Download - hidraulica generala

8/10/2019 hidraulica generala

1/188

1

C U P R I N S

pag.1 Introducere 7

1.1 Obiectul cursului i legtura cu alte discipline 71.2 Scurt istoric 71.3 Mrimi fizice i uniti de msur. Sistemul Internaional 9

2 Proprietile fluidelor 112.1 Clasificarea fluidelor 112.2 Densitatea i greutatea specific 11

2.2.1 Densitatea fluidelor monocomponente 122.2.2 Densitatea fluidelor multicomponente 14

2.3 Vscozitatea 152.4 Compresibilitatea 15

2.5 Tensiunea interfacial i presiune capilar 163 Statica fluidelor 193.1 Starea de tensiuni ntr-un fluid n echilibru 193.2 Ecuaia microscopic a echilibrului fluidelor 203.3 Legea variaiei presiunii ntr -un fluid n echilibru 21

3.3.1 Legea variaiei presiunii ntr -un gaz aflat n repaus n cmpul gravitaionalterestru

21

3.3.2 Presiunea ntr-un fluid aflat n repaus n absena forelor masice 223.3.3 Legea variaiei presiunii ntr -un lichid aflat n repaus n cmpul gravitaional

terestru22

3.4 Fore de presiune pe suprafee 233.4.1 Fore de presiune pe o suprafa plan 23

3.4.1.1 Fora de presiune pe o suprafa plan aflat n contact cu un lichid 233.4.1.2 Fora de presiune pe o suprafa plan aflat n contact cu un gaz 24

3.4.2 Fore de presiune pe suprafee curbe 243.4.2.1 Fora de presiune pe o suprafa curb aflat n contact cu un lichid 243.4.2.2 Fora de presiune pe o suprafa curb aflat n contact cu un gaz 25

3.4.3 Fora de presiune pe o suprafa curb nchis. Plutirea corpurilor 253.5 Echilibrul relativ al lichidelor 26

3.5.1 Ecuaia fundamental a echilibrului relativ al lichidelor 263.5.2 Echilibrul relativ al lichidului dintr-un vas aflat n micare de rotaie uniform

n jurul unei axe verticale27

3.5.3 Echilibrul relativ al lichidului dintr-un vas aflat n micare de translaieuniform accelerat

28

3.6 Probleme 283.6.1 Probleme rezolvate 283.6.2 Probleme propuse 31


2/188

2

4 Cinematica fluidelor 354.1 Noiuni fundamentale de cinematica fluidelor 35

4.1.1 Parametrii cinematici ai micrii unui fluid 354.1.2 Cmp de viteze 354.1.3 Linie de curent 354.1.4 Tub de curent 354.1.5 Fluxul vitezei 364.1.6 Rotorul vitezei 364.1.7 Linie de vrtej 364.1.8 Tub de vrtej 364.1.8 Circulaia 36

4.2 Micarea de deformaie a unui particule de fluid 374.3 Ecuaia continuitii 37

4.3.1 Ecuaia microscopic a continuitii 37

4.3.2 Ecuaia macroscopic a continuitii 385 Dinamica fluidelor perfecte 395.1 Ecuaia microscopic a micrii fluidelor perfecte 395.2 Ecuaia macroscopic a micrii fluidelor perfecte. Teorema impulsului 395.3 Teorema momentului impulsului 415.4 Ecuaia energiei 415.5 Aplicaii ale teoremei impulsului pentru un tub de curent 43

5.5.1 Aciunea fluidului asupra unei conducte curbe 435.5.2 Aciunea jeturilor libere de fluid asupra pereilor rigizi 44

5.5.2.1 Cazul peretelui de ntindere infinit 44

5.5.2.2 Cazul peretelui de dimensiuni finite 445.5.2.3 Cazul peretelui de dimensiuni finite cu marginea curbat n unghi drept

spre amonte44

5.5.3 Pierderea local de sarcin hidraulic la mrirea brusc a diametruluiconductei

45

5.6 Aplicaie a teoremei momentului impulsului pentru un tub de curent: ecuaiileturbinelor hidraulice

45

5.7 Aplicaii ale ecuaiei conservrii energiei mecanice (ecuaia luiBERNOULLI) 455.7.1 Tubul PITT 455.7.2 Sonda de presiune 46

5.7.3 Tubul PITT PRANDTL 465.7.4 Tubul VENTURI 465.7.5 Ejectorul 475.7.6 Trompa de vid 48



3/188

3

6 Micri poteniale 516.1 Aspecte fundamentale 516.2 Micri poteniale bidimensionale 51

6.2.1 Potenialul complex al micrii 516.2.2 Micri poteniale simple 536.2.2.1 Puncte singulare 536.2.2.2 Micarea uniform 536.2.2.3 Sursa bidimensional 546.2.2.4 Vrtejul simplu 546.2.2.5 Dubletul bidimensional 55

6.2.3 Micri poteniale compuse 566.2.3.1 Micarea generat de dou surse de semne contrare 566.2.3.2 Micarea fr circulaie n jurul unui cilindru 576.2.3.3 Micarea cu circulaie n jurul unuicilindru 59


7 Dinamica fluidelor vscoase 637.1 Aspecte generale 637.2 Micarea laminar 63

7.2.1 Ecuaiile NAVIER STOKES 637.2.2 Micarea laminar ntr -un tub de seciune circular 65

7.3 Micarea turbulent 677.4 Ecuaia energiei 69

7.5 Probleme 707.5.1 Problem rezolvat 707.5.2 Probleme propuse 70

8 Similitudinea i analiza dimensional 718.1 Similitudinea 71

8.1.1 Aspecte generale 718.1.1 Criterii de similitudine 71

8.2 Analiza dimensional 738.2.1 Legea omogenitii dimensionale 738.2.2 Teorema 748.2.3 Aplicaii ale teoremei 74

8.2.3.1 Legea fundamental a hidrostaticii 748.2.3.2 Legea rezistenei opuse unui corp la naintarea sa printr-un fluid 758.2.3.3 Legea variaiei efortului tangenial la perete n cazul micrii unui fluid

vscos printr-o conduct 75

8.3 Probleme 769 Micarea lichidelor n conducte 77


4/188


5/188


6/188

6

INTRODUCERE

1.1. Obiectul cursului i legtura cu alte discipline

Hidraulica general este disciplina care studiaz legile echilibrului i micrii fluidelor nnatur i n construciile tehnice concepute i realizate de societatea uman.

Termenul romneschidraulic provine din cuvntul francezhydraulique care, la rndulsu, i are etimologia n cuvntul greceschidraulis , derivat dinhidor (ap) i aulos (tub).Hidraulis era un instrument muzical folosit n antichitate, precursor al orgii, la care un rezervocu ap stabiliza presiunea aerului furnizat tuburilor. Ulterior, acest termen a fost atribuit cdenumire tiinei care se ocupa de folosirea apei de ctre om (alimentri cu ap, sisteme dirigaii, poduri, baraje, canale pentru navigaie, amenajarea cursurilor de ap etc.). Priextinderea treptat a preocuprilor hidraulicii la studiul ntregului domeniu al lichidelor gazelor, a aprut necesarfolosirea unei noi denumiri:mecanica fluidelor. n prezent, sintagmamecanica fluidelor este folosit pentru partea cu caracter pronunat teoretic a disciplineimenionate, iar termenulhidraulic desemneaz partea preponderent aplicativ a acesteia, care

utilizeaz metode experimentale i formule empirice, alturi de metodele teoretice. Problemele asociate echilibrului i micrii fluidelor prin mediile permeabile (poroasi/sau fisurate) subterane, cu particularizare la straturile saturate cu ap, iei sau gaze, facobiectul unei pri distincte a hidraulicii, numithidraulica subteran.

Hidraulica este o ramur a mecanicii, desprins, la rndul ei, din fizic. Ea dispune dinformaii de natur experimental i este guvernat de legile conservrii masei i energiei carexprimate diferenial, conduc la ecuaii cu derivate pariale, a cror soluionare necesit utilizarunui aparat matematic adecvat. Operarea cu vectori (vitez, acceleraie, fore etc.), n cadruecuaiilor fundamentale ale echilibrului i micrii fluidelor implic apelarea la cunotinele dcalcul vectorial. Utilizarea funciilor de variabil complex la studiul unor clase de micri afluidelor necesit cunoaterea teoriei acestui tip de funcii. n cadrul hidraulicii sunt necesare, de

asemenea, elemente de calcul diferenial i integral, teoria cmpului, statistic matematicmetode numerice etc. Hidraulica a preluat din mecanic ecuaiile fundamentale ale echilibrului micrii corpurilor rigide, iar din disciplina elasticitate i-a nsuit ecuaiile corpurilordeformabile. Noiunile i legile termodinamicii sunt utilizate frecvent n dinamica gazelo precum i la formularea ecuaiilor de micare a fluidelor n cadrul metodelor termice drecuperare a petrolului sau n cazul exploatrii zcmintelor de ape geotermale.

Cunotinele de hidraulic sunt eseniale pentru nelegea ulterioar a noiunilor specificdisciplinelor care profileaz specialitile: forajul sondelor, extracia petrolului, transportudepozitarea i distribuia hidrocarburilor, precum i ingineria zcmintelor de hidrocarburi fluidDintre aceste discipline menionm: transportul petrolului i gazelor prin conducte, tehnologextraciei petrolului, tehnologia extraciei gazelor, geologia zcmintelor de hidrocarburi, fluide

de circulaie i izolare, tehnologia forrii sondelor, fizica zcmintelor de hidrocarburi proiectarea exploatrii zcmintelor de petrol etc. ntr -un cadru mai larg, legile i noiunilespecifice hidraulicii generale sunt aplica bile practic tuturor specializrilor inginereti, iar n sfera produciei aproape c nu exist domeniu n care acestea s nu-i dovedeasc utilitatea.

1.2. Scurt istoric

Primele cunotine de hidraulic dateaz din vremuri strvechi i sunt atestate de existen


7/188

7

unor baraje, apeducte, diguri de protecie mpotriva inundaiilor, canalizri, bi publice, care afost construite ncepnd din mileniul 3 .e.n. n Asia Mic, India, Egipt, China, iar mai apoi Grecia i Roma antic. Aceste realizri, asociate cu cele din domeniul navigaiei, conferhidraulicii, n aceast lung perioad, un caracter predominant experimental.

ARHIMEDE, savant grec din Siracuza (287212 .e.n.), care a adus contribuii eseniale n

domeniul geometriei i mecanicii, este n acelai timp fondatorul hidrostaticii. El a enuna principiul care i poart numele i a scris un scurt tratat despre plutirea corpurilor. De la lucrarelui ARHIMEDE i pn la tratatul privind micarea i msurarea apei, elaborat deLEONARDO DAVINCI (14521519), nu se cunoate apariia altei lucrri de hidraulic care s ateste preocuprtiinifice n acest domeniu.

Conturarea hidraulicii pe baz de cunotine teoretice i experimentale are loc ncepnabia din secolul al XVII-lea, dup perioada Renaterii, cnd ideile lui ARHIMEDE au fost reluatei duse mai departe de o pleiad de oameni de tiin, dintre care cei mai proemineni sunamintii n cele ce urmeaz.SIMON STEVIN , cunoscut i sub numele deSimon de Bruges (15481620), matematician i fizician flamand, care a demonstrat imposibilitatea micr perpetue i a studiat fraciile zecimale, a avut contribuii majore n hidrostatic, descoperin

legile presiunii lichidelor asupra pereilor vaselor. Fizicianul, astronomul i scriitorul italiaGALILEOGALILEI (15641642), unul din fondatorii mecanicii moderne prin lucrarea sa Discurs privind dou noi tiine (1638), s-a aflat printre precursorii introducerii matematicii pentruexplicarea legilor fizicii; a descoperit legea cderii corpurilor n vid, a dat o prim formular principiului ineriei i a revizuit concepia asupra vidului; prin punerea bazelor tiinifice amecanicii, a facilitat descoperirea legilor hidraulicii. EVANGELISTATORRICELLI (16081647),matematician i fizician italian, unul din elevii lui GALILEI, a enunat implicit principiulconservrii energiei i a descoperit att efectele presiunii atmosferice (pe care a msurat-o,construind primul barometru), ct i legea scurgerii lichidelor prin orificii.

