Matematika emelt szint rettsgi tmakrk2015

sszelltotta:Kovcsn Nmeth Sarolta

(gimnziumi tanr)

2Tjkoztat vizsgzknak

Tisztelt Vizsgz!A szbeli vizsgn a ttel cmben megjellt tma kifejtst s a kitztt feladat megoldstvrjk el a vizsgzktl.

A ttel cmben megjellt tmt logikusan, arnyosan felptett, szabad eladsban,nllan kell kifejteni.Ehhez a felkszlsi id alatt clszer vzlatot kszteni. Ebben tervezze meg a cmbenmegjellt tmakr(k)hz tartoz ismeretanyag rvid ttekintst, dolgozza ki azokat arszeket, amelyeket rszletesen kifejt, oldja meg a feladatot. A vizsgz a vzlatt feleletekzben hasznlhatja.

A feleletben felttlenl szerepelnik kell az albbi rszleteknek: egy, a tmhoz tartoz, a vizsgz vlasztsa szerinti definci pontos kimondsa; egy, a tmhoz tartoz, a vizsgz vlasztsa szerinti ttel pontos kimondsa s bizonytsa; a kitztt feladat megoldsa; a tma matematikn belli vagy azon kvli alkalmazsa (tbb alkalmazs felsorolsa, vagy

egy rszletesebb kifejtse).

Ha a ttelhez tartoz kitztt feladat bizonytst ignyel, akkor ennek a megoldsa nemhelyettesti a tmakrhz tartoz ttel kimondst s bizonytst.Vizsgznknt szksges segdeszkz a ttelsorban szerepl feladatokhoz kapcsoldsszefggseket tartalmaz, a ttelcmekkel egytt nyilvnossgra hozott kplettr, tovbbszveges adatok trolsra s megjelentsre nem alkalmas zsebszmolgp.A ttelt a vizsgznak nllan kell kifejtenie. Kzbekrdezni csak akkor lehet, ha teljesenhelytelenl indult el, vagy nyilvnval, hogy elakadt.

rtkelsA szbeli vizsgn elrhet pontszm 35. Az rtkels kzponti rtkelsi tmutat alapjntrtnik.

Az rtkelsi szempontok:

A felelet tartalmi sszettele, felptsnek szerkezete 10 pontA feleletben szerepl, a tmhoz ill definci helyes kimondsa 2 pontA feleletben szerepl, a tmhoz ill ttel helyes kimondsa s bizonytsa 6 pontA kitztt feladat helyes megoldsa 8 pontHa a felel a feladatot csak a vizsgztat segtsgvel tudja elkezdeni, akkor maximum5 pont adhat.Alkalmazsok ismertetse 4 pontEgy odaill alkalmazs megemltse 1 pont, ennek rszletezse, vagy tovbbi 2-3 l-nyegesen eltr alkalmazs emltse tovbbi 3 pont.Matematikai nyelvhasznlat, kommunikcis kszsg 5 pont

3Matematika emelt szint szbeli vizsga tmakrei(ttelek) 2015.

1. Halmazok, halmazmveletek. Nevezetes ponthalmazok a skban s a trben. ................. 4

2. Vals szmok halmaza s rszhalmazai. Vges s vgtelen halmazok szmossga.Szmelmleti alapfogalmak s ttelek. ............................................................................. 11

3. A matematikai logika elemei. Logikai mveletek. llts s megfordtsa, szksges selgsges felttel. .............................................................................................................. 16

4. Hatvnyozs, hatvnyfogalom kiterjesztse, a hatvnyozs azonossgai.Az n-edik gyk fogalma. A ngyzetgyk azonossgai. Hatvnyfggvnyek sa ngyzetgykfggvny. ................................................................................................... 20

5. A logaritmus fogalma s azonossgai. Az exponencilis s a logaritmusfggvny. ........ 28

6. Egyenletmegoldsi mdszerek, ekvivalencia, gykveszts, hamis gyk.Msodfok s msodfokra visszavezethet egyenletek. ................................................. 32

7. Adatsokasg, a ler statisztika jellemzi, diagramok. Nevezetes kzepek. ..................... 37

8. Szmsorozatok s tulajdonsgaik (korltossg, monotonits, konvergencia).Nevezetes szmsorozatok, vgtelen mrtani sor. .............................................................. 42

9. Fggvnyek loklis s globlis tulajdonsgai. A differencilszmts s alkalmazsai. .. 47

10. A hasonlsg fogalma s alkalmazsai hromszgekre vonatkoz ttelekbizonytsban. ................................................................................................................. 53

11. Derkszg hromszgek. A hegyesszgek szgfggvnyei. A szgfggvnyekltalnostsa. .................................................................................................................... 58

12. Hromszgek nevezetes vonalai, pontjai s krei. ............................................................ 66

13. sszefggsek az ltalnos hromszgek oldalai kztt, szgei kztt, oldalai s szgeikztt. ............................................................................................................................... 71

14. Hrngyszgek, rintngyszgek, szimmetrikus ngyszgek. ....................................... 74

15. Egybevgsgi transzformcik. Konvex sokszgek tulajdonsgai, szimmetrikussokszgek. ......................................................................................................................... 79

16. A kr s rszei, kr s egyenes klcsns helyzete (elemi geometriai trgyalsban).Kerleti szg, kzpponti szg, ltszg. ......................................................................... 84

17. Vektorok, vektormveletek. Vektorfelbontsi ttel. Vektorok koordinti.Skalris szorzat. ................................................................................................................ 90

18. Szakaszok s egyenesek a koordintaskon. A lineris fggvnyek grafikonja saz egyenes. ........................................................................................................................ 95

19. A kr s a parabola a koordintaskon. Kr s egyenes, parabola s egyenes klcsnshelyzete. Msodfok egyenltlensgek grafikus megoldsa. ........................................... 100

20. Trelemek tvolsga s szge. Trbeli alakzatok. Felszn- s trfogatszmts. .............. 107

21. A terlet fogalma. Terletszmts elemi ton s az integrlszmts felhasznlsval. . 114

22. Kombinatorika. Binomilis ttel. Grfok. ......................................................................... 120

23. A valsznsg-szmts elemei. A valsznsg kiszmtsnak kombinatorikusmodellje. Nevezetes eloszlsok (binomilis, hipergeometrikus). ...................................... 126

24. Bizonytsi mdszerek s bemutatsuk ttelek bizonytsban. ....................................... 130

41. Halmazok, halmazmveletek.Nevezetes ponthalmazok a skban s a trben.

Vzlat:I. Halmazok, rszhalmazok

n elem halmaz rszhalmazainak szmaII. Halmazmveletek (komplementer, uni, metszet, klnbsg, Descartes-szorzat), mveletek

tulajdonsgaiIII. Nevezetes ponthalmazok: kr (gmb), prhuzamos egyenespr (hengerfellet), szakaszfelez

merleges egyenes (sk), kzpprhuzamos, szgfelez, parabolaIV. Egyb ponthalmazok: ellipszis, hiperbola, 3 ponttl, illetve 3 egyenestl egyenl tvolgra

lv pontok, ltkrvV. Alkalmazsok

Bevezets:A halmazelmlet a matematikn bell viszonylag j terletnek szmt, precz kidolgozsra csaka XIX. szzad vgn kerlt sor. Ahhoz, hogy a halmazelmlet nll tudomnygg vljon, annaka felismerse kellett, hogy a matematika minden ga klnbz halmazokkal foglalkozik.

Kidolgozs:

I. Halmazok, rszhalmazok

A halmaz s a halmaz eleme alapfogalom, ezeket a kifejezseket nem definiljuk. De a halmazmegadsnak szigor kvetelmnye van: egy halmazt gy kell megadnunk, hogy minden szbajhet dologrl egyrtelmen eldnthet legyen, hogy az adott halmazhoz tartozik vagy sem.A halmazokat nyomtatott nagybetvel, a halmaz elemeit kisbetvel jelljk a kvetkez mdon:A = {a; b; c}, ebben az esetben a A, x A.

Halmaz megadsi mdjai:

Elemeinek felsorolsval: A = {0; 2; 4; 6} Az elemeit egyrtelmen meghatroz utastssal: B = {egyjegy pratlan szmok} Szimblumokkal: A = {xx2 - x - 6 = 0}, B = {xx2 > 9} Venn-diagrammal:

A

1

2

DEFINCI: Kt halmaz egyenl, ha ugyanazokat az elemeket tartalmazzk.

DEFINCI: Az elem nlkli halmazt res halmaznak nevezzk.Jele: { } vagy .

DEFINCI: Az A halmaz rszhalmaza a B halmaznak, ha A minden eleme a B halmaznak is eleme.Jele: A B.

5DEFINCI: Az A halmaz valdi rszhalmaza a B halmaznak, ha A rszhalmaza a B-nek, de nemegyenl vele.Jele: A B.

Tulajdonsgok: Az res halmaz minden halmaznak rszhalmaza: A. Minden halmaz nmaga rszhalmaza: A A. Ha A B s B A, akkor A = B. Ha A B s B C, akkor A C.

TTEL: Az n elem halmaz sszes rszhalmazainak szma: 2n (n N).

BIZONYTS I.: A bizonytst teljes indukcival vgezzk, amelynek lnyege, hogy elszr belt-juk egy konkrt n esetre az lltst, majd azt mutatjuk meg, ha az llts igaz egy tetszlegesn-re, akkor igaz az t kvet (n + 1)-re is, azaz bizonytjuk az llts rkldst.Az res halmaznak egyetlen rszhalmaza van: nmaga (20 = 1).Egy egyelem halmaznak 2 rszhalmaza van: az res halmaz s nmaga (21 = 2).Egy ktelem halmaznak 4 rszhalmaza van: az res halmaz, 2 egyelem halmaz s nmaga(22 = 4).Tegyk fel, hogy egy k elem halmaznak 2k db rszhalmaza van. Bizonytani kell, hogy ezrkldik, vagyis egy (k + 1) elem halmaznak 2k + 1 db rszhalmaza van.Tekintsk az elbbi k elem halmazt. Ekkor ha az eddigi elemek mell egy (k + 1)-edik ele-met tesznk a halmazba, akkor ezzel megktszerezzk a lehetsges rszhalmazok szmt, hi-szen az j elemet vagy kivlasztjuk az eddigi rszhalmazokba, vagy nem. Vagyis a (k + 1)elem halmaz rszhalmazainak szma 2 2k = 2k + 1, amit bizonytani kvntunk.

BIZONYTS II.: Az n elem halmaznak 0n db 0 elem, 1

n db 1 elem, 2n db 2 elem,

1n

n db n - 1 elem,

nn

db n elem rszhalmaza van, mert n elembl k db-ot kivlasztanink

-flekppen lehet.

gy az sszes rszhalmazok szma: + + + + + ...0 1 2 1n n n n n

n n.

