Obwody i Sygnaty Elektryczne

rnnSc PRocRAMU

SEMESTR I

tematy zajgd

liczba godzin

wykL cwrcz. lab. proJ.Drzet.

semrn. prac.nroblem.

L. Og6lne pojpcia i klasyfikacja sygnal6w elektrycznych:

Sygnaly elektryczne zdeterminowane - klasyfikacja io g6lne zasady modelowania.

I

2. Uklady elektryczne oraz zasady ich modelowaniasieciowego i zaciskowego:

Uklad elektryczny jako obiekt rzeczywisty, parametrypierwotne, elementy idealne i ich charakterystyki, klasamodeli SLS, wielkoSci zaciskowe, struktura modelizaciskowych, wymuszenie i odpowiedZ.

)

3. Podstawowe prawa i twierdzenia Teorii Obwod6w:- Sied elektryczna i jej elementy (wgzel, galqL, oczko),

macier ze strukturalne :

)

Podstawowe prawa Teorii Obwod6w: prawo Ohma,prqdowe prawo Kirchhoffa, napigciowe prawo Kirchhoffa,zasada Telegana, twierdzenie Thevenina, twierdzenieNortona, r6wnowazno6d uklad6w, zasada superpozycii.

) I 4*

4. Metody analizy obwod6w liniowych pr4du stalego:- Model sygnalu i obwodu, prawa i twierdzenia Teorii

Obwod6w dla pradu staleso:I I

- Metody analizy obwod6w: metoda transfiguracji, metodasuperpozycii

) 4

- Metody sieciowe analizy obwod6w metoda oczkowa ) )* Metoda wgzlowa; ) ,,

- Metoda zastgpczego generatora; ) .,

Analiza obwod6w nieliniowych pr4du stalego.

RAZEM W SEMESTRZE I

)

18 t24'k

12*

6. LITERATURAAutor Tytul Rok wvdania

A. Sosnowski Teoria obwod6w elektrvcznvch t982J. Osiowski. J. Szabatin Podstawv teori obwod6w. tom 1 t992J. Osiowski. J. Szabatin Podstawv teor obwod6w. tom 2 1992J. Osiowski. J. Szabatin Podstawy teori obwod6w. tom 3 1995C. KepskiA. Sosnowski Teoria obwod6w sygnal6w - iwiczenia rachunkowe. Cz. I t978C. Kgpski, H. Moroz,I. Persak,A. Sosnowski

Teoria obwod6w i sygnal6w - dwiczenia rachunkowe. Cz. 2 1986

C. Kqpski, H. Moroz,I. Persak Teoria obwod6w i sygnal6w - dwiczenia rachunkowe. Cz. 3 1989Praca zbiorowa Laboratorium teorii obwod6w cz. I r912Praca zbiorowa Laboratorium teorii obwod6w cz.2 r976J. Osiowski Zarys rachunku oDeratoroweso 1981M. Krakowski Elektrotechnika Teoretyczna. tom I Obwodv liniowe i nieliniowe 1999H. C. Moroz Charaktervstvki liniowvch obwod6w stacionarnvch r972S. Mitra Analiza i synteza uklad6w liniowvch aktvwnvch t974J. Barzykowski,G. Nitecki

Podstawy teorii obwod6w elektrycznycht . I . t . 2

r995r996

S. Osowski, L. Iwanejko, P.Preibisch, M. Choinacki

Teoria obwod6w elektrvcznvch 1999

B.P. Lathi Teoria sysnal6w i uklad6w telekomunikacvinvch r970

Sygnat elektryczny i jego klasyfikacja

W jEzyku potocznyrn sygnal kojarzy siE ze znakiem sluZ4cym do przekazywania

infonnacji, np. dZwigk, dym rtp. W naszym przypadku bgdziemy skupiali siE wylqcznie

na zjawiskach elektrycznych wywoluj4cych falg napigcia lub pr4du.

Sygnal elektryczlny jest to fala napigcia lub predu rozchodzqca siE ze 2r6dlawzdlu?

pewnych kierunk6w zwanych promieniami fali

Tak zdefiniowany sygnal opisany jest przez funkcjg wyraZong analitycznie lub

przedstawion4 w postaci wykresu. W przypadku og6lnym jest to funkcja

wsp6lrzgdnych przestrzennych i czasu.

Funkcj g sygnalu przedstawiamy zazwy czaj jako:

o FunkciQ wsp6hzgdnych przestrzennych dla ustalonego czasu - rozklad napipcia

lub prqdu

o Funkci€ czasu w okre5lonym punkcie przestrzeni - przebieg napipcia - u(t) lub

pr4du - i(/).

Badanie dowolnego ukladu frzycznego wymaga okreSlenia, kt6ra wielko6l fizyczna

lub ich zesp6l stanowi prryczynp zjawiska, a kl6ra wielkoS6 charakteryzuje zjawiska

zaistniale w wyniku dzialania okreSlonych przyczyrL. W tym celu wprowadza sig

pojgcia: wymuszenia i odpowiedzi ukladu frzycznego

Wymuszeniem nazywa siE wielkoS6 fizycznq stanowi4c4 zewngftznq przyczyne

zjawisk badanych w danym ukladzie.

OdpowiedZ ukladu fizycznego jest to wielko$d frzyczna charakteryzuj4ca zjawisko

powstale pod wplywem wymuszenia.

Na uklad frzyczny mohe dzialac jedno lub wiele wymuszefi a badanie

ftzycznego rrrohe dotyczy6 jednej lub wielu odpowiedzi.

W obwodzie elektrycznym wymuszenuarrrl se zazwyczE napipcia lub

Lr6dlowe. Natomi ast za odpowiedt obwodu przyjmuje siE przebiegi pr4d6w i

powstatych w jego galEziach lub elementach

Klasyfikacja sygnal6w

ZakladaJqc, 2e rozpatrywane obwody elektryczne spelniaj4

quasistacjonarnoSci, ograniczymy przedstawionq klasyfikacjq do

nazywanych przebiegami napigcia lub pr4du.

Funkcje opisujqce te sygnaly sq zalehne od jednej zmiennej, kt6rq jest

kryterium klasyfikacji przyjmujemy przebreg zalehnoSci funkcji f(t) sygnalu

ukladu

prQdy. ,

naplQc

warunek

sygnal6w

czas. Jako

od czasu.

Deterministyczne

N $'6' =

1 0s o

. o .c r t rBezwzglgdnie

calkowalne

snEe gsfi

Harmoniczne

- sygnaty stale : dla kt6rych/(r) = const.l / e (- "",1-."), oznaczanei lJ, I

- sygnaty zmienne : dla kt6rych/(/) I const.; / e (-"",+"") , oznaczarei i, u, i (t), u (t)

Sygnaly zmienne dziel4sig naokresowe i nieokresowe

Sygnal / (r) jest okresowy, jeLeli dla dowolnej dodatniej lub ujemnej warto6ci czasuzachodzi r6wno6i:

yQ+*r)= yQ)Okresem sygnalu nazywamy najmniejsz4z liczbT dla kt6rych zachodzipowy2sza

zaIe2noS6, k -Iiczba calkowita.

Przyklad

Sygnal u(t) - sin2ut + z"or(zo, * /)jest sygnalem okresowym o okres ie r =(#)= [#)

Sprawd zamy warunek okresowoSci

,(, *#)=,' ' [ro(,.#)) +zcos(zo(, * #).%)=

sin(20 t +2n)+ zcos( zut +t.r")

= sin 2ot + z"or( zo, * +) - uQ)\ . 3 )

Sygnaly u(t) = t , u(t)= ,-20t sQ sygnatami nieokresowymi

Sygnaly przemienne

Sygnalem przemiennym nazywamy przebieg opisany funkcj4okresowqf(t) spelniaj4cq

h+:rwarunek [f@ar=o

to

Warunek tern ozracza, 2,e pole powierzchni ograniczonej wykresem funkcjiflr) w

przedziale okresu T jest r6wne zero

Sygnaly opisane funkcj qf(t) nie spelniaj4ce tego warunku sqnazywane sygnalami

tptniqcymi

Szczeg6lnie waLnq z punktu widzenia elektroniki grupq sygnal6w przemiennych

stanowiq przebiegi harmoniczne. S4 one opisywane sinusoidalnie zmiennq funkcjq

czasu, kt6rqdla sygnalu napigciowego moimazapisat w postaci

u(t) -u ̂ ri"(+, * q), t e (-"";+"")

IJ- - amplituda sygnalu, T - okres funkcji, (p - faza poczqtkowa

Sygnaty nieokresowe obejmujq zbi6r przebieg6w elektrycznych opisanych funkcjami

nieokresowymi, tj. nie spelniaj4cymi warunku ohesowoSci.

Przykladem jest funkcja jednostkowa (nie calkowalna bezwzglEdnie)

r.,,=

|

0

1l , .o

d la l t >0

I t - 0

4If-trt

%

II

Funkcja jednostkowa z op62nieniem t(t - ") -lI

II

II

0

1l "u

d la l t >a

I t - a%Za pomocq sumy odpowiednio przesunigtych

przedstawi6 inne funkcje.

funkcji jednostkowych mohna

f Q) -r(t + r)-t(t - r) f Q) = Ah(/) -t(t - r))

f 0= AF(/) -2.1(t -c)+t(t -zr)l

Innym przykladem funkcji nieokresowej jest funkcja impulsowa zwana funkcjq

Diraca (bezw zglpdnie calkowalna).

Funkcja Diraca definiowanamohe by6 za pomocqimpulsu prostokqtnego.

Rozpatrzmy jednostronny impuls Fostok4tny o szerokoSci a i wysokoSci 1/a.

Pole prostokqta wynosi s = 1. Korzystaj4c z funkcji jednostkowych impuls taki moZna

I _ . .

przedstawii w postaci 6\,")=:^[(t)-t(t-a)J. ro*"3u impulsowa jest r6wnaa

nastgpuj4cej granicy:

6(t)-rirryTak wiEc funkcja impulsowa jest granic4, do kt6rej dqzy impuls prostok4tny o polu

r6wnymjednoSci i podstawie dqzqcej do zera

Wasno5ci funkcji impulsowej

IUAV, = la(tpt =t , gdzie -0 i +0 oznaczajrl ujemn4 i dodatni4 dowolnie mal4 warto56

zmiennej t.

lf(tp(t)dt +(0), r6wnanie to opisuje tzw. pr6bkow4wlasno6i funkcji impulsowej.*'-

Podobn4 wlasnoS6 posiada funkcja 1(t)

Np. funkcja sin(t) - sygnal rfle przyczynowy

A funkcja sin (t) .1(t) - sygnal przyczynowy, 0 dla t < 0

Sygnaty ortogonalne

Dwa sygnaly fr(t) i fdQ nie bgd4ce toZsamo5ciowo r6wne zero nazyrvamy

ortogonalnymi w przedziale (t1,12), jeirclii

t2

tr

t2

I f,. \r,Q)dt - I f,Q)y; at - otr

Gdzie 7,.1t1,7|1r1 - funkcje sprzg2one zfur*cjamifl(t) ir(t)

Je2eli sygnaty fl!) i fr(t) s4 rzeczywiste, to powy2szy warunek sprowadza siE do

r6wnania

t2

[f,(t)f,{Da, -otl

Przykladem dw6ch funkcji ortogonalnych mogq by6 funkcje sin(nr*) i sin(mrrr) w

przedziale ro, ro * 4 dla calkowitych n i m przy n I m.- - - ( t )

Aby to udowodni6 rozpatrzymy calkg:2n 2z .'

I - f. ;sin(n m)srn(*an) - f.t; [ ."r(

n+m)an-"or(, -*)an]dt -0Jo

Poniewa? (n - m) oraz (n + m) sq. hczbarm calkowitymi, r62nymt od zera

dla przypomnienia

cosq- cos f = 2r ino \ f , ino - f

2 2

Wielko5ci charakterys ty czne sy gnal6w okresowych

WartoSd chwilowa - wartoS6, jakq sygnal przyjmuje w danej chwili. lal

Warto5d maksymalna - najwiqksza warto{t chwilowa jakq sygnal osiqga

rozpatrywanym przedziale czasu tAJ

WartoS6 Srednia p6lokresowa - narywatrry iredniq arytrnetycznq tego sygnatu

obliczonqdlapolowy okresufr, f @l

^ z | - t \Fn,=i )f\tPtU

WartoS6 Srednia calookresowa - nazywarny iredniq arytmetycznq tego sygnalu

obliczonq dla j edne go okresu T

1 ' o * ! . .F.,- =1 lfbWtr i " "

Sygnaly okresowe, kt6rych wartoS6 Srednia calookresowa jest r6wna zeru

nazyw amy sygnalami przemiennymi.

WartoS6 skuteczna sygnalu okresowego - nazywamy pierwiastek kwadratovvy z

wartoici iredniej h,ttadratu sygnalu obliczonej dla jednego okresu T

F,*=\F It0'r.(t)at - +"TIQYdr-'m)

Dla sygnalu sinusoidalnego f 0= Asin ar , wartoS6 skutecznabgdzie wynosila

l4LJ-z

WartoSd skuteczna prqdu (naprgcia) okresowo zmiennego jest r6wna takiej wartoSci

pr4du (napigcia) stalego, kt6ry przeplywajqc przez identyczn1_rezystancje R

wydzielilby w czasie odpowiadajqcymokresowi T tak4sam4iloS6 ciepla co przebieg

okresowy

Wsp6lcrynnika szczytu - stosunek wartoici maksymalnej (szc4ttowej) do jego

wartoSci skutecznej

k o - h

Wsp6lczynnik ksztaftu - stosunek wartoici skutecarcj sygnatu do jego wartoici

Sredniej

F4 = 4 ,

Poj gcia podstawowe elektrotechniki

Ladunek elektryczny - pewna okre{lona liczba ladunk6w elektrycznych e dodatnich

Iub ujemnych

Srodowisko

nieliniowe

: jednorodne; niejednorodne; izotropowe; anizotropowe; liniowe;

. jednorodne - te same wla{ciwoSci w ka2dej czqstce materii

o izotropowe - te same wlasno{ci fizyczne w trzech kierunkach w przestrzeni

o liniowe - jezeli state fizyczne charakteryzujqce to Srodowisko nie zaleiq ani od

natqzenia pola magnetycznego, ani od natqzenia pola elektrycznego

Naj wa Lntejsze state fiizy czne

o przenikalnoS6 elektryczna (e) przenikalnoS6 pr62ni to = 8,85 .r0-r2 F / m,

przenlkalnoS6 magnetyczna Qt),przenikalnoS6 pr62m po = 477. 10-7 H I m

przewodnoS6 wlaSciwa (y)

€ o ' F o =1,)

c-, c = 3. 108 m/s prEdkoS6 Swiatla w pr62nr

Pr4d elektryczny- jako zjawisko fizyczne wywolane polem elektrycznym w Srodowisku:

uporzqdkowany ruch ladunk1w elektrycznych przez badany przekrdj poprzeczny

irodowiska pod wptywem pola elektrycznego

- jako wielkoS6 skalarna bgd4ca sk6tem terminu: natgZenie pr4du elektrycznego:

narywamy granicq stosunku ladunku elektrycznego Aq przenoszonego przez czqstki

naladowane w ciqgu pewnego czasu At poprzez dany przekrfj poprzeczny irodowiska

do rozpatrywanego czasu, gdy czas ten dqty do zera.

i = l i m L q - d q

Ar-+0 a/ dt

Prq.d przewodzenia; prqd przesunigcia, prq.d unoszenia

P r t d p r z e w o d z e n i a -prqdelektrycznypolegaj4cyna

przemieszczarit sig elektron6w swobodnych lub jon6w w Srodowisku przewodzqcym

pod wplywem pola elekfirycznego.

