Download - Geometría Anual Ade 2015
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55 66 77 88
Boletn Virtual: Geometra
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. . .
Geometra
2
Definiciones primitivas, segmentos y ngulos
NIVEL BSICO
1. Sobre una lnea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. B es punto medio de AC y CD=2BC. Si AD=40, calcule AB.
A) 20 B) 10 C) 5D) 30 E) 25
2. Sobre una lnea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D adems B es punto medio de AD. Si AD=30 y CD=12, calcule BC.
A) 1 B) 3 C) 4D) 5 E) 2
3. De una lnea recta se toman los puntos con-secutivos A, B, C y D, de modo que AD=30, AC=14 y BD=20. Calcule BC.
A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6
4. Sobre una lnea recta se ubican los puntos con-secutivos A, B, C, D y E. Si DE=2(AB), BC=CD y AC=13, calcule BE.
A) 12 B) 26 C) 18D) 20 E) 24
5. Si Sa=3Ca, donde S y C representan el suple-mento y complemento de la medida de un n-gulo, respectivamente, calcule a.
A) 35B) 45C) 40D) 30E) 12
6. Segn el grfico
m m m AOB BOC COA
5 6 7= =
Calcule m AOB.
A
B
C
O
A) 20 B) 40 C) 100D) 140 E) 50
7. De acuerdo con el grfico, OM
y ON
son las bisectrices de los ngulos AOB y COD, respec-tivamente. Calcule la mAOB si
m m m AOB BOC COD2 4 6
= =
A
M B C
N
D
O
64
A) 30 B) 32 C) 24D) 16 E) 40
8. En una lnea recta se ubican los puntos conse-cutivos A, B, C, D y E.
Si ABBC CD DE= = =2 3 4
y AC=9, halle AE.
A) 20 B) 30 C) 40D) 27 E) 21
-
. . .
Geometra
3
NIVEL INTERMEDIO
9. Sobre una recta se tienen los puntos consecu-tivos A, B, C, D y E, de modo que AE=4BD y AD+BE=80. Halle AB+DE.
A) 80 B) 16 C) 48D) 64 E) 32
10. En una recta se ubican los puntos consecuti-vos M, N, P, Q y R. F y Q son los puntos me-dios de MN y PR, respectivamente, NP=4 y 2PF+PR=18. Calcule FN+QR.
A) 4 B) 9 C) 8D) 5 E) 10
11. En el grfico, m BOD=90 y m AOD m AOB=20. Halle m COD.
O
D
B
CA
A) 55 B) 35 C) 25D) 40 E) 30
12. Se trazan n ngulos consecutivos alrededor de un punto. Si la suma de medidas de sus com-plementos es 810, halle n.
A) 7 B) 8 C) 9D) 10 E) 13
NIVEL AVANZADO
13. De una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D, de modo que AC=12. Si M y N son los puntos medios de AB y CD, respectivamente, adems MN=16, calcule BD.
A) 16 B) 12 C) 18D) 15 E) 20
14. Calcule la medida de un ngulo si se sabe que los tres cuartos del suplemento de su comple-mento es 90.
A) 15 B) 30 C) 45D) 60 E) 75
15. Si + = C S4 2 10
, donde S y C representan
el suplemento y complemento de un ngulo,
respectivamente, calcule S2a.
A) 50 B) 100 C) 80D) 160 E) 130
-
. . .
Geometra
4
ngulos entre rectas paralelas
NIVEL BSICO
1. Segn el grfico, si L L
1 2// , calcule a+b+q+w.
L 2
L 1
A) 180 B) 360 C) 540D) 270 E) 450
2. Si L L
1 2// y L L
3 4// , calcule x+y+z.
L 1
L 3
L 2
L 4
30
y
y
x
z
130
A) 160 B) 80 C) 150D) 50 E) 40
3. Si L L
1 2// , calcule x.
44
x
L 2L 1
A) 90 B) 135 C) 120
D) 144 E) 108
4. Segn el grfico, si L L
1 2// , calcule a+b.
2 L 1
L 2
A) 36
B) 95
C) 60
D) 72
E) 80
5. Si L L L
1 2 3// // , calcule x.
L 1
L 2
L 3
x+50
150
x+30
140x
2x
A) 10
B) 20
C) 30
D) 35
E) 15
-
. . .
Geometra
5
6. A partir del grfico, calcule x si a+b=140 y L L
1 2// .
L 1
L 2
mm
n
x
n
A) 50 B) 110 C) 80D) 160 E) 130
7. En el grfico mostrado, L L
1 2// , calcule x si q b=40.
L 1
L 2
x
A) 40 B) 20 C) 30D) 50 E) 60
8. Si L L
1 2// , calcule x.
L 2
L 1
x
x
120
A) 45 B) 20 C) 30D) 37 E) 60
NIVEL INTERMEDIO
9. Segn el grfico, calcule x.
x 4x
A) 50 B) 20 C) 30D) 18 E) 36
10. En el grfico, si L L
1 2// , calcule x.
L 2
L 1
30
40
2x
A) 10 B) 20 C) 30D) 35 E) 15
11. Si L L
1 2// , calcule x.
L 2
L 1
120
x
140
A) 60 B) 120 C) 80D) 110 E) 100
-
. . .
Geometra
6
12. Si L L
1 2// y a+b+q=135, calcule x+y.
L 1
L 2
x y
76
50
A) 109 B) 93 C) 97D) 114 E) 100
NIVEL AVANZADO
13. Si L L
1 2// , calcule w+q.
L 2
L 1
20
80
A) 60 B) 120 C) 80D) 140 E) 100
14. Si L L
1 2// , calcule x.
L 2
L 1m+n n
4xx
a
a
m
A) 30 B) 18 C) 24D) 36 E) 37
15. Segn el grfico, L L
1 2// , BP
es bisectriz del ngulo ABC, m+a=70 y n a=100.
Calcule x.
L 1
L 2
m
x
aA
B
Cn
P
A) 60 B) 50 C) 30D) 70 E) 80
-
. . .
Geometra
7
Tringulo
NIVEL BSICO
1. Segn el grfico, calcule x.
20
65 110 3050
x
A) 45 B) 60 C) 90D) 100 E) 120
2. A partir del grfico, calcule b+d a c.
50 60
a
d
bc
A) 10 B) 55 C) 110D) 80 E) 85
3. Del grfico, mostrado, calcule x.
A) 40 B) 50
x
60a
40
C) 60D) 70 E) 80
4. Del grfico mostrado, calcule x.
x
100
3x
A) 50 B) 75 C) 25D) 20 E) 30
5. A partir del grfico, calcule x.
2
2
2x3x
5x
A) 18 B) 20 C) 36D) 27 E) 30
6. Del grfico, calcule x.
+
4x
3x
2x
A) 20 B) 14 C) 18D) 16 E) 15
-
. . .
Geometra
8
7. En el siguiente grfico, cul es la suma de me-didas sealadas?
A) 405 B) 180 C) 390D) 450 E) 360
UNMSM 2000
8. A partir del grfico, calcule x+y+z.
40
y
x
z
A) 360 B) 420 C) 320D) 400 E) 280
NIVEL INTERMEDIO
9. En el grfico, calcule x.
2
108x
2
A) 72 B) 36 C) 24D) 54 E) 27
10. Calcule x+y.
3 3
x
y
3065
A) 95 B) 105 C) 115D) 120 E) 150
11. Del grfico, calcule a+b+q+w+f.
A) 180 B) 270 C) 360D) 150 E) 240
12. A partir del grfico, calcule el valor de x.
130
x
30
A) 30 B) 25 C) 50D) 20 E) 15
-
. . .
Geometra
9
NIVEL AVANZADO
13. Segn el grfico, q+b=180. Calcule x.
80
50
30
x
A) 110B) 160C) 130D) 145E) 100
14. En el grfico, si m+n=30, calcule x.
A) 20
m
x
n
100
B) 25C) 30D) 35E) 15
15. En el grfico, calcule x si a+b=160.
m
mx x
b
a
nn
A) 100 B) 130 C) 140D) 160 E) 80
-
. . .
Geometra
10
Clasificacin de tringulos
NIVEL BSICO
1. Segn el grfico, si AB=CD, calcule x.
x
x 40A D C
B
A) 50 B) 60 C) 80D) 70 E) 55
2. En el grfico, AB=BP y AC=QC. Calcule b.
32
Q
P
A
B
C
A) 10 B) 15 C) 20D) 12 E) 18
3. En un tringulo ABC, se ubica P en el lado BC, de tal manera que AP=PC y AB=AP. Si m BAP=40, calcule m BCA.
A) 20B) 35C) 40D) 80E) 75
4. Del grfico, AQ=QM y QN=QC. Calcule x.
A Q C
NM
x
B
70
A) 70 B) 110 C) 55D) 140 E) 40
5. En el grfico, AB=AD=CD. Calcule x.
70
60 xA D
CB
A) 60 B) 70 C) 80D) 130 E) 65
6. En el grfico, AB=BC y AC=CD. Si m ABC=2(m ADC), calcule x.
B
A C
D
x
A) 45 B) 60 C) 70D) 90 E) 30
-
. . .
Geometra
11
7. En el grfico, AB=AC=CD=CE. Calcule x.
80
60
x
A C
E
DB
A) 30 B) 35 C) 40D) 10 E) 20
8. En el grfico, AB=BD=BC, AC=21 y CE=20. Calcule AE.
60
60
D
A
B
C
E
A) 27 B) 29 C) 20D) 21 E) 22
NIVEL INTERMEDIO
9. En la regin exterior relativa al lado AC de un tringulo rectngulo ABC, recto en B, se ubi-ca D, de modo que AD=17, AB=15, BC=8 y m ADC=50. Calcule m DAC.
A) 50 B) 65 C) 80D) 70 E) 55
10. A partir del grfico, AC=CD=DE=EF=FB y AB=BC. Calcule x.
A D F B
E
C
x
A) 60B) 80C) 90D) 100E) 120
11. En la regin exterior relativa al lado BC de un tringulo issceles de base AC, se ubica el punto P, de modo que el tringulo BPC es equiltero y m CAP=3(m APC). Calcule m APB.
A) 45 B) 50 C) 37D) 55 E) 48
12. En un tringulo ABC, AB=2 y BC=12. Calcule el mximo valor entero de AC.
A) 11 B) 12 C) 13D) 14 E) 15
NIVEL AVANZADO
13. En un tringulo ABC, en AB y BC se ubican los puntos P y Q, respectivamente, tal que AP=QC=PQ y m QAC+m PCA=70.
Calcule m ABC.
A) 40 B) 50 C) 35D) 45 E) 20
-
. . .
Geometra
12
14. En un tringulo ABC, en el lado AC y en la regin exterior relativa a BC, se ubican los puntos P y Q, respectivamente, de modo que PQ y BC se intersecan en F. Si AB=BP=PQ, PF=FC y m ABC=80, calcule m PBQ. Calcu-le m PBQ.
A) 80B) 100C) 40D) 50E) 60
15. En el grfico, AB=QC. Calcule x.
2x 2x
7x
Q
A C
B
x
A) 10 B) 20 C) 15D) 14 E) 12
-
. . .
Geometra
13
Lneas notables asociadas al tringulo
NIVEL BSICO
1. Del grfico, calcule x+y.
A) 45 B) 55
x
y
70
C) 65D) 70 E) 75
2. En el grfico, calcule x.
A) 20
5x 5x
2xB) 25C) 15D) 30E) 12
3. En un tringulo rectngulo ABC, recto en B, se traza la altura BH y la bisectriz interior BF del ngulo HBC. Si AB=20 y BC=21, calcule FC.
