Download - Magmàtica matemàgia mònica orpí
Màgia matemàtica o matemàtica màgicaTrucs de màgia basats en propietats matemàtiques
• Nom : Mònica Orpí Mañé
• Formació : Llicenciada en ciències exactes/ Matemàtiques (2000)
• Professió : Professora de matemàtiques ( des del 2000)
• Actualment : Professora a l’INS Torredembarra des de 2011
• Sobresou : Professora del projecte Talent Jove des de 2013
• Afició : Entre moltes altres, la matemàgia / magmática
• Edat : Si a l’any que vaig néixer (dues xifres) hi sumeu la meva edat (finals del 2016) el resultat és 116.
Si a l’any que vaig néixer (dues xifres) hi sumeu la meva edat el resultat és 116
7
1975-1900 + 2016 – 1975 =2016 – 1900 =116
115= 1975-1900 + 2015 – 1975 =2015 – 1900 =115
1 1 5
2015
EL 2 UN SÚPER NÚMERO :
TARGETES D’ADIVINACIÓ :
SÍMBOLS : Memòria prodigiosa 1.…16
NÚMEROS ……………………………..19
CARES I CREUS........................................31
UN CASTEL ENCANTAT ……………….....34
UNA DE REIS, REINES I UN HOSTAL…..44
UN CLÀSSIC: EL MÀGIC 7
LES CARES OCULTES DELS 3 DAUS….47
ELS SOBRES NUMÈRICS………………...50
UNA CORONA MÀGICA …………………..53
UNA DE CALENDARIS (2x2,3x3,4x4)…...59
AQUEST ANY US CONEC MOLT BÉ…….62
2016 UN ANY MÀGIC……………………....72
QUIN DIA DE LA SETMANA SERÀ ?........77
EL SÚPER MÀGIC NÚMERO 9
NÚMEROS, GEOGRAFIA I ZOOLOGIA....86
D’UNA XIFRA
DE VÀRIES XIFRES
UNA DE BRUIXES.....................................92
JOCS DE LES XIFRES DEL 1 AL 9..........113
UNA DE SOBRES ………………………….121
FIBONACCI :
MEMÒRIA PRODIGIOSA 2…………………...........127
DIVISIBILITATS DE LA SUMA…………….............132
LA MÀGIA DELS SEUS TERMES…………...........137
QUE AMAGA EL SOBRE DAURAT? ……….……140
ENCRIPTACIÓ: EL SECRET ESTÀ EN SABER-HO
OCULTAR I TROBAR LA CLAU
MEMÒRIA PRODIGIOSA 2…………………………145
CODIS DE BARRES……………………………..….148
FALSIFIQUEM BITLLETS…………………............151
EL SECRET OCULT ESTÀ EN LES EQUACIONS I
EN EL NOSTRE SISTEMA DECIMAL
UN TRUC DE CARTES………………………..157
UN NÚMERO DE 3 XIFRES ……………….…161
UN ALTREDE 3 DAUS: EL VERMELL, EL BLAU
I EL VERD………………………......................164
UN NÚMERO MOLT ESPECIAL……….…… 167
UN ALTRE NÚMERO MOLT ESPECIAL……... 170
173ANY DE NAIXEMENT I NÚMERO DE
SABATES…………………………………….…173
EL SECRET ESTÀ EN DESCOMPOSICIÓ
FACTORIAL………………………………………..…176
EL SECRET ESTÀ EN LA RESTA ……………….180
SEMBLA MÀGIA PERÒ NO HO ÉS : MULTIPLICACIÓ
RÀPIDA……………………………………………..………183
• CAMINS MÀGICS : ELS PONTS DE KÖNIGSBERG …………………………………………194
• RETALLAR I ENGANXAR PER DEMOSTRAR ?• TEOREMADE PITÀGORES………………….204• DESAPARICIÓI APARICIÓ D’ÀREA !......207• COM ÉS QUE HI HA UN FULLET DE MÉS
?? LA PARADOXA DE HOOPER.....…….214• LES CORDES MÀGIQUES…………………………219
• PODEM ALLIBERAR L’ARO DE LA CORDA?• ENS PODEM DESLLIGAR ?
• ESCONGIR UNA PERSONA I FER-LA PASSAR PER UN FORADET……………………………….…..227
• LA BANDA DE MOEBIUS: ANEM AL CIRC….229• LA GEOMETRIA DE LES IL·LUSIONS………....234
• ESCONGIR UNA PERSONA • IL·LUSIOS ÒPTIQUES• FIGURES IMPOSSIBLES• VISIÓ DOBLE
• El número 2 representa la díade, que vol dir tot allòque afecta al ser humà que pot ser expressat en formadual : El bé i el mal, tancat o obert, el cel i l’infern,l’home i la dona...
• Representava la imperfecció pels pitagòrics ja que noera possible construir una figura amb dues línies niamb dos punts
• També per a ells el dos era el símbol de la dona i d’allòtenebrós
• Actualment tots els utensilis tecnològics com elsordenadors i els mòbils així com tots els circuitselèctrics funcionen amb sistema binari de 0 i 1 querepresenta l’apagat i encès. Tota la informació es unaseqüència de 0 i 1 que es descodificaran irecompondran una veu o una imatge.
• Dedicarem alguns trucs de màgia i jocs basats en elsprincipis de paritat i en el sistema binari de numeració
Tria un objecte dels següents però no em diguis quin has escollit
Ara només cal que em diguis les graelles on està ?
El tei objecte és ….
1ª 2ª.
3ª 4ª.
El símbol que has escollit és ….
• Pensa un número de 1 al 63 i no em diguis quin és. A veure si m’arriba...
• Només cal que em diguis en quina d’aquestes graelles està el número que has pensat
Està aquí ?
Està aquí ?
Està aquí ?
Està aquí ?
ÉS EL NOMBRE ….
Tinc
màgia!!
(sóc un
mag)
• Posem 4 monedes disposades de manera que es vegin 2 cares i 2 creus
• Tenca els ulls i fes 5 voltes a les monedes, sense saber quines monedesestàs girant. Com que només n’hi han 4 monedes, algunes d’elles lestombaràs més d’un cop.
• Escull una d’elles i tapa-la, de manera que no vegis si hi ha una cara ouna creu.
• Obre els ulls i observa les que estan visibles:
• Si veus 3 cares la tapada serà 1 creu/ Si veus 3 creus, la tapada serà 1cara
• Si tens 2 cares i 1 creu, la tapada mostra la que ha sortit més cops,per tant 1 cara/ Si tens 2 creus i 1 cara, la tapada és 1 creu
• Aixeca la mà i sorprèn-te
La cara i la creu d’una moneda :
Per què podem endevinarsi será cara o creu ?
• El fonament resideix en la paritat.
• Al principi la diferència entre cares i creus és 0 (N’hi havia dos de cada tipus)
• Cada cop que girem una moneda canvia la paritat. • Si girem una moneda que mostrava cara, ens quedarà 1 cara i 3 creus• Si girem una moneda que mostrava creu, ens quedarà 1 creu i 3 cares
• En les dues disposicions anteriors tenim un nombre imparell de cares
• Al tornar a girar una moneda, ara es conservarà la paritat de les cares.• Així que al girar 5 cops haurem invertit la paritat original i hi ha d’haver
un nombre senar de cares
També es pot presentar dient CANVI cada cop que giren una moneda i tu comptes el número de canvis
que fan i si són parells o senars
EL CASTELL ENCANTAT
Hi havia una vegada…
un fantasma que vigilava un castellencantat.
En aquest castell hi havia 9 cases que es comunicaven entre elles.
Els visitants d’aquest castell souvosaltres.
Castell del dràcula
Us podeu moure per totes les cases en direcció
horitzontal i vertical, mai en diagonal
Acomodeu-vos en una casa que estigui disponible
Tornen a aparèixer les cases inicials.
•Desplaça’t 4 cases
Eliminem dos cases
Desplaça’t 3 cases
Eliminem dos cases més
Desplaça’t 2 cases
Eliminem una casa més
Desplaça’t 1 casa
HO HEM ACONSEGUIT !!
