti. Naboj e se ravnomjerno rasporediti po povrini ako je povrina posvuda jednako zakrivljena. Jednako zakrivljene povrine imaju upravo kugla, valjak i ravnina (zakrivljenost ravnine je posvuda 0). Gustoa naboja je kod takovih tijela na svim mjestima jednaka (inae je vea ako je polumjer zakrivljenosti manji). Naboj skupljen na povrini je povrinski naboj, a naboj skupljen na jedinici povrine predstavlja povrinsku gustou naboja . Ako je zakrivljenost povrine konstantna, povrinska gustoa je posvuda ista i iznosi:

(2.8)

=

Q S

Ako taj uvjet nije zadovoljen, povrinsku gustou raunamo prema izrazu: =

dQ dS Prema izloenom lako odredimo povrinske gustoe na nabijenoj kugli, valjku ili ravnini.

Povrinska gustoa na kugli polumjera R iznosi:

=

Q Q . = S 4 R2

Kod nabijenog valjka (beskonano dugi) ne moemo govoriti o ukupnom naboju, ve samo o naboju Q koji je skupljen na jedinici duljine (na 1 metar): = linijski naboj. l Q l Povrinska gustoa nabijenog valjka iznosi: = = . = S 2 R l 2 R 10

2R l je naravno povrina plata valjka duljine l i polumjera R.Ako je naboj skupljen na ravnoj plohi ije je jednostrana povrina S , gustoa naboja je definirana Q Q izrazom: = = gdje je S ukupna povrina plohe. S 2S U elektrotehnici se susreemo i s prostornom razdiobom naboja (elektronski oblak), pa postoji i dQ Q ili = , ako naboj nije jednakomjerno prostorna gustoa naboja koja se zapie kao: = V dV raspodijeljen u prostoru volumena V. Da jo jedanput razmotrimo nabijeni vodi iji je presjek proizvoljnog oblika:

Smjer polja u odreenoj toci na povrini vodia odreuje normala na tangentu u toj toci. Kao to je ve spomenuto gustoa naboja je vea na onim dijelovima Sl.2.10 povrine koji imaju manji polumjer zakrivljenosti. Utvreno je da je omjer povrinske gustoe naboja i jakosti elektrinog polja E u proizvoljnoj toki na povrini nabijenog tijela konstantan. Za vakuum taj omjer je jednak apsolutnojdielektrinoj konstanti

++ + ++ + + + + + E =0 + + vodi B + E + + B + ++ +A

EA

Unutar vodia polje je jednako nuli (E=0). Isto vrijedi i za uplji vodi. Ta injenica je u praksi iskoritena za zatitu elektrinih ureaja od tetnog utjecaja vanjskih elektrinih polja. (Faradayev kavez). Ako je izvor elektrinog polja unutar ograenog prostora metalni oklop se mora uzemljiti.

0 . Jo pri Coulombovom zakonu smo spomenuli konstantu9

k

iz ega

slijedi : 0 =

1 1 10 k = = = 8,854 1012 9 4 4 9 10 36

Reeno zapiemo: 0 =

E

As Vm .

to znai da poznavajui povrinsku gustou naboja moemo izraunati

jakost elektrinog polja E =

. 0

2.5. Elektrino polje kovinske kugle:

R

r

ErZa r < R jakost elektrinog polja E=0 Za r R jakost polja se mijenja prema izrazu Q to znai da opada s kvadratom E= 4 0 r 2 udaljenosti.

E

2.6. Elektrino polje kovinskog valjka:

Er

Sl. 2.11

r

11

R

r

Er

Za r < R jakost elektrinog polja E=0 Za r R jakost polja se mijenja prema izrazu E =

, tj. opada obrnuto 2 0 r

EEr

razmjerno s udaljenou r.

Sl. 2.12

r

2.7. Elektrino polje ravne ploe:

+ + + + + + + + + + + +

Elektrino polje ravne ploe koja je jednoliko nabijena As nabojem gustoe 2 usmjereno je normalno na m ravninu, a jakost mu je neovisna o udaljenosti od ravnine.

E=

2 0

Polje je homogeno.

Sl.2.13

12

2.8. Elektrina influencijaNeutralno kovinsko tijelo pod utjecajem elektrinog polja nabijenog tijela i samo postaje elektriki nabijeno. Elektrinom influencijom naboj na vodljivom tijelu nije se stvorio, ve se zbog djelovanja elektrinih sila razdvojio ve postojei , ali uravnoteeni pozitivni i negativni naboj poetno neutralnog tijela. Influencija se moe postii samo na vodljivim materijalima, jer je kod njih mogue gibanje slobodnih naboja. Uklanjanjem elektrinog polja vodljivo e tijelo ponovo doi u stanje elektrine ravnotee, tj. ponovno e postati neutralno.

2.9. Vodi u elektrostatikom poljuRazmotrimo sluaj ako u homogeno polje postavimo kovinsko tijelo kao to je prikazano na slici.

Sl. 2.14.U kovinskom tijelu je dolo do influencije, a influencirani naboj je promijenio prvobitni oblik polja kako je prikazano na slikama. U kovinskoj tijelu nema polja jer se vanjsko polje i polje influenciranog naboja kompenziraju. Promjena oblika prvotnog polja nema uvijek negativan znaaj, jer ponekad namjerno u polje unosimo vodie da bi dobili eljeni oblik polja. Unijeto kovinsko tijelo ne promijeni oblik prvotnog polja ako povrina unijetog kovinskog tijela stoji posvuda pravokutno na polje. Ploha koja posvuda stoji pravokutno na elektrino polje zove se Gaussova ploha. Kod nabijene kugle, Gaussove plohe su ljuske ili sfere koncentrinih kugli (kasnije emo te plohe zvati ekvipotencijalne plohe). Ako Gaussove plohe uinimo vodljivima, na njima se influencijom ostvari ista koliina naboja Q kojom je nabijena kugla. Povrinska gustoa influenciranog naboja = koju dobijemo na 4 r 2 zamiljenoj kovinskoj Gaussovoj plohi s polumjerom r emo za E Q razliku od stvarne povrinske gustoe naboja na povrini tijela +Q zvati vektor elektrinog pomaka i oznaavati s D. Influencirani naboj je nastao ba pomicanjem naboja. Mjerenje + dielektrinog pomaka se vri Maxwellovim ploama. +

-

+ + +

Dvije vrlo tanke ploice na izoliranim drcima stave se u polje najprije zajedno dodirnute, a kad se pod utjecajem polja stvori na svakoj od njih influencirani naboj one se rastave jo u polju i izvade iz njega te se izmjeri koliina slobodnog naboja Q na jednoj ploi.

Sl. 2. 15

13

Mjerenja pokazuju da je veliina D direktno proporcionalna jakosti elektrinog polja, ali da i ovisi o vrsti izolacije u kojoj je stvoreno polje. Isto tako koliina influenciranog naboja ovisi o poloaju Maxwellovih ploa to znai da veliina D ima vektorski karakter.

(2.9)

D = 0 E

O toj veliini elektrinog polja jo e biti govora kasnije. Faktor proporcionalnosti je upravo dielektrina konstanta 0 . Veliinu D je mogue analogno elektrinim silnicama prikazati D-linijama. Pri prouavanju polja u ijem se prostoru nalaze na pojedinim mjestima razne vrste izolacija, pokazalo se korisnim uz veliinu E imati i veliinu D jer je, kao to e kasnije biti izvedeno, omjer vektora D i E za razne vrste izolacije razliit. Vektor gustoe elektrinog pomaka D je matematiki uvedena veliina, fizikalni znaaj dobije tek na povrini nabijenog tijela gdje prelazi u povrinsku dS E gustou .

En

2.1.0. Tok elektrinog polja. Gaussov zakon.Tok elektrinog polja kroz povrinu S dan je izrazom

dS

(2.10)

e = E dS = E dS cos = En dSS S S

Sl.2.16U vakuumu tok elektrinog polja kroz proizvoljno zatvorenu povrinu jednak je algebarskom zbroju naboja unutar te povrine podijeljenom dielektrinom konstantom vakuuma. To je tzv. Gaussov zakon koji zapisan izgleda:

(2.11)

EdS =S

Qi =1

n

i

0

Gaussov zakon poopen na dielektrike glasi:

D dS = QS i =1

n

i

tj. integral vektora gustoe

elektrikog pomaka po proizvoljnoj zatvorenoj povrini jednak je algebarskom zbroju slobodnih (nevezanih) naboja unutar te povrine. Tako formuliran Gaussov zakon vrijedi za prazan prostor i dielektrik. Pomou Gaussovog zakona jednostavno je doi do izraza za jakost elektrinog polja nabijene kugle, valjka ili ravnine. Kao primjer primijenit emo Gaussov zakon na linijski naboj. Na svim elementima plata valjka je jakost polja E iste vrijednosti, a njen vektor je okomit na povrinu pa je = 0 . Zato vrijedi

dS = 2 r l , gdje je 2 r lS

povrina plata valjka polumjera r i duljine l.

14

Slijedi: E 2 r l =

Q

0

ili E =

Q2r 0 l

=

ime smo potvrdili ranije izveden izraz za jakost 2r 0

elektrinog polja valjka. I na kraju ovog dijela razmotrit emo elektrino polje koje se formira izmeu dvije ravne paralelne plohe. (sl. 2.17)

+Q

Q

Sl. 2. 17+Q QOvdje smo prikazali polja svake ravnine zasebno. Metodom superpozicije lako je ustanoviti da e polje unutar ploa biti dvostruko jae jer su tu silnice dvostruko gue nego silnice jedne ploe. Izvan ploa polja se ponitavaju to je vidljivo sa slike 2.17. Zato rezultantno polje postoji samo unutar ploa i to dvostruke jakosti nego to je polje osamljene ploe. (Sl. 2.18) Jakost polja se zapie kao:

(2.12)

E=2

= 2 0 0

Sl. 2.18

Polje je homogeno jer su silnice posvuda jednake gustoe i meusobno su paralelne.

15

2.1.1. Potencijalna energija nabojaU prijanjem poglavlju smo vidjeli da je elektrino polje u svakoj toci potpuno odreeno pomou vektorske veliine, a to je jakost elektrinog polja E . To je tzv. vektorska predodba elektrinog polja. Osim takve predodbe elektrinog polja, mogua je i predodba s elektrinim potencijalom. Naime, elektrino polje posjeduje potencijalnu energiju to znai da je sposobno obavljati rad. Ako se naboj pomakne iz toke 1 u toku 2, elektrino polje je obavilo rad: dA = F dl = Q E dl = Q E cos dl

l

2

1

F

naboj se 2 giba u smjeru polja, polje vri rad kojeg tretiramo kao pozitivni. Ako je kut >

Ako je kut izmeu dl i F manji od

naboj se giba protivno polju to 2 znai da rad vri vanjska sila i takav rad tretiramo kao negativni. Pri pomaku naboja Q iz toke 1 u toku 2, elektrino polje je obavilo rad:

Sl. 2.192

2.13)

A = Q E dl = W p1 W p 2 = W po . Wkon.1

Budui da je ovdje W kon < W po rad je pozitivan.Pri tokastom naboju to izgleda ovako:

.1 r1

A = Q E dl = W p1 W p 2 = W po . Wkon. =1

2

Q1

r2

2

(

Q Q1 Q Q1 ) = W p1 W p 2 = W po . Wkon. 4 0 r2 4 0 r1

Sl. 2.20

Potencijalna energija sustava tokastih naboja se izrauna prema izrazu: n 1 n W p = (Qi i ) gdje je i = ki , gdje je potencijal kojeg 2 i k =1k i

emo naknadno definirati. Za sustav tri tokasta naboja prema slici:3 Q 3

aQ1

a

Wp =Q2

1

a

2

1 (Q1 1 + Q2 2 + Q3 3 ) 2 1 Q2 1 Q3 1 Q1 1 Q3 1 Q1 1 Q2 1 = + ; 2 = + ; 3 = + 4 0 a 4 0 a 4 0 a 4 0 a 4 0 a 4 0 a

16

2.1.2. Elektrini potencijalElektrini potencijal je potencijalna energija koju u elektrinom polju poprima jedinini pozitivni naboj. Potencijal je skalarna veliina. U odreenoj toci potencijal je rad koji je potrebno izvriti da se pozitivni jedinini naboj prenese iz beskonanosti u tu toku.

a = E dl

a

Jedinica za potencijal je 1V,

V m=V . m

Iz izraza za potencijal slijedi da je openito:

(2.14)

El = E=

d dl

Mjera za jakost elektrinog polja je normalna komponenta jakosti elektrinog polja:

(2.15)

d = grad dn

Gradijent prema pravilima matematike znai ovdje promjenu potencijala po jedinici duljine u smjeru u kojem je ta promjena najvea. Sve toke istog potencijala u elektrinom polju ine tzv. ekvipotencijalnu plohu. Integral

E dll

protegnut na neku liniju l iji su elementi dl naziva se linijski integral veliine

E . Znaenje tog integrala se dobije kada izvrimo integriranje izmeu dviju krajnjih toaka na liniji l.