A) 2 B) 3 C) 8D) 9 E) 14,5
4. Del grfico, calcule x.
2x+21
2x+7
x
A) 15 B) 20 C) 21D) 14 E) 7
5. En el grfico, calcule x.
2 2
40
x
A) 80 B) 100 C) 115D) 120 E) 125
6. En un tringulo ABC, se trazan la altura BH y la bi-sectriz BD del ngulo ABC, tal que D est en HC. Si m DBH=40, calcule m BAC m BCA.
A) 40 B) 80 C) 120D) 50 E) 100
7. Del grfico, calcule x+y.
5050
x
y
A) 115B) 120C) 130D) 240E) 245
-
. . .
Geometra
14
8. En el grfico, calcule x.
A) 10
8x
x
120B) 5C) 20D) 15E) 14
NIVEL INTERMEDIO
9. En un tringulo ABC se trazan las cevianas inte-
riores AP y CQ, que intersecan en M, de modo
que AC=QC=AP. Calcule mm
PMCABC
.
A) 1 B) 2 C) 1/2D) 3 E) 1/3
10. Del grfico, calcule x.
A) 100
x
50
B) 110C) 115D) 120E) 140
11. Del grfico, calcule x.
2x
A) 20 B) 36 C) 30D) 15 E) 22,5
12. Del grfico, calcule el valor de x.
50x
A) 50 B) 25 C) 65D) 60 E) 45
NIVEL AVANZADO
13. Se tiene un tringulo ABC, en el que m ABC m CAB=50; adems se traza la
bisectriz interior CD y en AC se ubica el punto E, de modo que m EDC=80. Calcule m ADE.
A) 20 B) 15 C) 25D) 30 E) 35
14. En un tringulo ABC se tiene que m ABC=70; adems se traza la altura BH. Calcule la medida del ngulo que determinan las bisectrices de los ngulos BAC y HBC.
A) 95 B) 100 C) 85D) 105 E) 90
15. Se tiene un tringulo ABC, tal que m ABC=100. Se traza la ceviana interior BM y la bisectriz interior CQ, las cuales se intersecan en P. Si AB=AM, calcule m QPB.
A) 40 B) 50 C) 65D) 80 E) 45
-
Geometra
2
Congruencia de tringulos
NIVEL BSICO
1. En la figura, calcule x si AB=BC=CD=DE.
A2x
x
B
C
D
E
A) 18 B) 36 C) 72D) 30 E) 15
2. Segn el grfico AB=BC. Calcule x.
A
B
C
20x
A) 19 B) 28 C) 22D) 25 E) 20
3. En el grfico, calcule x si AC=CD.
3x
12
A CD
A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6
4. Si AB=12 y CD=16, calcule AD. Considere que BE=EC.
EA
B
C
D
A) 22 B) 24 C) 26D) 28 E) 30
5. En la figura, AM=MC y 3(BC)=AB+8. Calcule BC.
B
A CM
A) 3 B) 4 C) 6D) 7 E) 8
6. Segn la figura, PQ=AC, AB=6 y CQ=10. Cal-cule BP.
B
P
CA
Q
A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 7
-
Geometra
3
7. En la figura, AD=4. Calcule BE.
B E
A
D
C
A) 1 B) 1,5 C) 2D) 3 E) 4
8. En la figura, AB=BD. Si a+b=60, calcule x.
A
B
C
x
D
A) 60 B) 100 C) 120D) 140 E) 110
NIVEL INTERMEDIO
9. En el grfico, ABC y CDE son tringulos equil-teros. Calcule x.
A C
E
B
D
x
100
A) 30 B) 40 C) 45D) 50 E) 60
10. Segn el grfico, las regiones sombreadas son congruentes y BC=DE. Calcule x.
P
A B
x
20
DC
E
A) 60 B) 65 C) 45D) 55 E) 50
11. En el grfico, BD=AB+AC. Calcule x/y.
Y
A C
D
B
x
A) 1/2 B) 1/3 C) 1D) 2 E) 3
12. Del grfico, AM=MC y AN=BC. Calcule m MBC.
B
x
CMA
N
A) 30B) 45C) 60D) 37E) 53
-
Geometra
4
NIVEL AVANZADO
13. Segn el grfico, AE=DC, BC=AD y AM=MC. Calcule x.
40
A M C
Dx
B
E
A) 10 B) 20 C) 25D) 30 E) 35
14. En un tringulo ABC, se traza la ceviana interior AD. Luego se ubica E en AD, tal que AB=EC y CD=AE. Si m BAE=m ECD, calcule m BDE.
A) 30 B) 40 C) 50D) 80 E) 60
15. En un tringulo ABC (AB=BC), se traza la ce-viana interior BP y en BC se ubica el punto M, tal que AP=MC, m BAP=40 y m PBC=70. Calcule m MPC.
A) 20 B) 30 C) 40D) 45 E) 60
-
Geometra
5
Aplicaciones de la congruencia
NIVEL BSICO
1. Segn la figura, AC=12 y AB=9. Calcule FC.
A B
CF
A) 7 B) 6 C) 3D) 4 E) 5
2. Del grfico, calcule x si BD=DE.
B D
48
E
x
A) 48 B) 42 C) 24D) 21 E) 14
3. En el grfico, BH=a 1 y HC=2a 7. Calcule a.
A
B
C
H
A) 6 B) 7 C) 8D) 4 E) 5
4. Segn el grfico, PQ=5 y QC=3. Calcule BP.
A
B
P
CQ
A) 4 B) 5 C) 3D) 34 E) 29
5. En el grfico, AM=MC, calcule x.
A) 30B) 31
31A
B
x
CM
C) 15,5D) 45E) 59
6. En el grfico, AM=MB y MN+AC=21. Calcule (MN)(AC).
A
B
C
M N
A) 42 B) 84 C) 98D) 49 E) 63
7. Segn el grfico, BC=18 y AM=2x. Calcule x.
C
A
BM
A) 9 B) 18 C) 4,5
D) 5 E) 6
-
Geometra
6
8. En el grfico, AP=PC y BM=MD. Si AC=16, calcule MN.
A
B
CP
N
M D
A) 8 B) 4 C) 12
D) 2 E) 6
NIVEL INTERMEDIO
9. En el grfico, L
es mediatriz de AC y AB=PC.
Calcule x.
A) 10
B) 30 80
L
A
B
Cx
P
C) 50
D) 40
E) 20
10. Del grfico, CD=2(AB). Calcule x.
A
B
CD
x
21
A) 15 B) 16 C) 27D) 21 E) 14
11. En el grfico, AM=MC y BC=2(BM), calcule x.
A) 40B) 50 70
A
B
C
x
M
C) 55D) 70E) 35
12. Segn el grfico, AB=BC y AC=2(BE). Calcule x.
30
A
B
C
E
x
A) 30 B) 40 C) 50D) 10 E) 20
NIVEL AVANZADO
13. Se tiene el tringulo rectngulo ABC, recto en B. Exterior y relativo a AC se ubica P, tal que AC=2(BP). Si m ABP=10 y m ACB=20, calcule m ACP.
A) 5 B) 8 C) 10D) 12 E) 20
14. En un tringulo ABC, se ubican M y N en AC y en la prolongacin de CB, respectivamente. Si NB=BC=BM y AM=NM, calcule m NAM.
A) 30 B) 35 C) 40D) 45 E) 60
15. En un tringulo ABC, se trazan la mediana AM y la ceviana BQ, que se intersecan en P, tal que
AP=PM. Calcule PQPB
.
A) 14
B) 13
C) 12
D) 1 E) 2
-
Geometra
7
Tringulos rectngulos notables
NIVEL BSICO
1. En la figura, CD=4. Calcule AC.
30
60
A
B
C
D
A) 4 3 B) 4 2 C) 8
D) 8 2 E) 8 3
2. En el grfico, BD=3 y DC=5. Calcule x.
A
B
C
D
xx
A) 30 B) 15 C) 452
D) 372
E) 532
3. Del grfico, AD=DC y BC=40. Calcule ED.
53
A
E
D
B
C
A) 8 B) 10 C) 12D) 16 E) 24
4. En la figura, AC=20. Halle BH.
45
30A
B
CN
H
A) 5 2
B) 3 2
C) 52
2
D) 4 2
E) 5 3
5. En la figura, AC=12 y BN=8. Calcule q.
37
A
B CN
A) 15 B) 12 C) 7D) 8 E) 22
6. Del grfico, AB=BD. Calcule x.
53/2
A
B
D
x
A) 7 B) 8 C) 4,5D) 3,5 E) 10
-
Geometra
8
7. En el grfico, AC=20 y BD=4. Calcule x.
15
A
B
C
D
x
A) 37 B) 53 C) 22
D) 15 E) 37/2
8. En el grfico, las regiones sombreadas son congruentes. Si BP=6, calcule AP.
A
B
C
P
A) 10 B) 12 C) 6 10
D) 6 5 E) 6 3
NIVEL INTERMEDIO
9. En el grfico, AM=MB, BN=NC y AC=2(QN)=8. Calcule NH.
20
40
B
A C
M N
Q
H
A) 2 B) 3 C) 3
D) 2 3 E) 3 2
10. En el grfico, L
es mediatriz de AC y PC=3(PB). Calcule x.
45A
B
C
Px
A) 60 B) 75 C) 1272
D) 1432
E) 75
11. Segn el grfico, BH=2(HC)=2(AB). Calcule x.
A
BC
D
H
x
A) 20 B) 50 C) 1272
D) 532
E) 372
12. En el grfico, AP=PB y BC=PC. Calcule x.
2
A
B
Cx
P
A) 15 B) 16 C) 18D) 30 E) 37
-
Geometra
9
NIVEL AVANZADO
13. Del grfico, calcule x.
45 xx
53/2
A) 15 B) 30 C) 372
D) 532
E) 452
14. En un tringulo ABC, se traza la mediana BM, tal que AB=8 y BC=5. Si m MBC=53, calcule m ABM.
A) 53 B) 37 C) 45D) 60 E) 30
15. En un tringulo ABC, se ubican los puntos M y N en BC y AC, respectivamente, tal que BM=MC, NC=8, AB=10 y m BAC=m MNA=53. Cal-cule AN.
A) 9 B) 12 C) 15D) 18 E) 20
-
Geometra
10
Cuadrilteros I
NIVEL BSICO
1. Segn el grfico, halle x.
7080
x
A) 65 B) 75 C) 85D) 90 E) 80
2. En el trapecio ABCD (BC // AD), AB=4, CD=6 y AD=8. Calcule PQ.
A P Q D
B C
A) 3 B) 6 C) 2D) 4 E) 5
3. En el trapecio ABCD (BC // AD), BC=4, AB=8, CD=10 y AD=20. Si BP=PM y CQ=QN, calcule PQ.
A M N D
B C
P Q
A) 3 B) 1 C) 2D) 4 E) 5
4. Del grfico, calcule x.
70
100
x
A) 85 B) 15 C) 95D) 30 E) 16
5. En el grfico, BC // AD y MBCD es un trapezoide simtrico (MB=BC). Calcule x.
140 100
A
B C
Dx
M
A) 70 B) 50 C) 35D) 25 E) 60
6. En el grfico, BM=5, MH=3 y CM=MD. Calcule x.
A D
B Cx
M
H
A) 30 B) 37 C) 53D) 60 E) 53/2
-
Geometra
11
7. Del grfico, calcule b.
3
60
A) 65 B) 70 C) 45D) 55 E) 80
8. En el grfico, AM=MB, BC=x, AD=13 y MN=x+5. Halle MN.
A
B C
D
M N
A) 3 B) 5 C) 8D) 10 E) 11
NIVEL INTERMEDIO
9. Del trapecio ABCD (BC // AD), AM=MB, BC=1 y CD=10. Calcule AD.
A
B C
D
M
A) 9 B) 5,5 C) 8D) 7 E) 11
10. En el grfico, CM=MD y BM=ND. Calcule x.
A
B C20
x
D
M
N
A) 10 B) 15 C) 18D) 5 E) 20
11. En el trapecio ABCD (BC // AD), M es punto medio de CD y ANPM es trapecio issceles. Si BC+AD=10, calcule AP.
A D
B C
MN
P
A) 4 B) 4,5 C) 5,5D) 5 E) 6
12. En el trapecio issceles ABCD (BC // AD), BD=AQ=QC. Calcule x.
80A
B C
Dx
Q
A) 30 B) 20 C) 60D) 50 E) 40
-
Geometra
12
NIVEL AVANZADO
13. En el grfico, AC=CD. Calcule b.
2
3
5
24A
B
C
D
A) 10 B) 12 C) 14D) 15 E) 8
14. En un trapecio issceles ABCD (BC // AD), la longitud de la base media es igual a la altura del trapecio. Calcule m CAD.
