INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA CUÁNTICACUÁNTICA
Fundamentos matemáticos. Los Postulados de la Mecánica Cuántica Los Postulados de la Mecánica Cuántica.
11
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOSFUNDAMENTOS MATEMÁTICOSFUNDAMENTOS MATEMÁTICOSFUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
La Mecánica Cuántica se desarrolla en La Mecánica Cuántica se desarrolla en espacios vectoriales denominados espaciosespacios vectoriales denominados espaciosespacios vectoriales denominados espacios espacios vectoriales denominados espacios de Hilbert.de Hilbert.P b tP b t Para comenzar, repasaremos brevemente Para comenzar, repasaremos brevemente las ideas fundamentales relativas al espacio las ideas fundamentales relativas al espacio euclídeo tridimensional euclídeo tridimensional EE3.3.
22
v
OPERACIONES BÁSICAS
vOPERACIONES BÁSICAS
1) SUMA DE VECTORESEED d
321
3231
EvvSUMAla
EvyEvDados
3, EvyRrDado 2) MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR
3
3,Evr
y
32211 Evrvr
• COMBINACIONES LINEALES
33
32211 Evrvr
3) PRODUCTO ESCALAR1v1v
2v
| || | cosv v v v 1 2 1 2
1 2 2 1
| || | cos( )
v v v vv v v v conmutativo
1 2 3 1 2 1 3( ) ( )v rv sv r v v s v v linealidad
2| | 0
| |
v v v
1 2 1 1 2 2| |
( )v v v v v vdesig Cauchy Schwarz
44
( . )desig Cauchy Schwarz
BASE ORTONORMALijji ee
3e vijji
erererv 332211
2e ii evrsiendo
1e 332211 eaeaeaa
3
332211 ebebebb
31
332211 ii
ibababababa
55
3
1
2
iiaaa
ESPACIOS DE HILBERTESPACIOS DE HILBERT Estudiaremos espacios vectoriales Estudiaremos espacios vectoriales
lineales complejos de dimensión finita lineales complejos de dimensión finita (para el desarrollo de la información (para el desarrollo de la información (p(pcuántica).cuántica). Los escalares son números complejosLos escalares son números complejos Los escalares son números complejos.Los escalares son números complejos. Usaremos la notación “braUsaremos la notación “bra--ket” de Dirac.ket” de Dirac. Cada vector estará representado por un Cada vector estará representado por un
“ket”:“ket”:ket :ket :
66
SUMA DE VECTORES
V
V
spropiedade
V )()(
V
MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR
complejonúmeroCcV
( )propiedadesc c c
Vc ( )
( )
( ) ( )
c d c d
cd c d
( ) ( )
77
PRODUCTO ESCALAR yDados
CPropiedades
linealidaddcdc
symmetryskew
)(
dpositivida0
)(
Norma de un vector
Vector normalizado
braodualvector ""
CVdA
braodualvector
88
CVcadaA
A partir de las propiedades del producto escalar, se puede demostrar que:
cc
Demostración:
ccccc ][
DESIGUALDAD DE CAUCHY SCHWARZDESIGUALDAD DE CAUCHY-SCHWARZ
2||
99
INDEPENDENCIA LINEAL
V
0...0.....
,.......,
2111
1
mmm
m
ccccc
V
DIMENSIÓN DEL ESPACIO VECTORIAL = número máximo (n) de vectores linealmente independientes BASE DEL ESPACIO VECTORIAL: n vectores linealmente independientesBASE DEL ESPACIO VECTORIAL: n vectores linealmente independientes (conjunto completo de vectores). Cualquier vector puede expresarse como combinación lineal de los vectores de la base.
BASE ORTONORMAL
n,.......,, 21
njiijji
n
,....2,1,;
, ,, 21
iii
n
ii aa ;
1
1010
i1
Expresión del producto escalar y la norma a partir de las componentes.
i
n
iii
n
ii bya
11
n
iii
n
ii aba
1
2
1||;
Demostración:
iiijjijijijjii babababa
Demostración:
ijijiji
,,
iii aaa 2||
ii
iii ||
1111
OPERADORES LINEALESAOperador ˆ linealidad
A
AOperadorˆ AbAabaA ˆˆ)(ˆ
Iidentidadoperador
0Nnulooperador
ˆˆˆ
BABAC
BACoperadoresdesumaˆˆ)ˆˆ(ˆ
ˆˆˆ
BABAC )(
operadoresdeproducto
)ˆ(ˆˆˆ;ˆˆˆ BABABAC
ope ado esdep oducto
1212!ˆˆˆˆ¡ ABBAOJO
REPRESENTACIÓN MATRICIAL
Un operador está representado en cierta base a partir de una matriz cuadrada
A
AOperadorˆ
ˆnBase ,.......,, 21
j
n
jja
1
n
nnn
AAbAA ˆˆˆ
?¿;1
ii
n
ii bb
jj
ijjij
jiijj
j aAAabAaA
111
AA ˆ jiij AA
b1
a1
nAAA .. 11211
b.2
a.2
nAAA.....
