Download - Mechanica...constructies • Module 2 – Bezwijkanalyse • Module 3 – Symmetrie De behandeling blijft beperkt tot staaf- constructies en handberekeningsmethoden. De theorie in

123

978 90 395 2752 8

Dit boek maakt deel uit van een serie mechanicastudieboeken voor de opleidingen Bouwkunde en Weg- en Waterbouwkunde (Civiele Techniek) in het hoger onderwijs (hbo en technische universiteit):• Mechanica: Evenwicht• Mechanica: Spanningen, vervormingen, verplaatsingen• Mechanica: Statisch onbepaalde constructies en Bezwijkanalyse

Dit derde deel uit de serie is opgebouwd uit drie modulen waarin drie min of meer op zichzelf staande onderwerpen worden behandeld:• Module 1 – Statische onbepaalde constructies • Module 2 – Bezwijkanalyse• Module 3 – Symmetrie

De behandeling blijft beperkt tot staafconstructies en handberekeningsmethoden. De theorie in de modulen wordt ondersteund door vele figuren en voorbeelden, en is zo opgebouwd dat studenten de lesstof in principe zelfstandig door kunnen werken.

Net zoals de andere delen biedt ook dit boek een groot aantal uitgewerkte voorbeelden en vraagstukken die zodanig zijn gestructureerd dat het doorwerken ervan resulteert in een kennismaking met talrijke aspecten van dit vakgebied.

Beide auteurs hebben jarenlange ervaring in het doceren en doseren van mechanica-onderwijs aan de opleiding Civiele Techniek van de Technische Universiteit Delft

MechanicaStatisch onbepaalde constructies en bezwijkanalyseCoenraad Hartsuijker, Hans Welleman

Hartsu

ijker, Wellem

an

Mechanica Statisch onbepaalde constructies en bezw

ijkanalyse

9 789039 527528

Mechanica

Statisch onbepaalde constructies enBezwijkanalyse

Coenraad Hartsuijker

HansWelleman

Meer informatie over deze en andere uitgaven kunt u verkrijgen bij:BIM Media B.V.Postbus162622500 BGDen Haagtel.: (070) 304 67 77www.bimmedia.nl

Op het gebied van mechanica en sterkteleer zijn bij Academic Service de volgende uitgaven beschikbaar:^ C. Hartsuijker/Mechanica: Evenwicht^ C. Hartsuijker/Mechanica: Spanningen, vervormingen verplaatsingen^ C. Hartsuijker & J.W.Welleman/Mechanica: Statisch onbepaalde constructies en Bezwijkanalyse

# 2004, 2013 BIM Media, Den HaagAcademic Service is een imprint van BIM Media B.V.

Zetwerk:TrendsCo., GoesOmslagontwerp: Studio Bassa, CulemborgOmslaguitvoering: Carlito’s Design, Amsterdam

ISBN 978 90 395 2752 8NUR123/929

Alle rechten voorbehouden. Alle intellectuele eigendomsrechten, zoals auteurs- en databankrechten, ten aanzien vandeze uitgave worden uitdrukkelijk voorbehouden. Deze rechten berusten bij BIM Media B.V. en de auteur.

Behoudens de in of krachtens de Auteurswet gestelde uitzonderingen, mag niets uit deze uitgave worden verveelvou-digd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand of openbaar gemaakt in enige vorm of op enige wijze,hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopiee« n, opnamen of enige andere manier, zonder voorafgaande schrifte-lijke toestemming van de uitgever.

Voor zover hetmaken van reprografische verveelvoudigingen uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel16 hAuteurswet, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan de Stichting Reprorecht(Postbus 3051, 2130 KBHoofddorp, www.reprorecht.nl).Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave inbloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel16Auteurswet) dientmen zich tewenden tot de StichtingPRO(StichtingPublicatie- enReproductierechtenOrganisatie, Postbus 3060, 2130KBHoofddorp,www.cedar.nl/pro).Voor het overnemen van een gedeelte van deze uitgave ten behoeve van commercie« le doeleinden dient men zich tewen-den tot de uitgever.

Hoewel aan de totstandkoming van deze uitgave de uiterste zorg is besteed, kan voor de afwezigheid van eventuele(druk)fouten en onvolledigheden niet worden ingestaan en aanvaarden de auteur(s), redacteur(en) en uitgever des-wege geen aansprakelijkheid voor de gevolgen van eventueel voorkomende fouten en onvolledigheden.

All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted in anyform or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording or otherwise, without the publisher’s priorconsent.

While every effort has been made to ensure the reliability of the information presented in this publication, BIMMedia B.V. neither guarantees the accuracy of the data contained herein nor accepts responsibility for errors or omis-sions or their consequences.

Woord vooraf van de uitgever

Dit boek is het derde deel uit een serie leerboekenMechanica, waarin een helder en compleet beeldwordt gegeven van de theorie en toepassingen vande mechanica van constructies in de Bouwkundeen deCivieleTechniek (Weg- enWaterbouwkunde).

De serie bestaat uit drie delen:x Mechanica: Evenwichtx Mechanica: Spanningen, vervormingen, ver-

plaatsingenx Mechanica: Statisch onbepaalde constructies

en Bezwijkanalyse

De serie is gebaseerd op de dictaten die ontwik-keld zijn aan de faculteit CivieleTechniek (tegen-woordig CivieleTechniek en Geowetenschappen)van deTechnische Universiteit te Delft. De inhoudvan deze dictaten is het resultaat van jarenlangeervaring met het mechanicaonderwijs aan deTUDelft en het commentaar van vele collega’s in deonderwijssector en generaties studenten. Dezedictaten hebben binnen e¤ n buiten deTU Delft eengoede reputatie. Bovendien hebben vele docentenmechanica van de jongere generatie het mechani-cavak tijdens hun opleiding bestudeerd aan dehand van deze dictaten. Mede daardoor wordendeze dictaten al aan enkele HTO-opleidingen ge-bruikt.

Bij de opzet is gezocht naar een fundamenteleaanpak zonder daarbij de relatie met de bouw-praktijk te verliezen. Het grote aantal uitgewerktevoorbeelden in de tekst, alsmede de vele vraag-stukken aan het einde van ieder hoofdstuk makenvan ieder boek een belangrijk hulpmiddel bij hetbestuderen en oefenen van het vakToegepasteMechanica.

De uitgever

Woord vooraf van de auteurs

In het eerste deel van de serieMechanicawordtonder meer aangegeven hoe men in statische be-paalde staafconstructies de oplegreacties en sne-dekrachten kan berekenen uit het Evenwicht. Hettweede deel bouwt hierop verder met een onder-zoek naar het gedrag van staven en staafconstruc-ties voor wat betreft de Spanningen,Vervormingen,Verplaatsingen.

Dit derde deel is opgebouwd uit drie modulenwaarin drie min of meer op zichzelf staande on-derwerpenworden behandeld:x Module1 ^ Statische onbepaalde constructiesx Module 2 ^ Bezwijkanalysex Module 3 ^ SymmetrieDe behandeling blijft beperkt tot staafconstructiesen handberekeningsmethoden.

Module1 ^ Statisch onbepaalde constructiesVoor de berekening van de krachtsverdeling instatisch onbepaalde constructies zijn de even-wichtsbetrekkingen niet meer toereikend, maarmoet ook de vervorming van de constructie in debeschouwing worden betrokken. Deze moet hetmateriaalgedrag volgen (de constitutieve betrek-kingen) en moet verder in overeenstemming zijnmet de samenhang in de constructie en de bewe-gingsvrijheid in de opleggingen (de kinematischebetrekkingen). Bij de berekening van statisch on-bepaalde constructies worden de evenwichtsbe-trekkingen uit deel1gecombineerd met deconstitutieve en kinematische betrekkingen uitdeel 2.

Afhankelijk van de volgorde waarin de drie ge-noemde typen betrekkingen in de berekening aande orde komen kunnen drie verschillende groepenvan berekeningsmethodenworden onderschei-den:x krachtenmethodenx verplaatsingenmethodenx hybride of gemengde methoden

Woord vooraf

III

De drie methodenworden ge|« llustreerd aan dehand van voorbeelden. Bij op buiging belastestaafconstructies blijken de zogenaamde hoekver-anderingsvergelijkingen vaak een aantrekkelijkehandberekeningsmethode; voor constructies metniet-verplaatsbare knooppunten (geschoorde con-structies) is dit een krachtenmethode en voor con-structies met verplaatsbare knopen (ongeschoordeconstructies) een hybride methode.