P r Q d p r z e s u n i p c i a -pr4delektrycznywystgpujqcyw

dielektryku polegaj4cy na przemieszczaniu sig ladunk6w dodafirich i ujemnych

wewn{ffz atomu bez naruszenia struktury atomowej materii.

P r Q d u n o s z e n i a ( p r a d k o n w e k c j i ) - p r e d

elektryczny polegaj4cy na ruchu ladunk6w elektrycznych wraz zmatei4w Srodowisku

nieprzewodz4cym.

10

Natp2enie pola eleliitrycznego

Natpienie pola elektrycznego E jest wielkoSci4 welctorow4 r6wnq granicy stosunku

sil z jak4 pole elektryczne dziala na nieruchomy ladunek punktowy wprowadzony do

rozpatrywanego punktu pola, do warto6ci tego ladunkuje2eli ladunek ten da!ry do zera.

FE=lim;a_+0 9

Gpsto56 pr4du"I

J = rrrn+=+; J = Jl. jednostka 1Alm2Ar-r0 AS dS

'

Zwrot wektora gpsto5ci pr4du jest zgodny ze zwrotem poruszaj4cych sig ladunk6w

dodatnich, a wigc przeciwny do zwrotu poruszajqcych sig elekfron6w.

r = iJ .dss

ee-ea= j" * napigcie uen=ee.-esAB

Jehelina element przewodzqcy dziala zmienny strumierfl magnetyczny to w

elemencie tym indukuje sig napigcie , = *dt

Modelowanie zjawisk w ukladach elektrycznych

Zal.oienia wstqtne

o Zakladamy quasistarjonarny sten obwodu (przestrzenne ograniczenie

rozpatrywanych zjawisk elektrycznych i magnetycznych).

Warunek ten sprowadza sig do zqdania aby czas r przej(cia zmiany pola

elekfromagnetyczne9o z najbli2szego otoczenia wywotuj4cegojqprqdu do najbardziej

odleglego punktu ukladu byl znacznie mniejszy od okesu T sinusoidalnej funkcji

pr{du.

T < T

Czas r jest proporcjonalny do drogi I przebywanej przez falp elektromagnetycznqw

ukladzie, a okres T jest proporcjonalny do dtugoSci fali elektromagnetycznej 1,.

11

Wsptitcrynnikiem proporcjonalnosci, w obu przypadkach jest prpdkoSd c fali

elektromagnety cznei w proZm.

c -LIC

r -L )c

Pierwotny warunek quasistacjonarnoSci ukladu sprowa dzasig wiqc do warunku

I <<),'

Oznaczato,2e uklad znajduje sig w stanie quasistacjonarnym, jeZeli odleglo56 miEdzy

najbard ziej oddalonymi elementami ukladu jest znacznie mniejsza od dlugoSci fali

elektromagnet y cznej w Pr62nt.

W teorii obwod6w zjawiska zachodzqce w ukladach frzycznych opisujemy

zale2noSciami odnosz4cymi sig do pewnych obszar6w np. dieleliitryk kondensatora

czy odcinek przewodu.

Analiza uktadu elektrycznego doty czy przede wszystkim nastgpujqcych zjawisk:

o Gromadzenia ladunku elektrycznego na przewodnikach umieszczonych w

polu elektrycznym.

Wy tw a r zania p o I a ma g ne ty cznego pr zez pr qd el ektry czny prz e w o dn ika

Rozpraszania energii elektrycznej w przewodniku z prqdem,

powstawania pola elektrycznego w danym ukladzie kosztem zewnEtrznych

zasob6w energii.

Ker:2demu z wymienionych zjawisk odpowiadajq okreflone parametry pierwotne

obwodu elektrycznego

Elementy obwodu maj4ce zdolnoS6 akumulacji olaztozpraszania - elementy pasywne

Elementy obwodu pasywne majqce zdolnos6 gromadzenia energii - elementy

zachowawcze

o

o

o

t2

Element liniowy - element, H6rego wlaiciwoici mogq byt opisane algebraicutym

rdwnaniem liniowym lub liniovvym r6wnaniem r6zniczkowym

Element stacjonarny - parametry nie zmieniajq siq w funkcji czasu

Element niestacjonarny/parametry czny - parametry zmieniajq siq w funkcji czasu

Parametry element6w obwodu elektry cznego: skupione i rozloircne

R6wnanie r6Zniczkowe wiqzrye napigcie i pr4d elementu o para:rretrach rozloizonych

jest r6wnaniem r6Lniczkowym czqstko\Mym

R6wnanie r6imiczkowe wiqhqce napigcie i prqd elementu o pararretrach skupionych

jest r6wnaniem r6Zniczkowym zwyczajnym

Elementy obwodu mog4.by6 odwracalne i nieodwracalne

Odwracalny - takie same wlasnoici niezale2nie od sposobu polqczenia elementu w./

obwodzie i niezaleznie od biegunowo{ci przytozonego napiqcia.

Elementy klasy SLS ( Skupiony, Liniowy, Stacjonarny)

Podzial zaLeZny od liczby zacisk6w - dw6jniki i wielobiegunniki

Pojemno5e elektryczna

WasnoS6 ukladu elektrycznego polegaj4ca na zdolno6ci gromadzenia energii w polu

elektrycznym

Kondensator - Dw6jnik pasywny zachowawczy, zdolny do gromadzenia energii w

polu elektrycznym

Pojemno6d C - stosunekladunku q qromadzonego najednej zokladzinkondensatora

do napiqcia pomiedzy oHadkami

/1 q( - - -

u

l . z-lF | ,/l'/ '

Kondensator tiniowy

L3

i -+, ( r= z l , - r * , =7' l r61a, =+"l i ( rpr * l ' f i ( rprd t \ u ) d t C : C : " C i " \ /

Pierwsza calka opisuje napiEcie panuj qce na kondensatorze w chwih t = to.

dW, =udq +W, =n[r* )W, -]ru,0

Procesowi gromadzenia ladunku elektrycznego w ukladzie towarzyszy powstawanie

pola elekrycznego o pewnej energii W". R6zniczkowy przyrost dl7, energii pola

elektrycznego, odpowiadajqpy r6imiczkowemu prz5nostowi d4 ladunku, w5mosi

lub inaczej

d Y . d iu - - = L - .

dt dt '

w - 'l,k1@dr

= r'!"@!#dr =)c'!a[,,@]=*r,,(/) '0

przy zaloileriu 2e w ptzedziale czasu<-oo, 0> napiEcie na kondensatorze jest r6wne

zeflJ

IndukcyjnoSd wlasna

Wasno66 ukladu elektrycznego polegajqca na zdolnoSci gromadzenia energii w polu

magnetycznym

Cewka indukcyjna - element, kt6rego dominuj4c4cech4jest indukcyjnoS6 wlasna.

Cewka indukcyjna zwalna induktorem jest fypowyrr dw6jnikiem pasywnym

zachowawcz5mr

IndukcyjnoSd wlasna cewki liniow"j - z = I stosunek strumienia skojarzonego zI

cewk4do pr4du i plyn4cego przez cewkg. Strumief skojarzony Y cewki o N zwojach

jest r6wny sumie strumieni wszystkich zwoj6w cewki czyli Y = Na

L

__rY-Y-Y-\_

1 t .

r = !'fu(rpr+ ;(ro ); i(to) - l"l"GV"

=ry (warunek poczqtkowy)

1,4

R62niczkowy przyrost dW- energii pola magnetycznego, w otoczeniu przewodnika z

prqdem odpowiadaj4cy r6imiczkowemu przyrostowi strumienia magnetycznego dry

skojarzonego z przewodnikiem wynosi

d'W^ -id'tY; dt{ = Ldi; W- -lU'

lub inaczej

w ='[,("\Gpc - L'ffiGV, =]t'lob'G)1--f,rrQ),0

IndukcyjnoS6 wzajemna

Stosunek strutnienia nxagnetycznego wytworzonego w cewce pierwszej i skojarzonego z

cewkq drugq do prqdu ptynqcego w cewce pierwszej nazywarny indukcyjnoflciq

wzajemnq cewki pierwszej z cewkq drugq i oznaczatrry

u,M = +

gdzie'. Yr, - strumief skojarzony z cewk4 drugq wytworzony ptzez pr4d plynqpy w

cewce pierwszej

W przypadku, kiedy obie cewki znajduj4 siE w r6znych Srodowiskach magnetycznych

(r6ine trt") w oznaczeniu M stosuje sig indeksy m6wiqpe o wystqpuj4cych Srodowiskach

nP.Mr,z.

Zjawisko indukowania siq napigcia w jednyn elemencie indukcyjnym na skutek anian

prqdu w drugim elemencie nazywamy 4iawhWem indukcji wznjernnej

Zgodnie z prawem indukcji elektromagnetycznej napigcia indukcji wzajemnej moZna

zapisa6: u,,. =N, = lodit . u.,, =Nt = tr4dbdt dt ' dt dt

Rozpafrzmy uklad dw6ch indukcyjno5ci LriI-2.

15

ttt, = I+r+ Mi" oftz ur=dYr' d t

Vz= It iz+ M\ oftz ur=+' d t

Gdzie:

{1 - calkowity strumief magrLetyczny skojarzony z ukladem pierwszym

ty2 - calkowity strumief magnetyczny skojarzony z ukladem drugim

i1 - natghenie prqdu w pierwszym ukladzie

i2 - natg2dnie prqdu w drugim rrkladzie

M - indukcyjnoS6 wzajemna, przyjmtjqca warto6ci zar6wno dodatnie jak i ujemne,

zaleime od kierunku nawinigcia uzwojeri cewek.

Kierunek nawinigcia cewek zaznacza sig poprzez kropki oznaczajqce poczqtek

uzwojef.

M/

/2"-

" "-*-\ \ \ '

/i1 {a a\ .2

+,11

rYt = I"i'! Mi'

rY' = Iti't Mi"

Znak + pojawi siE w r6wnaniach dla ukladu po lewej stronie, poniewa2 pr4dy ij i i2

maj4 jednakowe zwroty wzgledem zacisk6w jednoimiennych, a wigc strumienie

indukcji wlasnej i wzajemnej w obu cewkach majqzwrofy zgodne. pla rrkladu zprawej

strony naleZy napisad znak -.

Energia W- pola magnetycznego uklad6w elektrycznych sprzgZonych polem

magnetycznymjest funkcj4prqd6w i1 , i2 .

L6

R6zniczkowy pruyrost dW- tej energii i energia calkowita mog4 by6 okreslone

zafeimo(ciami

dw^ - (t"t, t Miz)at, + (t i, x tttr)ai, --) w^=irt *It,t tMti,

Rezystancja - Rezystor

Zjawisko prqdu elekhrycznego w Srodowisku przewodzq,cym polega na

uporz4dkowanym ruchu ladunk6w elektrycznych, ladunki zostajqwprawione w ruch

przez sity pola elektrycznego wytworzonego w danym o6rodku.

W czasie ruchu, ladunki elektryczne zderzajq sig z cz4steczkani przewodzqcego

Srodowiska, oddajqp im czg56 swojej energii, tym samym powigkszaj4c energig

wewngtrznq o6rodka. (ednostronna zamiama energii elektrycznej na cieplo -

Srodowiska przewodz4ce posiadaj4 wlasno66 rozpraszania energii).

Zaleino(cr iloSciowe dotycz4ce rozpraszaria energii opisuje prawo Jouleta w postaci

r6iniczkowej \po = p. J')

WielkoS6 charakteryzuj4ca zdolnoS6 rozpraszania energii przez o5rodek lub cialo

przewodzqce daje wielkoSd fizyczna zwalna rezystancje i oznaczanajako R

Prawo Ohma w postaci calkowej

Prawo Ohma w postact r6hniczkowej i = y.E

y - konduktywnoS6

Rozwahmy odcinek przewodnika w ksztalcie walca o dlugoSci L i powierzchni

przekroju S, wykonanego z materialu o konduktywnoSci y.

I7

/-+ Y

Pod wplywem l6inicy potencjal6w na koricach przewodnika U = Orprpoplyfie w nim

pr@ stacjonarny o natgZeniu I

Na podstawie pnyjgtychoznaczeiformulujemy prawo Ohma w postaci calkowej

Natgirenie I prqdu stacjonarnego w oilcinku przewodnikajest proporcjonalne ilo

napiQcia U, wystpujqcego migdzy przekrojami odpowiadajqcymi poczqtkowi i

ko r1cowi danego odcinka przew odnika

I = G . U

Stala proporcjonalnoSci G nazywana jest kondunktancjq odcinka przewodnik a a jej

jednostkg okreSla iloraz jednostek natezenia prqdu i napiEcia

1[c]-#i =t!-1s

R : p L = I' S j E

gdzie: p - rezystywno sC przewodnika; y - konduktywno 5(, przewodnika

lpl-ry _f ! =ler m

l y l_ , . - -H ' ,= , [g ] J r l _ f .? : r {=1 IL t r

[ n ] [ s ] ^

[ s ] - m 2

m - s t . *

Rezystancja przewodnika o przekroju poprzecznyms i dlugodci I w danej temperaturze

Rezyst ancja metalu w funkcji temperatury

Rz = na[1 + a(r - 4)]

1 8

Wsp6tczynnik temperaturowy rezystancji u jest to wzglAdny przyrost re4tstancji przy

wzroScie temperatury o I K. ( a - 4. IO-3I1 K )

Rezystor jest elementem pasywnym

u - Ri lub i - Gu w - f*u(r)i(r)dr - Rh'(r)dr>0

Elementy pasywne rzeczywiste

Napigcie Zr6dlowe

Zjawisko pr4du elektrycznego jest zwiqzane z wydzielaniem ciepla, czyli warunkiem

podtrzymania prqdu w przewodniku jest dostarczenie energii wyr6wnujqcej straty

cieplne.

W teorii obwod6w elektrycznych, uklady zawiercjqce przewodniki, w kt6rych

wystEpuj q p ola sil zewnEtr zny ch (ubocznych), charakt ery zujemy odpowiedni4

warto6ciq napipcia Lr6dlow€go €6.

