12. KORELACIJAPod pojmom korelacije podrazumijevamo meuzavisnost, odnosno povezanost sluajnih varijabli. Mjera stupnja podudarnosti (slaganja) sluajnih varijabli predstavlja mjeru korelacije.

Korelacija moe biti pozitivna i negativna po smjeru. Pozitivna korelacija je onda kada rast jedne varijable prati rast druge varijable, odnosno pad jedne varijable prati pad druge. Negativna korelacija znai da rast jedne varijable prati pad druge varijable.

Ukoliko je korelacija potpuna, radi se o funkcionalnoj povezanosti varijabli. Tada se vrijednost jedne sluajne varijable moe se s potpunom sigurnou odrediti pomou vrijednosti druge varijable. Ukoliko je korelacija djelomina, govorimo o stohastikoj ili statistikoj vezi.

Primjer pozitivne korelacije:

Primjer negativne korelacije:

Primjer slabe korelacije:

12.1. KOEFICIJENT LINEARNE KORELACIJE Najvanija mjera linearne korelacije meu sluajnim varijablama naziva se Pearsonov koeficijent linearne korelacije. Primjenjuje se na omjerne i intervalne skale mjerenja (numerike varijable).

Pretpostavka za njegovu primjenu je da su obje sluajne varijable normalno distribuirane. Meutim, ako varijable X i Y nisu normalno distribuirane svejedno se moe primijeniti Pearsonov koeficijent linearne korelacije ako je broj parova dovoljno velik.

Ovako se izraunava:Izraz u brojniku podijeljen s n naziva se kovarijancom, ili prvim mjeovitim momentom oko vrijednosti aritmetikih sredina sluajnih varijabli X i Y.

Testiranje znaajnosti koeficijenta linearne korelacije:Testiranje znaajnosti koeficijenta linearne korelacije provodi se t-testom:

Ukoliko je koeficijent linearne korelacije osnovnoga skupa jednak nuli, onda sampling distribucija koeficijenata linearne korelacije tei normalnome obliku ako broj parova vrijednosti sluajnih varijabli X i Y tei k beskonanosti. Ukoliko je broj parova mali (n < 30) moe se koristiti Studentova distribucija.

Test veliina je ova:

Za velike uzorke standardna greka rauna se ovako:dok se za male uzorke izraunava ovako:

Testiranje korelacije izmeu visine i teine:

Korelacija teaja HRK, izvoza i uvoza:

Zakljuak o statistikoj znaajnosti izvodi se kao i kod ostalih testova. Ako je signifikantnost testa manja od 5% onda se prihvaa alternativna hipoteza, odnosno koeficijent linearne korelacije je statistiki znaajan. Kao i kod ostalih testova koji koriste ttest, moe se takoer provesti i jednosmjerno testiranje ukoliko a priori znamo predznak koeficijenta linearne korelacije a potrebno je samo testirati njegovu statistiku znaajnost. Jednosmjerno testiranje ide u korist alternativne hipoteze jer je za njeno prihvaanje potrebita upola manja signifikantnost negoli kod dvosmjernoga testa. Jednosmjerni testovi imaju veu snagu.

VANA NAPOMENA: Kod koeficijenta korelacije treba gledati i njegovu praktinu znaajnost, a ne samo statistiku znaajnost.

Praktina znaajnost:Obino se ovako odreuje praktina znaajnost:

r > 0.80 radi se o jakoj pozitivnoj korelaciji,

0.50 < r 0.80, radi se o srednje jakoj pozitivnoj korelaciji,

0 < r 0.50, radi se o slaboj pozitivnoj korelaciji.

Na isti nain zakljuuje se ako je korelacija negativna. Neki autori imaju neto drugaiji pristup navedenome problemu, ali to ionako nije zasnovano na statistikoj matematici.

12.2. KOEFICIJENT PARCIJALNE KORELACIJEKoeficijent parcijalne korelacije predstavlja mjeru korelacije izmeu dviju varijabli uz istodobno iskljuenje utjecaja drugih varijabli. Npr. ukoliko rastu cijene, potranja bi trebala opadati, meutim ako rastu i primanja onda rast primanja kompenzira porast cijena.

Tako se moe dogoditi da dobijemo pozitivan koeficijent linearne korelacije izmeu porasta cijena i porasta potranje. Ukoliko uporabimo koeficijent parcijalne korelacije (iskljuimo utjecaj primanja) koeficijent linearne korelacije imat e negativan predznak, kako sugegira i ekonomska teorija.

Ukoliko radimo s tri varijable, tada se moe primijeniti sljedei izraz:gdje oznaka Cij znai kofaktor (algebarski komplement) matrice korelacijskih koeficijenata: .gdje je Mij odgovarajui minor (subdeterminanta) matrice korelacijskih koeficijenata.

Matrica korelacijskih koeficijenata je sljedea:Radi se o simetrinoj matrici.

12.3. KOEFICIJENT KORELACIJE RANGAOd svih koeficijenata koji koriste rangove umjesto originalnih vrijednosti najvie u uporabi je Spearmanov koeficijent korelacije ranga. Njegova vrijednost kree se u istome rasponu kao i koeficijent linearne korelacije. Najee se koristi za mjerenje korelacije izmeu redosljednih obiljeja ili obiljeja ranga, ali se moe koristiti i kod numerikih varijabli ukoliko nisu zadovoljene pretpostavke za primjenu Pearsonovoga koeficijenta linearne korelacije. U tome sluaju ne koriste se numerike vrijednosti varijabli X i Y nego njihovi rangovi. Rauna se ovako:

Primjer: Korelacija izmeu bodova na dvama testovima za 10 studenata:Razlika rangova

Bodovi na testu ABodovi na testuB Rang varijable X Rang varijable Y Razlika rangova

653480453478604610012080287088508090809811061.5831.57549105137258591010.55-4-0.52-3-10010.2525160.249100056.50

Formula za raunanje Spearmanovoga koeficijenta korelacije ranga:Spearmanov koeficijent korelacije ranga spada u neparametrijsku statistiku te samim time ima slabiju snagu negoli Pearsonov koeficijent linearne korelacije.

Znaajnost Spearmanovoga koeficijenta korelacije ranga testira se na isti nain kao i Pearsonovoga koeficijenta linearne korelacije.