A) 30 B) 45 C) 53/2D) 60 E) 53
15. En el trapecio issceles ABCD, (BC // AD), AC=8 y BP=5. Calcule x.
2x
A
B C
Dx
P
A) 30 B) 37 C) 53D) 15 E) 16
-
Geometra
13
Cuadrilteros II
NIVEL BSICO
1. En el paralelogramo ABCD, calcule x.
A
B C
D
x+30
4x
A) 10 B) 20 C) 16D) 15 E) 14
2. En el grfico, ABCD es un paralelogramo. Calcule x.
A
B C
D3x+20 5x
A) 10 B) 20 C) 15D) 25 E) 30
3. En el grfico, ABCD es un cuadrado y BP=PQ. Calcule x.
40
A
B C
D
P
xQ
A) 10 B) 20 C) 50D) 40 E) 30
4. En el grfico, BC // AD, BC=4 y CD=6. Calcule AD.
A
B C
D
A) 5 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
5. Si ABCD es un rombo de centro O, OH=1 y OA = 10 , calcule x.
A
B C
D
Hx
O
A) 532 B) 53 C) 37
2
D) 37 E) 30
6. Si ABCD es un rombo, calcule x.
70
10
A
B C
D
x
A) 70 B) 80 C) 60D) 55 E) 65
-
Geometra
14
7. En el paralelogramo ABCD, BP=3. Calcule AQ.
A
B C
D
P
Q
A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 7
8. En el paralelogramo ABCD, AB=PD. Calcule x.
70
10
A
B C
D
x
P
A) 70 B) 80 C) 60D) 65 E) 55
NIVEL INTERMEDIO
9. En el rombo ABCD, OH=12 y AC=40. Calcule BH. (O: centro de ABCD).
A
B C
D
H
O
A) 20 B) 16 C) 26D) 9 E) 12
10. En el grfico, ACDQ es un trapecio issceles. Calcule x.
40
A
B C
D
x
Q
A) 40 B) 50 C) 20D) 25 E) 30
11. Segn el grfico, ABCD es un cuadrado y AMCN un romboide. Si CD=20, calcule MH.
53A
B C
D
H
M
N
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
12. En el grfico, ABCD es un paralelogramo. Si BP=2(PQ), calcule x.
A
B C
D
xP
Q
A) 53/2 B) 30 C) 60D) 45 E) 53
-
Geometra
15
NIVEL AVANZADO
13. En un romboide ABCD, en la diagonal AC, se ubica L, tal que LC=2(AL) y m ABL=2m DLC.
Calcule m DLC. (BL AC).
A) 45 B) 53 C) 37D) 30 E) 60
14. En la regin interior de un cuadrado ABCD, se ubica el punto M, de modo que AMD es un tringulo equiltero. Calcule la distancia de A a CM
. (CD=12)
A) 3 2
B) 3
C) 6 2
D) 3 3
E) 4 2
15. En un rectngulo ABCD, de centro O, sobre el lado AD, se ubica el punto E, de modo que EO BD. Si AC=8 y EO=3, calcule ED.
A) 4 B) 5 C) 6D) 7 E) 8
-
Geometra
2
Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822
Circunferencia I
NIVEL BSICO
1. En el grfico, mSOAB=40. Calcule m AB .
A B
O
A) 40 B) 80 C) 120D) 100 E) 70
2. Segn el grfico, calcule x.
x
40
A) 40 B) 20 C) 80D) 90 E) 100
3. En el grfico, A y B son puntos de tangencia. Si m APB = 120 , calcule m mAB AQB + .
A
B
P Q
A) 240 B) 300 C) 180D) 360 E) 270
4. Segn el grfico, m APB = 120 . Calcule AB.
6
A
B
P
A) 6 3 B) 6 2 C) 12D) 6 E) 18
5. Segn el grfico, m AB = 60 . Calcule x.
Ax
B
A) 130 B) 60 C) 120D) 45 E) 53
6. En el grfico, D es punto de tangencia. Si AD=5, calcule AE.
C
B
F
E
D
A
A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6
-
Geometra
3
Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822
7. En el grfico, A es punto de tangencia y m AB = 100 . Calcule x.
40
A
Bx
C
A) 50 B) 80 C) 20D) 5 E) 10
8. Segn el grfico, T es punto de tangencia. Cal-cule x si m AB = 140 .
T
x
B50
PA
A) 25 B) 50 C) 30D) 40 E) 100
NIVEL INTERMEDIO
9. En el grfico, F es punto de tangencia. Si m mAM MB = , calcule x.
M
x
B
A
P40
F
A) 90 B) 100 C) 110D) 120 E) 130
10. Segn el grfico, A, B y C son puntos de tangen-cia. Calcule x.
A
C
xB
40
A) 60 B) 65 C) 70D) 75 E) 80
11. En el grfico, m CDE = 40 . Calcule x si m AB = 50 .
CB
A
E
D2x
x
A) 10 B) 20 C) 8D) 15 E) 12
12. En el grfico, T es punto de tangencia. Calcule x.
T
x
A) 30 B) 35 C) 25D) 45 E) 15
-
Geometra
4
Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822
NIVEL AVANZADO
13. En el grfico, A es punto de tangencia. Si m mAC ABC = , m m AC AD + =114 y m CL =36 ,calcule mSBAL.
D
L
A
B
C
A) 36
B) 38
C) 57
D) 37
E) 45
14. Segn el grfico, BP=8. Calcule (AH)2+(PH)2 si A es punto de tangencia.
A) 32
CH
P
B
A
B) 64
C) 32 2
D) 8 2
E) 128
15. Del grfico, ABCD es un rombo y L es media-triz de AD. Calcule ME.
L 6
B
M
C
A D E
A) 6 B) 6 3 C) 6 2
D) 12 E) 18
-
Geometra
5
Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822
Circunferencia II
NIVEL BSICO
1. En el grfico, A y B son puntos de tangencia, AP=6 2x y PB=4x. Calcule x.
A
B
P
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
2. En el grfico, calcule x si A y B son puntos de tangencia.
A
B
xx
4040
A) 70 B) 80 C) 30D) 20 E) 10
3. Segn el grfico, A es punto de tangencia y BC=R. Calcule x.
A
CR Bx
A) 53 B) 30 C) 15D) 45 E) 60
4. Segn el grfico, A y B son puntos de tangen-cia, CD=DE y AC=6. Calcule DH.
AD
BE H
C
A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 12
5. En el grfico, T es punto de tangencia. Calcule x.
O
T
x
A) q B) q/5 C) q/4D) q/2 E) q/3
6. En el grfico, calcule x.
2
x
A) 2 B) 3 C) 5D) 4 E) 6
-
Geometra
6
Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822
7. En el grfico, PM=6. Halle NQ.
QP
NM
A) 3 B) 4 C) 12D) 6 E) 9
8. Segn el grfico, m mAB CD = , PC=4 y AB=5. Calcule mQLC .
D
Q
P
L
A
BC
A) 37 B) 74 C) 53D) 106 E) 90
NIVEL INTERMEDIO
9. En el grfico, D es punto de tangencia. Si AB=6, calcule BC.
A
B
C D
5
A) 2 B) 1 C) 4D) 3 E) 1/2
10. Segn el grfico, TC=2(TB). Calcule x si T es punto de tangencia.
C
B
T
x
A) 45 B) 15 C) 45/2D) 30 E) 37
11. En el grfico, T es punto de tangencia, m TB = 90 , AT=7 y R=4. Calcule AB.
T
BR
A
A) 63 B) 33 C) 5D) 4 2 E) 7 2
12. Segn el grfico, P y Q son puntos de tangencia. Calcule x.
PQ
x
A) 15 B) 100 C) 75D) 80 E) 90
-
Geometra
7
Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822
NIVEL AVANZADO
13. En el grfico, P y Q son puntos de tangencia. Si R=5 y r=2, calcule PQ.
P
r
Q
R
A) 2 10
B) 3
C) 2 2
D) 4
E) 6
14. En el grfico, ABCD es un romboide. Si BM=MC=2, calcule OM. Considere que B es
punto de tangencia.
15B
A D
O
MC
A) 6 B) 3 C) 2 5
D) 10 E) 2 3
15. Del grfico mostrado, AD=BC. Si B y D son puntos de tangencia, calcule mTB .
B
T
A D
C
A) 45 B) 90 C) 135
D) 60 E) 53
-
Geometra
8
Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822
Posiciones relativas entre dos circunferencias
NIVEL BSICO
1. En el grfico, T es punto de tangencia y m TB = 80 . Calcule x.
T
xB
A) 20 B) 30 C) 40D) 80 E) 50
2. En el grfico, T es punto de tangencia. Si AB=20, calcule BC.
A
B
C1415
A) 20 B) 16 C) 20 2D) 18 E) 21
3. Segn el grfico, T es punto de tangencia. Si m TQ = 100 , calcule x.
T
Q
x70
A) 170 B) 100 C) 140D) 100 E) 120
4. Segn el grfico, m AB = 40 . Calcule m BC .
C
B
A
A) 20 B) 40 C) 80
D) 120 E) 140
5. Segn el grfico, calcule m
m
AB
CD
si P y Q son
puntos de tangencia.
