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8/16/2019 MODULO SIMULACION DE SISTEMAS V6.0.docx

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UNIVERSIDAD SAN PEDRO

CEAIS HUARAZ

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA

INFORMÁTICA Y DE SISTEMAS

Dr. VEGA HUINCHO FERNANDO

HUARAZ – PERÚ – 2016

S!"# E$%&%'(

1 Dr. Fr(#($) V*# H+%(&,)


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SIMULACION DE SISTEMASUNIVERSIDAD SAN PEDRO Dr . FERNANDO VEGA HUINCHO

CAPITULO I

MODELO DE SISTEMAS

1.1. MODELOUn modelo es una representación de un objeto, idea, o sistema en una formadiferente a la entidad misma. En nuestro caso el modelo es un conjunto derelaciones matemáticas o lógicas derivadas de supuestos sobre elcomportamiento del sistema.

Es una “Abstracción de algún sistema real, que tiene la posibilidad deemplearse para propósitos de predicción y control”.

Es una descripción lógica de cómo un sistema, proceso o componente secomporta. La simulación incluye el diseño de un “modelo” de un sistema, proceso

o componente, y la realiación de e!perimentos sobre el mismo. El propósito delos e!perimentos es determinar cómo el sistema real se desempeña, ypronosticar el efecto de los cambios sobre el mismo en el tiempo.

Es una construcción intelectual y descriptiva de una entidad en la cual unobservador tiene inter"s.

Un modelo es un sistema desarrollado para entender la realidad y en supuestossimples son usados para consecuencia para modificarla.#o es posible capturar modificar la realidad, en cierta dirección, si es $ue nodispone de un modelo $ue la interprete.

Un modelo de un objeto puede ser una r"plica e!acta de "ste %aun$ue en unmaterial diferente y a escala diferente&, o puede ser una abstracción de laspropiedades dominantes del objeto.

Gr-%&) $ +( /)$) /#"/-"%&)

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1.2. PASOS ASICOS PARA MODELAR UN SISTEMA

Los pasos básicos para modelar un sistema de control son'

♣ (efinir el modelo matemático y programar el sistema de control, determinar su

estructura %entidades, atributos, actividades y fronteras&.♣ )eleccionar los parámetros y los valores iniciales.♣ Ejecutar el modelo %simulación&.♣ *rocesar los resultados %incluye la visualiación y la investigación adicional&.♣ +nteractuar con el modelo asta lograr optimiación.♣ -on el diseño y análisis de los sistemas de control, su modelaje y simulación,

se busca satisfacer la necesidad de controlar la fabricación de los productosmediante el mantenimiento de las variables de proceso en los valores másestables posibles.

1.3. ELEMENTOS O PARTES DE UN MODELO

1.3.1. LOS COMPONENTES: Dependen del Sistema Simulado (Son lasentidades del sistema).A. VARIABLES: Aparecen en los odelos para relacionar uncomponente con otro y se clasi!can en"

a. Exógenas: Son las independientes o de entrada delmodelo, que se suponen predeterminadas y proporcionadasindependientemente del sistema que se modela. Son llamadasde entrada o datos, que a su #e$ pueden ser"b. Conto!ab!es: Susceptibles de manipulación por qui%nmane&a el sistema.". No "onto!ab!es: Son generadas por el medio ambienteque rodea al sistema modelado.#. De esta#o: Describen la situación de un sistema ó de suscomponentes en un punto de tiempo de inter%s.e. En#ógenas: Son las dependientes o llamadas tambi%n#ariables de salida, generada por la interacción de las#ariables e'ógenas con las de estado de acuerdo con lascaractersticas de operación de ellas.

B. PAR$METRO: Son las #ariables e'ógenas que tienen queestimarse con anterioridad y almacenarse como datos deentrada.

C. RELACIONES %UNCIONALES: Describen la interacción de las#ariables y los componentes del modelo, e'isten dos tipos"a. I#enta#es: oman la *orma de de!niciones o

declaraciones tautológicas, relati#as a los componentes delmodelo.

b. Caa"te'st&"as #e o(ea"&ón: Son +ipótesis,generalmente una ecuación matemtica, que relaciona a

las #ariables endógenas y de estado, con sus #ariablese'ógenas.

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LINEA DE ESPERA DE UN BANCO

C2C1 C3


E)EMPLO-onsidere el modelo de un *enómeno de espera de un anco quetiene / ca&eros y una sola lnea de espera.0os componentes de este modelo son clientes que llegan al bancoa solicitar un ser#icio. El propósito del odelo es relacionar el

tiempo total que requiere un cliente para lle#ar a cabo suoperación, con la *orma en que llegan los clientes al sistema.

Va&ab!es Exógenas: Ai" iempo de Arribo de los clientes i. Si&" iempo de Ser#icio de la ca&a &, para atender al cliente i.Va&ab!es #e Esta#o:

Ei&" iempo de Espera del cliente i, para pasar a la ca&a &. 1i&" iempo de 1cio de la ca&a &, en espera del cliente i.Va&ab!es En#ógenas:

i" iempo otal que el i%simo cliente est en el sistema.

Pa*+etos:E(Ai)" edia del tiempo de Arribo.2A3(Ai)" 2arian$a del tiempo de arribo.E(S &)"edia del tiempo de Ser#icio.2A3(S &)"2arian$a del tiempo de ser#icio.Caa"te'st&"as #e O(ea"&ón:*(Ai)" 4unción de densidad de probabilidad para el tiempo dearribo.4(Si&)" 4unción de densidad de probabilidad para el tiempo deser#icio.I#enta#es:

5ara los / primeros clientes" Ei& 6 7 188 6 A8, 199 6 A9, 1// 6 A/ 8 6 S88, 9 6 S99, / 6 S//.Si la di*erencia D 6 Si& : Ai, es"

" E'iste espera en el sistema." E'iste ocio en el sistema." ;o e'iste, ni espera ni ocio.

1.. CLASIFICACION DE LOS MODELOS

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1..1. M)$)3 $ T%/4) C)("%(+) 5 $ T%/4) D%3&r")

M)$) $ T%/4) C)("%(+)' Una función, variable, modelo o sistema escontinuo, en contraposición a discreto si "ste entre dos puntos cuales$uiera

distintos e!iste una infinidad de puntos.M)$) $ T%/4) D%3&r")' -uando el estado del sistema está definido solopara particulares instantes de tiempo. Una función, variable o sistema es discreto,en contraposición a continuo, si es divisible un nmero finito de veces. /s0, elconjunto de los nmeros naturales es un conjunto discreto, as0 como la energ0ade los estados cuánticos.

1..2. M)$)3 $ E3"#$) C)("%(+) 5 $ E3"#$) D%3&r") El modelo es deestado continuo o discreto dependiendo de si las variables de estado soncontinuas o discretas.

1... M)$)3 D"r/%(73"%&)3 5 Pr)8#8%73"%&)3 (etermin0stico es a$uel en $uese obtiene siempre el mismo resultado bajo las mismas condiciones iniciales o silos resultados de un modelo pueden predecirse con certea. *or ejemplo, todos losfenómenos $ue siguen las leyes de la f0sica clásica, como puede ser la ca0da de uncuerpo. )i con los mismos datos en varias ejecuciones se obtienen resultadosdistintos entonces el modelo es probabil0stico o estocástico, ejemplo' un simulador de colas. Lo contrario de un fenómeno determin0stico es un fenómeno aleatorio. )edenomina estocástico a a$uel sistema $ue funciona, sobre todo, por el aar. Lasleyes de causa1efecto no e!plican cómo acta el sistema %y de modo reducido elfenómeno& de manera determinista, sino en función de probabilidades.

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1... M)$)3 E3"-"%&)3 5 D%(-/%&)3 Un modelo en el $ue el tiempo no es unavariable es estático. )i el sistema cambia con el tiempo el 2odelo es dinámico.

E = m c 2 3 2odelo Estático %materia en energ0a&

#mero de trabajos en cola en un computador. 2odelo (inámico

1..9. M)$)3 L%(#3 5 N):L%(#3 )i la salida es una función lineal de laentrada, el modelo es lineal, de lo contrario es no1lineal. Ejemplo'

1..6. M)$)3 Crr#$)3 5 A8%r")3 )i la entrada es e!terna al modelo eindependiente de "l, el modelo es abierto. )i el modelo es cerrado no ay entradae!terna. *uede depender de los objetivos de la simulación, como se enfo$ue elproblema y los supuestos $ue se agan. *or ejemplo' podemos simular el tráficoen una ciudad como un sistema cerrado si asumimos $ue el nmero de ve0culospermanece constante %no ay arribos ni salidas o arribos 4 salidas&, o como unsistema abierto generando arribos y salidas al e!terior.

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1..;. M)$) E3"#83 I(3"#83 )i el comportamiento del sistema convergea un estado estable %independientemente del tiempo& el modelo es estable. Unmodelo cuyo comportamiento cambia constantemente es inestable. *or ejemplo'en un sistema de ta$uilla simple tenemos'

+ntervalo entre llegadas 5 tiempo de servicio 3 modelo estable

+ntervalo entre llegadas 6 tiempo de servicio 3 modelo inestable.

E#r &+- 3r- # r#&&%'( $ 3%3"/#&+#($) r&%8 +( 3"7/+) !"r() 5# 3# $ r-&"r natural o no natural.Ejemplo' falta de gasolina, cambio de combustible, cambio de llantas, aceitar,cambio de buj0as, etc.E3"#8%%$#$ $ 3%3"/#3=


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1./. MEDIO AMBIENTE:Son los alrededores del Sistema que lo a*ectan. E'isten en Simulacióndos t%rminos relacionados con el medio ambiente que son de inter%s"

En#ógeno: Describe las acti#idades que ocurren dentro del sistema.Exógeno: Describe las acti#idades que ocurren en el medio ambienteque a*ectan al sistema.

TAREA PARA EL ALUMNO

8. Seleccione un sistema !nanciero y mencione"a. Sus elementosb. Su clasi!caciónc. Sus #ariables

9. Dar dos e&emplos de sistemas abiertos/. Dar dos e&emplos de sistemas de producción que se encuentran en la

ciudad de . Describa a la uni#ersidad San 5edro


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CAPITULO II

SIMULACION DE SISTEMAS

2.1. DEFINICIONES)egn 8obert )annon, la simulación es el diseñar y desarrollar un modelocomputariado de un sistema o proceso y conducir e!perimentalmente con estemodelo con el propósito de entender el comportamiento del sistema del mundo real oevaluar varias estrategias con los cuales puedan operar el sistema.

*ara 7omas 7aylor, Estos e!perimentos re$uieren de operaciones lógicas ymatemáticas necesarias para descubrir el comportamiento y la estructura de sistemascomplejos del mundo real a trav"s de lago per0odo de tiempo.

*ara )ubi9, la simulación de un sistema o de un organismo es la operación de unmodelo lo cual se va a llamar simulador el cual es una representación del sistema.Este modelo o simulador estará sujeto a diversas manipulaciones, las cuales ser0animposibles de realiar, demasiado costosas o imprácticas. La operación de un modelopuede estudiarse y con ello conocer las propiedades concernientes al comportamientodel sistema o subsistema real 1 costoso.

