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Hidrodinámica

Se estudian fenómenos con

fluidos en movimiento

Movimiento de fluidos

Caida de agua en el parque Nacional de Yellowstone.

El agua en la parte superior de la catarata pasa por un estrechamiento en donde su velocidad se incrementa.

HIDRODINÁMICA

Estudia el movimientos de los fluidos, es decir, el flujo de los fluidos

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Ideas previasLos fluidos que se considerarán son líquidos que cumplen

con las siguientes características:

Fluidos incompresibles: de densidad constante.

Fluidos con flujo estable o estacionario: cuya velocidad y presión no dependen del tiempo.

Flujos laminares: no turbulentos, las líneas de flujo no se cruzan entre sí.

Flujos irotacionales: sus líneas de flujo no se cierran sobre sí mismas.

Flujos no viscosos: no hay resistencia al movimiento entre capas contiguas de fluido.

Si no son viscosos se podrá hablar de conservación de la energía, ya que no habrá disipación de energía por efecto de roce.

VISCOSIDAD• Aparece como producto de la interacción de las moléculas

del fluido cuando éste se mueve a través de ductos en los flujos laminares y turbulentos. Es decir la viscosidad se debe al rozamiento interno del fluido

• La viscosidad en los líquidos disminuye con el aumento de la temperatura mientras que en los gases sucede lo contrario

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Tubo de flujoEstá formado por líneas de flujo adyacentes que corresponden a un fluido en

movimiento y cuya sección transversal no es necesariamente uniforme.

En la figura, cada línea representa una capa de fluido, también se le puede llamar línea de corriente.

Una molécula de fluido tiene una velocidad que en cada punto es tangente a la línea de corriente.

En condiciones ideales, tal como se ha presentado hasta ahora, en el movimiento de un fluido se cumplen los siguientes principios:

- Conservación de la masa

- Conservación de la cantidad de movimiento

- Conservación de la energía

v1

v2

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Ecuación de continuidadSupongamos un fluido, de densidad ρ, que se mueve

por un tubo con distintas secciones.

1 2

Movimiento del fluido

La cantidad de fluido que entra por la sección 1, de área A1, es igual a la que sale por la sección 2, de área A2, en todo momento.

v1

v2

Δm1

Δm2

A1

A2

Δx1

Δx2

Por la sección 1 ingresa una cantidad Δm1 de fluido, con volumen ΔV1, con velocidad v1 y recorre una distancia Δx1 en un tiempo Δt.

En el mismo tiempo Δt, por la sección 2 sale una cantidad Δm2 de fluido, con volumen ΔV2, a una velocidad v2 recorriendo una distancia Δx2.

Δm1 = Δm2

ρ ΔV1 = ρ ΔV2

ρA1 Δx1 = ρA2 Δx2

ρA1v1 Δt = ρA2v2 Δt

A1v1 = A2v2

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

La masa no se crea ni se destruye. Es decir siempre se conserva

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

De acuerdo a la conservación de la masa, la cantidad de masa que fluye a través de la tubería es la misma

1 2

1 1 1 2 2 2

1 1 2 2

mAv

tm m

Av t A v t

Av A v

Q Av

Si el flujo es incompresible, la densidad es constante

Ecuación de continuidad

A esta ecuación se llama caudal o gasto

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Un ejercicioPrimero una observación:

A la expresión Av se le llama “tasa de flujo”, y se mide en m3/s.

Una manguera para incendios tiene un diámetro de 12 cm y en la boquilla se reduce a un diámetro de 3 cm. Si el agua en la manguera se mueve a razón 2 m/s.

¿Cuál es la velocidad con que sale el agua por la boquilla?

Se tiene:

A1v1 = A2v2

Datos:

R1 = 0,06 m

v1 = 2 m/s

R2 = 0,015 m

Entonces:

A1 = πR12

A2 = πR22

Despejando:

v2 = A1v1/A2

v2 = πR12v1/ πR2

2

Haciendo los cálculos, se tiene:

v2 = 32 m/s

Y.. ¿la tasa de flujo?

A2v2 = πR22v2

A2v2 = 0,00226 m3/s

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Ecuación de Bernoulli

Corresponde a una consecuencia del teorema del Trabajo y la Energía.