Idealne frr6dlo napigciowe jest elementem dwuzaciskowym, kt6rego napipcie nie

zaleLy od wartoSci prqdu pobieranego ze Lr6dla

19

Pr4d Zrddlowy

Uklad elektryczny posiadaj4cy zdolno56 przetwarzania energii elektrycznej na pr4d

moLe byl charakteryzowany parametrem nazywanym natgZeniem pr4du 2r6dlowego

lub inaczej pr4dem Lrildlowym oznaczanym i..

Koncepcja wprowadzenia do teorii obwod6w elektrycznych takiego parametru

powstala w d4Teniu do zachowania dualizmu charakteryzujqcego podstawowe prawa i

zalehnoficr.

Pr4d Lr6dlowy irjest jednym zparametr6w charaktery^iqcych uklady elektryczne

posiadaj qce zdolnoSd wytwarzanra L podtrzymywanLa zjawiska predu.

Niezale2ne fo6dlo prqdowe jest elementem dwuzaciskowyq w kt6rym pr4d ptynqcy z

tego Lr6dla nre zaleiry od napipcia panujqcego na jego zaciskach.

NapiEcie na zaciskach ir6dlaprqdowego zalety od dolqczonego do jego zacisk6w

obcrqhenia i jest napiEciem na tym obciqzeniu

Charakterystyki zewngtrz ne Lr 6del r zeczywistych

Charakterystyki zewnQtrzne ir6delrzeczywistych odbiegajqwyruinie od ir6del

idealnych.

Modelrueczywistego ir6dlanapipciowego sklada sig ze ir6dla idealnego i dol4czonej

o

rczystancji R*.

20

W tym wypadku charakterystyka zewnEtrznama postac u(t) - r(t)- R,,(/) t zalety od

prqdu pobieranego ze fr6dla.

Model rzeczy wi ste g o ir6dla prqdoweg o zaw Ler a r ezy stancj Q R* dolqczon4 do

idealne go ir6dLa prqdowego

Pr4d plynqcy ze h6dlazaleiry obecnie od napigcia panuj4cego najego zaciskach

. / \ . , t u ( t \ . / \;(')= r(')-fr = iQ)- o.u(t)

Standardowe elementy dwuzaciskowe nie wystarczajq czgsto do utworzenia modelu

element6w rzeczywisfych np. tranzystora czy transformatora, kt6re to powinny

zawieraf wiEcej zacisk6w niZ dwa.

Do tej grupy zaliczanry rt:r6ila sterowane.

Wyr62nione cztery zaciski tworzqdwie pary: parg zacisk6w wej5ciowych i parg

zacisk6w wyj5ciowych. Wielko56 wej5ciowa jest zawsze przebiegiem sterujqcym, a

wielkoS6 wyjSciowa przebiegiem sterowan)m. Do opisu ir6del sterowanych

korzystamy z tr zech r6wnari

- r6wnania obowiqpuj4cego dla wielkoSci wejSciowych,

- r6wnania sterowania.

- r6wnania obowi4pujqcego dla wielko6ci wyj6ciowych

r)rT)

L2T

11 r--H--+l

i i lr T

ffi-

Zr6dto prqdu sterowane prqdowo PSP, opisan e przez

I , = f l r i U r = 0 ; I r = 1 , ,

B- wsp6lczynnlk wzmocnienia prqdowego

Przedstawiony zbi6r element6w skupionych uwzglgdnial zjawiska zwiqzane z

akumulacj4energii w polu elekffycznymi magnetycznym,rozpraszaniem enetgiiprzez

pr4d w przewodniku oraz wytwarzaniem energii elektrycznej pod warunkiem

quasistacjonarnoSci.

Zr6dlo napiEcia sterowane prgdowo NSP, opisane przez

U , = r I r ; U 1 = 0 , U r = U r ,

r - rczystancja wzajefilna

2r6dlo napigcia sterowane napigciowo NSN, opisane przez

U ,=aU ; I r =O ; U r=U ,

o - wsp6lczynnik wzmocnienia napigciowego

tUrl

Zr6dlo predu sterowane napiQciowo PSN, opisane przez

I , = B U , I t = 0 ; I , - I ,

g - przewodno$(, wzajemna

u2

-t

I iil r,(Di ill_!_T_-_ tr-T-

22

Energia i moc w obwodzie elektrycznym

Rozpatrzymy obw6d elektryczny, w kt6rym w wyr6znionych punktach a i b wystEpuj4

potencjaly elektryczne eu i gr . Niech w czasie dt zostaje pomiEdzy tymi punktami

przeniesiony ladunek +dq.

Elementarna praca, jaka zostanie wykonana przy przenoszeniu ladunku +dq pomigdzy

punktamiaibwyniesie:

dW =(p"-q)aq--ud.q; dq-idt; dW -u.idt

Praca wykonanaprzez prqd i pod wptywem napigcia z w przedziale wyznaczonym

wartoSciami tyi t jest wigc okre6lona calkqoznaczon6

I?

1ry - lu.idt;

Ta praca odbywa sig kosztem energii ir6del i jest zamieniana na inne rcdzaje energii:

energiE pola elektrycznego lub rlr'agrLetycznego w elementach zachowawczych lub

energig ciepln4w rezystorach. Stqd wz6r ten mo2e by6 wykorzystywany do obliczania

energii elektrycznej w elementach obwodu

Jednostk4pracy i energii jest w ukladzie SI 1J (d2ul) = 1 VAs

Energia lub praca w odniesieniu do jednostki czasu (p) oke6lona jest wzorem

LWo={s;

, r , - ' 1 . . , t .Traktuj4c wyra2enie w -

l'' tclt

iakofunkcjg czasu t i r.rlimicztrujqcje wzglEdemh

czasu otfz)mamy P = U'i. Zale2no56 ta przedstawia zwiqzekmocy w obwodzie

elektrycznym zprzebiegani napigcia i pr4du. W og6lnym przypadku stanowi ona

skalarn4funkcjQ czasu i nosi nazwE mocy chwilowej.

Moc chwilowa przyjmuje wartoSci dodatnie gdy nastgpuje wzrost pracy (energii) a

ujemne gdy praca maleje. Jednostka lW (wat) = lJlls = lVA.

23

tF

W - l od tJ '

to

gdzie: W - praca wykon ana w obwo dzie elektry cznym

Na rysunku przedstawiono wykres mocy chwilowej p w funkcji czasu t oraz pole

powierzchni ograniczone tym wykesern, proporcjonalne do pracy W wykonanej w

przedziale czasu od te do t1.

Moc Srednia w przedziale czasu (t2 - t1)

1 tr,

1'= , -, lnatt ) t 1 t

Prawo Jouleta w postaci calkowej

W obwodzie elektrycznym zachodzqprocesy zatniany energii ir6del na pracg pr4du

onz wi4;wanrzania r6znych rodzaj6w energii w wyniku wykonywanej ptzez prqd pracy.

Jednyrn z rcdzaj6w energii powstajqcej wskutek dzialania pr4du elektrycznego jest

energia cieptna. Warunki zarnialy pracy pr4du elektrycznego na cieplo i odpowiednie

zwiqzki iloSciowe ujmuje prawo Joule'a.

Praca Wn pr4du o natpieniu ia w idealnym rezystarze o rerystancji R jest

calkowicie zamieniana na energig cieplnq

t

Q r =

Gdzie Qc okre6la iloS6 ciepla wydzielanego w idealnym rezystorze

Uwzglgdniajqc i^ - Gu^i un - Rin oftzymamy

Qr=c'lr?at -R'lr'oat

lu oiodtto

24

PrEdkoSi zjakqodbywa sig zamiana energii elektrycznej na energig ciepln4jest

okreSlana przezmoc chwilowqlry idealnego rezystora, moc ta jest zawsze dodatnia co

wskazuje na jeden kierunek zamiany pracy pr4du elektrycznego na cieplo w idealnym

rezyslorze.

Energia wydzielona w postaci ciepla nie wraca juL do obwodu co r62ni idealny

rezystor od element6w zachowawczych, w kt6rych mohe zachodzil gromadzente

energii lub jej oddawanie do obwodu.

Zasaila zachowania energii dla obwodu elektrycznego

Obw6d elektryczny jako model ukladu frzycznego musi spelnia6 podstawowq w

natmze zasadg zachowania energii. W my6l tej zasady, calkowita energia uldadu

odosobnionego jest wielko6ciq stal4.

Pytanie zasadnicze: czy obw6d elekbryczny mo2na tzna6,za uldad odosobniony, tzn.

taki, kt6ry nie wymienia energii z otoczeniem.

Cechy ukladu odosobnionego spelnia obw6d elektryczny pozbawiony wszelkich

element6w rozpraszajqcych energig tzn. element6w dysypatywnych oraz nie

zawierajqcy ir6del ener gii.

Analiza takiego obwodu prowadzi do wyznaczenia przebieg6w napiEd i pr4d6w w

postaci nietlumionych drgarfi elektrycznych, Swiadcz4cych o spelnieniu zasady

staloSci energii.

Vy' przypadku gdy obw6d elektryczny zawiera elementy dysypatywne - rezystory,

energia zrnagazynowana w elementach zachowawczych zmniejsza sip w takim

stopniu, w jakim ro6nie iloS6 wydzielanego ciepla Joule'a.

25

Tak wigc zasadg zachowania energii moina wipc wyrazid r6wnaniem

W,(tr)+w*k, ) =W,(rr)tW*(rr)+ Q,Gdzie:

W.(tJ, W.(tz) - energia pola elektry cznego idealnych kondensator6w w czasre tt, tz.

W-(tJ, W-(tz) - energia pola magnetycznego idealnych cewek w czasi e t1, t2.

Q. - i1o66 ciepla wydzielanego narezystancjach obwodu w czasiet1,t2.

Poniewa2 suma energii pola elektrycznego i nagnetyczrLego W"(t), W-(t), stanowi

calkowit4 energiE obwodu Wj(t), otrzymujemy

wo\r)=wo(tr)+ Q"albo

AWo + Q"=0

Gdzie: AWe oznaczaprzy"rost calkowitej energii obwodu LWo= LWoQr)-W"Qr)

Wida6, 2e w obwodziebez element6w ir6dtowych, cieplo jest wydzielane kosztem

energii zmagazynowanej w elementach zachowawczych.

Aby uwzglgdni6 elementy ir6dlowe w bilansie obwodu, naIe?y uwzglEdni6 zmliany

bilansu energii spowodowane ich wl4czenuem.

2r6dto dostarc za energiQ w SciSle okreslonych warunkach, podczas gdy w innych

warunkach mohejq pobierat z obwodu.

Energia Lr6dla

t t

w - [ u . i d t l u b w - l o a ,tg

Moze by6:

o dodatnra (ltrzekazywana do obwodz) lub

. ujemna (trtobieranie przez ir6dto z obwodu)

26

Tak wiEc zasada zachowania energii dla obwodu zawrerEgcego ir6dla

W,*Wo(tr) :WoQr)+Q,lub W, - LWo+Q,

Gdzie: W, - wypadkowa energia ir6det w czasie od t1 do t2.

R6wnanie to wyraLa zasadg bilansu energii w obwodzie elektrycznym, zkt6rej

wynika, 2e energia ir6detjest zamienrana na odpowiednr przyrost calkowitej energii

obwodu oraz na wydzielane przez obw6d cieplo.

Obw6d elektryczny, jego elementy funkcjonalne i topologiczne

Element obwodu stanowi najmniejsz4 czgfi(, skladow4 obwodu elektrycznego.

Element obwodu jest czgSciq obwodu niepodzielnq pod wzglgdem funkcjonalnym bez

uftaty swych charakterystycznych wlasno5ci.

Elementy 2 - koric6wkowe - dw6jniki, element;r 3-koric6wkowe, 4-kofc6wkowe

itd.

W elementach zachodzqtzy rodzaje proces6w energetycznych

o gromadzenie energii w polu magnetycznymi elektrycznyrn"

. rozpraszanie energii,

r ryytwarzanie energii elektrycznej.

Elementy w lt6rych zachodzq jedynie procesy gromadzenia i rozpraszania energii -

elementy pasywne, kt6re dalej s4 dzielone na zachowawcze (konserwatywne), w

kt6rych dominuje zjawisko gromadzenia energii oraz rozpraszajqce (dyssypatywne)

charakteryzuj4ce sig rozpraszaniem energii elektrycznej.

27

Analiza obwodu - dane s4 parametry element6w i schemat obwod6w a szukane s4

napigcia i pr4dy

Synteza obwodu - dane sqniekt6re napigcia lub pr4dy a szukany jest schemat obwodu

i parametry element6w

Metody sieciowe - dana jest struhura obwodu i parametry element6w a poszukuje sig

rozplywu pr4d6w lub napi96.

Metody zaciskowe - oke6la sig zalezno5ci pomigdzy wielko6ciami zwiqzanyrti z

zaciskami obwodu bez wnikania w strukturg wewnetrzna obwodu.

Wtasno5ci obwodu elektrycznego

Liniowofl( obwodu

Obw6d nazywarrLy liniowym jeheLi jest utworzony z element6w liniowych

Obw6d jest liniowy jeheh spelnia warunki jednorodnoSci i addytywnoSci

Je2eli y jest odpowied.ziq na dowolne Wmuszenie u, to obw6d jest jednorodny wtedy

gdy cy jest odpowiedziqna Wtnuszenie cu

JeSli y 1 jest odpowiedziq na dowolne wymuszenie ur, a y2 jest odpowiedzi4 na dowolne

wymuszenie u2, to obw6d jest addytywny wtedy, gdy yiyz jest odpowiedziq na

wymuszente A1*A2.

Zasada superpozycji dla obwodu liniowego:

Odpowiedi obwodu liniowego na jednoczesne dzialanie kilku wymuszert jest r6wna

sumie odpowiedzi na kaide wymusZenie z osobna

28

StacjonarnoSi obwodu

Obw6d zlo2ony z element6w stacjonarnych, liniowych jest obwodem stacjonamym

JeZeli y(t) jest odpowiedzi4 na wymuszenie u(t), to yh(t) - y(t - h) jesr odpowiedzi4

na wymuszenie uo(t) - u(t - h)

Pasywnofit obwodu

Obw6d zlohony z element6w pasywnych liniowych jest zaliczany do obwod6w

pasywnych.

Zasady strzalkowania prgd6w i napigd obwodu elektrycznego

Dodatni zwrot prqdu jest wyznaczany przez zwrot ruchu hipotefycznych ladunk6w

dodatnich. W elementach energetycznie pasywnych strzalkg prqdu rysujemy od

koric6wki o wyisrym potencjale do korfic6wki o niZszym potencjale. W elementach

ener gety cznie aktywnych - odwrofi rie.

W ukladach gdzie nie mohnaprzewrdzie(, kierunku prqdu, strzatkujemy dowolnie.