*ara el autor, la simulación es la aplicación de la ciencia y la t"cnica en un modeloabstra0do en parte o en su totalidad del sistema real a simular con la finalidad deanaliar sus resultados y predecir cómo se comportará el sistema real simulado.

2.2. IMPORTANCIA DE LA SIMULACIONLa simulación es importante por$ue permite' Evaluar cambios en modelos de un sistema e!istente, frecuentemente es el

mejor camino para reducir el riesgo de las principales decisiones. :btener un conocimiento preciso de la naturalea del proceso. +dentificar problemas espec0ficos o áreas problemáticas de un sistema. (esarrollar planes o pol0ticas espec0ficas de un proceso. Evaluar nuevos conceptos o sistemas antes de su implementación. *redecir el comportamiento de un nuevo sistema, sin necesidad de

construirlo f0sicamente. *redecir cambios de un sistema e!istente sin necesidad de afectar su

operación. Evaluar cual$uier sistema ante un conjunto de condiciones e!perimentales

2.. CUANDO SIMULAR )istema actual no e!iste o es dificultoso observarlo El sistema actual es muy complejo para analiarlo. El sistema actual no puede ser interrumpido. Es costoso construir el sistema actual.

2.. O?ETIVOS DE LA SIMULACION

;isualiación' ;er lo $ue está pasando en el sistema -álculos %/naliar


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MODEO DE SIMULACION

EXPERIMENTACION

E!r"#" $P%&'!()"*+ "&!,r"!(-"* S"&(#"* $R,*/0,*!"*


-omunicación' 2ostrar $ue está pasando en el sistema

2.9. NATURALEZA E@PERIMENTAL DE UN PROGRAMA DE SIMULACIONLa simulación como proceso e!perimental es una t"cnica $ue no a0sla las relacionesentre variables particulares, por el contrario acoge un punto de vista global desde el

$ue se intenta observar cómo cambian conjuntamente todas las variables del modelocon el tiempo. Las relaciones entre las variables deben obtenerse a partir de talesobservaciones. Esta concepción caracteria la simulación como una t"cnicae!perimental de resolución de problemas, lo $ue comporta la necesidad de repetir mltiples ejecuciones de la simulación para poder entender las relaciones implicadaspor el sistema.

La simulación con computador es por lo tanto una t"cnica $ue realia e!perimentos enun computador con un modelo de un sistema dado. El modelo es el ve0culo utiliadopara la e!perimentación en sustitución del sistema real. Los e!perimentos puedenllegar a tener un alto grado de sofisticación $ue re$uiera la utiliación de t"cnicas

estad0sticas de diseño de e!perimentos. En la mayor parte de los casos lose!perimentos de simulación son la manera de obtener respuestas a preguntas del tipo=>$u" pasar0a s0?=, preguntas cuyo objetivo suele ser evaluar el impacto de unaposible alternativa $ue sirva de soporte a un proceso de toma de decisiones sobre unsistema, proceso $ue puede representarse es$uemáticamente mediante la siguientefigura.

La simulación, y los e!perimentos de simulación, se convierten as0 en una erramientade análisis de sistemas, para entender cómo opera un sistema e!istente, o cómopuede operar uno propuesto. La situación ideal, en la cual el investigador realiar0a lose!perimentos sobre el sistema real es sustituida por una en la $ue el investigador construye un modelo del sistema y e!perimenta sobre "l mediante la simulación,

utiliando un ordenador, para investigar el comportamiento del modelo e interpretar losresultados en t"rminos del comportamiento del sistema objeto del estudio.

2.6. ESTRUCTURA DE UN MODELO DE SIMULACION @unción matemática modelada Entrada de datos' ;ariables +ndependientes, ;ariables (ependientes,

;ariables +ntervinientes -omponente aleatorio *rogramación y ejecución 8esultados o salidas

E!plicación y aplicación de resultados

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/LE/7:8+E(/( A +#7E8(E*E#(E#-+/ 4 -:2*LEB+(/(

2.. VENTA?AS DE LOS MODELOS DE SIMULACIBN Es más barato mejorar el sistema v0a simulación %-osto -ero& El 8iesgo de simular cambios, no ocasiona costos ni problemas

La simulación permite estudiar un sistema con un gran orionte de tiempo,en un tiempo comprimido

*odemos mantener muco mejor el control sobre condicionese!perimentales

Es posible analiar sistemas de alta complejidad Es más sencillo comprender y visualiar los m"todos de simulación -apacidad un sistema sin necesidad de construirlo o modificarlo. /orro de tiempo y dinero en la fase de concepción y desarrollo de nuevos

productos.

2.. DESVENTA?AS DE LOS MODELOS DE SIMULACIBN Los modelos de simulación no dan soluciones óptimas La simulación permite estudiar un sistema con un largo orionte de tiempo,

en un tiempo comprimido Un buen modelo de simulación puede resultar bastante costosoC a menudo

el proceso de desarrollar un modelo es largo y complicado. -ada modelo de simulación es nico. Las soluciones e inferencias no son

usualmente transferibles a otros problemas. )iempre $uedarán variables por fuera y pueden cambiar completamente los

resultados en la vida real $ue la simulación no previó. En ingenier0a se=minimian riesgos, no se evitan”.

*or ensayo y error se producen diferentes resultados en repetidas corridasen el computador.

2.10. PROCESO DE DESARROLLO DE UN MODELO DE SIMULACIBND%(%&%'( $ 3%3"/#=

♣ -ada estudio debe comenar con una descripción del problema o del sistema.♣ (ebe asegurarse $ue e!ista una correcta.

I$("%%&%'(=♣ +dentificar el objetivo, las variables de decisión, restricciones, la medida de

efectividad y las variables no controlables y su comportamiento estad0stico.

A(-%3%3 $ S%3"/#=♣ (eben describirse las interacciones lógicas entre las variables de decisión♣ :ptimice la medida de efectividad en función de las variables no controlables.♣ #o olvidar las restricciones del sistema.

F)r/+#&%'( $ M)$)=♣ -onsiste en formular un código lógico matemático $ue defina las interacciones

entre las variables♣ 7ener en cuenta $ue se va a llevar a cabo a trav"s del tiempo y $ue el uso de

listas o cadenas de eventos darán la pauta en el manejo de las variables.♣ E!isten dos tipos de listas'

o Las llamadas de eventos futuros donde la secuencia depende del tiempode ocurrencia del evento, y

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o Las de eventos actuales cuya secuenciación depende de la ocurrenciade otro evento.

S&&%'( $ L(*+#


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CAPITULO III

NUMEROS ALEATORIOS

3.1. DE%INICI0N=n número es aleatorio cuando no se conoce su generación y tienecaracterstica uni*ormes, independientes y corresponden a una ciertadistribución de probabilidad.

Si se desea desarrollar un odelo e!ciente de Simulación, se deben detomar en cuenta @ *actores importantes8. =ni*ormemente distribuidos.9. Estadsticamente independientes./. 3eproducibles, que se puedan copiar de un dispositi#o a otro (-D, =S,etc.).

>. -on perodos amplios (que no se repitan *recuentemente).?. -on grandes #elocidades de generación.@. -on un mnimo de capacidad de almacenamiento.

3.. PROPIEDADES DE N2MEROS ALEATORIOS=na secuencia de números aleatorios 38, 39, ..., 3' debe tener dosimportantes propiedades estadsticas" uni*ormidad e independencia. -adanúmero aleatorio 3i es una muestra independiente tomada de unadistribución continua uni*orme entre cero y uno. Esto es, la *unción dedensidad de probabilidad es"

.. GENERACIBN DE NÚMEROS PSEUDOS ALEATORIOS0a palabra “pseudos” se re!ere a que los números generados no soncompletamente aleatorios puesto que se conoce el m%todo de generación.

3..1. M4TODO DE CUADRADOS CENTRALES

4ue uno de los primeros m%todos para generar números aleatorios,creado por G. 2on ;eumann en 8>@. -onsiste en el siguienteprocedimiento"

8. Elegir un número H7 aleatorio de “9n” dgitos, llamado semilla.9. Ele#arlo al cuadrado./. El nue#o número aleatorio se elige de la parte media (central), con“9n” dgitos.>. 3epetir inde!nidamente la operaciónE5e+(!o:

67 8 1 x7 8 1, 9 7; 9 ;61 8 7; x1 8 ; 9 1,; 9 ,

6 8 1,; x 8 9 ;3


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Entre las des#enta&as de este m%todo est que tienen perodos bre#es(pocos números aleatorios), no satis*acen completamente las pruebasestadsticas de aleatoriedad.

IMPLEMENTACION DEL AL=ORITMO DEL METODO DE CUADRADOMEDIO EN VISUAL BASIC.NET

BOTON E)ECUTARDim i, n As Integer

Dim x, k, w, y, z, v, t, nlimp As Double Randomize() k = Val(ext!ox"#ext) R$% n&mero de simula'iones x = Val(ext!ox#ext) R$% primer n&mero tomado al azar

de * 'i+ras n = Val(ext!ox#ext) R$% n&mero de d-gitos nlimp = . i = . ext!ox/#ext = ext!ox/#ext 0 1 2 0 i 0 3 = 0 x 0

45r(") 0 45r(".) 6or i = " o k

y = x 7 x z = Int(y 8 "..)

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v = Int(z 8 ". 9 ( 7 n)) t = v 7 (". 9 ( 7 n)) w = z : t ext!ox;#ext = ext!ox;#ext 0 < 2 0 i 0 3 = 0

y 0 45r(") 0 45r(".)

I+ i nlimp 7 ". > ". 5enext!ox?#ext = ext!ox?#ext 0 @ 2 0 i 0 3 = 0 w 0 45r(") 0 45r(".)

$nd I+ I+ i = nlimp 7 ". > ". 5en nlimp = nlimp > " ext!ox?#ext = ext!ox?#ext 0 @ 2 0 i 0 3 =

0 w 0 45r(") 0 45r(".) $nd I+ x = w ext!ox/#ext = ext!ox/#ext 0 1 2 0 i 0 3 = 0

x 0 45r(") 0 45r(".) *ext

BOTON NUEVOrivate Bub !uttonC4li'k(!yVal sender As Bystem#bEe't, !yVal eAs Bystem#$ventArgs) Fandles !utton#4li'k ext!ox"#ext = ext!ox#ext = ext!ox#ext = ext!ox/#ext = ext!ox;#ext =

ext!ox?#ext = ext!ox"#6o'us()$nd Bub

BOTON SALIRrivate Bub !uttonC4li'k(!yVal sender As Bystem#bEe't, !yVal eAs Bystem#$ventArgs) Fandles !utton#4li'k $nd$nd BubGa eEe'u'iHn da 'omo resultado

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x3=(a3 x0+a

2

+a+1)b=a3 x0+b (a3+1 )(a−1 )

(modm )

xn=an x

0+b (an+1 )

(a−1 ) (modm)−→(n≤m−1)

En donde los ' son enteros entre 7 y mI8, y las constantes a y b son noInegati#as. 0a selección de a, b, y m a*ectan el periodo y laautocorrelación en la secuencia. Entre los resultados de los estudiosreali$ados con estos generadores tenemos"

8. El modulo m debe ser grande. Dado que los ' estn entre 7 y mI8, elperiodo nunca puede ser mayor que m.

9. 5ara que el computo de mod m sea e!ciente, m debe ser unapotencia de 9, es decir, 9J. En este caso mod m puede ser obtenidotruncando el resultado y tomando en J bits a la derec+a.

