Download - kalkulus bgt.doc
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami penjatkan kehadirat Alloh SWT, yang atas rahmat-Nya maka kami
dapat menyelesaikan penyusunan makalah yang berjudul “Konsep Limit, Limit Kiri dan Limit
Kanan”.
ucapan terima kasih yang tak terhingga kepada
1. Ibu Dr. Sunismi, M.Pd selaku dosen pembimbing mata kulia kalkulus
2. Temen – teman yang ikut member semangat yang teramat berarti bagi kami seleku
penulis makalah.
Dalam penulisan makalah ini kami merasa masih banyak kekurangan-kekurangan baik
pada teknis penulisan maupun materi, mengingat akan kemampuan yang dimiliki penulis. Untuk
itu kritik dan saran dari semua pihak sangat kami harapkan demi penyempurnaan pembuatan
makalah ini.
Akhirnya penulis berharap semoga semoga makalah yang berjudul “limit dan
kekontinuan fungsi” dapat bermanfaat untuk kita semua.
Limit dan kekontinuan fungsi
Page 1
DAFTAR ISI
Kata Pengantar.................................................................................................................................1
Daftar Isi..........................................................................................................................................2
BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang........................................................................................................3
1.2. Rumusan Masalah...................................................................................................3
BAB II PEMBAHASAN
2.1. Konsep Limit Fungsi...................................................................................................4
2.2. Sifat-sifat Limit Fungsi di Satu Titik…………..........................................................6
2.3. Limit Kiri dan Limit Kanan........................................................................................7
2.4. Berbagai Sifat Penting Limit Fungsi………………………………………………...9
Daftar Pustaka................................................................................................................................12
Limit dan kekontinuan fungsi
Page 2
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
kalkulus diferensial dan integral yang di bangun berdasarkan konsep limit fungsi. Konsep
ini di kenal sebagai suatu proses tak hingga,yang merupakan cirri khas dari kalkulus. dan
strategis dalam kalkulus seperti, turunan, integral tentu, dan integral tak wajar dikonstruksi
dengan menggunakan konsep ini. Untuk dapat memahami konsep limit fungsi diperlukan
pengetahuan tentang nilai mutlak sebagai ukuran jarak pada garis bilangan.
1.2. Rumusan Masalah
1. Bagaimana pahaman tentang konsep limit fungsi?
2. Sebutkan sifat-sifat limit fungsi di satu titik
3. Apa yang dimaksud dengan limit kiri dan limit kanan?
4. Sebutkan beberapa sifat enting dari limit fungsi?
Limit dan kekontinuan fungsi
Page 3
BAB II
PEMBAHASAN
2.1. Konsep Limit Fungsi
Kata limit berasal dari bahasa Inggris, berarti mendekati. Sesuai dengan kata mendekati, jika
dikatakan bahwa X mendekati 2, artinya nilai x itu hanya mendekati nilai 2, tetapi tidak pernah bernilai 2.
Untuk mempermudah perhitungan, kata ”mendekati”dinyatakan dengan simbol ”→”.
Pemahaman limit secara intuitif dapat dipahami melalui uraian berikut.
Misalkan f(x) = 10x, dengan x bilangan-bilangan real. Untuk x→2, artinya nilai x→2, tetapi dapat diambil nilai-
nilai disekitar 2. Misalnya, 1,91; 1,95; 1,99; 2,01; 2,05; dan 2,09. Adapun nilainya dapat ditampilkan pada
tabel berikut:
x 1,91 1,95 1,99 2,01 2,05 2,09
f(x) 19,1 19,5 19,9 20,1 20,5 20,9
Dari tabel di atas tampak bahwa untuk x→2, nilai 10x→20. Dengan demikian, secara intuitif,
limit fungsi dapat diartikan sebagai berikut.
Misalkan f suatu fungsi dalam variable x dan L adalah bilangan real.
Diartikan untuk x→c (ingat: x ≠ c, nilai f(x) mendekati L
Secara formal, limit fungsi didefinisikan sebagai berikut.
diartikan untuk setiap bilangan ε>0 seberapapun kecilnya,
terdapat bilangan δ>0 sedemikianrupa sehingga jika 0<|x-c|<δ |f(x) - L|<ε
Ilustrasi 2.1
Limit dan kekontinuan fungsi
Page 4
Pada fungsi f(x) = 5x + 2, jika x→-1, maka f(x) →-3. Di sini kita mengatakan bahwa
, yang dapat dibuktikan dengan definisi limit (contoh 1)
Pada fungsi f(x) = , jika x→3, maka f(x) →9. Disini kita mengatakan bahwa ,
yang dapat dibuktikan dengan definisi limit (contoh 2)
Contoh2.2
Buktikan
Jawab:
Diberikan ε>0, kita akan menentukan suatu δ>0, sehingga memenuhi
0< |x+1|< δ |(5x+2)+3|< ε
atau
0< |x+1|< δ 5|x+1|< ε
Untuk mencapai ini, pilihlah 0< δ≤ ε, maka
0< |x+1|< δ≤ ε 5|x+1|<5. ε = ε |(5x+2)+3|< ε, sehingga terbuktilah apa yang
diinginkan.
