Download - JBI Inleiding Natuurkunde

Inleiding Natuurwetenschappen

Tijden: 1 september: 17:45 21:45 3 september: 17:45 21:45 6 september: 09:30 13:30

Locatie: Adres: Leuvenlaan 21, Utrecht Gebouw: Marius Ruppertgebouw Zaal: A

Opdrachtgever: James Boswell Instituut Docent: Tilko Mooibroek Laatste Mutatie: 2 september 2008 www naam: JBI_inlnat.pdf

Inleiding Natuur wetenschappen 2

Indeling lessen:

1 september: 17:45 21:45

Les uur Onderwerp 1 Regels en afspraken 2 Werken met letters 3 Machten, Wortels en Logaritmen 4 Tellers en Noemers

3 september: 17:45 21:45

Les uur Onderwerp 1 Terug blik op vorige les. 2 1e Graadsvergelijkingen 3 2e Graadsvergelijkingen 4 Omrekenen maten en gewichten

6 september: 09:30 13:30

Les uur Onderwerp 1 Hoeken, resultante, 2 Lijnen 3 Cirkels, sinus, cosinus 4 Afsluiting


Regels en afspraken

In de wiskunde hebben we met elkaar enkele afspraken gemaakt over gebruik van de rekenregels en bijvoorbeeld de haakjes.

Hiervoor is een rijmpje gemaakt en gaat als volgt:

Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord.

Machtsverheffen Vermeningvuldigen Delen Worteltrekken Optellen Aftrekken

Dit houdt in dat wanneer er in een rekenregel zou staan 5 + 3 x 2 eerst moet worden vermenigvuldigd en ver volgens moet worden opgeteld. De uitkomst wordt dus 11. wanneer we de regel zouden nemen zoals hij wordt geschreven zou er 16 uit komen. Uw rekenmachine zal als het goed is deze regel ook toepassen. Doet hij dat niet dan heeft u geen wetenschappelijke rekenmachine en moet u heel goed opletten hoe uw de opgave gaat uit rekenen. Met boven gegeven voorbeeld kunt u controleren of de rekenmachine die u gebruikt voldoet aan deze regel.

Een andere afspraak die is gemaakt heeft betrekking op het gebruik van de haakjes. Stel dat u toch wilt uit rekenen dat u 2 keer 3 en 5 euro moet uit betalen. Hiervoor hebben we de hulp ingeroepen van de haakjes. Door haakjes te gebruiken kunnen we afwijken van de standaard regel. Binnen de haakjes echter gaat meneer van dalen gewoon weer zijn regel toepassen. In ons geval moeten we dus schrijven ( 5 + 3 ) x 2 er komt nu wel 16 euro uit. Ook uw rekenmachine gebruikt de haakjes op de aangegeven manier. Wanneer er meerdere haakjes worden gebruikt of er haakjes binnen haakjes worden gebruikt, dan werken we altijd van binnen naar buiten.

Voorbeeld:

2 x ( 3 x ( 5 + 4 ) x ( 3 + 2 ) + ( 6 + 2 ))

Eerst de binnenste haken wegwerken

2 x ( 3 x ( 9 ) x ( 5 ) + ( 8 )) = 2 x ( 3 x 9 x 5 + 8)

nu binnen de haakjes meneer van dalen.

2 x ( 135 + 8 ) en dan de laatste haakjes weg, geeft 2 x 143 = 286

Naast het uitrekenen van een waarde met haakjes is het ook mogelijk de haakjes eerst weg te werken. Haakjes kunnen worden verwijderd als we alle elementen binnen het haakje combineren met de waarde die ervoor staat (of er achter). Deze regel geld alleen bij het vermenigvuldigen van een waarde, eventueel ook tussen


haakjes met een andere waarde die tussen haakjes staat. Een voorbeeld geeft misschien wat meer duidelijkheid.

Ons eerste voorbeeld :

2 x ( 3 + 5 ) .

Nu moeten we alle elementen ( 3 en 5 ) gaan vermenigvuldigen met de 2. er dan te staan :

2 x 3 + 2 x 5 = 6 + 10 = 16. dat is dus het zelfde als met 2 x 8.

Het gebruik van de plus en de min

Wanneer we vermenigvuldigen kan de waarde van een getal omslaan van plus naar min ( of anders om) wanneer de waarde van de getallen van elkaar verschillen.