0PO

E dl = d = O

P

P

0

P = U OP

O

dl

Linijski integral jakosti elektrinog polja u elektrostatskom polju predstavlja napon meu krajnjim tokama linije l . Ako bi linija l bila zatvorena tako da toka P padne u toku O, postala bi vrijednost linijskog integrala jednaka nuli, tj.

P

E

(2.16)

E dll

= 0.

Sl. 2.21R r A

2.1.3. Izraunavanje potencijalaa) Potencijal nabijene kugle polumjera R u toki izvan kugle na udaljenosti r od njezina sredita identian je potencijalu koji bi u toj toki stvarao itav naboj kugle koncentriran u njeno sredite. Unutar nabijene kugle elektrino polje je nula, te je za sve toke unutar kugle isti potencijal, jednak potencijalu na povrini kugle. Q to znai da potencijal nabijene Prema definiciji, = 4 0 R kugle opada obrnuto proporcionalno s polumjerom.

A

rSl. 2.22

17

Q 1 Q 1 = E dr = dr = = 0 = 2 4 0 r 4 0 R 4 0 R 4 0 r Q Q

R

R

R

2.1.4. Potencijal nabijenog valjka (na povrini valjka za r=R)

= E dr = rref

R

R

rref

rref R dr = ln = ln 2 0 r 2 0 rref 2 0 R

Neka toka izvan valjka ima potencijal: A =

r ln ref 2 0 rA

U ovim izrazima rref je polumjer referentne toke koja je ovdje uvedena jednostavno zato to integral za nije definiran. Vidljivo je da potencijal moe u raunima poprimati razliite vrijednosti, to ovisi o odabiru referentne toke. Utjecaj referentne toke na iznos potencijala emo pokazati na primjeru homogenog elektrinog polja izmeu dvije paralelne ploe. +

E ( x) = E za 0 < x < d

x

0

d

x

Potencijal neke toke koja se nalazi izmeu ravnina iznosi:

(x)

( x) = Ex + Exrefd 2

x

0

d

x

za x ref = 0

a slijedi iz osnovnog zapisa za potencijal tj.

Sl. 2.23

( x) = E dx = E ( x xref )xref

x

( x) = Ex + Exref

a) Ako za x ref odaberemo x ref = 0 , ( x) = Ex desna negativna ploa ima negativan potencijal u odnosu na pozitivnu kojoj smo pripisali nulti potencijal. b) Za x ref =d d d d , ( x) = Ex + E , ( x) = 0 za Ex = E tj. x = 2 2 2 2

c) za xref = d ( x) = Ex + Ed = 0 tj. x = dKomentar! Ako smo desnoj negativnoj ploi pripisali = 0 , jasno da onda pozitivna ploa prema njoj ima pozitivni potencijal.

18

Ekvipotencijalne plohe su ovdje sve plohe izmeu pozitivne i negativne ploe, a koje su s njima paralelne.

A = E dr = d

a

a

B = E dr = d

b

b

A B = d d = A ( B ) = A B + = A B = U AB = U BA

a

b

2.1.5. Elektrini napon - izraunavanjeNapon je u elektrinom polju definiran kao razlika potencijala izmeu dviju toaka, tj.U ba = (b) (a ) = E dl = E dl = da b b b a a

U ba = U ab

Napon se moe pojaviti samo izmeu dvije ekvipotencijalne plohe. Na istoj ekvipotencijalnoj plohi sve toke posjeduju isti potencijal to znai da ne postoji razlika potencijala izmeu bilo koje dvije toke.

2.1.6. Napon u elektrinom polju tokastog nabojaA

r1+Q

r2

B

r =1

Q 4 0r11 2

r =2

Q4 0r2

U AB = r r = A BSl. 2.24

(2.17)

U AB =

Q 1 1 4 0 r1 r2

ArA +Q rB

2.1.7. Napon u elektrinom polju linijskog nabojaB

Otprije znamo izraunati potencijal u toci A ili B. A =

rref ln , rA 2 0

B =Sl. 2.25

rref ln rB 2 0

(2.18)

U AB = A B =

Za rB > rA , ln

rB > 0 to znai da je U AB pozitivan, to je i normalno jer je A > B . rA

r r r ln ref B = ln B 2 0 rA rref 2 0 rA

19

2.1.8. Napon u elektrinom polju plonog nabojaOd ranije znamo da potencijal ovisi o odabiru referentne toke.

+A B

Ako za xref uzmemo d izraz za potencijal je:

( x) = E x + E d .To znai da toka A ima potencijal A = E a + E d i toka B b = E b + E dx

x

Napon kao razlika potencijala je:

(x)

U AB = A B = Ea + Ed ( Eb + Ed )= Ea + Eb = E (b a)

to znai da je U AB > 0 jer je A > B .A

B

x a

x

Za b = d i a = 0 napon izmeu ploa iznosi (2.19) U = E d .

bd

S l. 2 . 2 6

Poznavajui napon na koji su ploe prikljuene moemo odrediti jakost elektrinog polja E =

U V . d m

V kV , . Jo se koriste jedinice kao to su: mm cm Dosad smo tokasti i linijski naboj obraivali s pretpostavkom da u njihovoj blizini nije bilo drugog naboja. Sada emo malo razmotriti sluajeve kada su dva naboja u neposrednoj blizini i kada formiraju zajedniko elektrino polje. Mogunosti ima mnogo, no mi emo razmotriti sljedee sluajeve: a) dva paralelna linijska naboja istog polariteta b) dva paralelna linijska naboja suprotnih polariteta. Odabrani primjeri imaju svoju praktinu primjenu jer elektrine vodove s obzirom na razmak vodia i njihov promjer moemo tretirati kao linijske naboje.

20

2.1.9. Dva paralelna linijska naboja istog polaritetay T ( x, y )a) Potencijal toke T je jednak zbroju potencijala linijskog naboja vodia 1 i vodia 2.

1 =

a ln 2 0 r1

2 =

a ln 2 0 r2

1

a

1

=0

a

2

x

2Sl. 2.27

Vidljivo je da smo ovdje odabrali referentnu toku u ishoditu. (moemo je proizvoljno odabrati).

1 = 2 = r1 =

r2 =

(a + x )2 + y 2 (x a )2 + y 2

Ukupni elektrini potencijal u toki T je: a2 T = 1 + 2 = ln 2 0 r1 r2 Sve toke koje ispunjavaju uvjet r1 r2 = K = const. , su toke istog potencijala i lee na ekvipotencijalnim plohama iji je oblik prikazan na slici. Na svim mjestima silnice su okomite na ekvipotencijalne plohe. Krivulje koje prikazuju presjek ekvipotencijalnih ploha u ravnini zovu se Cassinijeve krivulje. Krivulja s = 0 ide po dogovoru kroz koordinatno ishodite i zovemo je lemniskata.

Sl. 2.28

2.2.0. Dva paralelna linijska naboja suprotnih polariteta.Za praksu je naroito zanimljiv sustav dva paralelna raznoimena linijska naboja, jer je to praktiki slika vodova za prijenos elektrine energije. Ako na slici 2.27 uzmemo 1 = i 2 = , potencijal toke T je jednak zbroju potencijala pojedinih naboja. a a r 1 = ln 2 = ln T = 1 + 2 = ln 2 i 2 0 r1 2 0 r2 2 0 r1 r Isti potencijal imaju sve toke koje ispunjavaju uvjet 2 = const. = K r1

21

Zanimljivo je ispitati to predstavljaju presjeci ekvipotencijalnih ploha u ravnini. Ako mora biti r2 r2 = K vrijedi da je i 22 = K 2 . Uzimajui u obzir da je r22 = ( x + a) 2 + y 2 i r12 = ( x a) 2 + y 2 te ako r1 r1 ta dva izraza stavimo u izraz uvjeta2

r22 = K 2 slijedi izraz nakon sreivanja: 2 r1

K 2 +1 4a 2 K 2 x + a 2 + y2 = K 1 (K 2 1)2 Dobivena jednadba predstavlja skupinu krunica s polumjerima: rn = pomaknuta na x osi za udaljenost x n = a 2aK (K 2 1) ija su sredita

K 2 +1 od koordinatnog ishodita. K 2 1 Budui da su silnice posvuda okomite na ekvipotencijalne plohe, skupina krivulja koje pretsavljaju silnice mogu biti opet samo nova skupina krunica. Matematiki je mogue dokazati da se udaljenosti sredita i polumjera ekvipotencijalnih ploha a mijenjaju po hiperbolikim funkcijama: x n = a cth(n p ) , rn = gdje je n cijeli broj i sh(n p ) 2 0 p= . je odabrana potencijalna razlika za koju elimo prikazati odabrane

ekvipotencijalne plohe.

22

2.2.1. Zrcaljenje na valjku i ravniniRazmotrit emo primjer kada imamo sustav nabijenog vodia (kojeg po dimenzijama tretiramo kao linijski naboj) i valjka nabijenog suprotnim nabojem.

Takav problem se rjeava tako da naboj valjka reduciramo u jednu toku. Treba samo pronai koliko iznosi ekscentrinost e, ime definiramo mjesto gdje treba reducirati naboj valjka. Na slici 2.31 je prikazana konstrukcija za odreivanje ekscentrinosti e. Pri tome smo koristili spoznaje da: a) silnice imaju oblik krunica b) da silnice moraju stajati pravokutno na povrinu valjka koji je ujedno ekvipotencijalna ploha.

R

Iz slike 2.31 je vidljivo da vrijedi sljedei zapis: e R e : R = R : d tj. = iz ega slijedi da R d je: (2.20)

dSl. 2.31

e

R2 e= d

Problem odreivanja ekscentrinosti reduciranog naboja valjka je poznat pod imenom zrcaljenje naboja na valjku. Za praksu je zanimljiv i sustav linijskog naboja (tanki dugi vodi) i vodljive ravnine (zemlja) koja je nabijena suprotnoimenim nabojem. 23

+

Sl. 2.32Iz konfiguracije polja je vidljivo da se takav sustav moe zamijeniti sustavom dva raznoimena naboja pri emu je "slika" linijskog naboja s druge strane ravnine na istoj udaljenosti kao i "stvarni" linijski naboj (vodi). Ovaj problem je poznat pod imenom zrcaljenje naboja na ravnini. Za primjer emo izraunati potencijal u toki T sustava vodi-zemlja.

h T = 1 + 1

h

1 = = T = T = T =

r + ln ref 2 0 r r ln ref 2 0 r r r ln ref ln ref 2 0 r 2 0 r r rref ln ln ref 2 0 r r r r = ln ref 2 r rref 0

r ln 2 0 r

Vodii koji se koriste za prijenos elektrine energije imaju naravno definiran polumjer r, ali zbog d >> r ekscentricitet moemo zanemariti. Izrazit emo napon koji vlada izmeu dva vodia nabijena s + i ako su vodii meusobno udaljeni d [m] i polumjer vodia je r [m] .

