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Introducción a la Mecánica Analítica

Mecánica IITema 5

Manuel Ruiz Delgado

Escuela Tecnica Superior de Ingenieros Aeronauticos

Universidad Politecnica de Madrid

Introduccion a la Mecanica Analıtica– p. 1/24

Mecánica analítica

Sistemas materiales

LigadurasSistemas holónomosSistemas no holónomos

Coordenadas generalizadas

Espacio de configuración

Desplazamientos, velocidades y trabajosDesplazamientos virtualesDesplazamientos posiblesDesplazamientos virtuales compatibles con las ligaduras

Fuerzas de ligadura

Trabajo virtual

Ligaduras ideales y fuerzas de ligadura

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Sistemas materiales

Sistema formado porN partículas materiales sujetas a ligaduras3N coordenadas:(x1, y1, z1, . . . , xN , yN , zN )

g ligadurasindependientesn = 3N − g grados de libertad (GDL)

Mecánica Newtoniana:introducirincógnitas/ecuaciones de ligadura

3N + g ecuaciones3N + g incógnitas

Mecánica Analítica:1 ecuación para cada grado delibertad

3N − g ecuaciones3N − g incógnitas

Superficie: proyectar sobre el plano tangenteCurva: proyectar sobre la tangente

3N

−g

3N

+g

3N

g

Introduccion a la Mecanica Analıtica– p. 3/24

Ligaduras: Clasificación

Ligadura Descripción SistemaFinita/geométrica f(ri, t) = 0

HolónomoCinemática∑

Ai · vi +D = 0

• integrable = ddtf(ri, t)

• no integrable 6= ddtf(ri, t) No Holónomo

Estacionaria f(ri) = 0 EsclerónomoNo estacionaria f(ri, t) = 0 ReónomoBilateral f(ri, t)=0 Igual siempreUnilateral f(ri, t)≥0 Libre/ligado

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Ligaduras finitas:f (r1, r2, . . . , rN , t) = 0

Partícula sobre superficie esférica:N = 1; coordenadas:3N ;ligaduras:g = 1; GDL: n = 3N − g = 2

Esfera fija: f(r) ≡ x2 + y2 + z2 − R2 = 0

Globo esférico: f(r, t) ≡ x2 + y2 + z2 − R(t)2 = 0

Dos partículas unidas por una barra:N = 2; coordenadas:3N ;ligaduras:g = 1; GDL: n = 3N − g = 5

f(r1, r2) ≡ (y1 − y2)2 + (z1 − z2)

2 + (x1 − x2)2 − L2 = 0

Si la barra es telescópica:

f(r1, r2, t) ≡ (y1 − y2)2 + (z1 − z2)

2 + (x1 − x2)2 − L(t)2 = 0

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Ligaduras independientes: Jacobiano

g ligadurasindependientes: Jacobiano[∂fi/∂xj ] rango=g

g ligadurasredundantes: Jacobiano[∂fi/∂xj ] rango<g

Ej.: Sistema: partícula sujeta a tres ligaduras:

Esfera de centro el origen:f1 ≡ x2 + y2 + z2 −R2 = 0

Plano horizontal:f2 ≡ z = 0

Cilindro vertical:f3 ≡ x2 + y2 −R2 = 0

La tercera ligadura es redundante:

f =

x2 + y2 + z2 − R2

z

x2 + y2 −R2

JJJ =

2x 2y 2z

0 0 1

2x 2y 0

Rango (JJJ) = 2

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Ligaduras independientes: Jacobiano

Ej.: Dos partículas (N = 2) en el plano (2N en vez de3N ) sujetas a:

f1 ≡ (x2 − x1)2 + (y2 − y1)

2 − 4R2 = 0

f2 ≡ y2 = 0

f3 ≡ x2

1 + (y1 −R)2 − R2 = 0

GDL: n = 2N − g = 4 − 3 = 1. Calculamos el jacobiano:

JJJ =

−2 (x2 − x1) −2 (y2 − y1) 2 (x2 − x1) 2 (y2 − y1)