Eliminem tres cases més
1. Donat que ens situem en una casa parell i ens desplacem 4
posicions, tornem a estar en una casa parell
2. Al desplaçar-nos 3
estem situats en una casa senar, però cap de les que están tatxades, per tant momés podem estar en la del mig o en la 7ª o 9ª.
4. A eliminar una
casa més, i desplaçar-nos 1, al estar abans situats en una senar, ara estarem situats en una casa parell, però de les que queden, només pot ser la 8ª casa.
3. Al desplaçar-nos 2
estem situats en una casa senar, però cap
de les que estan tatxades, per tant
només podem estar en la del mig o en la
7ª o 9ª.
L’ HOSTAL
El 7
Por què el 7 és un número màgic?
7 són els dies de la setmana, que sónnombrats segons els 5 planetes coneguts,el Sol (Déu) i la Lluna
És el número que s’ha mitificat en totes lescultures: Des de la antiguitat, aquesta xifrasempre ha tingut un regust de misteri. PerPitàgores era “el número perfecte”, la Bíbliael menciona amb freqüència
De les set meravelles als set pecats capitals
Quin secret oculta el 7?
LA SUMA DE LES CARES OCULTES DE 3 DAUS
•Posa tres daus un a sobre l’altre, com indica la figura
•Puc endevinar la suma de les cares ocultes
EL PER QUÈ DE LA SUMA DE LES CARES OCULTESDELS 3 DAUS
La suma de cares oposades d’un dau
sumen sempre 7. Com tenim 3 daus 7·3=21 i en
el nostre cas, on es mostra la cara de 3 punts,
la suma de les cares amagades serà 21-3
Sobres Numèrics
• Treu un nombre del sobre 1 GROC
• Multiplica’l per 1001
• Multiplica el resultat per 9
• Divideix-lo per 7
• Multiplica el resultat per 111
• Quin és el resultat?
• Obrim el sobre 2 VERMELL i…
Sobres Numèrics• Treu un nombre del sobre 1 GROC
• Multiplica’l per 1001
• Multiplica el resultat per 9
• Divideix-lo per 7
• Multiplica el resultat per 111
• Quin és el resultat?
• Obrim el sobre 2 VERMELL i…
1. Un voluntari es posa la corona i ha d’estar concentrat en les operacions que haurà de fer el 2n voluntari. Aquest segon haurà de …
2. Triar un pal de la baralla de cartes espanyola
3. Ara haurà de treure les 6 cartes que apareguin després
de l’as del pal que ha escollit
1. Cal que les apunti a la pissarra horitzontalment
2. Un 3r voluntari ha de llançar el dau cúbic i dir el que ha sortit al 2n voluntari.
3. El 2n voluntari haurà de multiplicar el número que ha sortit pel número que ha apuntat a la pissarra.
4. El 1r voluntari ha estat concentrat i ha traspassat el número dins la corona ??
Possibles presentacions: Amb una cinta dins d’un sobre, amb una pulsera…
Cal un dau de 16 cares
UNA DE CALENDARIS i LA MÀGIA DEL NÚMERO 7
Els calendaris tenen moltes propietats matemàtiques, degut
a la seva periodicitat de les seves xifres
JUGUEM AMB EL CALENDARI: Graella 2x2
• Escull el mes que vulguis del calendari
• Tria un quadrat de dimensió 2x2
• Ensenya’l clarament al públic
• Suma els 4 nombres i digues el resultat
• Jo t'endevino els 4 nombres i l’ordre en que estan posats
• La suma S ens donarà
S= 4A+16, per tant ja tenim la A i tots els altres termes:
A= (S-16)/4
A A+1
A+7 A+8
JUGUEM AMB EL CALENDARI: Graella 2x2
UNA DE CALENDARIS i LA MÀGIA DEL NÚMERO 7
Els calendaris tenen moltes propietats matemàtiques, degut
a la seva periodicitat de les seves xifres
JUGUEM AMB EL CALENDARI
• Escull el mes que vulguis del calendari
• Tria un quadrat de dimensió 3x3
• Ensenya'l clarament al públic i a tots els presents (a mi TAMBÉ)
• Jo faré una predicció que posaré en un sobre
• D’ aquest quadrat encercla un nombre i suprimeix la fila i columna on es troba el nombre escollit.
• Repeteix l’operació amb els nombres que queden sense tatxar fins obtenir 3 nombres.
• Suma’ls……Suma els tres nombres que no queden tatxats i digues el valor en veu alta serà el nombre que hem posatdins del sobre
• Només cal que ens fixem en el termecentral.
• Mentre estem d’esquena, escrivim enun paper el triple de l’element central.i entrega’l a un espectador. El tripledel número central serà igual a lasuma dels 3 números que queden pertatxar.
• Hi han 6 eleccions diferents d’escollirels 3 números ( 3 per 1ª fila, 2 per la2ª i 1 per la última fila 3·2·1=6)
Al anar tatxant de la manera que hem procedit, estem forçant que els números escollits siguin tots de files i columnes diferents. Així sigui quina sigui l’elecció la suma serà A+B+C+1+2.
Com considerem calendaris, encara tenim més informació ja que tenim que B=A+7 C=A+14 La suma serà, per tant, 3A + 3 + 21= 3A+24 = 3A+21+3=3(A+7)+3=3B+3=3(B+1)
A A+1 A+2
B B+1 B+2
C C+1 C+2
És equivalent també a :3x+24=3(x+8)
x3
UNA DE CALENDARIS i LA MÀGIA DEL NÚMERO 7
Els calendaris tenen moltes propietats matemàtiques, degut
a la seva periodicitat de les seves xifres
JUGUEM AMB EL CALENDARI• Escull el mes que vulguis del calendari
• Tria un quadrat de dimensió 4x4
• Ensenya se’l clarament al públic i a tots els presents (a mi TAMBÉ)
• Jo faré una predicció que posaré en un sobre
• D’aquest quadrat encercla un nombre i suprimeix la fila i columna on es troba el nombre escollit.
• Repeteix l’operació amb els nombres que queden sense tatxar fins obtenir 4 nombres.
• Suma’ls……. I digues el valor en veu alta será el nombre que hem posat al sobre
• Només cal que ens fixem en la sumadels dos nombres diagonalmentoposats (és indiferent considerar ladiagonal principal o secundària)
• Mentre estem d’esquena, escrivim enun paper el doble del resultat de lasuma que has fet i entrega’l a unespectador. El doble de la suma delsdos diagonalment oposats serà iguala la suma dels 4 que no ha tatxatl’espectador.
• Hi han 24 eleccions diferents d’escollirels 4 números ( 4 1ª fila, 3 per la 2ª, 2per la 3ª i 1 per la 4ª fila 4·3·2·1=24)
Al anar tatxant de la manera que hem procedit, estem forçant que els números escollits siguin tots de files i columnes diferents. Així sigui quina sigui l’elecció la suma serà A+B+C+D+1+2+3.
Com considerem calendaris, encara tenim més informació ja que tenim que B=A+7 C=A+14D=A+21 La suma serà, per tant, 4A + 48= 2(A+D+3) que serà el doble de la suma dels elements oposats a la diagonal
A A+1 A+2 A+3
B B+1 B+2 B+3
C C+1 C+2 C+3
D D+1 D+2 D+3
És equivalent també a :4x+48=
4(x+12)=2(2x+24)
+ i ·2
1975 41 Fan 2016
2011+ 5 Fan 20164032
L’any vinent faran 4034 !!!
𝟑𝟐𝒙𝟑𝟐 = 𝟐𝟓 · 𝟐𝟓
= 𝟐𝟏𝟎
2·16·16== 𝟐 · 𝟐𝟒· 𝟐𝟒
= 𝟐𝟗
4·8·8=𝟐𝟐 · 𝟐𝟑· 𝟐𝟑
= 𝟐𝟖
• Com ho hem fet amb els 8 ? Hem dividit 2016/888= 2’…, així
2016-888·2=240 240/88=2’… Per tant 240-88·2=64
2016=888+888+88+88+8+8+8+8+8+8+8+8
• Escrivim 2016 utilitzant només 7 ?