Door slim te werk te gaan is het met de krachten-methode vaak mogelijk het rekenwerk te vereen-voudigen, wat aantrekkelijk is in het geval van eenhandberekening. De graad van statisch onbe-paaldheid is in de voorbeelden bewust laag ge-houden. Het gaat hier om het verwerven vaninzicht in het gedrag van statisch onbepaalde con-structies.

Voor complexe constructies leent zich de meer desystematische aanpak van de verplaatsingenme-thode die bij uitstek geschikt is om te programme-ren.

De opzet van de eindige elementenmethode, een opcomputertoepassingen toegesneden verplaatsin-genmethode, wordt ge|« llustreerd aan de hand vaneen op buiging belasting constructie waarvan deknooppunten alleen maar kunnen roteren.

Anders dan bij statisch bepaalde constructieswordt de krachtsverdeling in statisch onbepaaldeconstructies be|« nvloed door stijfheidsverschillen,zettingen en temperatuurinvloeden. Ook deze on-derwerpen komen aan de orde.

Verder is de stijfheid van de knoopverbindingen ineen statisch onbepaalde constructie van invloed opde krachtsverdeling.Tot nu toe werd altijd gewerktmet oneindig stijve knoopverbindingen. Aan heteinde van de module wordt aangegeven hoe mende krachtsverdeling ook kan berekenen voor eenconstructie met verende knoopverbindingen.

Module 2 ^ BezwijkanalyseIn de bezwijkanalyse neemt men aan dat de con-structie door voortschrijdende plastische vervor-mingen geleidelijk verandert in een mechanismewaardoor bezwijken optreedt. De belasting waar-bij het bezwijkmechanisme ontstaat noemtmen debezwijkbelasting. Het bereiken van de vloeispan-ning betekent in de meeste gevallen nog lang niethet bezwijken van de constructie. Dit wordt ineerste instantie ge|« llustreerd aan de hand van eenblok opgehangen aan een aantal (op extensie be-laste) draden.

Hiernawordt onderzocht hoe het plastisch gedragzich manifesteert in een op buiging belaste door-snede (alle vezels hierinworden op extensie belast).Voor een rechthoekige doorsnede wordt het ver-band tussen moment en kromming afgeleid, re-sulterend in eenmoment-kromming-diagram.Verder komen aan de orde het volplastischmomentvan de doorsnede, de vormfactorals eenmaat voorde reservesterkte (reservecapaciteit) van de door-snede direct na het bereiken van de vloeispanning,en de halveringslijn.

Vervolgens wordt van de doorsnede overgestaptnaar de ligger als een verzameling van opeenvol-gende doorsneden. Er wordt ingegaan op de ont-wikkeling van een volplastisch scharnier, hetontstaan van een bezwijkmechanisme en de her-verdeling van krachten in statisch onbepaalde lig-gers.

Voor het berekenen van de bezwijkbelasting kanmen gebruik maken van een bovengrensbenade-ring, een aanpak die bekend staat als de arbeids-methode. Bij deze methode dient men een goedinzicht te hebben in de kinematica van het be-zwijkmechanisme en de toepassing van het begin-sel van virtuele arbeid. De werkwijze wordtge|« llustreerd aan de hand van een aantal liggers,portalen en raamwerken.

Ten slotte wordt kort ingegaan op de berekeningvan de bezwijkbelasting met een ondergrensbena-

Mechanica: Statisch onbepaalde constructies en Bezwijkanalyse Woord vooraf

IV

dering, een aanpak die bekend staat als deevenwichtsmethode.

Module 3 ^ SymmetrieBij symmetrische constructies kan men de bereke-ning vaak vereenvoudigen door gebruik te makenvan symmetrie-eigenschappen. In deze moduleworden de verschillende soorten symmetrie be-noemd enworden ze ge|« llustreerd aan de hand vaneen aantal ruimtelijke en vlakke staafconstructies.

Met betrekking tot de belasting wordt het onder-scheid ingevoerd tussen een co-symmetrische be-lasting en een contra-symmetrische belasting.

Vervolgens wordt ingegaan op de symmetrie-eigenschappen van krachtsverdeling en vervor-mingstoestand in het geval van een symmetrischeconstructie met symmetrische belasting. De mo-dule sluit af met een aantal voorbeeldenwaarbijvoor het berekenen van de constructie gebruik ge-maakt wordt van symmetrie-eigenschappen. Devoorbeelden blijven beperkt tot in hun vlak belastevlakke staafconstructies.

De tekst wordt in alle drie de modulen onder-steund door een zeer groot aantal figuren en is zoopgeschreven dat studenten zich de lesstof inprincipe zelfstandig eigen kunnen maken.Het boek zal echter nooit de docent kunnen ver-vangen. In het onderwijsproces is de docent eenonmisbare katalysator. Door de docent kan hetproces, gericht op het verwerven van kennis, in-zicht en vaardigheid, in belangrijke mate wordenversneld. Zo zou de docent aan de hand van de fi-guren uit het boek het verhaal in grote lijnen kun-nen vertellen, waarna de student een en ander nogeens zelf kan nalezen ^ en dan blijkt dat vaak veelgemakkelijker en sneller te gaan dan men in eersteinstantie zou verwachten. Maar ook andere werk-wijzen zijn denkbaar.

Ondanks de hiervoor beschreven enwelbewustgekozen opbouw van het boek zijn er voldoendemogelijkheden om zonder problemen bepaaldedelen over te slaan als het onderwijsprogrammadaar om vraagt of als de docent dat wenselijk acht.Daarnaast biedt het grote aantal vraagstukken dedocent de gelegenheid een eigen aanvullende on-derwijsstrategie te ontwikkelen.

Onder de vraagstukken bevinden zich kleine op-gaven die zich bij uitstek lenen voor oefening ingroepsverband, tijdens de les. De grotere vraag-stukken, meestal opgesplitst in deelvragen, zijneerder bedoeld als opdrachten die individueel of inkleine groepjes moetenworden uitgevoerd. Sa-menwerking tussen de studenten dient daarbij teworden aangemoedigd: het aan elkaar vertellenwat je niet begrijpt is net zo leerzaam als het aanelkaar vertellenwat jewel begrijpt. Bovendienwordt de student zo uitgedaagd zelf te ontdekkendat er vaakmeerderewegen kunnen zijn die tot hetgevraagde resultaat leiden.Een beter inzicht en grotere vaardigheid zijn alleente bereiken door veel en regelmatig te oefenen.Voor een goede afstemming en dosering is ookhier weer de hand van de meester nodig: de do-cent.

Onze dank gaat uit naar Prof. ir. D. Dicke voor hetbeschikbaar stellen van een vraagstukkenverzame-ling waar wij vrijmoedig gebruik van hebben ge-maakt, en naar onze collega’s ir. CharlesVrijman endr. ir. Harm Askes.

Nootdorp / herfst 2004 C. HartsuijkerDen Hoorn J.W.Welleman

Woord vooraf

V

Inhoud

Module1 - Statisch onbepaalde constructies

1 Inleiding 1

2 Krachtenmethode 72.1 Opzet van de berekening 72.2 Voorbeelden van de krachtenmethode 82.3 Vraagstukken 43

3 Hoekveranderingsvergelijkingen 553.1 Hoekveranderingsvergelijkingen voor con-

structies met niet-verplaatsbare knoop-punten 57

3.2 Kinematica van een mechanisme en virtuelearbeid 74

3.3 Hoekveranderingsvergelijkingen voor con-structies met verplaatsbare knoop-punten 83

3.4 Vraagstukken 101

4 Verplaatsingenmethode 1174.1 Opzet van de berekening 1174.2 De differentiaalvergelijking 1184.3 Voorbeelden van de verplaatsingen-

methode 1204.4 Berekening van een paalfundering 1314.5 Vraagstukken 140

5 Eindige-elementenmethode 1535.1 Notaties en tekenafspraken 1545.2 Opzet van de berekening 1565.3 Elementstijfheidsmatrix 1585.4 Systeemstijfheidsmatrix 1615.5 Oplossingsfase 1655.6 Voorgeschreven verplaatsingen 1715.7 Elementbelastingen 1775.8 Vraagstukken 185

6 Steunpuntszettingen en temperatuur-invloeden 191

6.1 Steunpuntszettingen 1926.2 Temperatuurinvloeden 2026.3 Vraagstukken 218

7 Invloed van stijfheidsverschillen 2297.1 Stijfheidsverschillen binnen een staaf 2317.2 Stijfheidsverschillen tussen staven 237