0 0 0 1

2x1 2 (y1 −R) 0 0

Obviamente, Rango(JJJ) = 3 ⇒ independientes

Introduccion a la Mecanica Analıtica– p. 7/24

Ligaduras independientes: Jacobiano

Son independientes en generalPero pueden hacerse redundantes en algunos puntos:

Si colocamos la varilla vertical,x1 = x2 = 0, y1 = 2R, el jacobianose reduce a:

JJJ =

0 4R 0 −4R

0 0 0 1

0 2R 0 0

Obviamente, Rango(JJJ) = 2 ⇒ redundantes.

2

1

Introduccion a la Mecanica Analıtica– p. 8/24

Ligaduras unilaterales/bilaterales

z ≥ 0 z = 0

Ligadas (=)|r1 − r2| = L

Libres (<)|r1 − r2| < L

Integrar las ecuacionesconligaduraComprobar cuándo se separaIntegrar las ecuacionessin ligadura con las condiciones inicialesde la separaciónComprobar si vuelve a cumplirse . . .

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Ligaduras finitas→ cinemáticas

Toda limitación de las coordenadas limita también las posiciones

f(ri, t) = 0 ⇒d

dtf(ri, t) = 0

∂f

∂x1

x1 +∂f

∂y1y1 + · · · +

∂f

∂yN

yN +∂f

∂zNzN +

∂f

∂t=

= ∇1f · r1 + · · · + ∇Nf · rN +∂f

∂t=

N∑

i=1

Ai · vi +B = 0

f ≡ z − h = 0 ⇒ ∇f · v +�

��∂f

∂t= 0 ⇒ z = 0

Ascensor: sistema reónomoz − h(t) = 0

f ≡ z−h = 0 ⇒ ∇f ·v+ft = 0 ⇒ vn = z = −ft/ |∇f |

v

∇f

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Ligaduras finitas→ cinemáticas

Partícula sobre superficie esférica:f ≡ x2 + y2 + z2 − R2 = 0.

∇f · v = 0 ⇒ 2xx+ 2yy + 2zz = 0

∇f = (2x, 2y, 2z) ‖ ur, la velocidad es tan-gente a la superficie.Si la ligadura fuera no estacionaria —porejemplo, un globo que se hincha— la velo-cidad no es tangente:

f(r, t) ≡ x2 + y2 + z2 −R(t)2 = 0

∇f · v + ft = 0 ⇒ vn = −ft

|∇f |= R

v

∇f

Introduccion a la Mecanica Analıtica– p. 11/24

Ligaduras cinemáticas no integrables

Hay ligaduras cinemáticas queno sonla derivada de una finita:

g (ri,vi, t) ≡N∑

i=1

Ai(ri, t) · vi +B(ri, t) = 0

∄ f(ri, t) / g (ri,vi, t) =d

dtf(ri, t)

Todas finitas o cinemáticas integrables→ Sistema holónomoAl menos 1 cinemática no integrable→ Sistema no holónomoLas ligaduras finitas se puede usar para despejar coordenadas ydejar sólo las independientes (n)Las cinemáticas no sirven, pues aparecen las velocidadesSi son integrables, se integran→ reducir coordenadasEn los sistemasno holónomosno es posible reducir el número deecuaciones al mínimo

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Ligaduras cinemáticas no integrables

No integrable: Patín / Esquí / Rueda /Patín de hielo. Sólo puedemoverse en la dirección de la cuchilla. No impone condiciones a lascoordenadas: puede ponerse en cualquier punto y orientarseencualquier dirección.

A · v = (− sin θ, cos θ) · (x, y) =

= − sin θ x+ cos θ y = 0

• No integrable: 1 ec., 3 v.d.(x, y, θ), 1 v.i. (t).Aunque se tomara laθ como v. i., dividiendopor θ, seguiría sin poderse integrar.

θ

A (x, y)

• Sólido libre en el plano: 3 GDL,x, y, θ. Con ligadura cinemática:n = 3 − 1 = 2 GDL.• Análogo al de un automóvil o una bicicleta: 2 GDL dirección(manillar/volante) y el avance (pedales/motor).