Vizsgljuk meg n2 -t:

( ) 0 1 1 2 2 1 1 02 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 10 1 2 1nn n n n n nn n n n nn n = + = + + + + + , amiegyenl + + + + + ...0 1 2 1

n n n n nn n

-nel a binomilis ttel miatt.

II. Halmazmveletek

DEFINCI: Azt a halmazt, amelynek a vizsglt halmazok rszhalmazai, alaphalmaznak vagyuniverzumnak nevezzk. Jele: U vagy H.

DEFINCI: Egy A halmaz komplementer halmaznak az alaphalmaz azon elemeinek halmazt

nevezzk, amelyek az A halmaznak nem elemei. Jele: A . (Fontos tulajdonsg: =A A .)DEFINCI: Kt vagy tbb halmaz unija vagy egyestse mindazon elemek halmaza, amelyek

legalbb az egyik halmaznak elemei. Jele: .

6DEFINCI: Kt vagy tbb halmaz metszete vagy kzs rsze pontosan azoknak az elemekneka halmaza, amelyek mindegyik halmaznak elemei. Jele: .

DEFINCI: Kt halmaz diszjunkt, ha nincs kzs elemk, vagyis a metszetk res halmaz.A B = .

DEFINCI: Az A s B halmaz klnbsge az A halmaz mindazon elemeinek halmaza, amelyeka B halmaznak nem elemei. Jele: A \ B.

DEFINCI: Az A s B halmaz Descartes-fle szorzata az a halmaz, amelynek elemei az sszesolyan rendezett (a; b) pr, amelynl a A s b B. Jele: A B.

U

A

AU U

A B

A

B U

A B

Komplementer halmaz Kt halmaz unija Kt halmaz metszete

U

BA

U

A B

Diszjunkt halmazok A s B halmaz A \ B klnbsge

Halmazmveletek tulajdonsgai

Kommutatv(felcserlhet)

A B = B A A B = B A

Asszociatv(csoportosthat)

(A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C)

Disztributv(szttagolhat)

A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)

De-Morgan azonos-sgok A B A B = s A B A B = Tovbbi azonoss-gok

A = AA A = AA A = UA U = U

=A A

A = A A = A

A A = A U = A

III. Nevezetes ponthalmazok a skban s a trben

DEFINCI: Azoknak a pontoknak a halmaza a skon, amelyek a sk egy adott O pontjtl adottr tvolsgra vannak, egy O kzppont, r sugar kr.

DEFINCI: Azoknak a pontoknak a halmaza a trben, amelyek a tr adott O pontjtl adott r t-volsgra vannak, egy O kzppont, r sugar gmb.

DEFINCI: Adott egyenestl adott tvolsgra lv pontok halmaza a skon az egyenessel prhu-zamos egyenespr.

7DEFINCI: Adott egyenestl adott tvolsgra lv pontok halmaza a trben olyan hengerfellet,amelynek tengelye az adott egyenes.

DEFINCI: Kt ponttl egyenl tvolsgra lv pontok halmaza a skban a szakasz felez-mer-leges egyenese.

P

Q

A F B

DEFINCI: Kt ponttl egyenl tvolsgra lv pontok halmaza a trben a szakasz felezmerle-ges skja.

A

B

F

DEFINCI: Kt prhuzamos egyenestl egyenl tvolsgra lv pontok halmaza a skban olyanegyenes, amely a kt adott egyenessel prhuzamos s tvolsgukat felezi (kzpprhuza-mos).

DEFINCI: Kt metsz egyenestl egyenl tvolsgra lv pontok halmaza az ltaluk bezrt sz-gek szgfelez egyenesei. Kt ilyen egyenes van, ezek merlegesek egymsra.

e

f

DEFINCI: Egy egyenestl s egy rajta kvl lv ponttl egyenl tvolsgra lv pontok halmazaa skon: a parabola.Az adott pont a parabola fkuszpontja, az adott egyenes a parabola vezregyenese (direktrixe),a pont s az egyenes tvolsga a parabola paramtere.

d

t

P

F

Tp

IV. Egyb ponthalmazok

DEFINCI: Azoknak a pontoknak a halmaza a skon, amelyeknek a sk kt klnbz adott pont-jtl mrt tvolsgsszege az adott pontok tvolsgnl nagyobb lland: ellipszis.

8A kt adott pont (F1 s F2) az ellipszis fkuszpontjai. Az adott tvolsg az ellipszis nagyten-gelye, az F1F2 szakasz felezmerlegesnek az ellipszis tartomnyba es szakasza az ellip-szis kistengelye.

DEFINCI: Azoknak a pontoknak a halmaza a skon, amelyeknek a sk kt klnbz adott pont-jtl mrt tvolsgklnbsgnek abszolt rtke a kt adott pont tvolsgnl kisebb llan-d: hiperbola.A kt adott pont (F1 s F2) a hiperbola fkuszpontjai, az adott tvolsg a hiperbola ftengelye.

TTEL: Hrom adott ponttl egyenl tvolsgra lv pontok halmaza a skon egy pont (ha a 3 pontnem esik egy egyenesre), vagy res halmaz (ha a 3 pont egy egyenesre esik).

C

A B

K

A B C

TTEL: A hromszg hrom oldalfelez merlegese egy pontban metszi egymst.

BIZONYTS: Tekintsk az ABC hromszg AB s BC oldalnak oldalfelez merlegest. Ezek azegyenesek metszik egymst, mert a hromszg oldalai nem lehetnek prhuzamosak egyms-sal. Jelljk a kt oldalfelez merleges metszspontjt M-mel. Ekkor M pont egyenl tvol-sgra van A s B cscsoktl (mert M illeszkedik AB szakaszfelez merlegesre), illetve B sC cscsoktl (mert M illeszkedik BC szakaszfelez merlegesre). Ebbl kvetkezik, hogyM egyenl tvolsgra van A s C cscsoktl, teht M-n thalad AC oldalfelez merlegese.Teht a hrom oldalfelez merleges egy pontban metszi egymst.

A

B

C

M

fAB

fBC

TTEL: A hromszg oldalfelez merlegeseinek metszspontja a hromszg kr rt kr k-zppontja.

BIZONYTS: Az elbbi bizonyts szerint M egyenl tvolsgra van A-tl, B-tl s C-tl. Legyenez a tvolsg MA = MB = MC = r. Ekkor A, B s C pontok r tvolsgra vannak M-tl, azazilleszkednek egy M kzppont, r sugar krre.A hromszg kr rt kr kzppontja hegyesszg hromszg esetn a hromszgn bell,derkszg hromszg esetn az tfog felezpontjba, tompaszg hromszg esetn a h-romszgn kvlre esik.

9OO

O

TTEL: Hrom adott ponttl egyenl tvolsgra lv pontok halmaza a trben egy olyan egyenes,amely thalad a hrom pont, mint hromszg kr rhat kr kzppontjn, s merlegesa 3 pont skjra (ha a 3 pont nem esik egy egyenesbe), vagy res halmaz (ha a 3 pont egyegyenesbe esik).

TTEL: Hrom egyenestl egyenl tvolsgra lv pontok halmaza a skon: Ha a 3 egyenes prhuzamos, akkor res halmaz. Ha 2 egyenes prhuzamos (e f), egy pedig metszi ket (g), akkor a 2 prhuzamos egyenes

kzpprhuzamosn kt olyan pont, amelyek illeszkednek kt metsz egyenes (pl. e s g)szgfelezire.

e

g

f

M1 M2

Ha a 3 egyenes 3 klnbz pontban metszi egymst, akkor szgfelez egyeneseik met-szspontjai. 4 ilyen pont van, az egyik a hromszg bert krnek, 3 pedig a hromszghozzrt kreinek kzppontja.

OO1

O2

O3

Ha a 3 egyenes egy pontban metszi egymst, akkor egyetlen pont, a 3 egyenes metszs-pontja.

e

gf

M

10

DEFINCI: Azoknak a pontoknak a halmaza a skon, amelyekbl egy adott szakasz adott szgben(0 < a < 180) ltszik kt, a szakasz egyenesre szimmetrikusan elhelyezked krv (lt-krvek).

O1

A B

a

O2

A B

O2

a

O1

A BO

a

0 < < 90a

a = 90

90< < 180a

V. Alkalmazsok Biolgiban a rendszertan, kmiban a peridusos rendszerbeli csoportosts is halmazel-

mleti fogalmak. Mveletek: melyik csoport melyiknek rszhalmaza? Vrcsoport szerint az emberek klnbz halmazokba sorolhatk. Mveletek: ki kinek adhat

vrt? Eurpa orszgai hivatalos nyelvk alapjn halmazokba sorolhatk. Mveletek: melyik or-

szgban hivatalos nyelv az angol vagy a nmet? Az rettsgin a nem ktelez trgyak vlasztsa szerint is halmazokba sorolhatk a vizsg-

zk. Mveletek: ki vizsgzik kmibl s biolgibl is? A fggvnyekkel kapcsolatban is hasznljuk a halmazokat (rtelmezsi tartomny, rtk-

kszlet). Egyenletek rtelmezsi tartomnynak vizsglatakor szmhalmazok metszett kpezzk. Koordinta-geometriban a kr, a parabola, az ellipszis s a hiperbola egyenletnek felrsa-

kor az adott grbe defincijt hasznljuk fel. Ltkrvek: egy tglalap egyik oldala a szomszdos oldal mely pontjbl ltszik a legna-

gyobb szgben (sznhz, sportplya). Szerkesztsi feladatokban: hromszg szerkesztse egy oldal, a vele szemkzti szg s az ol-

dalhoz tartoz magassg ismeretben, vagy adott. egy pont s egy egyenes, szerkesszk megaz egyenest rint, a ponton thalad, adott sugar krket.

Parabolaantennk. Kt tanya kzs postaldt kap az orszgt mentn. Hova helyezzk, hogy mindkt tanytl

egyenl tvolsgra legyen?

A

B

F

P t

11

2. Vals szmok halmaza s rszhalmazai.Vges s vgtelen halmazok szmossga.Szmelmleti alapfogalmak s ttelek.

Vzlat:I. Szmhalmazok: termszetes, egsz, racionlis, irracionlis, vals szmok, ezek zrtsga

II. Mveleti tulajdonsgok: kommutativits, asszociativits, disztributivitsIII. Halmazok szmossga: vges, vgtelen (megszmllhatan illetve nem megszmllhatan

vgtelen) halmazokIV. Szmelmleti alapfogalmak: oszt, tbbszrs, oszthatsg fogalma, tulajdonsgai, oszthat-

sgi szablyokPrmszm, sszetett szm, szmelmlet alapttele, osztk szmaLegnagyobb kzs oszt, legkisebb kzs tbbszrs

V. Alkalmazsok

Bevezets:A szmfogalom kialakulsa nagyon hossz folyamat eredmnye. A fejlds korai szakaszban isszksg volt az ember szmra fontos dolgok megszmllsra. A szmlls ignye alaktotta kia pozitv egsz szmok fogalmt. A matematika fejldst kutatk szerint ezutn hossz id telt ela nulla felfedezsig.