8 Verende verbindingen 2478.1 De hoekveranderingsvergelijking in een

verende verbinding 2478.2 Statisch bepaalde constructies 2498.3 Statisch onbepaalde constructies 254

Module 2 - Bezwijkanalyse

1 Inleiding 2611.1 Materiaalgedrag 2611.2 Beoordeling constructiegedrag 2621.3 Bezwijkanalyse 2621.4 Toepasbaarheid 263

2 Elastisch of plastisch rekenen ^ blok opge-hangen aan draden 265

2.1 Blok opgehangen aan draden; algemenegegevens 265

2.2 Blok opgehangen aan twee draden 2662.3 Blok opgehangen aan drie draden 2672.4 Een veilige ophanging 2702.5 Voorlopige conclusies 2712.6 Vraagstukken 272

Inhoud

VII

3 Elasto-plastisch gedrag van een op buigingbelaste doorsnede 275

3.1 Betrekking tussen buigend moment enkromming 275

3.2 Berekening vormfactor 2823.3 Halveringslijn 2903.4 Vraagstukken 294

4 Elasto-plastisch gedrag van een ligger 2974.1 Ontwikkeling van een volplastisch

scharnier 2974.2 Herverdeling van krachten 301

5 Bezwijkbelasting van een ligger ^ boven-grensbenadering 313

5.1 Aanpak op basis van het bezwijk-mechanisme 313

5.2 De bezwijkbelasting berekend metevenwichtsvergelijkingen 316

5.3 De bezwijkbelasting berekend met virtuelearbeid 320

5.4 Vraagstukken 328

6 Bezwijkanalyse van raamwerken - boven-grensbenadering 331

6.1 Uitgewerkte rekenvoorbeelden 3326.2 Elementaire bezwijkmechanismen 3526.3 Vraagstukken 355

7 De evenwichtsmethode ^ een ondergrens-benadering 365

7.1 Spelen met momentenlijnen 3667.2 Vraagstukken 371

Module 3 - Symmetrie

1 Inleiding 375

2 Symmetrische constructies 377

3 Symmetrische belastingen 383

4 Invloed van de symmetrie op krachtsverdelingen vervormingstoestand 385

5 Toepassingen 387

6 Vraagstukken 399

Formules 405

Trefwoordenregister 411

Mechanica: Statisch onbepaalde constructies en Bezwijkanalyse Inhoud

VIII

Module1 ^ Statisch onbepaalde constructies

Inleiding 1

Bij statisch bepaalde constructies kan de krachts-verdeling1direct uit het evenwicht worden afge-leid, zie figuur1.1.

Bij statisch onbepaalde constructies is dat n|¤ etmogelijk: de evenwichtsvergelijkingen zijn nietmeer toereikend om alle onbekende oplegreactiesen snedekrachten te kunnen berekenen, zie figuur1.2. Het aantal onbekenden blijkt groter dan hetbeschikbare aantal evenwichtsvergelijkingen. Indat geval zijn er oneindig veel oplossingen(krachtsverdelingen) die voldoen aan het even-wicht. De oplossing is nu niet eenduidig, maaronbepaald.

Om bij statisch onbepaalde constructies uit te vin-denwelke van al deze krachtsverdelingen de juisteis moet ook de vervorming van de constructie in debeschouwing worden betrokken.

De vervorming moet uiteraard hetmateriaalge-drag volgen (constitutieve voorwaarden) en verdermoet de vervorming in overeenstemming zijn metde samenhang in de constructie en de bewegings-vrijheid in de opleggingen (kinematische voor-waarden).

Figuur 1.1 Statisch bepaalde constructies: (a) vrij opgelegde ligger en (b) driescharnierenspant. Oplegreacties enkrachtsverdeling kunnen rechtstreeks uit het evenwicht worden gevonden en zijn onafhankelijk van de stijfheidsver-houdingen.

1 Onder krachtsverdeling wordt verstaan het totaal aan oplegreacties en snedekrachten, of anders gezegd, de verza-meling van afhankelijk veranderlijke krachtengrootheden.

Hoofdstuk1 Inleiding

1

Om de juiste krachtsverdeling bij statisch onbe-paalde constructies te kunnen vinden zijn er naasthet evenwicht dus extra voorwaardenwaaraanmoet worden voldaan.Voor het berekenen van dekrachtsverdeling in statisch onbepaalde construc-ties staan dan ook de volgende drie typen betrek-kingen1 ter beschikking:a. de statische betrekkingen; zij geven betrek-

kingen tussen krachtengrootheden;b. de constitutieve betrekkingen; zij zijn afge-

leid uit het materiaalgedrag, gegeven doorde spanning-rek-relaties, en geven betrek-kingen tussen krachten- en vervormings-grootheden;

c. de kinematische betrekkingen; zij geven be-trekkingen tussen vervormings- en ver-plaatsingsgrootheden.

Ter illustratie zijn de drie basisbetrekkingen in fi-guur1.3 in schema gebracht voor een op buigingen extensie belaste ligger.

Figuur 1.2 Statische onbepaalde constructies: (a) over drie steunpunten doorgaande ligger en (b) tweescharnieren-spant.Voor het berekenen van de oplegreacties en snedekrachten zijn de evenwichtsvergelijkingen niet meer toerei-kend. Ook de vervorming van de constructie moet in de beschouwing worden betrokken. De krachtsverdeling wordtbe|« nvloed door de stijfheidsverhoudingen.

Figuur 1.3 (a) Verdeelde belastingen op een elementjeuit een op buiging en extensie belaste ligger.(b) Schematische weergave van het verband tussen be-lasting en verplaatsing in het geval van buiging met ex-tensie. Om dit verband te kunnen leggen moet men overalle drie typen basisbetrekkingen beschikken: de stati-sche betrekkingen, constitutieve betrekkingen en kine-matische betrekkingen.

1 Eerder werden deze drie typen vergelijkingen in de vormvan differentiaalbetrekkingen afgeleid voor een op buigingen extensie belaste staaf. ZieTOEGEPASTE MECHANICA - deel 2, paragraaf 4.3.

Mechanica: Statisch onbepaalde constructies en Bezwijkanalyse Module1

2

ad a.Tot de categorie van statische betrekkingen beho-ren onder meer:x de formules voor het evenwicht van construc-

ties of onderdelen daarvan;x het beginsel van actie en reactie;x de formules voor de snedekrachten gedefini-

eerd als de spanningsresultanten in een door-snede;

x de relaties tussen statisch equivalente krach-tensystemen.

De statische betrekkingen leggen dus een verbandtussen krachtengrootheden onderling, waartoeworden gerekend verdeelde en geconcentreerdekrachten, koppels en spanningen.

ad b.De constitutieve betrekkingen geven het materi-aalgedrag weer, meestal als een verband tussenspanningen en rekken. De beschouwing blijft hierbeperkt tot een materiaal dat zich lineair elastischgedraagt en dewet van Hooke volgt, die in zijneenvoudigste vorm luidt:

� ¼ E

Meer generaliserend mag men voor een op exten-sie en buiging belaste staaf het verband tussensnedekrachten en vervormingsgrootheden ookeen constitutieve betrekking noemen, zoals:

N ¼ EA

M ¼ EI

Algemeen kan men dan ook stellen dat de consti-tutieve betrekkingen op grond van het materiaal-gedrag een verband leggen tussen krachtengroot-heden en vervormingsgrootheden.

ad c.De kinematische betrekkingen leggen een verbandtussen verplaatsingen, rotaties, rekken, krommin-gen, enz. Hiertoe behoren onder meer:x de formules voor rek en kromming, uitgedrukt

in verplaatsingen en rotaties;x de vormveranderings- of aansluitvoorwaarden,

waarmee aan de vervormingen en verplaatsin-gen eisenworden gesteld met betrekking tot desamenhang in de constructie (compatibiliteit)en de bewegingsvrijheid in de opleggingen.

Kort samengevat: de kinematische betrekkingenleggen een verband tussen vervormingsgroothe-den en verplaatsingsgrootheden.

De krachtsverdeling in een statisch bepaalde con-structie is onafhankelijk van de constitutieve enkinematische betrekkingen en dus onafhankelijkvan het materiaalgedrag.Voor de berekening vande krachtsverdeling in statisch bepaalde construc-ties zijn alleen de evenwichtsvergelijkingen nodig.De constitutieve en kinematische vergelijkingenworden alleen gebruikt om, als men daarin is ge-|« nteresseerd, de vervormingen en verplaatsingente berekenen.

Voor de berekening van de krachtsverdeling instatisch onbepaalde constructies zijn alle drie ge-noemde typen vergelijkingen nodig.