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Ligadura cinemática integrable

Integrable: Rodadura sin deslizamiento en el plano:

vI = vC + ω ∧ CI =(

x− Rθ)

i + y j = 0

• Ligadura integrable segúny:

g1 ≡ A1 · vI21 +B1 =

= j · vI21 + 0 = y = 0 ⇒ y = R

• Ligadura integrable segúnx:

g2 ≡ A2·vI21+B2 = i·vI

21+0 = x− Rθ = 0 ⇒ x = Rθ+���Cte.

θ

xO I

C Rθ

• De las tres coordenadas, sólo queda una independiente:x ó θ, puessólo hay un grado de libertad:n = 3 − 2.

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Ligadura cinemática no integrable

No integrable: Disco que ruedasin deslizar sobre un plano⊥.(⊥→ θ = π

2Lig. finita)

vI21 = vC

21 + ω21 ∧ CI = 0 =

=

x

y

z

1

+

∣∣∣∣∣∣

i0 j0 k0

0 ϕ ψ

0 0 −R

∣∣∣∣∣∣

ϕ

I

C

x1

y1

z1

x0

y0

z0

=

x− Rϕ cosψ

y − Rϕ sinψ

z

1

=

x cosψ + y sinψ −Rϕ

−x sinψ + y cosψ

z

0

=

0

0

0

g1 ≡ i0 · vI21

g2 ≡ j0 · vI21

g3 ≡ k0 · vI21

g1 ≡ i1 · vI21

g2 ≡ j1 · vI21

g3 ≡ k1 · vI21

g1g2g3

= QQQ10 ·

g1g2g3

Introduccion a la Mecanica Analıtica– p. 15/24

Ligadura cinemática no integrable

• La ligadura dez es integrable: eldisco no se levanta del suelo:

g3 ≡ k0 · vI21 = g3 ≡ k1 · v

I21 =

= z = 0 ⇒ z = R

• Las dex ey no son integrables:

ψ

ϕ

I

C

x1

y1

z1

x0

y0

z0

g1 ≡ i0 · vI21 = x cosψ + y sinψ − Rϕ = 0;

g2 ≡ j0 · vI21 = −x sinψ + y cosψ = 0

• Proyectadas en ejes 1 2 Ecs, 4 Var. Dep, 1 Var. Indep.

g1 ≡ i1 · vI21 = x− Rϕ cosψ = 0;

g2 ≡ j1 · vI21 = y − Rϕ sinψ = 0

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Ligaduras cinemáticas no integrables

ψ

(x, y)

x1

y1

g21

+ g22≡ s = Rϕ → s = Rϕ+ C : Rueda sin deslizar

g2/g1 ≡ dydx

= tanψ : dirección de la rueda:¡libre!

No puede integrarse:ψ no está determinadopor la ligadura(si no, el recorrido del coche estaría fijado antes de arrancar)

Está determinado si se da una leyψ(s) → fijar la trayectoria

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Coordenadas generalizadas

N partículas,g ligaduras→ sólon = 3N − g coordenadasindependientesSistema holónomo:las ligaduras se usan para eliminar lasdependientesSistema no holónomo:no se pueden usar las ligaduras nointegrables para eliminar las dependientes

Partícula sobre esfera lisa:f(r) ≡ x2 + y2 + z2 −R2 = 0Sistema holónomo,GDL = n = 3 · 1 − 1 = 2.Eliminar una:z = ±

R2 − x2 − y2; (x, y) independientesCompleja e incómoda: raíz, no uniforme.Mejor coordenadas esféricas:

ligadura︷ ︸︸ ︷

ρ =√

x2 + y2 + z2 = R

independientes︷ ︸︸ ︷

tan θ =y

xsinϕ =

z

R

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Coordenadas generalizadas: sist. holónomos