Przy zaznaczaniu zwrot6w napip6 na elementach ukladu elektrycznego przyjmujemy

zasadg: grot strzalki napipcia na danym elemencie obwodu wskazuje koric6wkp o

wy2szym potencjale.

Konsekwencjqprzyjgtej umowy jest przeciwny zwrot strzalek prqda i napigcia w

elementach energetycznie pasywnych oraz zgodny ich zwrot w elementach

energ eA c znie aktyw ny chRw

F

g Urz

29

Pot4czenia element6w obwodu elektrycznego

Kahdy z element6w obwodu elektrycznego posiada koric6wki daj4ce mo2lliwoS6

wykonywania r62norakich polqczen.

Polqczenie szeregowe

Oznaczmy jedn4z koric6wek np. rezystora (dw6jnika) jako ,p", a drug4jako ,J<".

Szeregowe potqczenie dw6ch rezystor6w polega na pol4czeniu kofca,,kr" pierwszego

znich z pocz4tkiem ,p2" drugiego rezystora.

Rz

Pocz4tek ,,p1" pierwszego i koniec ,,k2" drugiego rezystora stanowi4 zewnefrzrre

koric6wki powstalego ukladu. W ten spos6b rnoimalqczyl,p" rezystor6w.

i I r ' 3 * r , r g ^ * , - l ' - - k n re++{ '€{ l.H€t l€i _,i+"c

l,r- vz- in r- vn-

W oparciu o zasade ci4gtoSci prqdu elektrycznego moznazdeftniowad pierwszq

wlasno S 6 p otqc zenua s zeregoweg o element6w ob wo du

Prqd elektryczny w kaid,ym elemencie uktadu szeregowego ma taki sam zwrot i

wartoSi

Je2eli punktom charakterystycznym ukladu pr, kr, pz, kz ....po, k; przypiszemy

odpowiednie potencjaly (Ppr, (prr, ......epn, q5, to zgodnie z ptawem Ohma moZemy dla

ku2dego z element6w ukladu napisad r6wnanie napiEcia

Q t - Q m = U r = & ' i

Q p z - Q r r z = U r = R r ' i

Q o n - Q * n = U n = R r ' i

Dodaj4c stronami powyzszer6wnanie rkorzystajqc z zakehnoSci, 2e e"r-eo,=U

otrzymaffLy

e t - em =U =Ur *U , + . . . + U , = & . i + R2 i + . . . . . + R , i

Rr

30

zatem

k=a k=a

u -Zuo=t ' IR-i=1 k=l

Obecnie formulujemy drug4wlasno(f polqczenra szeregowego element6w pasywnych

obwodu elektrycznego

. Napigcie elehryczne wystqujqce na koficfwkach ukladu r6wne jest sumie

arytmegtcznej napiq6, jaHe wystpuj q na wsrystkich jego elementach.

k=n k=n

Przeksztalcqqcr6wnanie U = ZU o = t' I R- i oznaczajqc ( = n,,gdzie & oznaczak=t k=t t

rezystancjg zastgpcz4 ukladu otrzymamyk=n

& = I&k=l

Dla jednakowych rezystor6w R" = n. R, lub posfuguj4c sig kondunktancj4

1 ( ^ l )r ( t = - r

G, frGo \ R/

kzez zastryienie ukladu jednym elementem zostaje zagubiona struktura i ewentualne

specyficzne wlasnoSci frzyczne czy nZytkowe element6w. Przez slowo ,,zastgpcza"

nalezy rozunie6 jedynie r6wnowaZro56 napigcia i pr4du ukladu.

TrzecrawlaSciwo6i ukladu szeregowego dotyczywartoSci rezystancji zastepczei

ukladu.

,,Rezystancja zastqcza ukladu szeregowego (R) jest zawsze wieksza od najwigkszej z

rezystancji skladowych (n"1 nax(&, n,,..........q ))"

Polqczenie szeregowe mo2ebyl stosowane tak):e, do innych element6w ukladu, np.

kondensator6w.

3 I

. C r C z C n

#J4F *I|-t ' u t

U

W tym przypadku kaZdy kondensator lkladu posiada ten sam ladunek elektryczny q.

Je2eli wywolamy w ukladzie zjawisko pr4du elektrycznego (rfg>1), to w kaZdym\ .

" dt ) '

kondensatorze wyst4pi ten sam pr4{. Zgodnie z wla6ciwoSci4 ukladu szeregowego

dw6jnik6w pasywnych otrzymamy:

u = t4 + ltz + .......,.+ uo

l ' n , , ' l ' n , , ' l ' n , ,

u =- li(rtpc +; li(rtpr +......... ^ li(rprC , l ' '

C r - t * ' ' C " ' - ' '

( t I r ) ' r . , .u - l - = + _ * . . . . . . . . . _ l l i l r \ r\.c, c2 c"): '

1 ' r . ,

r -u=_ l i \rprC.

Jak wynika ztej zaleimoitci, odwrotnoSi pojemno3ci (elastancja) zastgpczej pol4czenia

szeregowego kondensator6w r6wna sig sumie odwrotnoSci pojemno5ci

kondensator6w tworzqpych pol4czenie

r=yrC, ECr

Uwaga! Elastancja- s- r -uC O

Rozpatrzmy polqczenie szeregowe dw6ch cewek indukcyjnych, takae w tym

przypadku w kazdej cewce wystQpuje ten sam pred elektryczny o nateheniu i.

32

Lr Lz

Przy zaloheniu stalo5ci pr4du w obwodzie indukcyjno56 zastppcza L" ukladu bEdzie

wynosila

u = u , + u " + . . . . . . . . . . . . + u - = L d i * L d i * . . . . . . . f - d '' ' d t ' d t ' d t

L" = I t+ I t+. . . . . . . . .+ I

W sytuacji wystgpowania zmiany natghenia prqdu powstaje pomiEdzy cewkami

sprzp2enie magnetyczne. SprzgZenie rrrragnetyczne mierzone indukcyjno3ciq

wzajemn4M lvplywa dodatkowo na wystgpuj4ce w ukladzie zjawiska elektryczne.

M?

L t , - L d i t M d i' ' d t d t

L t . = L .d i rM lL' 'd t d t

u - ( L + L \ q f l M q\ r "d t d t

, - (h* Lr r2M)#

L r = 1 " + 1 2 + 2 M

Polqczenie r6wnolegte element6w obwodu elektrycznego

Oznaczmy jedn4 z koric6wek np. rezystora (dw6jnika) jako ,p", a drugqjako ,,k '.

R6wnolegle polqczenie dw6ch dw6jnik6w (rezystor6w) polega na pol4czeniu

poczqtku ,Bl"pierwszego z nich z pocz4tkiem,p2" drugiego rezystom i analogicznie z

koricami, ,)<1" lqczyrlly z,$2".

Rr

R,R, = R ,P r - k ri2 Rz

U = U t = U 2i=it+iz

Rl *R,

33

Proszg samodzielnie okreflli6 zaleinoici dlo rfwnoleglego polqczenin kondensutor6w

i cewek

o Polaczenie r6wnolegle n cewek indukcyjnych

IYrI

Ln

d Y d Y- d Y , = . . . - d Y ndt dt

Y I : Y 2 : . . . r Y r : V ( 2 . I 2 )u -dtdt

i = i r + i z + . . . t i , , = T * ! + . . . r r L : iq 12 L,, ?-

1 v / - Y- , 1

L k L(2.r3)

(2.r4)

(2 .19)

(2.re)

Potaczenie r6wnolegle n kondensator6w

_ dqt , dqz dq,- - J J - t l t

:

dt dt dt

dq

dt

q - C t u + C z u t . . . + C n un

= I c n u - C uk=I

(2.20)

34

Polqczenia gwiazda - tr6jkAt

Zar:nrrtana pol4czenra w gwiazde na pol4czenre w tr6jkqt i odwrotnie

1 1

R31 R12

Rz=& + R , *R 'R '&

&z = R2 +R, + RtRt

&

R2

Rtr&t

& r + & r + & t

& r = & + R , + & &R2

D & r R ,t v - R " . R " . R "

R - Rtt&,' R r + & r + & ,

T.ACZENIE IDEALNYCH ZRODEL NAPIECIA

Polaczenie szeregowe n rdealnych ir6del napigcia

Polaczenie r6wnolegte n idealnych 2r6det napigcia jest mozliwe tylko wprzypadku szczeg6lnym, gdy wszystkie sily elektromotory czne s4 j ednakowe.

uo = uon k - r ,2 , . . . , n

35

I.ACZENIE IDEALNYCH ZR6DET. PRADA

Polaczenie szeregowe n idealnych ir6del pr4du jest mozliwe tylkoprzypadku szczeg6lnym, gdy wszystkie wydaj no Sci pr4dowe s 4 j ednakowe

l z = l z k k - r r 2 r . . . r l r

Polaczenie r6wnolegte n ideaLnych ir6det prqdu

::;;;:;:.:.;: :::::;;; ,::;;;/ l;,,,,,,,.,,, , ,,, ,i F .tz' = ') ,tz k. . - .. . : . . ' i ' . l ' . . . . . . ' , . l . . .= i ' . ' ; . . . , . , : ; , ,

Schemat obwodu elektrycznego

Jest to graficzne odwzorowanie obwodu elektryeznego

Schemat obwodu sklada sig z graficznych symboli odpowiednich element6w

polqczonych pro stoliniowymi odcinkami.

Na podstawie przyjgtego zalohenia, odcinki lqczqce na schemacie obwodu

przedstawiajqtzw. idealne przewody lqczqce,kt6te realimjqokreSlone pol4czenia i nie

wykazuj q L,adnych wtasnoS ci przewod6w rzeczywistych

Wezfy obwodrr zaznacza sig na schemacie punktami w miejscach polqczenra

koric6wek odpowiedni ch galqzi

t t

*

36

Graf obwodu

Schemat obwodu, w kt6rym nie wyrflLria sig wystepujacych w nim elementilw, a

przedstawia siq tylko uklad poLqczeh gatEzirwEzl6w, nosi nazwe schematu

geometry cznego, strukturalnego albo grafu obwodu

Graf obwodu jest wigc zbiorem punkt6w odpowiadajqcych wEzlom ilqczqcvch je

kr zy w yc h re g u I arn y ch o dp o w iadaj qcy ch galgziom ob w o du .

(Krzywe regularne -ktzywe ci4gte bez punkt6w wielokrotnych)

Odcinek linii w grafie przedstawiajqcy jefuqgalqZ obwodu rzywan.ry galgzi4 grafu.

Kahdy z dw6ch koric6w galEzi w grafie nazywanny wpzlem grafu.

GalqL dolqczon4 do pewneg o wgzha nazywamy galpziqincydentnq z tymwgzlem.

W topologii obwod6w obok pojgcta gatgzi grafu stosuje siE pojEcre galpzi

skierowanej (zorientowanej) i grafu skierowanego (zorientowanego)

GalqZ skierowana grafu nazywamy galqz, w kt6rej jeden z wgzl6w jest poczqtkiem a

drugi kodcem

a b a b

galqz grafu galqL skierowana

Grafem skierowanym GTnazywamy graf, w kt6rymkahda z galgzi jest skierowana

37

Innynti slowy'.

Niech B oznacza zbi6r element6w bi zwanych galgziami, N - zbi6r element6w n1

zwanych wEzlami.

Grafem G nazywamy odwzorowanie, kt6re kahdej galgzi bi c B przyporz4dkowuje

jednoznacznie parg wgzl6w n;' fu € N.

Obraz rysunkowy grafu tworzymy w ten spos6b, 2eka+dqgal*obwodu zastEpujemy

odcinkiem lini i a w gzel laopka.

l ,

B = /bt, bz, bs, be, bo bo I N = /nt, nv nj, na /

G: br+@t, n) bj--+ (nj, n) b5-+@y ry)

bz--> (nz, n) ba--> (ry, n2) b6-+ (n2, nj)

Pozostale ilefinfuje zwiqznne z grafern (zar6wno skierowanynt iak i nieskierowanym)

Scieika - CiSg galgzi b1, bv bj,....'.b, grafu Gnnazywa siE Scie2kq lqczqcqwpzXy ne

n2,......je2eh galgae te wybrane s4w taki spos6b, ze:

1. kolejne gatpne b i oraz b i* I zawsze maj4 wsp6tn4 koric6wkE;

2. 2aden wgzel grafu G, nie stanowi koric6wki wigcej ni6 dw6ch

galgzi ci4gu

3. n; podobnie jaknzstanowi koric6wkq dokladnie jednej galEzi.

Inaczej m6wiqc, scieikqjest itroga pomigdzy ilwoma wgzlami nie tworzqca linii

38

zamknigtych.

Graf sp6jny - Graf G,nazywa sig sp6jnym, je2eli istnieje Scie2ka migdzy kazdymi

dwoma wgzlami grafu.

Graf, kt6ry nie jest sp6jny, n.vywamy rozlqcznym

Oczko (kontur, obw6d) - podgraf G" grafit G"narywa sip oczkiem, jei:eli:

1. podgraf G" jest sp6jny,

2. kuidy wgzel podgrafir G" stanowi kofc6wkg dla dokladnie dw6ch galgzi.

Lub inaczej - oczkicm grafu nazywamy taHe nastpstwo galgzi, przy ktfirym wEzel

pocz@kowy iwgzelkoficowy sqidentyczne, apozostale wEzly wystqujqtylkoied,en

fa.z.

Drzewo - podgraf T grafu G n nazywa sig drzewem, je2eli:

1. podgraf Tjest sp6jny;

2. podgraf T zawiera wszystkie wgzly grafu G";

3. podgraf T nie zawiera oczek

Galgzie naleZqce do drzewa T nazywa siq galgziami drzewa; galgzie nie nale24ce do

drzewanazywasigcigciwami(galgziamilqczqcymi).

Dla grafu sp6jnego G, oliczbie wgzl6w n,kuide drzewo T ma doldadnre n-I galgzi

(poniewaz pierwsza gatqL drzewalry,zy dwawpzly, akxida nastepna pozwala dolryzyt

po jednym wqZle).

Co wigcej, je2eli dla grafu T wybierze sig n - 1 galgzitak aby nie tworzyly oczka, to

galgzie te stanowii bgd4drzewo grafu T. (w zwiqTku zpowy2szymliczbg cigciw

okre5la zaleimo(f Tc = b-n+l)

Rozcigcie - zbi6r galgzt grafu sp6jnego G, nazywamy rozciQciem, jezeli:

1 . usuniEcie z grafa tego zbioru galgzi Sez ich koric6wek) powoduje, ize graf staje sig

niesp6jny

2. po usuniEcit z grafii tego zbioru galgzi, powr6t jakiejkolwiek jednej galgzi tego

zbioru do grafu powoduje,2e stale sig on ponownie sp6jny.

