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CAPITULO I

Blaise Pascal (1623-1662).

Filsofo, matemtico y fsico francs, considerado una de las mentes privilegiadas de la historia intelectual de Occidente. Naci en Clermont-Ferrand el 19 de junio de 1623, y su familia se estableci en Pars en 1629. Bajo la tutela de su padre, Pascal pronto se manifest como un prodigio en matemticas, y a la edad de 16 aos formul uno de los teoremas bsicos de la geometra proyectiva, conocido como el teorema de Pascal y descrito en su Ensayo sobre las cnicas (1639). En 1642 invent la primera mquina de calcular mecnica. Pascal demostr mediante un experimento en 1648 que el nivel de la columna de mercurio de un barmetro lo determina el aumento o disminucin de la presin atmosfrica circundante. Este descubrimiento verific la hiptesis del fsico italiano Evangelista Torricelli respecto al efecto de la presin atmosfrica sobre el equilibrio de los lquidos. Seis aos ms tarde, junto con el matemtico francs Pierre de Fermat, Pascal formul la teora matemtica de la probabilidad, que ha llegado a ser de gran importancia en estadsticas actuariales, matemticas y sociales, as como un elemento fundamental en los clculos de la fsica terica moderna. Otras de las contribuciones cientficas importantes de Pascal son la deduccin del llamado principio de Pascal, que establece que los lquidos transmiten presiones con la misma intensidad en todas las direcciones y sus investigaciones sobre las cantidades infinitesimales. Pascal crea que el progreso humano se estimulaba con la acumulacin de los descubrimientos cientficos. Pascal fue uno de los ms eminentes matemticos y fsicos de su poca y uno de los ms grandes escritores msticos de la literatura cristiana. Sus trabajos religiosos se caracterizan por su especulacin sobre materias que sobrepasan la comprensin humana. Se le clasifica, generalmente, entre los ms finos polemistas franceses, especialmente en Provinciales, un clsico de la literatura de la irona. El estilo de la prosa de Pascal es famoso por su originalidad y, en particular, por su total falta de artificio. Sus lectores pueden comprobar el uso de la lgica y la apasionada fuerza de su dialctica.

La problemtica del bajo rendimiento en Clculo de Funciones de Varias Variables de los alumnos de la Universidades de Barquisimeto, a generado la prueba de mltiples estrategias de la enseanzas a travs del tiempo, podemos notar que en la enseanza de este tpico, se utilizan muy poco material didctico adecuados. La regla, tiza y pizarrn son las herramientas didcticas mayormente empleada por el profesor. Obviamente, esto es

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insuficiente para la explotacin y exploracin de este tpico tan importante. Adems muchas veces las graficas dibujadas por el profesor en la pizarra no son una buena representacin de las funciones de varias variables. Dado esto, los estudiantes son incapaces de realizar una buena interpretacin de los datos y las grficas.

Existen investigaciones que afirman lo anterior. Primera M. (1996) Refleja que el Clculo en la carrera de ingeniera en Instituciones como la Universidad Central Lisandro Alvarado, Universidad Nacional Experimental Politcnica y la Universidad Yacamb todas ubicadas en Barquisimeto muestra el rendimiento acadmico obtenido por los alumnos en calculo fue muy bajo durante los aos 1994-1995, expresado en un 75% de los mismo.

As mismo en el Decanato de Ciencias y Tecnologa de la U.C.L.A de Barquisimeto Perdomo, M (2001) presenta un trabajo donde sugiere la necesidad de llevar a la prctica la utilizacin del computador con la finalidad de disminuir el ndice de aplazados en dichas Instituciones.

Por lo anterior, junto al avance espectacular en los ltimos aos de las nuevas tecnologas de la informacin, en particular la computadora, ha promovido actualizar la metodologa utilizada en la enseanza del clculo. En la ltimas dcadas han aparecidos diferentes software que estn siendo utilizadas en diversos temas matemticos algunos de estos son: Cabri, Derive, Mathlab, Mathematic, MAPLE V etc.

El Software Matemtico encierra algo ms que el concepto inicial que el

computador, cuya accin era la realizacin de grandes clculos a gran velocidad. Un Software Matemtico debe cubrir las partes grficas, simblicas y numricas.