Matematicianul, fizicianul, filosoful i scriitorul francezBLAISEPASCAL (16231662) aefectuat, pn n 1652, numeroase experimente asupra presiunii atmosferice i echilibrululichidelor, stabilind principiul transmiterii presiunii ntr-un fluid. Sir ISAAC NEWTON, fizician,matematician i astronom englez (16421727), fondator al mecanicii clasice (prin lucrare

Principiile matematice ale filosofiei naturale , 1687), inventator al telescopului i pionier (alturide GOTTFRIEDWILHELMLEIBNITZ, 16461716) al calculului diferenial, are meritul de a fiimpulsionat dinamica fluidelor reale prin stabilirea legilor vscozitii lichidelor i rezisteneopuse de un fluid n repaus unui corp n micare.

Bazele tiinifice ale dinamicii fluidelor perfecte incompresibile sunt puse n secolul alXVIII-lea de ctre matematicianul elveianLEONHARD EULER (17071783) i fizicianulelveian de origine belgianDANIEL BERNOULLI (17001782). LEONHARD EULER i-adesfurat activitatea la Sankt Petersburg, unde a funcionat ca profesor la invitaia aruluiPETRUI CEL MARE (16821725) i a avut realizri tiinifice remarcabile n matematic, mecanic fizic, care au fost concretizate n domeniul hidraulicii prin stabilirea ecuaiilor fundamentale astaticii i dinamicii fluidelor perfecte, demonstrarea ecuaiei de continuitate i formulareteoremei impulsului, pe care a aplicat-o roilor hidraulice, crend teoria turbinelor.DANIELBERNOULLI a publicat, n anul 1738, primul tratat de hidraulic i a stabilit ecuaia energiei pentru un fluidn micare staionar, cunoscut sub numele deecuaia lui Bernoulli.

Contribuii importante la dezvoltarea hidraulicii n secolul al XVIII-lea au fost aduse i dealte personaliti.JEAN LE R OND D'ALAMBERT (17171783) a stabilit principiul echilibrului dinamic al unui fluid i paradoxul rezultantei nule a presiunilor pe un cilindru aflat n micare d


8/188

8

translaie ntr -un fluid. Inginerul i fizicianul francezHENRI PITT (16951771) a construittubul pentru msurarea presiunii totale a unui curent de fluid. GIOVANNI BATTISTA VENTURI,fizician italian (17461822), a cercetat micarea fluidelor prin ajutaje i a realizat debitmetrcare-i poart numele. Fizicianul, matematicianul i navigatorul francezCHARLES DEBORDA (17331799) a stabilit formula rezistenei hidraulice locale provocate de variaia brusc

seciunii conductei, iarA NTOINECHZY (17181798) a preconizat relaia de calcul a vitezeimedii a lichidului ntr-un canal. n fine, matematicianul francez JOSEPHLOUIS DELAGRANGE (17361813), fondator al calculului diferenial i integral, preedinte al comisiei nsrcinate cstabilirea sistemului de msuri i greuti care a stat la baza actualului Sistem Internaional, formulat, independent de L. EULER , ecuaiile fundamentale ale dinamicii fluidelor perfecte i a publicat tratatul de mecanic analitic.

Dinamica fluidelor perfecte cunoate o mare dezvoltare n secolul al XIX-lea, paralel cuapariia dinamicii fluidelor vscoase i a dinamicii gazelor. Prin contribuiile lor din aceast perioad se remarc:GEORGE GABRIEL STOKES (18191903), care, independent deLOUISMARIEHENRI NAVIER (17851836) iSIMONDENISPOISSON (17811840), a stabilit ecuaiilemicrii laminare a lichidelor;JEAN LOUIS POISEUILLE (17991869), care a cercetat micarea

lichidelor n tuburi capilare i a stabilit legea micrii laminare a unui lichid ntr -un tub; HENRIPHILIBERTGASPARDDARCY (18031858), care a studiat micarea apei n medii poroase i astabilit legea liniar a filtraiei;OSBORNER EYNOLDS (18241917), care a studiat micrilelaminar i turbulent ale lichidelor n tuburi i a stabilit criteriul separrii regimului laminar dcel turbulent; WILLIAMFROUDE (18101879), care a studiat pe modele comportarea navelor i aformulat criteriul de similitudine n cazul preponderenei forelor gravitaionale i a celor de inerie.

nceputul secolului XX este marcat n hidraulic prin: formularea ecuaiilor generale alemicrii apelor subterane de ctre NICOLAIE. JUKOVSKI (18471921); crearea teoriei aripii deavion de ctre N. E. JUKOVSKI, W. K UTTA, LUDWIGPRANDTL, S. A. CIAPLGHIN; elaborareateoriei stratului limit de ctreL. PRANDTL; contribuii la teoria turbulenei aduse deG. I. TAY1OR , L. PRANDTL, THEODOR VONK RMN, A. H. K OLMOGOROV; cercetarea micrii

fluidelor n conducte netede realizat dePAULR ICHARDHEINRICHB1ASIUS; stabilirea diagrameirezistenelor hidraulice n conducte de ctreJOHANN NIKURADZE.Hidraulica subteran, fondat pe legea liniar a filtraiei, stabilit deHENRIDARCY n anul

1856, are ca obiect, pn n anul 1920, n principal, studiul micrii apei prin medii poroasdup care obiectul ei se extinde i asupra problemelor asociate exploatrii zcmintelor de iei gaze. Prima monografie privind micarea fluidelor prin medii poroase este elaborat deL. S. LEIBENZON, n anul 1924, iar urmtoarea este cea a americanuluiMAURICEMUSKAT, publicat nanul 1937.

n Romnia, primele lucrri importante din domeniul mecanicii fluidelor sunt cele ale luV. VLCOVICI, din1913, prezentate n teza sa de doctorat susinut la Gttingen. Primul doctoratsusinut n domeniul hidraulicii n areste cel al lui A. BRGLZAN, din 1940, la Timioara, iar primul tratat romnesc de hidraulic aparine luiD. GHERMANI i a fost publicat n anul 1942.Contribuii nsemnate la dezvoltarea hidraulicii au adus, de asemenea,GEORGECONSTANTINESCU (prin elaborarea teoriei sonicitii) iHENRICOAND, descoperitorul efectului care i poart numele

Cercetrile ntreprinse deCAIUSIACOB, ELIE CARAFOLI, DUMITRUDUMITRESCU, CRISTEAMATEESCU, TEODOROROVEANU, VECESLAVHARNAJ, TEFANI. GHEORGHI i DUMITRUCIOC au dus la mbogirea cunotinelor n domeniul mecanicii fluidelor.

Primul tratat romnesc de hidraulic subteran a fost publicat n anul 1956 de NICOLAE


9/188

9

CRISTEA i st la baza pregtirii cadrelor de specialitate din domeniul ingineriei de zcmntGHEORGHEALDEA i NICOLAECRISTEA au contribuit la dezvoltarea hidraulicii zcmintelor de petrol i au creat, n cadrul Institutului de cercetri i proiectri pentru petrol i gaze de lCmpina, o valoroas coal de cercettori n inginerie de zcmnt. Universitatea Petrol GazedinPloieti, prin rezultatele cercetrilor ntreprinse deGRIGOREIOACHIM, GABRIELMANOLESCU,

CONSTANTINBECA, ION CREU, CORNEL POPESCU i ALEXANDRUSOARE, se poate mndri curealizri importante n domeniile tehnologiei extraciei hidrocarburilor i ingineriei de zcmn

1.3. Mrimi fizice i uniti de msur. Sistemul Internaional

Mrimea este un atribut al elementelor unei mulimi de obiecte sau fenomene crora li se poate asocia un criteriu de comparaie. Msurarea unei mrimi const n operaia de comparare aei cu o alt mrime de aceeai natur, luat drept unitate de msur.

Mrimeam asociat unei mulimi de obiecte sau fenomene fizice de aceeai natur senumetemrime fizic i se poate exprima ca produsul dintre un numr adimensionalm iunitatea ei de msuru, astfel

.umm (1.1)Mrimile fizice pot fi clasificate, n funcie de modul de stabilire a unitilor lor de msurn trei categorii: fundamentale, suplimentare i derivate. Mrimile fundamentale sunt cele alecror uniti de msur sunt alese n mod arbitrar. Mrimile suplimentare sunt cele ale croruniti de msur, stabilite de asemenea arbitrar, sunt folosite pentru deducerea unitilor dmsur ale unor mrimi derivate. Toate celelalte mrimi fizice suntderivate , iar unitile lor demsur se deduc prin produsul sau ctul unitilor de msur ale unor mrimi fundamentale eventual, suplimentare.

Unitile de msur se organizeaz n sisteme, definite pe baza unui numr de mrimifundamentale. n cadrul mecanicii, pentru a defini un sistem coerent de uniti de msur suntsuficiente trei mrimi fundamentale. Astfel, sistemele CGS (centimetru gram secund) iMKfS (metru kilogram for secund) au ca mrimi fundamentale lungimea. masa i timpul, respectiv lungimea, fora i timpul, ale cror uniti de msur formeaz numele sistemelorrespective. Pentru a acoperi toate domeniile fizicii, un sistem de uniti de msur trebuie s aibapte mrimi fizice fundamentale.

ara noastr, ca membr aConveniei metrului din 1883, a adoptatSistemul Internaionalde uniti de msur (SI) printre primele ri din lume, n anul 1961. Ca urmare, la noi, sistemeleCGS i tehnic (MKfS) au devenit sisteme tolerate.

nceputul organizriiSistemului internaionalde uniti de msur are la baz propunerea deunificare a msurilor i greutilor fcut la 9 martie1790, n Frana, de deputatulTALLEYRAND iaprobat de Academia de tiine, la 8 mai 1790. Ocomisie constituit din LAGRANGE, LAPLACE,MONGE i CONDORCET a hotrt, la 19 martie 1791,asupra stabilirii metrului (de lametron msur, nlimba greac) ca unitate de msur a lungimii egalcu a patruzecea milioana parte din meridianulterestru.

Tabelu l 1.1

Mrimea fizic Unitatea SIDenumirea Simbolullungimea metru mmasa kilogram kgtimpul secund sintensitateacurentului electric

amper A


10/188

10

n cadrulevoluiei lui, sistemul zecimal metric i-a nceput etapele de internaionalizare cuComisia internaional a metrului, din 813 august 1872, care s-a ntrunit din nou la 20 mai1875 i a obinut, prin 17 ri semnatare, nfiinarea Biroului internaional de msuri i greut(BIPM) i organizarea Conferinei generale (CGPM) ale crei decizii sunt executate dComitetul internaional (CIPM).

Sistemul internaional de uniti de msur a fost pus la punct ntre 1948 (la a 9-a CGPM)i 1960 (la a 11-a CGPM). n anul 1960 s-a adoptat denumirea prescurtat SI, dup care acestsistem s-a mbogit la fiecare conferin CGPM cu noi definiii sau denumiri de uniti de

msur. Unitatea de msur a presiunii N/m2

a primit, la cea de a 14-a CGPM, din anul 1971,denumirea de pascal (Pa). La a 16-a CGPM (1979) s-a redefinit candela i s-a introdus unitateade msur sievert.

Mrimile fundamentale ale Sistemului Internaional i unitile de msur ale acestora sun prezentate ntabelul 1.1 . Mrimile suplimentare sunt msura unghiului plan, cu unitatea de msurradian (rad), i msura unghiului sferic (solid), cu unitatea steradian (sr). Anumite uniti de msuderivate au denumiri specifice, care sunt prezentate ntabelul 1.2 .