Kidolgozs:

I. Szmhalmazok

DEFINCI: A termszetes szmok halmaza (N) a pozitv egsz szmokbl s a 0-bl ll.A termszetes szmok halmaza zrt az sszeadsra s a szorzsra nzve, azaz brmely kttermszetes szm sszege s szorzata termszetes szm. Ugyanakkor a kivons s az osztsmr nem vgezhet el ezen a halmazon bell, ezek a mveletek kimutatnak a halmazbl.Pl. 3 - x = 5 egyenlet megoldsa.

DEFINCI: Az egsz szmok halmaza (Z) a termszetes szmokbl s azok ellentettjeibl ll.Az egsz szmok halmaza az sszeadson s a szorzson kvl a kivonsra nzve is zrt,ugyanakkor az oszts kimutathat a halmazbl. Pl. 2x + 3 = 4 egyenlet megoldsa.

DEFINCI: A racionlis szmok halmaza (Q) azokbl a szmokbl ll, amelyek felrhatk kt

egsz szm hnyadosaknt, azaz ab

alakban, ahol a, b Z, b 0.Az a

b hnyados a kvetkez alakokban fordulhat el (a, b Z, b 0, s a trt vgskig le-

egyszerstett, azaz a s b legnagyobb kzs osztja 1.): egsz szm, ha b osztja a-nak. vges tizedes trt, ha b prmtnyezs felbontsban a 2 s az 5 szmokon kvl nincs ms

prmszm. vgtelen szakaszos tizedes trt, ha b prmtnyezs felbontsban a 2 s az 5 szmokon

kvl ms prmszm is van.

12

Teht a racionlis szmok a kvetkez alakak: kznsges trtek, egszek, vges vagy vg-telen szakaszos tizedes trtek.A racionlis szmok halmaza mind a 4 alapmveletre zrt (osztsra, ha az oszt nem 0), deitt is tallunk olyan egyenletet, amelynek nincs megoldsa ezen a halmazon. Pl.: 2x2 - 3 = 0.

DEFINCI: Azokat a szmokat, amelyek nem rhatk fel kt egsz szm hnyadosaknt, irracio-nlis szmoknak (Q*) nevezzk.

TTEL: 2 irracionlis szm.

BIZONYTS: A bizonytst indirekt mdon vgezzk, lnyege, hogy a bizonytand llts tagad-srl bebizonytjuk, hogy az hamis. Ez azt jelenti, hogy a bizonytand llts igaz.

Tegyk fel hogy 2 racionlis szm, azaz felrhat ab

alakban, ahol a, b Z, b 0,(a; b) = 1.

Ekkor 2

2 22

2 2 2a a b ab b

= = = .Az egyenlet jobb oldaln szerepl (a2) szm prmtnyezs felbontsban a 2 mindenflekp-pen pros kitevn (akr a nulladikon) szerepel, mg a bal oldalon lev szm (2 b2) prmt-nyezs felbontsban a 2 kitevje pratlan (legkevesebb 1).Ez azonban lehetetlen, hiszen a szmelmlet alapttele szerint egy pozitv egsz szmnaknincs kt lnyegesen klnbz felbontsa.Teht nem igaz az indirekt feltevsnk, vagyis igaz az eredeti llts: 2 irracionlis. Az irracionlis szmok halmaza nem zrt a 4 alapmveletre ( )( )2 2 0 *+ = Q ,

2 2 2 * = Q , 2 : 2 1 *= Q . Az irracionlis szmok tizedes trt alakja vgtelen nem szakaszos tizedes trt.

DEFINCI: A racionlis s az irracionlis szmok halmaza diszjunkt halmazok (Q Q* = ),a kt halmaz egyestse a vals szmok halmaza: R = Q Q*.A vals szmok halmaza zrt a 4 alapmveletre.A vals szmok s rszhalmazai:

1947

0

3

1

8260,23 1/3

0,61

p

2

Q R Q*

Z

N

N+

II. Mveleti tulajdonsgok: a, b, c R esetn1. az sszeads s a szorzs kommutatv (felcserlhet)

a + b = b + a s a b = b a2. az sszeads s a szorzs asszociatv (csoportosthat)

(a + b) + c = a + (b + c) s (a b) c = a (b c)3. a szorzs az sszeadsra nzve disztributv (szttagolhat)

(a + b) c = a c + b c

13

III. Halmazok szmossga

DEFINCI: Egy A halmaz szmossga az A halmaz elemeinek szmt jelenti. Jele: A. Egyhalmaz szmossga lehet vges vagy vgtelen.

DEFINCI: Egy halmaz vges halmaz, ha elemeinek szmt egy termszetes szmmal megadhat-juk. Ellenkez esetben, azaz ha a halmaz elemeinek szmt nem adhatjuk meg termszetesszmmal, akkor vgtelen halmazrl beszlnk.

DEFINCI: A vgtelen halmazok kztt tallhatunk olyat, melynek elemei sorba rendezhetk,teht megadhat az 1., 2., 3., 4., eleme. A pozitv termszetes szmokkal megegyezszmossg halmazokat megszmllhatan vgtelen halmazoknak nevezzk.A megszmllhatsg s a sorba rendezhetsg egy vgtelen halmaznl ugyanazt jelenti.Minden olyan halmaz megszmllhatan vgtelen szmossg, amelynek elemei s a term-szetes szmok kztt klcsnsen egyrtelm megfeleltets ltesthet.Megszmllhatan vgtelen szmossgak: egsz szmok, pros szmok, ngyzetszmok,racionlis szmok.

DEFINCI: A vals szmok szmossgval megegyez szmossg halmazokat nem megszm-llhatan vgtelen vagy kontinuum szmossg halmazoknak nevezzk. Pl.: irracionlisszmok halmaza, szmegyenes pontjainak halmaza, intervallum pontjainak halmaza.

TTEL: Szmossg s halmazmveletek kapcsolata (logikai szita): A, B s C vges halmazok sz-mossgra rvnyesek a kvetkezk:

A B = A + B - A B A B = U - A B

A B C = A + B + C - A B - A C - B C + A B C

IV. Szmelmlet

DEFINCI: Egy a egsz szm osztja egy b egsz szmnak, ha tallhat olyan c egsz szm,amelyre a c = b. Jells: ab. (Termszetesen cb is igaz). Ebben az esetben azt is mond-hatjuk, hogy b oszthat a-val s c-vel. Ekkor azt is mondhatjuk, hogy b tbbszrse a-nak.

A 0 szerepe a szmelmletben:

a 0 minden egsz szmnak tbbszrse (0-szorosa), azaz 0 minden nemnulla egsz szmmaloszthat.

a 0 nem osztja egyetlen nemnulla egsz szmnak sem, ugyanis ha 0 osztja lenne a-nak,akkor ltezne egy olyan b egsz szm, amelyre b 0 = a 0 lenne, ez pedig lehetetlen.

Oszthatsg tulajdonsgai:

Ha a, b, c Z, akkor 1a, aa s a0, ha a 0 ab s ba fi a = b ab s bc fi ac ab fi ab c ab s ac fi ab c ab s ab + c fi ac (a, b) = 1 s ac s bc fi a bc

14

Oszthatsgi szablyok:

Egy n egsz szm oszthat 2-vel, ha n pros, vagyis utols jegye {0; 2; 4; 6; 8}. 3-mal, ha a szmjegyek sszege oszthat 3-mal. 4-gyel, ha a kt utols jegybl kpzett szm oszthat 4-gyel. 5-tel, ha utols jegye {0; 5}. 6-tal, ha 2-vel s 3-mal oszthat. 8-cal, ha a hrom utols jegybl kpzett szm oszthat 8-cal. 9-cel, ha szmjegyek sszege oszthat 9-cel. 10-zel, ha utols jegye 0.

DEFINCI: Azokat a pozitv egsz szmokat, amelyeknek pontosan kt pozitv osztja van, prm-szmoknak nevezzk. Pl.: 2; 3; 5; 7; Az 1 nem prmszm.

DEFINCI: Azokat az 1-nl nagyobb szmokat, amelyek nem prmszmok, sszetett szmoknaknevezzk. Az sszetett szmoknak 2-nl tbb pozitv osztja van. Pl.: 4; 6; 8; 9; 10;

TTEL: A szmelmlet alapttele: brmely sszetett szm felrhat prmszmok szorzataknt, sez a felbonts a tnyezk sorrendjtl eltekintve egyrtelm.

Kanonikus alak: 1 2 31 2 3k

kn p p p p = , ahol p1, p2, p3, ..., pk klnbz prmek, a1, a2,

a3, ..., ak nemnegatv egsz szmok.Ekkor az n szm prmoszti: p1, p2, p3, ..., pk.

TTEL: Meghatrozhat az n szm osztinak szma a kvetkez mdon: A fenti n szmnak(a1 + 1) (a2 + 1) (a3 + 1) ... (ak + 1) darab pozitv osztja van.

DEFINCI: Kt vagy tbb pozitv egsz szm legnagyobb kzs osztja a kzs osztk kzl a leg-nagyobb. Jele: (a; b).Ellltsa: felrjuk a szmok prmtnyezs alakjt, vesszk a kzs prmtnyezket (amelyekaz sszes felbontsban szerepelnek), ezeket a hozzjuk tartoz legkisebb kitevvel vesszks sszeszorozzuk.

DEFINCI: Ha kt pozitv egsz szm legnagyobb kzs osztja 1, akkor a kt szm relatv prm.

DEFINCI: Kt vagy tbb pozitv egsz szm legkisebb kzs tbbszrse a kzs tbbszrskkzl a legkisebb. Jele: [a; b].Ellltsa: felrjuk a szmok prmtnyezs alakjt, vesszk az sszes prmtnyezt, ezeketa hozzjuk tartoz legnagyobb kitevvel vesszk s sszeszorozzuk.sszefggs kt pozitv egsz szm legnagyobb kzs osztja s legkisebb kzs tbbszr-se kztt: (a; b) [a; b] = a b.

V. Alkalmazsok: Racionlis szmok: arnyok, arnyossg, hasonlsg

Irracionlis szmok: szablyos hromszg magassga 32

a , ngyzet tlja ( )2a , krkerlete (2rp), terlete (r2p).