.. 22221
1313
nb.
na.
nnnn AAA .......
21
VunitariovectorPROYECTORES
P
Pˆ
ˆPropiedades P
Pˆ
ˆ)1
PP
PSiˆˆ)3
00)22
PP)3
PROYECTORES SOBRE ESPACIOS MULTIDIMENSIONALES
l
k
llP
1
ˆ PP ˆˆ 2 l1
RELACIÓN DE CIERREla suma de los proyectores asociados a los vectores de una base ortonormal es i l l id tid d
14141
n
i ii
I
igual a la identidad:
nBase ,.......,, 21
AUTOVALORES Y AUTOVECTORES
aA ˆ
a
Vector propio o autovector
Valor propio o autovalorp p
Los autovalores de un operador no dependen de su representación matricial.
La ecuación de autovalores siempre tiene solución
Los autovectores de un operador lineal, correspondientes a autovalores distintos, son linealmente independientes
p p p
p
E ió t í ti 0....
d22221
11211
AaAAAAaA
n
n
Ecuación característica 0
............det
21
aAAA nnnn
1515Tiene n raíces complejas (autovalores) naaa .,..........,, 21
OPERADOR ADJUNTO O HERMÍTICO CONJUGADO
A ˆˆAA AA ˆˆA
ˆ ˆˆ ˆ( )A B A B PROPIEDADES
( )ˆ ˆˆ ˆ( )ˆ ˆ( )
AB B A
A A
Representación matricial: traspuesta conjugada ij jiA A
AA ˆˆ OPERADOR AUTOADJUNTO (O HERMÍTICO)
( )A A
PROPIEDADES DE LOS OPERADORES AUTOADJUNTOS:
1ª. Sus autovalores son números reales
PROPIEDADES DE LOS OPERADORES AUTOADJUNTOS:
Demostración:Demostración:
aA ˆ RaA ;ˆ
R1616
AAAA ˆˆˆˆ Ra
2ª. Los vectores propios correspondientes a autovalores distintos son ortogonales entre síson ortogonales entre sí.
Demostración:iii aA ˆ
ijiij aA ˆ
ijiij aA ˆijiij
ˆijiji aA
ijijij aa
00)( ijijij aa Siempre es posible encontrar, a partir de los vectores propios de
1717
un operador hermítico, una base ortonormal del espacio de Hilbert.
ˆ ˆˆOPERADOR INVERSO A 1ˆˆ ABˆˆˆˆˆ IBAAB
OPERADOR UNITARIO
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆU
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆUU U U I U
Es decir: 1ˆ ˆU U Un operador es unitario cuando su adjunto es igual a su inverso
Propiedades: p
A) El producto de dos operadores unitarios es unitario.
B) El producto escalar es invariante bajo transformaciones
1818
) p junitarias.
REPASO DE LOS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (con gráficos no riguroso para mejor comprensión)
• Bases ortonormales en el espacio de Hilbert
(con gráficos –no riguroso- para mejor comprensión)
0|;1|| 212211 uuuuuu|
2| u2|
p
0|;1|| 212211 vvvvvv
1| u
1|
1| uEjemplo gráfico en el espacio E2
|'|'|||
• Las componentes de un ket dependen de la base ortonormal en la que se exprese. Tomando n=2:
22112211 |'|'||| vcvcucuc¡NÚMEROS
COMPLEJOS!
19191| • Supondremos que el ket está normalizado COMPLEJOS!
Operadores en Operadores en H H : matrices 2 X 2: matrices 2 X 2
'||A
111211 'ccaa
2| u'|
'|| A
2
1
2
1
2221
1211
'ccaa
|A Valores propios y vectores propios Valores propios y vectores propios
1 1 1ˆ | |A a
|
|A
Si el operador es hermítico:
2 2 2ˆ | |A a 1| u
1. Sus valores propios son números reales (supondremos que no hay degeneración): 1 Los correspondientes vectores propios al ser ortogonales
2121 ,, aaRaa 1. Los correspondientes vectores propios, al ser ortogonales,
constituyen una base ortonormal de H.
1| | | |c c 1 1 2 2| | |c c
20202|
EjerciciosEjerciciosEjerciciosEjercicios1.1. Encontrar la condición para que el Encontrar la condición para que el
vectorvector1)(0)cos(cos 2121 sensen
esté normalizado. esté normalizado. esté o a adoesté o a ado
1,0 es la base computacional es la base computacional (espacio de Hilbert de dimensión 2). (espacio de Hilbert de dimensión 2).
2. Demostrar la desigualdad de Cauchy2. Demostrar la desigualdad de Cauchy--SchwarzSchwarz
2||
Ayuda: Úsese que el producto escalar de un vector por sí mismo es
csiendoc ;
Ayuda: Úsese que el producto escalar de un vector por sí mismo es definido positivo, y defínase el vector
2121
;