A) 1/2 A
B
CQ
P
D
B) 2 C) 1D) 1/3 E) 2/3
6. En el grfico, A y B son puntos de tangencia. Si m MN = 130 , calcule x.
A
B
N
x
M
P Q
A) 53 B) 60 C) 74D) 65 E) 70
-
Geometra
9
Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822
7. En el grfico, AB=8 y R=5. Calcule PQ.
A
QP
BR
A) 1 B) 2 C) 1,5D) 2,5 E) 0,5
8. Segn el grfico, T es punto de tangencia. Calcule x.
Tx
A) a q B) q a C)
2
D)
2 E) a+q
NIVEL INTERMEDIO
9. A partir del grfico, calcule MQ/PC. Considere que A, B, C, D, M y N son puntos de tangencia.
B
P CN
DM
A Q
A) 1 B) 2 C) 1/2D) 3/2 E) 2/3
10. Segn el grfico, P es punto de tangencia, R=5 y r=2. Calcule m PQ .
P
r
R
Q
A) 30 B) 37 C) 45D) 53 E) 60
11. Si ABCD es un cuadrado, M, N, P y Q son puntos de tangencia y PQ=2, calcule x.
Mx
B C
P
Q
N
A D
A) 1 B) 1,5 C) 4D) 3 E) 2
-
Geometra
10
Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822
12. Segn el grfico, T es punto de tangencia. Si mAB = 40 y m CT = 120 , calcule x.
T
A
BC
x
A) 80 B) 100 C) 60
D) 90 E) 120
NIVEL AVANZADO
13. En la figura, T es punto de tangencia, AC=R. Calcule mTB .
T
AAB
R
C
100
A) 100 B) 120 C) 140
D) 160 E) 150
14. En el grfico, M, Q y T son puntos de tangencia. Si m AT = 40 , calcule mNQ .
A
Q
M
N
T
A) 140 B) 80 C) 135
D) 120 E) 106
15. Segn el grfico, calcule m AB .
A B
A) 120 B) 135 C) 100
D) 130 E) 150
-
Geometra
11
Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822
Cuadriltero inscrito e inscriptible
NIVEL BSICO
1. Segn el grfico, AB=BC. Calcule x.
C
x
80
A
B
A) 20 B) 80 C) 60D) 50 E) 40
2. Del grfico, calcule x.
104x
A) 66 B) 76 C) 104D) 30 E) 60
3. A partir del grfico, calcule x.
20
x
A) 50 B) 10 C) 20D) 40 E) 70
4. Segn el grfico, la circunferencia est inscrita en el tringulo ABC. Si AB=7, calcule R.
R
16
A
B C
A) 1 B) 6 C) 2D) 4 E) 3
5. En el grfico, la circunferencia est inscrita en el cuadriltero ABCD. Si AD=3, AB=4 y CD=7, calcule BC.
B
A D
C
A) 7 B) 4 C) 9D) 8 E) 12
6. Segn el grfico, la circunferencia est inscrita en el tringulo ABC. Si r=2, calcule AC.
A
r
B
37C
A) 10 B) 6 C) 8D) 15 E) 20
-
Geometra
12
Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822
7. Segn el grfico, calcule x.
40
x60
A) 60 B) 80 C) 100D) 120 E) 90
8. En el grfico, A y B son puntos de tangencia. Calcule x/y.
A
By
x
A) 1 B) 2 C) 1/2D) 2/3 E) 3/2
NIVEL INTERMEDIO
9. A partir del grfico, calcule x.
4040
100
x
A) 90 B) 60 C) 45D) 80 E) 70
10. Segn el grfico, calcule q.
55
A) 15 B) 10 C) 30
D) 19 E) 20
11. Segn el grfico, CD = 2 2 y AD = 7. Calcule AB.
B
C
A30
D
A) 3 B) 1 C) 5
D) 4 E) 2
12. En el grfico, AC=14 y BC = 8 2. Calcule el in-radio del tringulo AOB.
O
A
B
C
A) 1 B) 1,5 C) 2
D) 2,5 E) 3
-
Geometra
13
Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822
NIVEL AVANZADO
13. Segn el grfico, T es punto de tangencia y m m AT MBT + ( ) =2 110 . Calcule x.
A
B
M
T
Ox
A) 30 B) 40 C) 45
D) 35 E) 50
14. Se tiene un cuadrado ABCD de centro O, se ubica el punto P exterior al cuadrado y relativo
a AB, tal que mSAPB=90 y mSPBA=20. Se
traza CH perpendicular a OP
. Si H OP
, calcu-
le mSDCH.
A) 35
B) 25
C) 10
D) 38
E) 20
15. En el grfico, la circunferencia est inscrita en el cuadriltero ABCD. Si BC=4, calcule la suma
de inradios de los tringulos ABD y BCD.
A
B
C
D
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 4 2
-
Geometra
14
Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822
Puntos notables
NIVEL BSICO
1. En el grfico, G es baricentro de la regin ABC, GM=6 y GN=8. Calcule AG+BG.
A) 14
A
B
C
N
M
G
B) 28 C) 20D) 22 E) 26
2. Segn el grfico, G es baricentro de la regin ABC, BG=2 y AC=4. Calcule x.
Ax
B
C
G
A) 53/2 B) 127/2 C) 60D) 30 E) 45
3. En el grfico, I es incentro del tringulo ABC. Calcule x.
A
Ix
50
B
C
A) 100 B) 130 C) 140D) 115 E) 120
4. Segn el grfico, O es circuncentro del tringu-lo ABC, BN=NC y AM=MC. Calcule x.
x
A
O
N
M
B
C50
A) 130 B) 100 C) 80D) 50 E) 100
5. En el grfico, H es ortocentro del tringulo ABC. Calcule x.
A
B
Cx
H
50
A) 35 B) 30 C) 60D) 50 E) 40
6. A partir del grfico, calcule AC si G es baricentro de la regin ABC y BG=4.
A C
B
G
A) 10 B) 12 C) 14D) 18 E) 8
-
Geometra
15
Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822
7. A partir del grfico, calcule x.
50
x
80
5570
A) 15 B) 20 C) 30D) 40 E) 35
8. Segn el grfico, O es centro del rectngulo ABCD. Si BQ=QC, calcule PC/AO.
A
B C
D
O
P
Q
A) 1/2 B) 1 C) 2/3D) 3/2 E) 2
NIVEL INTERMEDIO
9. En el grfico, I es incentro de ABC. Si AI=AD, calcule x.
A
B
I
CD
x40
A) 10 B) 20 C) 30D) 40 E) 80
10. En el grfico, O es circuncentro del tringulo ABC. Calcule x.
A
B
C
O
x2x 120
A) 25 B) 20 C) 15D) 30 E) 40
11. Segn el grfico, H es ortocentro del tringulo ABC. Si AC=14, calcule BH.
45A
B
C
H
37
A) 7 B) 6 C) 3D) 2 E) 5
12. En el grfico, I es incentro del tringulo ABC. Si MN // AC, AM=4 y NC=5, calcule MN.
A
M
B
NI
C
A) 4 B) 5 C) 9D) 7 E) 14
-
Geometra
16
Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822
NIVEL AVANZADO
13. Si ABCD es un cuadrado, qu punto notable es P del tringulo MCN?
B C
DNA
MP
45
A) incentroB) baricentroC) circuncentroD) ortocentroE) excentro
14. En un romboide de ABCD, la mSCAD=30. Si la distancia de B a AD es 6, calcule la distancia del baricentro de la regin triangular ABD a C.
A) 6
B) 10
C) 12
D) 8
E) 9
15. Segn el grfico, H es ortocentro del tringulo ABC. Si BH=HP, calcule x.
A P C
B
H
x 40
40
A) 40
B) 20
C) 25
D) 15
E) 30
-
Geometra
2
Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822
Proporcionalidad de segmentos
NIVEL BSICO
1. En el grfico, L
1 // L
2 // L
3. Calcule x si 3(AB)=2(BC).
L 1
L 2
L 3
A
B
C
2x 3
x+1
A) 4 B) 9 C) 7D) 8 E) 5
2. Segn el grfico, MN // AC y AB // NQ, 4(AM)=5(MB) y QC=15. Calcule AQ.
A Q C
NM
B
A) 12 B) 15 C) 18D) 20 E) 9
3. En el grfico, si BC=4(AB) y AD=2, halle CD.
A D C
B
A) 12 B) 13 C) 14D) 7 E) 8
4. Segn el grfico, 3(AB)=2(BC) y NC=9. Calcu-le ND.
A
N
D
C
B
A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9
5. Segn el grfico, AQ=3(QC). Calcule x.
45
A Dx
Q
B C
A) 30 B) 53 C) 37
D) 532 E) 37
2
6. Segn el grfico, 2(BC)=5(AB), AC=6. Calcule AD.
A) 2
D A
C
BB) 3
C) 5/2
D) 4
E) 5
-
Geometra
3
Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822
7. Segn el grfico, AB=6, BC=8 y AC=7. Calcule CD.
A D C
B
A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 1
8. Segn el grfico, el tringulo ABC es equiltero y CDEF es un cuadrado. Si 5(BC)=6(DE),
calcule BDDM
.
A C F
M
ED
B
A) 12
B) 13
C) 35
D) 53
E) 23
NIVEL INTERMEDIO
9. En el grfico, FC=3, AF=6 y DF // BC. Calcule EF.
A E F C
D
B
A) 1 B) 2 C) 3D) 2,5 E) 3,5
10. En el grfico, m mAC CE = y AB=3(EB). Calcu-
le CHHL
.
A B
C
H
L
E
A) 3 B) 2 C) 3/2D) 5/2 E) 4/3
11. Segn el grfico P, Q y R son puntos de tangen-cia. Si PH=4 y m LNM=37, calcule NH.
Q
R N
H
P
L
M
A) 5 B) 6 C) 8D) 10 E) 12
12. Segn el grfico, P, Q, R y L son puntos de tan-gencia; 12(AB)=5(BC) y LM=5. Calcule MC.
A) 5
C
N
R
BLA
P
Q M
B) 6
C) 7
D) 8
E) 10
-
Geometra
4
Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822
NIVEL AVANZADO
13. Segn el grfico, AB=5, BC=6 y AC=7. Calcule AM MNMN si N, S y Q son puntos de tangencia.
A S C
N
MQ
B
A) 3/4 B) 2/3 C) 3/5D) 3/2 E) 4/5
14. En un tringulo ABC, se trazan la bisectriz interior AE y la ceviana BF, que se intersecan en D. Si 3(AD)=DE, AB=4 y AC=16, calcule AF.
A) 0,5B) 1C) 1,5D) 2E) 2,5
15. En un tringulo ABC, se traza la bisectriz interior BM y la ceviana AN, tal que se intersecan en Q. Si m BQN=m NQC, AB=4, BC=6 y QC=5, calcule QM.
A) 4B) 3C) 2D) 5E) 1
-
Geometra
5
Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822
Semejanza de tringulos
NIVEL BSICO
1. Segn el grfico, calcule x.
5x 10
72x3
A) 2930
B) 15
C) 20
D) 30
E) 29
2. A partir del grfico, 7(PQ)=2(AC) y AP=3. Calcule PB.
A C
QP
B
A) 67
B) 76
C) 56
D) 65
E) 143
3. En el grfico, 5(AM)=3(MB) y MN=10. Calcule AC.
A C
M N
B
180
A) 12 B) 14 C) 16D) 18 E) 20
4. Segn el grfico, AC=7 y DC=3. Calcule AB.
A D C
B
A) 21 B) 28 C) 21
D) 10 E) 2 7
5. En el grfico, BC 5=AB y CD=7. Calcule AB.
A C
D
B
A) 103
B) 310
C) 356
D) 73
E) 35
-
Geometra
6
Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822
6. Segn el grfico, ABCD es un romboide. Si
2(AN)=3(BN), calcule NQQC
.
A D
QN
B C
A) 23
B) 32
C) 25
D) 52
E) 1
7. Segn el grfico, los tringulos ABC y CDE son equilteros, AC=6 y CE=4. Calcule PQ.
A Q C E
D
P
60
B
A) 32
B) 23
C) 125
D) 512
E) 12
8. Segn el grfico, PC=7 y AP=2. Calcule AB.
A P C
B
A) 1 B) 1,5 C) 2D) 2,5 E) 3 2
NIVEL INTERMEDIO
9. En el grfico, ABCD es un rombo. Si FC=1 y BM=3(MC), calcule LF.
A E D
L
F
CMB
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5/2
10. Segn el grfico, ABCD es un cuadrado y AB=4. Calcule PQ.
A D
P53
CQB
A) 167
B) 716
C) 127
D) 712
E) 57
-
Geometra
7
Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822
11. En el grfico, (CE)(ED)=12. Calcule (AC)(BD).
A
B
DC
E
A) 6 B) 18 C) 12
D) 12 2
E) 6 2
12. Del grfico, L es punto de tangencia. Si LDDE
=
32, calcule AB
CD.
