Laboratorio Processi Stocastici
Annalisa Pascarella
Algoritmo istogrammaINF = -4;SUP = 4;DELTA = 0.4; NUM_INT = (SUP-INF)/DELTA; % numero di intervallicontatore = zeros(1,NUM_INT) % inizializziamo il contatore;
for i = 1:size(data,2) % per ogni dato
for j = 1: NUM_INT % per ogni intervallo
if data(i)>INF+(j-1)*DELTA && data(i)<INF+j*DELTA
contatore(j) = contatore(j)+1;end
endend
VALORI = INF+DELTA/2 : DELTA : SUP-DELTA/2figurebar(VALORI, contatore)
Algoritmo istogramma (efficiente)
L’algoritmo appena scritto fa un ciclo di troppo...INF SUP
1 2 k
Osserviamo che il singolo valore data(i)
INF < data(i) < SUP
0 < data(i)-INF < SUP-INF=DELTA*NUM_INT
0 < (data(i)-INF)/DELTA < NUM_INT
Algoritmo istogramma (efficiente)
INF = -4;SUP = 4;DELTA = 0.4; NUM_INT = (SUP-INF)/DELTA; % numero di intervallicontatore = zeros(1,NUM_INT) % inizializziamo il contatore;
for i = 1:size(data,2) % per ogni datoj = ceil((data(i)-INF)/DELTA);contatore(j) = contatore(j) + 1;
end
VALORI = INF+DELTA/2 : DELTA : SUP-DELTA/2figurebar(VALORI, contatore)
Istogrammi e MATLABEsiste un comando che fa l’istogramma delle frequenze dei valori di un vettore
hist(data)
hist(data,50) istogramma in 50 intervalli
data = load(‘dato_per_istogramma.dat’)
[counts bins] = hist(data,50) i conteggi in counts, i punti medi degli intervalli in bins
Numeri casuali
Un po’ di storia I numeri casuali sono utilizzati per costruire
simulazioni di natura probabilistica di fenomeni fisici: reattori nucleari, traffico stradale,
aerodinamica problemi decisionali e finanziari: econometria,
previsione Dow-Jones informatica: rendering varia natura: videogiochi
Il legame che esiste tra il gioco e le simulazioni probabilistiche è sottolineato dal fatto che a tali simulazioni è dato il nome di metodi Monte Carlo
Un po’ di storia L’idea di utilizzare in modo sistematico
simulazioni di tipo probabilistico per risolvere un problema di natura fisica viene generalmente attribuita al matematico polacco Ulam
Ulam fu uno dei personaggi chiave nel progetto americano per la costruzione della bomba atomica durante la II guerra mondiale il progetto richiedeva la risoluzione di un enorme
numero di problemi incredibilmente complessi l’idea di utilizzare simulazioni casuali per risolvere tali
problemi gli venne giocando a carte
Cos’è un numero casuale?
Lancio di un dado: l’imprevedibilità del numero ottenuto come punteggio conferisce allo stesso una forma di casualità
Diversi metodi per generare numeri casuali hardware calcolatore: il calcolatore è un oggetto
puramente deterministico e quindi prevedibile, per cui nessun calcolatore è in grado di generare numeri puramente casuali, ma solo numeri pseudo-casuali ossia numeri generati da algoritmi numerici deterministici in grado di superare una serie di test statistici che conferiscono a tali numeri un’apparente casualità
Criteri I fattori che determinano l’accettabilità di un
metodo sono essenzialmente i seguenti: i numeri della sequenza generata devono essere
uniformemente distribuiti (cioè devono avere la stessa probabilità di presentarsi);
i numeri devono risultare statisticamente indipendenti; la sequenza deve poter essere riprodotta; la sequenza deve poter avere un periodo di lunghezza
arbitraria; il metodo deve poter essere eseguito rapidamente
dall’elaboratore e deve consumare poco spazio di memoria.