Con la ayuda de los Software Matemticos, la parte complicada de los procesos computacionales pueden ser reducidos para permitir que el estudiante haga mayor enfoque en los anlisis de los problemas. A dems con el programa que se describe en ste trabajo como lo es Maple V el estudiante estar en la capacidad de hacer mayor cantidad de

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ejercicios, especialmente visualizando problemas de la vida real. Es decir, operaciones similares a las que se llevan a cabo por ejemplo cuando, intentando realizar una demostracin matemtica, se despeja una variable de una expresin, se sustituye en otra expresin matemtica, se agrupan trminos, se simplifican, se deriva y/o se integra, etc.

Qu es Maple V? En el ao 1980, un grupo de profesores de clculo simblico de la Universidad de

Waterloo, Ontario, Canad, desarrolla el programa Maple V. Su nombre proviene MAthematical PLEasurc. Existen versiones para los computadores ms corrientes del mercado que corren bajo Windows de Microsoft.

La primera versin que se instala en el laboratorio de computacin de la UPEL-IPB en octubre de 1997, fue la versin (Realease 4). En el segundo trimestre del ao 2001 se instal la versin (Realease 6) con muchas mejoras con respecto a las dos versiones anteriores y desde el segundo trimestre del ao 2002 sali al mercado la versin (Realease 7). Para el primer trimestre del ao 2003 se instalaron en el laboratorio la versin (Realease 8) con la cual se trabaja hasta estos momentos y este trabajo esta basado en esta ultima versin esperando sea de gran utilidad para el alumnado ya que existe poca literatura en este tema.

1.1.Justificacin

En diversos pases se ha establecido proyectos y programas para la formacin de docentes y estudiantes de matemtica, con la mediacin de esta herramienta computacional Rojano y Moreno (1999). Un argumento que se esgrime habitualmente en contra del empleo de tecnologa en la Enseanza de las matemticas es que se abandona y se olvida lo que se hace con el lpiz y el papel y eso va en perjuicio de la calidad en la formacin. Debemos de entender la instrumentacin de las tecnologas como un proceso de

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enriquecimiento y no como una sustitucin, tratando de mejorar capacidades cognitivas, no de sustituirlas. Por lo cual hay que darle a los estudiantes una nueva metodologa que les propicie, facilite y visualice la compresin de los conceptos matemticos, en particular los de Clculo de Funciones de Varias Variables, con el fin de lograr una enseanza integral y de calidad en esta ctedra, con la ayuda de un software matemtico (Software Educativo MAPLE V). Adems la tecnologa se puede considerar desde un punto de vista cognitivo como un organizador de la mente ms que como amplificador de la misma y se espera que tengan implicaciones radicales tanto en los mtodos como en los propsitos de la educacin matemtica.

Las nuevas tecnologas Educativas en el mundo acadmico actual esta apoyado en una parte importante en el desarrollo de las teoras constructivistas del aprendizaje y son muchos los trabajos de investigacin en Educacin Matemtica que van en esa direccin.

Ariyanti, K (1999), Su trabajo consiste en las dificultades presentada por los alumnos en el estudio del Clculos de Funciones de Varias Variables especficamente en las grficas de dos dimensiones, introduce nuevas tcnicas para visualizar los conceptos a travs del Software Matemtico Maple V y concluye que los alumnos pueden dominar mejor la parte abstracta de las matemticas con el uso de las nuevas tecnologa.

Millan, Z y Gil, Y, (2002), Mostrar una manera de transformarla enseanza terico practico del Anlisis Matemtico, lgebra y Geomtrico con la aplicacin de nuevas tecnologa. La metodologa utilizada en el desarrollo de esta experiencia fue primeramente la escogencia del software y la elaboracin del material didctico. (MAPLE)

Camacho y Depool, (2002), Presenta unas series de prcticas de Laboratorio con el computador diseadas como parte de una investigacin que se llevo a cabo conjuntamente entre las Universidades de Laguna (Espaa) y la U.N.E.X.P.O (Venezuela) mediante la cual

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se pretende analizar las potencialidades y dificultades que surge con la introduccin de Software Matemtico DERIVE.