De verschillende berekeningsmethoden voor sta-tisch onbepaalde constructies zijn globaal te ru-briceren in drie groepen:x krachtenmethoden (flexibiliteitsmethoden)x verplaatsingenmethoden (stijfheidsmethoden)x gemengde methoden (hybride methoden)

r

r

x


3

Een karakteristiekverschil tussen de krachten- enverplaatsingenmethode komt tot uiting in de volg-ordewaarin de drie typenvergelijkingena t/mcaande orde komen in de berekeningsprocedure, zie hetschema in figuur1.4.Bij de krachtenmethode is de volgorde: a! b! c.Bij de verplaatsingenmethode is de volgorde om-gekeerd: c! b! a.

De namen krachtenmethode en verplaatsingenme-thode zijn ontleend aan de aard van de fundamen-tele onbekenden die in de eindvergelijkingenmoetenworden opgelost: dat zijn krachtengroot-heden in het geval van de krachtenmethode enverplaatsingsgrootheden in het geval van de ver-plaatsingenmethode.

Als de constructie zich lineair gedraagt1 zijn deeindvergelijkingen lineair en kan gebruik wordengemaakt van het beginsel van superpositie. Bij dekrachtenmethode kunnen de invloeden van belas-

ting en te berekenen krachtengrootheden op elkaarworden gesuperponeerd en bij de verplaatsingen-methode de invloeden van de verplaatsingen.

Hoewel de beginselen van beide methoden reedslang bekend zijn is met de ontwikkeling van com-puterprogramma’s de doorbraak van een formeelonderscheid tussen de krachten- en verplaatsin-genmethode ontstaan.

De groep van gemengde of hybride methodencombineert elementen uit de krachten- en ver-plaatsingenmethode. Bij een gemengde methodeheeft men in de eindvergelijkingen zowel krach-tengrootheden als verplaatsingsgrootheden alsonbekenden.De gemengde methoden zijn ontstaan uit de be-hoefte om in een handberekening het aantal op telossen vergelijkingen te beperken, al dan niet ge-combineerd met een zekere systematiek voor be-paalde typen van constructies.

De strategie bij het berekenen van een statisch on-bepaalde constructie wordt in sterke mate bepaalddoor de manier waarop de berekening wordt uit-gevoerd: met de hand of met behulp van een com-puter.Bij handberekeningen is het vooral van belang datde hoeveelheid rekenwerk beperkt blijft. Bij com-putergeorie« nteerde berekeningsmethoden bestaatde voorkeur voor een systematische en algemeengeldende aanpak.

Aan de hand van een aantal uitgewerkte voorbeel-denwordt in hoofdstuk 2 de aanpak volgens dekrachtenmethode toegelicht. Om de krachten-methode handig toe te passen is inzicht nodig. Dekrachtenmethode heeft in het algemeen niet desystematiek die nodig is om er een computerge-orie« nteerde berekeningsmethode van te maken enis daarom een echte handberekeningsmethode.

Figuur 1.4 De drie typen vergelijkingen, nodig voor deberekening van de krachtsverdeling in statisch onbe-paalde constructies, en de volgorde waarin zij wordentoegepast bij respectievelijk de verplaatsingen- enkrachtenmethode.

1 Dit is het geval als hetmateriaal lineair elastisch is (fysisch lineair constructiegedrag) en bovendien de invloed van devervorming op de geometrie van de constructie zo gering is dat het evenwicht op de onvervormde constructie magworden betrokken (geometrisch lineair constructiegedrag).


4

In hoofdstuk 3 wordt met de hoekveranderings-vergelijkingen een systematische aanpak gepresen-teerd voor het berekenen van op buiging belastestatisch onbepaalde staafconstructies, zoals door-gaande liggers, portalen en raamwerken.De methode met hoekveranderingsvergelijkingenis voor constructies met verplaatsbare knooppun-ten een gemengde methode.Voor constructies metniet-verplaatsbare knooppunten is het een krach-tenmethode. Daarom is er voor gekozen de me-thode met hoekveranderingsvergelijkingen directna de krachtenmethode te behandelen.

Vervolgens wordt in hoofdstuk 4 aan de hand vaneen aantal voorbeelden de aanpak volgens de ver-plaatsingenmethode toegelicht.

De verplaatsingenmethode blijkt een methode diezich goed leent voor een systematische aanpak enis daarom geschikt om te programmeren voor een

groot aantal constructietypen. Zo is de eindige-elementenmethode ontstaan als een computerge-orie« nteerde berekeningsmethode, gebaseerd op desystematiek van de verplaatsingenmethode. Inhoofdstuk 5wordt de gedachtegang bij de eindige-elementenmethode uiteengezet. Dit gebeurt aande hand van een educatieve constructie opge-bouwd uit elementen die bestaan uit op buigingbelaste stavenwaarvan de uiteinden (knooppun-ten) wel kunnen roteren, maar niet kunnen ver-plaatsen.

Ten slotte wordt nog ingegaan op een aantal as-pecten die in het bijzonder bij statisch onbepaaldeconstructies een rol spelen. Aan de orde komensteunpuntszettingen en temperatuurinvloeden inhoofdstuk 6, de invloed van stijfheidsverschillenin hoofdstuk 7 en van verende verbindingen inhoofdstuk 8.


5

Module1 ^ Statisch onbepaalde constructies

Krachtenmethode 2

Na een beknopte uitleg van de aanpak volgens dekrachtenmethode in paragraaf 2.1volgen in para-graaf 2.2 enkele uitgewerkte rekenvoorbeelden.Het hoofdstukwordt afgesloten met een aantalvraagstukken in paragraaf 2.3.

2.1 Opzet van de berekening

Het principe bij de krachtenmethode is dat de sta-tisch onbepaalde constructie wordt veranderd ineen statisch bepaalde constructie onder toevoe-ging van een aantal krachtenwaarmee men dekrachtsverdeling in de oorspronkelijke constructiekan simuleren.

De statisch bepaald gemaakte constructie noemtmenwel het statisch bepaalde hoofdsysteem. Dekrachten die worden toegevoegd om de krachts-verdeling in de oorspronkelijke constructie tekunnen simuleren noemt men de statisch onbe-paalden. De grootte van deze krachten is voorals-nog onbekend.

De juiste krachtsverdeling is die waarbij de ver-vorming van het statisch bepaalde hoofdsysteemgelijk is aan vervorming van de (oorspronkelijke)statisch onbepaalde constructie. Dit leidt tot eenaantal eisen ten aanzien van de verplaatsingen en/of rotaties, die men vormveranderingsvoorwaar-den of aansluitvoorwaarden noemt. Er blijken al-

tijd evenveel vormveranderingsvoorwaarden alsstatisch onbepaalden te zijn.

Uit de vormveranderingsvoorwaarden kan men degrootte en richting van de statisch onbepaaldenberekenen.

Door superpositie van de krachtsverdelingen inhet statisch bepaalde hoofdsysteem tengevolge vanrespectievelijk de belasting en de statisch onbe-paalden vindt men tenslotte de gezochte dekrachtsverdeling in de statisch onbepaalde con-structie.

Opmerkingen:x Bij de krachtenmethode wordt eerst het even-

wicht op het statisch bepaalde hoofdsysteemtoegepast, vervolgens worden met de constitu-tieve vergelijkingen de vervormingen bere-kend, en tenslotte worden de aansluitvoor-waarden voor de verplaatsingen opgesteld. Devolgorde waarin de verschillende typen verge-lijkingen aan de orde komen is overeenkomstighet schema in figuur1.4.

x Bij het uitwerken van de vormveranderings- ofaansluitvoorwaarden moeten verplaatsingenen rotaties worden berekend, waarvoor menvaak gebruik kan maken van vergeet-mij-niet-jes1ofmomentenvlakstellingen2. Met de toe-passing hiervan dient men vertrouwd te zijn.

1 ZieTOEGEPASTE MECHANICA - deel 2, paragraaf 8.3.2 ZieTOEGEPASTE MECHANICA - deel 2, paragraaf 8.4.

Hoofdstuk 2 Krachtenmethode

7

x Het aantal vormveranderings- of aansluitvoor-waarden is gelijk aan het aantal statisch onbe-paalden.

x Bij de krachtenmethode is het van belang voor-af de graad van statisch onbepaaldheid te ken-nen. In een deel van de voorbeelden is deberekening van de graad van statische onbe-paaldheid opgenomen in de uitwerking. Inandere voorbeeldenwordt de berekening aande lezer overgelaten1.

x Er bestaat een grote vrijheid in de manierwaarop men een statisch onbepaalde construc-tie statisch bepaald kan maken. Dit betekentdat een berekening met de krachtenmethodeop meerdere manieren kanworden gereali-seerd. In het geval van een handberekening ishet gewenst de manier te kiezen die rekentech-nisch de minste inspanning vergt. Hiervoor isinzicht nodig, mede te verkrijgen door vol-doende oefening.