Zo zal de uit komst van 2 positieve getallen een positief getal op leveren en de vermenigvuldiging van 2 negatieve getallen ook een positief getal. Wanneer we echter een positief getal vermenigvuldigen met een negatief getal zal de uitkomst altijd negatief zijn. Voorbeeld:

2 x 3 = 6 -2 x -3 = 6 -2 x 3 = -6 2 x -3 = -6

Moeten we uit rekenen wat 2 x ( 5 3 ) moet worden en we zouden eerst de haakjes weg werken dan krijgen we 2 x 5 + 2 x -3 = 10 + (-6) waarbij + maal negatief word, en er 10 6 komt te staan. De uit komst is 4.

Wanneer een getal negatief is zetten we voor dat getal een min-teken. Wanneer het getal positief is laten we het plus-teken in de regel weg.


Het gebruik van letters:

Binnen de wiskunde komt het regel matig voor dat waarden onbekend zijn of afhankelijk van andere waarden. We willen weten wat de lengte van een lijn is, of de totale kosten van een order als we de prijs per stuk en het aantal weten. Voor die bewuste onbekende gebruiken we dan letters, of voor de leesbaarheid afkortingen. In de goniometrie gebruiken we de a, b en c voor de hoeken of lijn stukken. X, y en z gebruiken we bij 1e en 2e graadsvergelijkingen.

Om nu de verwarring van de x en het maal-teken te voorkomen gaan zullen we vanaf nu het maal-teken vervangen door een punt . Wanneer we letters gebruiken laten we in de regel de punt weg. Dus AB is het zelfde als AB. Ook tussen 2 haakjes of een waarde met haakjes word de punt weggelaten. Dus A( B + C ) is het zelfde als A ( B + C )

min-teken met letters. Wanneer een waarde negatief is zetten we voor de letter een min-teken. Bestaat een waarde uit de combinatie van meerder letters dan zetten we het min-teken altijd voor de eerste letter. Het maakt immers niet uit binnen een vermenigvuldiging waar een min-teken staat omdat het resultaat altijd negatief is.

Voorbeeld:

A ( B C ) => AB + A(-C) = AB AC

( A + B ) ( C + D )

De ) ( kan ook worden geschreven als ) 1 ( waardoor deze term ook kan worden geschreven als (A + B ) 1 C 1 (+D) => (A + B) C D de eerste term kan zonder haken worden geschreven omdat de +1 die ervoor staat geen invloed heeft op de termen binnen de haken.

Het antwoord wordt dan A + B C D

Letters en Haakjes. Wanneer we gebruik maken van letters en haakjes dan wordt het lastiger om eerst een waarde uit te rekenen omdat we van de letters nog niet weten wat de waarde is. In dat geval moeten we steeds proberen het aantal haakjes tot een minimum te beperken. Zie ook het onderwerp binnen en buiten de haakjes halen.

Volgorde van de letters. Het is gebruikelijk om de letters in alfabetische volgorde neer te zetten. Als er machten in de letters zitten dan worden de machten van hoog naar laag genoteerd, hier komen we later nog bij machten op terug met een voorbeeld.

Cijfers en letters over het =-teken verplaatsen We mogen cijfers en letters over het =-teken verplaatsen op voorwaarde dat we het teken wat voor het cijfer of de letter staat van waarde laten omkeren ( dus vermenigvuldigen met -1 ).


Voorbeeld:

5 + 3 = 10 2

Als we de 5 naar rechts willen verplaatsen dan wordt de + een . Er staat ook een plus voor de 5 maar die schrijven we in de regel niet. (zie ook onder het kopje: wat is er wel maar schrijven we niet)

3 = 10 2 5

Verplaatsen we de 2 van rechts naar links dan wordt de - een +

3 + 2 = 10 5

We zien steeds dat de bewering waar blijft. Als laatste verplaatsen we de 10 en zien we dat de + een - word.

3 + 2 10 = -5 en dat klopt ook weer.

Kruiselings vermenigvuldigen. Bij kruiselings vermenigvuldigen verplaatsen we ook getallen ( of letters ) van de ene kant van het =-teken naar de andere, alleen nu wisselen we ze van teller en noemer. Bij deze verschuiving blijft het + en --teken ongewijzigd.