2016/777=2’… 2016-777·2=462 462/77=6
2016=777+777+77+77+77+77+77+77+77
• Escrivim 2016 utilitzant només 3 ?
2016/333=6’… 2016-333·6=18 que 18=3·6
2016=333+333+333+333+333+333+3+3+3+3+3+3
Per calcular el dia de la setmana del any en curs cal sumar tres números:
és el valor del dia en el que acaba l’any anterior ( dilluns 1, dimarts dimecres 3, …).
Si l’any és bixest , aquesta clau serveix pel gener i pel febrer. Augmenta en una unitat per març, abril ...
La nit de cap d’any la recordes, l’any passat, 2015 era dijous, així la clau de 2016 serà 4 i 5 per ser bixest. Es
diu que té clau 5 per què són més mesos on 5 actuarà
està relacionada amb el desfàs acumulat que es produeix respecte l’inici de l’any. Així
• GENER 0
• FEBRER 3 (perquè gener té 31 dies : 4 setmanes completes més 3 dies)
• MARÇ 3 (Perquè febrer consta de 4 setmanes completes)
• ABRIL 6 (com març té 31 dies i es desfasa 3, més 3 que ja s’havia desfasat dóna 6 )
• MAIG 1 (Abril acaba en 30 i per tant aporta 2 de desfàs, més 6 fan 8. Però treballant en mòdul 7, 8 és 1)
• JUNY 4 ( Maig acaba en 31, per tant es desfasa 3, que sumat al 1 de maig és 4)
• JULIOL 6 ( Juny es desfasa 2, que sumat a 4 és 6)
• AGOST 2 (Juliol es desfasa 3 que sumat a 6 és 9 i 9 mòdul 7 és 2)
• SETEMBRE 5 (Agost té 31, per tant hem de sumar 3 a 2 i fan 5 )
• OCTUBRE 0 ( Donat que setembre té 30 dies, es desfasa només 2 que sumat a 5 fan 7 que és igual a 0)
• NOVEMBRE 3 ( Com que octubre de 31 dies, hem de sumar 3 al zero d’octubre)
• DESEMBRE 5 (Donat que novembre acaba en 30 dies només cal sumar 2 a la clau del mes anterior, així que
tindrà clau 5)
COMENTARIS
Origen de l’ordre en els dies de la setmana http://blogs.cadenaser.com/grado-
361/2013/05/23/los-dias-de-la-semana/
Sobre el calendari gregorià i el julià
http://apliense.xtec.cat/arc/sites/default/files/annex_octubre_1582_Un_paseo_por_el_origen_del_
calendario_y___a_aubanell.pdf
ME AYUDARÁ A RECORDAR LA CANTIDAD2’ 7 1 8 2 8…
5 D’ABRIL DEL 2015 5 + 6 + 3 = 14 14 Mòdul 7 és 0 Els múltiples de 7 equivalen a DIUMENGE
Per saber la • Els anys avancen un dia cada any ja que 365 / 7 té per quocient 52 i residu 1 52·7 +
1 =364 +1 = 365• Si l’any és bixest avança 2 (1+1) a partir del febrer. Així per exemple 2016 té per clau 4
gener i febrer i 5 la resta de mesos.
• 1900= 0 És fàcil de recordar.• 2032 porta 132 dies de desfàs respecte 1900.• Cal calcular els bixests que contenen aquests 132 anys, que seran 33 bixests ja
que 132 /4 = 33 que els haurem de sumar a 132 (Com que la divisió és exacta, 2132 és Bixest !!
• Per tant 132+33=165 i fem mòdul 7, és a dir, dividim per 7 ens queda 165/7 té per quocient 23 i residu 4, per tant aquest 4 serà la clau de 2032 (tot excepte GENER i FEBRER que serà 3)
• A més, com que els calendaris es repeteixen cada 28 anys, ( ja que 28 té 7 bixest per tant haurem de sumar 28+7 = 35 que resulta que dividit a 7 queda mòdul 0 i per tant no cal sumar res)
• Així l’any 2032 és el mateix que 2004 i el mateix que 1976 i 1948 i 1920• Per tant l’any 1920 té clau 4 com 2132 ( 28·3=112 que restat a 132 és 20)• Tant 2032 com la resta, al ser Bixests tenen clau 4, però 3 al gener i febrer. 2033
tindrà clau 5 !!!
• Quina és la clau de 1975? • 1975 cal sumar 75 a 1900 més els bixests que són 75/4 té per quocient
18, per tant cal sumar 75+18=93 que al fer mòdul 7 són 13 de quocient i 2 de residu
• Per tant 1975 té clau 2. O fet d’una altra manera : 75/28 és a 2’..., per tant 28·2 cal restar-ho de 75:
1975 – 28·2= 1919. Així la clau de 1975 és la mateixa que 1919 : 19+4 ( ja que conté 4 bixest 19/4=4’...)=23/7 té 2 de residu. Per tant la clau 1975 és 2
• La clau de 2016 serà :2016-1900=116 116/28=4’..., per tant serà la mateixa que 2016-
4·28=1904 i com que és bixest serà 4 i 5. D’una altra manera :2016 es porta 116 amb 1900.
Té 116 de desfàs més els bixests que seran 116/4= 29 exactes, per
tant és bixest i hem de sumar 116+29= 145 i si fem mòdul 7 serà 20’... I té de residu 5 per tant aquesta és la clau dels mesos
que actua més, per tant gener i febrer és 4.
• La clau de 2017:117/4=29’..., 117+29=146
146/7= 20’... 146-20·7=6 Clau és 6 !!!!
• El 9 significa l’amor i la gestació ( enels humans, aquesta dura 9 mesos)
• També és el quadrat del primernombre senar
• És el protagonista en la comprovacióde moltes operacions : La prova del9 (que comentarem més endavant )
Què no sigui 0 !!!!
I si en lloc de pensar una sola xifra ho fem amb més xifres, funciona ?
Números, geografia i zoologia• Pensa un número de les xifres
que vulguis• Multiplica’l per 9 • Suma les seves xifres fins que
quedi reduït a una sola xifra • Resta-li 5 unitats
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
Primer mira fixament a la bruixeta !Després només cal que pensis en un número de 2 xifres A aquest número, resta-li la suma d’ ells . Per exemple: 23 – ( 2+3 )Busca en el quadre de sota el símbol que correspongui a aquest resultat Pregunta-li a la bruixeta quin és el símbol i veuràs com ella ho sap !!!
No és veritat que era aquest ? Ja Ja Ja !!!
Tornem a jugar ???
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
Primer mira fixament a la bruixeta !Després només cal que pensis en un número de 2 xifres
A aquest número, resta-li la suma d’ ells . Per exemple: 23 – ( 2+3 )
Busca en el quadre de sota el símbol que correspongui a aquest resultat Pregunta-li a la bruixeta quin és el símbol i veuràs com ella ho sap !!!
No és veritat que era aquest ? Ja Ja Ja !!!
Tornem a jugar ???
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
Primer mira fixament a la bruixeta !Després només cal que pensis en un número de 2 xifres
A aquest número, resta-li la suma d’ ells . Per exemple: 23 – ( 2+3 )
Busca en el quadre de sota el símbol que correspongui a aquest resultat Pregunta-li a la bruixeta quin és el símbol i veuràs com ella ho sap !!!
No és veritat que era aquest ? Ja Ja Ja !!!
Tornem a jugar ???
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
Primer mira fixament a la bruixeta !Després només cal que pensis en un número de 2 xifres
A aquest número, resta-li la suma d’ ells . Per exemple: 23 – ( 2+3 )
Busca en el quadre de sota el símbol que correspongui a aquest resultat Pregunta-li a la bruixeta quin és el símbol i veuràs com ella ho sap !!!
No és veritat que era aquest ? Ja Ja Ja !!!
Tornem a jugar ???