2.2 Voorbeelden van de krachtenmethode

De krachtenmethode wordt hierna ge|« llustreerdaan de hand van tien voorbeelden. De eerste zevenhebben betrekking op buiging en de laatste drie opextensie. Aan de orde komen onder meer de keuzevan een handig statisch bepaald hoofdsysteem enhet formuleren en uitwerken van de bijbehorendevormveranderings- of aansluitvoorwaarden.

De voorbeelden1, 2 en 7 kan men zien als een in-troductie tot de hoekveranderingsvergelijkingen,waarop in hoofdstuk 3 uitvoerig wordt terugge-komen.

Uit de voorbeelden 3, 4 en 8 blijkt dat de krachts-verdeling in een statisch onbepaalde constructieafhankelijk is van de stijfheidsverhoudingen.Op de invloed van de stijfheidsverhoudingenwordt teruggekomen in hoofdstuk 7.

2.2.1 Voorbeeld1 ^ Statisch onbepaalde liggerLigger AB in figuur 2.1heeft een lengte ‘ en buig-stijfheid EI.De ligger is ingeklemd in A en opge-legd op een rol in B en draagt een gelijkmatigverdeelde volbelasting q.

Gevraagd:a. De oplegreacties in A en B.b. De momenten- en dwarskrachtenlijn.

Uitwerking2:De ligger heeft vier oplegreacties, zie figuur 2.1b,terwijl er maar drie evenwichtsvergelijkingen be-schikbaar zijn. De ligger is dus enkelvoudig sta-tisch onbepaald. Uit het horizontaal krachten-evenwicht vindt menweliswaarAh ¼ 0, maar metde resterende twee evenwichtsvergelijkingen is hetonmogelijk de andere drie oplegreacties te bere-kenen.

Figuur 2.1 (a) Een statisch onbepaalde ligger. (b) Deligger heeft vier oplegreacties. Er zijn maar drie even-wichtsvergelijkingen beschikbaar. De ligger is dus en-kelvoudig statisch onbepaald.

1 Zie voor het berekenen van de graad van statisch onbepaaldheid:TOEGEPASTE MECHANICA - deel1, paragraaf 4.5.2 De krachtsverdeling in deze ligger (maar dan gespiegeld) werd eerder met behulp van de differentiaalvergelijking

voor buiging berekend, zieTOEGEPASTE MECHANICA - deel 2, paragraaf 8.4, voorbeeld 3. De oplossing met de diffe-rentiaalvergelijking volgt de strategie van de verplaatsingenmethode. In paragraaf 4.2 wordt hierop nog terugge-komen.


8

Om de krachtsverdeling te berekenenwordt eersteen statisch bepaald hoofdsysteem gekozen. Daar-toe moet men de ligger zo veranderen dat dezestatisch bepaald wordt. Dit kan op meerdere ma-nieren gebeuren. In figuur 2.2a is dat gerealiseerd

door de inklemming in A te vervangen door eenscharnieroplegging. Het onbekende inklem-mingsmomentAm is nu verdwenen.

Ommet de statisch bepaalde ligger in figuur 2.2atoch de krachtsverdeling in de oorspronkelijkestatisch onbepaalde ligger in figuur 2.1 te kunnensimulerenwordt het weggenomen inklemmings-momentAm als een belasting ingevoerd, zie figuur2.2b. De richting van Am kan men vrij kiezen.HetonbekendemomentAm ter vervanging van hetinklemmingsmoment noemt men de statisch on-bepaalde.

De statisch bepaalde ligger kan in Avrij roterenonder invloed van de belasting q en het onbekendemomentAm, zie figuur 2.2c. De oorspronkelijkeligger in figuur 2.1a is in A ingeklemd en kandaarom in A niet roteren. Het onbekende inklem-mingsmomentAm moet blijkbaar zo groot zijn datde totale rotatie in Atengevolge van q enAm samennul is. Dit leidt tot de voorwaarde uA ¼ 0. Metdeze vormveranderingsvoorwaarde of aansluit-voorwaarde kan men de statisch onbepaaldeAm

berekenen.

Bij de in figuur 2.2b aangenomen richting vanAm,enwerkend in het aangegeven x-z-assenstelsel,vindt men met behulp van vergeet-mij-nietjes1:

uA ¼ �q‘3

24EIþ Am‘

3EI¼ 0 ) Am ¼

18q‘2

Figuur 2.2 (a) Keuze van de vrij opgelegde ligger als sta-tisch bepaald hoofdsysteem. (b)Het onbekendemomentAm vervangt het weggenomen inklemmingsmoment ennoemt men de statisch onbepaalde. (c)Am kan men be-rekenen uit de vormveranderings- of aansluitvoor-waarde dat de rotatie uA in A ten gevolge van q en Am

samen nul is.

1 ZieTOEGEPASTE MECHANICA - deel 2, tabel 8.4.


9

De berekening van de krachtsverdeling in de sta-tisch onbepaalde ligger is hiermee teruggebrachttot het berekenen van de vrij opgelegde ligger infiguur 2.3a, belast door een gelijkmatig verdeeldebelasting q en een koppelAm ¼ 1

8 q‘2 in ligger-

einde A. De oplegreacties van de statisch onbe-paalde ligger en de momenten- en dwarskrachten-lijn kanmen vinden door de invloeden van q enAm

op elkaar superponeren. Het resultaat is gegevenin figuur 2.3b t/m 2.3d.

Opmerkingen:x Men is vrij in de keuze van de richting van de

statisch onbepaalde.Vindt men in het eindre-

sultaat een positieve waarde danwerd de rich-ting goed gekozen, vindt men een negatievewaarde danwerkt de statisch onbepaalde te-gengesteld aan de aangenomen richting. In ditvoorbeeldwerd voorAm dus de juiste richtinggekozen.

x Soms kan men de richting van de statisch on-bepaalde vooraf vaststellen doorde vervormingvan het statisch bepaalde hoofdsysteem te ver-gelijken met die van de oorspronkelijke con-structie. In het statisch bepaalde hoofdsysteemin figuur 2.4a zal het liggereinde in A rechtsomdraaien ten gevolge van de verdeelde belastingq. Omdat einde A inwerkelijkheid door de in-klemming wordt belet te verdraaien, zie figuur2.4b, zal het inklemmingsmomentAm deze ro-tatie willen tegengaan en dus linksom moetenwerken.

x Omvergissingen te voorkomen is het verstan-dig vooraf duidelijk aan te geven inwelke rich-ting de rotaties u positief zijn, bijvoorbeelddoor te werken in een assenstelsel.

x Merkop dat de oplegreacties en snedekrachtenonafhankelijk zijn van de buigstijfheid EI. Ver-andert men de buigstijfheid dan heeft dat geeninvloed op de krachtsverdeling, maar ^ let op!^ wel op de verplaatsingen.

Figuur 2.3 (a) De berekening van de krachtsverdeling ineen statisch onbepaalde ligger is nu teruggebracht tot dievan een statisch bepaalde ligger. (b) Oplegreacties, (c)momentenlijn en (d) dwarskrachtenlijn.

Figuur 2.4 Soms is de richting van de statisch onbe-paalde vooraf te voorspellen door naar de vervormingvan het statisch bepaalde hoofdsysteem te kijken. (a) Hetliggereinde in A zal onder invloed van de verdeelde be-lasting q rechtsom draaien. (b) Inwerkelijkheid belet deinklemming deze rotatie. Het inklemmingsmoment Am

zal dus linksommoetenwerken.


10

Variantuitwerking:Er zijn vele mogelijkheden om de ligger statischbepaald te maken. Zo kan men de ligger ook sta-tisch bepaald maken door de roloplegging in B endaarmee de verticale oplegreactie Bv wegnemen,zie het statisch bepaalde hoofdsysteem in figuur2.5b. Uiteinde B kan nu verticaal verplaatsen.

Om de krachtsverdeling in de statisch onbepaaldeconstructie te simuleren zet men de statisch onbe-paaldeBv als een belasting op het statisch bepaaldehoofdsysteem, zie figuur 2.5c. Uit de vervormingvan het statisch bepaalde hoofdsysteem in figuur2.5b mag men verwachten dat Bv omhoog werkt.Daarom is voor deze richting gekozen.