1

r

2

1

2

dSl. 2.3424

Napon izmeu vodia je jednak razlici potencijala na povrinama vodia.

2.2.2. Napon izmeu vodia:1 =r r ln ref ln ref r 2 0 d r 2 0 d r ln 1 = potencijal na r 2 0 povrini vodia 1

2 =

r r ln ref + ln ref r 2 0 d r 2 0 r potencijal na ln 2 = povrini vodia 2 2 0 d r

U = 1 2 =

d r r ln ln 2 0 2 0 d r r

(d r )2 (d r ) ln U= r 2 = 2 2 ln r 2 0 0 U=

d r ln 0 r

za d >> r (2.21)

U=

d ln . 0 r

2.2.3. Napon izmeu vodia i zemlje r

1

Napon izmeu vodia 1 i njegove zrcalne slike 1' je jednak:

U=

U

h

2h r ln 0 r

ili za h >> r U=

2h ln 0 r

h

1

Sl. 2.35Izmeu vodia i zemlje vlada upola manji napon U =

U' 2

(2.22)

U=

2h ln . 2 0 r

25

2.2.4. Materija u elektrinom poljuU dosadanjim razmatranjima smo pretpostavljali da se naboji nalaze u praznom prostoru (vakuumu) i da su elektrina polja nastala u praznom prostoru. U ovom poglavlju emo razmotriti to se deava ako u elektrino polje stavimo materiju. Prisjetimo se da je materija osim neutralnih estica sastavljena i od elementarnih elektrinih estica. Kod vodia te su elektrine estice gibljive i gibat e se pod utjecajem elektrinog polja (elektroni i ioni). Izolacioni materijali nemaju slobodnih gibljivih elektrinih estica (idealni izolatori). Prema vani sva materija se oituje kao neelektrina pa zakljuujemo da se u njoj nalazi jednaka koliina pozitivnog i negativnog elektriciteta. Izolacioni materijali se mogu podijeliti u dvije grupe: a) materijali kod kojih centar djelovanja elektrona pada zajedno s centrom djelovanja naboja jezgre (atom vodika) - to su tzv. nepolarni dielektrici b) materijali kod kojih se centar djelovanja negativnih elektrinih naboja nalazi od centra djelovanja pozitivnih naboja razmaknut za neku udaljenost (molekula klorovodika) - to su polarni dielektrici

2.2.5. Polarizacija dielektrika (izolatora)Elektrino polje je u materijalnom dielektriku slabije od elektrinog polja u praznom prostoru, ako oba polja stvara jednako velik i jednako rasporeen elektrini naboj. Razlog tome lei u tzv. polarizaciji dielektrika. Polarizacija nepolarnog dielektrika je poznata jo i pod imenom - elektronska polarizacija. Polarizacija polarnog dielektrika je poznata pod imenom molekularna ili orijentacijska polarizacija. Ako nepolarni dielektrik stavimo u elektrino polje jakosti E , na naboj jezgre djeluje sila u smjeru jakosti elektrinog polja, a na elektron u suprotnom smjeru. Teita pozitivnog i negativnog naboja se vie ne poklapaju, pobuen atom se ponaao kao elektrini dipol tj. kao dva razmaknuta naboja na vrlo maloj udaljenosti. Pod utjecajem elektrinog polja atom doe u elektriki "napeto" stanje, pa je u njemu akumulirana potencijalna energija tj. energija elektrinog polja. Pojava je elastina i reverzibilna. Atom se vrati u neutralni poloaj ako nestane elektrinog polja. Detaljnije emo polarizaciju dielektrika razmotriti u homogenom polju prema slici.

E+QQElektrino polje usmjeruje dipole u smjer vektora

E pa e tako na ploi izolatora uz pozitivnu ploupojaviti negativni polovi dipola izolatora, a uz negativnu plou pozitivni polovi dipola izolatora.

QpSl. 2.36

+ Qp26

Kaemo da je dolo do polarizacije izolatora. Stupanj elektrine polariziranosti izolatora moe se karakterizirati gustoom stvorenog naboja na plohi polariziranog izolatora p . Ako je povrina plohe S a ukupni naboj plohe Q p onda je: p = Qp S .

Pokusi su potvrdili da je polariziranost p za normalne jakosti polja proporcionalna jakosti elektrinog polja E. p = E Kod vrlo velikih jakosti elektrinog polja dolazi do tzv. proboja dielektrika, a jakost polja koja V izaziva proboj je karakteristian podatak izolatora i zove se elektrina vrstoa E . m Polariziranost ima vektorski karakter tj. P = E . Apsolutno P = p . Naboji na plohama izolatora su tzv. vezani naboji dok su naboji na metalnim ploama slobodni ili nevezani. Pod utjecajem elektrinog polja slobodni naboji se mogu gibati dok se vezani mogu samo zaokrenuti u elektrinom polju i vrate se u prvobitni poloaj po nestanku elektrinog polja. Ako ploe U prikljuimo na izvor napona U jakost polja izmeu ploa je: E = = konst . d Vezani naboji suprotnog polariteta na krajnjim plohama polariziranog dielektrika ele smanjiti jakost. U elektrinog polja. Zbog E = = konst . To je nemogue pa iz izvora na ploe dotee upravo toliko d dodatnog naboja koliko je potrebno za kompenzaciju vezanog naboja na izolatoru. Novi slobodni naboj na metalnoj ploi sada iznosi: Q = Q0 + Q p i nova gustoa naboja = 0 + p . Ve smo utvrdili da je p = E . Koeficijent ima istu dimenziju kao i 0 ali je on drugaijeg iznosa za pojedine dielektrike tj. = 0 gdje je ("hi") bezdimenzionalan broj i naziva se susceptibilnost. Prema tome gustoa slobodnog naboja je jednaka: = 0 + p = 0 E + 0 E = 0 (1 + ) E Veliina 1 + naziva se relativna dielektrina konstanta izolacionog materijala. = 0 r i = 0 r ; = E Tako je na primjer r za kvarc 3,5 . Dosad smo spomenuli dva karakteristina podatka izolatora-dielektrika a to su: - dielektrina vrstoa - dielektrina konstanta Vezu izmeu vektora gustoe elektrinog pomaka D i jakosti elektrinog polja koju smo ranije utvrdili za prazan prostor zapiemo za materijalni dielektrik kao D = E = 0 E + P Prema definiciji je veliina D jednaka gustoi influenciranog naboja na povrini vodia uvedenog u elektrino polje. Pokusi pokazuju da influencirani naboj ovisi samo o slobodnom naboju ploa koji stvara elektrino polje, a da vezani naboji ne utjeu na veliinu D. To je jedan od osnovnih zakona elektrinog polja nazvan Maxwellow postulat.

27

+Q

-Q

Poznato je da je ukupna koliina influenciranog naboja na zatvorenoj vodljivoj ploi jednaka ukupnom naboju sadranom unutar volumena to ga zatvara promatrana ploha. Budui da se vezani naboji meusobno kompenziraju preostaje kao rezultantni obuhvaeni naboj samo slobodni naboj na metalnoj ploi. Prisustvo dielektrika povea gustou slobodnog naboja na vodljivim ploama, prema tome je i D = D0 r , ako D0 vrijedi za prazan prostor. I da na kraju jo jedanput ponovimo: unoenje dielektrika u polje ija je jakost U konstantna E = povea se na vodljivim ploama d

Sl. 2.37koliina slobodnog (nevezanog) naboja ime se povea i veliina D prema D = E . Ako nabijene ploe odvojimo od izvora bit e konstantna koliina naboja Q. Q = konst. Unoenjem dielektrika u elektrino polje ostati e nepromijenjena veliina D , a smanjit e se jakost D E = 0 gdje je E0 jakost polja praznog prostora. elektrinog polja prema: E = 0 r r

2.2.6. Prijelaz elektrinog polja na granici dva dielektrikaAko elektrino polje prelazi granicu dva dielektrika pravokutno na graninu plohu rije je o normalnom prijelazu elektrinog polja. Ako su silnice elektrinog polja paralelne s granicom dielektrika rije je o tangencijalnom prijelazu polja.

E1 , D1 , 1

E2 , D2 , 2a) Normalni prijelaz polja

+Q1

-Q2

Za takav razmjetaj dielektrika kaemo da je serijski i vrijede sljedee jednadbe:

(2.23)E1 r 2 = E2 r1 U1 = E1 d1

D1 = D2

r 1 E1 = r 2 E 2

ili

U 2 = E2 d 2

U = U1 + U 2

d1

d2

W = W1 + W2

Sl. 2.3828

U = E1 d1 + E2 d 2 = E1 d1 + E1 U = E1

r d r 21 2

r d1 + r d 2 r2 1 2

ili

E1 = U

r2

r d1 + r d 21

2

E2 = U

r2

r d1 + r d 21

1

b) Tangencijalni prijelaz poljaE1 , D1 , 1 Q1 , S1

Za takav razmjetaj dielektrika kaemo da je paralelni, a vrijede sljedee jednadbe:

(2.24)iliQ2 , S 2

E1 = E2 = E

D1 = r1 E

D2 = r2 E

E 2 , D2 , 2 d

D1 r1 = D2 r2

U 1 = U 2 = U = E1 d = E 2 d = E d

Sl. 2.39

Q1 = D1 S1 Q2 = D2 S 2 Q = Q1 + Q2 Ukupna energija je: W = W1 + W2 bez razlike na razmjetaj dielektrika.

2.2.7. Prijelaz elektrinog polja iz jednog dielektrika u drugi pod kutemPretpostavit emo da je r1 = 2 r2 tj. r1 > r2

1E1n E1t

2 E1E1

2

2E2n

E 2t D1t

D1n

D2

1D1

2D2 n

D2 t

Sl. 2.40

29

Od prije znamo da je: D1n = D2 n i E1t = E2t . Iz slika slijedi: E1 sin 1 = E2 sin 2 i D1 cos1 = D2 cos 2 Dijeljenjem jednadbi dobivamo:

tg1 tg 2 E1 sin 1 E2 sin 2 = = ili ili r1 r2 D1 cos 1 D2 cos 2

(2.25)

tg1 r = tg 2 r

1

2

2.2.8. Kapacitet i kondenzatoriDiferencijalne veliine koje se odnose na jedinicu duine, povrine ili volumena imaju pripadne V integralne veliine koje se odnose na ukupnu duinu, plohu ili prostor. Tako naprimjer E ima m As svoju integralnu veliinu U. Veliini D 2 pripada integralna veliina Q[As ] i sl. m Q D Diferencijalni oblik = nam je otprije poznat, a taj oblik ima pripadajui integralni oblik =C, E U gdje je C materijalno-geometrijski parametar koji se zove kapacitet.