Voorbeeld:

DC

BA

=

het feit dat er een - teken voor de A staat wil nog niet zeggen dat A zelfs

ook negatief is. We gaan nu de Atjes tot Dtjes net zolang verschuiven tot we weer terug zijn bij de begin situatie.

DC

BAC

BADCBAD

BCAD

AB

CD

ABCD

ADBC

ADC

Bof

ADC

B

=

=>=

=>=

=

=>

==>

==>

==>

==

111

Wat is er wel maar schrijven we niet. Eerste term Voor de eerste term zetten we nooit een + als het getal groter is dan 0. dus we schrijven 5 + 3 = 8 voor de 5 en de 8 zetten we geen + teken. Ook als we schrijven A = B + 2 doen we dat voor de A en B niet.

Voor een letter Voor een letter zetten we geen 1.

Dus we schrijven A = B + 2 en we bedoelen 1A = 1B + 2


Dus ook met A = 5 B wordt bedoeld: -1A = 5 -1B Vandaar ook dat we bij kruiselingsvermenigvuldigen de -1 in de teller kunnen laten staan en de A in de noemer van de term aan de andere kant van het = teken kunnen zetten zonder dat het invloed heeft op de vergelijking.

Het maal teken alleen als het nodig is. Het teken zetten we er eigenlijk alleen neer als het de notatie verduidelijkt. Dus als er meerdere letters achter elkaar staan of als er cijfers voor staan laten we de punt weg. Dus 2AB schrijven we als 2AB. Ook tussen de haakjes schijven we geen punt dus (A+B)(C+A) wordt (A+B)(C+A)

In de macht In de macht van een letter staat eigenlijk een 1. maar deze schrijven we niet. Dus met een A bedoelen we 1A

In de wortel In de wortel zetten we de 2 niet neer maar die staat er wel. De wortel uit 25 is 5 we schrijven 25 en we bedoelen 2 25 ( hier lijkt te staan 2 maal de wortel uit 25 maar de 2 is het grond-getal van de wortel. Hier staat 252 een klein verschil maar het maakt een groot verschil in de uitkomst.) bij wortels en machten komen we terug op de toepassing.


Breuken

Bij breuken hebben we een teller en een noemer. De teller staat altijd boven de deel streep en de noemer staat er altijd onder.

NoemerTeller

de teller en de noemer kunnen op hun beurt weer bestaan uit verschillende

termen of zelfs een breuk. In het laatste geval bestaat de teller of de noemer zelf ook weer uit een teller en een noemer.

21

32 hier bestaat de teller uit het product 32 en de noemer uit

21 die op zijn beurt

weer is op gebouwd uit een teller van 1 en een noemer van 2. delen door een breuk is vermenig vuldigen met het omgekeerde in ons voorbeeld :

1232 delen door 1

blijft het zelfde en mogen we weglaten. dus er blijft over 12232 = .


Getallen tussen 0 en 1:

Wanneer we een getal vermenigvuldigen met een getal tussen 0 en 1 dan wordt het resultaat altijd kleiner dan het eerste getal. Hoe dichter het getal bij 0 ligt hoe kleiner het resultaat van het product.

100 0,1 = 10 en 100 0,9 = 90

Wanneer we een getal delen door een getal tussen 0 en 1 dan wordt het resultaat groter dan het getal in de teller. Hoe dichter het getal bij de nul ligt hoe groter het resultaat wordt.

10001,0

100= en 1111,111

9,0100

=


Binnen en buiten de haken halen

Het binnen en buiten haken halen van letters gebeurt aan de hand van de regels die vermenigvuldigen met zich meebrengen.

Voorbeeld buiten haken halen ( of wegwerken):

baaabaa +=+ )(

Voorbeeld binnen haken halen

)()1()()( baababaa +=++

Denk er dus goed om dat er wel iets is maar dat we dat niet opschrijven. Dus vergeet de 1 voor de 2e term niet!!

Binnen haken halen werkt alleen als beide termen aan elkaar gelijk zijn.


Machten en wortels

De macht geeft aan hoe vaak een getal met zich zelf moet worden vermenigvuldigt. Machten zijn dan ook alleen maar een verkorte schrijfwijze.