Metodo middle-square Genera numeri pseudo-casuali distribuiti in modo
uniforme
In tale distribuzione uniforme ogni possibile numero in un determinato intervallo è ugualmente probabile ad es. se lanciamo un dato un certo numero di volte
ognuna delle facce da 1 a 6 si presenterà circa 1/6 delle volte originando così una successione uniforme di numeri casuali compresi tra 1 e 6La generazione dei numeri casuali è troppo importante per essere
lasciata al caso…(J.Von Neumann)
Metodo middle-square Supponiamo di voler generare un numero
casuale di 4 cifre Il metodo richiede come tutti i generatori di
numeri casuali un valore iniziale, detto seme, dal quale vengono generati i successivi valori
Ad es. a partire da 1234 avente 4(c) cifre eleviamo al quadrato e otteniamo le 8 (2c) cifre
01522756 consideriamo solo le 4 (c) cifre di mezzo 5227 ripetiamo il procedimento ottenendo 27321529 e 3215 e
così via Ogni nuovo numero è determinato univocamente
dal predecessore. Ogni successione di numeri generata da questo algoritmo si ripeterà prima o poi. Il numero di numeri della sequenza prima che intervenga una ripetizione è detta periodo della sequenza
Esempio Simulazione del lancio di un dado
definiamo il risultato ottenuto come
d =1+[5ms/10^4]
dove ms è il numero generato tramite il metodo middle-square
simulando 10 lanci consecutivi a partire dal seme 8022 otteniamo risultati che sembrano abbastanza realistici
5 3 3 4 3 3 4 2 3 1
basta aumentare il numero di lanci per ottenere risultati non soddisfacenti (la successione ha periodo 38)
Generatore lineare congruenziale Il metodo LCG ha bisogno di un seme per
generare la sequenza di numeri pseudo-casuiali secondo la seguente regola deterministica
xn+1 = (axn+c)mod m , n>=0
con a,c ed m opportuni numeri interi costanti xn+1 assume valori compresi tra 0, …, m-1
Ad es. per a=13, c=0 (generatore puramente moltiplicativo) ed m=31 partendo da x0 = 1 si ottiene per n=30
1 13 14 27 10 6 16 22 7 29 5 3 8 11 19 30 18 17 4 21 25 15 9 24 2 26 28 23 20 12 tale successione ha periodo 30 (= m-1). tutti i numeri da 1 a 30 compaiono per poi
ripetersi
Bontà di un generatore LCG Il problema della scelta dei migliori valori di a, c
ed m è il punto cruciale del metodo un aspetto importante è la lunghezza del periodo che
dovrà essere molto grande, per cui m dovrà essere grande
un altro aspetto consiste nel garantire che per un dato m i valori di a, c siano tali che la successione abbia periodo massimo
Generatore “periodico”: periodo massimo M, raggiungibile solo se
1. c e M sono primi tra loro2. a-1 è divisibile per tutti i fattori primi di M3. a-1 è multiplo di 4 se M è multiplo di 4
Bontà di un generatore LCG Una delle scelte più popolari è
m=231-1, a=75, c=0 questo garantisce un periodo di 231-2=2147483646 ossia
oltre 2 miliardi di numeri pseudo-casuali il fatto che 231-1 sia un numero primo è fondamentale al
fine di ottenere il massimo periodo
xn+1 = (axn+c)mod m , n>=0
Un algoritmo per generare numeri random
a = 7^5M = 2^(31)-1c=0
L(1) = 1;for i = 2:100
L(i) = mod(a*L(i-1)+c , M)u(i) = L(i)/M
end
resto = mod(dividendo,divisore)
Gli u(i) sono distribuiti in maniera uniforme tra 0 e 1.Provare per credere
Verifica funzionamento
1. Fare istogramma dei numeri random generati
2. Modificare la lunghezza del vettore di numeri casuali (ad es. 100, 1,000 e 10,000) e osservare la “omogeneità” della distribuzione
Verificare la casualità Una richiesta importante al fine di valutare la
bontà di un generatore uniforme di numeri pseudo-casuali è l’assenza di correlazione tra i numeri generati dell’algoritmo. Non deve emergere nessuna relazione tra xn e xn+1 per n>0.
Questa proprietà può essere verificata graficamente realizzando il grafico di (xn, xn+j) per j>0 nel grafico non dovranno comparire linee, forme o altre
strutture regolari
Provare a disegnare il grafico per j=1 con 1000 punti ottenuti con il generatore LCG con scelta ottimale con i valori m=31, a=13, e c=0
Generatori e MATLAB I generatori di numeri casuali più recenti non
sono basati sul metodo LCG, ma sono una combinazione di operazioni di spostamento di registri e manipolazione sui bit che non richiedono nessuna operazione di moltiplicazione o divisione. Questo nuovo approccio risulta estremamente veloce e garantisce periodi incredibilmente lunghi
Nelle ultime versioni di MATLAB il periodo è 21492
un milione di numeri casuali al secondo richiederebbe 10435 anni prima di ripetersi!
data la coincidenza dell’esponente con la data della scoperta dell’America questo generatore è comunemente chiamato il “generatore di Cristoforo Colombo”
rand La funzione rand genera una successione di
numeri casuali distribuiti uniformemente nell’intervallo (0,1)
La sintassi di tale funzione èrand(n,m)
che genera una matrice n x m di numeri casuali distribuiti uniformemente
Per vedere gli algoritmi utilizzati da MATLAB help rand
Esercizio Sia X una v.a. uniforme nell’intervallo [0,1]. La si
campioni n volte, con n=102, 103, 104, 105.