Legnagyobb kzs oszt: trtek egyszerstse Legkisebb kzs tbbszrs: trtek kzs nevezre hozsa

Kifejezsek legbvebb rtelmezsi tartomnynak meghatrozsa, pl. 122

xx

+ + . Fggvny rtkkszletnek megllaptsa

15

Ktismeretlenes egyenlet megoldsa a termszetes szmok halmazn (oszthatsg felhasz-nlsval) pl.:

3 23 23 ( 2)

3 3 6 6 63 2 62 2 2 2

x y xyx xy yx y x

x xy xx x x x

+ == =

= = + = + N Ez a kvetkez esetekben lehetsges:

x - 2 1 2 3 6 -1 -2 -3 -6x 3 4 5 8 1 0 -1 -4y 9 6 5 4 -3 0 1 2

A tblzatban szerepel az sszes megolds, az 5 megjellt szmpr felel meg a felttelnek.

16

3. A matematikai logika elemei. Logikai mveletek.llts s megfordtsa, szksges s elgsges felttel.

Vzlat:I. A matematikai logika fogalma

II. Logikai mveletek (tagads, diszjunkci, konjunkci, implikci, ekvivalencia), mveletektulajdonsgai

III. llts s megfordtsaSzksges s elgsges felttel

IV. Alkalmazsok

Bevezets:Az kori filozfia vetette fel azokat a krdseket, amelyek vizsglata a logika kialakulshoz ve-zetett. A grg logosz sz jelentse gondolat, igazsg, a grg logik sz rvelst, kvetkez-tetst jelent. A logika segti a defincik, lltsok pontos megfogalmazst, fontos szerepe vana problmk megfogalmazsban, a tudomnyos, alkot kommunikciban.

Kidolgozs:

I. A matematikai logika fogalmaA matematikai logika a gondolkods matematikai formban kifejezhet, matematikai eszkzkkelvizsglhat sszefggseinek, trvnyeinek feltrsval foglalkozik. F feladata a kvetkeztetsekhelyessgnek vizsglata.

II. Logikai mveletek

DEFINCI: Az llts (vagy kijelents) olyan kijelent mondat, amelyrl egyrtelmen el lehetdnteni, hogy igaz vagy hamis.

DEFINCI: Az igaz s a hamis a kijelents logikai rtke.Ha az A llts igaz, a B llts hamis, akkor gy is mondhatjuk, hogy az A logikai rtkeigaz, B logikai rtke hamis. Jelekkel: A = i s B = h.Az igaz rtket szoktk 1-gyel, a hamis rtket 0-val jellni.

DEFINCI: A kijelentseket sszekapcsolhatjuk. Azokat a kijelentseket, amelyeket ms kijelent-sekbl lehet ellltani, sszetett kijelentseknek nevezzk.

DEFINCI: Ha az sszetett kijelentsek logikai rtke csak az t alkot lltsok logikai rtktls az elllts mdjtl fgg, akkor logikai mveletekrl beszlnk.A logikai mveleteket igazsgtbla segtsgvel vgezhetjk el.

DEFINCI: Az llts tagadsa egyvltozs mvelet. Egy A kijelents negcija (tagadsa)az a kijelents, amely akkor igaz, ha A hamis s akkor hamis, ha A igaz.Jele: A vagy A.

TTEL: Egy llts tagadsnak tagadsa maga az llts (ketts tagads trvnye). Jele: = .A A

17

TTEL: Egy llts s tagadsa nem lehet egyszerre igaz (ellentmondsmentessg elve).

TTEL: Egy llts s tagadsa nem lehet egyszerre hamis (a harmadik kizrsnak elve).

DEFINCI: Kt, A-tl s B-tl fgg llts akkor egyenl, ha A s B minden lehetsges logikairtkre a kt llts igazsgrtke egyenl.A logikai mveletek eredmnye csak a tagok logikai rtktl fgg.

DEFINCI: lltsok diszjunkcija: logikai vagy: Kt kijelents diszjunkcija pontosan akkorigaz, ha legalbb az egyik kijelents igaz, klnben hamis.Jele: A B.

DEFINCI: lltsok konjunkcija: logikai s: Kt kijelents konjunkcija pontosan akkorigaz, ha mindkt kijelents igaz, klnben hamis.Jele: A B.

Logikai mveletek tulajdonsgai:

Tulajdonsg Diszjunkci Konjunkci

Kommutatv(felcserlhet)

A B = B A A B = B A

Asszociatv(csoportosthat)

(A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C)

Disztributv(szttagolhat)

A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)

De-Morganazonossgok

A B A B = s A B A B = Tovbbi

azonossgokA A = AA A = i

=A A

A A = AA A = h

DEFINCI: lltsok implikcija: A ha A, akkor B kapcsolatnak megfelel logikai mveletetimplikcinak (kvetkeztetsnek) nevezzk. Az implikci logikai rtke pontosan akkorhamis, ha A igaz s B hamis, klnben az implikci igaz. Az A lltst felttelnek, B-t k-vetkezmnynek nevezzk.A kvetkeztets csak akkor hamis, ha a felttel igaz, de a kvetkezmny hamis. Hamis ll-tsbl brmi kvetkezhet.Jele: A B.

DEFINCI: lltsok ekvivalencija: Az A akkor s csak akkor B kapcsolatnak megfelel logi-kai mveletet ekvivalencinak (kvetkeztetsnek) nevezzk. Az ekvivalencia logikai rtkepontosan akkor igaz, ha A s B logikai rtke azonos, klnben hamis.Ha az A B igaz, akkor azt mondjuk, hogy A s B lltsok ekvivalensek egymssal.Jele: A B.Igazsgtblval:

A B A B A B A Bi i i i i ii h h i h hh i i h i hh h i h h i

18

TTEL: Tetszleges A s B kijelentsekre = .A B A B BIZONYTS: Igazsgtblzattal:

A B A A B A B

i i h i ii h h h hh i i i ih h i i i

A negyedik oszlop igazsgrtkei megegyeznek az implikci igazsgrtkeivel, teht azegyenlsg A s B minden lehetsges logikai rtkre fennll, azaz azonossg.

TTEL: Tetszleges A s B kijelentsekre A B = (A B) (B A)

BIZONYTS: Igazsgtblzattal:

A B A B B A (A B) (B A) A Bi i i i i ii h h i h hh i i h h hh h i i i i

Az tdik oszlop igazsgrtkei megegyeznek az ekvivalencia igazsgrtkeivel, teht azegyenlsg A s B minden lehetsges logikai rtkre fennll, azaz azonossg.

III. llts s megfordtsa, szksges s elgsges felttel

Az lltsokat gyakran Ha A igaz, akkor B igaz (A fi B) formban fogalmazzuk meg. Teht egyA llts igazsgbl kvetkezik egy B llts igazsga (vagyis, ha az A B implikci igaz), aztmondjuk, hogy az A lltsbl kvetkezik B llts, vagy azt, hogy A llts a B lltsnak elgsgesfelttele (hiszen a B llts igazsgnak bizonytshoz elg az A llts igazsgt bizonytani).Ilyenkor a B llts az A lltsnak szksges felttele (hiszen az A llts nem lehet igaz, ha a Bllts nem igaz). Ha ilyen esetben az A llts igazsgbl a B llts igazsgra kvetkeztetnk, azhelyes kvetkeztets.Ha azt akarjuk kimutatni, hogy az A lltsbl nem kvetkezik a B llts, elg egyetlen pldtmutatni olyan esetre, amikor A igaz s B hamis. Ha ilyen esetben A lltsbl a B lltsra kvet-keztetnk, az nem helyes, vagyis helytelen kvetkeztets.Ha az A lltsbl kvetkezik B llts, s fordtva is: a B lltsbl kvetkezik az A llts, akkorazt mondjuk, hogy az A lltsnak a B llts szksges s elgsges felttele. Jele: A B (A akkors csak akkor igaz, amikor B).Ez azt jelenti, hogy A s B egyszerre igaz, vagyis ekvivalensek (egyenrtkek).Egy ttel feltteleinek s felttelei kvetkezmnyeinek a felcserlsvel kapjuk a ttel megfordtst.gy a fenti ttel megfordtsa: Ha B igaz, akkor A igaz. (B fi A)Ha a ttel s a megfordtsa is igaz, akkor a kt ttel ekvivalens. (A B)Erre plda a Thalsz-ttel:

19

TTEL: Thalsz-ttel: ha egy kr tmrjnek kt vgpontjt sszektjk a kr brmely mspontjval, akkor derkszg hromszget kapunk.

BIZONYTS: O kzppont kr, AB tmr, C tetszleges pont a krvonalon.

A

C

O

a bB

a b

OA = OC = r fi OAC hromszg egyenl szr fi OAC = OCA = a.OC = OB = r fi OBC hromszg egyenl szr fi OBC = BCO = b.Az ABC hromszg bels szgeinek sszege 180 fi 2a + 2b = 180 fi a + b = 90 fiACB = 90.

TTEL: Thalsz-ttel megfordtsa: ha egy hromszg derkszg, akkor kr rhat krnekkzppontja az tfog felezpontja.

BIZONYTS: ABC derkszg hromszget tkrzzk az tfog F felezpontjra. A tkrzstulajdonsgai miatt BC = AC s CA = BC s AC = BC szgei 90-osak. A tglalap tliegyenlk s felezik egymst fi FA = FB = FC fi F az ABC hromszg kr rt kr kzp-pontjval egyenl.

C A

B C

F

a

ab

b

TTEL: Thalsz-ttel s megfordtsa sszefoglalva: a sk azon pontjainak halmaza, amelyekblegy megadott szakasz derkszgben ltszik, a szakaszhoz, mint tmrhz tartoz kr, el-hagyva belle a szakasz vgpontjait.

IV. Alkalmazsok: Matematikai defincik, ttelek pontos kimondsa, ttelek bizonytsa Ttel megfordtsnak kimondsa Bizonytsi mdszerek kidolgozsa (direkt, indirekt, skatulya elv, teljes indukci) Kombinatorika, valsznsgszmts hasznlja a logikai mveleteket s azok tulajdonsgait. Automatk tervezse problmk rszekre bontsval. A matematikai mveletek s halmazmveletek prhuzamba llthatk. Egyenletek, egyenltlensgek megoldsa sorn sokszor vgznk logikai mveleteket (ekvi-

valens talaktsok).

20

4. Hatvnyozs, hatvnyfogalom kiterjesztse,a hatvnyozs azonossgai. Az n-edik gyk fogalma.A ngyzetgyk azonossgai.Hatvnyfggvnyek s a ngyzetgykfggvny.