822223 ==

Heeft de macht een betrekking op elementen die tussen haakjes staan, zetten we steeds de volledige term achter elkaar

ababababbabababa

=

+++=+3

3

)())()(()(

Machten met een zelfde grondgetal (of letter) mogen bij elkaar worden opgeteld. In ons laatste voorbeeld kunnen we dus ook schrijven als 333)( baab =

Maar ook 10432 aaaaa = vergeet niet dat bij de eerste a de macht 1 niet wordt geschreven maar er wel is.

Algemeen kan worden geschreven : )( yxyx aaa +=

Bij een breuk kunnen we de noemer omzetten in een teller door de macht te vermenigvuldigen met -1. (van teller naar noemer dus ook vermenigvuldigen met -1.

2212

1

== aaa

omdat 1 het zelfde is als 0a , dit is een afspraak. Kunnen we in het

algemeen schrijven )( yxyx

aa

a

=

Voorbeeld : 2)35(35

aaa

a==

Wanneer de macht negatief is in de teller wil dat dus zeggen dat het positief wordt in de noemer. ( - * - = +) en anders om.

22 1

aa = maar ook 33

1a

a=

Wortels:

xa y = wanneer we a willen weten kunnen we dat uitrekenen met een wortel:

axy

= of ax y =1


Logaritmen

Enkele principes:

xayx ya ==log

Dit mag ook worden geschreven met een vast grondtal ( op de rekenmachine 10) en dan krijgen we :

ya

x=

loglog

Voorbeeld:

255 =y uit het hoofd weten we dat er 2 uit moet komen en via de rekenmachine rekenen we dat uit met.

25log25log

== yy

Verder enkele logaritmische regels.

yxxy aaa loglog)log( += yx

yx aaa loglog)log( =

xyx aya log)log( =

Het bewijs van de eerste formule :

Stel : py

zx

qxy

a

a

a

=

=

=

loglog

)log(

We mogen dus ook schrijven : qpz =+

z en p kan nu ook worden geschreven als xa z = en ya p = gaan we nu teru naar het begin en rekenen we yx uit dan mogen we schrijven )( pzpz aaa += we hebben gezien qpz =+ en mogen dan qayx = schrijven. Via de standaard regel ( zie boven aan deze pagina) kan dus weer worden geschreven : qxya =)log( dus de stelling klopt. Op een zelfde manier kunnen ook de andere 2 stellingen worden bewezen.


De Teller.

De teller is het bovenste gedeelte van een breuk.

In de breuk 52 is de 2 de teller.

De teller kan zonder problemen worden opgesplitst zonder de waarde van de breuk te veranderen.

Om 1 term in de teller te krijgen mogen we steeds de teller opdelen bij een + of een - zolang we de noemer maar ongemoeid laten.

Voorbeeld:

331

31

+

=

+

x

x

xx

x maar ook

1111 +

++

+=

+

+

x

c

x

bx

a

x

cba

Het samen voegen van verschillende breuken kan alleen wanneer de noemer in elke breuk het zelfde is.

Voorbeeld:

yxz

yxz

yxz

yxz

yxyx +

=

+

+=

+

+=

++

+

+

335252 het laatste leest wat makelijker.


Noemers

De noemer is het onderste gedeelte van een breuk.

In de breuk 52 is de 5 de noemer.

Om meerdere termen onder 1 noemer te zetten heeft wat meer voeten in de aarde. We moeten eerst zorgen dat de noemers aan elkaar gelijk zijn om de tellers bij elkaar op te mogen tellen ( zie ook het voorbeeld bij het kopje teller).

Voorbeeld:

22

11

++

+ xx om de noemers gelijk te krijgen moeten we beide termen

vermenigvuldigen met de noemer van de andere breuk. Dat mag alleen als we dan ook direct weer alles door deze term delen. We vermenigvuldigen dan dus met 1 en dat mag altijd. Een voordeelt is misschien wat makelijker.

=

+

+

++

+

+

+ )1()1(

)2(2

)2()2(

)1(1

x

x

xx

x

x de noemer zijn nu gelijk en we mogen er 1 breuk

van maken

)2)(1(43

)2)(1(222

)2()1()1(2)2(1

++

+=

++

+++=

++

+++

xx

x

xx

xx

xx

xx de haken in de noemer zouden

nog kunnen worden uitgewerkt. Probeer bij het uitwerken ook de niet geschreven 1 steeds mee te nemen dan maakt u minder vergissingen.