39

Macierze strukturalne

Macierz incydencji

Infonrracje zawarte w grafie skierowanym G1 moima w pelni zapisat za ponrrocq

macierzy incydencji. Peln4 macierz incydencji, czyli pelnq macierz wgzlowq A" dla

grafu skierowanego Ga o n wgzlach ib galgziach jest macierz n x b.

A o = lorl , , - nr wQZ ta,i- nr gatEzi

Gdzie:

4t = I, jeLeb i - ty wgzel jest koricem j - tej galgn (strzalka skierowana od wgzla i -

tego),

aij = - l, je2,eli i - ty wgzel jest poczqtkiem j - tej galgzi

ai: = 0, jeZ.eli j - ta galqi nie jest incydentna z i - tym wgzlem

PruykJad

Graf skierowany o trzech wezlach ntezalehnych

f+ 100- 1

d

0

0- 1

+ 1

12

A o = nJ

4

a b c- 1 0 - 1

+ 1 - 1 0

0 0 + 1

0 + 1 0

"o

- 1

+ 10

Kazda kolumna petnej nracierzy incydencji ma dokladnie dwa elementy r6nre od zera,

r6wne 1 oraz -'l-, pozostale s4r6wne 0.

Bez zmniejszania iloSci zawartych informacji mozemy wykreSlii dowolny wiersz.

Wiersz taki mohna zawsze odtworzyl, kotzystajqc z wlasnoSci, ze suma element6w

kuizdej kolumny pelnej macierzy rncydencji jest r6wna zero

40

Macierz otrzymana przez wykre5lenie z pelnej macierzy incydencji Au dowolnego

wiers za nazyw amy macier zq incydencj i lub macier zq w pzlowe A.

Wq zel o dp o w radaj qcy skre Slonemu wiers zo w i nazywamy uklade m w pzt6w liniowo

niezaleinych

Macierz oczkowa

Rozpatrzmy graf skierowany o trzech oczkach niezaleZnych, oznaczmy wszystkie

mozliw e oczkatego grafu.

3

Oczka o zaznaczonych zwrotach n.rzywamy oczkami zorientowanymi. Peln4 rracierz

oczkowe B" grafu skierowanego Ga o b galqziach i ni zorientowanych oczkach jest

macierz o wymiaruch ni x b.

Bo=lb,,, lGdzie: i - nr oczka,j - nr galgzi.

brj = 1, jezeli galqZjnaleiry do oczkaiotazrna,ten samzwrot co oczko; bii = -1 jezeli

galqi j naleiry do oczka i oraz ma przeciwny zwrot ni? oczko; b;; = 0, jei:eli galqt j n:Le

nale?y do oczka i.

d / e

4 l

Przyklad

W y znaczy 6 macier z o czkow q

1

2

3B - -' 4

5

6

a b c d e

- 1 - 1 1 0 0

0 0 - 1 - 1 0

0 0 0 1 1- 1 - 1 0 - 1 0- 1 - 1 0 0 1

0 0 - 1 0 1

(a,b, c)

( t ,d )

(a,u)(a,b, d)

(a,b, c)

(t ,r)

Po wykreSleniu z pelnej macierzy oczkowej Bu takiej liczby wierszy aby pozostale

wiersze byly liniowo niezaleZne otrzymuje siE macierz oczkowq

Twierdzenie: Dla grafu sp6jnego Ga maj4cego b galEzi i n wEzl6w, macierz oczkowa

B ma (b - n + 1) wierszy.

Kahdy uklad oczek, kt6rym odpowtadajqliniowo nLezalehne wiersze macierzy Bu

nazywa siE ukladem oczek niezaleZnych

Usystematy zow ane metod E tw orzenia macier zy oczkowej otrzymuj e siq oparciu o

drzewo T.

Kazda cipciwa dopelnienia T" rdzenia z jednqi tylko jedn4Scieikqdrzewa T tworzy

oczko.

Zwrotoczka przyjmuje siE zgodnie ze zwrotem cigciwy.

Tak wybrane oczkanazywarte s4oczkami podstawowymi. Graf sp6jny maj4cy n

wgzl6w i b galEzi ma (b - n + 1) cipciw, a zatem r5wniez (b - n - 1) oczek

podstawowych.

42

\ "&'kq*--ErYk

PrzykJad

d' f f i .v

3 Jeke1idla grafu z rysunku drzewo zostanie

utworzone z galgzi (a, d), to macierz oczkowa bEdzie nastgpuj4ca:

a b c d s a d b c e

r [ r 1 o 1 o - l r [ r 4 1 0 o - lB - r r l o o 1 1 o l B - r r l o 4 o 1 o l

m lo o o 1 1l mlo { o o 1lKolumny ard tworzq drzewo, kolumny b,c,e tworzq dopelnienie, (cigciwa)

Np.

Nalezy zauwaty1, 2e nie wszystkie mozliwe uklady oczek niezalehnych mogg by6

utworzone w oparciu o odpowiadajqce im drzewa

Ukladowi oczek niezaleimych i 6 i2, ij nie

odpowiada 2adne drzewo.

Ze sposobu w jaki tworzona jest macierz B wynika, 2e macierz ta zawsze mo2e by6

podzielona nastgpujqpo: n = hlf], gdzie kolumny B1 odpowiadajqgatgziomdrzewa, a

kolumny macierzy jednostkowej L, stopnia (b - n +1), odpowiadaj4cigciwom.

Zaleimo(ci migdzy macrerzarrlri incydencji i macierzami oczkowymi nrohra zapisa6 w

postaci nastgpuj 4cych r6wnari:

B"A: - o; BAz - o; AB; - o

BoL' - o; A"B: - o; ABz - 0

Gdzie indeks T oznaczatranspozycjg macieruy.

43

Twierdzenia i prawa stosowane w teorii obwod6w

elektrycznych

Prawa Kirchhoffa (1847)

(Gustaw R. KirchhotT 1823 - 1887)

Okre3laj4 warunki r6wnowagi obwodu, ustalaj4c zwiryki pomigdzy przebiegami

elektrycznymi jego galgziach i oczkach.

Niech wgzel A stanowi punkt pol4czenia kofc6wek ba galEzi obwodu. Oznaczmy

przez ipnatghenie pr4du w k - tej galEzi.

Wedlug I prawa Kirchhoffa nazywanego teZ prawem bilansu pr4d6w:

Algebraiczna suma natpiefi prqd6w we wszystkith galgziach dolqczonych do

jednego, dowolnie wybranego wgzla obwodu jest w kaid.ej chwili r6wna zeru.

Powyzsze prawo mohna przedstawi6 w postaci r6wnania:

k

\,ttoio - 0eW kt6rym lr stanowi wsp6tczynnik o wartosci 1 lub - I, zalehnie od zwrotu strzalki

odpowiedniego prqdu na schemacie. Przyjmujemy nastQpuj qcq,umowQ:

JeheIi strzalka predu ik na schemacie jest zwr6cona do rozwaZanego wezla, to

wsp6lczynnik lr = I, jeheli strzalka pr4dv zwr6cona jest od wEzla to lr = - 1.

Przyklad

+ i t - i 2 + i s - i a - 0

44

Dla przedstawienia II prawa Kirchhoffa rozwahamy dowolne oczko pewnego

obwodu elektrycznego zakJadajqc,2e tworzy ie p3 element6w. Oznaczmy napigcie na

- tym elemencie oczkaptzez luu.

Wedtug II prawa Kirchhoffa nazywanego teZ prawem bilansu napiq6:

Algebraiczna surna napigd na wsrystkich elementach tworzqcych dowolnie wybrane

oczko obwodu jest w kaidej chwili r6wna zero.

Pi

Z'ouo -o

k=l

W kt6rym Vr. stanowi wsp6lczynnik o wartoSci 1 lub - 1 , w zalehnoSci od zwrotu

odpowiedniego napiQ cia na schemacie.

W celu jednoznacznego ustalenia wartoSci v1 :

ktdrych strzslki rnajq zwrot zgodnie z tym obiegiem prryjmuje sig 2c wspdlcqnnik t4

jest r6wny 7, a dla napigd o zwrocie przeciwnym - 7.

PrzykJad

Y : p i z

Zaklada sig dla oczka dodatni zwrot obiegu, a nastqmie dla wszystkith napigi,

i U awg

-.---.-p"U6

l5

* U ,

45

Rz

R e \

* j

e4 - u 6 - e 8 - u 8 * u o - 0

R6wnania Kirchhoffa mohna zaptsal w postaci macierzowej.

Oznaczamy wektory pr4d6w galEziowych oraz napig6 gatgziowych jako

ir

"2

o b

ur

u2I

t - . I O t A Z U - l

Pr4dowe prawo Kirchhoffa moZna wyrazil korzystajqc z macierzy incydencji

Au.i - 0

Napipciowe prawo Kirchhoffa mohna wyrazil korzystajqc z macierry oczkowej

Bu.u - 0

Powy2sze r6wnania nie tworzq uklad6w r6wnari liniowo niezaleinych.

R6wnanie pr4dowe jest spetnione wtedy i tylko wtedy, gdy

A.i = 0 (1)

Oznaczato,2e prqdowe prawo Kirchhoffa jest spelnione dla wszystkich wgzl6w wtedy

i tylko wtedy, gdy spehrionejest dla wpzl6w niezaleZnych.

Analogicznie r6wnanie napigciowe jest spelnione wtedy i tylko wtedy gdy

B.u = o (z)

OznaczaIo,2e napigciowe prawo Kirchhoffa jest spehrione dla wszystkich oczek tylko

wtedy gdy spetnionejest dla oczek niezaleZnych.

R6wnania (L) i (2) noszQ nazwg r6wnari r6wnowagi

46

1

2

3

4

a b

- 1 0

+ 1 - 1

0 0

0 + 1

c d e

- 1 0 0

0 0 - 1

+ 1 - 1 + 1

0 + 1 0

Przyldad

f+ 1

0

0- 1

0 - 1

- 1 0

0 + 1

0 0

0 - 1

- 1 + 1 ilA-{; l, L O

A o =

a

b

. cl =

d

e

f

2

1

4

5

1

6

io

ib

i,

id

i,

".f

' [ ' '

A . i - 2 1 + 1,L O

b c d

0 - 1 0- 1 0 0

0 + 1 - 1

e f

0 + 1- 1 0

+ 1 0

a

b

c

d

e

f

2

1

4

5

1

6

io

ib

i,

id

i"

" f

- - 2 - 4 + 6 + 2 - 1 - I + 4 - 5 + 1 = 0

47

Zasada Tellegena

W kaZdym odosobnionym obwodzie (obwodzie nie wymieniajecym energii zotoczeniem) skupionym suma mocy chwilowych pobieranych przez wszystkieelementy obwodu jest w kaidej chwili czasu r6wna zeru2

,n

A,t, E .bi"(#'):rr:+,'o

k- I

(2.3)

Pamigtaj4c, Ze w kahdej chwili niekt6re elementy obwodu faktycznie pobierajqmoc (p1 ) 0) a inne j q fakty cznie oddajqQt e< 0) z powyZs zej zaleimo!;ci wynika, i2:

suma mocy pobieranych przez elementy obwodu skupionego jest w kaidej chwilir6wna sumie mocy oddawanych przez pozostate elementy obwodu.

Zasada Tellegena zwana jest tak<ze zasadqbilansu mocv.

Taki sam wniosek formutuje sig w odniesieniu do energii pobranych i oddanychprzez elementy obwodu skupionego w dowolnym przedziale czasu od t1 do t2:

(2.4)

Oznacza to, 2e

w dowolnym przedziale czasu <.t1,t2) suma energii pobranych przez elementyobwodu skupionego jest rdwna sumie energii oddanych przez pozostate elemenQobwodu.

Zasada Tellegena wyraZa zatemtakhe zasad4 zachowania enerqii.

t2I

Irn(/) - ot1

t 2 n

I I\ k=r

n

PnQ)k=I

48

TWIERDZENIA VASCHY'EGO

I twierdzenie Vaschy'ego

W obwodzie rozgalgzionym rozplyw prqdfw nie ulegnie zmianie, jeieli do kaid,ejgatgzi dolqczonej do dowolnego wgzla wlqczy sig szeregowo idealne, jednakoweo tym samym zwrocie wzglgdem wgzla, irddla napigcia.

Uwaga:o r6wnanie wynikaj4ce z PPK (I prawo

Kirchhoffa) dla przyhJadowowyr6hnionego wEzla nie ule ga zmianiepo wl4czeniu ir6det napigciowych,

o r6wnanie napigciowe dla dowo\niewybranego oczka, w kt6rym wystqpiwyr62niony wEzel, bgdzie dodatkowozawteralo dwa napiEcia uo oprzeciwnych znakach.

II twierdzenie Vaschy'ego

W obwodzie rozgalpzionym roztrrlyw pr4d6w nie ulegnie zmianie, jeieli dokaidej galpzi wybranego oczka wlqczy sig r6wnolegle idealne, jednakowe otym samym zwrocie wzglpdem obiegu oczka, f;rildla pr4du.

ft/v

-\

\

\id ./ r a w ,lL"fuTll-t

\. 69 \-7tu\ \ -/

\ -

\ l A .I

/

ilv

Uwaga:

r6wnania wynikajqce z PPK dlakazdego z wgzl6w przykladoworozpatrywanego oczka, bedq zawterulydodatkowo dwa predy iz o przeciwnychznakach.r6wnanie napiEciowe przykJadowowybranego oczka nie ulegnie zmianrepo wtqczeniu idealnych ir6delpr4dowych.

49

ZASADA WZAJEMNOSCI

Dla rozgalgzionego obwodu liniowego zawienjry,egojedno zr6dlo energii elektrycznej

jest prawdziwe nastgpujqpe twierdzenie, zwane zasadqwzajemno6ci:

Jeieli w dowolnym liniowym obwodzie elektrycznym, po wlqczeniu do jednej z jego

gatgzi ,rk" idealnego zrddta napigcia Up, powstanie w galgzi ,,1' prqd 16 to po

przemieszczeniu irddta E do galgzi l, w galgzi k wystryi prqd Ip r6wny prqdowi Iy

Twierdzenie to ilustruje rysunek

Rr

Ur

JeSli Ur = Up, to In = It

Uklady r6wnowaLne

C zE sto p ohqdanqrzeczq j e st :

o zredukowanie obwodu do prostszej postaci (bardziej zwartej)lubo przeksztalcenie obwodu do innej postaci,

kt6re jest r6wnowa2ne z obwodem wyj6ciowym.