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
Primer mira fixament a la bruixeta !Després només cal que pensis en un número de 2 xifres
A aquest número, resta-li la suma d’ ells . Per exemple: 23 – ( 2+3 )
Busca en el quadre de sota el símbol que correspongui a aquest resultat Pregunta-li a la bruixeta quin és el símbol i veuràs com ella ho sap !!!
No és veritat que era aquest ? Ja Ja Ja !!!
Tornem a jugar ???
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
Primer mira fixament a la bruixeta !Després només cal que pensis en un número de 2 xifres
A aquest número, resta-li la suma d’ ells . Per exemple: 23 – ( 2+3 )
Busca en el quadre de sota el símbol que correspongui a aquest resultat Pregunta-li a la bruixeta quin és el símbol i veuràs com ella ho sap !!!
No és veritat que era aquest ? Ja Ja Ja !!!
Tornem a jugar ???
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
Primer mira fixament a la bruixeta !Després només cal que pensis en un número de 2 xifres
A aquest número, resta-li la suma d’ ells . Per exemple: 23 – ( 2+3 )
Busca en el quadre de sota el símbol que correspongui a aquest resultat Pregunta-li a la bruixeta quin és el símbol i veuràs com ella ho sap !!!
No és veritat que era aquest ? Ja Ja Ja !!!
Tornem a jugar ???
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
Primer mira fixament a la bruixeta !Després només cal que pensis en un número de 2 xifres
A aquest número, resta-li la suma d’ ells . Per exemple: 23 – ( 2+3 )
Busca en el quadre de sota el símbol que correspongui a aquest resultat Pregunta-li a la bruixeta quin és el símbol i veuràs com ella ho sap !!!
No és veritat que era aquest ? Ja Ja Ja !!!
Tornem a jugar ???
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
Primer mira fixament a la bruixeta !Després només cal que pensis en un número de 2 xifres
A aquest número, resta-li la suma d’ ells . Per exemple: 23 – ( 2+3 )
Busca en el quadre de sota el símbol que correspongui a aquest resultat Pregunta-li a la bruixeta quin és el símbol i veuràs com ella ho sap !!!
No és veritat que era aquest ? Ja Ja Ja !!!
Tornem a jugar ???
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
Primer mira fixament a la bruixeta !Després només cal que pensis en un número de 2 xifres
A aquest número, resta-li la suma d’ ells . Per exemple: 23 – ( 2+3 )
Busca en el quadre de sota el símbol que correspongui a aquest resultat Pregunta-li a la bruixeta quin és el símbol i veuràs com ella ho sap !!!
No és veritat que era aquest ? Ja Ja Ja !!!
• Escriu els números del 0 al 9 en una fulla de paper
• Subratlla 5 d’aquests nombres
• Amb els dígits que has subratllat, utilitza’ls en l’ordre que
vulguis formant número de 5 xifres
• Ara, amb els 5 dígits que no has utilitzat, forma un altra
número que 5 xifres
• Suma els dos números que has construït i envolta en un
cercle una de les xifres del resultat, que no sigui un zero
• Suma ara tots els dígits del resultat menys el que has
envoltat.
• Ara t’endevinaré el número que has encerclat !!!!
El número que has encerclat és aquell que et falta per
arribar al pròxim múltiple de 9.
Un nombre de vàries xifres actua igual que el residu de dividir-lo per 9 o, el que és el mateix, actua igual que el resultat de sumar les seves xifres i reduir-les a un sol dígitAixí, per exemple :
111+ 587=698 equival a comprovar que 3 + 2 = 5Al dividir cada nombre per 9 i sumar els seus residus es manté el resultat 111:9 té com a residu 3 111=12·9 + 3 El 111 actua com un 3 ( O també 1+1+1=3)587:9 té com a residu 2 587=65·9 +2 El 587 actua com un 2 ( O també 5+8+7=20 i 2+0=2)698:9 té com a residu 5 698 =77·9+5 El 698 actua com un 5 ( O també 6+9+8= 23 i 2+3=5)
Molt útil per comprovar divisions : ( Tot i que no és garantia que l’operació sigui correcta, però sí que serveix per detectar que ens hem equivocat)
25396:48 Quocient 529 i residu 4 Comprovació de la divisió 529·48 + 4 = Comprovació de la divisió amb un sol dígit : 7·3 + 4= 25 = 7
2+5+3+9+6=25 4+8=12 5+2+9=162+5=7 1+2=3 1+6=7
Per què funciona ??3 0 4 1 9
+ 7 2 6 5 81 0 3 0 7 7
La suma 1+0+3+0+7= 11 falten 7 per al pròxim múltiple de 9 que és 18
El resultat de la suma anterior ha de ser un múltiple de 9 sempre ja que
1+2+3+…+8+9=45 que és múltiple de 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 6 8 1 3 5 7 9
3 6 9 12 = 3 6 9 3 6 9
4 8 3 7 2 6 1 5 9
5 1 6 2 7 3 8 4 9
6 3 9 6 3 9 6 3 9
7 5 3 1 8 6 4 2 9
8 7 6 3 4 3 2 1 9
9 9 9 9 9 36 = 9 9 9 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18
11 121= 4 6 8 1 3 5 7 9
12 6 9 3 6 9 3 6 9
13 8 3 7 2 6 1 5 9
14 1 6 2 196=7 3 8 4 9
15 3 9 6 3 225=9 6 3 9
16 5 3 1 8 6 4 2 9
17 7 6 3 4 3 2 289=1 9
18 9 9 9 9 9 9 9 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18
11 4 6 8 1 3 5 7 9
12 6 9 3 6 9 3 6 9
13 8 3 7 2 6 1 5 9
14 1 6 2 7 3 8 4 9
15 3 9 6 3 9 6 3 9
16 5 3 1 8 6 4 2 9
17 7 6 3 4 3 2 1 9
18 9 9 9 9 9 9 9 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 6 8 1 3 5 7 9
3 6 9 3 6 9 3 6 9
4 8 3 7 2 6 1 5 9
5 1 6 2 7 3 8 4 9
6 3 9 6 3 9 6 3 9
7 5 3 1 8 6 4 2 9
8 7 6 3 4 3 2 1 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9
19 20 21 22 23 24 24 26 27
20 4 6 8 1 3 5 7 9
21 6 9 3 6 9 3 6 9
22 8 3 7 2 6 1 5 9
23 1 6 2 7 3 8 4 9
24 3 9 6 3 9 6 3 9
25 5 3 1 8 6 4 2 9
26 7 6 3 4 3 2 1 9
27 9 9 9 9 9 9 9 9
o Un contrincant ha de posar un altre número a sota
o Jo en posaré un 3r o El contrincant en posarà un 4to I jo un 5èo La suma dels 5 números será el que hi haurà en
el sobre
25733 23476
FIBONACCI :
MEMÒRIA PRODIGIOSA 2
DIVISIBILITATS DE LA SUMA
LA MÀGIA DELS SEUS TERMES
QUE AMAGA EL SOBRE DAURAT?
ENCRIPTACIÓ: EL SECRET ESTÀ EN SABER-HO
OCULTAR I TROBAR LA CLAU
MEMÒRIA PRODIGIOSA 2
CODIS DE BARRES
BITLLETS
EL SECRET OCULT ESTÀ EN LES
EQUACIONS I EN EL NOSTRE SISTEMA
DECIMAL
UN TRUC DE CARTES
UN NÚMERO DE 3 XIFRES
UN ALTREDE 3 DAUS ; EL VERMELL, EL
BLAU I EL VERD
UN NÚMERO MOLT ESPECIAL
UN ALTRE NÚMERO MOLT ESPECIAL
EL SECRET ESTÀ EN DESCOMPOSICIÓ
FACTORIAL
EL SECRET ESTÀ EN LA RESTA
SEMBLA MÀGIA PERÒ NO HO ÉS :
MULTIPLICACIÓ RÀPIDA
Diga’m el número encerclat i t’endevinaré els 7 números de sota !!!