Fizikalno to znai sljedee: ako dva proizvoljna kovinska tijela izmeu kojih je dielektrik nabijemo suprotnoimenim nabojem, izmeu ta dva tijela pojavi se napon U. Omjer naboja Q i napona U je konstantan za fiksno postavljena tijela ili elektrode, te dielektrik. Kapacitet je materijalno-geometrijsko svojstvo neovisno od elektrinih veliina Q i U. Naprava koja ima namjensku konstrukciju, a posjeduje kapacitet zove se kondenzator. Proizvoljni razmjetaj kovinskih elektroda posjeduje kapacitet, ali ga uobiajeno ne zovemo kondenzator. Ako je tijelo osamljeno onda kapacitet definiramo kao omjer naboja i potencijala tj. Q As C = . Jedinica za kapacitet je 1 Farad (1F) ili . Uobiajene manje jedinice su F , nF , pF . V

2.2.9. Izraunavanje kapacitetaa) Osamljena kovinska kugla

(2.26)

C=

Q

=

Q Q 4 0 R

= 4 0 R

Tako naprimjer kovinska kuglica polumjera 1cm ima kapacitet: 10 9 10 11 10 C = 4 1 10 2 = = 10 12 F = 1,11 pF 36 9 9 b) Kapacitet kuglastog kondenzatora Q 1 1 U= R R i (2.27) 4 0 1 2 R2 polumjer vee kugle.

C=

Q 4 0 gdje je R1 polumjer manje kugle, a = U 1 1 R1 R2

30

c) Kapacitet koaksijalnog kabla Napon izmeu dva metalna koncentrina valjka iznosi: U = valjka. Kapacitet iznosi: (2.28)

R ln 2 gdje je R2 polumjer veeg 2 R1

C=

U

=

lnR2 R1

=

Budui da je naboj po metru duine i kapacitet je definiran po jedinici duine, tj. po metru duine.d) Kapacitet ploastog kondenzatora:

2

2 (F ) R2 ln R1

Ako u diferencijalnom obliku zakona

Q U D i E= dobivamo: = zamijenimo D = S d E

Q Q Q S Qd S = = (2.27) C = = = [F ] U S U U Qd d d S Kod prorauna energetskih elektrinih mrea za prijenos elektrine energije potrebno je poznavati kapacitet vodova:

a) Kapacitet dvovoda

Za d >> r napon izmeu vodia je definiran izrazom kojeg smo ve ranije izveli: d r U= ln , kapacitet C = 0 r U 0 F C12 = gdje je d razmak izmeu vodia, a r polumjer vodia. d r m ln r b) Kapacitet vodia dvovoda iznosi:

(2.29)

C10 =

U

=

d r ln 2 0 r

=

2 0 F d r m ln r

c) Kapacitet vodia prema zemlji

Napon izmeu vodia i zemlje iznosi: 2h U= ln gdje je h visina vodia nad zemljom. Prema tome kapacitet vodia prema zemlji 2 0 r iznosi: C =C v zem.

U 2 0 = ili za 2h r ln r

h >> r

(2.30)

Cv zem. =

2 0 F 2h m ln r31

2.3.0. Energija elektrostatskog poljaU elektrinom polju na naboje djeluju elektrine sile, pa se naboji mogu pomicati. To znai da elektrino polje posjeduje sposobnost obavljanja rada, pa prema tome ima odreenu energiju. Energija elektrinog polja je potencijalna energija koju emo oznaavati s W. Elektrinu energiju na jedinici volumena nazivamo gustoa elektrine energije i oznaujemo je s w. To je diferencijalna veliina. Gustou elektrine energije definiramo kao:

(2.31)

w=

dW J tj. W = w dV [J ] V dV m3

Problem emo razmotriti u homogenom polju kojeg formiraju dvije paralelne ploe nabijene suprotnoimenim nabojem. Plou (1) fiksiramo, a ploa (2) se moe gibati u dx smjeru osi x.1+Q Fel Fm

2

Q Q postavimo konstantnim (Q = const.)

Na gibljivu desnu plou (2) djeluje privlana elektrina sila Fel = Q2 E1 .Q2 = D S

x

E 2 E1 je polje koje unutar ploa stvara lijeva ploa. E1 =

Sl. 2.41elimo li pomaknuti desnu plou (2) udesno moramo upotrijebiti mehaniku silu po iznosu jednaku E DE DE elektrinoj sili Fm = Fel = D S = S . Pritom treba uloiti rad dA = Fm dx = S dx . 2 2 2 Budui da je Q = konst. pri pomicanju se veliine D i E nisu promijenile, ve je dielektrik u dV = s dx preao u elektriki napeto stanje. U volumenu dV je akumulirana dodatna elektrina energija polja dW = w dV . Prirast energije smo dobili samo na raun izvrenog rada i vrijedi da je: DE DE dW = dA . To znai da izraz . predstavlja ustvari gustou elektrine energije: w = 2 2 Poznavajui vezu izmeu D i E tj. D = E slijedi: (2.32) Izraz vrijedi za proizvoljno oblikovano polje.

D E D2 E 2 J w= = = 2 2 2 m3

2.3.1. Energija nabijenog kondenzatoraZa homogeno elektrino polje ploastog kondenzatora vrijedi:

(2.33)

W = w V =

Budui da su Q i U povezani Q = C U izraz za energiju moemo zapisati u obliku: Q U Q 2 U 2C = = [J ] 2 2C 2 Jednadba (2.33) je integralni ekvivalent diferencijalne jednadbe (2.32). W = 32

DE ( D S )( E d ) = Q U J S d = [ ] 2 2 2

wW DQ E U

Ekvivalentne diferencijalne i integralne veliine

CVidjeli smo da je pomicanjem ploe suprotno djelovanju elektrine sile dolo do prirasta elektrine Q2 i pri konstantnom Q energija se energije tako da je dW = dA . U izrazu za ukupnu energiju W = 2C ES stvarno poveala jer se razmicanjem ploa smanjio kapacitet C = . Ako dozvolimo gibanje d ploe u smjeru elektrine sile rad tada vri elektrino polje ija se energija smanji upravo za iznos Q2 utroenog rada dA. U izrazu za ukupnu energiju W = uz Q = konst. w se smanjilo zbog poveanja 2C ES kapaciteta C = , koji se poveao zbog smanjenog razmaka izmeu ploa. d Razmotrimo sluaj kada je na ploama konstantan napon, tj. kondenzator je prikljuen na izvor. CU 2 Pri smanjenju razmaka izmeu ploa poveavati e se kapacitet i energija polja W = [J ]. 2 Istovremeno polje vri rad pa izvor mora dobaviti energiju Wizv = Wel + W A = U Q = U C 2 U 2 C 1 2 W A = U C = U C 2 2 To znai da se za mehaniki rad A potroi ista koliina energije kao to je ona sakupljena u el. polje volumena V . Pri poveanju razmaka uz U=konst. treba djelovati vanjskom silom protiv sile polja ime dovodimo sustavu izvana dio mehanike energije. Zbog poveanja razmaka kapacitet se smanjuje ime i energija. To znai da se oba dijela energije tj. mehanika i elektrika u ovom sluaju predaju izvoru (ako je izvor akumulator doi e do punjenja akumulatora).2

2.3.2. Kondenzatorski spojeviAko skupinu kondenzatora prikljuimo na izvor ili vie njih, na kondenzatorima se uspostave naponske i nabojske prilike u skladu s dva osnovna zakona:a) zakon o ouvanju naboja koji vrijedi za vorove

(2.34)

Qi =1

n

ikon

= Qipoi =1

n

b) Kirchhoffov zakon za napone koji vrijedi za svaku petlju to praktiki znai da jen

(2.35)

U i = i =1

n

Qi i =1 C in

U = 0 u svakoj petlji gdje je sa U' oznaen napon u petlji na biloi =1 i

kojem dijelu petlje.

33

Razmotrit emo sljedee mogunosti:a) prikljuak serijskog spoja nenabijenih kondenzatora na izvor napona U b) prikljuak paralelnog spoja nenabijenih kondenzatora na izvor napona U c) prikljuak kondenzatora na izvor napona U ako je prethodno neki od kondenzatora ve nabijen nabojem Qi 0

a) Serijski spoj kondenzatora+

U 1

Q1, C1 ,U1

+

U = U1 + U 2 Za vor 1: Q1 + Q2 = 0 to znai da je Q1 = Q2Q2, C2 ,U2

-

S Sl . 2.42 Openito za sve serijski spojene kondenzatore naboj je jedan te isti, a razlog lei u influenciji. Iz U C Q1 = Q2 slijedi C1 U1 = C2 U 2 ili 1 = 2 to znai da se naponi na kondenzatore raspodijele u U 2 C1 obrnutom omjeru kapaciteta. Naboj koji pritjee na vanjske ploe kondenzatora ima takoer iznos kao i naboj pojedinog Qizv = Cekv U = Q kondenzatora Qizv = Q1 = Q2 = Q

Cekv je ekvivalentni kapacitet serijskog spoja. Cekv U = C1 U1 = C2 U 2 U = U1 + U 2 Q Q Q = + Cekv C1 C2 1 1 = + C C 2 11

ili

(2.36)

1 1 1 = + Cekv C1 C2 1 1 1 Cekv = + + + C1 C2 C3 1 + Cn 1

Cekv

(2.37)

Za dva kondenzatora moe se Cekv zapisati kao C12 = U1 = U C2 (C1 + C2 ) i U2 = U C1 (C1 + C2 )

C1 C2 C U C C U , a napon U1 = 12 = 1 2 (C1 + C2 )C1 C1 + C2 C1

b) Paralelni spoj kondenzatoraPri paralelnom spoju napon je na svim paralelno spojenim kondenzatorima jedan te isti.U = U1 = U 2

34

U,Q

U1 ,C1

Q1

U2 ,C2

Q2

Sl . 2.43Naboj koji iz izvora dotie na kondenzatore je jednak: Q = Q1 + Q2 pa slijedi Cekv U = C1 U + C2 U ili Cekv = C1 + C2 Openito vrijedi U = U1 = U 2 = U n Q = Qii =1 n

(2.38)

Cekv = Cii =1

n

c) Serijski spoj dva kondenzatora prikljuen na izvor napona U, pri emu je prije toga C1 nabijen nabojem Q10 .Q10 +

+

U 1

-

Q1, C1 ,U1

Naboji Q1 i Q2 su konani iznosi naboja. a Q10 ve postoji na kondenzatoru C1 i prije zatvaranja sklopke S.

+

S

Q2, C2 ,U2

Prema zakonu o ouvanju naboja vrijedi za vor 1: Qikon = Qipo tj. Q1 + Q2 = Q10 ii =1 i =1

n

n

U = U 1 + U 2 gdje pod poetnim stanjem podrazumijevamo stanje prije zatvaranja sklopke.

35

3. STRUJNI KRUGOVI ISTOSMJERNE STRUJEDosad smo se bavili elektrinim nabojima u stanju mirovanja. Ako se pod utjecajem stalnog elektrinog polja naboji poinju usmjereno gibati, rije je o elektrinoj struji. Jasno da je takvo strujanje mogue u materijama koje imaju pokretljive nositelje naboja. U kovinama su to elektroni, a u elektrolitskim otopinama i plinovima pojavljuju se jo i ioni. U vodljivoj materiji moramo imati stalnu jakost elektrinog polja E, a zbog nje e na gibljive naboje djelovati elektrina sila F = e E , koja uzrokuje gibanje naboja. Pozitivni naboj se giba u smjeru jakosti elektrinog polja, a elektroni se gibaju u suprotnom smjeru jakosti elektrinog polja. Tako je tzv. elektronska struja suprotnog smjera od prihvaenog smjera struje pozitivnih naboja. Koliinski elektrinu struju definiramo dQ kao promjenu naboja po vremenu : i = [ A] tj. kao koliinu pozitivnog naboja koji protee kroz dt odabrani presjek (uobiajeno vodia) u jedinici vremena. Veliina i je poznata pod imenom jakost elektrine struje. Ako se prisjetimo da je naboj elektrona e0 = 1, 6 1019 [ As ] tj. da je 1As = 6, 25 1018 elementarnih kvanta naboja, vidimo da za jakost struje 1A mora kroz popreni presjek vodia u sekundi protei 6,25 1018 elementarnih kvanta naboja. U kovinama elektrinu struju predstavlja usmjereni tok slobodnih elektrona. Srednja brzina gibanja elektrona u kovini je relativno mala i iznosi oko 0,02 cm/s. Meutim elektrina struja se iri vodiem brzinom 3 108 m / s .

