MATR

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Avilés

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MATRICES

DEFINICIONTIPOS DE MATRIS

OPERACIONES

ADICCION, MULTIPLICACI

ONEJERCICIOS

MATRIZ DE ORDEN MAXIMO

OBJETIVO

INTRODUCCION

El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico y simbólico que se deriva de los modelos matemáticos utilizados para resolver problemas en diferentes disciplinas como, por ejemplo, las ciencias sociales, las ingenierías, economía, física, estadística y las diferentes ramas de las matemáticas entre las que destacamos las ecuaciones diferenciales, el cálculo numérico y, por supuesto, el álgebra.

DEFINICION DE MATRICES

Reciben el nombre de matrices

Esta dado por un conjunto X, se denomina matriz de n filas y m columnas a un conjunto de n×m elementos de X, dispuestos en un arreglo rectangular de n filas y m columnas.

Las características de los elementos del conjunto X dependerán, encada caso, de la naturaleza del problema que se esté estudiando

x • puede ser un conjunto de funciones, de palabras de un alfabeto, de números, etc.

• serán números reales y denotaremos el conjunto de todas las matrices de orden n×m (n filas y m columnas) por .Μ

-En general, para representar una matriz A de orden n×m se escribe.

-También se escribe para indicar que A es la matriz de orden n×m que tiene elementos - Las matrices se denotan con letras mayúsculas y sus elementos con la misma letra minúscula acompañada de dos subíndices que indican su posición en lamatriz

n * m

OBJETIVOS DE LA MATRIZ

• Conocer algunos tipos de matrices.

• Conocer las principales operaciones con matrices.

• Conocer algunas aplicaciones del cálculo matricial.

•Conocer las facilidades del cálculo matricial usando el programa Mathcad.

TIPOS DE MATRIZ

Si el numero de filas y el de columnas no coincide, es

decir, m‡n

MATRIZ RECTANGULAR

EJEMPLO

1 2 3 4

3 6 7 8

A=

2*4

MATRIZ FILA

Si solo tiene una fila, es decir, m=1

EJEMPLO

A= a b c d e

1 * 5

MATRIZ COLUMNA

TIPOS DE MATRIZ

Si solo tiene una columna, es decir, n=1

EJEMPLO0√2-4

A=

*Según sus elementos

MATRIZ CUADRANGULAR

De orden n: si el numero de filas y el de columnas

coinciden, es decir, m=n

EJEMPLO

a b cd e fg h i

A=

a, e, i -> diagonal principal

g, e, c -> diagonal secundario

TIPOS DE MATRIZ CUADRANGULAR

MATRIZ IDENTIDAD O MATRIZ UNIDAD

Si una matriz escalar en la que todos los elementos de la

diagonal principal son 1. la matriz identidad de orden n se

representa por I n°

1 0 0 0 1 00 0 1

EJEMPLO

I =3

*Es la matriz idéntica de orden 3

MATRIZ DIAGONAL

es diagonal si ij a =0, para i ≠ j . Es decir, si todos los elementos situados fuera de la diagonal principal son cero

0 0 0 0 -4 00 0 4

A= *Es una matriz diagonal

EJEMPLO

MATRIZ ESCALAR

TIPOS DE MATRIZ CUADRANGULAR

Si es una matriz diagonal en la que todos los elementos que están en la diagonal principal

coinciden

4 0 0 0 4 00 0 4

EJEMPLO

A=*Es una matriz diagonal

OPERACIONES

ADICIONSUSTRACCIO

N

Sean La matriz es la suma de las matrices y , y se denota C = A + B, si sus elementos cumplen:

-Se denomina producto de una matriz por un número λ a una matriz cuyos elementos son de la forma

MULTIPLICACION

DIVICIONLa división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matrizinversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B tal que A/B = AB ¹ˉ

DETERMINANTES

DEFINICION

En matemáticas se define el determinante como una forma n-lineal alterna de un cuerpo.Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Aunque el origen del determinante tiene lugar en el campo del álgebra lineal y puede concebirse como una generalización del concepto de superficie o de volumen orientado. Fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

DETERMINANTES

Determinante de orden uno

|a11| = a11

|5| = 5

A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por |A| o por det (A).

|A| =

DETERMINANTES

Determinante de orden dos

DETERMINANTES

Determinante de orden tres

Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria A = (aij). El determinante de A se define como sigue:

Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).

a11 a22 a33 + a12 a23 a 31 + a13 a21 a32 -- a 13 a22 a31 - a12 a21 a 33 - a11 a23 a32.

= 3 · 2 · 4 + 2 · (-5) · (-2) + 1 · 0 · 1 -- 1 · 2 · (-2) - 2 · 0 · 4 - 3 · (-5) · 1 == 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) == 44 + 4 + 15 = 63

PROPIEDADES DE UN DETERMINANTE

1.|At|= |A|

El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales.

2. |A|=0 Si:

Posee dos líneas iguales

PROPIEDADES DE UN DETERMINANTE

1.Todos los elementos de una línea son nulos.

2. Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras.

F3 = F1 + F2

PROPIEDADES DE UN DETERMINANTE

3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal..

4. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo.

5. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía.

PROPIEDADES DE UN DETERMINANTE

6. Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una.

7. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

8. |A·B| =|A|·|B|

El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.