Br
r
DE
C
L
A F
A) 32
B) 4 C) 2
D) 53
E) 23
NIVEL AVANZADO
13. En el grfico, AB=2, AC=5 y 2(AF)=3(AE). Calcule FC.
A C
FE
90
B
A) 2 B) 5 C) 2 2D) 10 E) 4
14. En la figura, mCD = 2, BC=2 y AB=3. Calcule ED.
A
E
B
C
D
A) 4 B) 10 C) 2 5D) 13 E) 6
15. En el grfico, BC=4 y CD=6. Calcule DE.
E
D
C
B
A
A) 5 B) 8 C) 3 5D) 2 15 E) 4 3
-
Geometra
8
Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822
Relaciones mtricas I
NIVEL BSICO
1. Segn el grfico, calcule x.
x+1
x+2
x+4
x
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
2. En el grfico, T es punto de tangencia,
AT = 2 6 y BC=2. Calcule AB.
C
B
T A
A) 5 B) 6 C) 7D) 4 E) 3
3. Segn el grfico, calcule x.
x
46
5
A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9
4. En el grfico, AB=5, BC=3 y CD=1. Calcule DE.
A
BC D
E
A) 5/3 B) 4 C) 6D) 2 E) 2/3
5. En el grfico, T es punto de tangencia. Si AT=6 y AB=4, calcule BC.
C
B
T
A
A) 4 B) 5 C) 6D) 7 E) 8
6. Segn el grfico, T es punto de tangencia, AT = 2 5, AE=10 y BC=1. Calcule CD.
A B CD E
T
A) 4 B) 10/3 C) 11/3D) 3 E) 5
-
Geometra
9
Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822
7. Segn el grfico, PH=6. Calcule (AH)(HC).
A
C
H
P
A) 12 B) 36 C) 24D) 30 E) 18
8. En el grfico, A, B, C y D son puntos de tangen-
cia. Calcule PBDQ
.
D
A
B
CQ
P
A) 1/3 B) 2/3 C) 4/3D) 2 E) 1
NIVEL INTERMEDIO
9. Segn el grfico, R=6 y MC=1. Calcule AN.
A) 2,5
N
A
O C M
B
R
B) 3,75 C) 4,25D) 2,75 E) 3
10. Segn el grfico, BD=12, AM=8 y mCD = 2.Calcule AN.
C
A
M
B
D
EN
A) 8 B) 10 C) 14D) 9 E) 12
11. En el grfico, P, Q y T son puntos de tangencia. Si AB=3(BC) y QN=2, calcule PM.
A M
P
Q
T N B C
A) 5 B) 2 2 C) 4D) 4 2 E) 3
12. En el grfico, T es punto de tangencia, m mAB BC = , TE=6 y CE=4. Calcule (BM)(MT).
T
MA C
E
B
A) 4 B) 6 C) 8D) 6 2 E) 4 3
-
Geometra
10
Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822
NIVEL AVANZADO
13. En el grfico, D es punto de tangencia, CB=2(LD)=6(AL)=6 y m mBQC CD = . Calcu-le DF.
AL
D
F
B
QC
E
A) 6 B) 4 C) 4 2D) 3 3 E) 6 2
14. En el grfico, M, N y T son puntos de tangencia, mMTN = 210 , AC=3 y CF=2. Calcule EB.
A C
FTE N
M
B
A) 4 B) 13/4 C) 21/4D) 23/6 E) 4 3
15. En el grfico, CM=MB y R = 30. Calcule MF.
A O B
M
F
C
R
A) 3 2 B) 4 3 C) 2 3D) 3 E) 3
-
Geometra
11
Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822
Relaciones mtricas II
NIVEL BSICO
1. Segn el grfico, calcule a, si HC=3(AH).
A H C
A) 37 B) C) 372
D) 532 E) 30
2. A partir del grfico, calcule x.
x x+1
x+9
A) 5 B) 10 C) 15D) 20 E) 12
3. En el grfico, AB=5. Calcule AD.
B
A
D
A) 5 B) 6 C) 10D) 12 E) 3
4. En el grfico, AB=6 y AQ=2(CP). Calcule CD.
A QP C
D
B
A) 62
B) 6 C) 3
D) 5 E) 4
5. Segn el grfico, PH=a y AC=b. Calcule AH.
C
AH
P
A) a+b
B) ab
C) a b2 2
D) b a2 2
E) b a2 2
2
-
Geometra
12
Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822
6. Segn el grfico, ADDC
= 2. Calcule ABBC
.
A D C
B
A) 1 B) 2 C) 2
2
D) 3 E) 32
7. Del grfico, (BM)(MH)=7 y AC=4(MN). Calcule (AB)(BC).
A H C
MN
B
A) 10 B) 14 C) 21D) 28 E) 35
8. Segn el grfico, AC=2. Calcule (AB)(BC).
15A
B
C
A) 4 B) 1 C) 8D) 3 E) 5
NIVEL INTERMEDIO
9. Segn el grfico, BC=4(AB). Calcule x si T es punto de tangencia.
T
A
Cx
A) 30 B) 37 C) 532
D) 15 E) 60
10. Segn el grfico, ABCD es un cuadrado y (PC) (CQ)=16. Calcule MC.
M A D N
Q
C
P
B
A) 5 B) 6 2 C) 7D) 4 3 E) 3 3
11. En el grfico, A es punto de tangencia y AC = 5 2. Calcule AD.
A B
C
D
A) 5 B) 10 C) 15D) 20 E) 25
-
Geometra
13
Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822
12. En el grfico, R=5, AQ=QD=1 y m mDN NB = . Calcule MQ.
A O B
R
N
D
QM
A) 1/7 B) 1/5 C) 1/9D) 1/3 E) 1
NIVEL AVANZADO
13. Segn el grfico, NQ=K(AP). Calcule Rr
.
A Q B
N
53P
C r
R
A) 54K
B) 43K
C) 43K
D) 53K
E) 54K
14. En el grfico, P y Q son puntos de tangencia. Calcule (PH)(PC).
B
H
A P D
Q
C
27
A) 18B) 20C) 12D) 15E) 24
15. En el grfico, AE=2(EL), mCD = 60 y ML=MF.
Calcule ACEM
.
A E L B
D
C
M
FF
A) 3 B) 5 C) 2 3
D) 2 E) 6
-
Geometra
14
Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822
Relaciones mtricas III
NIVEL BSICO
1. En el grfico, (AB)2+(BC)2=100 y AM=MC=6. Calcule BM.
A M C
B
A) 10 B) 8 C) 34
D) 14 E) 17
2. Segn el grfico, (AB)(BC)=48 y PH=6. Calcu-le BH.
HA C
B
P
A) 2 3 B) 12 C) 42D) 54 E) 3 6
3. En el grfico, AB=13, BC=15 y AC=14. Calcule AH.
A H C
B
A) 2 B) 5 C) 7D) 9 E) 1
4. En el grfico, AB=5, BC=7, AD=2 y CD=4. Calcule BD.
A D C
B
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
5. Segn el grfico, AP=6 y AM=MC=9. Calcule (BC)2 (AB)2.
A M C
P
B
A) 45B) 60C) 120D) 180E) 117
6. En un tringulo ABC, AB=4, BC=7 y AC=9. Calcule la longitud de la altura relativa a AC.
A) 34
15 B) 6 5 C) 43
5
D) 27 5 E) 3 5
-
Geometra
15
Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822
7. Segn el grfico, (AB)(BC)=60, EC=4 y AD = 21. Calcule BE.
A
D
EC
B
A) 2 3 B) 2 2 C) 2 15D) 8 E) 4 3
8. En el grfico, (AB)2+(AC)2=108 y BC=6. Cal-cule AP.
O B
P
CA
A) 5 B) 2 5
C) 3 5D) 6 E) 6 3
NIVEL INTERMEDIO
9. En el grfico, AB=1, BC=2 y CD=3. Calcule la distancia de Q a AD.
A B C D
Q
A) 3 B) 14 C) 2 14
D) 3 14 E) 23
14
10. Segn el grfico, O es centro del rectngulo ABCD. Si AE=2 y AD=6, calcule (OE)2 (OC)2.
A D
O
B C
E
A) 12 B) 20 C) 14D) 16 E) 18
11. En el grfico, 4(AE)=4(ED)=DC=12. Calcule BD.
2
A E D C
B
A) 304
B) 5
5 C) 6 2
D) 23
6 E) 4 6
-
Geometra
16
Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822
12. En el grfico, (AB)(BC)=20, FC=3(FL) y AC=6. Calcule BM.
2
L
FB
A M C
A) 4 B) 3 C) 2 3D) 3 2 E) 2 2
NIVEL AVANZADO
13. Se tiene el tringulo ABC en el cual se traza la altura BH (H AC) y HM (M BC), tal que BM=MC. Si AB=5, BC=7 y AC=6, calcule la dis-tancia de C a HM
.
A) 7 B) 67
C) 35
6
D) 67
E) 107
6
14. Segn el grfico, ABCD es un romboide, tal que (AD)2+(CD)2=250 y PQ=10. Calcule QC.
P
A D
Q
CB
A) 6B) 3C) 5D) 4E) 2
15. En un tringulo ABC, se traza la altura BM y con dimetro HD (D HC) se traza una semicircunferencia tangente a BC en T. Si AB=13, BC=20 y AC=21, calcule el radio de la semicircunferencia.
A) 4B) 4,5C) 5D) 5,5E) 6
-
Geometra
2
Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822
6
PRCTICA POR NIVELES
NIVEL BSICO
1. En el grfico, AB 1=BC=4. Calcule el rea de la regin ABC.
53
A C
B
A) 6 B) 12 C) 8D) 16 E) 18
2. Segn el grfico, AC=8 y BH=4. Calcule el rea de la regin sombreada.
A H C
B
A) 32 B) 16 C) 64D) 12 E) 24
3. En el grfico, AC=2(AB)=10 y BC=9. Calcule el rea de la regin sombreada.
A C
B
A) 35 B) 21 C) 3 14
D) 2 14 E) 6 14
4. Segn el grfico, AB=7, BC=8 y AH=1. Calcule el rea de la regin ABC.
A CH
B
A) 20 3 B) 10 3 C) 15 3D) 4 3 E) 12 3
5. En el grfico, AD=5 y DC=4. Calcule el rea de la regin ABC.
30
A D C
B
A) 12 B) 24 C) 36D) 18 E) 6
6. Segn el grfico, AH=4 y HC=6. Calcule el rea de la regin ABC.
B
H CA
A) 24B) 12C) 24 6D) 10 6E) 12 6
reas de regiones triangulares
-
Geometra
3
Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822
7
Anual San Marcos Geometra
7. Segn el grfico, T es punto de tangencia, AT=6 y AB=AC. Calcule el rea de la regin ABD.
TA
D
C
B
30
A) 6 B) 12 C) 18D) 9 E) 24
8. Segn el grfico, (AB)2+(BC)2=50, AC=8 y MF=2. Calcule el rea de la regin MFB si AM=MC.
B
A M
F
C
A) 2 B) 4 C) 6D) 8 E) 3
NIVEL INTERMEDIO
9. Segn el grfico, T es punto de tangencia y AB=R=6. Calcule el rea de la regin som-breada.
2
B
C
A T
R
A) 36 B) 18 C) 12D) 24 E) 30
10. En el grfico, E es el punto de tangencia, AB=4 y BC=2. Si m mCE BE = 60, calcule el rea de la regin sombreada.
E
B CA
A) 6 B) 2 6 C) 4 6D) 16 E) 24
11. Segn el grfico, m mAM MC = y 4(AB)=5(BC). Calcule el rea de la regin triangular AFB.
F5
AM
CB
A) 10/3 B) 20/3 C) 40/3D) 10 E) 15
12. Segn el grfico, T es punto de tangencia y (AB)(TC)=40. Calcule el rea de la regin ATC.
A B C
T
A) 10 B) 20 C) 40D) 80 E) 30
Segn el grfico,Calcule el rea de la regin triangular Segn el grfico,Calcule el rea de la regin triangular
4 C) 68 E)
F
11.