Per ciascun valore di n si calcolino media e varianza campionarie (mediante i
comandi mean e var) si visualizzi l’istogramma dei valori campionati si visualizzi la funzione di ripartizione empirica dei dati
mediante il comando cdfplot e la si confronti graficamente con la funzione di ripartizione cumulativa di X.
Calcolo di p Supponiamo di lanciare N freccette ad un
bersaglio formato da un quadrato di lato L contenente una circonferenza
Assumiamo che le freccette siano lanciate casualmente all’interno del quadrato e che quindi colpiscano il quadrato in ogni posizione con uguale probabilità
Dopo molti lanci la frazione di freccette che ha colpito la circonferenza sarà uguale
al rapporto tra l’area della circonferenza equella del quadrato
può essere usato per stimare p
N
N
L
L c 4
1
4 2
2
N
Nc4
Esercizio Calcolare p col metodo Monte Carlo
considerare un quadrato di lato 2 (come in figura) il cui centro coincide con l’origine di un sistema di riferimento Oxy e una circonferenza inscritta in esso
generare 2 vettori, x e y, di numeri casuali di lunghezza N
calcolare il numero dei punti (NC) (x,y) così generati che cadono all’interno del cerchio
stimare p usando la formula ripetere per diversi valori di N
N
Nc4
Aree e volumi Il metodo Monte Carlo può essere usato anche
per calcolare l’area della circonferenza
La generalizzazione al calcolo di volumi nello spazio è immediata. Indicato con L il lato del cubo contenente la figura di cui si vuole misurare il volume V avremo
dove Nc è il numero di punti generati in modo uniforme nel cubo e interni alla figura di cui si vuole misurare il volume
N
NLA c
c24
N
NLV c3
Metodo Monte Carlo Vengono denominate le tecniche che utilizzano
variabili casuali per risolvere vari problemi, anche non di natura aleatoria.
Vediamo l’approccio generale: supponiamo che un problema si riconduca al calcolo di un integrale
Sia U la variabile casuale uniforme, allora
Siano U1, …, Uk variabili casuali i.i.d. come U allora g(U1), …, g(Uk) sono variabili casuali i.i.d. aventi come media q
1
0
)( duug
))(()(1
0
ugEduug
kugEk
Ugk
i
i per ,))(()(
1
Calcolo di integrali Sia X la v.c. avente densità p e Y la v.a. Y=f(X). Il
valore
Supponendo di essere capaci di campionare X l’integrale I può essere approssimato mediante il metodo Monte Carlo utilizzando lo stimatore di media campionaria per la v.a. Y=f(X)
Calcolare l’integrale
si prenda come X una v.a. normale standard e si usino n=10000 campioni
dR
YEXfEdxxpxfI ][)]([)()(
n
ii
n
iin Xf
nY
nII
11
)(11
dxexIx
x22
2
Calcolo di integrali Calcolare l’integrale
si prenda come X una v.a. normale standard e si usino n=10000 campioni
Il metodo fornisce la stima 8.6080 con un errore del 4% circa (avendo usato ben 104 campioni!)
dxeexdxexIx
xx
x2222
22
2
12
Generare numeri casuali con distribuzione arbitrariaMetodo di inversione
Sia X una variabile aleatoria continua a valori in R e F : (0,1) R , la corrispondente funzione di ripartizione cumulativa:
La variabile aleatoria U = F(X) ha una densità di probabilità uniforme nell’intervallo [0,1]
Quindi per campionare una variabile aleatoria X con distribuzione F basta campionare una variabile uniforme in [0,1] e poi considerare X=F-
1(U)
)()( xXPxF
yyFFyFXPyXFPyUP )())(())(()( 11
Metodo d’inversione
densità
funzione di ripartizione
Il teorema ci fornisce una regola per generare numeri con distribuzione arbitraria: se conosciamo F, prendiamo i numeri {ui} distribuiti secondo la legge uniforme e {F-
1(ui)} sono distribuiti secondo F.
Esempio: distribuzione esponenziale
La variabile X ~exp(l) ha funzione di ripartizione
)1()( xexF
)1log(1
)(1 UUFX
Generare numeri distribuiti secondo la legge esponenziale: se i numeri {ui} sono distribuiti secondo la legge uniforme, {F-1(ui)} hanno F come funzione di ripartizione.
La variabile X può essere ottenuta come trasformazione di una variabile uniforme
In MALTAB...
Ora provate...
data = rand(1,1000)hist(data)
data = exprand(1,1,1000)hist(data)
poissrnd Poisson
randn Gaussiana