Rr

k

Ukladpasywny

te

Dwa uklady s4 r6wnowaznemigdzy napiEciami i prqdamiidentyczne

z punktu widzenia ich zacisk6w,zwiqzanymi z tymi zaciskami se

jeheh zalehnoScrw obu ukladach

50

Przy klad : tr ansfiguracj a tr6j nik6w p asywnych

.e

PrzyHad na tablicy

Dany trfjkqt szukamy gwiazdy Dana gwiazda szukamy tr6jkqta

&R:r'&z

Rtz*Rzz*Rtr

&z RzzR2

&z*Rzz*R: rRzz R:r

R 3 =RtzrRzz*Rsr

Rtz-& *Rz*Rt=R'2 R 3

Rzz = R2+ Rr * R'=R'

J &

R r r = R 3 + R r * R ' = &^ R ,

5 1

T.asada kompensacji

wyodrgbniamy z rczgalgzionego obwodu elekffycznego garq2 biemq zawieraiqcq

rezystancjE R1. Ustalamy zwrot pr4du I w tej galgzi - tym samym okreslony jest zwrot

napiEcia galgziowego U x = e^ - e, .

Jt Rr 'H

a) U*

Pr4d, ani napiqcie galqziowe nie ulegnq zmisnfs, jeZeli do galgzr wlqczymy

przeciwsobnie dwa idealne, (R* = 0), identyczne ir6dla napigciowe E1. Warto6i silelekftomotorycznych jest r6wna napigciu galgziowemu lJy. E r = RJ r = [ r

' R,. Et Erm . l k _ j i l ^ 'Pa n"ry<_ __|} <_

b) U1 U1 U1

Poniewa2 potencjaly punkt6w m i p s4 identyczne, moilemy polqczyl te punkty

przewodem bezoporowym (dokonujemy zwarcia), eliminui4c z galgzi rezystanciE R1 itE z sil elektromotorycznych Ek, kt6rej zwrot jest zgodny ze zwrotem pr4du 11.

c)

Uzyskujemy ostatec zny uklad

Er.rc)"|+---

Ur

r6wnowaZny ukladowi z rysunku a)

Zasadg kompensacji formuluj emy zatem nastQpuj eco :

W obwodzie elefurycznym dowolnqrerystancjg R, w lafirej wystquje prqd J, moina

zastqii idealnym bddtem napigcin o sile elektromotorycznej E rtwnej napigcia narezystancji (U = R I) i o zwrocie przeciwnym do zwrotu prqdu

TWIERDZENIE THEVENINA I TWIERDZENIE NORTONA

Twierdzenie Thevenina

( o zas t W c zy m ir 6 dle / g e neratorze napi gciowy m)

Dowolny aktywny dw6jnik rezystancyjny moina zastqpi(, r6wnowainymrzeczywistym Lr6dlem napipciowym o napipciu Zr6dtowym Uo i rezystancjiwewn€ trznej Rw, przy czymi

- napipcie Lrildlowe Us jest r6wne napigciu na rozwartych zaciskachdw6jnika (napipciu stanu jalowego Us,

- rezystancja wewngtrzna Rwrjest r6wna rezystancji zastgpczej (rezystancjiwejSciowej Rnil dw6jnika pasywnego (bez1rildlowego) otrzymanego powyzerowaniu w wewnptrznej strukturze dw6jnika aktywnego wszystkichautonomicznych f;rildel energii (zastqpieniu idealnych Lr6del napipciazwarciami a idealnych Lr6del pr4dowych rozwarciami).

Wyznaczeniet W uo oraz RAa

DA

53

Twierdzenie Nortona

( o zastp czy m zrd dlel g eneratorze pr qdowy m)

Dowolny aktywny dw6jnik rezystancyjny mo2na zast4pi6 r6wnowainymrzeczywistym Lr6dlem prqdowym o prqdzie Lrildhowym Iy i konduktancjiwewnetrznej Gw, przy czym:

- pred f;r6dlowy I2 jest r6wny pr4dowi ptynacemu przez zwarte zaciskidw6jnika (pr4dowi stanu zwarcia Isz)

- konduktancja wewnetrzna Gw, jest r6wna konduktancji zastppczej(konduktancji wejSciowej Gei dw6jnika pasywnego (bezf;r6dtowego)otrzymanego po wyzerowaniu w wewnetrznej strukturze dw6jnikaaktywnego wszystkich autonomicznych Lrildel energii (zastqpieniuidealnych Lrildel napipcia zwarciami a idealnych Lr6del pr4dowychrozwarciami).

VrTznaczeniei Xu* oraz Gn"

Gw:Gor

t -I

r-r B

II

{r:f *

DA

54

Dw6jnik Zrddlowy

Granitzne stany pracy, paratnetryy zewn@rzne dw6jnilo6w ir6dlowych

Poznane dotychczas idealne ir6dlanapigcia lub prqdu charakteryzuj4sig niezaleZnymi

od obci4Tenia wartoSciami napiEcia zr6dlowego lub natgZenia pr4du zr6dlowego.

Jedynym procesem energetycznym zachodzqpym w idealnym fr6dle napigcia lub pr4du

jest wytwarzanie energii elektrycznej kosztem innych rodzaj6w energii.

W it6dle rzeczywist5mr opt6cz wytwarzania energii elektrycznej zachodzi takZe proces

jej rozpraszania. W zwi4pku z tym napigcie na zaciskach oraz natgZenie pr4du

rzeczywistego ir6dla eneryi elektrycznej zalehq od jego obci4Zenia.

Dwukoric6wkowe, autonomiczne h6dlo energii elektrycznej przedstawimy w postaci

dw6jnika.

Jego stan elekftyczny albo stan pracy okreSlajq wartoSci napigcia U miEdzy

koric6wkami i natq2enia prqdu J w obwodzie zewngtrznym. Wartofui te zale2q od

parametr6w obwodu zewnQtrznego, stanowi4cego obci4Zenie dw6jnika. Granicznymi

stanami pracy dw6jnika sq

a) stan jalowy, gdy do koric6wek dw6jnika nie jest dolqczone Zadne obciqZenie;

w tym przypadku natg2enie J prqdu dw6jnikajest r6wne zero.

l-t-*-'t t +| " I lu.L___i__l

b) Stan zwarcia, gdy koric6wki dw6jnika s4 polqpzone berezystancyjnym

przewodem; w tym przypadku napiEcie u dw6jnika jest r6wne zeru.

Przeks ztalcanie s chemat6 w zast gp c zy ch Lr 6del ener gii

Wzajemna r6wnowaznoS6 schemat6w zastEpc zych ir6del

Zgodnte z drugim prawem Kirchhoffa

E - (R,+R) / = R, I+R/ przy czymRl =U a wig c E - R* I +U

Dzrelqc obustronnie przez R* przy zalohentu 2e R* * 0

Lub dla zr6dla pr4dowego

I,=I*I*t przyczq +={ pr4d zwarcia ir6dlanapigcia r6wny pr4dowi idealnego

ir6dlapr$u

4={=c.u- prcd plynqcy przez konduktancie G* ; I - pred pobierany przez" &

odbiornik o rezystancji R.

E - U- r l

I . T -

R r &

spRAwNoS c LnonnnENnRcrr ELEKTRyczNEJ

spru.wNoSi nznczywrsrnco Zn6orl NlprncrlRozpatrujemy rzeczywiste ir6dlo napipcia RiN o napigciu ir6dlowym Us

i rezystancji wewngtrznej Ry obci4Tone dw6jnikiem o rezystancji Ro6".

Z obwodem tym zwiqzane sQ.

nastEpujgce moce:

Pcu- moc calkowita (mocoddawana ptzez idealneir6dlo napigcia do obwodu);

Prtru - moc tracona (moc pobieranaprzez rezystancjE wewngtrznqir6dla);

Prz - moc t?yteczna (mocpobierana przez obctqhenie,rnaczej moc oddawana przeznZw do obc.)

Sprawnofil rueczywistego ir6dla napigcia, definiuje sig jako:

(2.28)

PoniewaZ, zgodnie z zasad4 Tellegena: Pcu=Ps t r ( J *Puz (2.2e)

rJi,,,=P;z xi;r;i

Priru * Puz \a1 1Ro,[,

(2.30)

UP ./vlI I u -

-I C U uo

SPRAWNOSE RZECZYWISTEGO ZR6DLA PRADU

Rozpatrujemy tzeczywiste ir6dlo pr4du RZP o pr4dzie ir6dlowym Iyi konduktancji wewngtrznej G,yobciq2one dw6jnikiem o konduktancji G,r"

Z obwodem tym zwuqzane sq

nastgpujece moce:

Pc, - moc calkowita (mocoddawana przez idealne2r6dlo pr4du do obwodu);

Pr,rr - moc tracona (moc pobieranapfzez konduktancjgwewnQtrznqir6dla);

Prz - moc u?yteczna (mocpobierana ptzez obcrqhenie,tnaczej moc oddawana przeznhp do obc.)

Sprawno1(, rzeczywistego 2r6dta pr4du, definiuje sig jako:

(2.3r)

Poniew a2, zgodnie z zasadq Tellegena: Pc t=Ps t r l *Puz (2.32)

A,i,'uPui Go:6o'

Prt tr * Puz Gw *G;obc

ni.ERw,

ftr * Roi,

(2.33)

-

Pi,I

'Iy4 i =

WARTJNEKDOPASOWANIA

Problem uzyskania wysokiej sprawnoSci ptzekazywania energii nie zawsze jestproblemem najb ar dziej istotnym.

lV uktadach elektrycznych pierwszoplanowym jest problem uzyskaniamaksymalnej mocy pobieranej przez odbiornik. Uzyskanie tego efektunazy wamy D OPAS OWANIENI.

w.q.nuNBr poplsowANrA. to Zn6ur,n NEprncrl

Rozpatrujemy ponownie rueczywiste ir6dlo napiEcia wsp6lpracuj4ce zobci4Teniern ZakJadany, Ze paralr;ietry ir6dla Us > 0 i Ru, > 0 s4znane.

fftanic: Jaka powinna byi warto66 rezystancji obciqlenia Roa" > 0 aby w obci4Teniuwydzielila sig maksymalna moc P*= P*uex ?

W tym celu uzaleinianry moc Pu2 wydzielon4w obciqZeniu od rezystancji R,6":

Puz = I'Rou, - (J o'R o b , .

(2.34)(Rou, + R*)'

Obliczaj4c pochodn4tej funkcji wzglEdem Ro6" i przyr6wnujqc jqdo zera otrzymujemyr6wnanie:

dPuz u 02 (Rw - Rob_) _ o(Rou, + Rw )'

(2.3s)dRou,

kt6rego jedynym

r o zw rqzani em sp elni aj ecym

pr zy jete zalohenie j e st :

(2.36)

R6wnoS6 tg nazywarrrywarunkiem dopasowania

p - u o ''a i ,MAX

4R*

- R wRob,

59

WARI.JNEK DOPASOWANIA DO ZRoDLA PRADU

Rozpatrujemy ponownie rzeczywiste 2r6dlo pr4du wsp6lpracuj4ce z obciq2eniem.ZakJadarry, 2e paralrlretry ir6dla I 7 > O i G w > 0 s4 znane.

fitanie: Jaka powinna byi warto6d kondullancji obci4Tenia Go6") 0 abyw obci@eniu wydzielila sig maksynalna moc Pa = P,,zutx ?

W tym celu uzale2niamy moe P42 wydzielon4w obci@niu od konduktancji Go6".Poniewa2 napiEcie na obciqT.eniu

U -

stqd moc wydzielona w obciqhentu

(2.31)IZ

(Gou, + G*)'

Obliczajqp pochodnqtej funkcji wzglgdem Go6"iprzyt6wnujqp jqdo zera otrzymujemyr6wnanie:

(2.38)

(2.3e)dPuz t 12 (c* - corr) _ o

(Gou, + G*)'tdGou,

kt6rego jedynym

r ozw Lqzaniem sp elni aj ecym

przy jqte zalohenie j e st :

Gob, = Gw (2.40)

R6wno56 tE nazywamywarunkiem dopasowania

Gob, + Gw

Puz :(J'Gouc = Ir'Gob,

60

PODSI.JMOWANIE

Obw6d, w kt6rym dw6jnik aktywny (DA) jest pol4czony z dw6jnikiem pasywnym(DP) - mozna zast4pi6 obwodem r6wnowa2nym.

RW

UWAGI:

. Ptzy tej samej mocy u2ytecznej, moce wytwarzane przez ir6dla w zaleZno5ci odprzyjgtego schematu zastepczego se r62ne, a zatam i ich sprawno3ci s4 r62ne izachodzi miedzy nimi zwi4Tek

n;';,,,,T,u6;,,.8.,,

{"/*

o R6wnowaznoSd schematu napigciowegowylqcznie napiEcia U r prqdu I, a zatemr6wnow ahne w sensie ener gety cznym.

i prqdowego danego DA dotyczymocy u?ytecznej. Schematy te nie sq

l"' ^.."Gw l{r Gon"

6 1

Polqczenie r6wnolegte dw6ch Lrildel napigcia

Na podstawie I i II prawa Kichhoffa mohna zapisal

I r + I r - I

R.r I r- R.zIz= Er- Ez

Rozwiqzujec ten uklad r6wnah wzglgdem 11 rI2 otrzymano

Rrz

{t, - I'r+I * sdri"

'

l I , = I ' r -1," I .

Rrt + Rr,

_ Er - E,

Rr, + Rr,

I't, I'z - pr@y robocze

I.- prqd wyr6wnawczy

Prqd wyr6wnawczy wywolany jest przez r6inic7 sil elektromotorycznych ir6del

energii inie zaleLy zupelnie od rezystancji odbiornika.

I*=0 gdy fi,1 = fi,,

Gdy fu) E2w6wczasI t> I ' toraz12 1I '2

Istnienie pr4du wyr6wnawczego powoduje powstanie dodatkowych strat mocy

ro=fi(4,+4,)

Mo2liwe szkodliwe skutki polq,czenia r6wnoleglego dw6ch zr6del napigcia o r6imych

silach elektromotorycznych.

o Przeplyw prqdu w ukladzie przy odlqczonymodbiorniku

o Nier6wnomierne obci4Zenie ir6del energii

r Dodatkowe sfraty energii

62

Metody analizy obwod6w elektrycznych

Obliczanie (analiza) obwodu elektrycznego polega na wyzuaczeniu wielkoSci

okreSlaj4cych jego stan elektryczny. g/i6lk6gsfami tyni sqzazwyczaj napigcia i prqdy

w galEziach obwodu. Przystgpuj4c do obliczeri zakladamy, irc darry jest schemat

obwodu i jego parametry. Mamy do dyspozycji 7 metod analizy

o Analiza obwod6w elektrycznych z zastosowaniem praw Kirchhoffa

o Analiza obwod6w elektrycznych metod4 transfiguracji

o Analiza obwod6w elektrycznych metod4 superpozycji

o Analiza obwod6w elektrycznych metod4pr4d6w oczkowych

o Analiza obwod6w elektrycznych metod4potencjal6w wgzlowych

o Analizaobwod6w elektrycznych metod4 Thevenina

o Analiza obwod6w elektrycznych metod{Nortona

METODA PRAW KIRCIIHOFFA

Do wyznaczenia pr4d6w i napig6 w galgziach obwodu moina zastosowa6 bezpoSrednio

prawa Kirchhoffa. W oparciu o I prawo Kirchhoffa uldada sip (n - 1) niezaleinych

r6wnari (n - iloS6 wgzl6w). Brakuj4ce r ownania w liczbie [b - (n - 1)] utdadamy

dla wybranych oczek niezaleZnych wedlug II prawa Kirchhoffa.