1e graadsvergelijkingen

Bij een eerstegraadsvergelijking is er een onbekende, meestal x die moet worden opgelost. Er is geen macht in het spel die ongelijk 1 is.

Voorbeeld:

1152 =+x is een eerstegraadsvergelijking.

Oplossing: breng alle x -en naar 1 kant en alle constanten naar de andere kant. Vergeet daarbij niet van de plus een min te maken en andersom.

326625112 ==== xxx we houden een x over wanneer we door kruiselings

vermenigvuldigen de 2 naar de andere kant van het =-teken verplaatsen.

Naast 1 waarde kan de x ook voldoen aan meerdere waarden. Als we schrijven : 105


De formule voor de rode lijn kan als volgt worden gevonden:

Het snijpunt met de y-as is 4 dus b = 5 en de richtingscofficint is 0,5 dus a = 0,5 invullen in de formule geeft 55,0)( += xxf voor elke in te vullen x komt een y-waarde die een punt vertegenwoordigt op de rode lijn.

Formule voor de blauwe lijn vinden we op een zelfde manier.

B = 8 en a = -2 (de lijn loopt naar beneden dus de waarde van a is dan altijd negatief.)

De formule voor de blauwe lijn wordt dan 82)( += xxg voor elke lijn gebruiken we een andere letter voor de y-waarde.

We kunnen nu ook uitrekenen waar de 2 lijnen elkaar kruizen. Om te weten op welke x- en y-waarde dat gebeurt. Stellen we )()( xgxf = dus voor beide geld in ieder geval dat de y-waarden aal elkaar gelijk moeten zijn.


We schrijven : 8255,0 +=+ xx nu alle x-en naar 1 kant en de constanten naar de andere kant. -2 wordt +2 en +5 wordt -5

2,1511

56

5,233)25,0(5825,0 =====+=+ xxxx

We hebben nu de x-waarde om de y-waarde te vinden moeten we de x-waarde invoeren in 1 van de 2 formules. Omdat in het snijpunt het niet uitmaakt welke formule we nemen zoek we de makkelijkste als dat aanwezig is. In ons voorbeeld neem ik de 6,556,052,15,055,0)( =+=++= xxf In het punt (1,2;5,6) vinden we dus het snijpunt.

Hebben we van de lijn slecht 2 punten dan kunnen we de lijn ook maken. En dat kan op verschillende manieren. Dit is er eentje. Basis dus het werkt altijd maar is niet altijd de snelste.

We weten van een lijn de volgende punten 6)6(;18)10( == ff dat wil zeggen dat bij een x-waarde van 10 een y-waarde van 18 hoort en bij een x-waarde van -6 hoort een y-waarde van -6. Met de standaard formule baxy += hebben we 2 vergelijkingen en 2 onbekenden. Deze is dan op te lossen. En dat gaat als volgt, vul beide punten in de standaard formule in, dit geeft :

ba += )10(18 ba += )6(6

Als we beide formules van elkaar aftrekken valt de b weg en houden we alleen de a over.

5,116241624610618)6(10)6(18 ===+=+= aaaaaaa

Deze 1,5 kunnen we nu invullen in een van de formules. Ook nu nemen we de makkelijkste dus de eerst want werken met het --teken levert toch vaak problemen op. We krijgen 315181518105,118 ==+=+= bbbb de formule voor de lijn die gaat door de punten (10;18) en (-6;-6) is 35,1)( += xxf . U had ook kunnen zeggen we nemen het verschil tussen de x-waarden (10 (-6) = 16) en het verschil tussen de y-waarden (18 (-6) ) = 24 en de richtingscofficint is dan )(

)(waardexverschilwaardeyverschil

dus 5,11624

= deze invullen in 1 van de formules en u heeft

de b-waarde. Maar omdat absolute afstanden en zeker als er negatieve waarden bij te pas komen de kans op fouten steeds groter wordt is het aan te raden de basis oplossing van 2 variabelen met 2 onbekenden te gebruiken. Bent u wel handig met de tweede methode is dat helemaal geen probleem om deze te gebruiken.


