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Espacio métrico
2º Bachillerato
Ángulo entre dos rectas
cos (∧
r , s) = | cos ∧
(→u ,→v ) | =
|→ur . →us |
|→ur |.|→us |
Definición: Es el menor de los ángulos que forman sus vectores direccionales.
cos (∧
r , s) = cos ∧
(→ur ,→us ) cos (
∧r , s) = – cos
∧(
→ur ,
→us )
Ángulo entre dos rectas: expresión analítica. Condiciones de perpendicularidad y paralelismo
Sean r: c
zz
b
yy
a
xx 111 −=−=− y s: ''' c
zz
b
yy
a
xx 222 −=−=− dos rectas
cualesquiera. Entonces:
cos ( ∧r , s) = |aa' + bb' + cc'|
a2 + b2 + c2 a'2 + b'2 + c'2
r ⊥ s ⇔ ru
· su = 0 ⇔ a a' + b b' + c c' = 0
Condición de perpendicularidad
Condición de paralelismo
''' orc.//
c
c
b
b
a
aupropusr sr ==⇔⇔
Ángulo entre dos planos
Definición: El ángulo de dos planos secantes a y b es el menor de los ángulos diedros que determinan. Su medida coincide con el ángulo rectilíneo formado por dos rectas perpendiculares a la arista en un punto cualquiera.
cos (∧α , β) = cos
∧(→nα , →nβ)
cos (∧α , β) = | cos
∧(→nα , →nβ) | =
|→nα . →nβ|
|→nα| . |→nβ|
cos (∧α , β) = – cos
∧(→nα , →nβ)
Ángulo de dos planos: expresión analítica. Condiciones de perpendicularidad
Si a y b son dos planos cualesquiera a: Ax + By + Cz + D = 0 y b: A'x + B'y + C'z + D' = 0. Entonces:
cos (∧
α , β) = |AA' + BB' + CC'|
A2 + B2 + C2 A'2 + B'2 + C'2
α ⊥ β ⇔ →nα .
→nβ = 0 ⇔ A A' + B B' + C C' = 0
Condiciones de perpendicularidad
Ángulo entre recta y plano
Definición: El ángulo de una recta r y un plano a es igual al ángulo que forma la recta r con la proyección ortogonal, r', de r sobre a.
sen (∧
r , α) = | cos ∧
(→ur ,
→nα) | =
|→ur .
→nα|
|→ur | . |
→nα|
sen (∧
r , α) = cos ∧
(→ur , →nα) sen (∧
r , α) = cos ∧
(–→ur , →nα) = | cos ∧
(→ur , →nα) |
Ángulo entre recta y plano: expresión analítica. Condiciones de perpendicularidad y paralelismo
Sean r: x – x1
a = y – y1
b = z – z1
c y α: Ax + By + Cz + D = 0. Entonces:
cos (∧
r , α) = |aA + bB + cC|
a2 + b2 + c2 A2 + B2 + C2
r ⊥ α ⇔ →ur || →nα ⇔
aA =
bB =
cC
r || α ⇔ →ur . →nα = 0 ⇔ a A + bB + cC = 0
Condiciones de perpendicularidad
Condiciones de paralelismo
Proyección ortogonal
1 Punto sobre plano 2 Recta sobre plano
P no pertenece π
P pertenece π r incluida π
r no incluida π
Distancia entre dos puntos
→b
• B(x2, y2, z2)
→a
•
A(x1, y1, z1)
d (A, B) = |→AB| = (x2 – x1)
2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)
2
→AB = (x2 – x1 , y2 – y1, z2 – z1)
→a +
→AB =
→b
→AB =
→b –
→a
= 0
→ → → → → →ΑαP • nα = AαQ • nα + QP • nα
d (P, α) = d(P, Q) = |→QP| =
Distancia entre punto y plano
Dado P (un punto) y α (un plano), se define la distancia punto-plano, d(P, α), como la longitud del segmento PQ, en donde Q es la proyección ortogonal de P sobre el plano.
