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Métodos Numéricos e Estatísticos

Prof. Marcone Jamilson Freitas Souza

Aula 7: Métodos numéricos para equações diferenciais• 1a ordem

• Passos múltiplos

• 2a ordem


2

Equações diferenciais de 1a ordem

Métodos numéricos são usados quando não é possível obter uma solução geral, ou a forma dela é tão complicada que seu uso não é prático.

Uma equação diferencial de 1a ordem tem a forma ,e em geral podemos escrevê-la como:

),(

0),,(

yxfy

yyxF

Problema do valor inicial- uma equação diferencial- uma condição que deve ser satisfeita pela solução

00 )(

),(

yxy

yxfy


3

Os métodos que estudaremos partem da idéia de que o espaço da variável independente (x) pode ser discretizado, formando uma rede

x0 x1= x0+h x2= x1+h.......

h é o passo .

)(x- 22

e),( yxyxf

O valor da função em cada ponto da rede é calculado a partir de expansões em série de Taylor.


4

)(!2

)()()(

)(

0

2

000

00

xyh

xyhxyhxy

yxy

Método de Euler ou Euler-Cauchy

O valor de y para um passo h é dadopela expansão:

Como em geral h é pequeno, suprimimos ostermos de ordem O(h2): h2, h3, .....

Resultando na aproximação

),()(

)()()()()()( 2

yxhfxy

xyhxyhOxyhxyhxy


5

O que resulta no processo iterativo

),(

),(

),(

1

1112

0001

nnnn yxhfyy

yxhfyy

yxhfyy

A omissão dos termos de ordemsuperior a 2 causa erros de truncagem(que podem ocorrer junto a erros dearredondamento).


6

n x n y n 0,2(xn+yn) Exato erro

0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0001 0,200 0,000 0,040 0,021 0,0212 0,400 0,040 0,088 0,092 0,0523 0,600 0,128 0,146 0,222 0,0944 0,800 0,274 0,215 0,426 0,1525 1,000 0,488 0,718 0,230

Exemplo:

passo h=0,2

O erro não é (em geral) conhecido. Podemos estimá-loutilizando um passo h´=2h

0)0(

y

yxy

)(2,01 nnnn yxyy

n x n y n 0,4(xn+yn) y n para h=0,2erro = y n(h=0,4) - y n(h=0,2)

0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0001 0,400 0,000 0,160 0,040 0,0402 0,800 0,160 0,384 0,274 0,1143 1,200 0,544


7

Método de Euler melhorado (2a ordem)Método chamado de preditor-corretor.

)],(),([2

1

),(

*111

*1

nnnnnn

nnnn

yxfyxfhyy

yxhfyy

)(2

1

),(

),(

21!

112

1

1

kkyy

kyxhfk

yxhfk

hxx

nn

nn

nn

nn


8

Exemplo:o mesmo visto anteriormente

02,022,0)(2

2,0

2,02,02,0

2,0

2,0

211

2

1

nnnnn

nnnn

nn

yxykkyy

yxyxk

yxk

h

yxy

n xn yn 0,22(xn+yn) + 0,02 Exato erro

0 0,000 0,0000 0,0200 0,0000 0,00001 0,200 0,0200 0,0684 0,0214 0,00142 0,400 0,0884 0,1274 0,0918 0,00343 0,600 0,2158 0,1995 0,2221 0,00634 0,800 0,4153 0,2874 0,4255 0,01025 1,000 0,7027 0,3946 0,7183 0,0156


9

Método de Runge-Kutta (4a ordem)

),(

)2

1,

2

1(

)2

1,

2

1(

),(

)22(6

1

34

23

12

1

43211

1

kyhxhfk

kyhxhfk

kyhxhfk

yxhfk

kkkkyy

hxx

nn

nn

nn

nn

nn

nn

Se f(x,y) não dependerde y, o método reduz-seà regra de integraçãode Simpson


10

n x n y n 0,2214(x n+y n) + 0,0214 Exato erro

0 0,000 0,000000 0,021400 0,000000 0,0000001 0,200 0,021400 0,070418 0,021403 0,0000032 0,400 0,091818 0,130288 0,091825 0,0000073 0,600 0,222106 0,203414 0,222119 0,0000124 0,800 0,425521 0,292730 0,425541 0,0000205 1,000 0,718251 0,401821 0,718282 0,000031

Comparação entre os métodos

x n y = ex - x - 1 Erro

Euler Euler melhorado Runge-Kutta

0,000 0,000000 0,000 0,0000 0,0000000,200 0,021403 0,021 0,0014 0,0000030,400 0,091825 0,052 0,0034 0,0000070,600 0,222119 0,094 0,0063 0,0000120,800 0,425541 0,152 0,0102 0,0000201,000 0,718282 0,229 0,0156 0,000031


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Qual o valor mais adequado para o passo h?