Gonzalez-Martin (2003), Realizan una investigacin acerca de las dificultades, obstculos y errores que aparecen en los estudiantes cuando se desarrolla una enseanza habitual del concepto de integral impropia, trata de elaborar una didactica para la enseanza de dicho concepto con la ayuda del software MAPLE

1.2 Ventajas del uso del Maple V en la enseanza del clculo (matemtica):

Cambia la perspectiva del estudiante sobre la matemtica.

El estudiante determina que la materia es importante por la cantidad de tiempo que se le dedica y se le exige soltura y destreza en la aplicacin de procesos algortmicos, no es de extraar que identifiquen matemtica con calcular, usando Maple V el estudiante dedicar ms tiempo en comprender los conceptos, teoremas, aplicaciones, dejando los clculos rutinarios al computador y con esto el estudiante comprender que es ms importante la comprensin del proceso y no dominar algoritmos de clculo.

Permite la concentracin en la resolucin de problemas. En la resolucin de problemas se necesitan considerar alternativas, experimentar, conjeturar, comprobar y analizar resultados y el programa Maple V promueve ste tipo de actividad proporcionndole capacidad grfica, numrica y simblica, lo que le permite al estudiante concentrarse ms en la resolucin del problema.

Invita a experimentar.

Siendo una herramienta rpida y potente de clculo, el estudiante se anima e intenta nuevas respuestas y variaciones sobre el problema anterior, tomando una actitud exploradora, examinando numerosos ejemplos y casos distintos que le permiten hacer conjeturas y analizar los resultados.

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Revitaliza lo geomtrico y visual.

La parte grfica en Maple V le permite al estudiante visualizar grficas en dos y tres dimensiones realizando rotaciones sencillas como tambin animaciones. Con el Maple V la geometra se ha convertido en la fuerza impulsora del anlisis.

Motiva.

La dificulta de cmputos y el hacer muchas simplificaciones, algoritmos largos, hace que el estudiante perciba el problema como algo lejos de la realidad (ficticia) y cuyo nico objeto es tratar una teora no necesaria. Con Maple V le permite trabajar con problemas que estn ms prximos a la realidad. Esto motiva al estudiante y le hace percibir las matemticas como una forma de interpretar la realidad y no como una

especulacin.

Proporciona madurez. Con Maple V, el estudiante puede abordar problemas que son difciles de visualizar y

planteada en la enseanza tradicional. En efecto, muchos problemas necesitan grandes algoritmos matemticos para su resolucin aunque no para comprender su planteamiento y los resultados que de ellos se derivan. Esto junto con las tcnicas y posibilidades de experimentar con problemas reales proporcionan al estudiante una mayor madurez matemtica.

1.3. Funciones y comandos de MAPLE V (Realese 8) Para arrancar Maple V desde Windows se puede usar el men Start (inicio) del

modo habitual, tambin puede arrancarse haciendo click (cliqueando) dos veces en el icono correspondiente a la versin Maple V que se encuentra en el papel tapiz (ventana principal de Windows). Todos los archivos del Maple V tienen extensin *.mws por lo tanto en cualquier archivo que termina en *.mws se puede hasesar a Maple V. Para entender y utilizar esta herramienta, es necesario primero conocer sus funciones y comandos.

En cualquier caso el programa arranca y aparece la ventana de trabajo (ver Fig. 1), que es muy parecida a la de muchas otras aplicaciones del Windows. En la primera lnea de la ventana aparecer prompt de Maple V, cursor representado por el carcter mayor que ([>) lo que quiere decir que el programa est listo para recibir instrucciones.

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MAPLE V no es un programa fcil de manejar. Pronto se comprueba que es bastante ms complejo que Derive, Mathab. Sin embargo puede llegar mucho ms lejos y resolver una gama ms amplia de problemas, en particular los basados en mtodos simblicos.

El rea de trabajo del programa es aquella que se ubica despus del smbolo , el cual es llamado instruccin de comando; el rea de trabajo la denominamos hoja de trabajo. Cada instruccin en la barra de herramientas, ejecuta funciones similares a la barra de herramientas del Microsoft Word de Windows. Rpidamente mencionaremos algunas de estas funciones:

File (archivo), entre otras instrucciones contiene: nuevo, abrir, grabar, grabar como, cerrar, imprimir, vista preliminar, etc.