2e graadsvergelijkingen

De 2e graadsvergelijking wordt gekenmerkt door de volgende opzet:

cbxaxxf ++= 2)(

Waarbij 0a

Wanneer a > 0 dan wordt het een dal parabool en als a < 0 dan wordt het een bergparabool. De parabool heeft 4 speciale punten. Waarvan er 2 onder bepaalde omstandigheden niet aanwezig kunnen zijn.

De eerste is het snijpunt met de y-as. Dat is vanuit de formule de constant waarde c. Wanneer de niet aanwezig lijkt te zijn dan is c dus 0 en het snijpunt (0;0).

Het tweede bijzondere punt is de top. Bij zowel de berg als de dal parabool spreken we over de top alhoewel het bij de dalparabool wat onlogische klinkt. De x-waarde van de top kunnen we berekenen uit de formule

a

b2

. Met het resultaat

kan dan, na invullen in de functie, de y-waarde worden berekend.

Als laatste hebben we de snijpunt(en) met de x-as, wanneer de parabool onder of boven de x-as ligt dan is er geen snijpunt. Wanneer de top op de x-as ligt dan is er 1 raakpunt. In alle andere gevallen zijn er 2 snijpunten. Voor het berekenen van de snijpunten hebben we de abc-formule:

a

cabbx

=

242

2,1

De factor cab 42 moet dus groter of gelijk aan 0 zijn want de wortel uit een negatief getal is niet mogelijk. Wordt deze factor wel negatief dan is er geen snijpunt met de x-as. Wordt de factor 0 dan is er een raakpunt.

Voorbeeld :

563)( 2 += xxxf

Volgens de abc-formule moeten we invullen : a=3, b=6 en c=-5

6646

,

6646

6966

32)5(3466

21

2

2,1

=

+=

=

= xxx

633,21 =x en 633,02 +=x

De x-top ligt op 1326

2=

=

a

b invullen in de functie geeft f(-1) = -8

85635)1(6)1(3)1( 2 ==+=f


De grafiek komt er dan als volgt uit te zien.

We willen nu een lijn trekken door de parabool en gaan uitrekenen wat de snijpunten van de parabool zijn met deze lijn. De functie van de lijn is:

32

321)( += xxg

Als we de 2 snijpunten willen weten moeten we de 2 functies aan elkaar gelijk stellen:

)()( xgxf = de y-waarden van beide punten zijn immers aan elkaar gelijk.

32

311563 +=+ xxx willen we dit op kunnen lossen dan maken we er een nieuwe

formule van door alle waarden naar links te verplaatsen. Waarbij we de +sen en de -en van waarde laten keren.

x311 wordt x

311 en

32

+ wordt 32

we krijgen dan :

0)325()

3116(30

32

311563 22 =++=+ xxxxx door de 2/3 binnen haken te

halen en er al een - voor de haken staat wordt dus 2/3 een +!!

325,

324,30

325

3243 2 ====+ cbaxx invullen in de abc-formule geeft de x-

waarden : x1= 0,80 en x2=-2,36, deze weer invullen in de functie en voor het gemak nemen we natuurlijk de de eerste graads functie want dat is het makkelijkste. Geeft voor x1 een y-waarde van 1,74 en voor x2 een y-waarde van -2,48 als u zeker wilt weten of de waarden goed zijn vult u de x1 en x2 ook in bij f(x) het resultaat moet het zelfde zijn!


Sinussen, cosinussen en hoeken.

Een cirkel kunnen we verdelen in graden en radialen. Voor graden hebben we 360 om een cirkel rond te krijgen en voor radialen 2 (uitspreken als pi). In de volgende figuur ziet u een voorbeeld.

Wanneer we de omtrek van de cirkel willen weten vermenigvuldigen we de straal (r) met 2. Willen we slechts een deel van de cirkel berekenen dan nemen we de radiaal van de hoek en vermenigvuldigen die met de straal (r).

Om van een hoek naar radialen te komen of anders om gebruiken we de volgende omrekening:

.

180radialengraden =pi en 180=

pi

radialengraden

pipi21

1809090 =o

Willen we een locatie op de cirkel aangeven dan kunnen we door middel van de sin. en de cos. berekenen op welke plaats dat op de y- en x-as moet zijn. In het volgende de vorige figuur ziet u in locatie A waar de waarden liggen.

