Lista 2 z Zaawansowanych Zagadnień Kombinatorykido wykładu dra Sz. Żeberskiego

1. Udowodnij, że nieskończony graf losowy zawiera kopię dowolnego grafu skończonego. (Naj-pierw sformalizuj tę poezję.)

2. Udowodnij, że nieskończony graf losowy zawiera nieskończenie wiele kopii dowolnego grafuskończonego.

3. W przestrzeni Gn,m (gdzie zdarzeniami elementarnymi są grafy o wierzchołakach ze zbioru [n]i dokładnie m krawędziach) zdefiniujmy zdarzenia:

a) A = {X : X jest spójny},b) B = {X : X nie zawiera cykli},c) C = {X : X zawiera kopię K3},d) D = {X : X zawiera wierzchołek izolowany},e) E = {X : X nie jest spójny}.

Dla każdego ze zdarzeń Z ∈ {A,B,C,D} znajdź m (jako funkcję od n) czyniące zadość warun-kowi P (Z) = 1 oraz P (Z) = 0.

4. Ustalmy dowolny graf G = ([n], E), gdzie |E| = m. Znajdź moc zbioru

{X ∈ Gn,m : X jest izomorficzny z G}.

Ile wynosi ta moc dla m = 3 i G = K3?

5. Oblicz

a) P ({(X, Y ) ∈ Gn,3 ×Gn,3 : X jest izomorficzny z Y }),b) P ({(X, Y ) ∈ Gn,3 ×Gn,3 : X nie jest izomorficzny z Y }),c) E({(X, Y ) ∈ Gn,3 ×Gn,3 : X jest izomorficzny z Y }).

6. Oblicz

a) P ({X ∈ G(n, p) : ([4], [[4]]2) ⊆ X}),b) P ({(X, Y ) ∈ G(n, p)×G(n, p) : EX ⊆ EY }),c) P ({(X, Y ) ∈ G(n, p)×G(n, p) : EX ∩ EY = ∅}).