Sistemul Internaional este un sistemcoerent, ceea ce nseamn c produsul sauctul a dou uniti de msur d directunitatea mrimii rezultante (singurul factor numeric este 1). Astfel, raportul dintreunitile de mas i volum d unitatea demsur a densitii.

Prin prefixele prezentate ntabelul 1.3 se pot forma multiplii i submultipliizecimali ai unitilor de msur din SI.

Evoluia Sistemului Internaional deuniti de msur pune n eviden caracterul dinamic, evolutiv, al unui sistem care caut s se

Tabelu l 1.2

Mrimea fizic Unitatea de msur SI

Denumirea Simbolul Expresia nalte uniti SI

Expresia nuniti SI

fundamentalefrecven hertz Hz s for newton N kgms presiune, tensiune mecanic pascal Pa N/m kgm s energie, lucru mecanic, cantitatede cldur

joule J Nm kgm s

putere, flux energetic watt W J/s kgm s cantitatede electricitate, sarcinelectric

coulomb C As

potenial electric, tensiuneelectric, tensiuneelectromotoare

volt V W/A kgm s A

capacitate electric farad F C/V kg m 2s4A2

Tabelu l 1.3

Factorde

multiplicare

Pref ix

Simbol

Factorde

multiplicare

Pref ix

Simbol

10 yotta

Y 10 deci D

10 zetta Z 10 centi

C

10 exa E 10 mili M


11/188

11

adapteze noilor necesiti ale tiinei i tehnicii. n tabelul 1.4 sunt prezentate valorile factorilor de conversie a unor uniti de msur n

altele, unde litera E urmat de semnele + sau i de dou cifre indic puterea lui 10 cu caretrebuie multiplicat numrul care precede simbolul respectiv.

Tabelu l 1.4

Pentr u convert ir edin

n se multipliccu

Pentr u conver tir edin

n se multipliccu

acre m2 4,046856E+03

grad Rankine K T k = T x/1,8

acre (S.U.A.) m2 4,046873E+03

inch m 2,540000 E 02

amper-or C 3,600000E+03

inch ptrat m2 6,451600 E 04

angstrm m 1,000000 E 10

inch cub m3 1,638706 E 05

an civil s 3,153600E+07

kilocalorie (IT) J 4,186800E+08

an lumin m 9,460530E+15

kilogram for N 9,806650E+00

atmosfer (normal) Pa 1,013250E+05

kilowattor J 3,600000E+06

atmosfer (tehnic) Pa 9,806650E+04

micron m 1,000000 E 06

bar Pa 1,000000E+05

mil(internaional)

m 1,609344E+03

barre (42 gal) m3 1,589873 E 01 mil marin m 1,852000E+03 barye Pa 1,000000 E

01milibar Pa 1,000000

E+02Btu (InternationalTable)

J 1,055056E+03

milidarcy m2 9,869233 E 16

Bushel (S.U.A.) m3 3,523907 E 02

ounce kg 2,834952 E 02

calorie (IT) J 4,186800E+00

parsec m 3,085678E+16

carat metric kg 2,000000 E 04 poise Pas 1,000000 E 0lcentimetru col. ap(4 C)

Pa 9,806380E+01

pound-mass kg 4,535924 E 01

cm col. mercur (0C)

Pa 1,333220E+03

pound-force N 4,448222E+00

centipoise Pas 1,000000 E 03

pound-force pe inch ptrat (psi)

Pa 6,894757E+03


12/188

12

centistokes m2/s 1,000000 E 06

pound-mass pe inchcub

kg/m3 2,767990E+04

cal putere W 7,354988E+02

poundal N 1,382550 E 01

ciclu pe secund Hz 1,000000E+00

quart (S.U.A.) m3 9,463529 E 04

dalton kg 1,660530 E 27

rad Gy 1,000000 E 02

darcy m2 9,869233 E 13

slug kg 1,459390E+01

dyn N 1,000000 E 05

stokes m2/s 1,000000 E 04

electronvolt J 1,602190 E 19

stone kg 6,350300E+00

erg J 1,000000 E

07

tex kg/m 1,000000 E

06erg pesecund W 1,000000 E 07

ton (register) m3 2,831685E+00

foot m 3,048000 E 01

ton (long, 2.240 lb) kg 1,016047E+03

foot ptrat m2 9,290304 E 02

ton (short, 2.000 lb) kg 9,071847E+02

foot cub m3 2,831685 E 02

tonne kg 1,000000E+03

galon (S.U.A.) m3 3,785412 E 03

torr (mm Hg, 0 C) Pa 1,333220E+02

grad centezimal rad 1,570796 E 02

tour (o tur) rad 6,283185E+00

grad sexagesimal rad 1,745329 E 02

Yard m 9,144000 E 01

grad Celsius K T k = T c +273,15

Yard ptrat m2 8,361274 E 01

grad Fahrenheit C T c = (T f 32)/1,8

Yard cub m3 7,645549 E 01

grad Fahrenheit K T k = (T f +459,68)/l,8

Yard cub pe minut m3/s 1,274258 E 02

2. PROPRIETILE FLUIDELOR


13/188

13

2.1. Clasificarea fluidelorFluidele sunt corpurile care-i schimb forma fr a opune rezistene apreciabile la

deformarea lor. Ele se mpart n lichide i gaze. Lichidele iau forma vaselor n care sunt puse, prezint suprafa liber i sunt fluide foarte

puin compresibile. Gazele sunt fluide cu compresibilitate mare i se caracterizeaz prin absena forelor de

coeziune, ceea ce le face s ocupe ntregul volum disponibil. Fluidele pot fimonofazice sau multifazice , dup cum sunt formate dintr -o singur faz sau

din mai multe faze. Fluidele monofazice sunt fluide omogene, n timp ce fluidele multifazice pfi pseudoomogene (cu comportare similar celei a fluidelor omogene) sau eterogene. Un fluimultifazic poate fi bifazic sau trifazic, cele trei faze fiind gazoas, lichid i solid. Fluidel bifazice pot fi, deci, de urmtoarele patr u tipuri: gaz lichid, lichid lichid, gaz solid saulichid solid.

Lichidele i gazele pot fi monocomponente sau multicomponente, dup cum sunt formatdintr-o singur substan chimic, respectiv din mai multe substane. Pe de alt parte, dou samai multe lichide aflate n contact pot fimiscibile sau nemiscibile, dup cum se amestec ntre elefr a se forma interfee, respectiv rmn separate de interfee.

Fluidele bifazice, reprezentate prin cele patru tipuri enumerate anterior, pot fi grupate n:a) dispersii fine , constnd fie din bule mici de gaz, picturi de lichid nemiscibil sau

particule solide dispersate, mai mult sau mai puin uniform, ntr -o faz lichid continu, fie din picturi mici de lichid sau particule solide fine dispersate ntr-o faz gazoas continu1;

b) dispersii grosiere , formate fie din bule mari de gaz, picturi mari de lichid nemiscibilsau particule solide mari dispersate n faza lichid continu, fie din picturi mari de lichid sa particule solide mari dispersate ntr-o faz gazoas continu;

c) macroamestecuri , constituite din spume sau amestecuri puternic turbulente ale unui gazcu un lichid sau a dou lichide imiscibile, n condiiile n care nici una din faze nu este continu

d) fluide stratificate , constituite din amestecuri gaz lichid sau lichid lichid (nemiscibile),n condiiile n care ambele faze sunt continue. Dispersiile n cadrul crora particulele fazei discontinue sunt suficient de fine (avnd

dimensiuni sub 1 m) pot fi stabile fie sub aciunea micrii browniene sau a sarcinilorelectrostatice, n absena micrilor turbulente, fie ca urmare a proprietilor de consistenridicat sau special a fazei continue. Aceste suspensii pot fi considerate pseudoomogene, iacomportarea lor la curgere poate fi inclus n aceea a fluidelor monofazice. Dispersiile de fineemoderat, care nu sunt stabile n repaus sau n micare laminar, dar care pot fi meninute stare de dispersie aproape uniform n condiii de micare turbulent, pot fi incluse n domeniulcomportrii fluidelor monofazice aflate n micare turbulent.

Fluidele omogene sau fluidele pseudoomogene cu comportare similar acestora seclasific, n funcie de comportarea lor la curgere, n fluide vscoase i fluide vscoelastice. Fluidele vscoase pot avea, n cadrul micrii lor, o comportare independent sau dependent dtimp. Fluidele independente de timp care, n stare de repaus, prezint tensiuni tangeniale nuliar n stare de micare laminar au tensiunile tangeniale proporionalecu gradientul vitezei senumesc fluide newtoniene . Restul fluidelor vscoase i vscoelastice se numesc fluidenenewtoniene i sunt clasificate ca ntabelul 2.1 . Studiul fluidelor nenewtoniene constituie

1 Exemple (n ordinea din text): spume, emulsii, suspensii, cea. fum


14/188

14

obiectul reologiei. Hidraulica se ocup ndeosebi de fluidele newtoniene, ale cror principa proprieti sunt densitatea, vscozitatea, compresibilitatea i tensiunea interfacial.

2.2. Densitatea i greutatea specific Densitatea sau masa specific a unui fluid este, prin definiie, raportul dintre masam a

fluidului i volumulV ocupat de acesta, adic ,V m (2.1)

Densitatea are formula dimensional ML 3 i unitile de msur: kg/m3 n SI, g/cm3 nsistemul CGS i kgfs2/m4 n sistemul MKfS.

Inversul densitii,v = 1/ , se numetevolum specific .Greutatea specific, notat cu, este definit ca raportul dintre greutateaG a fluidului i

volumulV ocupat de acesta, adic ,V G (2.2)

are expresia dimensional ML 2T 2 i se msoar n N/m3 n SI, dyn/cm3 n sistemul CGS, respectiv

kgf/m3

n sistemul MKfS.

Legea a doua a mecanicii clasice leag greutatea specific i densitatea prin relaia , g (2.3)

Tabelu l 2.1

Fluide monofazice

Fluide multifazice (gaz-lichid, lichid-lichid, gaz-solid, lichid-solid)

Dispersii fine DispersiigrosiereMacro-amestec

uriFluide

stratificate

Fluide omogene

Fluide pseudoomogene

Fluide eterogeneMicare laminarsau turbulent

Micareexclusivturbulent

F l u i d e v

s c o a s e

F l u i d e

i n d e p e n

d e n t e

d e t i m p

Fluide newtoniene

Fluide cu comportare multifazic

Fluide pseudoplastice

n e n e w

t o n i e n e

Fluide dilatante

Fluide

binghamieneFluide

reintoare pseudoplastice

sau dilatante


15/188

15

unde g este acceleraia gravitaional, cu valoarea standard 9,80665 m/s2. Pentru latitudineaBucuretiului, g = 9,806 m/s2, valoare recomandat pentru aplicaiile numerice.

2.2.1. Densitatea fluidelor monocomponenteEcuaia care coreleaz parametrii de stare ai unui fluid (presiune, volum sau densitate

temperatur) se numeteecuaie de stare. Cea mai simpl i cunoscut ecuaie de stare generaleste cea propus de VAN DERWAALS (1873), care are forma

,2 T Rbvva

p u

(2.4)

unde ,6427 22 ccu pT Ra (2.5)

,8 ccu pT Rb (2.6) p este presiunea,v volumul molar,T temperatura absolut, Ru = 8.314,3 J/(kmolK) constanta universal a gazelor,T c temperatura critic, pc presiunea critic,

Aceast ecuaie reproduce cu aproximaie comportarea fluidelor monocomponente, dar neste aplicabil n zona bifazic i nu d rezultate bune n zona lichidului sau lng zona bifazic

Dintre ecuaiile de stare cu aplicabilitate general i avnd doi parametri, ecuaia luR EDLICH i K WONG (1949) este cea mai frecvent folosit. Ea are forma

,1

15,0

1 T RbvbvvT

a p u

(2.7)

unde,7248,0 5,221 ccu pT Ra .0867,01 cu pT Rb (2.8)

La fel ca i ecuaiaVAN DERWAALS, ecuaiaR EDLICH K WONG nu este aplicabil n zona bifazic i d aproximaii grosiere n zona lichidului.K ENNEDY i BHAGIA (1969) au exprimatconstantele R EDLICH K WONG (pentru substane individuale) ca funcii empirice de temperaturi au artat c densitatea acelor substane pure poate fi determinata cu o eroare de numai 0,2 procente.