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E)EMPLO 7Elaborar un programa en 2isual asic.;et o 2isual asic @.7 para generar

números pseudos aleatorios por el m%todo congruencial.

BOTON EJECUTAR

rivate Bub !utton"C4li'k(!yVal sender As Bystem#bEe't, !yVal e As Bystem#$ventArgs) Fandles !utton"#4li'k Dim I, B, R, A, !, % As Integer

Dim 1" As Double B = Val(ext!ox"#ext) R$% ingresa numero semilla A = Val(ext!ox#ext) R$% ingresa valor de a numero primo ! = Val(ext!ox#ext) R$% ingresa valor de b numero primo Jb % = Val(ext!ox/#ext) R$% igreso del modulo R = Val(ext!ox;#ext) R$% ingrese ve'es a generar el nK aleatorio 6or I = " o R 1" = (A 9 I 7 B > ! 7 (A 9 I : ") 8 (A : "))%od % ext!ox?#ext = ext!ox?#ext 0 *A2 0 I 0 3 = 0 1" 0 45r(")

0 45r(".) *ext $nd Bub

BOTON NUEVO

rivate Bub !uttonC4li'k(!yVal sender As Bystem#bEe't, !yVal e As Bystem#$ventArgs) Fandles !utton#4li'k

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ext!ox"#ext = ext!ox#ext = ext!ox#ext = ext!ox/#ext = ext!ox;#ext = ext!ox?#ext =

ext!ox"#6o'us() $nd Bub

BOTON SALIR

rivate Bub !uttonC4li'k(!yVal sender As Bystem#bEe't, !yVal e As Bystem#$ventArgs) Fandles !utton#4li'k $nd $nd Bub

En el e&emplo el numero semilla es > a #ale 9 y be #ale /, lo que se +agenerado es ?77 números pseudoaleatorios en un rango de 7 y .

E)ERCICIOS: Estos e&ercicios deben ser resueltos en el laboratorio, solo sepermitir su diagrama de Ku&o como +erramienta de programación, casocontrario no ser admitido para su presentación y cali!cación.

8. En el e&emplo dado por el docente, +acer que el programa reporte solonúmeros aleatorios en un rango de 7 a 8.

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9. En el e&emplo dado por el docente, +acer que el programa reporte la#arian$a y la des#iación estndar de los números generados.

/. Cmplementar un programa en 2isual ;et 9787 o cualquier otrolengua&e por el %todo -ongruencial ultiplicati#o (in#estigar usandocualquier medio disponible).

>. Cmplementar un programa en 2isual asic cualquier otro lengua&e porel %todo -ongruencial i'to (in#estigarlo).

?. Cmplementar un programa en 2isual asic cualquier otro lengua&e ocualquier lengua&e de programación por otro m%todo de generación denúmeros pseudos aleatorios.

@. Cn#estigue sobre una metodologa de generación de númerosaleatorios di*erente a los tratados en clase y presente su *undamentaciónmatemtica de la generación de los números aleatorios.

MTODO DE MONTE CARLOLa simulación de 2onte -arlo es un m"todo $ue emplea nmeros aleatorios

uniformemente distribuidos en el intervalo RN,GS $ue es utiliado para resolver problemas donde la evolución con el tiempo no es de importancia. / continuación, seanaliarán dos ejemplos para comparar una solución anal0tica con una soluciónobtenida por simulación.

E?EMPLO 1)e tiene un sistema financiero de pr"stamos de recursos financieros en donde elcapital prestado y el nmero de periodos de pr"stamos tienen componentes aleatorios,mientas $ue la tasa de inter"s es una variable a afectar mecánicamente ya $ue estáligada a la pol0tica del sistema financiero. Elaborar un programa para simular losintereses a ganar por cada tipo de pr"stamo' ipotecario, teco propio, ve0culos ylibre disponibilidad. Los rangos de pr"stamo en soles por cada tipo se dan en lasiguiente tabla'

TIPO DE PRESTAMO MONTO MINIMO MONTO MA@IMOipotecario GNN,NNN.NN GN,NNN.NN7eco *ropio KN,NNN.NN GN,NNN.NN;e0culos IN,NNN.NN K,NNN.NNLibre disponibilidad GN,NNN.NN K,NNN.NN

(e pide calcular las sumatorias por cada tipo de pr"stamo, promedio, variana,

desviación estándar, covariana y acer sus respectivas interpretaciones.

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OTON SIMULAR Dim np, i, E, m As Integer Dim p5(. o "..), ptp(. o "..), pv(. o "..), pld(. o "..) As

Double Dim sp(. o "..) As Double Dim t As Double Randomize()

Dim sp5, sptp, spv, splp, spld As Double Randomize() np = Val(ext!ox"#ext) t = Val(ext!ox#ext) 6or i = . o np : "

p5(i) = (Rnd() 7 ("..... : "....) > "....) 7 (" > t 8 "..) 9((Rnd() 7 (". : .#;) > .#;))

sp5 = sp5 > p5(i)ptp(i) = (Rnd() 7 (;.... : "....) > "....) 7 (" > t 8 "..) 9((Rnd() 7 (". : .#;) > .#;))

sptp = sptp > ptp(i)pv(i) = (Rnd() 7 (.... : ;...) > ;...) 7 (" > t 8 "..) 9 ((Rnd()7 (". : .#;) > .#;))

spv = spv > pv(i)pld(i) = (Rnd() 7 (".... : ;...) > ;...) 7 (" > t 8 "..) 9((Rnd() 7 (". : .#;) > .#;))

splp = spld > pld(i) *ext

R$% pone sumas a un ve'tor sp(") = sp5 sp() = sptp sp() = spv sp(/) = splp 6or i = . o np : " tabla#Rows#Add(np) *ext 6or i = . o np : " tabla#Rows(i)#4ells(.)#Value = i > " tabla#Rows(i)#4ells(")#Value = 6ormat(p5(i),LLLLL#..) tabla#Rows(i)#4ells()#Value = 6ormat(ptp(i),LLLLL#..) tabla#Rows(i)#4ells()#Value = 6ormat(pv(i),LLLLL#..) tabla#Rows(i)#4ells(/)#Value = 6ormat(pld(i),LLLLL#..) *ext

OTON NUEVOPr%#" S+8 C)//#($2C%&Dim k As Integer k = tabla#Rows#4ount 6or i = . o k tabla#Rows#4lear() *ext ext!ox"#ext = ext!ox#ext = ext!ox"#6o'us()

E($ S+8

OTON SALIRPr%#" S+8 C)//#($C%&

%e#4lose()

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E($ S+8

PROGRAMAR TAMIEN EVENTO FORM LOAD PARA CENTRAR EL FORMULARIOPr%#" S+8 F)r/L)#$(im 9 /s +nteger T)ita el formulario en el centro de la pantalla2ove %)creen.idt 1 idt& < H, %)creen.eigt 1 eigt& < HE($ S+8

EBE2*L: NGLa demanda de un producto está en función del tiempo en años, dica demanda tieneun rango de aleatoriedad en un l0mite de Ls y Li y presenta una función V4aAbP.Elaborar un programa para determinar la ecuación de ajuste y simular el pronóstico dela demanda para este producto para # años.

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OTON SIMULAR Dim n, ns, ls, li, i As Integer Dim y(. o "..), x(. o "..) As Double Dim v, des, r As Double

Dim xy(. o "..), x(. o "..), y(. o "..), sumas(. o "..) As Double

Randomize() n = Val(ext"#ext) ls = Val(ext#ext) li = Val(ext#ext) ns = Val(ext/#ext)

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Dim sx, sy, sxy, sx, sy As Double sx = . sy = . sxy = . sx = . sy = . R$% Dim x, y, x, y, xy As Double 6or i = . o n : " x(i) = i > " Mgenera el n&mero de aNos y(i) = Rnd() 7 (ls : li) > li M puede usted ingresar datos si

desea xy(i) = x(i) 7 y(i) x(i) = x(i) 7 x(i) y(i) = y(i) 7 y(i) sxy = sxy > xy(i) sx = sx > x(i) sy = sy > y(i) sx = sx > x(i) sy = sy > y(i) *ext Dim px, b, a, py, bpx As Double px = sx 8 n py = sy 8 n b = (n 7 sxy : sx 7 sy) 8 (n 7 sx : sx 9 )

a = py : bpx ext;#ext = 6ormat(a, LLL#..) ext?#ext = 6ormat(b, LLL#..) extO#ext = 6ormat(px, LLL#..) extP#ext = 6ormat(py, LLL#..) ext"#ext = 6ormat(a, LLL#..) I+ b J . 5en ext";#ext = > $lse ext";#ext = : $nd I+

ext"/#ext = 6ormat(b, LLL#..)M4AG4QG D$ GA VARIA*A, D$BVIA4I* $BA*DAR < 4$6I4I$*$ D$4RR$GA4I*

Dim sv As Double 6or i = " o n sv = sv > (x(i) : px) 9 *ext i v = sv 8 n des = v 9 (" 8 ) r = (n 7 sxy : sx 7 sy) 8 (%at5#BSrt(n 7 sx : sx 9 ) 7 %at5#BSrt(n

7 sy : sy 9 )) extT#ext = 6ormat(v, LLL,LLL#..) ext".#ext = 6ormat(des, LLL,LLL#..) ext""#ext = 6ormat(r, LLL,LLL#...) MR*BI4 D$ GA D$%A*DA 6or i = " o n ext"#ext = ext"#ext 0 AU 2 0 n > i 0 3 = 06ormat(a > b 7 (i > n), LLL,LLL#..) 0 45r(") 0 45r(".) *ext 6or i = . o n : " DV"#Rows#Add(n) *ext 6or i = . o n : " DV"#Rows(i)#4ells(.)#Value = i > " DV"#Rows(i)#4ells(")#Value = 6ormat(x(i),LLL#.) DV"#Rows(i)#4ells()#Value = 6ormat(y(i),LLL#.) DV"#Rows(i)#4ells()#Value = 6ormat(xy(i),LLL#.) DV"#Rows(i)#4ells(/)#Value = 6ormat(x(i),LLL#.)