Contoh 2.3
Buktikan
Jawab:
Biberikan ε>0, kita akan menentukan suatu δ>0, sehingga memenuhi
0 < |x - 3| < δ | | <ε, atau 0 < |x-3| < δ |x+3| |x-3| <ε
Limit dan kekontinuan fungsi
Page 5
Jika factor |x+3| dapat dibatasi oleh suatu konstanta positif, maka masalahnya dapat
diselesaikan seperti contoh 1. Untuk itu, kita andaikan 0<δ≤1. Dari hubungan 0<|x-3|<δ≤1 dan
tak kesamaan segitiga diperoleh:
| x + 3 | = | x - 3 + 6 | ≤ | x - 3 | + 6 < 1 + 6 = 7
Berdasarkan hasil ini, kita harus menentukan suatu δ>0 sehingga memenuhi
0 < |x-3| < δ |x+3| |x-3| < 7 |x-3| < ε.
Untuk sembarang ε>0 yang diberikan, pilihlah δ=min {1, ε}, maka dengan menggunakan δ≤
1dan δ ≤ ε diperoleh:
0 < |x-3| < δ | | = |x+3| |x-3 |<7 |x-3| < 7 δ ≤ 7. ε = ε
Dengan demikian terbuktilah .
2.1.2. Sifat-sifat Limit Fungsi di Satu Titik
Dengan menggunakan definisi limit fungsi di satu titik, kita dapat membuktikan berbagai
sifat limit fungsi dalam teorema berikut.
Teorema 2.2 (sifat limit fungsi)
1. Ketunggalan limit: jika dan , maka L=M
2. Operasi aljabar pada limit. Jika dan , maka:
a) =L+M= +
b) =L-M= -
c) =L.M= .
Limit dan kekontinuan fungsi
Page 6
d) = = , M=
3. Limit fungsi yang sederhana
a) , k=konstanta
b)
c) , p,q, konstanta
d)
e)
f)
4. Limit suku banyak berderajat n
Jika + + +….+ , maka Є Df = R
5. Limit fungsi rasional (hasil bagi dua suku banyak)
Jika f(x)= , maka c Df, dimana Df={x R: }
2.1.4. Limit Kanan dan Limit Kiri
Sebelum kita berkenalan dengan konsep limit kiri dan kanan, perhatikan dahulu fungsi f
beserta grafiknya pada ilustrasi berikut:
Perhatikan ilustrasi grafik fungsi:
f(x)= -1, x<0
1, x>0
Limit dan kekontinuan fungsi
Page 7
Pada Gb.2. fungsi f ini terdefinisi pada
Df = R-{0}.
Informasi yang dapat kita peroleh dari situasi ini adalah sebagai berikut:
Nilai f(x) dapat dibuat sebarang dekat ke 1 bilamana x dibuat cukup dekat ke 0 dari
sebelah kanan. Di sini kita katakan bahwa fungsi f mempunyai limit kanan di 0 dengan nilai
limit 1, ditulis .
Nilai f(x) dapat dibuat sebarang dekat ke -1 bilamana x dibuat cukup dekat ke 0 dari
sebelah kiri. Di sini kita katakan bahwa fungsi f mempunyai limit kiri di 0 dengan nilai limit
-1, ditulis .
Nilai f(x) tidak mendekati suatu nilai manapun bilamana x dibuat mendekati 0. Dari arah
sebelah kiri 0, f(x) mendekati -1,sedangkan dari arah sebelah kanan 0, f(x) mendekati 1.
Karena limitnya dari arah kiri dan dari arah kanan berbeda, maka kita katakana bahwa
tidak ada.
Fakta pada ilustrasi tersebut merupakan suatu fenomena yang dijadikan model untuk
memperkenalkan konsep limit kiri dan limit kanan dari fungsi f di c, yang definisinya
sebagai berikut:
Definisi 2.3
Misalnya fungsi f terdefinisi pada selang (c,b). limit kanan fungsi f di c adalah L (ditulis
, atau f(x)→L bila x→ , jika
ε > 0 δ > 0 0 < x-c < δ < ε
Limit dan kekontinuan fungsi
Page 8
Misalnya fungsi f terdefinisi pada selang (a,c). Limit kiri fungsi f di c adalah L (ditulis
, atau f(x) →L bila x→ ), jika
ε > 0 δ > 0 0 < c-x < δ < ε
Pada Gb.3. yang memperlihatkan situasi geometri untuk limit kanan, dan Gb.4. untuk limit
kiri.