Vzlat:I. Pozitv egsz kitevj hatvnyok, hatvnyozs azonossgai

II. Permanencia-elvIII. Negatv egsz, trtkitevs, irracionlis kitevj hatvnyIV. Az n-edik gyk fogalma (n N+, n 1).V. A ngyzetgyk azonossgai

VI. Hatvnyfggvnyek s azok tulajdonsgaiVII. Ngyzetgykfggvny s tulajdonsgai

VIII. Alkalmazsok

Bevezets:A hatvnyozst ugyanaz az igny hvta ltre, mint a szorzst. A szorzs az ismtelt sszeadst je-lenti, a hatvnyozst azonos szmok szorzsra vezettk be, ksbb kiterjesztettk rtelmezst.A gykvons mvelete a hatvnykitev s a hatvny ismeretben az alap kiszmolst teszi lehetv.Knai matematikusok mr az idszmtsunk kezdetn ismertk a ngyzetgyk s kbgyk fogal-mt. A mai jellsrendszere a XVI. szzadban alakult ki.

Kidolgozs:

I. Pozitv egsz kitevj hatvnyok

DEFINCI: Ha a tetszleges vals szm s n 1-nl nagyobb termszetes szm, akkor an hatvnyazt az n tnyezs szorzatot jelenti, amelynek minden tnyezje a.Ha n = 1, akkor a1 = a.Az a szmot a hatvny alapjnak, az n szmot a hatvny kitevjnek nevezzk, ez utbbimegmutatja, hogy a hatvnyalapot hnyszor kell szorztnyezl venni.

A hatvnyozs azonossgai pozitv egsz kitev esetn: (a, b R, m, n N+)

TTEL: Azonos alap hatvnyokat gy is szorozhatunk, hogy a kzs alapot a kitevk sszegreemeljk:

am an = am + nBIZONYTS:

hatv. def. szorzs hatv. def.dbdb db asszoc.

( ) ( )m n m n

m nm n

a a a a a a a a a a a a ++

= = = .

TTEL: Azonos alap hatvnyokat gy is oszthatunk, hogy a kzs alapot a kitevk klnbsgreemeljk:

mm n

na aa

= , ha a 0, m > n.

21

BIZONYTS:db db

hatv. def. egysze- hatv. def.rsts

db

1

m m n

mm n

n

n

a a a a a a a aa a aa

= = =

.

TTEL: Szorzatot tnyezknt is hatvnyozhatunk:

(a b)n = an bnTtel visszafele olvasva: Azonos kitevj hatvnyokat gy is szorozhatunk, hogy az ala-pok szorzatt a kzs kitevre emeljk.

BIZONYTS:

hatv. def. szorzs szorzsdb asszoc. kommut.

( ) ( ) ( ) ( )n

n

a b a b a b a b a b a b a b = = =

= =

hatv. def. db db

n n

n n

a a a b b b a b .

TTEL: Trtet gy is hatvnyozhatunk, hogy a szmllt s a nevezt kln-kln hatvnyozzuks a kapott hatvnyoknak a kvnt sorrendben a hnyadost vesszk.

( )n nna ab b= , ha b 0.Ttel visszafele olvasva: Azonos kitevj hatvnyokat gy is oszthatunk, hogy az alapokhnyadost a kzs kitevre emeljk.

BIZONYTS:

( ) ( ) ( ) ( ) dbhatv. def. trtek hatv. def.szorzsa

dbdb

nn n

n

nn

a a a a a a a ab b b b b b b b

= = =

.

TTEL: Hatvnyt gy is hatvnyozhatunk, hogy az alapot a kitevk szorzatra emeljk:

(an)m = an m.

BIZONYTS: = = = . hatv. def. szorzs. hatv. def. db db dbdb asszoc.

db

( ) ( ) ( ) ( )n m n n nnm n n nm

m

a a a a a a a a a a a a a

hatv. def.db

m n

m n

a a a a a a a

= =" .

II. Permanencia-elvA hatvnyozs fogalmt kiterjesztjk minden egsz kitevre, majd egsz kitevrl racionlis kite-vre, majd racionlisrl irracionlis kitevre gy, hogy az elbbi, pozitv egsz kitevre teljeslazonossgok tovbbra is teljesljenek. A fogalom rtelmezsnek kiterjesztse esetn ezt az ignytnevezzk permanencia-elvnek.

22

III. A hatvnyozs kiterjesztse

A 2. azonossg segtsgvel a hatvnyozs fogalma kibvthet az egsz szmokra a kvetkezmdon:

DEFINCI: Tetszleges a 0 vals szmra a0 = 1. Minden nulltl klnbz vals szmnaka nulladik hatvnya 1.

00-t nem rtelmezzk (nem lehet gy rtelmezni, hogy sszhangban legyen a hatvnyozs rtelme-zseivel:

00 = 0 kellene, mert 0 minden pozitv egsz kitev hatvnya 0. 00 = 1 kellene, mert minden egyb szm nulladik hatvnya 1.)

Bizonythat, hogy ezzel az rtelmezssel a hatvnyozs azonossgai rvnyben maradnak.Pl.

0 0

0 1

n n n

n n na a a aa a a a

+ = = = = DEFINCI: Tetszleges a 0 vals szm s n pozitv egsz szm esetn 1n

na

a = . Minden 0-tl

klnbz vals szm negatv egsz kitevj hatvnya a szm megfelel pozitv kitevjhatvnynak a reciproka (vagy a szm reciproknak a megfelel pozitv kitevj hatvnya).

Bizonythat, hogy ezzel az rtelmezssel a hatvnyozs azonossgai rvnyben maradnak.Pl.

0 11 1

n n n n

nn n n

n n

a a a aaa a a

a a

+

= = = = = = Ezzel a kt defincival a 2. azonossg igaz minden n, m Z-re:

Ha n = m, akkor 1m m

n ma aa a

= = .Ha m < n, akkor m darab a-val egyszerstnk, a szmllban 1, a nevezben pedig n - m darab

a szorztnyez marad, ami a hatvny defincija miatt 1n ma

. Alkalmazva a negatv egsz kite-

vj hatvny defincijt ( )

1 1 m nn m m n

aa a

= = .

A hatvnyozs fogalmt ezutn racionlis kitevre terjesztjk ki:

DEFINCI: Az a pozitv vals szm pq

-adik hatvnya az a pozitv vals szm, amelynek q-adik

hatvnya ap, azaz ( )qp pqa a= .A defincibl kvetkezik:

pq pqa a= .

Az alap csak pozitv szm lehet, mert pldul12 1 1

2 44 4 2( 2) ( 2) 4 2 2 = = = = rtelmes,2 14 2( 2) ( 2) 2 = = nem rtelmezhet, pedig a kt hatvny rtknek (azonos alap, azonos

kitev) meg kell egyeznie.Bizonythat, hogy ezzel az rtelmezssel a hatvnyozs azonossgai rvnyben maradnak.

23

Pl.

( )( ) ( )

nk k n kn n

nk nn k kn

a a a

a a a

= = = = A hatvnyozst kiterjeszthetjk tetszleges vals kitevre. Ehhez az irracionlis kitevt kell r-telmeznnk.Az rtelmezs azon alapul, hogy brmely irracionlis szm tetszlegesen kzelthet kt oldalrl

racionlis szmokkal. gy ha pl.: 22 hatvnyt szeretnnk meghatrozni, akkor ehhez a 2 rtktkzeltjk nla kisebb, illetve nla nagyobb racionlis szmokkal, majd a kzelt rtkekre, mint

kitevre emeljk a 2-t. Bizonythat, hogy 22 rtke ltezik, s ily mdon tetszlegesen kzelt-het (rendr elv).

DEFINCI: Az a pozitv vals szm a irracionlis kitevj hatvnya, azaz aa jelentse az ar so-rozat hatrrtkt, ahol r egy racionlis szmsorozat tagjait jelli s r a. Kplettel:lim r

ra a = .

IV. Az n-edik gyk fogalma

A gykvons a hatvnyozs egyik fordtott mvelete: az a vals szm n-edik gyke (n Z+, n 1)az xn = a egyenlet megoldsa.Az a szm n-edik gyknek jellse: n a , ha n N+.A gykvons rtelmezsnl klnbsget kell tenni a pros s pratlan gykkitev kztt (hiszenpros n-re s negatv a-ra az xn = a egyenletnek nincs megoldsa, mivel a vals szmok pros kite-vj hatvnya nem lehet negatv. Teht pros n-re s negatv a-ra az a szm n-edik gyke nemrtelmezhet.)

DEFINCI: Egy a vals szm (2k + 1)-edik (k N+) gykn azt a vals szmot rtjk, amelynek(2k + 1)-edik hatvnya a.

Kplettel: ( )2 12 1 kk a a++ = , ahol k Z+.DEFINCI: Egy nemnegatv vals a szm 2k-adik (k N+) gykn azt a nemnegatv vals szmot

rtjk, amelynek 2k-adik hatvnya a.

Kplettel: ( )22 kk a a= , ahol a 0, 2 0,k a k Z+.DEFINCI: Egy nemnegatv vals a szm ngyzetgykn azt a nemnegatv vals szmot rtjk,

amelynek ngyzete a.

Kplettel: ( ) =2a a , ahol a 0, 0.aA pros s pratlan gykkitevre vonatkoz defincik kztti klnbsgbl addan:

( )22 kk a a= s ( )2 12 1 kk a a++ = , pl. 66 ( 5) 5 = , de 55 ( 5) 5 = .V. A ngyzetgyk azonossgai

TTEL: = a b a b , ha a, b nemnegatv vals szmok.Szorzat ngyzetgyke egyenl a tnyezk ngyzetgyknek szorzatval. Teht szorzatbltnyeznknt vonhatunk gykt.

BIZONYTS: Vizsgljuk mindkt oldal ngyzett:

24

( ) = 2a b a b ,a ngyzetgyk defincija miatt.

( ) ( ) ( ) = = 2 2 2a b a b a b ,a szorzat hatvnynak azonossga s a ngyzetgyk defincija miatt.A kt oldal ngyzete egyenl.Ha mindkt oldal rtelmes, vagyis nemnegatv, akkor a hatvnyozs azonossgbl kvetke-zik a kt oldal egyenlsge.

TTEL: =a ab b

, ha a, b nemnegatv vals szmok, b 0.Trt ngyzetgyke egyenl a szmll s a nevez ngyzetgyknek hnyadosval.

TTEL: ( )= kka a , ha k egsz, a > 0 vals szm.A hatvnyozs s a gykvons sorrendje felcserlhet egymssal pozitv alap esetn.Figyelni kell arra, hogy a ngyzetre emels s a ngyzetgykvons sorrendje nem cserlhet

fel, ha az alap negatv. gy ltalnosan: =2 .a a

VI. Hatvnyfggvnyek s azok tulajdonsgai

DEFINCI: Az f: R R, f(x) = xn fggvnyt, ahol n N+, hatvnyfggvnynek nevezzk.A hatvnyfggvnyek rtelmezhetek n = 0 esetre is, de ettl most eltekintnk.A hatvnyfggvny vizsglatt kt rszre kell bontanunk aszerint, hogy n pros-e vagy p-ratlan.