DV"#Rows(i)#4ells(;)#Value = 6ormat(y(i),LLL#.) *ext

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OTON NUEVODim k As Integer k = DV"#Rows#4ount 6or i = . o k DV"#Rows#4lear()

*ext ext"#ext = ext#ext = ext#ext = ext/#ext = ext;#ext = ext?#ext = extO#ext = extP#ext = extT#ext = ext".#ext = ext""#ext = ext"#ext =

ext"#ext = ext"/#ext = ext";#ext = ext"#6o'us()

OTON SALIR*rivate )ub -ommandIW-lic9%&

%e#4lose()End )ub

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EBE2*L: J8esolver el mismo problema del ejemplo H utiliando el modelo de regresión e!ponencial

OTON PRONOSTICARDim n, I, *B As Integer Dim y(. o "..), x(. o "..) As Double Dim v, des, r As Double Dim logy(. o "..), xlogy(. o "..), x(. o "..), logy(. o "..),

sumas(. o "..), prono(. o "..) As Double Randomize() Dim m, sx, sy, sxy, sx, sy As Double n = Val(ext"#ext) m = Val(ext#ext) sx = . sy = . sxy = . sx = . sy = . Dim Gog(. o "..) As Double Dim slogy, sxlogy, slogy As Double 6or I = " o n x(I) = I Mingrese n&mero de datos y(I) = Val(Input!ox(I*R$B$ DAB FIBRI4B)) sy = sy > y(I) logy(I) = Gog(y(I))

xlogy(I) = x(I) 7 logy(I) x(I) = x(I) 7 x(I)

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logy(I) = logy(I) 7 logy(I) sxlogy = sxlogy > xlogy(I) sx = sx > x(I) slogy = slogy > logy(I) sx = sx > x(I) slogy = slogy > logy(I)

*ext Dim px, plogy, bpx, $xp(. o "..), a, b, py As Double

px = sx 8 n plogy = slogy 8 n b = (n 7 sxlogy : sx 7 slogy) 8 (n 7 sx : sx 9 ) a = plogy : bpx ext#ext = 6ormat($xp(a), LLL#...) ext/#ext = 6ormat($xp(b), LLL#...) ext;#ext = 6ormat($xp(px), LLL#...) ext?#ext = 6ormat(py, LLL#...) ext".#ext = 6ormat(a, LLL#...) ext""#ext = 6ormat(b, LLL#...) 6or I = . o n : "

DV"#Rows#Add(n) *ext 6or I = . o n : " DV"#Rows(I)#4ells(.)#Value = I > " DV"#Rows(I)#4ells(")#Value = 6ormat(x(I),LLL#.) DV"#Rows(I)#4ells()#Value = 6ormat(y(I),LLL#.) DV"#Rows(I)#4ells()#Value = 6ormat(logy(I),LLL#.) DV"#Rows(I)#4ells(/)#Value = 6ormat(xlogy(I),LLL#.) DV"#Rows(I)#4ells(;)#Value = 6ormat(x(I),LLL#.) DV"#Rows(I)#4ells(?)#Value = 6ormat(logy(I),LLL#.) *ext Dim sv As Double 6or I = " o n sv = sv > (x(I) : px) 9 *ext

v = sv 8 n

des = v 9 (" 8 ) r = (n 7 sxlogy : sx 7 slogy) 8 (%at5#BSrt(n 7 sx : sx 9 ) 7

%at5#BSrt(n 7 slogy : slogy 9 )) extO#ext = 6ormat($xp(v), LLL,LLL#..) extP#ext = 6ormat($xp(des), LLL,LLL#..) extT#ext = 6ormat($xp(r), LLL#...) 6or I = . o n : " DV#Rows#Add(n) *ext

6or I = . o n : " DV#Rows(I)#4ells(.)#Value = I > " DV#Rows(I)#4ells(")#Value = 6ormat(sumas(I),LLL#.) *ext

OTON NUEVODim k As Integer k = DV"#Rows#4ount 6or i = . o k DV"#Rows#4lear() *ext Dim * As Integer k = DV#Rows#4ount

6or i = . o * DV#Rows#4lear() *ext

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ext"#ext = ext#ext = ext#ext = ext/#ext = ext;#ext = ext?#ext =

extO#ext = extP#ext = extT#ext = ext".#ext = ext""#ext = ext"#6o'us()

OTON SALIR%e#4lose()

EBE2*L: KUna empresa tiene una demanda aleatoria $ue oscila entre HNN y GNN unidades por d0a para

un determinado producto. El costo de acer un pedido es de 9 soles, el costo de inventario esde c soles y el costo de almacenamiento es de soles por d0a. 7ambi"n se sabe $ue el tiempode entrega para este producto es de L d0as. )i pide acer un programa para $ue simule #)

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simulaciones y de las seleccione el mejor dato, es decir el mejor registro simulado. Elprograma debe reportar' Lote económico, costo, ciclo, tiempo efectivo de entrega y punto dereorden.

OTON SIMULAR

Dim i, ns, mvy, post As Integer Dim k, 5, l As Double

Mdando valor a las variables de las 'aEas de texto

ns = Val(ext!ox"#ext) k = Val(ext!ox#ext) 5 = Val(ext!ox#ext) l = Val(ext!ox/#ext)

Dim d(. o "..), y(. o "..), '(. o "..), t(. o "..), n(. o "..),le(. o "..) As Double

6or i = . o ns

d(i) = Rnd() 7 (.. : "..) > ".. Mgenera demanda de prod'utoinventario y(i) = ( 7 k 7 d(i) 8 5) 9 " 8 Mgenera lote e'onomi'o '(i) = k 8 (y(i) 8 d(i)) > 5 7 (y(i) 8 )M'osto t(i) = y(i) 8 d(i) M'olo'a valores n(i) = Int(l 8 t(i)) le(i) = l : n(i) 7 t(i) Mtiempo de entrega *ext mvy = y(i)

6or i = . o ns : " tabla#Rows#Add(ns) *ext

Mutilizando un +or para aser la simulasiones6or i = . o ns : " tabla#Rows(i)#4ells(.)#Value = i

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tabla#Rows(i)#4ells(")#Value = 6ormat(d(i),LLL#..) tabla#Rows(i)#4ells()#Value = 6ormat(y(i),LLL#..) tabla#Rows(i)#4ells()#Value = 6ormat('(i),LLL#..) tabla#Rows(i)#4ells(/)#Value = 6ormat(t(i),LLL#..) tabla#Rows(i)#4ells(;)#Value = 6ormat(le(i),LLL#..) *ext

6or i = " o ns I+ mvy y(i) 5en mvy = (i) post = i $nd I+ *ext ext!ox;#ext = 6ormat(mvy,LLL#.) ext!ox?#ext = 6ormat(l, LLL#.) ext!oxO#ext = 6ormat(t(post),LLL#.) ext!oxP#ext = 6ormat(le(post),LLL#.) ext!oxT#ext = 6ormat('(post),LLL#.) ext!ox".#ext = 6ormat(le(post) 7 d(post),LLL#.)

OTON NUEVODim k As Integer k = tabla#Rows#4ount 6or i = . o k tabla#Rows#4lear() *ext ext!ox"#6o'us() ext!ox"#ext = ext!ox#ext = ext!ox#ext = ext!ox/#ext = ext!ox;#ext =

ext!ox?#ext = ext!oxO#ext = ext!oxP#ext = ext!oxT#ext = ext!ox".#ext =

OTON SALIR%e#4lose()

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TAREAS PARA EL ALUMNO

G. Elaborar un programa para simular el proceso electoral a la alcald0a de unaprovincia determinada. -onsiderar como variable aleatoria los votos a obtener los# candidatos. 2odelar el sistema teniendo en cuenta la realidad de un verdaderoproceso electoral o en todo caso una apro!imación modelada de dico sistema.

H. Elaborar un programa para simular el comportamiento de las velocidades deviento de una ciudad de la siguiente manera' simular ) veces el comportamiento yde ella obtener el mayor dato y asignarle a otro vector en donde se almacenaránlos mejores datos. Este vector debe tener # datos y luego en función de este ltimovector reportar los parámetros estad0sticos necesarios. Utiliar un rango detemperaturas en la simulación.

I. Una acienda de -arua desea un programa de simulación para tomar decisiones bajo riesgo sabiendo $ue en la localidad e!isten variables aleatorias$ue dañan o benefician los sembr0os. )i la temperatura es menor a GK grados, sedebe recomendar sembrar ma0, si la temperatura oscila entre GK y HK grados sedebe recomendar sembrar flores, en caso contrario se debe recomendar sembrar alverjas. )e sabe $ue el sembr0o de flores genera más utilidad por ectárea en unKNX $ue el sembr0o de ma0 y un INX más $ue la alverja. *or cada ectárea dema0 sembrado se obtiene una utilidad de KNNN soles y alverja de YNNN soles.Elabore un programa para simular la decisión de sembrar y reportar las utilidadesrespectivas.

J. Elaborar un programa para simular los inventarios de la empresa idrandina.-onsiderar tres productos' postes, cables de media tensión y transformadores.Elaborar gráfico por cada producto.

K. (esarrollar un programa para simular las ventas de # productos de la empresa-omercial 7rujillo. 8eportar egresos, ingresos y utilidades.

M. Elaborar un programa para simular el sistema de producción de barrasenerg"ticas ZE/7. 8eportar el plan de producción respecto a materia prima,

insumos, mano de obra, gastos administrativos, etc.Y. Elaborar un programa para simular el cálculo de áreas bajo curvas. Utiliar base

de datos y gráficos.

[. Un empresario uaracino desea un programa de simulación para determinar elcomportamiento de sus egresos, ingresos y utilidades mensuales de sus # combiscon capacidad de 2 pasajeros cada una. Los datos istóricos indican $ue el factor de ocupancia var0a entre \KX y \NX.

\. Elaborar un programa para simular las llegadas de los clientes al Danco de la

#ación. Utiliar base de datos y gráficos.

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GN. Elaborar un programa para simular el modelo de -olas o L0neas de Espera delas siguientes empresas' Danco de -r"dito, )cotiaDan9, -aja 2unicipal del )anta,Danco de la #ación, +nterban9, )eguro )ocial, Universidad )an *edro. %el grupodebe seleccionar solo una y no deben ser iguales en cada grupo&. 8ecuerde $uedebe modelar el sistema teniendo en cuenta una apro!imación real del sistema, es

decir tener en cuenta el má!imo de variables $ue intervienen en dico sistema.

GG. Elaborar un programa para simular el comportamiento de las e!portaciones deuna empresa de venta de flores.

GH. /nalice el código fuente de un programa de simulación en cual$uier lenguajede programación' de inventario, de producción, de juegos, de colas, cual$uier otro,escrito en cual$uier lenguaje, $ue no sea muy e!tenso y pres"ntelo en su informe.%solo presentar uno por grupo&.

NOTA= La calidad de la presentación, el uso de base de datos, gráficos y animación

permitirá al alumno o al grupo obtener una mejor calificación.

SUGERENCIA= Los programas pueden ser presentados en un solo arcivo, para ellodeberán usar men, en donde cada opción de men pueda ejecutar a cada programa.

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ADVERTENCIA= )i el alumno presenta código fuente blo$ueado para cual$uier ejercicio del laboratorio se considerará como $ue no a presentado su laboratorio.