Edit (editar) las instrucciones ms utilizadas son: cortar, copiar, pegar, deshacer, etc. View contiene algunas instrucciones de comando para ejecutar el Maple por ejemplo: paletees (paletas de smbolos, expresiones y smbolos), zoom factor (permite ver de un determinado tamao la hoja de trabajo). Window (ventanas), permite organizar las hojas de trabajo y muestra aquellas hojas que estamos utilizando. Help (ayuda), esta instruccin es de gran utilidad ya que permite conocer los contenidos del Maple V; adems se puede utilizar para encontrar todo lo relacionado con un comando.

pront

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Algunas de las instrucciones sealadas anteriormente son representadas mediante iconos. A continuacin su funcin:

Tienen la misma funcin que el Word.

Su utilidad es idntica al editor de ecuaciones del Word.

Es para trabajar con textos dentro de una lnea de comando.

Es para crear nuevas lneas de comando cuando sea necesario.

Permite presentar en una hoja de trabajo, diferentes niveles.

Indica si el programa se est ejecutando.

Permite colocar de un determinado tamao todo lo referente a la hoja de trabajo (Zoom Factor).

Este comando permite visualizar si una determinada expresin est escrita en forma correcta, sin necesidad de ejecutar el comando.

Permite transformar una expresin en lnea de comando a texto.

Es una instruccin para ejecutar (enter).

Cuando se trabaja en una lnea comando con texto (escritura obscura) aparece en la barra una serie de comandos que tienen la misma funcin que el Word.

Cuando se trabaja con grficas en R2 aparece otra barra de herramientas:

Permite presentar la grafica punteada.

Permite presentar la grafica dentro de un rectngulo, mostrando los ejes coordenados.

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Presenta la grafica sin los ejes coordenados.

Cuando se grafica en R3 aparecen otras herramientas que se explicaran mas adelante.

1.4. Libreras

Maple dispone de ms de 2000 comandos. Slo los ms importantes se cargan en memoria cuando el programa comienza a ejecutarse. La mayor parte de los comandos estn agrupados en distintas libreras temticas, que estn en el disco del ordenador. Para poder ejecutarlos, hay que cargarlos primero. Puede optarse por cargar un comando o funcin aislado o cargar toda una librera. Esta segunda opcin es la ms adecuada si se van a utilizar varias funciones de a misma a lo largo de la sesin de trabajo. Tambin el usuario puede crear sus propias libreras.

El comando readlib (namefunc) carga en memoria la funcin solicitada como argumento. Por su parte, el comando with (library) carga en memoria toda la librera especificada. Con el Browser de maple se pueden ver las libreras disponibles en MAPLE V y las funciones de que dispone cada librera. Algunas de las que se utilizaran son: with(plots), with(linalg), with(geometry) y otras.

Maple dispone de funciones de libreras que se cargan automticamente al ser llamadas (para el usuario son como las funciones o comandos del ncleo, que estn siempre cargados). La lista de estas funciones se puede obtener con el comando index[external]. Las restantes funciones deben ser cargadas explcitamente por el usuario antes de ser utilizadas. sta es una fuente importante de dificultades para los usuarios que comienzan

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1.5. El Help de Maple

El help de Maple se parece al de las dems aplicaciones de windows, aunque tiene tambin algunas peculiaridades que conviene conocer. Adems de poder explorar el men Help de la ventana principal del programa, se puede pedir ayuda sobre un comando concreto desde la hoja de trabajo tecleando:

? comando

El mtodo anterior sobre una ventana con toda a informacin disponible sobre dicho comando. Otra forma de abrir la misma ventana es colocar el cursor sobre el nombre del comando y ver que en el men Help se ha activado la opcin de pedir informacin sobre ese comando en particular. Si se est interesado en una informacin ms especfica, se puede utilizar los comandos siguientes:

info (comando)

usage (comando)

related (comando)

1.6. Instrucciones Bsicas

Palabras reservadas del MAPLE V. Son aquellas palabras especificas para el lenguaje en computacin. Entre ellas tenemos:

> sqrt(x); Significa raz cuadrada de x > exp(x); Funcin Exponencial > Ln(x); Funcin Logartmica > sin(x); Funcin Seno > abs(-2); Valor absoluto

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> restart: :# Se utiliza para limpiar todo lo que esta en la memoria del software sin afectar lo realizado anteriormente en pantalla. El signo # significa que se puede escribir comentarios sin afectar el comando utilizado.