MEMÒRIA PRODIGIOSA 1
El número de dalt em dóna la informació del de baix : Al número encerclat li sumem 11 i el girem. Aquests seran els dos primers
nombres. Els 5 següents s’obtindran com Fibonacci : Els 7 números de sota es construeixen s’obté 4+3=7 3+7=10 i ens quedem amb
l’últim 0 +7=7 i 7+7=14 i ens quedem amb el 4
Exemple : 23+11=34 i
per tantcomença
amb 43 i li seguirà un 7
Us volem parlar de Fibonacci i de la seva successió.
• Fibonacci va néixer a Pisa sobre el 1170 el seu nom autèntic era Leonardo de Pisa.
• Era fill de Bonacci, un ric comerciant, que va despertar en Leonardo el seu interès
per les matemàtiques.
• Fibonacci va tenir un mestre àrab i va viatjar per Egipte, Síria, Grècia i Sicília i va
ampliar molt els seus coneixements matemàtics.
• Va ser un dels pioners del sistema de numeració tal com el coneixem actualment,
anomenat sistema indo-ràbic.
• Aquest sistema de numeració no es va generalitzar fins al segle XVI. El sistema de
numeració empleat, fins aleshores, eren els nombres romans que són molt
carregosos pels càlculs.
• Va estudiar el nombre de parelles de conills que es produiran cada mes si partim
d’una parella inicial de conills. Això va donar lloc a la successió de Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8,13, 21.....
B. Ara farem un truc utilitzant la successió de Fibonacci.
FIBONACCI
SUCCESSIÓ DE FIBONACCI• Tria dos nombres qualssevol de 1
al 9 .
• Forma una successió de Fibonacci de 10 termes.
• Amb una calculadora suma tots els termes.
• Jo t'endevinaré aquesta suma
MEMÒRIA PRODIGIOSA Tapa un nombre de la taula i te’l endevino
36 22 39 36 19 23 36 22
42 50 51 53 57 44 42 50
30 26 38 11 15 37 30 26
31 14 18 31 17 34 31 14
48 52 39 37 45 46 48 52
6 10 32 25 21 33 6 10
26 12 29 26 9 13 26 12
32 40 41 43 47 34 32 40
20 16 28 1 5 27 20 16
21 4 8 11 7 24 21 4
MEMÒRIA PRODIGIOSA Sumo o resto 5 al nombre que dinc diagonalment 3 posicions més avall o més amunt
36 22 39 36 19 23 36 22
42 50 51 53 57 44 42 50
30 26 38 11 15 37 30 26
31 14 18 31 17 34 31 14
48 52 39 37 45 46 48 52
6 10 32 25 21 33 6 10
26 12 29 26 9 13 26 12
32 40 41 43 47 34 32 40
20 16 28 1 5 27 20 16
21 4 8 11 7 24 21 4
- 5- 5
+ 5 + 5
Podem interpretar què representa el codi 8413000065504 gràcies a un sistema normalitzat de
representació denominat EAN (European Article Number). En aquest sistema, els dos primers dígits
identifiquen l’organització a través de la qual s’ha adscrit l’empresa fabricant del producte al sistema
EAN. El codi de l’organització que opera al nostre país, de moment Espanya és 84, per això el codi de
molts productes espanyols comença per aquests dígits. El següent tram de dígits, que està constituït
per un número comprès entre 5 i 8 dígits, identifica al propietari de la marca. Tots els dígits que queden,
excepte l’últim, representen el codi del producte.
L’últim dígit, l’anomenat dígit de control, el podem endevinar !!!
Dígit de control El podem
endevinar !!! Tapa’l !!!
Sumen (posicions parells) i els multipliquem per 3 i li sumem tots elsEl que falti per al pròxim múltiple de 10 será DC
3 · ∑𝑝𝑎𝑟𝑒𝑙𝑙𝑠 + ∑𝑠𝑒𝑛𝑎𝑟𝑠 𝑓𝑖𝑛𝑠 𝑎 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑒 𝑑𝑒 10
A-2 B-3 C-4 D-5 E-6 F-7 G-8 H-9 I-10 J-11 K-12
L-13 M-14 N-15 O-16 P-17 Q-18 R-19 S-20 T-21
U-22 V-23 W-24 X-25 Y-26 Z-27
Utilitzarem el següent conveni per convertir
lletres en números:
A-2 B-3 C-4 D-5 E-6 F-7 G-8 H-9
I-10 J-11 K-12 L-13 M-14 N-15
O-16 P-17 Q-18 R-19 S-20 T-21
U-22 V-23 W-24 X-25 Y-26 Z-27
Substituint la o les lletres que apareixen en el
número de sèrie del bitllet per números, el
número de sèrie del bitllet sempre resulta ser
congruent con 0 mòdul 9. En altres paraules: si
anem sumant els dígits del número de sèrie i
cada cop que ens quedi una quantitat de més
de dos xifres, sumem aquestes entre sí, al
final, el resultat que queda és 9.
A 1 2
B 2 3
C 3 4
D 4 5
E 5 6
F 6 7
G 7 8
H 8 9
I 9 1
J 10 2
K 11 3
L 12 4
M 13 5
N 14 6
O 15 7
P 16 8
Q 17 9
R 18 1
S 19 2
T 20 3
U 21 4
V 22 5
W 23 6
X 24 7
Y 25 8
Z 26 9
I li sumem 1 per trovar el valor de la lletra
I li sumem 1 per trobarel valor de la lletra i el
reduïm a un dígitPer recordar-ho ràpit :
FOX 7CLU 4
Un Truc De Cartes
Un Truc De Cartes
• Pensa un nombre del 1 al 9 i dona’ m una carta que correspongui al nombre que has pensat.
• Jo també trio una carta i la separo.
• Suma-li 2
• Multiplica el resultat per 5
• Resta-li 6
• Multiplica’l per 2
• Pensa un número del 1 al 9, o el que és el mateix, agafa una carta que no sigui figura i jo n’agafaré una altra, o en pensaré un altre
• Suma 2 al teu número
• Multiplica per 5 el resultat
• Resta 6 al nombre que t’ha donat
• Torna a multiplicar per 2
El resultat serà un nombre de dos xifres i el primer d’ells és el que havies pensat i el segon és un 8
Un Truc De Cartes
• Pensa un número del 1 al 9 i jo en pensaré un altre X (jo penso 8 sempre!!)
• Suma 2 al teu número X + 2
• Multiplica per 5 el resultat 5X+10
• Resta 6 al nombre que t’ha donat 5X+4
• Torna a multiplicar per 2 10X+8
El resultat serà un nombre de dos xifres i el primer d’ells és el que havies pensat i el segon és un 8
Un Truc De Cartes
Un Altre De 3 Daus: El Vermell, el Blau i el Verd
Un Altre De 3 Daus: El vermell, el blau i el verd• Llança tres daus i t'endevinaré els nombres que t’han
sortit.
• Fes les següents operacions:
• Al resultat del dau vermell, suma-li 2.
• Multiplica el resultat per10.
• Suma el resultat del dau blau i al resultat suma-li 3.
• Multiplica per 5 el resultat.
• Suma-li 4.
• Multiplica’l per 2.
• Suma-li el resultat del dau verd.
• Quin és el resultat?
• Li resto el nombre màgic 238...
Un Altre De 3 Daus: El vermell x, el blau y i el verd z• Llança tres daus i t'endevinaré els nombres que t’han
sortit.
• Fes les següents operacions:
• Al resultat del dau vermell X, suma-li 2. x+2
• Multiplica el resultat per 10. 10x+20
• Suma el resultat del dau blau i al resultat suma-li 3. 10x+20+y+3 = 10x+y+23
• Multiplica per 5 el resultat. 50x+115+5y
• Suma-li 4. 50x+119+5y
• Multiplica’l per 2. 100x+ 238+10y
• Suma-li el resultat del dau verd. 100x+10y+z+238
• Quin és el resultat?
• Li resto el nombre màgic 238...
Un Número De 3 Xifres
• Pensa un número de 3 xifres
• Multiplica per 2 la primera d’elles
• Suma 3 al resultat anterior
• Multiplica per 5 el resultat anterior
• Al resultat, suma-li la segona xifra del número
que havies pensat inicialment
• Multiplica per 10
• Suma la 3a xifra del número que havies pensat
• Resta-li 150
• Què has obtingut ?