3.0. Ohmov zakon u integralnom i diferencijalnom oblikui v ESila na negativne naboje giba naboje koji na svom putu nailaze na prepreke tako da se unato stalnoj sili ne gibaju ubrzano ve nekom srednjom brzinom v = E , gdje je veliina koju zovemo pokretljivost naboja. Prilikom sudara naboja dolazi do gubitka kinetike energije koja se pretvara u Jouleovu toplinu. Koliinu naboja u volumenu dV moemo izraziti kao: dQ = n dV Q0 = n S dl Q0 gdje je n broj slobodnih elektrona na jedinicu volumena, a Q0 naboj jednog elektrona.dQ = n S v dt Q0 = n S Q0 E dt dQ U U = n Q0 S Ako za E uvrstimo (vrijedi za dt l l homogeno polje i konstantan presjek) U U = i= gdje je tzv. specifina vodljivost l l n Q0 S S kovine (provodnost), koja vidimo ovisi o broju elektrona na jedinici volumena i pokretljivosti . l Izraz predstavlja takozvani otpor vodia tj. S l U (3.1) R= [] , pa slijedi i = [ A] . R S

Sl. 3.1S

dV

dl = v dt

Sl. 3.2

36

Ako se tijekom vremena struja i napon ne mijenjaju vrijedi da je I =U [V ]

b

A

aSl. 3.4

I [ A]

U [ A] . Upravo zapisana R zakonitost vrijedi openito i poznata je pod imenom Ohmov zakon u integralnom obliku. U Ako izraz I = s lijeve i desne strane podijelimo sa R I U U = S dobivamo = l S RS S S I U = jakost struje na jedinicu povrine S l predstavlja tzv. gustou elektrine struje J , a izraz U jakost elektrinog polja E , pa slijedi : l A (3.2) J = E 2 to predstavlja Ohmov m zakon u diferencijalnom obliku. Dobivena jednadba povezuje tri osnovne diferencijalne

veliine tj.V E jakost elektrinog polja m A J gustoa struje 2 m specifina elektrina vodljivost (provodnost)

Usporeujui dobiveni zakon sa osnovnim zakonom elektrostatskog polja D = E vidimo da zakoni imaju jednaku strukturnu grau ( J = E i D = E ) Reciprona vrijednost provodnosti se zove otpornost i oznaavamo je sa [ m ] tj. 1 1 S 1 1 = jer je = S . Jedinicu S(siemens) ima tzv. vodljivost G = [ S ] . Povezanost m m R napona U i struje I grafiki prikazuju takozvane volt-amperske karakteristike

=

3.1. Statiki i dinamiki otporU KU Aa = = K R tg Kr ovisi I K I Ab o mjerilu Ku i Kz. Otpornici kojima otpor ne ovisi o jakosti struje imaju volt-ampersku karakteristiku prikazanu pravcem koji izlazi iz ishodita. To su tzv. linearni U otpornici. Otpor R = = K R tg se I zove statiki otpor i ima isti iznos za U sve omjere . I R=

U (V ) AUA

A

AIA I ( A)

Sl. 3.3

37

Dinamiki otpor je definiran: dU Rdif = = K R tg , a zove se jo i dI diferencijalni otpor.

(3.3)RstatA =

RdifA = K R tg A

Otpornici ija volt-amperska karakteristika nije pravac zovu se UA = K R tg A IA nelinearni otpornici. Otpornosti ili provodnosti materijala su date za temperaturu 293K (20C). Tako pri 20C provodnosti nekih materijala iznose: S m Zlato Au = 44 2 mm S m Srebro Ag = 61 2 mm S m Bakar Cu = 57 2 mm S m Al = 35 Aluminij 2 mm

3.2. Utjecaj temperature na elektrini otpor.Eksperimentalnom provjerom se ustanovilo, da elektrine otpornosti kovina rastu sa porastom temperature. Ta ovisnost se moe prikazati polinomom, pri emu je najutjecajniji linearni lan (m ) = 0 1 + + 2 + 3 + ... Za relativno male promjene temperature vrijedi: (3.4) = 0 (1 + ) = 0 [1 + ( 0 ) ] Gdje je 0 otpornost pri relativnoj temperaturi 0 (obino 20C). U izrazu za predstavlja temperaturni koeficijent elektrine otpornosti i predstavlja relativno poveanje otpornosti pri povienju temperature za 1C odnosno za 1K. 1 Jedinica za je K

0

20 0 C (2930 K )

0C

To znai da za relativno male promjene temperature otpor kod temperature razliite od 20C (297K) moemo izraziti kao: R = R0 (1 + ) . Mjerenjem R i R0 (na primjer namota elektromotora) moe se odrediti temperatura R R0 + 0 = v R0

Sl. 3.5

38

Primjer: pri sobnoj temperaturi 0 =20C izmjeren je otpor namota elektromotora R0 =1 . Nakon odreenog vremena rada elektromotora ponovnim mjerenjem otpora izmjereno je R = 1, 2 .Kolika

1 je temperatura namota ako je materijal bakar s cu = 0, 004 K R R20 1, 2 1 200 Rjeenje : = v + 0 = + 20 = + 20 = 70C 1 0, 004 4 R20 Na ovaj nain smo indirektno izmjerili temperaturu namota.

3.3. Izraunavanje omskog otpora ili vodljivostiU praksi je najjednostavnije elektrini otpor odrediti mjerenjem. Ipak esto puta je potrebno elektrini otpor ili vodljivost izraunati.a) Otpor i vodljivost vodia

Ako je vodi po itavoj duljini jednakog presjeka i nainjen od homogenog materijala otpor l l raunamo prema izrazu: (3.5) R= ili R = () S S 1 Vodljivost predstavlja recipronu vrijednost otpora G = (S ) R S m to je uobiajeno kod vodia. U ovim izrazima l je izraeno u metrima, S (mm 2 ) i 2 mm Izolacijski otpor jednoilnog kabla

2R1 1 R2

Izmeu vodia i plata postoji stalna naponska razlika U. Napon J na elementu dr je dU=E dr dU= dr .

rdr

Gustou struje izrazimo J =

I S

J=

I2 rl

gdje je l duljina kabla.

Sl. 3.6

I dr 2 l r Ukupni napon izmeu plata kabla i vodia dobijemo R R I 2 dr I integracijom izraza za dU tj. U = r = 2 l ln R12 2 l R1Slijedi da je dU =ln

R2 R1 U Budui da je R = slijedi da je R = [] ili I 2 l

(3.6)

G=

2 l ). To znai da za geometrijsko R2 ln R1 jednako oblikovano elektrostatiko i polje strujnica vrijedi G : C = : . U ovom sluaju strujnice se ire od vodia prema platu kabla na jednak nain kao i silnice elektrostatskog polja, kada je kabel Izraz za vodljivost asocira na izraz za kapacitet kabela, ( C =

2 l [S ] r2 ln r1

39

nabijen s + . Isti izraz bi dobili ako izrazimo otpor izmeu vodia i plata za debljinu dR. dR =

drS

dr = 2 rl

R=

R2

(3.7)

R=

R ln 2 2 l R1

R1

dr = 2 rl 2 l

R2

dr r R1

Omski otpor krunog prstena

R2

R1

dr

r

x

R (razmak x zanemaren)

dS adr debljina prstena R R a 2 dr a G= (3.8) r = 2 ln R12 2 R1

dR =

2r

=

2r

dG =

adr gdje je a 2r

Sl. 3.7

Raunamo li otpor sa srednjom duinom R + R2 2 = ( R1 + R2 ) priblini prstena a lsr = 1 2 ( R1 + R2 ) l otpor iznosi: R pr = sr = S a ( R2 R1 )

Primjer: Za R2 = 1,1R1 otpor prema tonom izrazu iznosi : Rtono =

2 2 = = 20,98 [ ] R a a ln 2 a ln1,1 R1

Priblini iznos: 2,1R1 2,1 21 [ ] R prib = = a 0,1R1 a 0,1 a 3R1 Za R2 = 2 R1 R pr = = 3 [ ] a R1 a 2 Rtono = = 2,88 [ ] a ln 2 a

3.4. Strujni krugovi istosmjerne strujeZa sastavljanje strujnog kruga minimalno je potrebno imati : -izvor elektrine struje -spojne vodove -troilo (otpornik) Za idealni naponski izvor koristit emo simbol a za

I

UR

otpornik(troilo) Za idealni naponski izvor vrijedi da je Ri = 0 (Ri je unutarnji otpor izvora). Oznaka E se odnosi na EMS-u (elektro-motornu silu, to je uobiajen naziv za unutarnji napon izvora). Struja u strujnom krugu ima referentni smjer od plus(+) izvora preko troila i spojnih vodova do minus(-) pola izvora. Pri prolasku struje kroz troilo, pozitivni polaritet napona na troilu je na ulazu struje u troilo. Strujni krug koji se sastoji od samo jednog izvora i troila je jednostavni40

R

E

Sl. 3.8

strujni krug. Za izraunavanje struje u takvom strujnom krugu dovoljno je poznavati samo Ohmov zakon prema kojem je jakost struje kroz troilo proporcionalna naponu na stezaljkama troila i E U obrnuto proporcionalna otporu istog troila. To znai: I = = R : naime napon na troilu u ovom R R je sluaju jednak naponu izvora. Ohmov zakon vrijedi za itav strujni krug i za dijelove strujnog kruga. Na slici je prikazan dio strujnog kruga izmeu toaka a i b. Potencijal toke b iznosi: b = a I R + E . Napon koji vlada u tokama a,b tj. U ab = a b pa slijedi iz izraza da je a b = I R E tj. b = a I R + E

a +

R

E

I

b

U ab + E = I R I= U ab + E R

;

I Ra +

RI R

Sl. 3.9 EI

b

Sl. 3.10I=

Na slici je prikazan dio strujnog kruga u kojem izvor E koji se nalazi u tom djelu strujnog kruga djeluje suprotno od smjera struje, koju naravno definiraju izvori preostalog djela strujnog kruga. Ovdje vrijedi: b = a I R E ili

U ab E R Izraz I R poznat je pod imenom pad napona na dijelu strujnog kruga (pad napona na vodovima, pad napona na unutarnjem otporu izvora i sl.) Izraz I Rtroila krae zovemo napon na troilu. Jasno treba razlikovati napon izvora koji na stezaljkama izvora stalno postoji od napona na troilu i pada napona, koji su rezultat produkta I R .

3.5. Kirchhoffovi zakoniI1

I3

I2

Naponske i strujne prilike u strujnom krugu mogu se odrediti primjenom tzv. Kirchhoffovih zakona: a) Kirchhoffov zakon za struje (zakon vorita) b)Kirchhoffov zakon za napone (zakon petlje)a) Kirchhoffov zakon za struje (1.K.Z.)

I4

Sl. 3.11+UR2 R2

Zbroj struja za svako vorite jednak je 0 Prema slici I1 + I 2 I 3 I 4 = 0

+ I

UR1 R1

(3.9)

Ii = 0i =1

n

Struje koje ulaze u vor tretiramo s pozitivnim predznakom, a struje koje izlaze tretiramo s negativnim predznakom. b) Kirchhoffov zakon za napone (2.K.Z.) (serijski spoj otpornika) Suma svih napona u petlji jednaka je 0.