Operaciones Aritmticas. .Al finalizar cada instruccin se debe utilizar : ; El ; se emplea siempre al final de la instruccin y su objetivo es ejecutar el comando. Los dos puntos : Se emplea para que el software MAPLE V ejecute la instruccin, pero no mostrarla y cuando se escriben varias instrucciones seguidas y se requiere su ejecucin al final. Los operadores aritmticos son: +, -, *, /, ^, **

> 3+4+7-23.54;

-9.54

> 45.56/34.4;

1.324418605

> 4^3;

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> 4**3;

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Expresiones Polinmicas.

Las siguientes instrucciones son muy tiles al manipular expresiones polinmicas y/o

numricas.

> expand((x+1)/(x+2));

+ x

+ x 21

+ x 2

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> expand(1/(x+1)/x);

1( ) + x 1 x

> factor(6*x^2+18*x-24); # Es el comando para factorizar polinomios

6 ( ) + x 4 ( ) x 1

Resolver ecuaciones.

> solve(x^2-3*x-4, x); # Para resolver ecuaciones de segundo grado.

,4 -1

> solve({3*x+y=4,2*x-3*y=1});

{ }, = x 1311

= y511

> fsolve(x^3-3*x+1, x);

, ,-1.879385242 0.3472963553 1.532088886

Para resolver un sistema de ecuaciones se utiliza la instruccin solve({sistema de ecuaciones},{variables}) > solve({x+2*y=5,2*x-3*y=4},{x,y});

{ }, = y 67

= x237

Expresiones Numricas. > ifactor(24); # Descomposicin en sus factores primos.

( ) 2 3 ( ) 3

> 55/34;

5534

> evalf(%); # El signo de porcentaje es para utilizar el ultimo resultado o salida. El comando evalf. Es para simplificar expresiones numricas.

1.617647059

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> simplify(16^(1/2)+3); # Tambin se utiliza para simplificar fracciones algebraicas.

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> simplify((x^2+5*x+6)/(x+3)); + x 2

Funciones Hay dos formas de representar funciones con los comandos del programa una es con la instruccin flecha y la otra es con la instruccin unapply.

Usando el operador flecha. Se define la funcin f(x)=x^2+3 > f:=x ->x^2+3;

:= f x + x2 3

> f(sqrt(2)); # Buscando la imagen.

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Usando el comando unapply.

> f:= unapply(x^2+3,x);

:= f x + x2 3

> f(a);

+ a2 3

Funciones a trozos o por partes.

> f:=piecewise(x

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> f:=x ->piecewise(x f(3);

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Grficas de Funciones en R2. Las instrucciones para graficar en R2 son dos: plot (funciones explicita) e implicitplot (funciones implcitas). Para las funciones implcitas se necesita cargar previamente la librera de graficar with(plots). Para realizar grficas de funciones explcitas se procede:

plot(funcin, x=a..b, y=c..d, opciones); Entre las opciones tenemos: colores, grosor de la lnea, etc. Ver ?plot[options]. > plot(x^2-4,x=-4..4,y=-5..10);# Podemos observar que las escalas en los ejes no son iguales, para modificarlos hacemos doble click sobre la grafica y se busca en la barra.

Para realizar grficas de ecuaciones implcitas.

> with(plots): # Cuando se utiliza dos puntos carga la librera pero no la muestra, mientras que si se usa punto y coma detalla todos los comandos de graficacin que posee.

> implicitplot(x^2-x*y+y^2-4=0,x=-3..3,y=-3..3);

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> f:=x -> (x)/(1+x); # En esta grafica se pueden observar las asintotas.

:= f x x + 1 x

> plot(f(x),x=-5..5,y=-5..5);

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Ahora se presenta una grafica donde se usan los comandos textplot y display El primero nos permite identificar y escribir elementos de la grafica por ejemplo: mximo, mnimo, punto de inflexin y otros. La segunda permite mostrar varias instrucciones previas a la vez y ejecutarla todas de una sola vez.