Ecuaiile de stare cu mai mult de doi parametri caracteristici ai fluidului sunt mai exacte,dar utilizarea lor este limitat la puinele fluide pentru care sunt determinai aceti parametrCele mai cunoscute ecuaii de acest tip sunt ecuaia luiBEATTIE i BRIDGEMAN (1927), care arecinci parametri, i ecuaiaBENNEDICT, WEBB i R UBIN (1940), bazat pe opt parametricaracteristici ai fluidului.

n zona gazului aflat la presiune mic sau destul de departe de frontiera zonei bifazice s poate aplica, cu rezultate bune pentru calcule inginereti, legea gazelor perfecte,

,T Rv p (2.9)

unde:v = 1/ este volumul specific, R = Ru/ M constanta gazului, iar M masa molar. O aplicabilitate mai general n zona gazului i n apropierea frontierei zonei bifazice o

are legea gazelor reale,T R Z v p (2.10)

unde Z este factorul de abatere de la legea gazelor perfecte.


16/188

16

Pentru determinarea factorului de abatere s-au fcut multe ncercri de stabilire a uneicorelaii bazate pe valorile lui Z calculate din relaia (2.10) cu ajutorul datelor experimentale. nacest sens au fost elaborate metode bazate pe principiul strilor corespondent, conform crutoate fluidele se comport n mod similar la aceleai raii ale presiunilor i temperaturilor critice.

------------- Cea mai simpl corelaie bazat pe conceptul strilor corespondente areforma

,, r r T p f Z (2.11)unde presiunea redus i temperatura redus sunt definite astfel: pr = p/ pc, T r = T /T c. Aceastcorelaie a fost prezentat grafic de ctreSTANDING i K ATZ (1942) pentru o serie de gaze. Deatunci au fost publicate noi date, care au mbuntit precizia rezultatelor. Diagrama luVISVANATH i SU (1965), prezentat n figura 2.1 , este, probabil, cea mai bun corelaiegeneralaplicabil de acest tip, disponibil pentru gaze pure. Factorul de abatere citit din aceastdiagram pentru gaze obinuite, altele dect hidrogen, dioxid de sulf i hidrogen sulfura prezint o eroare cuprins ntre 2 i 10 procente.

Dei corelaiile factorului de abatere de tipul (2.10) sunt foarte utile, iar pentru gazenepolare cu structur molecular simpl sunt destul de precise, pentru extinderea aplicrii lor pentru obinerea unor rezultate cu precizie mrit s-a propus s se ia n consideraie i altevariabile n afar de presiunea i temperatura redus. n acest sens, s-a considerat ca variabiladiional factorul de abatere Z c n punctul critic (care variaz de la 0,23 pentru abur la 0,304 pentru hidrogen, n timp ce diagrama din figura 2.1 corespunde lui Z c = 0,28)i s-au obinutcorelaii care dau valori mbuntite n vecintatea punctului critic, fr a avea ns caracter dgeneralitate.

Figura 2.1 Variaia factorului de abatere Z pentru gaze pure


17/188

17

O alt corelaie, legat mai direct de comportarea moleculelor de fluid, are la baz factorulde acentricitate , care reprezint o msur a abaterii forelor intermoleculare fa de cazul gazulu perfect i este definit astfel

,1lg vr p (2.12)unde pvr este presiunea de vapori redus corespunztoare unei temperaturi reduse egal cu 0,7Aceast relaie se bazeaz pe observaia c, n cazul gazelor simple ca argon, neon, kripton metan, pvr este apropiat de valoarea 0,1, ceea ce corespunde lui = 0. Pentru multe alte fluide, variaz ntre 0 i 0,4. n absena presiunii de vapori, valoarea lui poate fi determinat dinrelaia aproximativ

.5,126375,3 c Z (2.13)n cazul gazelor simple, factorul de abatere de la legea gazelor perfecte este funcie numai d

presiunea redus i temperatura redus. Pentru gaze mai complexe, Z are expresia,)1()0( Z Z Z (2.14)

unde Z (0) este factorul de abatere pentru gaze simple, prezentat n figura 2.2 , iar Z (1) este factorulde corecie dat n figura 2.3 .

Figura 2.2. Variaia factorului de abatere Z (0) pentru gaze pure


18/188

18

Dei lichidele sunt mult mai puin sensibile la variaia presiunii dectgazele, densitatea lori variaia acesteia cu temperatura sunt dependente de structura molecular.

Densitatea hidrocarburilor lichide poate fi determinat din ecuaiaVAN DER WAALS,modificat deALANI i K ENNEDY (1960) prin definirea constantelora i b sub forma

,/kmol)Pa(m,e61,36 23T n K a (2.15)

,/kmolm,0624,0 3C T mb (2.16)unde parametrii K, n, m i C sunt prezentai pentru o serie de hidrocarburi nanexa 1 .

Densitatea hidrocarburilor lichide saturate rezult din relaia luiBRADFORD i THODOS,exprimat astfel

,1111 2 nr r r cls T cT bT a (2.17)unde c este densitatea critic, iar parametriia, b, c i n au expresiile

n = 0,16 + 0,586 Z c , (2.18)

c = 2,785 3,544 Z c , (2.19)a = 2,924 7,34 Z c , (2.20)

b = c a 1 . (2.21)

Densitatea lichidelor la temperatur constant se exprim, n mod obinuit, n funcie dcoeficientul de compresibilitate definit astfel

,1

T pv

v (2.22)

unde v = 1/ sau v = M / , dup cumv este volumul specific (m3/kg) sau volumul molar(m3/kmol).

Dac se admite constant, relaia (2.22) scris sub forma ,

dd1 p

(2.23)

duce, dup integrare, la formula ,e 00

p p (2.24)care este cunoscut sub numele deecuaia de stare a lichidelor compresibilei poate fiaproximat, reinnd doar primii doi termeni din dezvoltarea n serie a exponenialei, astfel

Figura 2.3 Variaia coreciei factorului de abatere Z (1) pentru gaze pure


19/188

19

.1 00 p p (2.25)

2.2.2. Densitatea fluidelor multicomponenteExist puine corelaii destinate determinrii densitii fluidelor multicomponente

independent de starea lichid sau gazoas a acestora. Una dintre aceste corelaii este cea a luK ENNEDY i BHAGIA (1969), obinut prin extinderea ecuaiei (2.7) la cazul fluidelor gaze condensat din cadrul zcmintelor de hidrocarburi.

Comportarea densitii gazelor multicomponente este similar cu aceea a gazelormonocomponente, dar prezint un grad sporit de complexitate. n acest sens, pentru determinareadensitii gazelor multicomponente se poate folosi relaia (2.9), pentru care factorul de abatere obine, conform propunerii luiK AY (1936), n funcie de presiunea pseudoredus i temperatura pseudoredus definite astfel

, pc pr p p p (2.26), pc pr T T T (2.27)

unde:n

icii pc pn p

1

,n

icii pc T nT

1

sunt presiunea, respectiv temperatura pseudocritice,ni fracia molar a componentuluii dingaze; pci, T ci presiunea critic i temperatura critic ale acestuia. Valoarea lui Z corespunztoarelui p pr i T pr calculate cu relaiile (2.26) i (2.27) se citete din figura 2.1 .

Pentru amestecurile de gaze naturale constituite din hidrocarburi parafinice lipsite de

dioxid de carbon i hidrogen sulfurat se folosete, n mod frecvent n industria de petrol,

diagrama lui STANDING i K ATZ (1942), prezentat n figura 2.4 .


20/188

20

Pentru lichidele multicomponente, ca i n cazul gazelor, relaia dintre densitate i structura

molecular, precum i dependena densitii de presiune i temperatur au o complexitate sporifa de cazul lichidelor monocomponente. Ecuaiile de stare pentru amestecurile lichide pot fi folosite n acelai mod n care au fost

folosite pentru gazele multicomponente. Coeficienii acestor ecuaii se determin din coeficiencomponenilor puri. Pentru sistemele de hidrocarburi lichide se poate folosimetoda ALANI K ENNEDY, nlocuind relaiile (2.15) i (2.16) cu ecuaiile

,1

n

j j j ana (2.28)

,1

n

j j j bnb (2.29)

,e61,36* T n

j j j K a (2.30)

,0624,0 j j j C T mb (2.31)cu n j fraciile molare ale componenilor i K j , * jn , m j i C j avnd valorile prezentate nanexa 1 pentru o serie de componeni puri.

2.3. Vscozitatea

Figura 2.4. Variaia factorului de abatere Z pentru gaze naturale


21/188

21

Vscozitatea este proprietatea fluidelor de a opune rezisten micrii particulelor unelfa dealtele. ntr-un lichid aflat n micare apar, pe lng eforturile normale, eforturi tangeniale,care se manifest prin fore de frecare intern, avnd tendina s frneze micarea i s mpiedideplasrile lichidului, adic s se opun deformaiilor.

Vscozitatea este caracterizat cantitativ prin coeficientul pus n eviden de NEWTON n

expresia efortului tangenial ce apare la micarea laminar ntre dou plci plane paralele. Considernd dou plane P i P ale micrii laminare a unui fluid ntre dou plci plane paralele distanate cu d y i avnd vitezele de micarev, respectivv + dv, NEWTON a artat c,ntre dou suprafee de arii egale, situate n planele P i P , acioneaz o for tangenial proporional cu aria A, cu diferena de vitez dv i invers proporional cu distana d y, adic

,d

d

y

v A F (2.32)

iar efortul unitar tangenial corespunztor este dat de relaia

,dd yv (2.33)

unde este o constant de proporionalitate caracteristic fluidului la presiune i temperaturdate, numitcoeficient de vscozitate dinamic (sau, pe scurt, vscozitate dinamic), iar dv/d y este modulul gradientului de vitez pe normala y la direcia micrii. Comportarea reologic afluidului newtonian este aadar definit de o singur constant de proporionalitate carcaracterizeaz frecarea intern a particulelor de fluid aflate n micare. Vscozitatea dinamic adimensiunile ML 1T 1 i se exprim n Ns/m2 n SI, n kgfs/m2 n CGS i n P (poise =dyns/cm2) n MKfS.

Vscozitatea cinematic este definit prin relaia (2.34)

i are unitile de msur m2/s n SI i n MKfS, respectiv St(stokes = cm2/s) n sistemul CGS. Numele de vscozitate cinematic indic absena din definiia ei a mrimilor fizice de naturdinamic (mas, for etc.).

2.4. CompresibilitateaProprietatea corpurilor manifestat prin micorarea volumului lor sub aciunea forelo

exterioare de compresiune se numetecompresibilitate. Ea este caracterizat cantitativ princoeficientul de compresibilitate, care, potrivit relaiei de definiie (2.22), are dimensiunile M 1LT2 i unitile de msur Pa 1 = m2/N n SI, cm2/dyn n sistemul CGS i m2/kgf n sistemulMKfS.