W ten spos6b otrzymujemy uklad r6wnaf algebrucznych, w kt6rych niewiadomymi s4

natp2enia pred6w (lub napigcia) w danej galEzi. Rozwiqpuj4c ten uklad r6wnaf

wyznaczamy odpowiednie wielkoSci elektryczne. Istotn4 wadq tej metody jest

stosunkowo du2a liczba r6wnaf opisujqcych obw6d, co powa2nie komplikuje

obliczenia.

PrzykJad na tablicy

63

METODA TRANSFIGURACJIPrzeztermin transfiguracji rozumiemy operacjg kolejnego uproszczenia struktury

obwodu (zmniejszenie liczby galgzi i wgzl6w, przy spelnionym wanrnku

r6wnowaZno5ci, tzn. zastgpowanie struktury bafiziej zlo2onej r6wnowa2n4 strukturq

prostsz{.

Przyjmujemy, 2e dwa uklady s4 r6wnowa2ne z punktu widzenia zacisk6w ay a2,

a3, ....an, jeheli zwiqzkj miedzy napigciami i prqdami zwiryanymi z tymi zaciskami s4

w obu ukladach identyczne.

W metodzie transfiguracji wykorzystujemy wczeSniej poznane zasady i

zaleino(ci:

a) zasadg zastgpowania ukladu rezystor6w polqczonych szeregowo jednym rezystorem

r6wnowaZnym o rezystancji n, = I&

b) zasadp zastgpowania ukladu rezystor6w polqpzonych r6wnolegle jednym rezystorem

r6wnowa2nym o kondunktan cji c, =icrk=l

c) zasadg r6wnowa2noSci napiEciowego i pr4dowego schematu dw6jnika zr6dlowego.

t - = % t u ^ = J ," & " G "_ t _ 1O " =

n , R " =

G _

d) zaTeimo{d u*=fu* i n, =in * okreSlaj4ce parametry dw6jnikak=l k=r

r6wnowalnego ukladowi dw6jnik6w ir6dlowych polqpzonych szeregowo.

e) zaleimo{t t,,=ttu i c,,=fc.rokreSlaj4ce parametry dw6jnika r6wnowaznegok=l k=l

ukl ado wi dw 6j nik6 w in 6 dlowych p olqczonych 16 wnole gle .

Metoda transfiguracji polega na zwiniEciu sieci rozgalgzionej do obwodu

elementarnego (ir6dlo - odbiornik), w kt6rym okre5lamy pr4d i napiEcie. Nastgpnie

przechodzimy ponownie drogE transfiguracji, lecz w kierunku odwrotnyrn, dochodz4c

do sieci pierwotnej inakuidymz etap6w okreSlamy konieczne wielkoSci elektryczne.

64

PrzyhJad

W obwodzie przedstawionym na rysunku dwa rzeczywiste ir6dta

parametrach E1 = 8,8 V, R1 = 492, E2 = It,z V, R2 = 8S), polqczono

wyznaczy1rozptyw prqd6w jeheltR: = 6,66 S), R+ = 3,33S), Rs = 3,33 f).

naplQcla o

r6wnolegle,

Uklad po przeksztalceniu

J a

Dwie galgzie ir6dlowe pol4czone s4r6wnolegle

Korzystaj4c z zaleimolciokreSlaj4cych parametry dw6jnika r6wnowazrego ukladowi

dw6jnik6w ir6dlowych polqczonych r6wnolegle

&os =ffi =3s3et, Gzrr=*-o,r*

+-r,4tAl- E L - 8 , 8

& 4l a 1 _ 1 _rJc :: : = :0rI25 tS]' R ^ 8+

= 1- o'zs [s]

J ,

Jr

- 2,2lAl

Tak wigc parametry dw6jnika r6wnowaznego sqnastEpujqce

J r = J r r l J r z = 3 1 6 l A l

G , = G r * G z = 0 , 3 7 5 [ 5 ]

Tak wiqc zredukowany uklad przedstawiony jest pontzej

ut+s =#; lub uo =+=s,6lvl o,+-2,671a1

NapiEcie pomiedzy punktami a i b wynosi

u - J, 3'6rtos=ffi=ffi-ss3lvl

Prqd J okreSlamy korzystEqc z prawa Ohma

J =Uror.Gro, - L6h]

Pozostale prqdy wyznaczarrly korzyst aJqc z prcrwszego rysunku i praw Kirchhoffa

Et - &J r -Uros =0

E2 - RrJ, -U ro, = 0

J, = Er-U ou - t '8- 5'33 - ^' &

=T-0'867lAl

J, = u, : '

* -II '2 - 5'3 - 0,n3[A]- R " g

J, =U ot - 5,33 = o.glal- & 6 , 6 6 J

Jq=#=o'8h]

J A J a

METODA SI]PERPOZYCJIMetoda atalizy obwod6w liniowych metod4 superpozycji opiera sig na zasadzie

superpozycji:

Odpowiedi obwodu liniowego na. jednoczesne dzialanic Hlku wymuszefi jest rdwna

sumie odpowiedzi na kaide wymuszenie z osobna

Metoda superpozycji sprowadza sig do analizy tylu obwod6w ile wystEpujeir6del w obwodzie pierwofrrym.

OdpowiedZ calkowita w danej galgzi (prAd lub napigcie) jest surn4poszczeg6lnych odpowiedzi wymuszanych poszczeg6lnymi ir6dlarllli.

PrzyhJad na tablicy

Metoda ta nale?y do grupymetod algorytmi czny ch, tzn. poddaj e

sig pewnemu,,ptzepisowi"postgpowania.

W metodzie oczkowejposzukuj emy pr4d6w galqziowych.

Algorytm postgqtowania przyanalizie obwoda metodq oczkowqjest nastgptujqcy:

Nale2y

1-. okreSlid liczbg n oczekniezaleinych w obwodzie;

n = g-w+l = 6-4+l=3 {S - galgziq w - wEzly};

2. dokona6 wyboru i oznaczeniaoczek niezaleLnych;

Dane : Uor =LJos = 5V, Uoo = 6VR r =Rz-Rs=Ro- 252; R: =R+- 492.

3. ustali6 zwrotyoczkowych;

Przyjmujemy woczkach istnienieprqd6w oczkowych ozwrotach.

METODA PRT{DOW OCZKOWYCH

prqd6w

wybranychumownychdowolnych

67

4. dla kaZdego niezale2nego oczka uloty6, r6wnanie bilansu napipd (NPK)

uwzglgdniajqc tylko predy oczkowel

Dla I oczka:

Dla II oczka:

Dla III oczka:

( n r * R s * R ) I , - R s I , r - � R + I , r r : u o t * u o s- RsI,+ (R, * R: * Rs)1,, - RzI,,, - -uos

- R + I , - � R t I , , + ( R r * R o * R + ) I , , , : U o o

5. dokona(, rozwiqzania ukladu r6wnari, stosujqc jednq.ze zlnanych metod, trp.

rugowania zmiennych, wy znacznik6w lub macier zow q;

RozwiqTuj4c powy2szy uklad r6wnari metod4macierzowq moZemy napisa6:

[&+ns+n+ -Rs -R4

l I t , ] [ uo , *uor ]| - R s R r + R r + R , - R 3 l l 1 " l = l - U o s It i l t l l

L -Ro -R3 Rr+Ru+Ro)l I r , ) L Uou I

Og6lnie, posta6 macierzy jest nastgpujqca:

R trY= [Jo

Rozwi4panie ukladu r6wnaf :

MnoZymy lewostronnie powyZsze r6wnanie przez macierzodwrofir4R-l

R-' uo - R'lR I*

U f f \g f i q e

R. \l axt

poniew aZ R-IR = I , otrzymujemy ost atecznte

Iy - R-' Uo

znajdtjEc tym samym prgdy oczkowe

W orzvkladzie:

Macierz rezystancjr oczkowych R - fi : i ll -+ -4 1o_l

f o,zzo 0,129 0,1431

lono o,z2s 0,143 |10,143 0,143 0,214 )

[ 'o IL;]

stqd R'I -

natomiast Us -

Zatem

macierz prqd6w oczkowych: Iy - lTlczyli:It=2,5A, In = 1A, Inr = 24

ustali6 zwroty pr4d6w galpziowych i obliczyd ich wartoSci.

Do tego celu pomocny jest graf (skierowany) obwodu, nv kt6rym DOPIEROTERAZ nanosimy (w spos6b dowolny) zwroty pr4d6w galgziowych.

y**\

{ ffi,,tuh s $

*u*

Snosdb I

Pr4dy w gatgziach zewngtrznych oczekokreSlone se przez predy oczkowe(obwodowe) tych oczek z odpowiednimznakiem.

W naszymptzyl<ladzie

It = It= 2,5

Iz= Iu = 1

I o = I m = 2

Prqdy w galpziacln wsp6lnych dladw6ch lub wipcej oczek sQ sumQalgebr aicznqpr4d6w tych oczek, czyh:

I r = I u - I u r - - 1

I+= II - Iur = 0,5

Is = II - III = 1,5

Spos6b 2

Pr4dy galgziowe mo2emy obliczyt r6wnieL wykorzystuj4c metod4 incydencjiprqdowej. Macrerz pr@6w galgziowych I, wyznaczamy w oparciu o macierz pr4d6woczkowych Iy korzystaj 4c z nacieruy lqczqcej pr4dowej a, :

I s = d I x

Elementy macierzy lqczqcej prqdowej c przyjmujqwarto3i +1, -1 lub 0

crgl = 1 je5li galqz ,,9" jest incydentna z oczkiem,,k" (tzn. naleZy do oczka ,,k")oraz zgodnie z nim skierowana

-l j.w., lecz skierowana przeciwnie

0 jeSli galry,,g" nie jest incydentna z oczkiem,$"

70

W naszymprzykladzie u

I-1

0

0

1

1

-0

.h) 1N

r-\rrt a As zoob ?GIsS 4

5

6

er oczka

i l i l l0 0

1 0

r - 10 - 1

- 1 0

0 1

Zatem:

I s = A " I y =

1 0

0 1

0 1

1 0

1 - 1

0 0

0

0- 1

- 1

0

1

2,5

1- 1

0,5

1,5

2

lz,s1

L:l=

"d**\

{ # * blu*

7 I

METODA NAPr4e W4ZLOWYCH

Metoda ta naleiry takirc do grupy metod algorytmicznych. W metodzie wgzlowejposzukujemy napig6 galgziowych.

Algorytm postgpowania pr4y analizie obwodu metodq w glow qjest nastgtuj qcy :

Naleiy:

1. okreSli6 hczbgm niezaleinych wgd6w w obwodzie;

m = w- 1 = 4 - L=3 {w-wpzly};

2. dokonad wyboru i oznaczenia wqzl6w niezaleirrych;

m niezaleimymi wgzlami sq wgzly a, b, c - natomiast w-ty wgzel oznaczony jakod jest wEzlem odniesienia;

G,

G, G,

G,

G,. G ,

I

3. ustalid zwroty napig6 wgztowych;

72

Przyjmujemyntezalehnymi a,niezalehnych.

istnienie napig6 migdzywEzlowych (pomiedzy wEzlanrtb ,c a uziemronym wgzlem odniesienia d) o zwrotach do wgzl6w

4. dla kaZdego niezaleinego wpzlaulo?y( r6wnanie bilansu prqd6w (PPK)

uwzglgdniajqc tylko napigcia wgzlowe;

Dla wEzla a:

Dla wgzlab:

Dla wEzla c:

(G, + Gz)u " - G2 u b - o u, : I rr.- I rz- G2 u o * (G, + Gz + Gs)u u - G3 u, = I rz * I rz

0 U o - G3 U u + (G, + G+)u, = I 14 - I rz

5. dokona6 rowdqzania uldadu r6wnaf, stosujqc jednqzeznanychmetod, np.

rugowania zrniennych, wyznacznik6w lub macierzowq;

I J

G,

G,

ub

G3

Gs Go

Rozwiqzuj qc powy Zszy uklad r6wnari metodq macier zow % piszemy :

[c, +Gz

|

- " ,

L 0

Og6lnie, posta 6 macierzy

-G2 o l[u,-l 1,,'-,,'1G z + G t + G t - G 3 l l r r l : l

I , z * I , t I- G 3 G z + G q ) l U , ) L I , + - I * )

jest "urrunur;"r*

= ,,

(Ix - G-' Itpo przeksztalceniach

6. ustali6 zwroty napigd galpziowych i obliczyd ich wartoSci.

Sposfib I

Je2eli galqlt l4czy wpzel odniesienia z wgzlem niezaleLnym, w6wczasnapipcie galgziowe r6wne jest liczbowo napipciu wpzlowemu (zodpowiednim znakiem). Czyli:

U t = U o

U t = U "

U s = U u

Natomiast napigcie na galpzi lqczqcej wezf niezaleLne jest r6wnealgebraicznej sumie napipd wpzlowych tych wpzl6w. Otrzymamy wiEc:

U z = U o - U u

U s = U u - U "

L

o o

?-'';'G"

3lu,l " o

oo

74

Soos6b 2

Napigcia galgziowe moZemy obliczyt r6wnie2 wykorzystujqp metod4 incydencjinapigciowej. Macietznapigl galgziowych U" Wznaczarry w oparciu o macierz napig6wgzlowych Uykorzystajqc z macieruy lqczqcej napigciowej p :

U r = S U y

Elementy nacierzy lqczqcej napigciowej p przyjmuj4warto3i +1, -1 lub 0

Fet = 1 jeSli galqL ,,9" jest incydentna z wgzlem ,,k" (tzn. wezel ,,k" jestkoric6wk4 gatgzi ,,9") oraz grot napigcia w gatEzi ,,g" jest zwr6cony dowgzla,,k".

j.w., lecz napigcie ma zwrot przeciwny

jeSli galqz,,g" nie jest incydentna z wEzlem ,,k"

wQzel

a b c1 0 0

1 - 1 0

0 1 - 1

0 0 1

0 1 0

ZnajomoSd napigd galpziowych pozwalagalpziowych

wyznaczenie pr4d6w

-1

0

' s 1

H zS $ 3S 4

5

UWAGA: na

e o

T- c

75\-

METODA Z ASTEP CZE,GO GENERATORA

Niejednokrotnie w zlohonych obwodach elekfrycznych:

r interesuienas wielko6ci elektryczne zwiqzane zjednQ wybranq galpziq,

o bqdL interesuje nas analiza stanu elektrycznego w obciq2eniu (stalym b4dZregulowanym) zasilanym ze zloizone go ukladu zasilania.