E

Sl. 3.12

(3.10)

Ui = 0i =1

n

41

Za spoj prema slici vrijedi: E U R1 U R 2 = 0 Ovdje pod izrazom napon treba podrazumijevati sve razlike potencijala, bez razlike na nain i mjesto gdje su nastale.

3.6. Paralelni spoj otpornikaI1 R1 UR1 I2 I R2I = I1 + I 2 E = U R1 = U R 2 E = I Ru = I 1 R1 = I 2 R2 I RU I RU I R E E E = + I1 = I2 = ; 1 = 2 ; R1 R2 I 2 R1 RU R1 R2 1 1 1 n = + 1 1 RU R1 R2 (3.11) =

UR2

RU

Ri =1

i

E

Sl. 3.13

Za samo dva otpornika jo vrijedi RU =I2 = I

R1 R2 R2 ; I1 = I ; R1 + R2 R1 + R2

R1 . Paralelni spoj predstavlja strujni djelitelj jer se R1 + R2n

ukupna struja I dijeli na struje I1 i I 2 . 1 Budui da je G = vrijedi izraz R

GU = Gii =1

3.7.Serijski spoj otpornikaUR1 R1 UR2 R2E = U R1 + U R 2 I Ru = I R1 + I R2 RU = R1 + R2 ili openito

+ I

+

(3.12)

RU = Rii =1

n

Kroz serijski spoj struja je jedna, te ista pa vrijedi R1 E U R1 U R 2 = = tj. U R1 = E ; I= RU R1 R2 R1 + R2 E R2 . U R2 = E Sl. 3.14 R1 + R2 Ako se radi o dva otpornika, serijski spoj je pogodno tretirati kao naponski djelitelj, jer se napon izvora na serijski spojene otpornike podjeli 42

proporcionalno njihovim elektrinim otporima prema izrazima za U R1 i izraunati u jednom koraku.

U R 2 koje moeno

3.8. Realni naponski izvorIzvori kakve susreemo u praksi su realni izvori. To znai da imaju neki unutarnji otpor Ri zbog kojeg napon na stezaljkama izvora vie nije konstantan kao kod idealnog izvora, ve se mijenja u skladu s optereenjem izvora: U = E I RiA

+U

U = Rv I

Ri U Rv

U =0 i

U = E I Ru E

I = IK =

I =0 i U =E

E Ri

+U

E

B

I

Ik

I

Sl. 3.16

Sl. 3.15Za I=0 izvor je neoptereen ili u praznom hodu, u tom sluaju na stezaljkama izvora izmjerimo U=E. Za U=0 I = I k izvor je u kratkom spoju. Pri struji I=In (nazivna struja) na stezaljkama izvora vlada nazivni napona Un. E U Sa dva mjerenja u praznom hodu i optereenju odreujemo unutarnji otpor prema: Ri = [] I

3.9. Strujni izvoriIdealni strujni izvor je onaj koji daje konstantnu vrijednost struje neovisno o optereenju pri emu napon mora imati konanu vrijednost. Idealnih I strujnih izvora praktiki nema, ali ih moemo realizirati kao upravljive strujne generatore. Ik Ii Kod realnih strujnih izvora struja kroz troilo se mijenja u skladu s pravilom za strujni djelitelj :

(3.13)

Ik

Ri

I = Ik

Rv

Ri 1 = Ik R Ri + R 1+ v Ri

Za Ri = izvor bi bio idealan i tada je I = I K , zato je unutarnji otpor u ekvivalentnoj shemi vezan paralelno idealnom strujnom izvoru kao na slici:

Sl. 3.17

Svaki izvor moemo tretirati kao naponski i strujni, ovisno o tome s kojim je izvorom strujni krug jednostavnije rijeiti.

43

Pri pretvorbi naponskog u strujni ili obrnuto prilike u vanjskom dijelu moraju ostati nepromijenjene, E ,a tj. struja i napon troila moraju ostati isti. Struja kroz Rv pri naponskom izvoru iznosi I = Ri + Rv Ri pri strujnom I = I K to znai da je: Ri + Rv Ri E = Ik tj. E = I k Ri Ri + Rv Ri + Rv E Pri pretvorbi naponskog izvora u strujni, struja strujnog izvora mora iznositi: I K = . Otpor RI se u RI ekvivalentnoj shemi strujnog izvora mora spojiti paralelno.Primjer: Troilo s RV = 4 je spojeno na realni naponski izvor s E=10V i Ri = 1 . Spojite isto troilo na ekvivalentni strujni izvor i pokaite da su struja i napon ostali isti. E 10 = = 2A Rjeenje: Struja troila kad je spojeno na naponski izvor iznosi I = RI + RV 1 + 4

Napon na RV iznosi U = I RV = 2 4 = 8 (V) Ekvivalentni strujni izvor mora imati konstantnu struju I K = Struja kroz troilo RV iznosi: I = I k E 10 = = 10 (A) 1 RI

Ri 1 = 10 = 2 (A) 1+ 4 Ri + Rv Napon na troilu je naravno U = I RV = 2 4 = 8 (V)

3.1.0. Potencijalni dijagramPotencijal u strujnim krugovima moe poprimiti razliite iznose to ovisi o odabiru referentne toke s 0 = 0 . Primjer izraunavanja potencijala i potencijalni dijagramE2 I

2R1

3

+

R2

4

1 = E1 2 = 1 I R1 3 = 2 + E 2+ 1 +R3

+E3

4 = 3 I R2 5 = 4 E3 0 = 5 I R3

E1

0 = 0

+

5

Sl. 3.18Ako je na primjer R1 = R2 = R3 = 2 i E1 = E 2 = E3 = 12 V pojedine toke e imati slijedee potencijale prema referentnoj toci s potencijalom 0. Najprije treba izraunati jakost struje i odrediti njezin smjer. 44

I=

E1 + E 2 E3 12 = = 2 A Struja tee u naznaenom smjeru. R1 + R2 + R3 6

Potencijali pojedinih toaka:

1 = 12 V ; 2 = 8V ; 3 = 20 V ; 4 = 16 V ; 5 = 4 V ; 0 = 0 VNaravno da potencijali mogu poprimati i negativne vrijednosti to ovisi o konkretnom spoju.

Potencijal 20 16 12 8 4 0 0 1 2 3 4 5 6 0 Broj toke

Sl. 3.193.1.1. Nadomjesni spoj vie izvoraSpoj veeg broja naponskih ili strujnih izvora moemo nadomjestiti samo jednim izvorom koji onda predstavlja njihov ekvivalent. a) Serijski spoj realnih naponskih izvora Ekvivalentna elektromotorna sila I iznosi:R2I

E = Eii =1

n

+E2 R1 UR

Ri Ri

U

R

Ekvivalentni unutarnji otpor je:Ri = Rii =1 n

E1

+

E

+

Struja ekvivalentnog izvora je:

Sl. 3.20

(3.14) I =

Ei =1 n i =1

n

i

R + Ri45

3.1.2. Serijski spoj realnih strujnih izvoraI

I2

R2 R

Ik

Ri

R

I1

R1

Sl. 3.21

Strujni izvori se najprije pretvore u naponske, gdje su E = I1 R1 + I 2 R2 i Ri = R1 + R2 parametri ekvivalentnog naponskog izvora. Nakon toga ekvivalentni naponski izvor zamijenimo sa E I R + I R ekvivalentnim strujnim izvorom gdje mora biti I k = = 1 1 2 2 Ri R1 + R2 Struja kroz troilo I se dobije po pravilu strujnog djelitelja tj.Ri I R + I 2 R2 R1 + R2 I = Ik = 1 1 Ri + R R1 + R2 R1 + R2 + R(3.15)I= I1 R1 + I 2 R2 R1 + R2 + R

Izraz analogno vrijedi za vei broj izvora, gdje su R1 , R2 ...Rn unutarnji otpori pojedinih strujnih izvora, a R je vanjski otpor.

3.1.3. Paralelni spoj realnih strujnih izvoraI

G1 I1 I2

G2

G

Gi Ik

U

G

Sl. 3.22G Gi + G

I k = I1 + I 2

Gi = G1 + G2

I = Ik

46

I=

I1 + I 2 G (3.16) G1 + G2 + G

U=

I1 + I 2 I = G G1 + G2 + G

3.1.4. Paralelni spoj realnih naponskih izvoraNaponske izvore pretvorimo u strujne po poznatom pravilu

R1

R2 R

E1

E2

Sl. 3.23

I1

I2 U G1 G2 G

E1 E I 2 = 2 Gi = G1 + G2 R1 R2 I k = I1 + I 2 = E1 G1 + E2 G2 I1 = I = Ik G G = Ik Gi + G G1 + G2 + G U=

( E G + E2 G2 ) G I = Ik 1 1 G ( G1 + G2 + G ) G

U=

E1 G1 + E2 G2 G1 + G2 + G

Ekvivalentni naponski izvori paralelnog spoja veeg broja realnih naponskih izvora mora imati napon:

(3.17)

U=

E Gi =1 n i i =1 i

n

i

Za n paralelno spojenih izvora.

G + G

3.1.5. Rad i snaga u strujnom kruguIz razmatranja u elektrostatici poznato je da rad kojeg izvri elektrina sila moemo izraziti kao dA = dq u . Jakost struje je definirana kao:dq pa je : dA = i dt u . A = u i dt . Ako su struja i napon stalne vrijednosti rad moemo dt 0 zapisati kao A = U I t . To znai da je rad istosmjerne struje proporcionalan produktu napona, struje i vremena u kojem je rad izvren. Primjenjujui Ohmov zakon dobivamo: U2 A = U I t = I 2 R t = t [Ws ] . Jedinici [Ws ] je ekvivalent 1J(]ul) ili Nm. (3.18) R U energetici se koriste vea jedinica za obraun potronje elektrine energije (koja je potroena za obavljanje rada A) a to je Kwh: 1kWh = 103 3600 [Ws ] = 3, 6 106 [ J ] i=t

47

Snaga je definirana kao rad izvren u jedinici vremena tj. (3.19)

dA U2 =U I = I2 R = . Na dt R troilima je napisana tzv. nazivna snaga, tj. snaga koju ima troilo pri Un i In. U troilima se sva dovedena energija ne pretvara u koristan rad , ve u neki drugi oblik koji je sa stajalita troila gubitak energije(npr. toplina). Ako sa Wu oznaimo ukupnu dovedenu energiju troila, a dobivenu korisnu energiju s W onda je gubitak energije: Wg = WU W . P=Stupanj iskoristivosti je omjer dobivene korisne energije ili snage i ukupne energije ili snage. W W P P ili u (3.20) = = = % % = 100 . WU W + Wg P + Pg P + Pg

3.1.6. Prilagoenje na maksimalnu snaguAko na stezaljke realnog naponskog izvora prikljuimo troilo Rv u krugu e potei struja E 2 Rv E E2 . Snaga izvora iznosi: Pi = , a snaga troila Pv = I 2 Rv = . Stupanj I= 2 Ri + Rv Ri + Rv ( Ri + Rv )

PRv Rv = . Pi Ri + Rv Iz izraza za PRv je vidljivo da e snaga troila Pv biti nula, ako je Rv =0 ili ako je Rv = . To su sluajevi, koji i nisu tako interesantni jer je u tim sluajevima izvor u kratkom spoju ( Rv =0) ili u praznome hodu ( Rv = ). Zanima nas to se dogaa ako se + Rv mijenja tako da 0 < R < . Pritom je naravno unutarnji R otpor stalan tako da v moe biti manji ili vei od 1. Da bi Ri dobili najveu snagu koja se pojavljuje na Rv treba postavitikorisnosti je: (3.21)

=

Ri

U E +

Rv

(3.22)'

dPRv = 0 tj. Rv

-

E 2 R E 2 ( Ri + Rv )2 E 2 Rv 2 ( Ri + Rv ) v =0 = 4 ( R + R )2 ( Ri + Rv ) i v Da bi izraz bio jednak nuli mora brojnik biti jednak nuli (nazivnik je razliit od nule zbog Ri )E 2 ( Ri + Rv ) 2 E 2 Rv 2( Ri + Rv ) = 0 / : E 2 ( Ri + Rv )

Ri + Rv 2 Rv = 0 tj. (3.23) Rv = Ri To znai da e se na troilu pojaviti maksimalna snaga kada je iznos otpora vanjskog troila jednak unutarnjem otporu realnog izvora koji napaja dotino troilo. E 2 Ri E 2 Ri E2 Ta snaga iznosi: (3.24) Pmax Rv = = = . Stupanj korisnosti u tom sluaju 2 ( Ri + Ri ) 4 Ri2 4 Ri

Sl. 3.24

iznosi:Ri = 0,5 to je lo rezultat. Zbog toga se prilagodba na maksimalnu snagu primjenjuje R1 + Ri samo u tehnici slabe struje (na primjer prilagodba zvunika na pojaalo, antenskog kabla na antenu) gdje su ukupne snage male pa gubitak pola snage ne predstavlja problem, ve je bitno da je to najvea snaga koja se uope iz dotinog izvora moe dobiti.