Lichidele sunt fluide foarte puin compresibile, fapt reflectat de valorile foarte mici alecoeficientului lor de compresibilitate. Neglijarea compresibilitii unui lichid presupune 0,ceea ce este echivalent cu propagarea instantanee a oricrei variaii de presiune n ntreaga maa lichidului. innd seama c orice variaie de presiune se propag ntr -un fluid cu vitezasunetului, nsui sunetul fiind o manifestare a variaiei de presiune, rezult c un lichid poate fasimilat cu un fluid incompresibil dac vitezac a sunetului n acel lichid, definit sub forma

,d

d12 pc (2.35)

este teoretic egal cu infinit. n funcie de extinderea domeniului ocupat de lichid, acesta se poa


22/188

22

comporta ca un fluid incompresibil sau compresibil, dup cum o variaie brusc de presiun produs ntr -un punct al lichidului se face simit instantaneu sau difereniat n timp, n toatmasa lichidului. Astfel, apa este considerat, n general, ca fund un fluid incompresibil, dei cazuri speciale ca ocul hidraulic, exploatarea unui zcmnt de petrol mrginit de o zon de apde ntindere foarte mare, msurarea adncimilor mari ale fundului mrii cu ajutorul batimetrului

VEEREN i altele, luarea n considerare a compresibilitii apei este eseniala. Ecuaia (2.24) sereduce pentru 0 la relaia ,0 (2.36)

care reprezint ecuaia de stare a lichidelor incompresibile. Ecuaia (2.9), particularizat pentruT = const, sub forma

,const p (2.37)cunoscut sub numele deecuaia de stare a gazelor perfecte aflate n cmp izoterm, duce n bazarelaiei (2.23) la for mula

.1 p (2.38)n cazul gazelor reale, din relaiile (2.10) i (2.23) se obine pentru expresia

,1

1 p p

z

Z

p

(2.39)

care, n cmp izoterm, se modific formal prin nlocuirea derivatei pariale cu derivata total z p z p dd .

Din anexa 6 se observ c, pentru ap, coeficientul de compresibilitate scade n ritm lenatt cu creterea presiunii, ct i cu creterea temperaturii.

2.5. Tensiunea interfacial i presiunea capilar La suprafaa de separaie lichid gaz, lichid lichid sau lichid solid exist fore

moleculare neechilibrate, care au ca efect tendina de contractare a acestei suprafee ctre suprafa cu arie minim. O molecul oarecare de ap din interiorul volumului ocupat de cantitate de ap ntr -un vas este atras n mod egal, n toate direciile, de ctre moleculele vecine.Dac molecula de ap se gsete pe suprafaa liber, ea nu va avea alte molecule de ap deasupei i, ca urmare, rezultanta forelor de atracie exercitate de moleculele de ap vecine va tinde satrag molecula respectiv ctre interiorul volumului de lichid. Deci, pentru a se aduce lsuprafaa liber o molecul de ap din interiorul volumului de lichid este necesar s se efectuezun lucru mecanic. Astfel, pentru a se crea un element de suprafa liber de arie unitar trebuie sse produc un lucru mecanic egal cu suma lucrurilor mecanice necesare aducerii tuturomoleculelor unitii de arie din interiorul lichidului la suprafaa liber. Lucrul mecanic necesarcrerii unei suprafee libere de arie unitar poart numele deenergie de suprafa a acelui lichid.


23/188

23

Pentru caracterizarea acestui fenomen se folosete, mai frecvent dect energia de suprafanoiunea detensiune superficial, care, prin definiie, este raportul dintre fora care se exercittangenial la suprafaa lichidului i unitatea de lungime a normalei dus din punctul respectiv aceast suprafa. Tensiunea superficial este numeric egal cu energia de suprafa. Noiunea dtensiune superficial este rezervat tensiunii care acioneaz pe suprafaa de contact a lichidulcu vaporii si sau cu aerul. Cnd suprafaa separ dou lichide sau un lichid i un corp solid se

folosete noiunea detensiune interfacial. Tensiunea superficial a unei substane pure sautensiunea interfacial dintre dou substane pure este o caracteristic a substaneisau perechiirespective de substane. Spre exemplificare, tensiunea superficial a apei pure la temperatura d20 C este egal cu 72,6 mN/m, iar tensiunea interfacial dintre ap i hidrocarburi lichide avaloarea aproximativ de 3 mN/m i variaz n funcie de natura hidrocarburilor lichide. Curmare a aciunii tensiunii superficiale sau interfaciale, o pictur de lichid n aerul atmosferisau ntr-un alt lichid nemiscibil tinde s ia forma unei sfere (care are aria minim pentru unvolum dat).

Tensiunea superficial poate fi msurat prin diferite metode, dintre care cea mai frecvenfolosit are la baz ridicarea lichidului ntr -un tub capilar (ilustrat, n condiii de echilibru static,n figura 2.5 ). Unghiul dintre suprafaa liber a lichidului n tubul capilar i suprafaa tubului se

numeteunghi de contact . Folosind notaiile:r raza tubului capilar,a densitatea lichidului, tensiunea superficial ih nlimea lichidului n tub, condiia de echilibru static dintre foracapilar i greutatea lichidului din tub se exprim astfel

g hr r a 2cos2 (2.40)

i se reduce la egalitatea

.cos2

g hr a (2.41)

Relaia (2.41) arat c, pentru un lichid dat (adic pentru constant), nlimea de ridicarea lichidului n tubul capilar este cu att mai mare cu ct raza tubului este mai mic.

Fenomenele de ridicare a lichidelor n tuburi de diametru relativ mic se numesc fenomenecapilare . Membrul nti al relaiei (2.40) definete fora capilar, care, dup cum se observ,depinde (pentru un tub de raz dat) att de tensiunea superficial, ct i de unghiul de contacn timp ce tensiunea superficial caracterizeaz contactul dintre dou fluide, unghiul de contadescriecomportarea celor dou fluide aflate n contact cu o suprafa solid. Aceast comportardefinete proprietatea de umidibilitate i se poate manifesta fie prin ridicarea lichidului n tubucapilar (caz n care se spune c lichidulud peretele tubului sau c esteumezitor ), fie princoborrea lichidului n tub (caz n care lichidul este numitneumezitor n raport cu pereteletubului). Conform relaiei (2.41), nlimeah a lichidului n tub este pozitiv, negativ sau zero

Figura 2.5. Schema ridicrii lichidului ntr -un tub capilar


24/188

24

dup cum < 90, > 90 sau = 90. Aceste concluzii privind caracterizarea umidibilitiiunui lichid prin valoarea unghiului de contact sunt confirmate experimental. Astfel, dac experimentul ilustrat n figura 2.5 se folosete mercur n loc de ap, unghiul, care n cazul apeiera unghi ascuit, va deveni unghi obtuz, iar lichidul n tubul capilar va cobor sub suprafaliber a mercurului din vas.

n cazul experimentului cu un tub capilar scufundat n poziie vertical ntr -un vas careconine dou lichide nemiscibile, spre exemplu ap i petrol, relaia (2.41) permite exprimaretensiunii interfaciale sub forma

,cos2

g hr pa pa (2.42)

n care nlimeah va avea valoarea pozitiv sau negativ dup cum suprafaa tubului capilar vafi umezit preferenial de ap sau de petrol. Fora capilar

,cos2 r F c (2.43)mprit la aria r 2 a seciunii transversale a tubului se numete presiune capilar i are expresia

.cos2

r p

c (2.44)

Pe de alt parte, presiunea capilar este egal cu diferena dintre valorile presiunii existent pe cele dou fee ale suprafeei comune celor dou fluide din tubul capilar. n cazul ilustrat figura 2.5 , presiunea pa pe faa apei din t ubul capilar estemai mic dect presiunea paer de pe faade contact a aerului i, ca urmare, presiunea capilar se exprima astfel

,h g p p p aaaer c (2.45)dac se ine seama i de membrul drept al relaiei (2.42) sau de condiia de echilibru hidrostatic

n cazul sistemului ap petrol, presiunea capilar, definit drept cderea de presiune lameniscul ap petrol, are expresia

h g p p p paa pc (2.46)

i poate fi pozitiv sau negativ dup cum presiunea petrolului pe interfaa ap petrol este maimare sau mai mic dect presiunea apei, ceea ce corespunde comportrii petrolului ca fazneumezitoare, respectiv umezitoare.

3. STATICA FLUIDELOR

Statica este capitolul mecanicii fluidelor care studiaz echilibrul fluidelor i interaciunedintre fluidele aflate n repaus relativ i corpurile solide. Un fluid se afl n echilibru static nraport cu un sistem de referin dac orice particul din acel fluid este n repaus fa de sistemude referin respectiv.

3.1. Starea de tensiuni ntr-un fluid aflat n repausUn corpC ( figura 3.1 ), supus aciunii unui sistem de fore exterioare F 1, F 2,., F n, se afl

n echilibru static (n repaus) dac sistemul de fore este static echivalent cu zero.


25/188

25

Forele reprezint aciuni reciproce dintre mase. Forele care exprim aciunea altor corpurasupra unui corp dat se numesc fore exterioare. Forele exterioare care se exercit asupra tutur particulelor unui corp se numescfore masice sau de volum,iar cele care acioneaz doar pe

suprafaa corpului sau pe o parte a acesteia se numesc fore superficiale. Ca rezultat al aciuniiforelor exterioare asupra unui corp, ntre particulele sale ia natere un sistem de foreinterioare.Folosind metoda seciunilor imaginare a luiCAUCHY, prin secionarea corpuluiC i

introducerea, pe suprafaaS rezultat din secionare, a densitii de fore interioarecorespunztoare, se poate face abstracie de partea P 2 dac se studiaz echilibrul prii P 1 iinvers. Forele interioare de peS devin astfel fore exterioare superficiale i reprezint aciunea pe care o exercit partea P 2 asupra prii P 1. Unui element de suprafaS avnd aria A irevine o for F , ale crei componente pe suprafaaS i pe normala la aceast suprafa sunt

T i N ( figura 3.1 ).Limitele rapoartelor N / A i T / A cnd A tinde ctre zero se numesc tensiune normal

, respectivtensiune tangenial i constituie componentele tensorului tensiune. n orice punctinterior aparinnd unui corp solid n repaus se dezvolt, n toate direciile, tensori tensiune avnmrimi care se nscriu ntr -un elipsoid al tensiunilor.

n cazul cnd corpulC este un fluid aflat n repaus, conform relaiei (2.33) rezult = 0, deci F = N , adic tensorul tensiune are numai componenta normal. care se exprima astfel

A F

p A lim0

(3.1)

i se numete presiune. Prin definiie, presiunea ntr -un fluid este orientat dup normala lasuprafaa (real sau imaginar) considerat. Se poate demonstra c, n orice punct din domeniocupat de un fluid n repaus, se dezvolt tensiuni cu valori egale n toate direciile,ceea cecorespunde degenerrii elipsoidului tensiunilor ntr -o sfer.

Figura 3.1. Secionarea imaginar a unui corp aflat n echilibru sub aciunea unui sistem de fore


26/188

26

Conform principiului solidificrii sau al rigidizrii prilor , un corp se afl n echilibrudac i numai dac forele care acioneaz asupra fiecreia din prile sale formeaz un sistestatic echivalent cu zero. Acest principiu permite s se separe o parte a corpului orict de micintroducndu-se asupra acestei pri un sistem de fore (de legtur) echivalent cu aciunearestului corpului asupra acesteia. Detand n acest mod dintr -un fluid n repaus un domeniu deforma unei prisme triunghiulare, orientate arbitrar ( figura 3.2 ) i introducnd forele de legturn centrele feelor prismei (ca rezultante ale presiunilor pe fiecare fa), precum i fora masic

m F (de direcie oarecare) aplicat n centrul prismei, se poate scrie condiia de echilibru suforma

.021 md d cba F F F F F F (3.2)Prin proiectarea acestei ecuaii pe axa prismei rezult

,021 d d F F (3.3)ceea ce este echivalent cu

F d 1 = F d 2 , (3.4)sau

021 d d F F (3.5)i relaia (3.2) se reduce la forma

,0 mccbmaa F F F F F (3.6)unde ma F i mc F sunt componentele forei masicem F pe direciile forelor a F i c F , ale crorsuporturi sunt concurente ( figura 3.3 ).