De vormveranderings- of aansluitvoorwaarde be-staat nu uit de eis dat de verticale verplaatsing in Btengevolge van q en Bv samen nul moet zijn:wB ¼ 0.Met vergeet-mij-nietjes vindt men:

wB ¼ þq‘4

8EI� Bv‘

3

3EI¼ 0 ) Bv ¼

38q‘

De berekening van krachtsverdeling in de statischonbepaalde ligger is nu teruggebracht tot het be-rekenen van de uitkragende ligger in figuur 2.5c,met een gelijkmatig verdeelde volbelasting q eneen puntlast Bv ¼ 3

8 q‘ in het vrije einde B. Zoalsaangegeven in de figuren 2.5d en 2.5e leidt dit totdezelfde momenten- en dwarskrachtenlijn als eer-der werd gevonden in figuur 2.3.

Opmerking:Bij de krachtenmethode is er veel vrijheid in dekeuze van het statisch bepaalde hoofdsysteem ende statisch onbepaalden.Het vergt enig inzicht omeen zodanige keuze te maken dat de hoeveelheidrekenwerk beperkt blijft, wat duidelijk gewenst isin het geval van een handberekening.

Figuur 2.5 (a) Statisch onbepaalde ligger met (b) alsstatisch bepaald hoofdsysteem de in A ingeklemde lig-ger. (c) De statisch onbepaalde is hier de verticale opleg-reactie Bv in B. Deze is te berekenen uit de aansluit-voorwaarde dat in B de zakkingwB nul is. Door super-positie van de krachtsverdeling ten gevolge van q en Bv

vindt men vervolgens (d) de momenten-lijn en (e) dedwarskrachtenlijn.


11

Een voorbeeld van eenwatminder handig gekozenstatisch bepaald hoofdsysteem toont figuur 2.6b,met een scharnier in C. De statisch onbepaalde ishier hetmomentenpaar1MC, ter vervanging vanhet weggenomen buigend moment in C.

In het statisch bepaalde hoofdsysteem kunnen deliggereinden van AC en BC in scharnier C vrij ten

opzichte van elkaar verdraaien, waardoor de elas-tische lijn in C een knik (of gaping) auC kan ver-tonen, zie figuur 2.6c. In werkelijkheid zit er in Cgeen scharnier en moeten de rotaties links enrechts van C aan elkaar gelijk zijn, zie figuur 2.6d.Dit leidt tot de aansluitvoorwaarde uAC

C ¼ uBCC . In

deze vorm noemt men de aansluitvoorwaarde eenhoekveranderingsvergelijking2.

Omdat C ook nog verticaal kan verplaatsen is hetberekenen van de rotaties uAC

C en uBCC in dit geval

nogal bewerkelijk en heeft deze keuze van het sta-tisch bepaalde hoofdsysteem niet de voorkeur.

2.2.2 Voorbeeld 2 ^ Over vier steunpuntendoorgaande ligger

Figuur 2.7 toont de over vier steunpunten door-gaande prismatische ligger ABCDmet buigstijf-heid EI. De drie velden hebben dezelfde lengte‘ ¼ 4 m. Op ABCwerkt een gelijkmatig verdeeldebelasting q ¼ 15 kN=m.

Gevraagd:De momenten- en dwarskrachtenlijn en de verti-cale oplegreacties.

Figuur 2.6 (a) Statisch onbepaalde ligger met (b) eenonhandig gekozen statisch bepaald hoofdsysteem. Destatisch onbepaalde is hier het buigend momentMC inC. Deze is te berekenen uit de voorwaarde dat (c) de ga-ping auC in C nul moet zijn. (d) Dat leidt tot de hoek-veranderingsvergelijking uAC

C ¼ uBCC . Omdat C ook nog

verticaal kan verplaatsen is het berekenen van deze rota-ties bewerkelijk.

Figuur 2.7 Over vier steunpunten doorgaande prisma-tische ligger met buigstijfheid EI. De ligger is 5-voudigstatisch onbepaald. Betrokken op het geval van buigingis de ligger 2-voudig statisch onbepaald. In het statischbepaalde hoofdsysteem krijgt men dus te maken mettwee statisch onbepaalden.

1 Het buigend moment is een snedekracht (interactiekracht, verbindingskracht). Snedekrachten treden altijd in pa-ren op.Vandaar dat het buigend moment als statisch onbepaalde een momentenpaar is. Zie ookTOEGEPASTE ME-

CHANICA - deel1, paragraaf10.1.1.2 Soms ziet men de aansluitvoorwaarde gepresenteerd in de vorm dat de gaping auC in scharnier C nul moet zijn.

Onder gaping verstaat men het verschil in rotatie van de doorsneden (liggereinden) aanweerszijden van hetscharnier. In de formulering auC ¼ 0 noemt men de aansluitvoorwaarde een gaapvergelijking.


12

Uitwerking:Alle opleggingen zijn scharnieropleggingen metper oplegging twee oplegreacties. In totaal leidtdat tot r ¼ 4� 2 ¼ 8 onbekende oplegreacties.Voor de ligger in zijn geheel staan e ¼ 3 even-wichtsvergelijkingen ter beschikking.Voor degraad van statisch onbepaaldheid1geldt dus:n ¼ r � e ¼ 8� 3 ¼ 5.

Bij een rechte ligger kan men de gevallen van bui-ging en extensie gescheiden behandelen.Bekijkt men alleen het geval van extensie, dan be-schikt men over e¤ e¤ n evenwichtsvergelijking (hethorizontaal krachtenevenwicht) en vier onbeken-de horizontale oplegreacties. Betrokken op hetgeval van extensie geldt dus nextensie ¼ 4� 1 ¼ 3en is de ligger drievoudig statisch onbepaald.Beperkt men zich tot het geval van buiging, danzijn er twee evenwichtsvergelijkingen (het verti-caal krachtenevenwicht en het momenteneven-wicht) en vier onbekende verticale oplegreacties.

Betrokken op het geval van buiging geldtnbuiging ¼ 4� 2 ¼ 2 en is de ligger tweevoudigstatisch onbepaald.

Voor het berekenen van de krachtsverdeling in hetgeval van buiging moet men dus zoeken naar eenstatisch bepaald hoofdsysteem met twee statischonbepaalden. In figuur 2.8 zijn een drietal moge-lijkheden aangegeven.

In figuur 2.8a zijn de opleggingen in B en C weg-genomen. De verticale oplegreacties Bv en Cv zijnde statisch onbepaalden. In de werkelijke con-structie is de verticale verplaatsing in zowel B als Cnul. Dit leidt tot de volgende twee aansluitvoor-waarden (evenveel als er statisch onbepaaldenzijn):

wB ¼ 0 en wC ¼ 0

Het berekenen van de verplaatsingenwB enwC

tengevolge van q, Bv en Cv is echter behoorlijk be-werkelijk.

Figuur 2.8 Drie mogelijke keuzen voor een statisch bepaald hoofdsysteem. Statisch bepaald hoofdsysteem (c) heefthet voordeel dat deze bestaat uit drie liggers die onafhankelijk van elkaar kunnen vervormen.

1 ZieTOEGEPASTE MECHANICA - deel1, paragraaf 4.5.3.


13

Een ander statisch bepaald hoofdsysteem is dat infiguur 2.8b, met de verticale oplegreactiesAv enDv als statisch onbepaalden. De aansluitvoor-waarden volgen uit de eis dat de verticale ver-plaatsingen in A en D nul moeten zijn:

wA ¼ 0 en wD ¼ 0

Dit statisch bepaalde hoofdsysteemwerkt heelwathandiger omdat men voor het berekenen van deverplaatsingen in A en D gebruik kan maken vanbekende vergeet-mij-nietjes, zij het dat de bereke-ning nog steeds bewerkelijk is in verband met deoptredende kwispeleffecten over AB en CD1.

In figuur 2.8c is het statisch bepaalde hoofdsys-teem verkregen door ter plaatse van de opleggin-gen B en C scharnieren in de doorgaande liggeraan te brengen. De steunpuntsmomenten MB enMC (momentenparen) in respectievelijk B en Czijn nu de statisch onbepaalden. In feite bestaat hetstatisch bepaalde hoofdsysteem uit de drie afzon-derlijke liggers AB, BC en CD, die onafhankelijkvan elkaar kunnen vervormen, zie figuur 2.9a, enwaarvan men de rotaties in B en C eenvoudig kanberekenen met vergeet-mij-nietjes2. Daarom blijkt

deze keuze van het statisch bepaalde hoofdsysteemverreweg het snelste te werken.