Jellemzs:

A fggvny f: R R, f(x) = x2k g: R R, g(x) = x2k + 1

brzolsa:

x

y

1

1

y=x2k

x

y

1

1

y=x2 +1k

rtelmezsi tartomnya: vals szmok halmaza: R vals szmok halmaza: Rrtkkszlete: nemnegatv vals szmok halma-

za: R0+vals szmok halmaza: R

monotonitsa: ha x < 0, akkor szigoran mono-ton cskken, ha x > 0, akkor szi-

goran monoton n

szigoran monoton n

szlsrtke: abszolt minimuma van az x = 0helyen, a minimum rtke

f(x) = 0.

nincs

grblete: alulrl konvex ha x < 0, akkor alulrl konkv, hax > 0, akkor alulrl konvex

25

zrushelye: x = 0 x = 0

paritsa: pros: f(-x) = f(x) pratlan, vagyis g(-x) = -g(x)korltossg: alulrl korltos, fellrl nem

korltos.nem korltos

invertlhatsg: invertlhat, ha x 0: inverze azf-1: R0+ R, f-1(x) = 2k x

fggvny

invertlhat: inverze azg-1: R R, g-1(x) = 2 1k x+

fggvny

Grblet szempontjbl kln kell venni az n = 1 esetet: ekkor a fggvny se nem konvex, se nemkonkv.A hatvnyfggvnyek folytonosak, minden pontban derivlhatak, minden korltos intervallumonintegrlhatak.

VII. Ngyzetgykfggvny s tulajdonsgai

DEFINCI: Az f: R0+ R, f(x) = x fggvnyeket ngyzetgykfggvnyeknek nevezzk.

Jellemzs:

A fggvny f: R0+ R, f(x) = x

brzolsa:

x

y

1

1

=y x

rtelmezsi tartomnya: nemnegatv vals szmok halmaza: R0+

rtkkszlete: nemnegatv vals szmok halmaza: R0+

monotonitsa: szigoran monoton n

szlsrtke: abszolt minimuma van az x = 0 helyen, a minimum rtke f(x) = 0.

grblete: alulrl konkv

zrushelye: x = 0

paritsa: nincs: nem pros, nem pratlan

korltossg: alulrl korltos, fellrl nem korltos

invertlhatsg: invertlhat: inverze az f-1: R0+ R, f-1(x) = x2 fggvny

A gykfggvnyek folytonosak, differencilhatak, integrlhatak.

26

Pldk ngyzetgykfggvnyre:

( ) 1 2f x x= + ( ) 1 2f x x= + +

x

y

1

1

x

y

1

1

( ) 1 2 ( 1) 2f x x x= + = + ( ) 1 2 ( 1) 2f x x x= =

x

y

1

1

x

y

1

1

VIII. Alkalmazsok:

Hatvnyozs:

Prmtnyezs felbontsban pozitv egsz kitevj hatvnyok, legnagyobb kzs oszt, legki-sebb kzs tbbszrs, osztk szma

Normlalakban: egyszerbb a kicsi s a nagy szmokkal val mveletek elvgzse A szmrendszerek felptse a hatvnyozson alapul Mrtani sorozat: an, Sn kiszmolsa Ismtlses varicik szma: nk

Hasonl testek felsznnek, trfogatnak arnya Kamatos kamat szmtsa

Ngyzetes ttrvny: 22as t=

Radioaktv bomls Mrtkegysgvlts Binomilis eloszls Nevezetes azonossgok

Gykvons:

Magasabb fok egyenletek megoldsa Pitagorasz-ttel (ngyzetre emels, gykvons) Mrtani kzp (gykvons) Magassg-, illetve befogttel (ngyzetre emels, gykvons) Kocka lnek, vagy gmb sugarnak kiszmolsa a trfogatbl

27

l hosszsg fonlinga lengsideje: 2 lTg

= h magassgbl szabadon es test sebessge: 2v gh= Kamatos kamatnl a kamattnyez kiszmtsa Harmonikus rezgmozgs krfrekvencijnak kiszmtsa

28

5. A logaritmus fogalma s azonossgai.Az exponencilis s a logaritmusfggvny.

Vzlat:I. A logaritmus defincija

II. A logaritmus azonossgaiIII. Exponencilis fggvny, tulajdonsgaiIV. Logaritmusfggvny, tulajdonsgaiV. Alkalmazsok

Bevezets:A XVIII. szzadban a kereskedelem, a hajzs, az ptszet s a csillagszat fejldse j problm-kat vetett fel a matematikusok szmra: az azonos alap hatvnyokkal vgzett szorzs s osztsa kitevkkel elvgezhet sszeadsra s kivonsra vezethet vissza. gy a mveletek leegyszer-sdnek. A logaritmuskeress mvelete sorn a hatvnykitevt keressk az alap s a hatvnyrtkismeretben.

Kidolgozs:

I. Logaritmus defincija

Az ax = b (a > 0, b > 0, a 1) egyenlet megoldsakor az x kitevt keressk. Ennek az egyenletnekaz egyetlen megoldsa x = logab.

DEFINCI: A logaritmus a hatvnyozs egyik fordtott mvelete: logab (a alap logaritmus b) azaz egyetlen vals kitev, melyre a-t emelve b-t kapunk: loga ba b= , (a > 0, b > 0, a 1), va-gyis logab = c egyenrtk azzal, hogy ac = b. (A kitevt fejezzk ki a hatvnyalap s a hat-vnyrtk ismeretben.)Elnevezsek: a = logaritmus alapja, b = hatvnyrtk.A logaritmus alapjt azrt vlasztjuk pozitv szmnak, mert negatv alap esetn a trtkitevs hatvny nem rtelmezhet. ha az alap 0 lenne, akkor a hatvnyrtk brmilyen (0-tl klnbz) kitevre 0, gy a ki-

tevkeress nem egyrtelm. ha az alap 1 lenne, a hatvnyrtk a kitev brmely rtkre 1, gy sem egyrtelm a kite-

vkeress.Ha a logaritmus alapja 10, akkor a jells: log10x = lgx. Ha a logaritmus alapja e, akkor ter-mszetes alap logaritmusrl beszlnk, gy a jells: logex = lnx.

II. Logaritmus azonossgai

TTEL: Szorzat logaritmusa egyenl a tnyezk logaritmusnak sszegvel:

loga(x y) = logax + logay, ahol x, y > 0, a > 0, a 1.BIZONYTS: A logaritmus defincija alapjn:

loga xx a= s loga yy a= , illetve log ( )a x yx y a =

29

Nzzk az llts bal oldalt:

log log log loglog ( ) log ( ) log log loga a a ax y x ya a a a ax y a a a x y+ = = = + ,

az azonos alap hatvnyok szorzsa s a logaritmus defincija miatt.gy a bizonytand llts igaz.

TTEL: Trt logaritmusa megegyezik a szmll s a nevez logaritmusnak klnbsgvel:

log log loga a ax x yy

= , ahol x, y > 0, a > 0, a 1.

TTEL: Hatvny logaritmusa az alap logaritmusnak s a kitevnek a szorzata:

logaxk = k logax, ahol x > 0, a > 0, a 1, k R.TTEL: ttrs ms alap logaritmusra:

loglog

logc

ac

bb

a= , ahol a, b, c > 0, a, c 1.

BIZONYTS: A logaritmus defincija alapjn: loga bb a= .rjuk fel: = = loglog log log loga bc c a cb a b a ,a logaritmus defincija s a hatvny logaritmusa miatt.Kaptuk: logcb = logab logca /: logca 0 a felttelek miatt.gy:

loglog

logc

ac

bb

a= . Ez a bizonytand llts.

III. Exponencilis fggvny:

DEFINCI: Az f: R R, f(x) = ax (a > 0) fggvnyt exponencilis fggvnynek nevezzk.Az a = 1 esetn az exponencilis fggvny konstans: f(x) = 1x = 1.

Jellemzs:

A fggvny f: R R, f(x) = ax,0 < a < 1 esetben

g: R R, g(x) = ax,1 < a esetben

brzolsa:

x

y

1

1

0< 1y=a x

rtelmezsi tartomnya: vals szmok halmaza: R vals szmok halmaza: Rrtkkszlete: pozitv vals szmok halmaza:

R+pozitv vals szmok halmaza:

R+

monotonitsa: szigoran monoton cskken szigoran monoton n

szlsrtke: nincs nincs

grblete: alulrl konvex alulrl konvex

30

zrushelye: nincs nincs

paritsa: nincs: nem pros, nem pratlan nincs: nem pros, nem pratlan

korltossg: alulrl korltos,fellrl nem korltos

alulrl korltos,fellrl nem korltos

invertlhatsg: invertlhat: inverze azf-1: R+ R, f-1(x) = logax

fggvny

invertlhat: inverze azg-1: R+ R, g-1(x) = logax

fggvny

Az exponencilis fggvny folytonos, differencilhat, integrlhat.

IV. Logaritmusfggvny

DEFINCI: Az f: R+ R, f(x) = logax, (a > 0, a 1) fggvnyt logaritmusfggvnynek nevezzk.Jellemzs:

A fggvny f: R R, f(x) = logax,0 < a < 1 esetben

g: R R, g(x) = logax,1 < a esetben

brzolsa:

x

y

1

1

0< 1y x=loga

rtelmezsi tartomnya: pozitv vals szmok halmaza:R+

pozitv vals szmok halmaza:R+

rtkkszlete: vals szmok halmaza: R vals szmok halmaza: Rmonotonitsa: szigoran monoton cskken szigoran monoton n

szlsrtke: nincs nincs

grblete: alulrl konvex alulrl konkv

zrushelye: x = 1 x = 1

paritsa: nincs: nem pros, nem pratlan nincs: nem pros, nem pratlan

korltossg: nem korltos nem korltos

invertlhatsg: invertlhat: inverze azf-1: R R, f-1(x) = ax (0 < a < 1)

fggvny

invertlhat: inverze azg-1: R R, g-1(x) = ax (1 < a)

fggvny

A logaritmusfggvny folytonos, differencilhat, integrlhat.

31

Kapcsolat az exponencilis s a logaritmusfggvnyek kztt:

0 < a < 1 1 < a

0< 1y=a x

y x=

Az exponencilis fggvny a 1 esetn invertlhat, inverze az f-1: R+ R, f-1(x) = logax; a > 0,a 1 logaritmusfggvny.A logaritmusfggvny invertlhat, inverze az f-1: R R, f-1(x) = ax; a > 0, a 1 exponencilisfggvny.