Figur a 3.2. Domeniu pr ismatic separat dintr -un fl uid aflat n r epaus


27/188

27

Prisma are dimensiunilea, b, c, d infinitezimale, iar n procesul detrecere Ia limit pentru definirea tensiunilor punctiforme ele vor tinde ctre

zero. Ca urmare, n relaia(3.5) s-a putut admiteaproximaia c fora masic( figura 3.3 ) este concurent cu

a F i c F . n aceste condiii, poligonul forelor se reduce la figura 3.4 . Triunghiurile A1 B1C 1 (v. figura 3.2 ) i LMN (v. figura 3.4 ) sunt asemenea,avnd laturile perpendicularentre ele. Condiia de

proporionalitate a laturiloracestor triunghiuri, exprimatsub forma

,c

F F

b

F

a

F F mccbmaa (3.7)

unde,cos,cos cmmcamma AV F AV F (3.8)

cu Am acceleraia cmpului forelor masice,V volumul prismei, a, c unghiurile fcute dem F cu a F respectiv c F , duce, dup amplificare cu 1/d i trecere la limit, la

.limlimlimlimlim00000 d c

F d c

F d b

F d a

F d a

F mcV

cV

bV

maV

aV (3.9)

Deoarece, n baza relaiilor (3.7), limitele componentelor forelor masice sunt nule, relaiil(3.9) se reduc, n conformitate cu relaia (3.1), la

pa = pb = pc , (3.10)ceea ce arat c n centrul prismei, pe cele trei direcii normale la feele acesteia, exist tensiunavnd mrimi egale ntre ele. ntruct prisma poate avea orice orientare n spaiu, meninndu-ins poziia centrului de greutate, rezult c n centrul ei de greutate acioneaz tensiundezvoltate n toate direciile, avnd aceeai intensitate. Reprezentnd grafic aceste tensiuni sobine o sfer de raz egal cu presiunea n acel punct.

3.2. Ecuaia microscopic a echilibrului static al fluidelor

Figura 3.3 Descompunerea forei masice Figura 3.4 Poligonul forelor dup suporturile forelor a F i c F


28/188

28

Se consider un element de volum de form paralelipipedic ( figura 3.5 ), cu dimensiunileinfinitezimale d x, d y, d z raportate la un sistem de axe carteziene paralele cu muchiile sale, detaatdin domeniul ocupat de un fluid aflat n repaus. Se introduc forele de legtur x F 1d , x F 2d , y F 1d ,

y F 2d , z F 1d , z F 2d n centrele celor ase fee, precum i fora masicm F d , care este singura forexterioar, cu punctul de aplicaie n centrul M al elementului. Condiia de echilibru static alfluidului dinvolumul de control se exprim prin relaia

.0ddddddd 212121 m z z y y x x F F F F F F F (3.11)Avnd n vedere c presiunea este o funcie continu n domeniul ocupat de fluid i notn

cu p valoarea presiunii n punctul D, forele de legtur (care sunt rezultantele forelor de presiune pe cele 6 fee ale paralelipipedului) i fora masic (definit de acceleraia A ) auexpresiile

,dddd,ddd21

z y x x

p pi F z y pi F

x x

,dddd,ddd 21 z x y y p

p j F z x p j F y y

(3.12)

,dddd,ddd 21 y x z z p

pk F y x pk F z z

,dddd z y x A F m

(3.13)care, introduse n relaia (3.11), dau, dup reducerea termenilor asemenea i simplificare cu d x d y d z , ecuaia microscopic a echilibrului static al fluidelor, scris sub forma

,01

p A (3.14)

unde este operatorul lui HAMILTON, definit n coordonate carteziene (pe baza versorilori , j ,k ai axelorOx, Oy, Oz) astfel

. z

k y

j x

i (3.15)

Exprimnd acceleraia cmpului forelor masice prin proieciile sale X , Y , Z pe cele trei axecarteziene, adic

Figura 3.5. Domeniu paralelipipedic elementar detaat dintr -un fluid aflat n repaus


29/188

29

, Z k Y j X i A (3.16)ecuaia vectorial (3.14) va fi echivalent cu urmtoarele trei ecuaii scalare:

,1

,1

,1

z p

Z y p

Y x p

X (3.17)

cunoscute sub numele deecuaiile luiEULER din statica fluidelor.

3.3. Legea variaiei presiunii ntr -un fluid n repausCnd se cunoate cmpul forelor masice, din ecuaiile (3.17) se pot obine expresiil

derivatelor pariale ale presiunii, care, introduse n difereniala presiunii z

z p

y y p

x x p

p dddd (3.18)

dau urmtoarea ecuaie ,dddd z Z yY x X p (3.19)

al crui membru drept este o diferenial total exact dac exist o funcie F ( x, y, z ) astfel ncts avem egalitatea

.,, z F

Z y F

Y x F

X

n acest caz, fora masic deriv dintr -un potenial de foreU = F, iar ecuaia (3.19) sereduce la forma

d p = d F , (3.20)care integrat d relaia

p = F + C 1 , (3.21)unde C 1 este constanta de integrare egal cu presiunea p0 corespunztoare absenei forelormasice.

Cnd fluidul este incompresibil, membrul drept al ecuaiei (3.19) este o diferenial totalexact dac acceleraia A deriv dintr -un potenial U = , adic

,,, z

Z y

Y x

X (3.22)

ceea ce duce lad p = d (3.23)

sau p = + C . (3.24)

n cmpul gravitaional terestru, considernd axaOz vertical ascendent, componenteleacceleraiei A a cmpului forelor masice sunt X = 0,Y = 0, Z = g , deci g k A , d = g d z , = g z , iar relaia (3.24) devine

p = C g z , (3.25)cunoscut sub numele deecuaia fundamental a hidrostaticii.

3.3.1. Legea variaiei presiunii ntr-un gaz aflat n repaus n cmpul gravitaional terestru Aa cum s-a precizat anterior, n cmp gravitaional X = 0, Y = 0, Z = g ; n consecin g k A , iar ecuaia (3.19) se reduce la egalitatea

d p = g d z . (3.26)


30/188

30

Dac se admite c gazul este perfect i sufer un proces izoterm (T = const.), din ecuaia destare (2.9) se poate exprima masa specific sub forma

, pT R

M

u

(3.27)

care se nlocuiete n ecuaia (3.26), rezultnd expresia ,dd z p

T R g M p

u

n care se separ variabilele i se integreaz

,dd

z T R g M

p p

u

,dd

11

z

z u

p

p

z T R

g M

p

p ,ln 11

z z T R g M

p p

u

obinndu-se relaia

,e1

1

z z T R g M

u p p (3.28)unde p1 este presiunea ntr-un punct de cot z 1.

Formula (3.28) permite calculul presiunii statice sau dinamice la adncimea de fixare garniturii de evi de extracie ntr -o sond de gaze, cnd se cunoate presiunea p1 citit lamanometrul montat la coloan. Temperatura n sond fiind variabil cu adncimea, relaia (3.2se folosete pe tronsoane pe care variaia de temperatur este neglijabil sau se poate aproxim printr-o valoare medie constant.

n cazul aerului atmosferic, relaia (3.28) poate fi scris sub forma

,e 01

1 H

z z

p p (3.29)unde, n baza ecuaiei (3.27),

,0

00 g M

T R g

p H

a

u (3.30)

M a = 28,9 kg/kmol este masa molar a aerului, p0 = 101.325 Pa presiunea atmosferic normal,iar 0 = 1,289 kg/m3 densitatea aerului n condiii normale. Ecuaia (3.29) se numete formulabarometric.

3.3.2. Presiunea ntr-un fluid aflat n repaus n absena forelor masice Dac forele masice lipsesc sau sunt neglijabile, se poate scrie X = Y = Z = 0 i, din ecuaia

(3.19), rezult d p = 0 , (3.31)

sau, dup integrare, p = p i , (3.32)

ceea ce arat c presiunea este constant n domeniul ocupat de fluid i are valoarea iniial p i.Aceast situaie se ntlnete n cazul fluidelor aflate n stare de imponderabilitate sau n cazugazelor care ocup nlimi relativ mici. Astfel, presiunea gazului aflat n repaus ntr-un recipientare, practic, aceeai valoare n orice punct al domeniului ocupat de gaz, ntruct argumentuexponenialei din formula (3.28) este neglijabil cnd z z 1 are valori mici. Pe de alt parte, pentr u valori mici ale argumentului, exponeniala din relaia (3.28) poate fi aproximat prin primii doi termeni din dezvoltarea n scrie i relaia (3.28) devine


31/188

31

,1 11 z z T R g M

p pu

(3.33)

mbrcnd, pentru z 1 = 0, p1 = p g i M g /( Ru T ) = g g / p g , forma p = p g g g z , (3.34)

care arat c, n cazul cnd gazul ocup nlimi mici, variaia densitii gazului cu nlime poate fi neglijat, iar termenul g g z este i el neglijabil fa de valoarea p g a presiunii gazuluidin recipient.

3.3.3. Legea variaiei presiunii ntr -un lichid aflat n repaus n cmpul gravitaional terestru Considernd c lichidul este incompresibil ( = const.), prin integrarea ecuaiei difereniale

a presiunii (3.26) rezult relaia p = g z + a , (3.35)

care arat c suprafeele izobare sunt plane orizontale ( z = const.). Planul orizontal z = z o, n care presiunea este egal cu presiunea atmosferic p0, se numete planul suprafeei libere a lichidului. Forma plan orizontal a suprafeelor izobare corespunde condiiei de ortogonalitate a forelogravitaionale, dirijate dup verticala locului, cu suprafeele echipoteniale. Ca urmaresuprafeele libere de dimensiuni mari (aparinnd mrilor sau oceanelor) au forma geoidalspecific scoarei terestre, care numai pentru ntinderi relativ mici se confund cu forma plan.

Punnd ecuaiei (3.35) condiia la limit p = p0 la z = z 0, se obine pentru constanta deintegrare expresia

a = p0 + g z 0 i ecuaia (3.35) devine

p = p0 + g ( z 0 z ) . (3.36)Dac se consider originea axeiOz la suprafaa liber a lichidului din vas, z 0 = 0 i ecuaia

(3.36) se identific formal cu ecuaia (3.34), cu deosebirea c, fiind mult mai mare dect g ,

termenul g z nu mai este neglijabil n raport cu presiunea p0 de la suprafaa de separaie gaz lichid.

Notnd cuh adncimea la care se gsete un punct oarecare n masa lichidului, se constat( figura 3.6 ) c z 0 z = h i ecuaia (3.36) ia forma

p = p0 + g h . (3.37) Legea hidrostaticii, exprimat sub forma (3.36) sau (3.37), arat c presiunea ntr -un lichid

aflat n repaus n cmp gravitaional crete proporional cu adncimea punctului considerat, i

Figura 3.6. Variaia presiunii absolute i relative ntr -un lichid aflat n repaus n cmpul gravitaional


32/188

32

valoarea presiunii p0 de la suprafaa de separaie gazlichid se regsete, conform principiului luiPASCAL, n fiecare punct al domeniului ocupat de acel lichid.

Presiunea ntr-un fluid este o presiune absolut p sau relativ pr dup cum ea include saunu valoarea presiunii atmosferice p0 = 760 mm Hg2 = 1,033 kgf/cm2 = 1,033 at3 = 1 atm4 =1,01325 bar. Ca urmare, din relaia (3.37) se poate scrie

p = p0 + pr , (3.38)unde pr = g h . (3.39)

Notnd cuh0 nlimea coloanei de lichid echivalent presiunii atmosferice ( figura 3.6 ) icu H suma dintre nlimeah0 i sarcina hidraulic relativh, relaia (3.38) devine

p = g H . (3.40)Ecuaiile (3.39) i (3.40) definesc dou drepte care trec prin origine, dar fiecare dreapt

are originea ei. Planul orizontal care conine origineaOa se numete planul sarcinilor absolute, iar cel care conine origineaOr coincide ca suprafaa liber i reprezint planul sarcinilorrelative.