TEORIA DE COLAS.6. MODELOS DE COLAS

.6.1. DEFINICIBNUna -ola es una l0nea de espera y la teor0a de colas es una colección demodelos matemáticos $ue describen sistemas de l0neas de espera particulares ode sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromisoentre costos del sistema y los tiempos promedio de la l0nea de espera para unsistema dado.

*roblemas t0picos de 7eor0a de -olas son'

S%3"/# L*#$#3 C)#M(%3/) $

Sr%&%)

/eropuerto *asajeros )ala de espera /vión(pto. de bomberos /larmas de incendio +ncendios (pto. (e Domberos.-ompañ0a telefónica #meros marcados Llamadas -onmutador *anader0a -lientes -lientes con nmeros ;endedor @ábrica *ieas para ensamblar +nventario en proceso Estación de trabajo

.6.2. ELEMENTOS DE UN MODELO DE COLAS

Los agentes principales en un sistema de colas son el cliente y el servidor. Losclientes se generan de una fuente. Un cliente llega a las instalaciones y esatendido por un servidor o servidores, luego es atendido el siguiente cliente y as0

sucesivamente. En sistema de colas básico e!isten los siguientes elementos'

C%("3= :bjetos %personas, procesos, o cosas& $ue esperan ser atendidos por uno o más servidores del sistema de colas.Sr%$)r= :bjetos %personas, procesos, o cosas& $ue atienden a los clientes.T%/4) ("r L*#$#3 J= Es el tiempo $ue transcurre desde $ue llegó uncliente asta $ue llega el siguiente cliente. La llegada de los clientes es aleatoria,se necesita especificar distribución de probabilidades para este elemento. *araun sistema de colas básico se utilia la distribución e!ponencial. La distribuciónde *oisson tambi"n es utiliado para un sistema de colas.T%/4) $ Sr%&%) K= Es el tiempo $ue le toma a un servidor atender a un

cliente. 7ambi"n es tratado como una distribución e!ponencial.T%/4) $ E34r# ( 3%3"/#= Es el tiempo $ue le toma al cliente desde $ueentra y sale del sistema.T%/4) $ E34r# ( # C)#= 7iempo transcurrido desde $ue el cliente entra alsistema y se inicia el servicio.T#/#) $ #3 &)#3= Esta puede ser finita o infinitaD%3&%4%(# $ # &)# $ 34r#= 8epresenta el orden en $ue los clientes sonatendidos. Este es un factor importante en los modelos de cola. La disciplina máscomn es el @+@: %@irst +n, @irst :ut& o *E*) %*rimero en Entrar, *rimero en)alir&. E!iste otra disciplina denominada L+@: %Last +n, @irst :ut& o UE*) %Ultimoen Entrar, *rimero en )alir&

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N/r) $ Sr%$)r3= Es la cantidad de servidores $ue posee el sistema paraatender a los clientes. El nmero de servidores no tiene por$u" ser siempre enparalelo, es decir, puede $ue un sistema de colas tenga varias fases.T#3# $ L*#$#3= Es la cantidad de clientes $ue llegan a las instalaciones deservicio por unidad de tiempo.

T#3# $ Sr%&%)= Es la capacidad de servicio por unidad de tiempo.*or ejemplo' Un sistema telefónico entre dos ciudades puede manejar \N llamadas

por minuto. Una instalación de reparación puede reparar má$uinas a raón una

cada [ oras.

.6.. COSTOS ASOCIADOS A UN SISTEMA DE COLAS

# C)3")3 #3)&%#$)3 # # 34r# $ )3 &%("3*or ejemplo, el valor del tiempo perdido o la gasolina malgastada en los atascoso los semáforos. Estos costos de espera decrecen conforme aumenta lacapacidad de servicio del sistema.8 L)3 &)3")3 #3)&%#$)3 # # !4#(3%'( $ # #&%$#$ $ 3r%&%)-ontra la reducción anterior de costos de espera, es tambi"n normal $ue el costoasociado a incrementar la capacidad de servicio creca con algunaproporcionalidad en relación a esta capacidad.

& L)3 &)3")3 ")"#3 $ 3%3"/# $ 3r%&%)La suma de los dos costos anteriores da una función de costos totales del

sistema en función de la capacidad, $ue tendrá una forma similar a la siguiente'COSTOS DEL SISTEMA

-ostos de )ervicio y -ostos de Espera

(ebe aber e$uilibrio entre el costo de proporcionar buen )ervicio y elcosto del tiempo de espera del cliente o de la má$uina $ue deben ser atendidos.

Las -olas deben ser lo suficientemente cortas con la finalidad de $uelos clientes no se irriten e incluso se retiren sin llegar a utiliar el servicio

o lo usen pero no retornen más. (ebe aber una longitud de cola raonable en espera, $ue seabalanceada, para obtener aorros significativos en el costo del servicio.

C)3")3 $ Sr%&%) 3 N% $ Sr%&%)

Los costos de servicio se incrementan si se mejora el nivel de servicio. En supermercados se abilitan cajas adicionales cuando es necesario. En bancos y puntos de ce$ueo de aeropuertos, se contrata personal adicional

para atender en ciertas "pocas del d0a o del año. -uando el servicio mejora, disminuye el costo de tiempo perdido en las l0neas

de espera.

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Este costo puede reflejar p"rdida de productividad de los operarios $ue estánesperando $ue compongan sus e$uipos o puede ser simplemente un estimadode los clientes perdidos a causa de mal servicio y colas muy largas.

En ciertos servicios %Dancos& el costo de la espera puede ser intolerablementealto.

.6.. CARACTERÍSTICAS DE UNA LINEA DE ESPERA

] Una cola de espera está compuesta de tres elementos' /rribos o ingresos al sistema (isciplina en la cola )ervicio

] Estos tres componentes tienen ciertas caracter0sticas $ue deben ser e!aminadasantes de desarrollar el aspecto matemático de los modelos de cola.

#. CARACTERISTICAS DE ARRIO'] La fuente de ingreso $ue genera los arribos o clientes para el servicio tiene tres

caracter0sticas principales'a. 7amaño de la población $ue arribab. *atrón de llegada a la colac. -omportamiento de las llegadas.

T#/#) $ # P)8#&%'('El tamaño de la población puede ser' infinito %ilimitado& o limitado %finito&. Lamayor0a de los modelos asume arribo infinito. *oblación de arribo limitada o finita'

cuando se tienen muy pocos servidores y el servicio es restringido. Ejemplo' lospacientes en un consultorio m"dico.

P#"r'( $ #rr%8) # 3%3"/#= Los clientes arriban a ser atendidos de una manera programada %un

paciente cada GK minutos& o de una manera aleatoria. )e consideran $ue los arribos son aleatorios cuando "stos son

independientes de otros y su ocurrencia no puede ser precedidae!actamente.

@recuentemente en problemas de colas, el nmero de arribos por unidad detiempo pueden ser estimados por medio de la (istribución de *oisson $ue

es una distribución discreta de probabilidad.

(+)78+DU-+:# (E *:+)):#' *%!& 4 *robabilidad de ! arribos ! 4 nmero de arribos por unidad de tiempo l 4 ratio promedio de arribo e 4 H.YG[H[

C)/4)r"#/%(") $ )3 #rr%8)3=La mayor0a de los modelos de colas asume $ue los clientes son pacientes o sea$ue esperan en la cola asta ser servidos y no se pasan entre colas.(esafortunadamente, la vida es complicada y la gente reniega. /$uellos $ue seimpacientan por la espera, se retiran de la cola sin completar su transacción.

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SERVIDOR SalidaEntrada

Servidor F2 SalidaEntrada Servidor F1


La L+#E/ (E E)*E8/ es el segundo componente de un sistema de colas. Lalongitud de la cola puede ser tambi"n L+2+7/(/ o +L+2+7/(/. -ola L+2+7/(/ esa$uella $ue por aspectos f0sicos no puede incrementarse a tamaños infinitos.*uede ser el caso de una pelu$uer0a $ue tiene pocos barberos y sillas para

atender.

-olas de longitud infinita. Una cola es +L+2+7/(/ cuando su tamaño no tienerestricción como es el caso de una caseta de peaje $ue sirve a los ve0culos $uearriban.

Una segunda caracter0stica de las l0neas de espera se refiere a la (+)-+*L+#/E# L/ -:L/ mediante la cual los clientes reciben el servicio. La mayor0a de lossistemas usan la regla *rimero En Entrar *rimero En )alir %@irst +n @irst :ut&R*E*) %@+@:&S. )e denomina tambi"n @+@) %@irst +n @irst )erved&.

8. C#r#&"r73"% $ Sr%&%)

El tercer elemento de un sistema de colas es el )E8;+-+:. En "l son importantesdos propiedades básicas'

La configuración del sistema de servicio. El patrón de tiempos de servicio

%. CONFIGURACIONES ASICAS PARA EL SERVICIO=Los sistemas para el servicio son clasificados en función del nmero decanales %servidores& y el nmero de fases %nmero de paradas $ue debenacerse durante el servicio&.

S%3"/# $ &)# $ +( 3)) (#' tiene un solo servidor. Ejemplos de elloson los cajeros para automovilistas o los establecimientos de comida rápida. S%3"/# $ &)# /+"%:(#' )on principalmente los cajeros de un banco en

los cuales ay una sola cola y varias personas atendiendo a los clientes endiversas cajas.

S%3"/# $ +(# 3)# #3' es a$uel en el cual el cliente recibe el servicio deuna sola estación y luego abandona el sistema. Un restaurante de comidarápida en el cual la persona $ue toma la orden tambi"n le entrega el alimentoy cobra, es un sistema de una sola fase

S%3"/# /+"%#3' cuando se pone la orden en una estación, se paga en unasegunda y se retira lo ad$uirido en una tercera

S%3"/#= U(# (# 5 +(# #3

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CANAL1

CANAL3

CANAL2 SalidasEntradas

SalidasEntradas

"*, 1Canal 1

"*, 2

Canal 2"*, 1

Canal 2

"*, 2Canal 1


S%3"/#= U( 3)) (# /+"%#3

S%3"/#= M+"%(# +(# #3

SISTEMA MULTICANAL MULTIFASE

%%. D%3"r%8+&%'( $ T%/4) $ Sr%&%)

Los patrones de servicio son similares a los patrones de llegada. *ueden ser constantes o aleatorios.

)i el tiempo de servicio es constante, toma la misma cantidad de tiempo atender a cada cliente. Es comn con servicios dados por medio de má$uinas %Lavadoraautomática de carros&.

)i el tiempo de servicio es distribuido aleatoriamente ^ $ue es el caso máscomn se lo representa por la (+)78+DU-+:# (E *8:D/D+L+(/(EP*:#E#-+/L #E/7+;/ de la forma e1_! para !5N. Esta es una ipótesismatemática muy conveniente, cuando los arribos siguen la distribución de*oisson.