Kiegszts:

DEFINCI: Az f fggvny inverze a g fggvny, ha az f rtelmezsi tartomnynak minden x ele-mre igaz, hogy f(x) eleme a g rtelmezsi tartomnynak s g(f(x)) = x. Az inverz fggvnyjellse: g = f-1.Ha az f s a g fggvnyek egymsnak inverzei, akkor az f rtelmezsi tartomnya a g rtk-kszlete, az f rtkkszlete a g rtelmezsi tartomnya.Ha kt fggvny egymsnak inverzei, akkor grafikonjaik egymsnak tkrkpei az y = xegyenlet egyenesre.

V. Alkalmazsok:

2x = 3 egyenlet megoldsa logaritmussal matematikai mveletek visszavezetse egyszerbb mveletek elvgzsre (szorzs helyett

sszeads, hatvnyozs helyett szorzs) kamatos kamatszmtsnl az alaptke, az n-edik v vgi tke, s a kamattnyez ismeret-

ben az n meghatrozsa:

00

0 0 0

lg lglg lg lg lg

lgn n n nn n n

nt t t t t

t t q q q n q nt t t q

= = = = = szmols gpbe nem fr nagy szmokkal, pl.:

= = == = =

200

120132,21 132 0,21 132

85 lg 200 lg85 120 lg130 132,2113010 10 10 1,6218 10

x x

x gravitcis ertrben a barometrikus magassgformulban a leveg srsge a magassggal

exponencilisan cskken a Richter-skla (fldrengsek mrett hatrozza meg) logaritmus alap pH rtk: az oldatok szabad oxnium-ion koncentrcijnak negatv 10-es alap logaritmu-

sa: pH = -lg[H3O+] exponencilis fggvny rja le: a radioaktv izotpok bomlst, az oldds folyamatt, a kon-

denztor feltltdsnek s kislsnek folyamatt.

32

6. Egyenletmegoldsi mdszerek, ekvivalencia,gykveszts, hamis gyk.Msodfok s msodfokra visszavezethet egyenletek.

Vzlat:I. Egyenlet, egyenlet gyknek fogalma

II. Egyenlet-megoldsi mdszerekIII. EkvivalenciaIV. GykvesztsV. Hamis gyk

VI. Msodfok egyenletek, megoldsukVII. j ismeretlennel msodfokra vezet egyenletek

VIII. Alkalmazsok

Bevezets:Az kori Mezopotmibl Kr.e. 2000-bl szrmaz krsos tblkon tallhat jelek alapjn tud-juk, hogy az akkori rstudk mr meg tudtak oldani egyenleteket s egyenletrendszereket. A leg-rgebbi rsos emlken, a Rhind-papruszon lthatjuk a nyomait a gyakorlatbl ered algebrai is-mereteknek.

Kidolgozs:

I. Egyenlet

DEFINCI: Az egyenlet brmely kt egyenlsgjellel sszekttt kifejezs. A kifejezsben sze-repl vltozk az ismeretlenek.Az egyenlet olyan vltoztl fgg llts (nyitott mondat), amelynek az alaphalmaza szm-halmaz.

DEFINCI: Az alaphalmaz az ismeretlenek azon rtkeinek halmaza, ahol az egyenletet vizsgl-juk, ahol a megoldsokat keressk.

DEFINCI: Az egyenlet rtelmezsi tartomnya az alaphalmaznak az a legbvebb rszhalmaza,ahol az egyenletben szerepl kifejezsek rtelmezhetek.

DEFINCI: Az egyenletet igazz tev rtkek az egyenlet megoldsai vagy gykei.

DEFINCI: Az alaphalmaz azon elemeinek halmaza, amelyekre az egyenlet igaz, vagyis az egyen-let megoldsainak (vagy gykeinek) halmaza az egyenlet megoldshalmaza (vagy igazsg-halmaza).

DEFINCI: Az azonossg olyan egyenlet, amelynek a megoldshalmaza megegyezik az egyenletrtelmezsi tartomnyval.

33

II. Egyenlet-megoldsi mdszerek:

1. Mrlegelv: az egyenlet kt oldalnak egyforma vltoztatsnak mdszere.A mrlegelv szerint egy egyenlet gykeinek halmaza nem vltozik, ha az egyenlet mindkt oldalhoz ugyanazt a szmot hozzadjuk, vagy mindkt oldalbl

kivonjuk; az egyenlet mindkt oldalt ugyanazzal a 0-tl klnbz szmmal szorozzuk, osztjuk.

2. Grafikus megolds: Az egyenlet kt oldaln ll kifejezst, mint fggvnyt brzoljuk.Ilyenkor a kt grafikon kzs pontjainak abszcisszi adjk a megoldst.Htrnya: pontatlan lehet a leolvass.

3. Szorzatt alakts: Bonyolultnak tn vagy tl magasfok egyenlet megoldsakor ki-emelssel vagy megfelel csoportosts utni kiemelssel szorzatt alaktjuk az egyik oldaltgy, hogy a msik oldal 0 legyen. Egy szorzat akkor s csak akkor 0, ha legalbb az egyiktnyezje 0. Ezzel egyszerbb, vagy alacsonyabb fok egyenlethez jutunk. Pl.:

(x - 2)(x + 4)x + (x - 2)(3x - 2) = 0 fi (x - 2)(x2 + 4x + 3x - 2) = 0.

4. rtelmezsi tartomny vizsglata: Bizonyos esetekben az rtelmezsi tartomny egyetlenszm, vagy res halmaz. Ha egy szm, akkor ellenrizzk, hogy valban megolds-e, ha reshalmaz, akkor nincs megolds. 1 1 0x x = fi Df = {1} fi ellenrzs fi x = 1 az egyetlen megolds. 11

1x

x = fi Df = {} fi nincs megolds.

5. rtkkszlet vizsglata: Bonyolultnak tn vagy tbb ismeretlent tartalmaz egyenlet meg-oldsakor alkalmazhatjuk, ha az egyenlet tartalmaz pl. ngyzetre emelst, ngyzetgykvo-nst, abszolt rtket, exponencilis kifejezst, szinuszt, koszinuszt. 23 ( 4) 2 4 0 3, 4, 2x y z x y z + + + + = = = = . 23x - 4 = -1, de 23x - 4 > 0 -1 fi nincs megolds 1 2x + = , de 1 0 2x + fi nincs megolds 2 2sin 2sin 1 sin 4sin 4 4 sin 1 sin 2 4x x x x x x + + + = + =

negatv

negatv

sin 1 [ 2,0] sin 1 sin 11sin 1 sin 2 4 sin

sin 2 [ 3, 1] sin 2 sin 2 2

x x x

x x xx x x

= + + + = = = +

6. j ismeretlen bevezetse: Bonyolultnak tn egyenlet megoldst visszavezetjk egy mrismert egyenlettpus megoldsra. Pl.:

tg4x - 5tg2x + 4 = 0 fi a := tg2x fi a2 - 5a + 4 = 0

III. Ekvivalencia (egyenrtksg)

DEFINCI: Kt egyenlet ekvivalens, ha alaphalmazuk s megoldshalmazuk is azonos.

DEFINCI: Ekvivalens talakts az olyan talakts, amit egyenletek megoldsa kzben vgznks ezzel az talaktssal az eredetivel ekvivalens egyenletet kapunk.

Ekvivalens talakts pldul az egyenlet mrlegelvvel trtn megoldsa. Nem ekvivalens tala-kts pldul vltozt tartalmaz kifejezssel osztani az egyenlet mindkt oldalt, vagy ngyzetreemelni az egyenlet mindkt oldalt.

34

Az egyenletek megoldsa sorn nem mindig van lehetsgnk ekvivalens talaktsokat vgezni.Ha lehet, ilyen esetekben vagy rtelmezsi tartomny, vagy rtkkszlet vizsglattal prblunkfeltteleket fellltani.De mg gy is elfordulhat, hogy olyan talaktst vgznk, amely sorn

az j egyenletnek szkebb az rtelmezsi tartomnya, mint az eredetinek, ekkor gykvesztsllhat fenn;

az j egyenletnek bvebb az rtelmezsi tartomnya, mint az eredetinek, ekkor gyknyersllhat fenn.

IV. GykvesztsGykveszts kvetkezhet be, ha a vltozt tartalmaz kifejezssel osztjuk az egyenlet mindktoldalt, vagy olyan talaktst vgznk, amely szkti az rtelmezsi tartomnyt.

Pl. hibs megolds: helyes megolds:3 2

:

2

2 0

2 1 0

1

x

x x x

x x

x

+ + =

+ + ==

3 2

2

2

2 0

( 2 1) 0

0

vagy

2 1 0 1

x x x

x x x

x

x x x

+ + =+ + =

=

+ + = = Pl. hibs megolds: helyes megolds:

2lg( 2) 2lg5 { 2}

2lg( 2) 2lg5 ] 2, [

lg( 2) lg5

2 5

3

f

f

x D R

x D

x

x

x

+ = = + = = + =+ =

=

2

2

2

lg( 2) 2lg5 { 2}

lg( 2) lg25

( 2) 25

2 5 3

vagy

2 5 7

fx D R

x

x

x x

x x

+ = = + =+ =

+ = =

+ = =

V. Hamis gykHamis gykt kapunk, ha az egyenlet mindkt oldalt ngyzetre emeljk, vagy mindkt oldalt azismeretlent tartalmaz kifejezssel szorozzuk, vagy olyan talaktst vgznk, ami bvti az rtel-mezsi tartomnyt.

Pl. 27 1 /( )x x = .Eredeti felttel: 7 - x 0 fi x 7 fi Df = ]-, 7].A gyknyers kikszblhet kzbls felttellel: 1 - x 0 fi x 1 fi Dfj = ]-, 1].7 - x = (1 - x)2 fi x2 - x - 6 = 0 fi x1 = 3 Dfj, x2 = -2 Dfj

Pl. 1 12 21 1

xx x

+ = + / 1

1x fi 2x = 2 fi x = 1.

A gyknyers ekkor is kikszblhet, ha az eredeti egyenletre runk Df-et.

Pl. + + = +6 2 2 8x x x .Eredeti felttelek: x + 6 0 fi x -6; x + 2 0 fi x -2; 2x + 8 0 fi x -4; fi Df = [-1; [.Ha az egyenletet elszr rendezzk gy, hogy mindkt oldal nemnegatv legyen, ngyzetre emeljkmindkt oldalt, rendezzk gy, hogy a gyks kifejezs az egyik oldalra kerljn, a tbbi tag a m-sik oldalra, majd a ngyzetre emels eltt kzbls felttelt runk, hogy a gyknyerst kikszbl-jk:

35

+ = + + + 6 2 2 8 / ngyzetre emelsx x x+ = + + + + + + 6 2 2 2 2 8 2 8 /rendezsx x x x x

= + + 2 4 2 2 2 8x x x kzbls felttel rsa: a jobb oldal nemnegatv, a bal oldalnak isannak kell lennie, mivel egyenlk, azaz -2x - 4 0 fi x -2 fi Dfj = {-2}. Ebben az esetbennem is kell elvgezni a ngyzetre emelst, hiszen csak egy szm felel meg az rtelmezsnek, ha vanmegolds, akkor csak ez az egy szm lehet. Ennek ellenrzsvel eldnthet, hogy ez valbanmegolds-e.Akr a gykveszts, akr a hamis gyk elkerlhet, ha az egyenlet megoldsa sorn mindig figye-lnk az rtelmezsi tartomny vltozsra, ha lehet, az rtkkszletet is vizsgljuk, mert gy szk-teni lehet az alaphalmazt.

