Fundamente der Computational Intelligence(Vorlesung)Prof. Dr. Gnter RudolphFachbereich InformatikLehrstuhl fr Algorithm EngineeringWintersemester 2005/06

Kapitel 2: Fuzzy SystemeInhalt Fuzzy Mengen Fuzzy Relationen Fuzzy Logik Approximatives Schlieen (Teil 1) heute

Fuzzy LogikLinguistische Variable:Sprachlicher Begriff, der verschiedene Werte annehmen kannBsp: Farbe kann Werte rot, grn, blau, gelb, annehmen

Die Werte (rot, grn, ) heien linguistische Terme

Den linguistischen Termen werden Fuzzy-Mengen zugeordnet

Fuzzy LogikUnscharfe Aussage (fuzzy proposition)p: Temperatur ist hochLinguistische Variable (LV)Linguistischer Term (LT) LV kann verschiedene LT zugeordnet werden: hoch, mittel, tief, hohe, mittlere, tiefe Temperatur sind Fuzzy-Mengen ber der scharfen Temperaturskala Wahrheitsgrad der unscharfen Aussage Temperatur ist hoch wird fr konkreten scharfen Temperaturwert v als gleich dem Zugehrigkeitsgrad hoch(v) der Fuzzy-Menge hoch interpretiert

Fuzzy LogikUnscharfe Aussage (fuzzy proposition)p: V ist FLinguistische Variable (LV)Linguistischer Term (LT)eigentlich steht da:p: V ist F(v)

undT(p) = F(v) fr einen konkreten scharfen Wert vtruth(p)schafft Verbindung zwischen Zugehrigkeitsgrad einer Fuzzy-Menge und Wahrheitsgrad einer Aussage

Fuzzy LogikUnscharfe Aussage (fuzzy proposition)p: IF Heizung ist hei, THEN Energieverbrauch ist hochhier wird eine Beziehung / Relation zwischenTemperatur der Heizung und Menge des Energieverbrauchesausgedrckt:

Fuzzy LogikUnscharfe Aussage (fuzzy proposition)p: IF X ist A, THEN Y ist BWie knnen wir hier den Grad der Wahrheit T(p) angeben?Fr konkrete scharfe Werte x, y kennen wir A(x) und B(x)A(x) und B(x) mssen durch Relation R zu einem Wert verarbeitet werdenR( x, y ) = Funktion( A(x), B(x) ) ist Fuzzy-Menge ber X Ywie zuvor: interpretiere T(p) als Zugehrigkeitsgrad R(x,y)

Fuzzy LogikUnscharfe Aussage (fuzzy proposition)p: IF X ist A, THEN Y ist BA ist Fuzzy-Menge ber X B ist Fuzzy-Menge ber YR ist Fuzzy-Menge ber X Y8 (x,y) X Y: R(x, y) = Imp( A(x), B(y) )Was ist Imp(, ) ? geeignete Fuzzy-Implikation [0,1] [0,1] [0,1]

Fuzzy LogikAnnahme: Wir kennen geeignetes Imp(a,b).Wie berechnet man den Wahrheitsgrad T(p) ?Beispiel:Sei Imp(a, b) = min{ 1, 1 a + b } und gegeben seien Fuzzy-MengenA:B: z.B. R(x2, y1) = Imp(A(x2), B(y1)) = Imp(0.8, 0.5) = min{1.0, 0.7 } = 0.7 und T(p) fr (x2,y1) ist R(x2, y1) = 0.7

x1x2x30.10.81.0

y1y20.51.0

Rx1x2x3y11.00.70.5y21.01.01.0

Fuzzy LogikInferenz aus unscharfen Aussagen Sei 8x, y: y = f(x). IF X = x THEN Y = f(x) IF X A THEN Y B = { y Y: y = f(x), x A }

Fuzzy LogikInferenz aus unscharfen Aussagen Sei Beziehung zw. x und y eine Relation R auf X Y IF X = x THEN Y B = { y Y: (x, y) R } IF X A THEN Y B = { y Y: (x, y) R, x A }

Fuzzy LogikInferenz aus unscharfen AussagenIF X A THEN Y B = { y Y: (x, y) R, x A }Auch ausdrckbar ber charakt. Fkt. Der Mengen A, B, R:8y Y: B(y) = supxX min { A(x), R(x, y) }Jetzt: A, B unscharfe Mengen ber X bzw. Y Wenn R und A gegeben:8y Y: B(y) = supxX min { A(x), R(x, y) }Kompositionsregel der Inferenz (in Matrixform): B = A R

Fuzzy LogikInferenz aus unscharfen Aussagen klassisch: Modus ponens

fuzzy: Generalisierter modus ponens (GMP)

Fuzzy LogikBeispiel: GMPGegeben sei

mit der Regel: IF X is A THEN Y ist BA:B: Fr den Fakt A:mit Imp(a,b) = min{1, 1-a+b }Also: A R = Bmit max-min-Komposition

x1x2x30.51.00.6

y1y21.00.4

Rx1x2x3y11.01.01.0y20.90.40.8

x1x2x30.60.90.7

Fuzzy LogikInferenz aus unscharfen Aussagen klassisch: Modus trollens

fuzzy: Generalisierter modus ponens (GMP)