Un Número De 3 Xifres
• Pensa un número de 3 xifres 100x + 10y+ z
• Multiplica per 2 la primera d’elles 2x
• Suma 3 al resultat anterior 2x+3
• Multiplica per 5 el resultat anterior 10x+15
• Al resultat, suma-li la segona xifra del número
que havies pensat inicialment 10x + 15 + y
• Multiplica per 10 100x+150+10y
• Suma la 3a xifra del número que havies pensat 100x+150+10y+z
• Resta-li 150 100x+10y+z
• Què has obtingut ? EL QUE HAVIES PENSAT
Un Número De 3 Xifres
Un Número Molt Especial
• Davant de tothom escrivim un nombre en un paper i li donem a algú per a que se’l guardi a la butxaca. Agafem una altra persona i li diem que faci les operacions següents:
• Que agafi un nombre de tres xifres no capicua (per exemple 543)
• Que construeixi un altre nombre a partir del primer intercanviant la primera i la tercera xifres (345)
• Que resti el més petit dels dos al més gran dels dos (543-345=198)
• Que agafi el resultat de la resta i construeixi un nou nombre intercanviant la primera i la tercera xifres (891)
• Que sumi el nou nombre obtingut amb el resultat de la resta(198+891=1089)
• En aquest moment diem a l'altra persona que llegeixi el nombre que ha guardat en el sobre.
Aquest nombre coincideix amb el resultat de totes les operacions. Per que?
Un Número Molt Especial
543 Intercanviem 1ª i última (dos cops) 891
- 345 + 198198 1089
Un Número Molt Especial 1089
Un Altre Número Molt Especial
• Davant de tothom escrivim un nombre en un paper i li donem a algú per a que se’l guardi a la butxaca. Agafem una altra persona i li diem que faci les operacions següents:
• Que agafi un nombre de 5 xifres no capicua ( per exemple 12345)
• Que construeixi un altre nombre a partir del primer intercanviant la primera i la cinquena xifres.(54321)
• Que resti el més petit dels dos al més gran dels dos (54321-12345=39996)
• Que agafi el resultat de la resta i construeixi un nou nombre intercanviant la primera i la última xifra 69993
• Que sumi el nou nombre obtingut amb el resultat de la resta (39996+69993=109986)
• En aquest moment diem a l'altra persona que llegeixi el nombre que ha guardat en el sobre.
Aquest nombre coincideix amb el resultat de totes les operacions. Per què?
Un Altre Número Molt Especial
Un Altre Número MoltEspecial 109989
• El nombre de 5 xifres xyzuv• Intercanviem el 1r dígit per l’últim vyzux• Restem el major del menor 10000x+1000y+100z+10u+v – (10000v+1000y+100z+10u+x)=10000(x-v) + v-x = 10000(x-v-1) + 9990+10+v-x (Unitats 10+v-x ja que x>v)
• Intercanviem la 1ª i la última 10000(10+v-x) + 9990 + (x-v-1)• Sumem els dos resultats anteriors : 10000(x-v-1) + 9990+10+v-x + 10000(10+v-x) + 9990 + (x-v-1)=109990-1 =
109989
ANY De NAIXeMENTi NúMERo de
SABATES
EL SECRET ESTÀ EN DESCOMPOSICIÓ FACTORIAL
Només he de dividir per 13 el
resultat obtingut i serà el número que havies pensat
al principi
Serveix per explicar la
descomposició factorial del
1001
Fins i tot puc endevinar divisors
• Escriu un nombre de tres xifres a la calculadora.
• Afegeix el mateix nombre i obtindràs un nombre de sis xifres.
• Jo t’endevinaré els divisors difícils.
La suma de les 3 xifres és 18 i a més : la xifra de les desenes és un 9 i les centenes i les unitats sumen 9
2277
327 327x4 + 327x80 + 327x500 X 584
190968
Unitats : 4x7 = 28 Posem un 8 i ens emportem 2 Desenes : 4x2 + 8x7+2 (que són les que ens emportem d’abans )= 66 Posem un 6 i ens emportem 6 Centenes: 4x3 + 8x2 + 5x7 + 6 (que són les que ens emportem) = 69 Posem 9 i ens emportem 6Unitats de milers : 8x3 + 5x2 + 6(que són les que ens emportem) = 40 Posem un 0 i ens emportem 4Desenes de milers : 5x3+ 4(que són les que ens emportem ) = 19
• CAMINS MÀGICS : ELS PONTS DE KÖNIGSBERG …………………………………………194
• RETALLAR I ENGANXAR PER DEMOSTRAR ?• TEOREMADE PITÀGORES………………….204• DESAPARICIÓI APARICIÓ D’ÀREA !......207• COM ÉS QUE HI HA UN FULLET DE MÉS
?? LA PARADOXA DE HOOPER.....…….214• LES CORDES MÀGIQUES…………………………219
• PODEM ALLIBERAR L’ARO DE LA CORDA?• ENS PODEM DESLLIGAR ?
• ESCONGIR UNA PERSONA I FER-LA PASSAR PER UN FORADET……………………………….…..227
• LA BANDA DE MOEBIUS: ANEM AL CIRC….229• LA GEOMETRIA DE LES IL·LUSIONS………....234
• ESCONGIR UNA PERSONA • IL·LUSIOS ÒPTIQUES• FIGURES IMPOSSIBLES• VISIÓ DOBLE
•Dibuixa una caseta amb un sol traç, és a dir, sense aixecar el llapis del paper i sense passar per una
línia ja recorreguda :
A
E B
f F
D C
CD 1 CE 2 EA 3AB 4 BE 5 ED 6 DB 7 BC 8
• El problema dels ponts de Königsberg, també anomenat més específicament problema dels set ponts de Königsberg, és un cèlebre problema matemàtic, resolt per Leonhard Euler en 1736 i la resolució del qual va originar la teoria de grafs.
• El seu nom es deu a a Königsberg, la ciutat de Prússia Oriental, més tard d'Alemanya i que des de 1945 es va convertir en la ciutat russa de Kaliningrad. Aquesta ciutat és travessada pel riu Pregel que es bifurca per envoltar amb els seus braços a la illa Kneiphof, dividint el terreny en 4 regions que s’uneixen per 7 ponts.
Donat el mapa de Königsberg,
amb el Pregel dividint el pla en
quatre regions diferents, que
estan unides a través dels 7
ponts. És possible donar un
passeig començant des de
qualsevol d’aquestes regions,
passant per tots els ponts,
recorrent només un cop
cadascun, i tornant al mateix
punt de sortida ?
És una branca de la matemàtica que s’ocupa de l’estudi de les formes i relacions prescindint de la rigidesa de la geometria euclidiana.
Es coneix com la geometria de la fulla de goma. Segons aquesta filosofia, podem fer el dibuix anterior amb el següent esquema, on cada línia representa un pont i
cada vèrtex una zona de la ciutat.
• Per a la demostració, Euler recorre a una abstracció del mapa, enfocant-se exclusivament en les regions terrestres i les connexions entre elles. Cada pont el
representa mitjançant una línia que uneix a dos punts, cadascun d’ells representava una regió
diferent. Així el problema es redueix a decidir si existeix o no un camí que comenci per un dels punts blaus, que passi per totes les línies una única vegada
i regressi al mateix punt de sortida.
• Cada cop que passem per un vèrtex, hi ha dos camins implicats, el d’anada i el de tornada, és a dir, el que ens porta al vèrtex i el que ens allunya d’ell.
• Per tant, només hi pot haver dos vèrtexs units a un nombre senar de camins, que seran el primer i l’últim.
• Donat que en el gràfic hi han més de dos vèrtexs amb un número senar de camins, no és possible resoldre el problema.