Cnd presiunea absolut este mai mic dect presiunea atmosferic, presiunea relativ arvaloarea negativ. Valoarea absolut a presiunii relative negative se numete presiune devacuum:

r vac p p cnd pr < 0 , (3.41)sau

pvac = p0 p cnd p < p0 . (3.42)Presiunea de vacuum se exprim, de obicei, prin nlime coloan de lichid echivalent:

,0 p p

hvac cnd p < p0 . (3.43)

3.4. Fore de presiune pe suprafee Peretele oricrui vas n care se afl un fluid n repaus este solicitat, n fiecare punct, de

ctre o for de presiune elementar avnd: direcia normalei la perete, sensul de la fluid spre perete i mrimea egal cu produsul dintre presiunea relativ i aria elementului de suprafaPrin integrarea acestui sistem de fore distribuite se obin fie o for rezultant, cnd suprafaeste plan sau curb cu simetrie axial ori central, fie dou fore situate n plane diferite, cazul suprafeelor curbe oarecare.

3.4.1. Fore de presiune pe o suprafa plan 3.4.1.1. Fora de presiune pe o suprafa plan aflat n contact cu un lichid

2 mm Hg este simbolul unitii de msur a presiunii milimetri coloan de mercur 3 1 kgf/cm2 = 1 at (atmosfera tehnic, unitate de msur a presiunii egal cu presiunea exercitat de o coloan de ap cu nlimea de 10 m) 4 1 atm = 1,01325105 Pa; atmosfera fizic este unitatea de msur a presiunii egal cu valoarea p0 a presiunii atmosferice normale


33/188

33

Fie un capac plan care acoper o deschidere de form oarecare practicat n peretele planclinat al unui vas deschis ( figura 3.7 ). Vasul este plin cu lichid aflat n repaus, n contact cuaerul atmosferic. Ne propunem s determinm fora de presiune exercitat de lichid asuprcapacului, n funcie de densitatea a lichidului, aria A a capacului i poziiaG a centrului degreutate al acestuia, definit prin coordonatele xG, yG.

Considernd un element de suprafa cu aria d A, fora elementar de presiune areintensitatea

d F = p d A , (3.44)unde p este presiunea relativ i are, conform relaiei (3.39), valoarea g h. Pe de alt parte,h =

y sin i relaia (3.44), dup integrare, devine ,dsin

A

A y g F (3.45)

unde A y A y G

A

d (3.46)

este momentul static al suprafeei cu aria A. Notnd cuhG i pG adncimea, respectiv presiunea relativ corespunztoare centrului de

greutate al suprafeei i innd seama c yG sin = hG, iar g h G = pG, relaia (3.45) ia forma F = pG A (3.47)

i arat c fora de presiune care acioneaz pe o suprafa plan are mrimea egal cu produsudintre presiunea relativ n centrul de greutate i aria suprafeei considerate.

Coordonatele xC , yC ale centrului de presiuneC se obin din ecuaiile de momente aleforelor fa de axeleOx i Oy, scrise astfel:

,sindsindsind xy A A A

C I g A y x g A y x g F x x F

,sindsindsind 22 xx A A A

C I g A y g A y g F y y F

sub forma

,sin

sin

A y

I

A y g

I g x

G

xy

G

xyC (3.48)

Figura 3.7. Schema determinrii foreide presiune exercitate de un lichid in repaus asupra unei suprafee plane


34/188

34

,sinsin

A y I

A y g I g

yG

xx

G

xxC (3.49)

unde

A

xx

A

xy A y I A y x I d,d 2 (3.50)

reprezint momentul centrifugal, respectiv momentul de inerie al suprafeei capacului. Apelnd la teorema lui STEINER i la analoaga acesteia se poate scrie

,,2 A y x I I A y I I GG XY xyG XX xx (3.51)iar relaiile (3.48), (3.49) devin

, A y

I x x

G

XY GC (3.52)

, A y

I y y

G

XX GC (3.53)

unde I XX i I XY sunt momentele de inerie i centrifugal definite fa de axeleGX , GY ce au

originea nG i sunt paralele cu axeleOx, respectivOy. Relaia (3.53) arat c centrul de presiune se situeaz mai jos dect centrul de greutate, distana dintre ele, numitexcentricitate ,fiind cu att mai mic cu ct yG este mai mare. Cnd capacul este orizontal, centrul de presiunecoincide cu centrul de greutate, presiunea fiind n acest caz uniform distribuit pe capac.

3.4.1.2. Fora de presiune pe o suprafa plan aflat n contact cu un gaz Dac vasul din figura 3.7 este nchis i conine un gaz cu presiunea relativ p g admis

constant pe baza consideraiilor din 3.2.2, fora de presiune pe capac, ca rezultant a unusistem de fore paralele uniform distribuite, are mrimea

F = p g A (3.54)

i se aplic n centrul de greutate al capacului.

3.4.2. Fore de presiune pe suprafee curbe 3.4.2.1. Fora de presiune pe o suprafa curb aflat n contact cu un lichid Se consider un vas deschis care are un perete curb i este plin cu lichid ( figura 3.8 ).

Forele elementare ale sistemului de fore distribuite, generate de presiune pe suprafaa curb ABC , variaz att ca mrime ct i ca direcie, corespunztor poziiei punctului i direcienormalei la suprafaa curb n acel punct. Fa desistemul de axe ales, unde planul xOy coninesuprafaa liber a lichidului din vas, fora de presiune pe un element de suprafa curb cu ard A se exprim astfel

,ddd A z g n A pn F

(3.55)unde n este versorul normalei la suprafaa curb n centrul elementului de suprafa, iar z estecota acestui punct.


35/188

35

Se proiecteaz relaia (3.55) pe cele trei axe carteziene i se integreaz, obinndu-seecuaiile

,dd x A

x

A

x x A z g An z g F

,dd y A

y

A

y y A z g An z g F (3.56)

,dd x A

z

A

z z A z g An z g F

unde A x , A y i A z sunt ariile suprafeelor planeOAC, OBC, OAB (reprezentnd proieciilesuprafeei curbe ABC pe cele trei plane carteziene), iar integralele respective sunt, n ordine,momentele statice ale suprafeelorOAC i OBC, respectiv volumul vasului:

.d,d,d V A z A z A z A z A z

z y x A

z yGy

A

y xGx

A

x

tiind c ,, GyGyGxGx p z g p z g

unde pGx, pGy sunt presiunile relative n centrele de greutate ale suprafeelor planeOAC , respectivOBC , ecuaiile (3.56) devin

.,, V g F A p F A p F z yGy y xGx x (3.57)i definesc modulele componentelor forei de presiune rezultante pe suprafaa curb ABC . Celetrei fore au direciile normalelor care trec prin centrelede presiuneale suprafeelorOAC i OBC, respectiv direcia verticalei duse prin centrul de greutate al volumuluiV .

Cnd normalele suprafeei curbe converg ntr -un punct sau ntr-un ax, cele trei fore alesistemului redus se reduc la o singur for avnd mrimea

.222 z y x F F F F (3.58)

n cazul general al unei suprafee curbe oarecare, dou din suporturile celor trei foreexprimate prin relaiile (3.57) sunt concurente, iar sistemul se reduce la dou fore situate plane diferite.

Figura 3.8 Schema determinrii forelor de presiune exercitate de un lichid n repaus asupraunei suprafee curbe


36/188

36

3.4.2.2. Fora de presiune pe o suprafa curb aflat n contact cu un gaz Dac vasulOABC este nchis i conine un gaz a crui presiune relativ p g este admis

constant, modulele celor trei fore de presiune se calculeaz cu relaiile ,,, z g z y g y x g x A p F A p F A p F (3.59)

iar suporturile lor sunt normalele care trec prin centrele de greutateale proieciilor suprafeeicurbe pe cele trei plane rectangulare.

3.4.3. Fora de presiune pe o suprafa curb nchis. Plutirea corpurilor

Se consider un corp cu volumulV , mrginit de suprafaa curb nchisS , scufundat, ncondiii de echilibruindiferent, ntr-un lichid aflat n repaus n cmp gravitaional ( figura 3.9 ).Corpul este supus forelor de presiune exercitate de lichid asupra sa. Componentele orizontale F x,

F y ale forei de presiune sunt nule, deoarece fiecare dintre ele este rezultanta a dou fore egalede sensuri contrare, iar componentele verticale au, conform celei de-a treia ecuaii (3.57),expresiile

., '''

'' CDAC AA z CBAC AA z V g F V g F Ca urmare, rezultanta forelor de presiune pe suprafaa curb nchisS este

.''' V g V V g F F F CBA AA'C CDA AA'C z z A (3.60)Relaia (3.60) arat c, potrivit principiului luiARHIMEDE, rezultanta forelor de presiune

pe suprafaa nchisS este o for vertical ascendent, egal cu greutatea volumului de lichiddezlocuit de corp. Aceast for se numete for de plutire, portan sau for arhimedic i areca punct de aplicaie, numitcentru de plutire, centrul de greutate al volumuluiV .

Un corp se afl n echilibru indiferent dac greutatea sa este egal cu portana, iar centrude greutateG al corpului se afl pe aceeai vertical cu centrul de plutireC , ocupnd o poziie

inferioar acestuia. Cnd greutatea corpului este mai mare dect portana, corpul se scufund pfundul vasului, iar dac portana depete greutatea corpului, acesta va pluti parial scufundat,astfel nct fora de plutire a prii scufundate s fie egal n modul cu greutatea corpului.

Orice corp plutitor este stabil sub aciunea unor fore laterale perturbatoare, dacmicarea de oscilaie generat de aceste fore nu depete o anumit amplitudine, carecorespunde rsturnrii acelui corp.

3.5. Echilibrul relativ al lichidelor

Figura 3.9. Schema determinrii forei de presiune exercitate de un lichid n repaus asupra unei suprafee curbe nchise


37/188

37

3.5.1. Ecuaia fundamental a echilibrului relativ al lichidelor Un lichid aflat ntr-un vas n micare este n echilibru relativ, fa deun sistem de axe

solidar legat de vas, dac viteza i acceleraia lichidului n raport cu acest sistem mobil de axsunt nule.

Considernd un domeniu paralelipipedic detaat din lichidul aflat n vas i introducnforele de legtur x F 1d , x F 2d , y F 1d , y F 2d , z F 1d , z F 2d i fora masic m F d , definite de relaiile(3.12) i (3.13), condiia de echilibru dinamic al lichidului din acest paralelipiped, fa de triedrfix O1 x1 y1 z 1 din figura 3.10 , se exprim astfel

,ddddddd 212121 im z z y y x x F F F F F F F F (3.61)

unde i F d este fora de inerie dat de relaia ,dddd z y xa F ai (3.62)

n carea a este acceleraia absolut.

Introducnd n relaia (3.61) expresiile (3.12), (3.13) i (3.62) i simplif icnd cu d x d y d z se obine ecuaia fundamental a micrii unui fluid perfect, sub forma

,1

aa p A (3.63)

care, pentru aa = 0, se reduce la ecuaia (3.14). Conform figurii 3.10 , se poate scrie egalitatea

,01 r r r (3.64)

n care 1r i r sunt vectorii de poziie ai centrului M al paralelipipedului fa de sistemul dereferin fix, respectiv fa de triedrul mobil, iar0r vectorul de poziie al sistemului de referinmobil n raport cu cel fix. Se introduc notaiile:av viteza absolut, 0v viteza originiiO asistemului de axe mobil fa de origineaO1 a sistemului fix, r v viteza relativ a punctului M ,

viteza unghiular a micrii de rotaie n jurul unei axe instantanee care trece prinO, 0a acceleraia originiiO a sistemului mobil fa de sistemul fix de axe, r a acceleraia relativ a punctului M .