F
-
Geometra
4
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8
Academia ADUNI Material Didctico N.o 5
NIVEL AVANZADO
13. Calcule el rea de una regin triangular equil-tera si se sabe que el radio de la circunferencia inscrita en este, mide 4.
A) 48 3 B) 24 3 C) 12 3D) 9 3 E) 6 3
14. Se tiene un cuadrado ABCD, en las prolon-gaciones de los lados AD y DC se ubican los puntos E y F, respectivamente, de modo que m BEF=m EBC. Si (EF)(AB)=90, calcule el rea de la regin triangular EFB.
A) 30B) 60C) 90D) 50E) 45
15. En una circunferencia de radio 20, se trazan los dimetros perpendiculares AC y BD. En el arco CD se ubica el punto Q, AQ y BD se intersectan en E. Si QC=24, calcule el rea de la regin triangular AED.
A) 24 B) 48 C) 50D) 25 E) 100
-
Geometra
5
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12
PRCTICA POR NIVELES
NIVEL BSICO
1. En el grfico el rea de la regin ABC es 100 y 3(AD)=2(CD). Calcule el rea de la regin BDC.
A D C
B
A) 20 B) 40 C) 60D) 50 E) 30
2. Segn el grfico, 3(BM)=7(MC) y el rea de la regin ABQ es 21. Calcule el rea de la regin sombreada.
A
Q
C
M
B
A) 21/2 B) 12 C) 10D) 9 E) 15
3. En el grfico, T es punto de tangencia AT=6 y
BC=9. Calcule Ab
.
B
A B
T A
C
A) 1 B) 2 C) 3D) 2/3 E) 3/2
4. Segn el grfico, calcule Ab
.
53/253/2
AA BB
A) 1/2 B) 1/3 C) 2/3D) 1/4 E) 3/2
5. Segn el grfico, CD=3(BD) y EC=2(AE). Cal-cule la razn entre las reas de las regiones BFD y AFE.
B
D
F
E CA
A) 1/2 B) 3/2 C) 4/3D) 1/3 E) 4/5
6. Segn el grfico, 4(AB)=6(BD)=12. Calcule la razn entre las reas de las regiones
sombreadas.
D
A
B
C
E
A) 1 B) 1/2 C) 2/3D) 3/5 E) 9/4
M
es 21. Calcule el rea de la regin es 21. Calcule el rea de la regin
Razn de reas de regiones triangulares
-
Geometra
6
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13
Anual San Marcos Geometra
7. Segn el grfico, G es baricentro de la regin ABC. Si el rea de la regin APQC es 25, calcule el rea de la regin triangular PBQ.
B
P QG
A C
A) 20 B) 25 C) 30D) 40 E) 50
8. Segn el grfico, calcule la razn de reas de las regiones triangulares equilteras sombreadas.
A) 5/12 B) 3/4 C) 7/12D) 11/13 E) 6/7
NIVEL INTERMEDIO
9. Segn el grfico, MN es base media del trin-gulo ABC y el rea de la regin triangular MBN es 40. Calcule el rea de la regin sombreada.
B
M N
A C
A) 40 B) 50 C) 60D) 70 E) 120
10. En el grfico, E, F y T son puntos de tangencia y 5(BT)=3(AT). Calcule la razn de las reas de las regiones triangulares BCF y ADE.
A) 3/5B) 2/3C) 4/5
T
B
C
F
AE
D
D) 9/25E) 25/9
11. Segn el grfico, AB = 2 2 y AD=4. Calcule la ra-zn entre las reas de las regiones sombreadas.
B C
A D
A) 1/2 B) 1/16 C) 2/3D) 1/4 E) 1/3
12. Segn el grfico, AB=4 y CD=9. Calcule la razn entre las reas de las regiones sombreadas.
A B C D
A) 1/2 B) 2/3 C) 4/5D) 2/9 E) 1/3
Segn el grfico, zn entre las reas de las regiones sombreadas.Segn el grfico, zn entre las reas de las regiones sombreadas.
3/4 C)
11. 11.
-
Geometra
7
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14
Academia ADUNI Material Didctico N.o 5
NIVEL AVANZADO
13. En el grfico, BC=5(AB). Halle la razn entre las reas de las regiones sombreadas.
A) 2/5B) 1/4C) 1/11 33
B
A C
D) 1/10E) 3/4
14. Segn el grfico, AB=30 y AC=BC=25. Calcule la razn entre las reas de las regiones som-breadas.
B
A C
A) 5/6 B) 7/18 C) 1/2D) 2/3 E) 7/25
15. Segn el grfico, ABCD es un cuadrado y EC=DF. Indique la relacin correcta entre las reas de las regiones sombreadas.
B C
E
A
A 2A 2
A1A1
A 3A 3
D F
A) A3=A2 A1
B) AA A
32 12
=
C) AA A
32 12
=
+
D) A3=A2+A1
E) A2=2A1+A3
A A2 1A A2 1A A2
A A2 1A AA A2 1A AB) A3 =
C) AA A
C
-
Geometra
8
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18
PRCTICA POR NIVELES
NIVEL BSICO
1. Segn el grfico, 4(AC)=3(BD)=24. Calcule el rea de la regin cuadrangular ABCD.
4545
BC
DA
A) 48 2 B) 24 2 C) 12 2D) 10 2 E) 20 2
2. A partir del grfico, calcule el rea de la regin sombreada si AC=8 y BD=2.
A
D
B C
60
A) 4 3 B) 8 3 C) 16 3D) 32 3 E) 12 3
3. Segn el grfico, BC // AD, AB=10 y AD=16. Calcule el rea de la regin trapecial ABCD si AB=CD.
B C
A D
5353
A) 40 B) 80 C) 160D) 100 E) 50
4. Segn el grfico, ABCD es un cuadrado y +=90. Calcule el rea de la regin som-breada si AP=4 y QD=9.
P A
B
D
C
Q
A) 13 B) 26 C) 39D) 30 E) 36
5. Segn el grfico, (AC)(BD)=16 y +=120. Calcule el rea de la regin cuadrangular ABCD.
B
C
D
A
A) 32 B) 64 C) 16 3
D) 8 3 E) 4 3
6. En el grfico, EC=4(BF) y AD=5. Calcule el rea de la regin sombreada.
A
D
C
E
FB
A) 20 B) 40 C) 60D) 100 E) 80
reas de regiones cuadrangulares
-
Geometra
9
Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822
19
Anual San Marcos Geometra
7. En el grfico, 4(HC)=5(AH)=20 y HD = 5. Calcule el rea de la regin sombreada.
B
D
CA H
A) 9 52
B) 27 52
C) 18 52
D) 36 52
E) 15 52
8. En el grfico, FBCE es un cuadrado. Si PF=5 y FQ=8, calcule el rea de la regin sombreada.
B CQ
F
EA
P
A) 30 B) 15 C) 40D) 45 E) 20
NIVEL INTERMEDIO
9. A partir del grfico, calcule el rea de la regin paralelogrmica ABCD si mAB = 53 y R=5.
A) 10B) 15C) 12
B C
A D
R
D) 18E) 20
10. Segn el grfico, CD = 2 2 y mDC = 37. Calcu-le el rea de la regin paralelogrmica ABCD.
B
CA
D
A) 4 B) 8 C) 12D) 16 E) 20
11. En el grfico, (AC)(BD)=36 y mBC = 60. Cal-cule el rea de la regin sombreada.
A
B
C
D
A) 36 3B) 18 3C) 27 3D) 10 3E) 9 3
12. Segn el grfico, AM=MB, BN=NC, AB=9 y BC=12. Calcule el rea de la regin sombreada.
A C
B
NM
A) 6 B) 9 C) 12D) 25 E) 3
=8, calcule el rea de la regin sombreada.
Q
=8, calcule el rea de la regin sombreada.
-
Geometra
10
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20
Academia ADUNI Material Didctico N.o 5
NIVEL AVANZADO
13. Si AD=CM y (BH)(BC)=20, halle el rea de la regin paralelogrmica ABCD.
B C
A M D
H
A) 5B) 7,5C) 10D) 15E) 20
14. En el grfico, AOEC es un trapecio issceles. Si CD=2, calcule el rea de la regin sombreada.
A O
E
D
C
A) 4 2 B) 6 2 C) 8 2D) 12 2 E) 16 2
15. En el grfico, ABCD es un cuadrado, AP=PQ y DP=2. Calcule el rea de la regin cuadrada.
A) 4B) 8C) 16
B C
QQ
A P D
D) 12E) 20
16 16 D) 12E) 20
=2, calcule el rea de la regin sombreada es un trapecio issceles. Si
=2, calcule el rea de la regin sombreada es un trapecio issceles. Si es un trapecio issceles. Si es un trapecio issceles. Si es un trapecio issceles. Si
=2, calcule el rea de la regin sombreada.
-
Geometra
11
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24
PRCTICA POR NIVELES
NIVEL BSICO
1. Segn el grfico, BM=MC y AN=ND. Calcule X.
BM
C
771010XX
A N D
A) 3 B) 4 C) 13D) 8,5 E) 5
2. En el grfico, CM=MD y BC // AD. Calcule X.
B C
22
2020
A D
M
XX
A) 9B) 11C) 18D) 10E) 12
3. En el grfico, BC // AD. Calcule X.
B C
99
44
A D
XX
A) 13 B) 26 C) 12D) 6 E) 6,5
4. Segn el grfico, halle la relacin entre A, B y C.
AA
BBCC
A) A=B+C B) B=A+C C) B=A+2C
D) AB C
=
+
2 E) A B
C= +
2
5. En el grfico, BC // AD y CF // DE. Calcule X en funcin de A y B.
A) A+BB) B+2AC) A+2B
AA XX
BB
F E
CB
A D
D) 2A BE) 2B A
6. Segn el grfico, halle la relacin entre las reas de las regiones sombreadas. (ABCD: paralelo-gramo)
A
D
C
B
B C
DA
A) A+B= C+D
B) A+C=B+D
C) A BD C
+
2D) A+C=D+2C
E) A+D=2(B+C)
A+BB) B+2AC) A+2B D) 2A
D
X
M
Razn de reas de regiones cuadrangulares
-
Geometra
12
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25
Anual San Marcos Geometra
7. Segn el grfico, halle la relacin entre las reas de las regiones sombreadas.
A) A+C=B+DB) A+B=C+DC) C+D=2A+B
b
d
c
c
a
a
b
d
AB
CD
D) B+D=2(A+C)E) D B=C A
8. En el grfico, ABCD es un paralelogramo. Ha-lle la relacin entre las reas de las regiones sombreadas.
AA
BBCC
DD
B C
DA
A) A+C =B+DB) C+D=A+BC) D=A+B CD) D=A+B+CE) B=D+A 2C
NIVEL INTERMEDIO
9. A partir del grfico, calcule A BC D
+
+.
dd
a a
CC
DD
BB
AA
bbcc
ccbb
A) 1/3 B) 1/4 C) 3/2D) 1/2 E) 2/3
10. En el grfico, ABCD es un romboide. Halle la re-lacin entre las reas A1, A2 y A3.
A D
CB
A 3A 3
A 2A 2A1A1
A) A2=A1 2A3B) A1=A3+A2C) 2A1=A3+A2D) 2A3=A1+A2E) A1=A3 A2
11. En el grfico, ABCD y DEFG son cuadrados. Calcule la razn entre las reas de las regiones sombreadas.
B C
A D G
FE 88
A) 1/7 B) 1/4 C) 9/16D) 1/8 E) 9/25
12. Segn el grfico, AE=6, BE=3 y ED=4. Calcule la razn entre las reas de las regiones DECF y ABCD. (DECF es un paralelogramo).