• Leonard Euler va ser el pare de la teoria de Grafs
• Solució de Euler• Euler va determinar que els punts intermitjos d’un recorregut possible
necessàriament han d’estar connectats a un número parell de línies. En efecte, si arribem a un punt des d’alguna línia, llavors l’única manera de sortir d’aquest punt és per una línia diferent. Això significa que tant el punt inicial com el final serien els únics que podrien estar connectats amb un número imparell de línies. Però donat que, un dels requisits del problema diu que el punt inicial ha de ser el mateix que el final, motiu pel qual no pot existir cap punt connectat amb un número senar de línies.
• En particular, com que aquest diagrama els 4 punts tenen un número senar de línies incidents (3 d’ells incideixen en 3 línies, i el restant en 5), llavors es conclou que és IMPOSSIBLE definir un camí amb les característiques buscades.
A
E B
f F
D C
DC 1 CE 2 EA 3 AB 4 BE 5 ED 6 DB 7 BC 8
Dibuixa la següent figura i retalla els triangles ombrejats. Col·loca les 3 peces resultats de manera
que facin un quadrat.
El costat del quadrat resultant coincideix
amb la hipotenusa del triangle ombrejat i els costats dels quadrats
originals són, respectivament els catets dels triangles
ombrejats.
Mirant la conservació de les àrees dels quadrats
𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐
Àrea Quadrat gran = Àrea Quadrat mitjà+ Àrea Quadrat petit
Mirant el triangle tenim que
𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐
𝑯𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂𝟐= 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝟐 + 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝟐
• Un altre model molt popular és el dissenyat per Pat Patterson. La idea bàsica és mostrar una imatge i retallar la figura que la conté per, al reordenar les peces, la imatge continguda sigui diferent.
• La solució a l’enigma és similar a la de les línies: els follets no tenen la mateixa mida en els dos dibuixos. Hi ha un lleuger augment exactament 1/14) que permet dissimular un d’ells i aparentar que només hi ha 14 en el 2n dibuix. Si col·loquem els personatges en línia, la situació queda així:
• En una fulla de paper es dibuixen 10 línies paral·leles i de la mateixa longitud, com en la figura de l’esquerra; si es talla la fulla per la diagonal de manera que passi per l’extrem inferior la primera línia i l’extrem superior de la dècima: per últim es desplaça la meitat superior com s’indica en la figura 64.
• Por què ara hi ha només 9 línies ? On està la dècima?
El conjunt dels braços i les cordes, no constitueix
topològicament dos cercles entrellaçats, sinó que hem
de tenir en compte què passa amb els forats que
queden al voltant dels canells, ja que aquestes
formen de nou circumferències. L’ús
d’aquests forats és crucial a l’hora de resoldre el
problema
ANEM A ESCONGIR UNA PERSONA PERQUÈ PASSI PER UN FORADET
• Pots passar pel forat d’un embut?
• Si això no és possible.
• Creus que podràs passar per aquest foradet del full?
• No oblidis que amb màgia tot és possible
Tenim dos cinturons molt estranys, però en necessitem tres : Un per un
home molt forçut i molt gran i un d’especial per dues noies que són
siameses.
Com ens ho fem ???
IL·LUSIONS ÒPTIQUES• Si observes atentament durant un minut les següents diapositives
veuràs com els anells concèntrics es doten de moviment.
• On s’ origina la il·lusió a la ment o al ull?
• La il·lusió ve donada per moviments involuntaris del ull que es produeixen durant la fixació de la vista.
• Si fixes la mirada, el moviment s’accelerarà.
Veus El Triangle De Color Negre?
No hi ha cap triangle en la figura. El nostre sistema visual interpreta l’ informació
que rep i li dona forma, de vegades el cervell percep formes que no hi són
FIGURES IMPOSSIBLES
• Les figures impossibles són figures que només és poden recrear en un món en dues dimensions. Això vol dir que quan les intentem recrear (o transportar) en el 3 dimensions ens resulta impossible fabricar-les.
Estan relacionades amb el món del dibuix tècnic i normalment manipulen les perspectives reals per forçar imatges impossibles.
Cub impossible
Maqueta d’ escales impossibles
M.C. Escher
Tribar de Reutersvärd.
Trident impossible o Forquilla
del Diable.
Les columnes són circulars o rectangulars?
Quina Forma Té Una Figura?• El nostre cervell pot interpretar la mateixa figura de formes
diferents, encara que mai de manera simultània.
• El nostre cervell saltarà d’una interpretació a l’altra per molt que ens esforcem a veure les dues alhora.
Quina forma té aquesta figura?
M.C. Escher
CONILL i ÀNEC
Qué hi veus?
Ocells i peixos
• Qué hi veus?
Home gran / Dona assentada al centre d’esquena
Un indi i una persona d’esquena, un saxofonista i la sobra de la cara d’una noia
Ilusiones ópticas. Victoria Skye
http://www.victoriaskye.com/opticalillusion.html
App Ilusionismo Cosmocaixa
https://itunes.apple.com/es/app/ilusionismo/id587292603
Richard Wiseman. Carta que cambia de color.
https://www.youtube.com/watch?v=dkTP7fkeIU4
Mc Gurk Illusion
https://www.youtube.com/watch?v=G-lN8vWm3m0
Caja Jerry Andruss
https://www.youtube.com/watch?v=vUebXhOspyE
Dragon illusion
https://www.youtube.com/watch?v=azSdu6QULwU
http://www.thinkfun.com/dragonillusion
8 3 4
1 5 9
6 7 2
Un quadrat és màgic quan la suma de les caselles de cadascuna de les files, decada columna i de cadascuna de les dues l següent quadrat 3x3 és màgic :diagonals dóna sempre el mateix resultat i tots els números són diferents. Perexemple:
Aquest és el més antic que es coneix. Segons diuen el va inventar un matemàtichindú 1000 anys aC i és un quadrat màgic d’ordre 3 de constant màgica 15.La composició de quadrats màgics numèrics sempre ha agradat als matemàtics detots els temps. El seu interès consisteix en trobar per un número determinat N, elquadrat màgic tal que la suma de cadascuna de les seves files, les seves columnesi la de les dues diagonals donin aquest nombre N anomenada CONSTANT MÀGICA
Els antics mags de Pèrsia, que eren al mateix temps, metges, deien que posats aquests quadres màgics sobre
l’òrgan malalt del cos, feien desaparèixer la malaltia. Els quadrats màgics són els antepassats dels actuals
cataplasmes que avui en dia moltes les persones grans es posen en forma de pegat per guarir dolors.
Actualment s’ha demostrat que no guareixen cap malaltia, però no fa gaire anys, durant la guerra de Cambotja
(any??) moltes dones dibuixaven aquest quadres màgics en els seus mocadors i se’ls posaven al cap pensant que
els protegirien de les bombes. Molts observadors van comentar que aquests quadres numèrics només funcionaven
quan hi havia boira, és clar, els avions no sortien a bombardejar!!!
6 7 2
1 5 9
8 3 4
4 3 8
9 5 1
2 7 6
8 1 6
3 5 7
4 9 2
2 9 4
7 5 3
6 1 8
Donat un quadre numèric d’ordre senar, és molt fàcil construir-ne de semblants a partir de simetries i girs de l’original,per exemple, si prenem com a original l’anterior, podem fer els següents :
1r) Simetria respecte la 2a fila (la fila actua com si fos un mirall)2n) Simetria respecte la 2a columna2a3r) Simetria respecte la 1a diagonal4t) Simetria respecte la 2a diagonal /
5è) S’obté canviant files per columnes 1aF =1a C...,
8 3 4
1 5 9
6 7 2
8 1 6
3 5 7
4 9 2
Un dels quadrats màgics interessants és el que està
representat en la Façana de la Passió de la Sagrada Família:
Criptograma de Subirats.