=

48

Jasno da se prilagodba na maksimalnu snagu ne primjenjuje u tehnici jake struje, gdje su snage izvora vrlo velike, a i elementi elektroenergetskog sustava su unaprijed definirani. Dijagram snage izvora, snage na Rv i stupnja korisnosti u ovisnosti o Rv

E = 3V

Ri = 5

1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 05Rv ()

Snaga izvora (W) Stupanj korisnosti Snaga na Rv (W)

Sl. 3.25

3.1.7. Elektrine mree istosmjerne strujeElektrine konfiguracije koje se sastoje od veeg broja izvora i troila, koji su spojeni na najrazliitije naine (serija, paralela, spoj u trokut, spoj u zvijezdu) se zovu elektrine mree. Ako se u mreama pojavljuju samo linearni elementi onda ih zovemo linearne elektrine mree. Elemente mree ine izvori i troila, a za razumijevanje mrea potrebno je upoznati: Grana mree je dio mree izmeu dva vorita u kojem su elementi mree spojeni samo serijski. Spoj 3 ili vie grane ini vor. Svaki zatvoreni put se zove petlja mree. Nezavisna petlja je ona koja se od prijanje razlikuje barem za jednu granu. Na slici je najjednostavnija mogua R1 R2 mrea koja sadri 3 petlje, od kojih su 2 nezavisne. Mrea posjeduje 3 grane i 2 vora. I1 I3 I2 Broj neovisnih jednadbi koje se mogu zapisati za vorita je -1 gdje je broj vorita. Za mreu na slici (3.23. ) taj R3 + + broj jednadbi je jedan. Broj kontura E1 E 2 mree na slici ( 3.23.) je 2. Broj neovisnih jednadbi za konture je: g-(1) gdje je g broj grana. Za mreu se dakle moe zapisati broj Sl. 3.26 neovisnih jednadbi:g ( 1) za konture ( 1) za vorove

+

Ukupno: g , tj. koliko mrea ima grana 49

to ustvari znai rijeiti elektrinu mreu; znai odrediti sve struje u granama i sve napone na troilima. Rjeenje mree se moe dobiti primjenom razliitih metoda ili teorema, kao to su: - Metoda Kirchhoffovih zakona - Metoda konturnih struja - Metoda napona vorova - Metoda superpozicije - Millmanov teorem - Theveninov teorem - Transfiguracija spoja "trokut" u spoj "zvijezda" i obrnuto Za objanjenja emo koristiti najjednostavnije mree koje emo rijeiti na vie naina, kako bi mogli uvidjeti prednost i mane pojedinih metoda.

3.1.8. Metoda Kirchhoffovih zakonaR1 I1 R2Za ovu mreu treba zapisati g jednadbi tj. 3 i to dvije za petlje i jednu za vorite.

I3 R3

I2

+E1

+E2

Jednadbe za petlje (Kirchhoffov zakon za napone) glase: - petlja A ... E1 = I1 R1 + I 3 R3 (1) - petlja B ... E2 = I 2 R2 + I 3 R3 (2) (3) vor 1 ... I 3 = I1 + I 2 Vidimo da se radi o sustavu 3 linearne jednadbe koje je vrlo lako rijeiti.

Sl. 3.27

(nepoznanice su naravno struje I1 , I 2 , I 3 ). Ako se radi o mrei sa veim brojem petlji najbolje je jednadbe rijeiti pomou matrica:Primjer:

E1 R4

R1 I4

I1

AI5 I6 R5 R6

B

+I3

E3

E2 I2

+

R2

C

R3

Sl. 3.2850

Mrea posjeduje 6 grana to znai da je potrebno zapisati 6 jednadbi za rjeenje struja u granama. Broj jednadbi za konture je: 6 (3 1) = 4 , a to su: E1 = I1 R1 I 4 R4E2 = I 2 R2 + I 5 R5 E3 = I 3 R3 I 6 R6

0 = I 4 R4 + I 6 R6 I 5 R5 Za vorita: vor A ... I 2 I1 I 5 I 4 = 0 vor B ... I 4 + I1 I 6 I 3 = 0 Ako je zadano:

E1 = 40V E2 = 60V E3 = 10V R1 = 15 R2 = R3 = 5 R4 = 20 R5 = 30 R6 = 10slijedi: 15 I1 20 I 4 = 405 I 2 + 30 I 5 = 60 5 I 3 10 I 6 = 10 20 I 4 + 10 I 6 30 I 5 = 0 I 2 I1 I 5 I 4 = 0 I 4 + I1 I 6 I 3 = 0

15 0 0 R= 0 1 1

0 5 0 0 1

0 20 0 5 0 0 0 0 1 1

0 0 1 0

30 0

20 30

0 1

10 10 0 1 0

40 60 10 E= 0 0 0

(3.25)

[ R] [ I ] = [ E ]

matrina jednadba

4 6 4 I1 = 4 A; I 2 = 6 A; I 3 = 4 A; I 4 = 1A; [I ] = [R]1 [E ] I = to znai da je: I 5 = 1A; I 6 = 1A 1 1 1 Za operacije s matricama moemo koristiti neki od matematikih programa ili bolji kalkulator.Snaga izvora je 51

Pi = E1 I 1 + E 2 I 2 + E3 I 3 = 40 4 + 60 6 + 10 4 = 560 W

Snaga troila:2 Pt = I12 R1 + I 22 R2 + I 32 R3 + I 4 R4 + I 52 R5 + I 62 R6

= 16 15 + 36 5 + 16 5 + 1 20 + 1 30 + 110 Pt = 560W Pi = Pt

3.1.9. Metoda konturnih strujaR1 I1 R2Zamisao ove metode je u tome, da pretpostavimo kao da u cijeloj petlji (konturi) tee ista struja, a u zajednikim granama superponirana struja dviju petlji (suma ili razlika konturnih struja).

I3 IA R3 IB

I2

+E1

+E2

E1 = I1 R1 + I 3 R3 E2 = I 2 R2 + I 3 R3 I 3 = I1 + I 2

(1) (2) (3)

Sl. 3.29zamijenimo s I1 + I 2 dobivamo nakon sreivanja:

Ako u jednadbama 1 i 2 struju I 3 E1 = I A ( R1 + R3 ) + I B R3E2 = I B ( R2 + R3 ) + I A R3

3.2.0. Metoda napona vorovaR1

1I4 R4

R3 I3

2I5 R5

R2

I1

I2

+E1

+E2

0 = 0

Metoda napona vorova je pogodna za rjeavanje mrea koje posjeduju 1 zajedniki vor kojemu pripiemo potencijal 0 (energetska mrea napajanja s dva mjesta). Svi ostali vorovi u mrei prema referentnom s potencijalom nula imaju odreeni potencijal odnosno napon.

Sl. 3.30Za mreu prema slici vrijede sljedee jednadbe: - za vorita: I1 + I 3 I 4 = 0I 2 I3 I5 = 0

52

Potencijal vora 1 se moe zapisati: E 1 = E1 I1 R1 I1 = 1 1 R1

1 = I 4 R4

I4 =

1R4 E2 2 R2

Potencijal vora 2:

2 = E2 I 2 R2 I 2 = 2 = I 5 R5 I5 =

2R5

2 = 1 + I 3 R3 I 3 =

2 1R3

Vidimo da smo pet struja pojedinih grana izrazili sa samo 2 potencijala to je naravno prednost ove metode jer e se pojaviti samo dvije nepoznanice i dvije linearne jednadbe koje je vrlo lako rijeiti. Da smo ovu mreu rjeavali direktnom metodom pojavilo bi se pet nepoznanica i isto toliko linearnih mrea to naravno zahtjeva dugotrajnije rjeavanje. Ako struje I1 , I 3 , i I 4 uvrstimo u jednadbu (3.1) slijedi:E1 1 2 1 1 + = 0 ili ako uvedemo vodljivost R1 R3 R4

( E1 1 )G1 + ( 2 1 )G3 1G4 = 0E1G1 1G1 + 2G3 1G3 1G4 = 0 1G1 1G3 1G4 + 2G3 = E1G1

1 (G1 + G3 + G4 ) 2G3 = E1G1 E2 2 2 1 2R2 R3 R5 =0

(1)

( E2 2 )G2 ( 2 1 )G3 2G5 = 0E2G2 2G2 2G3 + 1G3 2G5 = 0 2G2 2G3 2G5 + 1G3 = E2G2

2 (G2 + G3 + G5 ) 1G3 = E2G2

(2)

Ako mrea posjeduje vie vorova jednadba ima openiti zapis:

(3.26)

P GPP j G jP = EPj GPjj =1 j p j =1 j p

U jednadbi (1) za P = 1 P = 1 GPP = G1 + G2 + G3 tj. suma svih vodljivosti koje su spojene na vor 1. j P = 2 , G jP = G3 tj. vodljivost izmeu vora 2 i 1 (ako je paralelno spojeno vie otpornikaG jP je jednaka sumi vodljivosti izmeu vora j i p).

53

3.2.1. Metoda superpozicijeKod ove metode usporeujemo doprinose u strujama grana svih izvora mree pojedinano. To znai da djelovanje svih izvora osim jednog iskljuimo na taj nain da naponske kratko spajamo, a strujne otpajamo. Ukupna struja neke grane se dobije superpozicijom struja koje su doprinijeli pojedini izvori. Za mreu na slici (3.31) to bi izgledalo ovako:R1 R2

R1I2

R2

R1 I 3

R2

I1

I3 R3

+E1

+

E2

I1

I3R3

E1

+

I2

+

I 1

I 2R3

+E2

Sl. 3.31I1 = E1 R R R1 + 2 3 R2 + R3 I 2 = I1 R3 R2 + R3 I 3 = I1 R2 R2 + R3

R3 R3 E2 I3 = I 2 I1 = I 2 R R R1 + R3 R1 + R3 R2 + 1 3 R1 + R3 I1 = I1 I1 I 2 = I 2 I 2 I3 = I3 + I3 Primjer mree sa strujnim izvorom: R1 I1 A I Ako je npr. potrebno izraunati napon U AB I2 metodom superpozicije postupak je slijedei: I Otspojimo li strujni izvor, napon + R2 R2 E U ' AB = E . R1 + R2 Ako bi djelovao samo strujni izvor (naponski R1 B kratko spojen) struja I 2 = I i R1 + R2 I2 =

Sl. 3.32I I3

'' ' '' U AB = I 2 R2 . Ukupni napon U AB = U AB + U AB

I1 R1

I2

' '' ( U AB i U AB su istog polariteta, zato se zbrajaju).