Es decir, el trabajo realizado – sobre el fluido en un tubo de flujo – es equivalente al cambio de energía cinética que experimenta el fluido.

Vamos a considerar un tubo de flujo cuyas secciones, la de entrada y la de salida, están en desnivel además de ser de diferente área.

h1 ≠ h2

A1 ≠ A2

A1

A2

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F1

P1

F2

P2

Δx1

Δx2

v1

v2

A1

A2

En el segmento inferior actúa una fuerza F1 que produce una presión P1, y se cumple:

F1 = P1A1

A su vez, en el segmento superior actúa una fuerza F2 que produce una presión P2, y se cumple:

F2 = P2A2

El trabajo realizado por F1 es:

ΔW1 = F1 Δx1 = P1A1 Δx1 = P1 Δ V

El trabajo realizado por F2 es:

ΔW2 = - F2 Δx2 = - P2A2 Δx2 = - P2 ΔV

ΔV

ΔV

Por lo tanto, el trabajo realizado por las fuerzas es:

ΔWF = ΔW1 + ΔW2 = (P1 – P2) ΔV

Δm = ρ ΔV

La cantidad Δm sube desde h1 hasta h2, contra la gravedad, por lo tanto el trabajo

hecho por la fuerza gravitacional, es:

ΔWg = - Δmg(h2 – h1) = - ρ ΔVg(h2 – h1)

Por otro lado, el cambio de energía cinética de Δm es:

ΔK = ½ Δm(v22 – v1

2) = ½ρ ΔV(v22 – v1

2)

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F1

P1

Δx1

Δx2

v1

v2

A1

A2

ΔV

ΔVΔm = ρ ΔV

F2

P2 Según el teorema del trabajo y la energía,

se tiene:

ΔW = ΔK

por lo tanto:

ΔWF + ΔWg = ΔK

(P1 – P2) ΔV - ρ ΔVg(h2 – h1) = ½ρ ΔV(v22 – v1

2)

Dividiendo por ΔV y ordenando se tiene la expresión:

P1 + ½ ρ v12 + ρgh1 = P2 + ½ρv2

2 + ρgh2

A esta expresión se le conoce como la Ecuación de Bernoulli

Resumen: Ecuación de Bernoulli Es una ecuación de importancia en la mecánica de los fluidos ideales (se

desprecia las fuerzas de rozamiento, el flujo debe ser estable e incompresible) y constituye una expresión del principio de conservación de la energía. Se considera que en el flujo existen tres tipos de energía: la energía cinética debida al movimiento, la energía debida a la presión y la energía potencial gravitatoria debida a la elevación. Matemáticamente se escribe

2 21 1 2 2

1 22 2

p v p vy y

g g

2

2

p vy H Cte

g

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Interpretación de la Ecuación de Bernoulli

P1 + ½ρv12 + ρgh1 = P2 + ½ρv2

2 + ρgh2

En la ecuación se observa que la suma de las condiciones iniciales es igual a la suma de las condiciones finales. Esto significa que:

P + ½ρv2 + ρgh = constante

Se puede deducir que:

Si la velocidad del fluido aumenta, su presión disminuye.

Si la velocidad del fluido disminuye, su presión aumenta.

Si un fluido asciende su presión puede disminuir.

Si un fluido asciende su velocidad puede disminuir.

Para determinar la ecuación hidrostática se aplica la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 de la

Como el depósito está abierto sobre la superficie libre del fluido actúa la presión atmosférica p0. Así mismo, debido a que el fluido está en reposo, v1 y v2 son nulas, con lo que la ecuación anterior se escribe

APLICACIONES DE LA ECUACION DE BERNOULLI.

2 21 1 2 2

1 22 2

p v p vz z

g g

011 2

1 0 2 1

1 0

0 0

ppz z

p p z z

p p h

• Otra de las aplicaciones más importantes de la Ecuación de Bernoulli es el principio de sustentación del ala de un avión.

• Aplicando la Ecuación, se deduce que por la parte superior del ala del flujo tiene mayor rapidez que por la parte inferior, por lo tanto la presión del aire es menor arriba que abajo, lo que genera una fuerza resultante en dirección ascendente.