A) 1/3 C
B
AD
F
5353EE
B) 1/5C) 2/7D) 1/9E) 1/4
En el grfico, Calcule la razn entre las reas de las regiones sombreadas.Calcule la razn entre las reas de las regiones sombreadas.
BDD
-
Geometra
13
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26
Academia ADUNI Material Didctico N.o 5
NIVEL AVANZADO
13. En un cuadriltero convexo ABCD, M, N y Q son los puntos medios de AB, BC y CD, respectiva-mente. Calcule la razn entre las reas de las regiones MNQ y ABCD.
A) 1/2 B) 1/3 C) 2/3D) 1/4 E) 2
14. En un trapecio ABCD (BC // AD), se trazan sus diagonales. Las reas de las regiones BCD y ACD son 5 m2 y 20 m2, respectivamente. Cal-cule el rea de la regin trapecial ABCD.
A) 20 m2 B) 25 m2 C) 35 m2
D) 30 m2 E) 50 m2
15. En el tringulo ABC, BN es mediana y el rea de la regin PQM es 4 u2. Calcule el rea de la regin trapecial APMC si las regiones AQP y NQC son equivalentes.
B
P M
A N
QQ
C
A) 18 u2 B) 24 u2 C) 36 u2
D) 72 u2 E) 54 u2
-
Geometra
14
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30
PRCTICA POR NIVELES
NIVEL BSICO
1. Segn el grfico, calcule A B.
AA BB
34
A) 5 B) 7 C) 9D) E) 6
2. Segn el grfico, T es punto de tangencia y AB=4. Calcule el rea de la corona circular.
B
A
T
A) B) 2 C) 3D) 4 E) 8
3. Segn el grfico, R=6. Calcule A B si AB=AC.
RR B
A C
AA BB
3030
A) B) 2 C) 3D) 4 E) 6
4. Segn el grfico, R=4 y BC=6. Calcule la di-ferencia entre las reas de las regiones som-breadas.
R
B
C
A) 4 8 B) 3( 4) C) 4( 3)D) 4( 12) E) 4( 1)
5. Segn el grfico, AB=14 y AC=50. Calcule el rea del crculo inscrito en ABC.
B C
A
A) 12 B) 24 C) 18D) 36 E) 20
6. Calcule el rea del crculo cuyo permetro es 8.
A) 4 B) 16 C) 24D) 32 E) 8
7. En el grfico, ABCD es un cuadrado y AB=4. Calcule el rea de la regin sombreada.
B C
DA
A) 1 B) 3 C) 2D) 4 E) 2 2
reas de regiones circulares
-
Geometra
15
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31
Anual San Marcos Geometra
8. Segn el grfico, BC=CD y R=4. Calcule el rea de la regin sombreada.
R
D
B
C
A) 8 B) 16 C) 4D) 2 E) 32
NIVEL INTERMEDIO
9. En el grfico, AB=3 y BC=4. Calcule el rea de la corona circular.
BC
A
A) 12 B) 6 C) 18D) 21 E) 15
10. Segn el grfico, ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 8. Calcule la suma de las reas de las regiones sombreadas.
A) 4 8B) 2+4C) 16
B C
A D
D) 32E) 2+8
11. En el grfico, T y Q son puntos de tangencia, AT=4 y TB=12. Calcule el rea de la regin sombreada.
Q
TA B
A) 8 B) 16 C) 20D) 55 E) 23
12. Halle el rea de la regin sombreada si m AOB=60 y OA=OB=12.
A) 4B) 12C) 16
O
B
A
D) 20E) 36
NIVEL AVANZADO
13. Segn el grfico, T es punto de tangencia, TB=24 y BF=36. Calcule la diferencia entre las reas de las regiones sombreadas.
FB
T
A) 69 B) 169 C) 85D) 50 E) 79
12
C) 16 D) 20E) 36
-
Geometra
16
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32
Academia ADUNI Material Didctico N.o 5
14. Halle el rea de la regin sombreada si AB es dimetro, OA=OB y FH=2. (O es punto de tan-gencia)
A O BH
F
A) 2 8 B) 4 4 C) 4 1D) 2 1 E) 4 8
15. Halle el rea de la regin sombreada si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 10 u.
B C
A D
A) 100 25 B) 150 50 C) 50D) 50 E) 25 50
-
6Prctica por Niveles
NIVEL BSICO
1. Cul de las siguientes afirmaciones no es co-rrecta?
I. Una recta y un punto determinan un plano. II. Si una recta es paralela a una recta conte-
nida en un plano, entonces es paralela a dicho plano.
III. Las rectas alabeadas son coplanares.
A) solo I B) solo II C) solo IIID) I y III E) todas
2. Cul de las siguientes proposiciones es inco-rrecta?
I. Si dos planos son paralelos, las interseccio-nes de estos con un tercero son paralelas.
II. Toda recta paralela a un plano es paralela a algunas rectas contenidas en dicho plano.
III. Si dos rectas son paralelas a un mismo pla-no, entonces dichas rectas son paralelas.
A) solo I B) solo II C) solo IIID) todas E) ninguna
3. Indique verdadero (V) o falso (F) segn co-rresponda y elija la secuencia correcta.
I. Dos planos paralelos a una misma recta son paralelos entre s.
II. Un punto determina un plano. III. Si una recta no interseca a un plano, no es
paralela a dicho plano.
A) VFF B) FFF C) VVFD) VFV E) FFV
4. Respecto a las siguientes afirmaciones, in-dique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F).
I. Si una recta es perpendicular a una recta contenida en un plano, dicha recta ser se-cante al plano.
II. Si dos rectas determinan un plano, son pa-ralelas o alabeadas.
III. Si dos planos no son secantes, entonces no son paralelos.
A) VVF B) FFV C) VFFD) FFF E) VVV
5. Cul de las siguientes afirmaciones es inco-rrecta?
I. Las rectas alabeadas no se intersecan. II. Las rectas pueden ser secantes, paralelas o
alabeadas. III. Si una recta es paralela a dos planos, di-
chos planos son paralelos.
A) solo I B) solo II C) solo IIID) todas E) ninguna
6. Indique verdadero (V) o falso (F) segn co-rresponda y elija la secuencia correcta.
I. Tres puntos determinan un plano. II. Dos rectas determinan un plano. III. Las rectas paralelas son coplanares.
A) VVVB) VVF C) VFVD) VFF E) FFV
7. Segn el grfico, P // Q; A y B estn en el plano P, y C y D estn en el plano q. Calcule m
m
AD
BC
.
PP
QQ
AA BB
CCDD
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 12
2
Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822
Geometra Introduccin a la geometra del espacio
-
6Prctica por Niveles
NIVEL BSICO
1. Cul de las siguientes afirmaciones no es co-rrecta?
I. Una recta y un punto determinan un plano. II. Si una recta es paralela a una recta conte-
nida en un plano, entonces es paralela a dicho plano.
III. Las rectas alabeadas son coplanares.
A) solo I B) solo II C) solo IIID) I y III E) todas
2. Cul de las siguientes proposiciones es inco-rrecta?
I. Si dos planos son paralelos, las interseccio-nes de estos con un tercero son paralelas.
II. Toda recta paralela a un plano es paralela a algunas rectas contenidas en dicho plano.
III. Si dos rectas son paralelas a un mismo pla-no, entonces dichas rectas son paralelas.
A) solo I B) solo II C) solo IIID) todas E) ninguna
3. Indique verdadero (V) o falso (F) segn co-rresponda y elija la secuencia correcta.
I. Dos planos paralelos a una misma recta son paralelos entre s.
II. Un punto determina un plano. III. Si una recta no interseca a un plano, no es
paralela a dicho plano.
A) VFF B) FFF C) VVFD) VFV E) FFV
4. Respecto a las siguientes afirmaciones, in-dique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F).
I. Si una recta es perpendicular a una recta contenida en un plano, dicha recta ser se-cante al plano.
II. Si dos rectas determinan un plano, son pa-ralelas o alabeadas.
III. Si dos planos no son secantes, entonces no son paralelos.
A) VVF B) FFV C) VFFD) FFF E) VVV
5. Cul de las siguientes afirmaciones es inco-rrecta?
I. Las rectas alabeadas no se intersecan. II. Las rectas pueden ser secantes, paralelas o
alabeadas. III. Si una recta es paralela a dos planos, di-
chos planos son paralelos.
A) solo I B) solo II C) solo IIID) todas E) ninguna
6. Indique verdadero (V) o falso (F) segn co-rresponda y elija la secuencia correcta.
I. Tres puntos determinan un plano. II. Dos rectas determinan un plano. III. Las rectas paralelas son coplanares.
A) VVVB) VVF C) VFVD) VFF E) FFV
7. Segn el grfico, P // Q; A y B estn en el plano P, y C y D estn en el plano q. Calcule m
m
AD
BC
.
PP
QQ
AA BB
CCDD
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 12
7
Anual San Marcos Geometra
8. En el grfico, P // Q. Calcule x.
QQ
PP
3030
xx
4040
A) 70 B) 50 C) 60D) 35 E) 40
NIVEL INTERMEDIO
9. En el grfico, P // Q // R, 2(AB)=3(BC) y EF=6. Calcule ED.
PP
QQ
RR
AA
BB
CC
DD
EE
FF
A) 6 B) 7 C) 8D) 9 E) 5
10. En el grfico, P // Q, E y B estn en el
plano P; A, C y D estn en el plano Q. Si G es
baricentro de la regin ABC, calcule EGGD
.
QQ
PP
AA
BB
CC
DD
EE
G
A) 1 B) 2 C) 3
D) 12
E) 13
11. Indique verdadero (V) o falso (F) segn co-rresponda y elija la secuencia correcta.
I. Las rectas alabeadas solo tienen un punto en comn.
II. Las rectas secantes son coplanares. III. Si una recta no es secante a un plano, en-
tonces es paralela a dicho plano.
A) VFV B) VVF C) FFVD) FFF E) FVF
12. Indique verdadero (V) o falso (F) segn co-rresponda y elija la secuencia correcta.
I. Dos rectas siempre determinan un plano. II. La interseccin de tres planos siempre es
una recta. III. Si una recta es paralela a un plano, enton-
ces dicha recta ser paralela a todas las rectas contenidas en dicho plano.
A) VFF B) VFV C) FVFD) FVV E) FFF
Geometra
3
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-
8Academia ADUNI Material Didctico N.o 6
NIVEL AVANZADO
13. Indique verdadero (V) o falso (F) segn corres-ponda y elija la secuencia correcta.
I. Si dos rectas no se intersecan, entonces son paralelas.
II. Por una recta secante a un plano se puede trazar solo un plano secante al primero.
III. Si dos planos no son paralelos, entonces son secantes.
A) VFV B) VVV C) FFVD) FVV E) FFF
14. Indique las proposiciones incorrectas. I. Si una recta es perpendicular a una recta
paralela a un plano, entonces dicha recta es paralela al plano.
II. Toda recta contenida en uno de dos planos paralelos es paralela al otro plano.
III. Dos rectas paralelas a un mismo plano siempre determinan un plano.
A) todasB) solo IC) I y IIID) I y IIE) II y III
15. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones y elija la se-cuencia correcta.