R2

R3U R

3.2.2. Millmanov teoremMillmanov teorem je pogodan za rjeavanje paralelnog spoja veeg broja realnih izvora koji napajaju neko troilo. (to je esti sluaj u praksi) Vidimo da se praktiki radi o mrei sa samo 2 vora. Ako jedan vor (B) uzemljimo onda je B = 0 i U AB = A . Prema metodi vorova A 54

E1

+

E2 +

E3

+

B

Sl. 3.33

moemo zapisati:

A (G1 + G2 + G3 + G ) = E1G1 + E2G2 + E3G3

tj.

U AB =

E1G1 + E2G2 + E3G3 G1 + G2 + G3 + G

ili openito: (3.27)

U AB =

(E G ) G + Gi =1 i i =1 n

n

1

1

.

Budui da su u principu E1 E2 E3 , , En i R1 R2 R3 , , Rn struje meusobno razliite, a E U AB E U AB E U AB izraunavaju se prema: A = U AB = E1 I1 R1 tj. I1 = 1 I2 = 2 I3 = 3 R1 R2 R3 Ukupna struja I = I1 + I 2 + I 3 =U AB R

Mreu s strujnim izvorom prema slici (3.32.) bi pomou Millmanovog teorema rijeili kao:E1 G1 + I Za E1 = 10V ; R1 = R2 = 2; I = 2 A U AB = 7 V G1 + G2 po metodi superpozicije: R2 R1 2 2 '' I2 = I = 2 = 1A U ' AB = E = 10 = 5 (V) U AB = I 2 R2 2+2 2+2 R1 + R2 R1 + R2 U AB =' '' U AB = U AB + U AB = 5 + 2 = 7 V

'' U AB = 2 (V)

3.2.3. Theveninov teoremStruja troila ili napon na troilu R linearne mree moe se odrediti tako da se cijela preostala mrea od stezaljki 1 i 2 troila (otpornika) nadomjesti samo jednim naponskim izvorom sa elektromotornom silom ET i unutarnjim otporom RT.R 1 R2 1

E + 1

E2 +

UR

R

2

Ako otpornik R odspojimo na stezaljkama 1,2 e se pojaviti neki napon UAB koji se moe izraunati ili izmjeriti. Taj napon se zove Theveninov napon i oznaava se sa UT. Otpor u tokama 1,2 kada je iskljueno djelovanje svih izvora (to znai da naponski moraju biti kratko spojeni, a strujni odspojeni) se zove Theveninov otpor i oznaavamo ga kao RT. Napon UT se izraunava na neki poznati nain (odaberemo najjednostavniji). E G + E2G2 R R R Npr. U T = 1 1 i RT = 1 2 U R = U T R1 + R2 RT + R G1 + G2 Uobiajeni naziv za spoj sa dvije prikljune stezaljke je dvopol. Ako dvopol ne posjeduje izvore elektrine energije onda je to pasivni dvopol. Dvopol koji posjeduje izvore elektrine energije se zove aktivni dvopol. Pasivni dvopol smijemo nadomjestiti s omskim otpornikom iji je elektrini otpor jednak otporu dotinog pasivnog dvopola. Ako je dvopol aktivni smijemo ga nadomjestiti s naponskim izvorom koji ima napon jednak naponu na otvorenim stezaljkama dvopola i unutarnji otpor koji je jednak nadomjesnom otporu aktivnog dvopola. 55

S 3.34 l.1

R T UR UT + R

2

Sl. 3.35

(pritom su naponski izvori kratko spojeni, a strujni odspojeni). Vidimo da aktivni dvopol rijeimo upravo Theveninovim teoremom. Primjer: Aktivni dvopol na slici (3.36. ) ima podatke:E1 = 8V , E2 = 24V , R1 = 12 , R2 = 4 , R3 = 5 .

Po Theveninovom teoremu elimo dvopol nadomjestiti s nadomjesnim naponskim izvorom:

1 R1 R2 R3

1

E1

Rn

+

E2

+ +E

2 Sl. 3.36Nadomjesni otpor je jednak: Rn = R3 +R1 R2 12 4 = 5+ = 5 + 3 = 8 16 R1 + R2 Nadomjesni napon na stezaljkama 1-2 iznosi (po Millmanovom teoremu): 1 1 8 + 24 E1 G1 + E2 G2 4 = 80 12 = 20V ili I = E2 E1 = 24 8 = 1A E= = 12 0 1 1 12 4 G1 + G2 16 R1 + R2 + 12 4 E = E2 I 0 R2 = 24 1 4 = 20V E = E1 + I 0 R1 = 8 + 1 12 = 20V

2

Ako bi na stezaljke 1-2 prikljuili troilo otpora 8 na troilu bi se pojavila maksimalna snaga.

3.2.4. Nortonov teoremStruja kroz neki otpornik R linearne mree moe se odrediti na nain da se cijela preostala mrea od stezaljki 1-2 otpornika nadomjesti jednim strujnim izvorom struje IK i unutarnjeg otpora RT. Stezaljke 1-2 su pritom kratko spojene. 56

1 Ik R1 R2 1 Ik E1 G1 + E2 G2 E1 + E2 UR

R

+2

Sl. 3.37

G1 + G2

G

Ik

2

Nadomjesna struja I K = E1 G1 + E2 G2G G 1 G 1 UR = I R = IK U R = ( E1 G1 + E2 G2 ) G1 + G2 + G G1 + G2 + G G G1 + G2 + G G E G + E2 G2 UR = 1 1 isti izraz moemo direktno zapisati primjenom Millmanovog teorema. G1 + G2 + G I = IK

Ik Ii G1 + G2 I

I

UR

G

Sl. 3.38

57

3.2.5. Transfiguracija spoja trokut u spoj zvijezdaesto se u mrei pojavi spoj kao na slici:

R5 A R1 R2 R3 R4Sl. 3.39Ukupni otpor izmeu toaka A i B ne moemo izraunati direktno, jer oito ne postoji ni serijski ni paralelni spoj dva ili vie otpornika. Radi se o novim spojevima , a to su spoj u zvijezdu (otpornici R1, R2, R5 ili R2, R3, R4) i spoj u trokut (R1, R2, R4 ili R2, R3, R5). Takav spoj otpornika rijeimo tako da izvrimo pretvorbu spoja trokut u zvijezdu tj. spoja zvijezda u spoj trokut. Pri toj pretvorbi ukupni otpor izmeu bilo kojih toaka mora ostati nepromijenjen, kako transfiguracija nebi promijenila naponske i strujne prilike u ostalom dijelu strujnog kruga.

B

R2 R12 R23

R12 ( R23 + R31 ) R12 + R23 + R31 R ( R31 + R12 ) 2. R2 + R3 = 23 R12 + R23 + R31 R ( R + R23 ) 3. R3 + R1 = 31 12 R12 + R23 + R31

1. R1 + R2 =

R1

R3

R31

Sustav tri linearne jednadbe daje rjeenja:

Sl. 3.40R1 = R31 R12 produkt otpora koji u trokutu imaju isti vor s R1 R R = tj. R2 = 12 23 suma otpora spoja R R R3 = R31 R23 R

Ako su nepoznanice R12 , R23 , R31 , a poznati R1 , R2 , R3 vrijede jednakosti:R R produkt otpora zvijezde vora 1 i 2 (3.28) R12 = 1 2 = R0 R0 1 1 1 R0 = + + R1 R2 R3 1

58

3.2.6. Wheatstonov (Vitstonov) most.R1 I13 R5 I 24 R2 B IE

A

R3

R1

A

RA

R4 C R2 B RB

RC

C

Sl. 3.41

RA =

R3 R5 R3 + R5 + R4

RB =

R5 R4 R

RC =

R3 R4 R

Primjer: Treba izraunati struju I u spoju prema slici (3.41) ako su:

R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = 3 i E = 12 V

Rjeenje:RA =

R3 R5 33 = = 1 9 R3 + R5 + R4

RB = 1

RC = 1

( R1 + RA ) ( R2 + RB ) 44 + RC = +1 = 2 +1 = 3 . 8 R1 + RA + R2 + RB 6 6 36 = = 3 to znai da R5 u ovom sluaju ne utjee na Spoj bi imao isti otpor bez R5 tj. 6 + 6 12 ukupni otpor jer su njegove stezaljke spojene u toke A i B izmeu kojih nema potencijalne razlike E 12 ( U AB = 0 ). Takav spoj je poznat kao uravnoteeni Wheatstonov most. Struja I = = = 4A . 3 RU Koliki bi bio napon U AB ako se u prethodnom primjeru R5 promijeni i iznosi R5 = 2 ? 3 2 6 3 3 9 R = 3 + 3 + 2 = 8 RA = = = RB = RC = 8 8 4 4 8 3 15 15 15 15 9 24 ( R1 + RA ) //( R2 + RB ) = R1 + RA = 3 + = R2 + RB = RU = + = = 3 4 4 8 8 8 8 4 Vidimo da iznos R5 ne utjee na ukupan otpor jer je most u ravnotei: R1 3 Potencijal toke A: A = E = 12 = 6V 3+3 R1 + R3 R2 3 = 12 = 6V Potencijal toke B: B = E 3+3 R2 + R4 U AB = A B = 0 V . R2 R1 Napon U AB e biti uvijek nula kada je A = B tj. E = E R2 + R4 R1 + R3RU =

59

R2 R1 + R2 R3 = R1 R2 + R1 R4 R2 R3 = R1 R4 tj. kada je produkt otpora suprotnih grana meusobno jednak. Ako most nije u ravnotei napon U AB raunamo pomou Theveninovog teorema. Neka je R1 = R2 = R4 = R5 = 3 i R3 = 2 , E = 12 V 3 3 A = 12 = 7, 2 V ; B = 12 = 6 V 3+ 2 3+3 R5 ; U T = A B = 7, 2 (6, 2) = 1, 2 V Napon U AB = U T R5 + RT 3 3 U AB = 1.2 = 1.2 = 0.63 V 2.7 + 3 5.7

3.2.7. Nelinearni elementi u krugovima istosmjerne strujeKod linearnih elemenata otpor ne ovisi niti o jakosti struje niti o naponu koji vlada na stezaljkama U otpornika. Zato je R = = const. , a karakteristika U = f ( I ) je pravac koji ide iz ishodita. Kod I nelinearnih otpornika karakteristika nije pravac ve neka krivulja. Voltamperske karakteristike U = f ( I ) ili I = f (U ) mogu biti veoma razliite. Ako otpor nelinearnog elementa ovisi samo o iznosu struje, a ne ovisi o smjeru, onda je i rije o simetrinom nelinearnom elementu. Kod takvih elemenata vrijedi da je: f (U ) = f (U )I

I

U

+ I1U

U

+ I1U

I2

+U

I2

+U

I-U karakteristika simetrinog nelinearnog elementa

I-U karakteristika nesimetrinog nelinearnog elementa

f (U ) = f (U )

f (U ) f (U )

Sl. 3.42

60

3.2.8. Serijski spoj nelinearnih elemenataSpojevi s nelinearnim elementima se rjeavaju uglavnom grafikim putem.

R1

R2

I Ia

R1

b

R2c

I

U1

U U2

ESl. 3.43

E

Sl. 3.44

I ovdje vrijede Kirchoffovi zakoni tj. E = U1 + U 2 , a struja je kroz oba elementa ista. Rezultantnu karakteristiku dobijemo jednostavnim grafikim zbrajanjem krivulja za R1 i R2 . Iz rezultantne karakteristike lako odredimo struju I = f (U ) jer je u spoju E poznata (vidi sliku). Isto tako na krivuljama pojedinih nelinearnih elemenata odredimo napone koji vladaju na njihovim stezaljkama. Postoji i drugi nain rje