Opmerkingen:x De richting van de statisch onbepaaldenMB en

MC mag men vrij kiezen.Wel dient men te be-denken datMB enMC buigende momenten(interactiekrachten) zijn en dus optreden alsmomentenparen die voldoen aan het beginselvan actie en reactie.

x Het is gebruikelijk de berekening uit te voerenaan de hand van de voorstelling in figuur 2.9b,zonder de liggerdelen volkomen los van elkaarte tekenen.

x In figuur 2.9 zijn de nog onbekende rotaties uin B en C overeenkomstig hun positieve rich-tingen getekend3.

De aansluitvoorwaarden volgen uit de eis dat deligger ter plaatse van de in B en C aangebrachtescharnieren geen knikken (gapingen) mag verto-nen. De rotaties links en rechts van B moeten dusaan elkaar gelijk zijn.Hetzelfde geldt inD.De tweeaansluitvoorwaarden of hoekveranderingsvergelij-kingen zijn, zie figuur 2.9:

Figuur 2.8 (vervolg) Statisch bepaald hoofdsysteem (c) heeft het voordeel dat deze bestaat uit drie liggers die onaf-hankelijk van elkaar kunnen vervormen. De steunpuntsmomentenMB enMC zijn de twee statisch onbepaalden. Hunrichtingen mag men vrij kiezen mits men bedenkt datMB enMC interactiekrachten zijn en dus optreden als momen-tenparen die voldoen aan het beginsel van actie en reactie.

1 ZieTOEGEPASTE MECHANICA - deel 2, paragraaf 8.3, voorbeeld 9.2 Zie de vergeet-mij-nietjes (4) en (6) inTOEGEPASTE MECHANICA - deel 2, tabel 8.4.3 Als de berekening wordt uitgevoerd aan de hand van een figuur dient men in deze figuur alle in symbolen gepre-

senteerde grootheden die zijn gebonden aan een tekenafspraak overeenkomstig hun positieve richting te tekenen.De richting van de rotatie u is gerelateerd aan het x-z-assenstelsel.


14

uABB ¼ uBC

B

uBCC ¼ uCD

C

Bij de in figuur 2.9 aangenomen richtingen vanMB

enMC vindt men met behulp van vergeet-mij-nietjes:

uABB ¼ þ

q‘3

24EIþMB‘

3EI

uBCB ¼ �

q‘3

24EI�MB‘

3EI�MC‘

6EI

uBCC ¼ þ

q‘3

24EIþMC‘

3EIþMB‘

6EI

uCDC ¼ �MC‘

3EI

Gesubstitueerd in de hoekveranderingsvergelij-kingen leidt dit tot:

þ q‘3

24EIþMB‘

3EI¼ � q‘3

24EI�MB‘

3EI�MC‘

6EI

þ q‘3

24EIþMC‘

3EIþMB‘

6EI¼ �MC‘

3EI

Na vermenigvuldiging van alle termen met 24EI=‘en het ordenen van de termen vindt men:

þ 16MB þ 4MC ¼ �2q‘2

þ 4MB þ 16MC ¼ �q‘2

Dit zijn twee vergelijkingen met de twee statischonbepaaldenMB enMC als onbekenden. De op-lossing is:

MB ¼ �760

q‘2 ¼ � 760ð15 kN/mÞð4 m)2 ¼

¼ �28 kNm

MC ¼ �260

q‘2 ¼ � 260ð15 kN/mÞð4 m)2 ¼

¼ �8 kNm

DatMB enMC negatief zijn duidt er op dat beidesteunpuntsmomenten tegengesteld werken aan dein figuur 2.9 aangenomen richtingen.

Figuur 2.9 (a) De rotaties in de staafeinden en (b) visualisering van de hoekveranderingsvergelijkingen in B en C.


15

Figuur 2.10 (a) De berekening van de krachtsverdeling in de tweevoudig statisch onbepaalde ligger is teruggebrachttot die van drie statisch bepaalde liggers. (b) Momentenlijn ten gevolge van de statisch onbepaalden. (c) Momenten-lijn ten gevolge van de verdeelde belasting. (d) De momentenlijn van de statisch onbepaalde constructie wordt ge-vonden door superpositie van de momentenlijnen (b) en (c). (e) Dwarskrachtenlijn en (f) oplegreacties.


16

In figuur 2.10a zijn hun juiste richtingen getekend;beide steunpuntsmomenten geven trek aan de bo-venkant van de ligger.

In figuur 2.10b is deM-lijn getekend voor het sta-tisch bepaalde hoofdsysteem tengevolge van destatisch onbepaaldenMB enMC en in figuur 2.10cten gevolge van alleen de veldbelasting q op ABC.Superpositie1 leidt tot de gevraagde momentenlijnvoor de statisch onbepaalde ligger, zie figuur2.10d.Het dwarskrachtenverloop kan men direct uit dehelling van de momentenlijn afleiden2. Het resul-taat is weergegeven in figuur 2.10e.De oplegreacties vindt men vervolgens uit desprongen in de dwarskrachtenlijn, zie figuur 2.10f.

Controle:Als de berekening goed is uitgevoerd moet de lig-ger in zijn geheel voldoen aan het verticaal krach-tenevenwicht en het momentenevenwicht, ziefiguur 2.10f:

FFvertð#Þ¼ ð8 m)(15 kN/m)�ð23 kN)��ð72 kN)�ð27 kN)þð2 kN) ¼ 0

FT Aj ðgÞ ¼ � ð8 m)(15 kN/m)(4 m)þþ ð72 kN)(4 m)þð27 kN)(8 m)�

� ð2 kN)(12 m)¼0

Er blijkt inderdaad evenwicht te zijn.

Opmerking:Letop: deze controle heeft alleen betrekking op derelatie tussen de buigende buigend momenten,dwarskrachten en oplegreacties. Het is geen con-trole op de grootte en richting van de berekendestatisch onbepaaldenMB enMC.

2.2.3 Voorbeeld 3 ^ Twee kruiselings over elkaargelegde balken

In figuur 2.11rust kinderbalkAB in E opmoerbalkCD. Beide balken hebben dezelfde lengte ‘ ¼ 8 m.E ligt in het midden van zowel AB als CD. Balk ABheeft een buigstijfheid EI en balk CD een buig-stijfheidmEI. Balk AB draagt een verticale gelijk-matig verdeelde volbelasting q ¼ 4kN=m.Er wordt alleen gekeken naar de krachtsverdelingtengevolge van de verticale krachten op de con-structie. Krachten in het horizontale vlak blijvendus buiten beschouwing.

Gevraagd:a. De kracht die de balken AB en CD in E op

elkaar uitoefenen.b. De invloed van de stijfheidsverhoudingm op

de krachtsverdeling.

Figuur 2.11 Twee kruiselings over elkaar gelegde bal-ken. Kinderbalk AB rust in E op moerbalk CD.Met be-trekking tot buiging is de constructie enkelvoudigstatisch onbepaald.

1 Zie bijvoorbeeld ookTOEGEPASTE MECHANICA - deel1, paragraaf12.4, voorbeeld 2.2 Zie bijvoorbeeld TOEGEPASTE MECHANICA - deel 1, paragraaf12.1.5, voorbeeld 2.


17

De volgende vragen te beantwoorden voorm ¼ 1,het geval dat kinderbalk AB en moerbalk CD de-zelfde buigstijfheid hebben:c. DeM- enV-lijn voor AB en CD.d. De verticale oplegreacties in A t/m D.

Uitwerking:a. Beperkt men zich tot het geval van buigingtengevolge van krachten loodrecht op het x-y-vlak, dan heeft men voor de constructie in zijngeheel te doen met slechts drie evenwichtsver-gelijkingen, te weten het krachtenevenwicht inde z-richting en het momentenevenwicht omrespectievelijk de x- en y-as, dus e ¼ 3.Verder zijn er vier onbekende verticale oplegreac-ties in A t/m D, dus r ¼ 4.Dit leidt tot nbuiging ¼ r � e ¼ 4� 3 ¼ 1.De constructie is dus enkelvoudig statisch onbe-paald als men alleen maar kijkt naar geval van bui-ging tengevolge van krachten loodrecht op het x-y-vlak.

In figuur 2.12 zijn de balken van elkaar vrijge-maakt. De twee vrij opgelegde balken vormen sa-men het statisch bepaalde hoofdsysteem. Deverticale interactiekracht Ev (een krachtenpaar!)tussen AB en CD, hier aangenomen als een druk-kracht, wordt gekozen als statisch onbepaalde.