Nie ma w6wczas potrzeby dokonywania petnej analiz,y sieci.

Rozpatrzmy graf sieci elektrycznej, skladaj4cy sig z r6inych dowolnych galpzi,kl6re mog4 by6 aktywne lub pasywne. Przyjmijmy, 2rc poszukujemy pr4du i napigciagalEziowego w jednej wybranej galgziAB (szukamy1,a3 onzUa).

Galqtt AB mo2e by 6 zar6wnoo galgziq bezir6dlow4 opisywan4 funkcjq rezystancji R; lub

konduktancji Gy,c galgziqir6dlow4opisywanqpare. Uox, Rx lub Is, Gy.

Natomiast po,rwyjqcirt'' galqziAB z punktu widzenia zacisk6w A-B

pozostala czp((, sieci stanowr ztohony uklad zasrlania - dw6jnikLr6dlowy.

Oznacza to, 2e z punktu widzenia galpzi AB pozostalq czp56 obwodu, bEd4c4dw6jnikiem aktywny& moZna zast4pi6 schematem r6wnowa2nym zgodnie z

o twierdzeniem o zastgpczym generatome (ir6dle) napipcia

Ka2dy dw6jnik aktywny jest r6wnowazny galEzi aktywnej zawierujqcej idealnezr6dlo napiEcia o wartoSci U6 , r6wnej napigciu dw6jnika w stanie jalowyrn ipolqczony z nim szeregowo idealny rezystor o rezystancji Ry, okreSlonejstosunkiem warto6ci napigcia ir6dlowego Up i prqdu zwarcia I7 dw6jnika:

76

ffis, ,#g*pffi

$*

LUB

aktywnyrn" moina zast4pi6 schematem r6wnowainym zgodnie z

o twierdzeniem o zastgpczym generatorze (ir6dle) prqdu

Ka2dy dw6jnik aktywny jest r6wnowazny galgzi aktywnq zawierajqcej idealneZr6dlo pr4du o wartoSci I2,r6wnej prqdowi zwarcia dw6jnika i pol4czony z nimr6wnolegle idealny rezystora o konduktancji Gy , okeSlonej stosunkiemwartoSci pr4du zwarcia lTinapipaa w stanie jalowym Ua dw6jnika:

z punktu widzenia galgzi AB pozostal4 czg36, obwodu, bEd4cq dw6jnikiem

Gw=H

L

77

Tok,poStepowaffi .a..nrnlY'1wi1izifi aC2aniu

pr4du len' : : : : : : :

metod4 zastppc zegoLrildla napigcia

napigcia Uen

metod4 zastpp czego'Lr6dha prqdu

jest nastppujqcy:

L.w obwodzie o danym schemacie odlqczyc galqL w punktach A-B

(galV w kt6rej wystgpuje szukana wartoSi);

2.

dowoln4 metodq oblic zy 6

napipcie Uo

migdzy zaciskami A-B dw6jnika wstanie jalowym;

dowolnq metodqobhczyc

pr1d Ig

w zwartych zaciskach A-B dw6jnika;

3.

Obliczyd

rezystancjg wewngtrzn4 2r6dlazastppc zego Ry, (rezystancjEwrdzianq z zacisk6w A-B )

(2r6dta napiqcia = zwarcia,ir1dta prqdu - prKrw!)

Obliczyd

konduktancj g wewn€ trznqfu6dla zastgpc zego Gw (konduktancj gwidzian qz zacisk6w A-B)

(ir6dta napiqcia -- zwarcia,2r6dta prqdu - prKrw!)

4.

do wyznaczonego schematuzastEpc zego 2r6dla napiEci a nale?yprzylqczyc uprzednio odlqczonqgalqz i obliczy(, w niej predwykorzystujac prawo Ohma i IIprawo Kirchhoffa.

do wyznaczonego schematuzastEpczego Lr6dla pr4du nale?yprzylqczyc uprzednio odlqczonqgalqz t obliczy(, w niej napigciewykorzystujec prawo Ohma i I prawoKirchhoffa.

78

Przyklad: Stosujqc metodg zastgpczego ir6dla napigcia, obliczyl pred plynqcyprzez rczystancjE Ra.

R 4

Dane:

E - 2OY,Rt=252 , Rz=6S1,R: = 18,5 Sl, Ra- 10 f),

ROZWLIZANrE:

L. w obwodzie o danym schemacie odlqczyd gatqz w punktach A-8, w ktflrejwy st gptuj e s zukana w arto S 6 ;

2. dowolnq metodq oblicryd napigcie U6 miglry zaciskami A-B ilwdjnika w stanicjalowyn;

\ { A

Z zaleznofci dzielnika napiqcia:

( J n - R ' E - 1 5 vv

& + R z

3. obliczyd rezystancj g wewngtrznq zrddtazwarcia, 2r6dla prqdu - przerwy);

zastgptczego R1a, Qr6dta napiqcia =

@ff i *

Bazuj qc na metodzie transfiguracj i :

Rrr/ - Rt Rz

* Ra :2oglr r Rr+R,

J

4. do wyznaczonego schematu ztstqtczego b6dla napigcia naleiy przytqczyduprzednio odlqczonq galqi,i oblicryi w niej prqd wykorqstujqc prawo Ohrna i IIprawo Kirchhoffa.

mw uoI _ - 0 ,5A

uoR W T R q

Metoda graficzrra wyznaczania rozpilywu prQd6w w gateziach lub napigd na

elementach

#

R 4

4IET,I

0.

R,

80

ELEMENTY I UKLADY NIELINIOWE

KLASYFIKACJA ELEMENToW NIELINIOWYCH

Delinicja 1.Obwodem elektrycznym nieliniowym n.Lzywamy taki obw6d w 1t6rym

wystgpuje co najmniej jeden element nieliniowy b@Z wigcej element6wnieliniowych wzajenmie sig nier6wnow arhqcych.

Definicia 2.Element obwodu elektrycznego nazywamy nieliniowym jeSli jegocharakterystyka y=fix) lub -<p$) jest nieliniowa, tzn. nie moima jej opisa6aralityczrie przy pomocy r6wnania prostej Q=ax+b).

Element nieliniowy, niezaleimie od tego czy jest to element pasywny czy tetalcywny, opisujemy przez podatie zbioru ci4glego (wykres) lub dyskretnego (tabela)zmiennych niezaleimych i wartoSci funkcji.

Elementy nieliniowe w modelach obwodowych oznaczarry przy pomocy symboligraficznych i opisu parametru nieliniowego jak na rysunku

u

Klasyfikacjg element6w nieliniowych moLna przeprowadzii w oparciu o r62nekryteria. W zale2noSci od przebiegu charaherystyki y--flx) rozr6imiamy elementynieliniowe:

a) symetrycznefl*)=-fi-x),rys.a,

b) niesymetryczneflx)*-fl--x), rys.b,c) jednoznaczte-kazdej wartoSci xe X odpowiada jedna i tylko jedna wartoS6 y,

rys.c)'

, R n , r C *

ry- *#J

u u{-- <-

uoQ)d n

v r

kY-

8 1

d) wieloznaczne-istniejq takie przedzialyx€(x1,x2), 2e wewn4trz tych przedzial6w y-f(x)niz jednq wartoS6, rys.d i e.

zmiennej ntezalehnej

mohe przyjmowad wiEcej

P rryktadow e przebie gi charakterystyk elementu nieliniow e go.

PARAMETRY STATYCZNE I DYNAMICZNE

Ograniczymy nasze rozwaZania do nieliniowych rezystancji. Je3li rezystor liniowyokre5lony jest jednoznaczrie przez podanie jego rezystancji R bqnt konduktancji G, toelement nieliniowy okreSla jego charakterystyka pr4dowo-napigciowa (t=e(a)).

Je6ti do zacisk6w rezystora nieliniowego przyloirymy okre3lone napigcie zp, toposluguj4c sig jego charakterystykqwyznaczymy warto66 prqdu w nim ptyn4cego lp.Punkt na charakterystyce wyznaczony wartoSci4 up nazlwarrr! w6wczas punktempgqrezystora (P).

Rozpatrzmy rezystor nieliniowy dany jego charakterystyk4 pr4dowo-napigciowqjak na rys.

Definicia

Rezystancja statyczna Rsf rezystora

nieliniowego, w danym punkcie pracy P,okreSlona jest stosunkiem napiEcia nazaciskach tego elementu (up) do prqdu wtym elemencie (ip)

RstP -

mozemy takhe zapisa(,

Rsrp :tgdp

U p

iP

L82

Rezystancja statyczna R51 posiada swe interpretacjE geometryczn4 - jestproporcjonalna do tangensa kqtz: zawarlego pomigdzy prostq l{czgce pocz4tek ukladuwsp6hzgdnych z danym punktem pracy rezystora nieliniowego a osi4 pr4du. Wog6lnymprzypadku k4t o"moZe przyjmowai wartoSci zprzedzialt [0',90"].7,atemtakzdefiniowana rezystancja statyczl;ra mohe przyjmowa6 warto6ci nieujemne

Rr r€ [0 , - ) ] Rs re R+

Definicia

Rezystancja dynamiczna R6 rezystora

nieliniowego okreSlona jest granic4stosunku przyrostu napigcia (Lu), doodpowiadajqcego mu przyrostu prqdu (Ai), gdy przyrost pr4du dqzynieogran iczente do zeta

Rd- l im + -d ''o Ai+O Ai di

a dla danego punktu pracy P

D - d " l^dp _El,

co moznatahie zapisal

Rap =tBFp

Rezystancja dynamiczna w danym punkcie pracy P jest proporcjonalna dowsp6lczynnika kierunkowego stycznej do charakterystyki w tym punkcie.W og6lnymprzypadku kqt B mo2e znieniat sig w granicach od 0o do 180o zatemRdmo2e przyjmowai wartofci zar6wno dodatnie jak i ujemne:

Rae(- - ,+*) ; Ra€R

PODSTAWOWE PRAWA W OBWODACH NIELINIOWYCH

oBowrffiuJE:

o Prqdowe Prawo Kirchhoffa. Napigciowe Prawo Kirchhoffa. Zasada kompensacjio Twierdzenie Theveninao Twierdzenie Nortona

NrE OBOWL\ZUJEz

o Prawo Ohmao Zasada superpozycji

METODY ANALIZY OBWOU6W NIELINIOWYCH

Dysponujac charakterystykami element6w nieliniowych wystqpuj4cych w

obwodzie, to mohna dokona6 anahzy tego obwodu na drodze transfiguracji i

ewentualnie retransfiguracji wykre6lnej (grafrcznej). Metody graficzne transfiguracji

obwodu nieliniowego przeprowadza sig w oparciu o prawa Kirchhoffa.

METODA CHARAKTERYSTYKI L,TCZNEJ

r Dla element6w pol4czonych szeregowo

Rozwa2amy polqczenie szeregowe nrezystor6w o charakterystykach okreSlonychr6wnaniami:

Ry: \ - fnrr( i ) , Ry2:u2= fn*r( i ) , . . . ,RNn:un - fpr , ( i )

W wyniku polqczenia szeregowego otrzymujemy:

n

u = u r + n2 + . . . + un= ) f * * ( ; )k=l

R6wnanie to okreSla charakterystykg nowego elementun

Rya: u - f n*r!) sdzie : f *r"(i) -I n"- (i)k=l

. Dla element6w polqczonych r6wnolegle

Rozwu2amy pol4czenie r6wnolegle n rczystor6w o charakterystykach okre5lonychr6wnaniami:

' / \ - , / \ - . / \f i l r r : h = Qnyl \u) , KN2i t2 = Qn*r \u) , . . . ,KNn :rn - (pRNn\u)

W wyniku pol4czenia szeregowego otrzymujemy:

nS l / \

t = t t *12+ . . .+ t " = )_Qn*o \u )k=l

R6wnanie to okre6la charakterystykp nowego elementun

RTsa :i = en*r(u) gdTie : e**r(u)=lO^*o@)k=l

UWAGI DO METODY CHARAKTERYSTYKI IICZNEJ:

o JeSli napigcie w elemencie zast&pczymobwodu szeregowego wynosi Uy,to po uzyskaniu charakterystyki lqpznej R11a moima znale26 na niej punktpracy P a nastgpnie pr4d w obwodzie Iy otaz napigcia na elementachobwodu.

. Je5li pr4d w elemencie zastepczym obwodu r6wnoleglego wynosi Ix, topo uzyskaniu charakterystyki lqcznej Ryx to wyznacza sig na niej punktpracy P a nastEpnie napigcie zasilaj4ce Uy orM pr4dy w galpztachobwodu.

85

METODA PRZECI4CIA CHARAKTERYSTYK

. Dla element6w pol4czonych szeregowo

Je5li napiEcie zasilaj4ce jest stale i jego ustalona warto56 nie ulega zmianie, to wcelu okre5lenia pr4du Ia (punktu pracy na charakterystyce lqcznej) nie trzebawyztaczat charakterystyki lqcznej. Stosowad mo2na w6wczas metodg przecipciacharaliterystyk tzw. " lustrTanego odbicia".

Tok postppowania:

1. wykreslamy charakterystykqelementu, np. Rm,

2. na osi U odmierzarny danqwartoS6Uynapigcia na zaciskach ukladu,

3. dla elementu R1,2 przyjmujemy ukladwsp6lrzEdnych o pocz4tku wpunkcie 0' (odleglym od punktu 0 oU*) i osi U malqcej zwrotprzeciwny

ni? dla elementu R1g7,

4. w nowym ukladzie wsp6lrzgdnychwykreSlamy charakterystyk Q. RNz,

5. punkt pracy obwodu P jest punktemprzecrecia charakterystyk a jegoodcigta dzieh Uyna Um i UNz.

K T4''/ x

. Dla element6w potqczonych r6wnolegle

Je5li znany jest pr4d zasilajqcy obw6d ft i wiadomym jest, 2e nie ulegnie onzmianie lub inaczej, tylko dla tej warto6ci pr4du chcemy okreSli6 napigcia i pr4dy wgalgziach, to nie musimy poszukiwa6 charakterystyki lqczne| Celem wyznaczeniapunktu pracy mo2emy poslu2ry6 siq metod4 "lz strzanego odbicin" .

Tok postgpowania:

1. wykreSlamy charakterystykg elementu,nP'Rnr,

2. na osi / odmieruamy dan4 wartoS6 ft ,

3. dla elementu R1g2 przyjmujemy ukladwsp6lr zedny ch o poc zqtku w punkcie0' (odlegtym od punktu 0 o I) i osipredu I malqcej zwrotprzeciwny nizdla elemeiltu R1,17,

4. w nowym ukladzie wsp6lrzEdnychwykreSlamy charakterystyk e Rxz,

5. punkt pracy obwodu P jest punktemprzeciecia charakterystyk a jegoruedna dzieli Iy na Ip i Iy2.

I,

{.J *

r",

RM

87