Prin derivarea ecuaiei (3.64) n raport cu timpul se obine egalitatea

,dd

d

d

d

d 01t r

r t

r

t

r

Figura 3.10. Domeniu paralelipipedic elementar detaat dintr -un lichid aflat in echilibru relativ


38/188

38

sau,0 r a vr vv

care se deriveaz din nou n raport cu timpul, rezultnd relaia

,d

d

dd

dd

d

d

d

d 0t

vv

t r

r r t t

v

t

v r r

a

care poate fi scris sub forma r r a avr r t aa

2dd

0 (3.65)

i definete acceleraia absolut. Dac se introduc noiunile de acceleraie de transport i acceleraieCORIOLIS, exprimate

prin egalitile

,2,dd

0 r ct var r t aa

ecuaia(3.65) devine.r ct a aaaa

(3.66)Dac lichidul se afl n echilibru relativ fa de sistemul mobil de axe, prin definiier v = 0

i r a = 0, deci ca = 0, iar acceleraia absolut este egal cu acceleraia de transport, conformrelaiei (3.66).

n aceste condiii, ecuaia (3.63) se reduce la forma

r r t

a p A

d

d10 (3.67)

i constituieecuaia fundamental a echilibrului relativ al lichidelor.

3.5.2. Echilibrul relativ al lichidului dintr-un vas aflat n micare de rotaie uniform n jurul uneiaxe verticale

Se consider un vas cilindric vertical care conine lichid (aflat n echilibru relativ) i serotete cu vitez unghiular constant n jurul axei sale de simetrie. Se aleg axeleOz i O1 z 1 n poziie suprapus cu axa de simetrie a vasului ( figura 3.11 ). Se particularizeaz relaia (3.67) pentru: 0a = 0 (deoarece originileO i O1 ale sistemelor de axe coincid), A = k g , k =constant i t dd = 0 astfel


39/188

39

.1 r p g k (3.68)

tiind c , z k y j xir

se pot determina expresiile produsului vectorial

x j yi

z y x

k ji

r

00

i dublului produs vectorial

,0

00 22 y j xi

x y

k ji

r

iar ecuaia (3.68) devine

.1 22 y j xi p g k

(3.69)

Proiectnd relaia de mai sus pe cele trei axe carteziene se obin, pentru derivatele pariale a presiunii, expresiile

,,, 22 g z p

y y p

x x p

care, nlocuite n difereniala presiunii duc la ecuaia .dddd 22 z g y y x x p (3.70)

Prin integrarea relaiei (3.70) se obine legea variaiei presiunii sub forma

,2

222 C z g

y x p

sau, dac se nlocuiete x2 + y2 = R2,

Figura 3.11 Schema unui vas cu lichid aflat n micare de rotaie uniform n jurul unei axeverticale


40/188

40

,2

22

C z g R

p (3.71)

din care se observ c suprafeele izobare sunt paraboloizi de rotaie n jurul axeiOz .Pentru determinarea constantei de integrare se pune ecuaiei (3.71) condiia la limit

la R = 0 i z = z 0 , p = p0 ,unde z 0 este cota vrfului paraboloidului supraf eei libere, i se gsete

C = p0 + g z 0 , cu care ecuaia presiunii mbrac forma

.2

0

22

0 z z g R

p p (3.72)

Pentru p = p0, din relaia (3.72) se obine ecuaia suprafeei libere

.2

22

g

R z z o (3.73)

3.5.3. Echilibrul relativ al lichidului dintr-un vas aflat n micare de translaie uniformaccelerat

Fie un vas cu lungimeal , care conine lichid pe nlimea de repaush0. n timpul micriicu acceleraia constanta , suprafaa liber a lichidului devine un plan nclinat.Pentru gsirealegii de variaie a presiunii se particularizeaz ecuaia general a echilibrului relativ (3.67) urmtoarele condiii: A = k g , 0a =a = a j , = 0, rezultnd expresia

,1

a j p g k (3.74)

din care, prin proiectare pe axele sistemului de referin, se obin ecuaiile scalare

,,,0 g z p

a y p

x p

care se nlocuiesc n difereniala presiunii astfel .ddd z g ya p (3.75)

Soluia ecuaiei difereniale (3.75) C z g ya p (3.76)

arat c suprafeele izobare (i, n mod particular, suprafaa liber) sunt plane, avnd panta a/ g .Punnd condiia la limit

la y = l /2 i z = h0, p = p0 ecuaiei (3.76) se obine expresia constantei de integrare

.200

l ah g pC

Figura 3.12 Schema unui vas cu lichid aflat n micare rectilinie uniform accelerat


41/188

41

Astfel, ecuaia (3.76) devine

,2

00 z h g yl

a p p

(3.77)

conducnd, pentru p = p0, la ecuaia suprafeei libere de forma

.2 0h yl

g

a z

(3.78)

3.6. Probleme3.6.1. Probleme rezolvate

3.1. S se calculeze nlimeaht a coloanei de iei din rezervorul prezentat n figura 3.13 ,dac se cunosc urmtoarele: coteleha = 2 m,hm = 0,3 m, densitile ieiului, apei i mercuruluit = 830 kg/m3, a = 998 kg/m3, m = 13.600 kg/m3 i presiunea absolut a gazelor din rezervor p g =0,105 MPa.

RezolvareVariaia presiunii absolute n funcie de adncime, ntre captul liber al manometrului

interfaa iei gaze din rezervor, este descris de ecuaia ,0 g t t aamm ph g h g h g p

din care se expliciteaz g

hh g p ph

t

aamm g t

0

i se obine valoarea .m0593,2

806,983029983,0600.13806,910105,0325.101 6

t h

3.2. S se calculeze adncimea minim,h, a apei, astfel nct stvilarul plan basculant din figura 3.14 s se deschid, rotindu-se fa de axa orizontal ce trece prin punctul A. Se cunosc: = 65,a = 1 m, = 103 kg/m3 i limea stvilaruluib = 3 m. Se neglijeaz greutatea stvilarului, precum i forele de frecare.

Rezolvare

Figura 3.13 Figura 3.14. Figura 3.15


42/188

42

Coordonatele centrului de presiune se exprim fa de un sistem de axe xOy ales astfelnct axaOx s aparin att planului stvilarului, ct i planului suprafeei libere a lichidului( figura 3.15 ). Condiia de deschidere a stvilarului este ca punctul de aplicaie al rezultanteiforelor de presiune pe partea scufundat a acestuia s se afle deasupr a punctului A. Altfel spus,ordonata yC a centrului de presiuneC trebuie s ndeplineasc condiia

.sin ah yC (3.79)Pe de alt parte, conform ecuaiei (3.53), particularizat pentru o suprafa plan de form

dreptunghiular, cu nlimea prii scufundateh/sin , se poate scrie c ,

sin32 h

yC (3.80)iar prin egalarea ecuaiilor (3.79) i (3.80) se obine expresia

,sin3,sin3

ahah

care conduce la valoarea.m719,265sin13 h

3.3. Evacuarea apei dintr-un bazin se realizeaz printr -o galerie orizontal, obturat de unstvilar semicilindric, cu raza R = 40 cm i lungimeal = 60 cm, care se poate roti fa de axaorizontal ce trece prin punctul A ( figura 3.16 ). Se cere s se calculeze modulul forei orizontale F necesar pentru a menine stvilarul nchis, cunoscnd sarcina hidraulic la partea superioarstvilaruluih = 3 m i densitatea apei = 103 kg/m3.

RezolvareSe alege sistemul de axe la care se raporteaz

componentele forei de presiune ca n figura 3.17 .Ecuaiile (3.57) iau formele particulare

.2

;0;22

l R

g F F l R Rh g F pz py px

unde, pentru componenta vertical F pz s-a recurs lametoda haurilor ( figura 3.17 ). Modulul i orientareaforei de presiune rezultante se pot determina dinrelaiile

.arctg,222

px

pz pz py px p F

F F F F F

Din ecuaia de momente ale forelor fa de punctul A

02 R F b F p se gsete expresia

.22

cos

2

cos

2 px p p p F F

R

R F

R

b F

F Succesiunea calculelor este urmtoarea:

; N4,003.166,04,024,03806,910 3 px F

; N7,478.16,02

4,0806,910

23

pz F

. N7,001.82

4,003.16,"45'165

4,003.167,478.1

arctg; N6,071.167,478.14,003.16 22 F F p

Figura 3.16 Figura 3.17


43/188

43

3.4. S se determine modulul i orientarea rezultantei forelor de presiune care acioneaz pe suprafaa curb a vasului semicilindric din figura 3.18 , vas care conine, n jumtatea sasuperioar, un gaz sub presiune. Se cunosc urmtoarele: diametrul pistonului d = 0,25 m, raza ilungimea semicilindrului R = 2d , L = 4d , coteleh1 = 3d , h2 = 2d , h3 = 3d , densitile 1 = 1kg/dm3, 2 = 0,9 kg/dm3 i modulul forei F = 1,8 kN.

RezolvareSe noteaz cuh cota vertical dintre planul interfeei lichid-gaz i planul suprafeei liberevirtuale. Se poziioneaz sistemul de axeOxyz ca n figura 3.19 , planul xOy coinciznd cu planulsuprafeei libere. Din ecuaia variaiei presiunii se exprim presiunea relativ pr la interfaalichid-gaz i cotah astfel

.dar ,42

2322112 g p

hh g p Rhhh g d

F p r r r

Asociind indicelel prii cu lichid i indicele g priicu gaz a vasului, componentele forei de presiune n celedou zone au expresiile

;4

1;0;

2

2

22

L Rh L R g F F L R

R g p F

pzl pyl r pxl

.;0; L R p F F L R p F r pzl pyl r pxg Se compun mai nti forele orizontale, respectiv cele

verticale,; pzg pzl pz pxg pxl px F F F F F F

apoi se determin modulul rezultantei i orientarea acesteia

.arctg,222

px

pz pz py px p

F

F F F F F

Rezultatele numerice sunt prezentate n continuare.

,Pa089.285,075,0109,05,075,0101806,9

25,0

108,14 332

3

r p

,m183,3806,9109,0

089.283

h

, N5,778.1515,04

1183,315,0806,9109,0

, N7,147.1515,02

5,0806,9109,0089.28

23

3

pzl

pxl

F

F

, N5,044.1415,0089.28 pzg pxg F F N734.15,044.145,778.15, N2,192.295,044.147,147.15 pz px F F

."58'233

2,192.29

734.1arctg; N7,243.29734.12,192.29 22 p F

Figura 3.18 Figura 3.19


44/188

44

3.5. n peretele despritor, plan vertical, al unuivas deschis care conine ulei i ap, este ncastrat osfer cu diametruld = 300 mm ( figura 3.20 ). tiindc: hu = 4,4 m,ha = 3 m, u = 905 kg/m3, a = 998kg/m3, se cere s se determine modulul iorientarea

rezultantei forelor de presiune care acioneaz asuprasferei. RezolvareSe divizeaz, n mod imaginar, sfera n dou

emisfere, prin planul vertical al peretelui despritor,apoi se studiaz, pe rnd, forele de presiune careacioneaz pe cele dou emisfere. Sistemele de axe se poziioneaz ca n figura 3.21 . Fiecare din emisfere se proiecteaz astfel: ca un disc n planul yOz , respectivca dou jumti de disc suprapuse n planul xOz .Componenta vertical a forei de presiune aferente

fiecrei emisfere se stabilete folosind metodahaurilor. Se gsesc astfel expresiile:

,12

,0,42

32 d g F F

d d h g F u pzu pyuuu pxu

,12

,0,42

32 d g F F

d d h g F a pza pyaaa pxa

iar calculele decurg dup cum urmeaz

, N7,6212

3,0806,9905, N2,854.2

43,0

23,0

4,4806,990532

pzu pxu F F

, N2,69

12

3,0806,9998, N179.2

4

3,0

2

3,03806,9998

32

pzu pxa F F

F px = F pxu F pxa = 675,2 N , F pz = F pzu + F pza = 131,9 N ,."13'311

2,675

9,131arctg; N6889,1312,675 22 p F

3.6. Un vas cilindric vertical deschis ( figura 3.22 ),cu diametruld = 20 cm i nlimeah = 40 cm, coninelichid pe nlimea de repaush1 = 30 cm i se roteteuniform n jurul axei sale de simetrie. Se cere s sedetermine urmtoarele:

Download - hidraulica generala

Top Related