I. Si dos planos no se intersecan, entonces son secantes.
II. La interseccin de dos planos secantes es un segmento.
III. Cuatro puntos no colineales determinan a los ms un plano.
A) VFVB) VVVC) FFVD) FVVE) FFF
Geometra
4
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-
8Academia ADUNI Material Didctico N.o 6
NIVEL AVANZADO
13. Indique verdadero (V) o falso (F) segn corres-ponda y elija la secuencia correcta.
I. Si dos rectas no se intersecan, entonces son paralelas.
II. Por una recta secante a un plano se puede trazar solo un plano secante al primero.
III. Si dos planos no son paralelos, entonces son secantes.
A) VFV B) VVV C) FFVD) FVV E) FFF
14. Indique las proposiciones incorrectas. I. Si una recta es perpendicular a una recta
paralela a un plano, entonces dicha recta es paralela al plano.
II. Toda recta contenida en uno de dos planos paralelos es paralela al otro plano.
III. Dos rectas paralelas a un mismo plano siempre determinan un plano.
A) todasB) solo IC) I y IIID) I y IIE) II y III
15. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones y elija la se-cuencia correcta.
I. Si dos planos no se intersecan, entonces son secantes.
II. La interseccin de dos planos secantes es un segmento.
III. Cuatro puntos no colineales determinan a los ms un plano.
A) VFVB) VVVC) FFVD) FVVE) FFF
12
Prctica por Niveles
NIVEL BSICO
1. En el grfico, OP es perpendicular al plano del crculo y PL=5. Calcule OP.
OO33
P
LL
A) 3 B) 4 C) 5D) 8 E) 2
2. Segn el grfico, ABCD y ABEF son cuadrados. Calcule la medida del ngulo determinado por BC y EF.
A
B C
D
E
F
A) 90 B) 75 C) 60D) 53 E) 45
3. En el grfico, ABCD es un cuadrado y AQD es un tringulo equiltero. Calcule la medida del ngulo determinado por AQ y CD.
A B
CD
Q
60
A) 30B) 45C) 53D) 37E) 60
4. Segn el grfico, ABCD es un cuadrado de centro O, OP es perpendicular al plano de di-cho cuadrado y AB=OP. Calcule x. (CM=MD).
MOO
P
B C
DA
x
A) 45 B) 532 C) 37
2
D) 30 E) 60
5. Segn el grfico, G es baricentro de la regin equiltera ABC, AP es perpendicular al plano de dicha regin. Si AB=6 y AP = 3, calcule x.
A
P
B
C
xx
GG
A) 15 B) 30 C) 18
D) 8 E) 372
5
Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822
GeometraGeometra del espacio I
-
13
Anual San Marcos Geometra
6. Segn el grfico, PC es perpendicular al pla-no del rectngulo ABCD, PC=CD=5. Calcule la medida del ngulo entre AP y el plano del rectngulo.
A
BC
D
P
3030
A) 15 B) 16 C) 532
D) 30 E) 372
7. Segn el grfico, GQ es perpendicular al plano de la regin equiltera ABC, cuyo baricentro
es G, BC=12 y GQ = 3 3. Calcule la medida del ngulo entre BQ y el plano de ABC.
A
B
C
Q
G
A) 53B) 37C) 30D) 45E) 60
8. En el grfico, la proyeccin ortogonal de AB sobre el plano P mide 6 u y BN=17. Calcule AB - AM.
A
B
MMPPNN
37
A) 5 B) 4 C) 3D) 2 E) 1
NIVEL INTERMEDIO
9. Determine la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones y elija la secuencia correcta.
I. Si dos rectas forman el mismo ngulo con un mismo plano, sern paralelas.
II. Si dos rectas son perpendiculares a un mis-mo plano, sern paralelas.
III. Un segmento y su proyeccin ortogonal so-bre un plano son de igual longitud.
A) VVF B) VVV C) FVFD) VFV E) FFF
10. En el grfico, PC es perpendicular al plano del cuadrado ABCD cuyo lado mide 4. Calcule la distancia de P al punto medio de AD.
P
B C
DA
5
A) 2 5 B) 2 C) 4D) 5 E) 3 5
Geometra
6
Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822
-
13
Anual San Marcos Geometra
6. Segn el grfico, PC es perpendicular al pla-no del rectngulo ABCD, PC=CD=5. Calcule la medida del ngulo entre AP y el plano del rectngulo.
A
BC
D
P
3030
A) 15 B) 16 C) 532
D) 30 E) 372
7. Segn el grfico, GQ es perpendicular al plano de la regin equiltera ABC, cuyo baricentro
es G, BC=12 y GQ = 3 3. Calcule la medida del ngulo entre BQ y el plano de ABC.
A
B
C
Q
G
A) 53B) 37C) 30D) 45E) 60
8. En el grfico, la proyeccin ortogonal de AB sobre el plano P mide 6 u y BN=17. Calcule AB - AM.
A
B
MMPPNN
37
A) 5 B) 4 C) 3D) 2 E) 1
NIVEL INTERMEDIO
9. Determine la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones y elija la secuencia correcta.
I. Si dos rectas forman el mismo ngulo con un mismo plano, sern paralelas.
II. Si dos rectas son perpendiculares a un mis-mo plano, sern paralelas.
III. Un segmento y su proyeccin ortogonal so-bre un plano son de igual longitud.
A) VVF B) VVV C) FVFD) VFV E) FFF
10. En el grfico, PC es perpendicular al plano del cuadrado ABCD cuyo lado mide 4. Calcule la distancia de P al punto medio de AD.
P
B C
DA
5
A) 2 5 B) 2 C) 4D) 5 E) 3 5
14
Academia ADUNI Material Didctico N.o 6
11. Segn el grfico, ABCD y ABEF son cuadrados de centro O y O1, respectivamente. Calcule la medida del ngulo entre OO1 y BC.
A
C
D
E
F BB
OO
O1O1
120
A) 45 B) 90 C) 60D) 30 E) 37
12. En el grfico, G es baricentro de la regin equi-ltera BEC y O es centro del cuadrado ABCD. Calcule la medida del ngulo entre OG y CD.
GG
OO
E
B C
DA
A) 30 B) 60 C) 532
D) 372
E) 15
NIVEL AVANZADO
13. Segn el grfico, AB=BC y AB est contenido en el plano P. Si la medida del ngulo entre BC y el plano P es de 45, calcule la medida del ngulo entre AC y el plano P.
C
PP
BB
AA
A) 45 B) 37 C) 53D) 60 E) 30
14. Segn el grfico, AB y BC estn contenidos en el plano P, y AD es perpendicular al plano P. Si BC=8 y AD=6, calcule la medida del ngulo entre MN y BC.
m
m
M
D
PP BB
NNnn
nnCCAA
A) 30B) 53C) 37D) 45E) 60
15. En un semicrculo de dimetro AB y radio 5, por B se traza BP perpendicular a su plano y se
ubica Q en el arco AB. Si BP=18 y mBQ = 74, calcule la medida del ngulo entre PQ y el plano del semicrculo.
A) 30 B) 60 C) 532
D) 45 E) 1432
Geometra
7
Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822
-
18
Prctica por Niveles
NIVEL BSICO
1. Si la medida del diedro determinado por los rectngulos congruentes ABCD y CDEF es de 120, y BC=4, calcule AE.
C
D A
B
E
F
A) 8 B) 12 C) 4 3D) 6 3 E) 8 3
2. Segn el grfico, AH=9, HC=4 y BQ=6. Calcu-le la medida del diedro AC.
A
B
C
H
Q
A) 30B) 60C) 45D) 53E) 37
3. En el grfico, los semicrculos estn en planos perpendiculares, m mBQ AP = = 90.
Calcule PQ.
3
A B
P
Q
A) 6 B) 9 C) 6 2D) 4 2 E) 3 2
4. Las regiones triangulares equilteras ABC y BCD determinan un diedro de 106, y AB=10. Calcule AD.
AA
BB
CC
D
A) 4 3 B) 6 3 C) 10D) 20 E) 8 3
5. Segn el grfico, BP es perpendicular al plano del tringulo ABC, AB=15, BC=20 y BP=9. Cal-cule la medida del diedro AC.
A
B
C
P
A) 45 B) 53 C) 60
8
Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822
GeometraGeometra del espacio II
-
18
Prctica por Niveles
NIVEL BSICO
1. Si la medida del diedro determinado por los rectngulos congruentes ABCD y CDEF es de 120, y BC=4, calcule AE.
C
D A
B
E
F
A) 8 B) 12 C) 4 3D) 6 3 E) 8 3
2. Segn el grfico, AH=9, HC=4 y BQ=6. Calcu-le la medida del diedro AC.
A
B
C
H
Q
A) 30B) 60C) 45D) 53E) 37
3. En el grfico, los semicrculos estn en planos perpendiculares, m mBQ AP = = 90.
Calcule PQ.
3
A B
P
Q
A) 6 B) 9 C) 6 2D) 4 2 E) 3 2
4. Las regiones triangulares equilteras ABC y BCD determinan un diedro de 106, y AB=10. Calcule AD.
AA
BB
CC
D
A) 4 3 B) 6 3 C) 10D) 20 E) 8 3
5. Segn el grfico, BP es perpendicular al plano del tringulo ABC, AB=15, BC=20 y BP=9. Cal-cule la medida del diedro AC.
A
B
C
P
A) 45 B) 53 C) 60
19
Anual San Marcos Geometra
D) 37 E) 156. En el grfico, los cuadrados ABCD y CDEF
estn en planos perpendiculares y O es cen-tro de CDEF. Calcule la medida del diedro O - AB - C.
A B
CD
E F
O
A) 30 B) 532 C) 37
2
D) 45 E) 53
7. En el grfico, BP es perpendicular al plano de la regin equiltera ABC, AB=8 y BP = 3 3. Calcule la distancia de P a AC.
P
BB
AA
CC
A) 4 B) 8 C) 5 2D) 5 3 E) 4 3
8. Indique verdadero (V) o falso (F) segn co-rresponda y elija la secuencia correcta.
I. Dos planos son perpendiculares si su die-dro mide 90.
II. Si L L
1 2y son perpendiculares a L
3, en-tonces L
1 // L
2. III. El ngulo diedro se determina trazando,
en cada plano, rectas perpendiculares a la
arista de dicho diedro.A) VFF B) VVF C) VVVD) VFV E) FFF
NIVEL INTERMEDIO
9. Segn el grfico, BF es perpendicular al plano ABCD; AB=BC=BF=6 y M es punto medio de CD. Halle el rea de la regin sombreada.
F
M
A
B C
D
A) 9 2 B) 36 C) 12 3D) 9 E) 18 2
10. Segn el grfico, GP es perpendicular al plano de la regin equiltera ABC cuyo baricentro es G. Si AC PG= ( ) =3 6 3, calcule la medida del diedro AB.
A
B
C
GG
P
A) 1272 B)
1432
C) 30
Geometra
9
Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N 822
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20
Academia ADUNI Material Didctico N.o 6
D) 60 E) 4511. Segn el grfico, AF es perpendicular al pla-
no del semicrculo, AB=AF=6 y m mMB MA = . Calcule el rea de la regin BFM.
A
B
F
M
A) 6 3 B) 9 2 C) 9 3D) 6 2 E) 12
12. Segn el grfico, AP es perpendicular al plano del cuadrado ABCD y CD=4. Calcule el rea de la regin PDC.
A B
CD
P
37
A) 2 B) 4 C) 6D) 8 E) 10
NIVEL AVANZADO
13. Por el extremo A del dimetro AB de una cir-cunferencia, se traza AM perpendicular al pla-no de la circunferencia y se ubica un punto C en la circunferencia. Calcule MC si MB=26 y BC=14.