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• Como hemos visto, la condición para que esto ocurra es que el aire pase a una cierta velocidad por el ala. Cuanto mayor la velocidad mayor la sustentación (dentro de unos límites físicos, claro está). Así que será necesario impulsar el avión hacia delante con una fuerza de tracción, en contra de la resistencia al aire, para que el ala pueda crear la fuerza de sustentación necesaria para vencer el peso del avión y pueda elevarse. La fuerza de sustentación siempre será perpendicular al perfil ala.

• Cuando la tracción, la resistencia al aire, la sustentación y el peso están en equilibrio, el avión volará a una velocidad y altura constante.

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Efecto Venturi

Ahora se considera un tubo donde h1 = h2

Por lo tanto, la ecuación de Bernoulli queda:

P1 + ½ρv12 = P2 + ½ρv2

2

Entonces:

P1 – P2 = ½ρ(v22 – v1

2)

Si v1 > v2, entonces P1 – P2 < 0

Y ello ocurre solo si P2 > P1

Por lo tanto, se puede afirmar que donde la velocidad es mayor la presión es menor, o también, que donde la velocidad es menor la presión es mayor.

P1 P2

v1 v2

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Algunas explicaciones a partir del efecto Venturi

En una carretera, si dos vehículos pasan cerca, en el espacio entre ellos el aire se mueve a gran velocidad respecto a los vehículos, por lo tanto en esa zona disminuye la presión del aire y con ello se justifica que los vehículos se atraen entre sí. Esto es más manifiesto si uno de los vehículos es mucho más pequeño que el otro.

v2

P

Pinterior Velocidad del aireSe tiene

P > Pinterior

por lo tanto el vehículo más pequeño es atraído hacia el más grande.

F

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Tubo de Venturi

Es un tubo donde hay un angostamiento. Esto se aprecia en la figura, donde en un sector hay una sección de área A1 y en otro tiene una sección reducida a A2.

En el sector más grande la velocidad del fluido es v1 y en el más pequeño la velocidad aumenta a v2.

De acuerdo a la ecuación de continuidad

A1v1 = A2v2, entonces v2 = A1v1/A2

Por otro lado, de acuerdo a la ecuación de Bernoullí, en el efecto Venturi, se tiene:

P1 – P2 = ½ρ(v22 – v1

2)

Reemplazando v2

P1 – P2 = ½ρ(A12v1

2/A22 – v1

2)

Si se despeja v1, se tendrá:

1

AA

PP2v

22

21

211

Tubo Venturi

• Para aplicar las ecuaciones de mecánica de fluidos es necesario observar las líneas de corriente

Para determinar el caudal en primer lugar se determina la velocidad de flujo del fluido aplicando la ecuación de continuidad entre los punto 1 y 2

Por otro lado aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 se tiene

• Observando la figura se ve que z1 y z2 se encuentran en un mismo nivel horizontal por lo que

• Combinando las ecuaciones 1 y 2

Tubo Venturi

1 1 2 2

22 2

1

Av A v

Av v

A

2 21 1 2 2

1 22 2

p v p vz z

g g

2 21 1 2 2

2 2

p v p v

g g

2 22 1 1 2

2gv v p p

1 22 2

2

1

2

1

g p pv

AA

La diferencia de presiones se determina a partir de las lecturas de los piezómetros, es decir

Entonces la velocidad se expresa en la forma

Entonces el caudal Q o régimen de flujo volumétrico se expresa en la forma

Tubo Venturi

1 0 1p p h

2 0 2p p h

1 2p p h

2 2

2

1

2

1

g hv

AA

1 1 2 2

1 2 2 21 2

2

Q Av A v

ghQ A A

A A

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EjercicioSupongamos que un estanque con agua tiene un orificio pequeño en la parte inferior.

Según la información de la figura que se muestra: ¿con qué velocidad sale el chorro de agua en el orificio?

v2 h1

h2 P2

P1

v1

El agua cae lentamente, por lo tanto se puede considerar v1 = 0 m/s

También se tiene que P1 = P2 = P0

P1 + ½ρv12 + ρgh1 = P2 + ½ρv2

2 + ρgh2

Si aplicamos la ecuación de Bernoulli:

Se tendrá:

ρgh1 = ½ρv22 + ρgh2

Y, despejando v2, se obtiene que:

)(2 212 hhgv

Tubo de Venturi