> with(plots): > p:=plot(3*x^4+4*x^3,x=-1.5..0.5):delta:=0.5: > t1:=textplot([-1,-1-delta/2,`Local Mnimo(-1,-1)`],align=BELOW): > t2:=textplot([0,0-delta,`Punto de Inflexin(0,0)`],align=LEFT): > t3:=textplot([-1.1,0+delta,`Punto de Corte(-1.3,0)`],align=BELOW): > t4:=textplot([0,0-3*delta/2,`Punto de Corte (0,0)`],align=LEFT):

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> display({p,t1,t2,t3,t4});

Graficas de funciones en R3. Para realizar grficas en tres dimensiones, en el software MAPLE V, se utiliza la

instruccin plot3d. La secuencia para ser utilizada es:

plot3d(funcin, rango de la variable x, rango de la variable y, opciones);

A continuacin grafiquemos la funcin f(x , y) = 2x2+ 3y2 .

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Al colocar el cursor del ratn sobre la grfica y hacer click, este activa una nueva

barra de iconos, que a continuacin se sealan:

El significado de cada uno de los iconos es el siguiente:

Estos iconos nos indica los ngulos iniciales de la grfica

respecto a: un plano horizontal y un plano vertical. Adems en funcin de lo

anteriormente mencionado se puede realizar rotaciones a conveniencia para visualizar

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una nueva perspectiva de la grfica. Igualmente es vlido si se usa el apuntador del

ratn.

Estos iconos nos permiten modificar la grfica: rejilla, curvas de nivel y otros.

Estas nos permiten fijar los ejes coordenados de R3; a conveniencia.

Nos permite trabajar con una misma escala en los ejes coordenados

Limite. Los comando para hacer la ejecucin del lmite son Limit y limit. La primera Limit(funcin, variable=a) con mayscula solo la escribe. La segunda con minscula la ejecuta o calcula limit(funcin, variable=a)

> Limit(x^2+3*x+2,x=1); lim x 1

+ + x2 3 x 2

> limit(x^2+3*x+2,x=1); 6

> Limit(x^2+3*x+2,x=1)=limit(x^2+3*x+2,x=1); = lim

x 1 + + x2 3 x 2 6

Derivadas. Las instrucciones son Diff y diff. La primera con mayscula es solo para mostrarlo

Diff(funcion, variable) y la segunda con minscula es para calcularlo diff(funcin, variable)

> Diff(x^2+3*x+2,x);

x

( ) + + x2 3 x 2

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> diff(x^2+3*x+2,x); + 2 x 3

> Diff(x^2+3*x+2,x)=diff(x^2+3*x+2,x);

= x

( ) + + x2 3 x 2 + 2 x 3

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EJERCICIOS PROPUESTOS 1. - Calcular las siguientes expresiones:

a) )75(464 42133 +

b) 33534

34453

+

+

c) ( )343 24 yx + d) ( )42 532 + xx 2.- Factorizar las siguientes expresiones:

a) 652 + xx b) 354 23 ++ xxx

c) 2243 235 + xxxx 3.- Resolver las siguientes ecuaciones: a) 962 + xx b) 472 2 + xx

c) 583 34 + xxx d) 135 23 + xxx 4.- Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

=

=+

0282

yxyx

b)

=+

=

32

26

43yxyx

c)

=+

=+

=+

52823

732

zyxzyxzyx

d)

=

=+

=+

425734232

zyzx

yx

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5.- Graficar las siguientes funciones. a) 325)( 2 += xxxf b) 527)( 23 ++= xxxxf

c) 1232)(

2

+=

x

xxg

d) 34)( += xexh e) 05322 =+ yyx f) 843 22 =++ yyxx 6.- Calcular los siguientes limites: a) )1363( 23

4lim ++

xxxx

b) 53734355

34

24

3lim

++

++

xxx

xxx

x

c) 2527

52435

3

lim++

+

xxx

xx

x

7.- Calcular las siguientes derivadas:

a) 833235)( 3247 ++= xxxxxf

b) ( )82ln)( 35 3

+=

xx

exg

xx