Se a função f varia muito com y, então h deve ser pequeno, para evitar erros de truncagem. Em geral, adota-se a “proposta” de que

12

232

05,001,0

kk

kkK

y

fhK

h h/2 se K 0,05

h 2h se 0,01 K h não muda se

0,05 K 0,01

Estimativa de erro:

hy

hy

yy

2passooparaobtidoé~~onde

passooparaobtidoé~onde

~~~15

1


12

Métodos para eq. dif. de segunda ordem

P.V.I.

00

00

)(

)(

),,(

yxy

yxy

yyxfy

Novamente o problema é obter os valores de yn e yn´ para a seqüência x1

= x0 + h; x2 = x0 + 2h; ...

)(!3

)(!2

)()()(

)(!3

)(!2

)()()(

32

32

xyh

xyh

xyhxyhxy

xyh

xyh

xyhxyhxy

Começamos mais uma vez pelas expansõesem série de Taylor da função e de sua derivada:


13

O método mais simples consiste em desprezaros termos em derivadas de ordem y´´´ ou superiores

)()()(

)(2

)()()(2

xyhxyhxy

xyh

xyhxyhxy

001

0

2

001

0000

2

),,(

yhyy

yh

yhyy

yyxfy

1o passo: 2o passo:

112

1

2

112

1111

2

),,(

yhyy

yh

yhyy

yyxfy


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Runge-Kutta-Nyström

)22(3

1

))(3

1(

)2,,(2

1

)(

),,2

1(

2

1

),,2

1(

2

1

)2

1(

2

1

),,(2

1

43211

3211

1

34

3

23

12

1

1

kkkkyy

kkkyhyy

hxx

kyLyhxhfk

kyhL

kyKyhxhfk

kyKyhxhfk

kyhK

yyxhfk

nn

nnn

nn

nnn

n

nnn

nnn

n

nnn

Valores iniciais:x0, y0, y0´

passo h

Saída


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Equações diferenciais parciais

0:parabólicaCalor)(

0:ahiperbólicOnda)(

0:elípticaLaplace)(0

222

22

22

2

2

22

bacTct

T

bacx

ct

bac

Uma equação é dita quasilinear se forlinear nas derivadas mais altas:

;;;onde

),,,,(22

2

2

x

uu

yx

uu

x

uu

uuuyxFcubuau

xxyxx

yxyyxyxx


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Equações de diferenças para Eq. de Laplace e Poisson

),(

0

2

2

2

2

222

yxfu

y

u

x

uuuuu yyxx

Laplace

Poisson

Vamos ver o caso mais simples em duas dimensões (x e y):

(x-h,y) (x,y) (x+h,y)

h hk

k

(x,y-k)

(x,y+k)


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),(),(2

1),(

),(),(2

1),(

)(emtermosodesprezand,EE

),(6

1),(

2

1),(),(),(:E

),(6

1),(

2

1),(),(),(:E

321

22

21

kyxukyxuk

yxu

yhxuyhxuh

yxu

hO

yxuyxuhyxhuyxuyhxu

yxuyxuhyxhuyxuyhxu

y

x

xxxxxx

xxxxxx

(x-h,y) (x,y) (x+h,y)

h hk

k

(x,y-k)

(x,y+k)


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)],(),(

),(),([4

1),(

),(),(2),(1

),(

),(),(2),(1

),(

),(),(2),(),(

2

2

2

kyhxukyhxu

kyhxukyhxuhk

yxu

kyxuyxukyxuk

yxu

yhxuyxuyhxuh

yxu

yxuhyxuyhxuyhxu

xy

yy

xx

xx

Para as derivadas segundas, desprezando os termos O(h4),temos

Juntando as aproximações das derivadas primeiras e segundas,fazendo h=k, obtemos a equação de diferenças correspondente àequação de Poisson:

),(),(4),(),(),(),( 2 yxfhyxuhyxuyhxuhyxuyhxu


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Para f(x,y) = 0 temos a equação de Laplace. h é chamado de o comprimento da malha (mesh size).

Equações elípticas - em geral - devem levar em conta problemas de contorno (condições previamente definidas numa dada fronteira - espacial, por exemplo). Casos mais comuns:

•Dirichlet: se u é definido na fronteira C

•Neumann: se un=u/n (derivada na direção normal) é definida na fronteira.

Para resolver o problema, é necessáriocriar uma malha.: nós da rede ou da malha (Pij)

Fronteira C


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Exemplo

Uma placa de 12 cm de lado tem suas bordas mantidas às temperaturas mostradas na figura. Quais os valores das temperaturas no interior da placa? Será escolhido um comprimento h = 4 cm.

12x

y12

u=0

u=100

u=100

u=100 R

u=0

u=100

u=100

P02

P10 P20

P01 P11 P21

P12


21

A equação de transferência de calor éut = c2(uxx+uyy)

Para o regime estacionário ut = 0, aequação se reduz à de Laplace

uxx+uyy = 0

Para cada ponto da malha, temos a seguinte equação:

ui+1,j + ui-1,j + ui,j+1 + ui,j-1 -4 ui,j = 0

P11: - 4u11 + u21 + u01 + u12 + u10 = 0

- 4u11 + u21 + 100 + u12 + 100 = 0

- 4u11 + u21 + u12 = - 200

ui+1,jui-1,j

ui,j+1

ui,j-1

ui,j


22

- 4u11 + u21 + u12 = -200

u11 - 4u21 + u22 = -200

u11 - 4u12 + u22 = -100

u21 +u12 - 4u22 = -100

Dando como resultados

u11 = u21 = 87,5 (88,1)

u12 = u22 = 62,5 (61,9)

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