N)"#&%'( $ )3 M)$)3 $ C)#3

8econociendo la diversidad de los sistemas de colas, Zendall %G\KI& propuso unsistema de notación para sistemas de servidores paralelos $ue a sido adoptadouniversalmente. Una versión resumida de esta convención está basada en elformato /


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2 4 e!ponencial o 2ar9ov %G& ( 4 constante o determin0stica E9 4 Erlang de orden 9 * 4 7ipo fase 4 ipere!ponencial 4 /rbitrario o general + 4 eneral independiente c 4 nmero de servidores paralelos # 4 -apacidad del sistema Z 4 7amaño de la población.

#ota%G&' / causa de las suposiciones de distribución e!ponencial en losprocesos de arribo, estos modelos son llamados 2/8Z:;+/#:)

*or ejemplo' 2


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K. Los tiempos de servicio se representan mediante la distribución de probabilidade!ponencial negativa.

M. La rata de servicio es más rápida $ue la rata de arribo.

M)$) = M)$) $ &)# /+"%(# MMS

(os o más servidores o canales están disponibles para atender a losclientes $ue arriban. Los clientes forman una sola cola y se los atiende de acuerdo al servidor $ue

$ueda libre. /sumimos $ue los arribos siguen la distribución de probabilidad de *oisson

y los tiempos de servicio son distribuidos e!ponencialmente.

FBRMULAS PARA COLAS MODELO A= SISTEMA SIMPLE O MM1VARIALES SIMOLOFORMULA

#mero promedio de llegadas por periodo #mero promedio de objetos servidos por periodo detiempo _#mero de clientes en el sistema ##mero promedio de clientes en el sistema Ls 4 < % _ ^ &@actor de utiliación del sistema 4 < _7iempo promedio $ue un cliente permanece en el sistema%tiempo de espera A tiempo de servicios& s 4 G < %_ ^ &

#mero promedio de unidades en la colaL$ 4 H < %_ %_ ^ && L$ 4 Ls

7iempo *romedio $ue un cliente espera en la cola$ 4 < %_ %_ ^ && $ 4 s

*robabilidad de $ue n clientes est"n en el sistema *n 4 %G ^ < _&% < _&n*n 4 %G ^ & n

*robabilidad de cero clientes est"n en el sistema *o 4 G ^ < _ 4 %G ^ &*robabilidad de $ue más de 9 clientes est"n en el sistema *n59 4 % < _&9AG

MODELO = SISTEMA MULTICANAL O MMS

VARIALES SIMOLOFORMULA

#mero de canales abiertos 27asa promedio de arribo 7asa promedio de servicio en cada canal _*robabilidad de $ue e!istan cero clientes en el sistema *o

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( ) ( ) µ

λ

λ µ

µ λ λµ

λ µ

λ µ

µ

µ

λ

µ

λ

µ

λ

+−−

=

=

〉

−

+

=

=====

∑−=

=

Po M M

L

L

M

M

M

M n

P

P

M

M

S

s

M M n

n

no

o

2

1

0

.!.1

sisteaelen"nidadeso #ersonasde #roedion$ero

#ara

!

1

!

1

1

sisteaelen"nidadeso #ersonasCEROe%istan&"edead 'ro(a(ilid

)anal)adaenservi)iode #roediotasa

arri(ode #roediotasa

a(iertos)analesden$ero

Ls 4 nmero promedio de personas o unidades en el sistema

( ) ( ) µ

λ

λ µ

µ λ λµ

λ µ

λ µ

µ

µ

λ

µ

λ

µ

λ

+−−

=

=

〉

−

+

=

=====

∑−=

=

Po M M

L

L

M

M

M

M n

P

P

M

M

S

s

M

M n

n

no

o

2

1

0

.!.1

sisteaelen"nidadeso #ersonasde #roedion$ero

#ara

!

1

!

11

sisteaelen"nidadeso #ersonasCEROe%istan&"edead 'ro(a(ilid

)anal)adaenservi)iode #roediotasa

arri(ode #roediotasa

a(iertos)analesden$ero

E


41/61


OTON SIMULARDim i, tsll, till, tsa, tia, ns, n, k, posAs Integer

Dim tll(. o ;.), ta(. o ;.), p's(. o ;.), +u(. o ;.) As Double Dim tp's(. o ;.), npu'(. o ;.), tp''(. o ;.), mvy, pn, po, pk As Double

Randomize() tsll = Val(ext!ox"#ext) till = Val(ext!ox#ext) tsa = Val(ext!ox#ext) tia = Val(ext!ox/#ext) ns = Val(ext!ox;#ext) n = Val(ext!ox""#ext) k = Val(ext!ox"#ext) 6or i = . o ns : "

tll(i) = Rnd() 7 (tsll : till) > tillMgenera'ion aleatoria de

lambda ta(i) = Rnd() 7 (tsa : tia) > tiaM genera'ion aleatoria de mu p's(i) = tll(i) 8 (ta(i) : tll(i))M *K promedio 'lientes en el

sistema +u(i) = tll(i) 8 ta(i) M 6a'tor de utiliza'ion del sistema tp's(i) = tll(i) 8 (ta(i) : tll(i))Miempo promedio de 'liente

en sistema npu'(i) = tll(i) 9 8 (ta(i) 7 (ta(i) : tll(i)))M *K promedio

'lientes en 'ola tp''(i) = tll(i) 8 (ta(i) 7 (ta(i) : tll(i)))M iempo promedio

'liente esta en 'ola *ext i

6or i = . o ns : " DV#Rows#Add() M4G4A *Q%$R A GAB 6IGA D$ GA R$WIGGA DV#Rows(i)#4ells(.)#Value = i > " M4G4A VAGR$B D$ I$% D$ GG$ADA (GA%DA) $* R$WIGGA DV#Rows(i)#4ells(")#Value = 6ormat(tll(i),LLL#..) M4G4A VAGR$B D$ I$% D$ B$RVI4I (%Q) $* R$WIGGA DV#Rows(i)#4ells()#Value = 6ormat(ta(i),LLL#..) M4G4A VAGR$B D$ *K R%$DI 4GI$*$B $* BIB$%A $* R$WIGGA DV#Rows(i)#4ells()#Value = 6ormat(p's(i),LLL#..) M4G4A VAGR$B D$ 6A4R D$ QIGIA4I* D$G BIB$%A $* R$WIGGA DV#Rows(i)#4ells(/)#Value = 6ormat(+u(i),LLL#..) M4G4A VAGR$B D$ I$% R%$DI 4GI$*$ $* BIB$%A R$WIGGA

DV#Rows(i)#4ells(;)#Value = 6ormat(tp's(i),LLL#.) M4G4A VAGR$B D$ *Q%$R R%$DI D$ 4GI$*$B $* 4GA DV#Rows(i)#4ells(?)#Value = 6ormat(npu'(i),LLL#.)

Pág. 41


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M4G4A VAGR$B D$ I$% R%$DI 4GI$*$ $* 4GA DV#Rows(i)#4ells(O)#Value = 6ormat(tp''(i),LLL#.) *ext i

M%$WR$B VAGR$B $* 4GA D$ $B$RA mvy = p's(.) pos = .

6or i = . o ns : " I+ mvy p's(i) 5en mvy = p's(i) pos = i $nd I+ *ext i ext!ox?#ext = 6ormat(mvy,LLL#...) ext!oxO#ext = 6ormat(+u(pos),L#...) ext!oxP#ext = 6ormat(npu'(pos),LLL) ext!oxT#ext = 6ormat(tp's(pos),LLL#..) ext!ox".#ext = 6ormat(tp''(pos),LLL#..) I+ 45e'k!ox"#45e'ked 5en pn = (" : (tll(pos)) 8 ta(pos)) 7 (tll(pos) 8 ta(pos)) 9 n

ext!ox"#ext = 6ormat(pn, L#...) $nd I+

I+ 45e'k!ox#45e'ked 5en po = " : tll(pos) 8 ta(pos) ext!ox"/#ext = 6ormat(po, L#...) $nd I+ I+ 45e'k!ox#45e'ked 5en pk = (tll(pos) 8 ta(pos)) 9 (k > ") ext!ox";#ext = 6ormat(pk, L#...) $nd I+

$nd Bub

OTON NUEVODim k As Integer k = DV#Rows#4ount 6or i = . o k DV#Rows#4lear() *ext ext!ox"#ext = ext!ox#ext = ext!ox#ext = ext!ox/#ext = ext!ox;#ext = ext!ox?#ext =

ext!oxO#ext = ext!oxP#ext = ext!oxT#ext = ext!ox".#ext = ext!ox""#ext = ext!ox"#ext = ext!ox"#ext = ext!ox"/#ext = ext!ox";#ext = Mext!ox"#Bet6o'us() M45e'k!ox"#'5eked = 6alse M45e'k!ox#'5eked = 6alse M45e'k!ox#'5eked = 6alse

OTON SALIREnd

Pág. 42


43/61


CAPITULO IV

ASPECTOS ESTADÍSTICOS EN SIMULACION

Un conjunto de valores de entrada para un modelo de simulación es el conjunto decondiciones iniciales $ue describe el estado del sistema en el momento en $uecomiena la simulación. En mucos casos, estos valores son fijos y se determinanfácilmente debido a la naturalea del sistema. *or ejemplo, simular la operación diariade un banco, los valores iniciales $ue describen el inicio de la simulación %esto es, elinicio del d0a& son $ue todav0a no ay clientes en el sistema y, en consecuencia, $uetodos los pagadores disponibles están ociosos. En contraste, en algunos problemaslas condiciones iniciales no están tan fácilmente disponibles o, de eco, no se

conocen. En estos casos, los valores iniciales generalmente se escogen de una de lassiguientes formas'

G. /signando valores sobre la base de su conocimiento de cómo trabaja el sistema$ue y de lo $ue ser0a más probable esperar en el momento correspondiente al iniciode la simulación.

H. /signando cuales$uier valores iniciales raonables ejecutando la simulación eltiempo suficiente como para minimiar la influencia de las condiciones iniciales.

/signando cuales$uier valores iniciales raonables y ejecutando la simulación durante

algn periodo inicial, digamos 7. (espu"s descartar todas las estad0sticas acumuladasdurante est periodo e!cepto las condiciones finales. 1Use estas condiciones finales

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como las condiciones iniciales para efectuar otra simulación Entonces se compila yregistra un segundo conjunto de estad0sticas

El análisis estad0stico se usa para determinar la longitud adecuada de la ejecución dela simulación en el paso H y el periodo inicial 7 en el paso I. Esto análisis están más

allá de nuestro alcance pero pueden encontrarse en cual$uier libro sobre simulaciónpor computadora

La obtención del valor de salida de una sola corrida de simulación es estad0sticamenteanáloga a e!traer una sola muestra de una población. Esto se debe a $ue lasecuencia de nmeros aleatorios usados en la ejecución de la simulación se basa enel nmero aleatorio uniforme inicial elegido y es sólo uno de mucos resultadosposibles.

.1. CARACTERISTICAS DE UNA DISTRIUCIBN DE FRECUENCIAS

.1.1. MEDIDAS DE POSICION)on a$uellas medidas $ue nos ayudan a saber dónde están los datos perosin indicar como se distribuyen.