Voor een willekeurig punt op de cirkel (met straal van 1) kunnen we schrijven 1sincos1 2222 =+=+ yx

Denk even om het volgende met 2cos bedoelen we 2)(cos maar we kunnen niet schrijven 2cos want dat zou kunnen betekenen dat de kwadraat bij de alfa zou horen en dat is dus niet zo. Denkt u dat het twijfels geeft plaats dan haken zodat er geen verwarring ontstaat.

Wanneer we een sinus of cosinus tekenen krijgen we met de functie f(x) = sin(x) een figuur die er als volgt uit gaat zien.


Voor g(x) = cos(x) krijgen we een grafische voorstelling zoals hieronder is weer gegeven.

Uit beide functie kunnen we afleiden dat het dezelfde figuren zijn alleen iets verschoven. Om precies te zijn een pi

21

we kunnen f(x) dus ook schrijven als cosinus met als functie :

)21

cos()( pi= xxf of vanuit functie g(x) gezien : )21

sin()( pi+= xxg

Dus ook kan nu worden gesteld dat : )21

cos()sin( pi= xx en )21

sin()cos( pi+= xx

In de sinusfiguur is bij pi21 de y-as van de cosinus getekend!

Verder mag worden gesteld dat :

)tan()tan()cos()cos()sin()sin(

xx

xx

xx

=

=

=

Willen we de sinus of cosinus verschuiven naar rechts of lings dan tellen we bij de x waarde de verschuiving op net zolang tot hij op de goede plaats ligt. Naast de verschuiving zijn er nog 2 variabelen die de sinus of cosinus van vorm kunnen laten veranderen. De eerste is de amplitude dat is de waarde waarmee de hoogte van de sinus wordt bepaald standaard is dat 1 dat is dan weer een waarde die er wel is


maar niet wordt geschreven. En als laatste kunnen we de breedte van de sinus varieren. Voor een grafische voorstelling zie de volgende figuur.

In formule vorm krijgen we nu :

ngverschuivifasebhoogteamplitudea

xkbaxf

==

==

+= )sin()(

k=aantal golven per 2 radialen. Als k=1 dan zit er 1 golf tussen 0 en 2

wanneer b > 0 dan verschuift de sinus b radialen naar links, wanneer b < 0 dan verschuift de sinus b radialen naar rechts.

Voor de cosinus kunnen we het zelfde opstellen. Voor het effect van a, k en b veranderd er niets. U moet alleen uit gaan van de cosinus als basis.

Voorwaarde: wanneer a niet wordt geschreven is hij 1, als k niet wordt geschreven is hij ook 1 maar als b niet wordt geschreven is hij 0.


Hoeken:

Wanneer we een driehoek hebben met een rechtehoek ( dus 1 van de hoeken is 90o ) dan kunnen we met de stelling van Pythagoras de lengten van de verschillende lijnen uitrekenen.de stelling luidt:

222 cba =+

Als dus 2 van de 3 lijn lengtes bekend zijn kan de derde worden berekend.

Verder weten we van een driehoek dat de som van de hoeken altijd 180o is. Omdat bij een rechthoekige driehoek n van de hoeken 90o is moeten dus de twee andere samen ook 90o zijn.

Weten we een hoek en 1 van de lengte van een lijnstuk dan kunnen we ook de andere hoeken en lijnstukken uitrekenen. Hiervoor hebben we een drietal formules:

c

a=sin

c

b=cos

ba

=tan

De oppervlakte van een rechthoekige driehoek is baoppv =21

. dat is dus de helft

van een vierkant met zijde a en b.

Willekeurige driehoeken.

Bij willekeurige driehoeken zijn de hoeken van de driehoek ook 180o maar is geen van de hoeken 90o De volgende figuur is zon driehoek. De hoek a, b en c kunnen dus in grote farieren maar zijn wel steeds bij elkaar opgeteld 180o.


Hiervoor gelden de navolgende regels:

Regels zie pagina 299.

sinsinsincba

== ( sinusregel )

cos2222 += cbcba (cosinusregel)

De oppervlakte van een willekeurige driehoek is : sin

21

sin21

sin21

. === baaccbopperv


Resultante:

De resultante van 2 vectoren wordt als volgt berekend:

We hebben de vectoren a en b ( de rode lijnen). Parallel aan de lijnen a en b tekenen we nu de lijnen a en b. de groene lijn is nu de resultante van de vectoren a en b.

Download - JBI Inleiding Natuurkunde

Top Related