Tot i que no és realment un quadrat màgic ja que es
repeteixen dos nombres que són
10,14. INRI
L’enigmàtic criptograma és un quadrat màgic 4 x 4 on les sumes de cada fila, cada columna i de les
dues diagonals és 33, l’edat que s’atribueix a Crist en el moment de
la seva mort. A més, amb els nombres d’aquest quadrat es
poden fer més de 310 combinacions diferents que
sumen sempre 33. Unes quantes són :
http://losclicos.wordpress.com/2011/02/03/quadrat-magic-de-la-sagrada-familia/
(Museu britànic de Londres) Els nombres 15 i 14 que apareixen a les caselles centrals de la fila inferior i indiquen l’any en que va morir la seva mare i, a més coincideix en l’any de la
seva construcció
La 1ª fila del 1r quadre és la última del 2n quadre escrita al revés
La 2ª fila dels 1r és la 3ª del 2n i així successivament.Traslació i una simetría axial d’eix vertical
1 14 14 4
11 7 6 9
8 10 10 5
13 2 3 15
1414
1414
1414
14
1 14 14 4
11 7 6 9
8 10 10 5
13 2 3 15
1 14 14 4
11 7 6 9
8 10 10 5
13 2 3 15
1 14 14 4
11 7 6 9
8 10 10 5
13 2 3 15
1 14 14 4
11 7 6 9
8 10 10 5
13 2 3 15
1 14 14 4
11 7 6 9
8 10 10 5
13 2 3 15
1 12 7
11 8 2
5 10 3
4 6 9
N-20 1 12 7
11 8 N-21 2
5 10 3 N-18
4 N-19 6 9
11 24 7 20 3
4 12 25 8 16
17 5 13 21 9
10 18 1 14 22
23 6 19 2 15
4 9 2
3 5 7
8 1 6
11 24 7 20 3
4 12 25 8 16
17 5 13 21 9
10 18 1 14 22
23 6 19 2 15
11 7 3
12 8
17 13 9
18 14
23 19 15
66 2
24 20
4
10
16
22
521
25
1
11 24 7 20 3
4 12 25 8 16
17 5 13 21 9
10 18 1 14 22
23 6 19 2 15
11 24 7 20 3
4 12 25 8 16
17 5 13 21 9
10 18 1 14 22
23 6 19 2 15
6 2
24 20
4
10
16
22
521
25
1
11 24 7 20 3
4 12 25 8 16
17 5 13 21 9
10 18 1 14 22
23 6 19 2 15
11 24 7 20 3
4 12 25 8 16
17 5 13 21 9
10 18 1 14 22
23 6 19 2 15
23 6 19 2 15
En construirem un de 5x5 utilitzant els següents passos.( Pots començar per 1 el
nombre que vulguis ) Nosaltres començarem per 1
1. Es col·loca el primer nombre ( 1 en l’exemple) a la casella central de la darrera fila
2. Després cal que et desplacis a la primera fila i et moguis una casella a la dreta i
escriguis el nombre consecutiu al que hagis escrit, en el nostre exemple 2
3. Sempre que sigui possible, s’omplen les caselles en diagonal, de dalt a baix i
d’esquerra a dreta
4. Quan hagis emplenat una casella de l’última columna, salta a la primera columna i
mou-te una casella cap avall
1
2
1
2
3
4
5
1
2
3
1
5. Si, en baixar en diagonal et trobes en una casella plena, salta a
la casella immediatament superior a l’última casella que has
emplenat
6. Després d’omplir l’última casella del racó inferior dret, salta a la
casella immediatament superior
2
3
4 6
5
1
2 9
3
4 6
5 7
1 8
11 18 25 2 9
10 12 19 21 3
4 6 13 20 22
23 5 7 14 16
17 24 1 8 15
Enigma :
“Els presos avispats o el vigilant pardillo”
En una presó hi ha 32 presos repartits en 8 cel·les dins d’una planta quadrada. Encadascuna de les cel·les dels angles hi ha un pres i en les cel·les que no formenangle, n’hi ha 7.El vigilant compta cada nit els presos que hi ha en cadascuna de les fileres,assegurant-se que sumen 9.Cert dia se’n foguen 4. Quan el vigilant fa el recompte no se n’adona de res, jaque els presos han adoptat una nova disposició en que la suma de les fileres és 9•Que van fer els presos per burlar-se del vigilant i fogar-se? Com estaven situatsen les cel·les ?
1 7 1
7 7
1 7 1
Enigma :
“Els presos avispats o el vigilant pardillo”
De 32 han passat a ser 28 presos.
Tres dies més tard se’n foguen 4 més. Aquest cop, el vigilant
tampoc se n’adona, doncs, com cada nit sumaven 9 cada filera.
Com van tornar a burlar el vigilant ?
5 3 1
3 7
1 7 1
Enigma :
“Els presos avispats o el vigilant pardillo”
De 32 inicials, a 28 i ara a 24 presos.
Una setmana després, el vigilant se n’adona que només queden 20 presos!!!, però el recompte continuava essent de 9.
5 3 1
1 5
3 5 1
Enigma :
“Els presos avispats o el vigilant pardillo”
De 32 inicials, a 28, 24 i ara 20 presos!!!
Hauria estat possible una fuga més ???
5 1 3
1 1
3 1 5
4 1 4
1 1
4 1 4
No,jaquehaguésquedatbuidaalgunacel·laisen’hauriaadonatelvigilant.
A 8 B
C D E
9 16 11
Acaba el quadrat numèric per a que sigui màgic, és a dir, cal que la suma de cada fila,
cada columna i les dos diagonals han de sumar el mateix.Quan valen A, B, C, D, E ?
13 8 15
14 12 10
9 16 11
A 8 B
C D E
9 16 11
Suposem que tenim un grup de 23 persones i calculem la probabilitat de que cap d’elles celebri el
seu aniversari el mateix dia:
Persona 1: tinc 365 possibilitats per al seu naixement
Persona 2: hi ha 364 possibilitats, ja que no ha d’haver nascut en la mateixa data que la persona 1.
Persona 3: queden 363 possibilitats, donat que no pot néixer en les dates dels anteriors. Si seguim
avançant de la mateixa manera arribarem a :
Persona 22: hi ha 344 possibilitat de no coincidència amb els anteriors.
Persona 23: queden 343 possibilitats d’elecció per a que el seu aniversari no coincideixi amb alguna
de les persones anteriors. Així la probabilitat de que en un grup de 23 persones NO hi hagi dos que
celebrin el seu aniversari en la mateixa data és :
Per calcular la probabilitat que dues persones celebrin el seu aniversari en la mateixa data, quant
ambdós pertanyen al grup de n persones, es procedeix de manera anàloga a com ho hem fet
abans.
Per exemple, per a un grup de 46 persones, la probabilitat de que dues d’elles compleixin anys el
mateix dia és de 0,948252843
Enllaç Video BATxillerat Mc Grawn Hill Probabilitat
http://www.estadisticaparatodos.es/taller/montyhall/montyhall.html
Let’s Make a Deal va ser un famós concurs en les dècades 60-70 de la televisió de EEUU presentat per Monty Hall i Carol Merril.
¡Benvinguts al show de Monty Hall!
Darrera d’una d’aquestesportes hi ha un cotxe.
I darrera de les dues restants, Hi ha una cabra.
A B C
Escullo la porta A
El nostre concursantseleccionarà una porta ...
A B C
PORTA SELECCIONADA
Monty Hall (que coneix on està el cotxe) obre la porta C.
Ara sabem que el coxte està o bé en A o bé en B.
Monty Hall ens permet canviar d’elecciósi volem …
És més probable guanyar el cotxe si canviem de porta? (En aquest cas de A a B).
Si el concursanteCANVIA
La seva elecció original
Perd
GuanyaPerd
Perd
Guanya
Guanya
Guanya
Guanya Guanya
Si el concursant CANVIA la seva elecció original guanya 6 cops de les 9: la sevaprobabilitat de guanyar és 6/9 = 2/3. Si no canvia, la seva probabilitat de guanyar és de 3/9 = 1/3. ¡Té el doble de possibilitats de guanyar si canvia de porta!
Gana Gana
Gana
Gana
Pierde
PierdeGana
Gana
Juga I comprova-ho estadísticament en
http://www.estadisticaparatodos.es/taller/montyhall/montyhall.html
Aquesta la sé que és fàcil
Conclusió : Maideixar l’examen
en blanc
Nomésdisposeu de 2 minuts !!!
4 dies