M$%# #r%"/"%La media aritm"tica o simplemente media, $ue denotaremos por ´ X , es elnmero obtenido al dividir la suma de todos los valores de la variable entre elnmero total de observaciones, y se define por la siguiente e!presión'

2edia aritm"tica para datos no tabulados

´ x=

∑i=1

n

xi

n

2edia aritm"tica para datos tabulados de variable discreta

´ x=∑i=1

n

f i x i

n

2edia aritm"tica para datos tabulados por intervalos

´ x=

∑i=1

n

f imi

n

M$%# #r%"/"% 4)($r#$#Es una media aritm"tica $ue se emplea en distribuciones de tipo unitario, enlas $ue se introducen unos coeficientes de ponderación, denominados i ,

$ue son valores positivos, $ue representan el nmero de veces $ue un valor de la variable es más importante $ue otro.

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ẃ=

∑i=1

n

xiw i

∑i=1

n

wi

M$%# *)/"r%)ea una distribución de frecuencias $ue se simbolia por . se define comola ra0 #1"sima del producto de los # valores de la distribución.

G= N √ x1

n1 x

2

n2 x

3

n3… .. xk

nk

M$%# #r/'(%

Es el reciproco de la media aritm"tica. #o es aconsejable en distribuciones

de variables con valores pe$ueños. )e suele utiliar para promediar variablestales como productividades, velocidades, tiempos, rendimientos, cambios,etc.

H = N

∑i=1

n1

xini

.1.1. MEDIDAS DE DISPERSION

V#r%#(>#Es una medida $ue cuantifica el grado de dispersión o de variación de losvalores de una variable con respecto a su media aritm"tica. )i los valorestienden a concentrarse alrededor de su media, la variana será pe$ueña, delo contrario es grande. La variancia de muestra se simbolia por )H y de lapoblación por H.

;ariana para datos no tabulados

S2=∑i=1

n

( x i−´ xi )2

n

;ariana para datos tabulados variable discreta

S2=

∑k =1

k

f i ( x i−´ xi )2

n

;ariana para datos tabulados por intervalos

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S2=

∑k =1

k

f i (mi−´ xi )2

n

D3%#&%'( 3"-($#r Es una medida de centraliación o dispersión para variables de raón %ratio ocociente& y de intervalo. )e define como la ra0 cuadrada de la variana.Bunto con este valor, la desviación t0pica es una medida %cuadrática& $ueinforma de la media de distancias $ue tienen los datos respecto de su mediaaritm"tica, e!presada en las mismas unidades $ue la variable. )e simboliacon s minscula.

+ndica cuánto tienden a alejarse los valores concretos del promedio en unadistribución. (e eco, espec0ficamente, la desviación estándar es =el

promedio de la distancia de cada punto respecto del promedio=.

s=√ S2

.. CONCEPTOS ASICOS DE LA TEORÍA MUESTRAL

#. P)8#&%'(. -onjunto de individuos $ue tienen una o más propiedades en comn, seencuentran en un espacio o territorio $ue les es propio y var0an en el transcurso deltiempo. Esto es muy notorio en las &),)r"3 o promociones estudiantiles, tornandoimprescindible $ue se fece el periodo de las observaciones sobre la muestra

escogida.8. M+3"r#. Es una fracción o subconjunto de cual$uier tamaño de la población de lacual proviene. Las muestras se escogen por diversos procedimientos %seanapropiados o no& para realiar las observaciones o recogida de datos. El m"todo demuestreo aplicado y el tamaño de la muestra $ue se decida, determinan su grado derepresentatividad.

&. M+3"r# r4r3("#"%#. Es una muestra de un tamaño apropiado $ue a sidoescogida por procedimientos aleatorios y se considera $ue las caracter0sticasobservadas “representan” o corresponden a la población de donde ella proviene.Lamentablemente no es posible tener la certea de su grado “representativo” sino la

probabilidad raonable de su semejana, la $ue puede ser calculada por algn modeloestad0stico.

$. M+3"r# ##")r%# ) /+3"r# # #>#r . Los sujetos de la muestra se eligen medianteun sorteo con medios mecánicos %sin intervención umana& o usando una “tabla denmeros aleatorios”. *ara $ue sea realmente aleatoria dica muestra, todos lossujetos de la “población blanco” deben tener la misma probabilidad de ser elegidos.)iempre $ue ay intervención umana e!iste la probabilidad $ue se producan“errores sistemáticos”. *or ejemplo, acer un sorteo con papelitos $ue se sacan de unsombreroC primero abr0a $ue verificar la forma en $ue se plegó cada papelC ensegundo lugar los nmeros $ue $uedaron al fondo o en las orillas tienen escasaprobabilidades de ser elegidos.

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. Err)r 3%3"/-"%&). Error de medición o de selección $ue se producereiteradamente en una misma dirección. )us fuentes principales son e$uiposdefectuosos o la intervención umana. *oblación blanco. -orresponde a la poblaciónde donde se e!trae una muestra y acia la cual se generalia los allagos $ue seobserven en dica muestra. )us atributos deben ser claramente definidos para $ue

“los sujetos” sean correctamente elegidos.

. U(%$#$ /+3"r#. -orresponde a personas, objetos u otros elementos $ue sepueden numerar para ejecutar un sorteo aleatorio. -asi siempre se trata de sujetos oindividuos, pero en algunos casos podr0an ser escuelas, cursos o familiasC tambi"npueden ser “unidades territoriales” como mananas de una ciudad, calles o casas.

*. M)r"#%$#$ !4r%/("#. )e refiere a los sujetos escogidos para someterse aobservación en una muestra en estudio y no se les ubica, o bien no es posible lograr $ue proporcionen la información $ue se necesita. )i la mortalidad e!perimental es alta,la investigación pierde su credibilidad. El plan de muestreo debe considerar este factor

.9. TIPOS DE MUESTRAS#. ALEATORIAS O PROAILISTICAS♣ )imple♣ Estratificada♣ *or conglomerado♣ *or rea de )uperficie

8. NO PROAILSITICAS

♣ Errática♣ *or -uotas♣ +ntencional♣ Dola de #ieve

E?ERCICIO PARA EL ALUMNOG. 8ealice un análisis cr0tico sobre el uso de la estad0stica en la

simulación.H. +nvestigue un softFare $ue utilice la estad0stica en la simulación.

Pág. 47


48/61


CAPITULO V

SIMULACIBN DE SISTEMAS ECONOMICOS

9.1. MODELOS DE SIMULACION PARA LA EMPRESA Y LA INDUSTRIAM)$)3 $ 3%/+#&%'( 4#r# # /4r3#=En la empresa se pueden simular todos a$uellos fenómenos complejos tales comodemanda, estudio de mercado, juegos de estrategia, calidad de productos, etc. en elmercado se pueden encontrar softFare orientado a simulación de actividadesempresariales.

En la industria se pueden diseñar modelos de simulación de l0neas de producción,tamaño de planta, diseño de productos, nuevos m"todos de mejoras de trabajo,balance de l0neas de producción, etc. e!isten softFare de simulación aplicadas a la

industria como el promodel, simulin9, *)), etc.

9.2. TEORÍA DE ?UEGOSEs una erramienta $ue ayuda a analiar problemas de optimiación interactiva. Lateor0a de juegos tiene mucas aplicaciones en las ciencias sociales. La mayor0a de lassituaciones estudiadas por la teor0a de juegos implican conflictos de intereses,estrategias y trampas.

@ue ideada por Bon von #eumann, luego, Bon #as, /.. 7uc9er y otros icierongrandes contribuciones a la teor0a de juegos.

9.2.1. ?UEGO

)e denomina juego a la situación interactiva especificada por el conjunto departicipantes, los posibles cursos de acción $ue puede seguir cada participante, y elconjunto de utilidades.

9.2.2. ESTRATEGIA-uando un jugador tiene en cuenta las reacciones de otros jugadores para realiar suelección, se dice $ue el jugador tiene una estrategia. Una estrategia es un plan deacciones completo $ue se lleva a cabo cuando se juega el juego. )e e!plicita antes de

$ue comience el juego, y prescribe cada decisión $ue los agentes deben tomar durante el transcurso del juego, dada la información disponible para el agente. Laestrategia puede incluir movimientos aleatorios.

9.2.. RESULTADO DE LOS ?UEGOS

El resultado de un juego es una cierta asignación de utilidades finales. )e denominaresultado de e$uilibrio si ningn jugador puede mejorar su utilidad unilateralmentedado $ue los otros jugadores se mantienen en sus estrategias. Un e$uilibrioestrat"gico es a$uel $ue se obtiene cuando, dado $ue cada jugador se mantiene en suestrategia, ningn jugador puede mejorar su utilidad cambiando de estrategia.

/lternativamente, un perfil de estrategias conforma un e$uilibrio si las estrategiasconforman la mejor respuesta a las otras.

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50/61

(


K. Elabore un programa para simular el sistema de pr"stamos de una entidadfinanciera.

M. Elabore un programa para simular el sistema de aorros de una entidadfinanciera.

Y. /nalice e investigue un sistema elaborado aplicado a la producción o econom0a,

y sustente su ejecución y muestre su código fuente.

CAPITULO VI

LA SIMULACIBN EN LA PLANIFICACIBN PROGRAMACIBN YCONTROL DE PROYECTOS

6.1. FUNDAMENTOS DE LA REPRESENTACIBN GRÁFICA DE UN PROYECTO

6.1.1. PROYECTO

Es un conjunto de tareas u operaciones elementales bien diferenciables $ue seejecutan segn un orden determinado.

Los fundamentos de los sistemas *E87 y -*2 son las representaciones gráficas delproyecto mediante diagramas de flecas, o tambi"n lo podemos llamar red de flecas.La red se crea segn el orden de realiación de las tareas u operaciones, paso a paso,asta el final del proyecto. :riginalmente estas tareas u operaciones se llamanactividades. Un trabajo encargado a una persona responsable, bien lo realicepersonalmente o bien lo agan operarios a sus órdenes es lo $ue podemos definir como actividades.

Una actividad puede comprender una sola tarea o bien una serie de ellas. 7ododepende de la designación del responsable de los trabajos $ue se realian bajo susórdenes segn la conveniencia de la realiación del proyecto. *or tanto abrá tantasactividades como responsables.

ráficamente una actividad está compuesta de dos partes' la primera $ue es laejecución del trabajo y está representada con una fleca con orientación de i$uierdaa dereca y la segunda se llama suceso $ue generalmente se dibuja con dos c0rculoso dos rectángulos poni"ndolos en los dos e!tremos de la fleca'

El suceso $ue esta al final de la fleca se llama “suceso inicial” y el suceso $ueconecta al comieno de la fleca se le denomina “suceso final”. El suceso es uninstante de la actividad $ue sirve como el punto de control, describiendo el momentode comieno o terminación de una actividad. La actividad es un s0mbolo de trabajo enproceso. *or tanto, todas las actividades re$uieren tiempo y recursos.