De aansluitvoorwaarde in figuur 2.12 volgt uit deeis dat AB en CD in E dezelfde verticale verplaat-sing moeten ondergaan:

wABE ¼ wCD

E

Met vergeet-mij-nietjes vindt men:

wABE ¼ þ

5384

q‘4

EI� 148

Ev‘3

EI

wCDE ¼ þ 1

48Ev‘

3

mEI

Hiermee wordt de aansluitvoorwaarde:

þ 5384

q‘4

EI� 148

Ev‘3

EI¼ þ 1

48Ev‘

3

mEI

waaruit men vindt:

Ev ¼m

mþ 1� 58ql

Figuur 2.12 Het statisch bepaalde hoofdsysteem bestaatuit de twee vrijgemaakte balken. De verticale interactie-kracht (een krachtenpaar) is de statisch onbepaalde.Deze is te berekenen uit de aansluitvoorwaarde dat ABen CD in E dezelfde verticale verplaatsing moeten on-dergaan.


18

b. In figuur 2.13 is Ev=ql uitgezet als functievan de stijfheidsverhoudingm ¼ EICD

�EIAB. Wordt moerbalk CD bijvoor-

beeld viermaal zo stijf gekozen als kinderbalkAB ðm ¼ 4Þ , dan vindt men uit figuur 2.13Ev ¼ 0,5q‘. Dit betekent dat elk van de balkende helft van de totale belasting draagt1.

Hoe stijver balk CDwordt gekozen ten opzichtevan balk AB en hoe grotermwordt, des te meerbalk CD krijgt te dragen.Men zegt wel dat de stij-vere delen in een statisch onbepaalde constructiekrachten en momenten naar zich toetrekken.Metde stijfheidsverhoudingm kan men dus in zekeremate de krachtsverdeling be|« nvloeden.Er kunnen twee extreme situaties worden onder-scheiden:x Alsm! 0 vindt men Ev ¼ 0.

De buigstijfheid van moerbalk CD is verwaar-loosbaar klein ten opzichte van kinderbalk ABen doet niet meer mee in het dragen van de be-lasting. De verplaatsing in E is gelijk aan dievan de vrij opgelegde ligger AB.

x Alsm!1 vindt men Ev ¼ 0,625ql.Deze situatie doet zich voor als moerbalk CDzeer veel stijver is dan kinderbalk AB. Het isalsof AB in E op een starre oplegging rust. Deverplaatsing en rotatie in E zijn beide nul2.

c. Als beide balken dezelfde buigstijfheid EIhebben (m ¼ 1) vindt men in het geval datq ¼ 4kN=m en ‘ ¼ 8 m:

Ev ¼m

mþ 1� 58ql ¼ 1

1þ 1� 58� ð4 kN/m)(8 m) ¼

¼ 10 kN ðeen drukkrachtÞ

Figuur 2.13 De grootte van de interactiekracht in E alsfunctie van de stijfheidsverhouding tussen moerbalkCD en kinderbalk AB. Hoe stijver de moerbalk, hoemeer deze via E te dragen krijgt.

1 Alle oplegreacties in A t/m D zijn dan aan elkaar gelijk. De lezer wordt verzocht dit te controleren.2 De waarde van Ev kan men in dit geval ook berekenen via vergeet-mij-nietje (9), zieTOEGEPASTEMECHANICA - deel 2,

tabel 8.4.


19

In figuur 2.14a zijn de balken AB en CD afzonder-lijk getekend, elk met zijn eigen belasting. In fi-guur 2.14b zijn voor beide balken de oplegreactiesgetekend en in figuur 2.14c/d de momenten- endwarskrachtenlijn. De berekening wordt aan delezer overgelaten.

d. In figuur 2.15 zijn de aan figuur 2.14b ont-leende oplegreacties nog eens getekend voor deconstructie in zijn geheel.

Figuur 2.14 De krachtsverdeling in het geval kinderbalk AB en moerbalk CD dezelfde buigstijfheid EI hebben: (a) devrijgemaakte balken, (b) oplegreacties, (c) momentenlijnen en (d) dwarskrachtenlijnen.

Figuur 2.15 Oplegreacties.


20

2.2.4 Voorbeeld 4 ^ Een scharnierliggerDe scharnierligger in figuur 2.16 bestaat uit dedelen AS en BS die in A en B zijn ingeklemd en in Sscharnierend met elkaar zijn verbonden. AS heefteen lengte a en buigstijfheid EI. BS heeft een lengte2a en buigstijfheidmEI. De ligger wordt in S belastdoor de verticale kracht F.

Gevraagd:a. Toon aan dat de constructie enkelvoudig

statisch onbepaald is als men alleen maarnaar het geval van buiging kijkt.

b. Kies een statisch bepaald hoofdsysteemvoorhet geval van buiging, kies de statisch onbe-paalde en formuleer de aansluitvoorwaar-den.

c. Bereken de waarde vanmwaarbij de in-klemmingsmomenten in A en B even grootzijn.Teken de bijbehorende momenten- endwarskrachtenlijn.

d. Bereken de waarde vanmwaarbij de dwars-krachten in AS en BS even groot zijn.Tekende bijbehorende momenten- en dwars-krachtenlijn.

Uitwerking:a. Met drie oplegreacties per inklemming zijner in totaal r ¼ 2� 3 ¼ 6 onbekende opleg-reacties. Het aantal onbekende verbindings-krachten in scharnier S is v ¼ 2.Het totaal aantal onbekenden komt hiermee opr þ v ¼ 6þ 2 ¼ 8.

Met drie evenwichtsvergelijkingen voor elk van dedelen AS en BS beschikt men in totaal overe ¼ 2� 3 ¼ 6 evenwichtsvergelijkingen.Voor de graad van statisch onbepaaldheid n vindtmen1:

n ¼ ðr þ vÞ � e ¼ 8� 6 ¼ 2

De constructie is dus tweevoudig statisch onbe-paald.

Bij rechte staven en ook bij in elkaars verlengdeliggende rechte staven kunnen buiging en extensiegescheidenworden behandeld. Ee¤ n van de statischonbepaalden in figuur 2.16 heeftbetrekking op hetgeval van extensie; men kan hiervoor bijvoorbeeldde normaalkracht in de ligger kiezen.Voor het ge-val van buiging blijft de andere statisch onbe-paalde over. Met betrekking tot buiging is descharnierligger dus enkelvoudig statisch onbe-paald.

Figuur 2.16 Een statisch onbepaalde scharnierligger.Met betrekking tot buiging is de ligger enkelvoudig sta-tisch onbepaald.

1 ZieTOEGEPASTE MECHANICA - deel1, paragraaf 4.5.3.


21

123

978 90 395 2752 8

Dit boek maakt deel uit van een serie mechanicastudieboeken voor de opleidingen Bouwkunde en Weg- en Waterbouwkunde (Civiele Techniek) in het hoger onderwijs (hbo en technische universiteit):• Mechanica: Evenwicht• Mechanica: Spanningen, vervormingen, verplaatsingen• Mechanica: Statisch onbepaalde constructies en Bezwijkanalyse

Dit derde deel uit de serie is opgebouwd uit drie modulen waarin drie min of meer op zichzelf staande onderwerpen worden behandeld:• Module 1 – Statische onbepaalde constructies • Module 2 – Bezwijkanalyse• Module 3 – Symmetrie

De behandeling blijft beperkt tot staafconstructies en handberekeningsmethoden. De theorie in de modulen wordt ondersteund door vele figuren en voorbeelden, en is zo opgebouwd dat studenten de lesstof in principe zelfstandig door kunnen werken.

Net zoals de andere delen biedt ook dit boek een groot aantal uitgewerkte voorbeelden en vraagstukken die zodanig zijn gestructureerd dat het doorwerken ervan resulteert in een kennismaking met talrijke aspecten van dit vakgebied.

Beide auteurs hebben jarenlange ervaring in het doceren en doseren van mechanica-onderwijs aan de opleiding Civiele Techniek van de Technische Universiteit Delft

MechanicaStatisch onbepaalde constructies en bezwijkanalyseCoenraad Hartsuijker, Hans Welleman

Hartsu

ijker, Wellem

an

Mechanica Statisch onbepaalde constructies en bezw

ijkanalyse

9 789039 527528

Download - Mechanica...constructies • Module 2 – Bezwijkanalyse • Module 3 – Symmetrie De behandeling blijft beperkt tot staaf- constructies en handberekeningsmethoden. De theorie in

Top Related