N partículas,g ligaduras finitas:n = 3N − g independientes.Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que lasindependientes son lasn primeras,

n︷ ︸︸ ︷

x1, y1, z1, x2, . . . , xk,

g︷ ︸︸ ︷

yk, zk, . . . , xN , yN , zN︸ ︷︷ ︸

3N

La configuración del sistema se puede expresar como:

ri = ri (x1, y1, z1 . . . xk, t) , i = 1 . . . N

yk, zk, . . . xN , yN , zN salen de las ecuaciones de las ligaduras.Olvidamos las ligaduras: ya están contadas

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Coordenadas generalizadas: sist. holónomos

Se puede trabajar con las coordenadas cartesianas independientes(para sólidos, también ángulos de Euler)

ri = ri (x1, y1, z1 . . . xk, t) , i = 1 . . . N

Con frecuencia es más cómodo usar otrosn parámetrosindependientes, lascoordenadas generalizadas:

ri = ri (q1, . . . , qn, t) , i = 1 . . . N

Tienen que estar relacionadas como cambio de variable:∣∣∣∣

∂ (x1, y1, . . . , xk)

∂ (q1, q2, . . . , qn)

∣∣∣∣6= 0

El movimiento del sistema estará perfectamente determinadocuando se conozcanq1(t), . . . , qn(t).

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Coordenadas generalizadas: sist. holónomos

Ejemplo: Dos partículas1 y 2. Coordenadas:x1, y1, z1, x2, y2, z2.

3 Ligaduras:y1 = 0

y2 = 0

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)

2 + (z1 − z2)2 = L2

Escoger 3 coordenadas independientes: x

z

1

2

x2

y2

z1x1

Dos determinadas directamente por las ligadurasy1 = 0, y2 = 0.De las otras cuatro, se puede despejar una, por ejemplo:

z2 = z1 ±√

L2 − (x2 − x1)2

Raíz molesta. No uniforme: hay que distinguir qué signo tomarx1, z1 arbitrarias;x2 limitada por la ligadura

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Coordenadas generalizadas: sist. holónomos

Es más conveniente tomar un conjunto de coor-denadas generalizadas:

q1 = x1

q2 = y1q3 = θ

Las coordenadas de1 y 2 pasan a ser:x

z

1

2

θ

z1x1

r1 = (x1, 0, z1), r2 = (x1 + L cos θ, 0, z1 + L sin θ)

Las tres pueden tomar valores arbitrarios, y lasri están unívocamentedefinidas. Se puede comprobar que el jacobiano es distinto decero:

∣∣∣∣

∂ (x1, y1, x2)

∂ (x1, y1, θ)

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

1 0 0

0 1 0

1 0 −L sin θ

∣∣∣∣∣∣

= −L sin θ

Introduccion a la Mecanica Analıtica– p. 22/24

Coordenadas generalizadas: No holónomos

Sistema conN partículasSujeto ag ligaduras finitas o cinemáticas integrables (integradas)

fj(ri, t) = 0, j = 1 . . . g

Sujeto ah ligaduras cinemáticas no integrables

N∑

i=1

Aik · vi +B = 0, k = 1 . . . h

n grados de libertadGDL = 3N − g − h = n

Pero no se pueden obtenern coordenadas generalizadas: lashligaduras cinemáticasno sirvenpara reducir coordenadasHay que usarm = 3N − g > GDL coordenadas generalizadasno independientes

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Espacio de configuración

Espacio euclídeoR3: N partículas libresri ∈ R3, i = 1 . . . N

Espacio de configuraciónR3N : Punto representativo del sistema:

R = (x1, y1, z1 . . . , xN , yN , zN ) ∈ R3N

Variedad de configuración: Sistema sujeto ag ligaduras finitas

fj(ri, t) = 0, j = 1, . . . , g

Ecuacionesimplícitas de una variedad (dimn) inmersa enR3N

Espacio de configuración(otra acepción)Rn: n = 3N − gcoordenadas generalizadas. Punto representativo del sistema:

R = (q1, . . . , qn) ∈ Rn

Ecuacionesparamétricas de lavariedad de configuración

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