La longitud de la fleca no representa la cantidad de tiempo como en los gráficos de

/#77. *or ejemplo, en la siguiente figura, la actividad / no es más corta de duración$ue la D, aun$ue la longitud de las flecas lo sea'

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1 2 3

A B

1 2 3

A B

1 2

*

+ E ,CA

- D


La dirección de las flecas no tienen sentido vectorial. Es simplemente una progresión

de tiempo. -omo el tiempo no retrocede, la orientación de la fleca es siempre dei$uierda a dereca. *or ejemplo, podemos dibujar una red como sigue'

7ampoco es preciso $ue la fleca sea una l0nea recta, sino $ue pueden dibujarse encurva'

Esto depende de la facilidad $ue aya para representar las actividades en una red deflecas $ue refleje el orden y secuencias de las relaciones del proyecto. Una actividaddebe estar terminada para $ue la subsiguiente pueda comenar. -omo todas lasactividades tienen sus sucesos iniciales y finales, el suceso final de la actividadprecedente es el mismo suceso inicial de la subsiguiente'

)in embargo, ay una e!cepción en los sucesos iniciales y finales. El primer sucesoinicial del proyecto no tiene una actividad $ue la preceda y el ltimo suceso final

tampoco tiene una actividad $ue la subsiga.6.1.2. ENUMERACIBN DE LOS SUCESOS

La enumeración de los sucesos es otro es otro sistema para la identificación de laactividad. *ero para facilitar el cálculo en el computador es conveniente asignar nmeros naturales a los sucesos iniciales y finales. El siguiente grafico será numeradocomo sigue'

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/s0 podemos llamar a las actividades de la siguiente manera'

/ctividad / 4 %G,H&. /ctividad D 4 %H,I&.

/ctividad - 4 %H,J&. /ctividad ( 4 %I,J&. /ctividad E 4 %J,K&.

6.2. CÁLCULO DE LA RUTA CRÍTICA CPM

El resultado final en el -*2 es la construcción en el programa del tiempo para elproyecto. *ara lograr este objetivo de una manera conveniente, acemos cálculosespeciales $ue producen la siguiente información'

G. (uración total necesaria para completar el proyecto.H. -ategoriación de las actividades del proyecto como cr0ticas y como no cr0ticas.

)e dice $ue cual$uier actividad es cr0tica cuando no ay “libertad” para determinar lostiempos de inicio y de terminación. -omo tal, para completar el proyecto sin demora,cada actividad critica se debe iniciar y terminar a tiempo. Una actividad no cr0ticaproduce cierta olgura en la programación, de manera $ue el tiempo de iniciar laactividad se puede adelantar o demorar dentro de ciertos l0mites, sin afectar la fecade terminación de todo el proyecto.

*ara realiar los cálculos necesarios, definimos un evento como un punto en el tiempoen el cual se terminan ciertas actividades y se inician otras. En t"rminos de la red, elevento corresponde a un nodo. (espu"s, introducimos las siguientes definiciones' j 4 *arte feca de ocurrencia del evento j

∆ j 4 Ultima feca de ocurrencia del evento j (ij 4 (uración de la actividad %i,j&

Las definiciones de las primeras y las ltimas ocurrencias del evento j se especificancon relación con las flecas de inicio y de terminación de todo el proyecto. Loscálculos de la ruta cr0tica implican dos pasos' el paso acia delante determinan losprimeros tiempos de ocurrencia de los eventos y el paso acia atrás calcula susltimas fecas de ocurrencia.

P#3) ,#&%# $#(" %primeras fecas de ocurrencia,&. En estos pasos, los cálculosempiean en el nodo G y avanan recursivamente acia el nodo final n.

P#3) %(%&%#. (etermineG 4 N para indicar $ue el proyecto empiea en la feca N.P#3) *(r#


53/61

1

+,

/

1,

2

/0

/0

0

0,*1

*0

*0

10

10

/+

*/

+

10

21


j 4 ma! p A (pj,$ A (aj,...v A (vjh

El paso acia atrás %ltimas fecas de ocurrencia, ∆&. (espu"s de la terminación delpaso acia delante, los cálculos del paso acia atrás empiean en el nodo n yregresan recursivamente al nodo G.

*aso inicial. (eterminar ∆n 4n para indicar $ue la primera y la ltima ocurrencia delultimo acontecimiento del proyecto son las mismas.

P#3) *(r#


54/61


55/61

*

/

+ 621

,

+

/

,

2

*

1111

3 1,-

E +

C 11A /

D 12

F 6

5 +

L *

4

I ,


E?ERCICIOS PARA EL ALUMNO

G. Elaborar un programa de computadora en ;isual Dasic para simular una red deproyectos. -onsiderar como variable aleatoria a los tiempos de las actividades.

H. +nvestigue sobre el m"todo *E87 y elabore un programa para simular una redde proyectos. /lcance toda la teor0a del dico m"todo y desarrolle un ejemplo.

I. /nalice y muestre el código fuente de un softFare $ue simula el m"todo *E87 ym"todo -*2.

J. #ombre a cada actividad y determine la ruta cr0tica de la siguiente red deproyecto, construya el diagrama de antt respectivo.

K. (etermine la ruta cr0tica de la siguiente red de proyecto y construya el diagramade antt respectivo'

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3/-,

M11I*D10

O*12EA+

F 4+

N5,C/

L,


56/61

*

2 , /

+

RE-O-INAR LA

ARMADURA

FIC7ICIA

ENSAM-LAR E INS7ALAR EL MO7OR

EN LA -ASE

SACAR 8DESARMAR EL MO7OR

LIM'IAR 8 'IN7AR

-ASE

D

CA

-

E1

FIC7ICIA

Ree!#la9ar los anillos


REDES PERT Pr)*r#/ E#+#"%)(3 #($ R% T&,(%+. T&(% $ r%3%'(5 #+#&%'( $ 4r)5&")3

*E87 se desarrolló en la d"cada de G\KN y se utilió en forma amplia en laadministración de proyectos militares de investigación y desarrollo. )u primera

aplicación importante fue en el proyecto de los misiles *olaris para la U.). #avy.

El *E87 fue desarrollado espec0ficamente por el (epartamento de la (efensa de losEstados Unidos de #orteam"rica para dar apoyo a la planeación, programación ycontrol de una gran cantidad de trabajos %actividades& asociados con el proyecto.*E87 tambi"n se a implementado y utiliado en la industria de la construcción,empresas industriales, instalaciones de activos fijos, el diseño de plantas, laplaneación y la administración de programas de investigación y desarrollo, etc.El concepto de redes es el mismo $ue maneja -*2.

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57/61

:E;

: ;

:D;

:-;

:A;

:5;

:F;

:3;

:*;

:I;

: ;

EN7RE3A

:4;

: ;

'RUE-AMERCADO

: ;

:C;

: ;2

1

*

6

,

+

/

10

DISE


58/61

!, !% 4! !/

6


El tiempo má!imo $ue se necesitar0a para terminar la actividad si seencontraran demoras considerables en el proyecto.

.: E "%/4) )4"%/%3"# ")=

El tiempo m0nimo $ue se re$uiere para terminar la actividad si todoocurre en forma ideal.

Utiliando estas tres estimaciones, puede calcularse un "%/4) 34r#$) para laduración de una actividad de acuerdo con la siguiente fórmula'

;eamos $ue ocurre con el tiempo con el caso de una empresa P en el cual seproporcionan tres estimaciones de los tiempos $ue se re$uieren para terminar cadauna de las actividades del proyecto.

TALA

C'$%*) $# #&"%%$#$

T%/4))4"%/%3"#")

T%/4) /#34r)8#8"/

T%/4)43%/%3"#"4

A .0 9.9 11.0 1.0 1.9 9.0C 1.9 .0 .9D 1.2 .2 .0E 2.0 .9 .0F 1. 2. 9.0G .0 6.9 ;.0H 2.0 .2 9.2I 0.9 0. 2.? 0. 2.1 2.

/ntes de continuar debemos respondernos algunas interrogantes

>u" se gana al acer tres estimaciones?>*or $u" no simplemente estimar los valores esperados y acer los cálculos de*E87


59/61

V"r("" #, &%*

T(,/%* #, ")!(-(#"# > t2 >?t# @ to 2

*/


)i el tiempo re$uerido para terminar una actividad es muy grande, entoncestendremos menos confiana en el tiempo esperado $ue si el intervalo fueramenor. P)r


60/61


-omo es probable $ue cada actividad var0e en duración en ve de ser fija. Eltiempo de terminación del proyecto será variable, y en particular si e!istenvariaciones considerables en las actividades de la ruta cr0tica.

Es “probable” $ue el tiempo de duración del proyecto var0e positivamente comonegativamente.

La influencia en el tiempo de duración del proyecto no solo es de lasactividades de la ruta cr0tica, sino $ue se puede generar otra ruta cr0tica debidoa la variabilidad de las actividades.

*uesto $ue la variana de una actividad da una medida de la variación en laincertidumbre, puede utiliarse para calcular la variación total en el tiempoesperado del t"rmino del proyecto.

/l calcular el tiempo esperado de terminación del proyecto, se toman lasvarianas σ"2, de las actividades $ue forman la ruta cr0tica. /l igual $ue conuna calcular la variana del tiempo de terminación del proyecto σ"2simplemente se suman las varianas σ"2 de las actividades $ue forman la ruta

cr0tica. -aso )arp' recordemos $ue la ruta cr0tica era la $ue inclu0a las actividades A

C E G I y ?, con un tiempo esperado de terminación de 22 semanas.

La variana del proyecto es'

σ

2 σ"A2 σ"C2 σ"E2 σ"G2 σ"I2 σ"?2

σ

2 1.; 0.96 1.00 0. 0.0 0.11

σ

2

. 3/#(#3La desviación estándar es igual a la ra0 cuadrada de la varianaC por tanto, ladesviación estándar para la terminación del proyecto es

σ σ212 .12 2 3/#(#3

En estad0stica, se sabe $ue los tiempos de terminación de un proyecto no estándescritos por una distribución beta sino $ue siguen una distribución apro!imadamentenormal o en forma de campana.

%En el desarrollo del *E87 se utiliaron una distribución beta para describir lasvariaciones en los tiempos de actividades&

Utiliando la distribución normal podemos acer planteamientos de probabilidades conrespecto a feca de t"rmino del proyectoC dada una feca espec0fica de terminación,puede calcularse la probabilidad de $ue el proyecto se termine en esa feca o antes.

Ejemplo se desea saber cuál es la probabilidad de $ue el proyecto termine antes de 6meses %26 semanas&.

Pr%/r).:

-onvertir 26 semanas a un valor de Z. @ 26 22 5 σ 2

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61/61

B >

B >2/ @ 22

2> 2


S*+($).:

-on el valor Z 2 y una tabla de distribución normal, se encuentra $ue laprobabilidad asociada es 0.;;2. La probabilidad de $ue el proyecto se termineen 26 semanas o menos es 0.;;2C por tanto, se puede tener bastanteconfiana en $ue el proyecto pueda terminarse acia esa feca.

TAREA PARA EL ALUMNOG. 8esolver un problema de la realidad red usando *E87 y -*2 y comparar los

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