Bandingkan kedua definisi ini dengan limit fungsi f di c, , jika
ε > 0 δ > 0 0 < x-c < δ < ε
Bila x , maka x>c. Akibatnya x - c > 0, sehingga |x - c| = x – c, yang bila digantikan
dengan definisi limit akan menghasilkan definisi limit kanan. Demikian juga bila bila x
Limit dan kekontinuan fungsi
Page 9
, maka x<c. Akibatnya x - c < 0, sehingga |x - c| = c - x, yang bila digantikan dengan definisi
limit akan menghasilkan definisi limit kiri.
Hubungan antara limit fungsi di satu titik dengan limit kiri dan limit kanannya di titik itu
diberikan dalam teorema berikut:
Teorema 2.4
dan
Teorema ini menyatakan bahwa limit kiri dan limit kanan fungsi f di c dapat dihitung
dengan cara menghitung limit fungsi di c, asalkan limit fungsi tersebut ada.
Ilustrasi 2.6
Teorema 2.4 mengakibatkan hasil berikut, yang sering digunakan untuk memperlihatkan
bahwa limit fungsi di satu titik tidak ada.
Teorema 2.5:
Jika dan dengan ,
maka tidak ada
2.1.5 Beberapa Sifat Penting dalam Limit Fungsi
Limit Nilai Mutlak Fungsi
Jika suatu fungsi mempunyai limit di satu titik, maka nilai mutlak fungsinya mempunyai
limit di titik itu, tetapi kebalikannya tidak benar lagi.
Limit dan kekontinuan fungsi
Page 10
Teorema 2.6 (1) Jika , maka
(2) Jika , maka
Catatan
Teorema 2.6(1) dibuktikan dengan menggunakan definisi limit dan ketaksamaan
segitiga | |f(x)|-|L| |≤| f(x)-L|
Kebalikan Teorema 2.6(1) tidak benar lagi, kecuali dalam kasus L=0, yang
memberikan teorema 4(2). Sebagai contoh penyangkal, ambillah f(x)= . Disini
dengan tetapi tidak ada.
Ilustrasi 2.7
Dengan menggunakan teorema 2.6 (1) tentang limit nilai mutlak
= = | |= |- =
Contoh 2.8
Jika f(x)=f |x |+ , selidiki apakah dan ada
Jawab : untuk limit yang pertama, kita gunakan teorema 2.6 (1) tentang limit nilai mutlak, prosesnya sebagai berikut.
= )= + = 0+ = -1
Limit dan kekontinuan fungsi
Page 11
Untuk menyelesaikan limit yang kedua, ambilah selang terbuka (0,2) yang memuat I kemudian perhatikan selang (0,1) untuk menghitung limit kiri, dari selang (1,2) untuk limit kanannya
Pada selang (0,1) ,yaitu untuk 0<x<1 berlaku |x |=x dan |x-1 |=1 – x
Sehingga f(x)= x+ = x-1 ini mengakibatkan
Pada selang (1,2 ), yaitu untuk 1<x<2 berlaku x = x dan x-1 = x-1,⎸ ⎸ ⎸ ⎸
Sehingga f(x)= x+ = x+1 ini mengakibatkan
Karena
Prinsip Apit Limit fungsi di satu titik sering kali dihitung dengan memanfaatkan sifat urutan dari fungsi pengapitnya disekitar titik itu. Jika limit fungsi dari pengapitnya mempunyai nilai yang sama, maka limit fungsinya sama dengan limit fungsi pengapitnya.
Perhatikan situasinya pada gambar
Teorema 2.7 (Prinsip Apit)
Jika di sekitar c berlaku g(x)≤f(x)≤h(x) dan
Maka
Limit dan kekontinuan fungsi
Page 12
Ilustrasi 2.9
Kita akan menghitung dengan menggunakan prinsip apit
Karena di sekitar 0 berlaku |cos 0 |xcos , dengan limit pengapitnya
, maka prinsip apit memberikan kemudian berdasarkan
Teorema 2.6(2) tentang limit nilai mutlak diperoleh
DAFTAR PUSTAKA
Martono, Koko.Kalkulus.Erlangga.Jakarat:1999.
Edwin J. Purcell.Dale Varberg.Kalkulus dan Geometri Analitis.Erlangga.Jakarta:1987.
file:///D:/kalkulus/makanan-otak-vb-jawaban-limit.html
Limit dan kekontinuan fungsi
Page 13