Según la definición anterior: d(P, α) = d(P, Q)→
AαP = →
AαQ + →QP
|→
AαP • →nα|
|→nα|
=|Ax1 + By1 + Cz1 + D|
A2 + B2 + C2
Distancia entre dos planos paralelos
La distancia entre dos planos paralelos es igual a la distancia de un punto cualquiera de un plano al otro plano.
d(α, β) = d(Pα, β) = d(Pβ, α)
d (P, r) = d(P, Q) = |→QP| =
|→
ArP x →ur |
|→ur |
=
= 0→
→ΑrP x
→ur =
→ArQ x
→ur +
→QP x
→ur
|(x1 – xo, y1 – yo, z1 – zo) x (a, b, c)||(a, b, c)|
Distancia entre punto y recta
Dado P (un punto) y r (una recta), se define la distancia punto recta, d(P, r), como la longitud del segmento PQ, en donde Q es la proyección ortogonal de Q sobre la recta.
→ArP =
→ArQ +
→QP
(a, b, c)
(xo , y
o , zo )
(x1, y1, z1)Según la definición anterior: d(P, r) = d(P, Q)
Distancia entre dos rectas paralelas
La distancia entre dos rectas paralelas es igual a la distancia de un punto cualquiera de una de ellas a la otra.
d(r, s) = d(Pr, s) = d(Qs, r)
s
Distancia entre dos rectas que se cruzan
La distancia entre dos rectas r y s que se cruzan es la existente entre el plano paralelo a r que pasa por s y el plano paralelo a s que pasa por r.
• d(r, s) = d(As, α)=d(Ar, β)
d (P, α) = |→
AαP • →nα|
|→nα|
• Como sabemos que
Tomamos Aα = Ar ; P = As ; →nα = →ur x →us•
Partiendo de la figura
Y nos quedará:
d (r, s) = d(As, α)| = | →
ArAs . ( →ur x →us ) |
|→ur x →us |
= | det (→
ArAs, →ur , →us ) |
|→ur x →us |
Esto nos da la altura del paralelepípedo (volumen/ área)
Perpendicular común (I)
La perpendicular común a dos rectas no paralelas es la recta que corta ortogonalmente a cada una de ellas.
r
s
us
→
ur
→• Ar
• As
α
β ur x us→→
p• La recta p, perpendicular
común, queda determinada por el corte de los planos α y β.
• Se observa queα (Αr, ur, ur x us)
β (Αs, us, ur x us)
→ → →
→ → →
Por lo tanto p: det(
→ArX,
→ur ,→ur x→us ) = 0
det(→
AsX,→us ,→ur x→us ) = 0
Perpendicular común (II)
s
r
p
us
vr
Ps
Pr
La distancia entre las dos rectas, viene dada por la distancia entre los puntos Pr y Ps situados uno sobre dada una de las rectas y en la perpendicular común
El punto Pr tendrá por coordenadas genéricas las correspondientes a las ecuaciones paramétricas de la recta: Pr = (x1 + t u1, y1 + t u2, z1 + t u3)
Análogamente las coordenadas del punto de s serán: Ps = (x2 + t v1, y2 +t v2, z2 + t v3)
El vector PrP2 es ortogonal a los vectores u y v, luego
=
=
0u·PP
0u·PP
ssr
rsr
Se obtiene así un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas t y s que permiten conocer los puntos y luego su distancia.
A partir de ellos se puede escribir la ecuación de la perpendicular común.
Áreas de paralelogramos y triángulos
S(ABCD) = | AB x AC |→ →
→S(ABC) = |AB x AC|
→12
Paralelogramos
Triángulos
Volumen de paralelepípedos y tetraedros
Paralelepípedo
Tetraedro Por ser una pirámide: V = (1/3) · base · altura
→Altura = h = |AD| cos(AD, h)
→ →Por tanto:
12
Base = S(ABC) = |AB x AC|→ →
V = |det (AB, AC, AD)|→ → →
→V= |AD · (AB x AC)| = |det (AB, AC, AD)|1
6→ → → → →1
6