Fuzzy LogikBeispiel: GMTGegeben sei

mit der Regel: IF X is A THEN Y ist BA:B: Fr den Fakt B:mit Imp(a,b) = min{1, 1-a+b }Also: B R-1 = Amit max-min-Komposition

x1x2x30.51.00.6

y1y21.00.4

Rx1x2x3y11.01.01.0y20.90.40.8

y1y20.90.7

Fuzzy LogikInferenz aus unscharfen Aussagen klassisch: Hypothetischer Syllogismus

fuzzy: Generalisierter HS

Fuzzy LogikBeispiel: GHSFuzzy-Mengen A(x), B(x), C(x) sind gegeben.

daraus lassen sich die 3 Relationen R1(x,y) = Imp(A(x),B(x)) R2(y,z) = Imp(B(x),C(x)) R3(x,z) = Imp(A(x),C(x)) berechnen und als Matrizen R1, R2, R3 angeben.Wir sagen:Der GHS gilt, wenn R1 R2 = R3

Fuzzy LogikWie lassen sich unscharfe boolesche Ausdrcke berechnen?Forderung: Fr a,b { 0, 1 } kompatibel zur scharfen Version (und mehr).

aba bt(a,b)0000010010001111

aba bs(a,b)0000011110111111

aac(a)011100

Fuzzy LogikFuzzy: Imp(a, b) = s( c(a), b)Fuzzy: Imp(a, b) = s( c(a), t(a, b) )(duale Tripel ?)

Fuzzy LogikBeispiele: S-ImplikationenImp(a, b) = s( cs(a), b)Kleene-Dienes-Implikation s(a, b) = max{ a, b } (Std.)Imp(a,b) = max{ 1-a, b } Reichenbach-Implikation s(a, b) = a + b ab (alg. S.)Imp(a, b) = 1 a + ab Lukasiewicz-Implikation s(a, b) = min{ 1, a + b } (beschr. S.)Imp(a, b) = min{ 1, 1 a + b }

Fuzzy LogikBeispiele: R-ImplikationenImp(a, b) = max{ x [0,1] : t(a, x) b }Gdel-Implikation t(a, b) = min{ a, b } (Std.)Imp(a, b) = Goguen-Implikation t(a, b) = ab (alg. P.)Imp(a, b) = Lukasiewicz-Implikation t(a, b) = max{ 0, a + b 1 } (beschr. D.)Imp(a, b) = min{ 1, 1 a + b }

Fuzzy LogikBeispiele: QL-ImplikationenImp(a, b) = s( c(a), t(a, b) )Zadeh-Implikation t(a, b) = min { a, b } (Std.) Imp(a, b) = max{ 1 a, min{a, b} } s(a,b) = max{ a, b } (Std.) NN-Implikation (Klir/Yuan 1994) t(a, b) = ab (alg. P.) Imp(a, b) = 1 a + a2b s(a,b) = a + b ab (alg. S.) Kleene-Dienes-Implikation t(a, b) = max{ 0, a + b 1 } (beschr. D.) Imp(a, b) = max{ 1-a, b } s(a,b) = min { 1, a + b) (beschr. S.)

Fuzzy LogikAxiome fr unscharfe Implikationena b impliziert Imp(a, x) Imp(b, x)Monotonie im 1. Argumenta b impliziert Imp(x, a) Imp(x, b)Monotonie im 2. ArgumentImp(0, a) = 1Dominanz der UnrichtigkeitImp(1, b) = bNeutralitt der RichtigkeitImp(a, a) = 1IdentittImp(a, Imp(b, x) ) = Imp(b, Imp(a, x) )Austausch-EigenschaftImp(a, b) = 1 gdw. a bRandbedingungImp(a, b) = Imp( c(b), c(a) )KontrapositionImp(, ) ist stetigStetigkeit

Fuzzy LogikCharakterisierung der unscharfen ImplikationenSatz: Imp: [0,1] [0,1] [0,1] erfllt Axiome 1-9 fr unscharfe Implikationen fr ein gewisses unscharfes Komplement c() , str. m. w., stetige Fkt. F: [0,1] [0, 1) mit f(0) = 0 8a, b [0,1]: Imp(a, b) = f(-1)( f(1) f(a) + f(b) ) 8a [0,1]: c(a) = f -1( f(1) f(a) )Beweis: Smets & Magrez (1987).Beispiele: (bung)

Fuzzy LogikAuswahl einer geeigneten unscharfen ImplikationZitat: (Klir & Yuan 1995, S. 312)To select an appropriate fuzzy implication for approximate reasoning under each particular situation is a difficult problem.Richtschnur: GMP, GMT, GHS sollten mit MP, MT, HS kompatibel sein fr unscharfe Implikation bei Berechnung von Relationen: B(y) = sup { t( A(x), Imp( A(x), B(y) ) ) : x X }Beispiel: Gdel-Imp. fr t = beschr. Diff.

Fuzzy LogikApproximatives Schlieen mit multiplen RegelnFITA: First inference, then aggregation.1. Berechne Relationen fr alle Regeln2. Berechne Wgrade fr Eingabe A3. Schliee auf B