VI. Msodfok egyismeretlenes egyenlet

DEFINCI: Msodfok egyismeretlenes egyenlet ax2 + bx + c = 0 alakra hozhat, ahol a, b, c R,a 0.Megoldsa lehetsges a megoldkplettel, szorzatt alaktssal, teljes ngyzett alaktssal,Vite-formulval.Pl. x2 + 3x = 0 vagy x2 + 6x + 9 = 0

TTEL: Az ax2 + bx + c = 0 (a 0) egyenlet megoldkplete: 21,2 42b b acx

a = , ahol

b2 - 4ac 0.BIZONYTS:

42ax2 + 4abx + 4ac = 0 / 4a4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 / 4a

teljes ngyzett alaktssal:

(2ax + b)2 - b2 + 4ac = 0 / + b2 - 4ac b2 - 4ac- b2 + 4ac(2ax + b)2 = b2 - 4ac / + b2 - 40ac

Mivel a bal oldalon ngyzetszm van, ami nem lehet negatv, gy b2 - 4ac sem lehet az. (Hab2 - 4ac < 0, akkor nincs megolds). Ha b2 - 4ac 0, akkor vonjunk mindkt oldalbl gy-kt, figyelve, hogy elkerljk a gykvesztst:

2

2

2

2

1,2

2 4

2 4

2 4

42

ax b b ac

ax b b ac

ax b b ac

b b acxa

+ = + =

= =

DEFINCI: Az ax2 + bx + c = 0 (a 0) msodfok egyenlet diszkriminnsa D = b2 - 4ac.

Ha D > 0, akkor az egyenletnek kt klnbz vals gyke van: 2

1,24

2b b acx

a = .

Ha D = 0, akkor az egyenletnek kt egymssal egyenl gyke, vagyis 1 valdi gyke van:

2bxa

= , ezt ktszeres gyknek is nevezzk, mert x1 = x2. Ha D < 0, akkor az egyenletnek nincs vals gyke.

36

TTEL: A msodfok egyenlet gyktnyezs alakja:Ha egy ax2 + bx + c = 0 (a 0) egyenlet megoldhat (azaz D 0) s kt gyke van x1 s x2,akkor az ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) minden vals x-re igaz.

TTEL: Vite-formulk: msodfok egyenlet gykei s egytthati kzti sszefggsek: Az ax2 + bx + c = 0 (a 0) alakban felrt (D 0) msodfok egyenlet gykeire:

1 2bx xa

+ = s 1 2 cx x a = .Grafikus megolds: az x ax2 + bx + c (a 0) fggvny zrushelyei adjk a megoldst. (Sta > 0 esetre trekszem!)

( ) ( ) ( )2 22 22 2 2 42 2 44b b b b ac bx ax bx c a x x c a x c a xa a a aa + + = + + = + + = + + 6 .Olyan parabola a kp, amelynek tengelypontja

24,2 4b ac bTa a

.

VII. Specilis egyenletekMagasabb fok, illetve bizonyos exponencilis, logaritmikus, abszolt rtkes, gyks, trigonomet-rikus egyenletek j ismeretlen bevezetsvel msodfok egyenletre vezethetk vissza.

= = = = + + = =

6 3

2

2

2

2

3 4 0

2 3 2 4 0

lg 3lg 4 0

( 2) 3 2 4 0

1 3 1 4 0

sin 3sin 4 0

x x

x x

x x

x x

x x

x x

Ezek az egyenletek mind az a2 - 3a - 4 = 0 msodfok egyenletre vezethetk vissza.

VIII. Alkalmazsok: egyenes, kr, parabola adott abszcisszj vagy ordintj pontjnak meghatrozsa magasabb fok egyenletek megoldsa Pitagorasz-ttel koszinuszttelbl oldal kiszmtsa mly szakadk mlysgnek meghatrozsa: egy ledobott k dobstl a szakadk aljn

trtn koppans hangjnak meghallsig eltelt id mrsvel.

37

7. Adatsokasg, a ler statisztika jellemzi, diagramok.Nevezetes kzepek.

Vzlat:I. Adatsokasgok jellemzi (diagram, tblzat, osztlyokba sorols)

II. A ler statisztika jellemzi: tblzat, osztlyba sorols, mintavtel, gyakorisg, relatv gya-korisg

III. Diagramok: kr-, oszlop-, vonaldiagram, gyakorisgi diagramIV. Adatok jellemzse: kzprtkek (mdusz, medin, tlag), terjedelem, szrsV. Nevezetes kzepek (szmtani, mrtani, harmonikus, ngyzetes)

Kzepek kzti sszefggsekVI. Nevezetes kzepek alkalmazsa szlsrtk-feladatokban

sszeg llandsga esetn szorzat maximalizlsa szorzat llandsga esetn sszeg minimalizlsa

VII. Alkalmazsok

Bevezets:A statisztika adatok gyjtsvel, rendszerezsvel, elemzsvel foglalkozik. Statisztikai mdszere-ket hasznlnak a mindennapi letben pldul a gazdasg klnbz mutatinak, az idjrsi ada-toknak a jellemzsre. A statisztika hasznlata tbb mint ezer ves: npszmllsok, nyilvntartsok.

Kidolgozs:

I. Adatsokasgok jellemzi

DEFINCI: A statisztika feladatai kz tartozik, hogy bizonyos egyedek meghatrozott tulajdon-sgairl tjkozdjk, majd a szerzett (ltalban szmszer) adatokat feldolgozza, elemzi. Azelemzshez sszegyjttt adatok halmazt adatsokasgnak, mintnak, a meghatrozott tulaj-donsgot ismrvnek, vltoznak nevezzk. A sokasg elemeinek az ismrv szerinti tulajdon-sgt statisztikai adatnak, az adatsokasg elemeinek szmt a sokasg mretnek nevezzk.

II. A ler statisztika jellemziA ler statisztika a tmegesen elfordul jelensgekkel, a jelensgekbl nyert adatok vizsglat-val, elemzsvel (lersval) foglalkozik.A statisztika egyik fontos feladata az adatok sszegyjtse. Ha a vizsgland egyedek szma na-gyon nagy, akkor nem minden egyedet vizsglunk meg a tulajdonsg alapjn, hanem az adatsoka-sgnak vesszk egy rszhalmazt, vagyis az egyedek kzl mintt vesznk. A megfelelen kiv-lasztott minta elemzsbl kvetkeztethetnk a sokasg adataira.A reprezentatv mintavtelnl trekedni kell arra, hogy a vizsglt tulajdonsg elfordulsa a min-tban kzeltse a sokasgban val elfordulst. Pl. kzvlemny-kutats.Vletlenszer mintavtelnl a sokasg elemei egyenl valsznsggel kerlnek a mintba. Pl. ur-nbl hzs.

DEFINCI: Az egyes adatok elfordulsnak a szma a gyakorisg. Az adatok sszehasonlthat-sga miatt sokszor a gyakorisgnak a teljes adatsokasghoz viszonytott arnyval, a relatvgyakorisggal dolgozunk, azaz a gyakorisgot osztjuk az adatok szmval.

38

Az adatokat megadhatjuk tblzatos formban, gy az adatok ttekintheten lthatk. Tblzathasznlatnak elnye, hogy nagyobb adathalmazokat tmren, helytakarkosan brzolhatunk.Leggyakrabban a gyakorisgi tblzatot hasznljuk, ez a lehetsges adatokat s a hozzjuk tartozgyakorisgokat tartalmazza.Osztlyokba soroljuk az adatokat, ha nagy mret (sok adatbl ll) adatsokasggal dolgozunk,vagy ha sok klnbz rtk van kzel azonos gyakorisggal a sokasgban, akkor az egymshozkzeli rtkek sszevonsval az adatokat osztlyokba rendezzk. Az osztlyba sorolsnl fontosszempont, hogy az osztlyoknak diszjunktaknak (klnllknak), de hzagmentesnek kell lennie.

III. DiagramokAz adatok grafikus megjelentse diagramon trtnik, amelynek tpust a feladat hatrozza meg.

Oszlopdiagram: az adatok egymshoz val viszonyt brzolja. Nem clszer hasznlni, ha azadatok kzt van 1-2 kiugr rtk (tl nagy: nem fr r a diagramra, tl kicsi: eltrpl a tbbi oszlopkzt), vagy ha az adatok kztti eltrs nagyon kicsi (kzel azonosnak ltszanak az rtkek). A vz-szintes tengelyen az adatfajtknak megfelel intervallumokat jelljk, ezek fl olyan tglalapokatrajzolunk, amelyeknek terlete arnyos az adatfajta gyakorisgval.

Hisztogram (gyakorisgi diagram): az adatok gyakorisgi eloszlst oszlopdiagramon brzoljagy, hogy az oszlopok hzagmentesen helyezkednek el.

Svdiagram: fordtott oszlopdiagram, amelyben a kt tengely helyet cserl, az oszlopok vzszinte-sek, azaz svok.

Krdiagram: a rszadatoknak az egszhez val viszonyt brzolja. Alkalmas %-os formbanmegadott adatok brzolsra. A teljes szg (360) 100%-nak felel meg, a megfelel szzalkrtkegyenesen arnyos a krcikk kzpponti szgvel. Nem clszer hasznlni, ha nagyon sok az adat(tl kicsik a kzpponti szgek, nem sszehasonlthatk)

Vonaldiagram: koordintarendszerben pontknt brzolja az sszetartoz szmprokat, s ezekettrttvonallal kti ssze. Klnbz adatok (pl. idbeli) vltozst brzolja. A gyakorisgok vo-naldiagramjt gyakorisgi poligonnak nevezzk.

IV. Statisztikai mutatk

A kzprtkek

Az adatsokasg egszt csak leegyszerstseket alkalmazva tudjuk jellemezni. Ezt a clt szolgljka kzprtkek, amelyek egyetlen szmmal rnak le egy adathalmazt.Ezek elnye, hogy megfelelen alkalmazva jl jelentik meg az egsz adatsokasg valamilyen tu-lajdonsgt, ugyanakkor htrnyuk, hogy nem nyjtanak kpet az egyes adatokrl.

DEFINCI: Egy adatsokasgban a leggyakrabban elfordul adat a minta mdusza.Ha a legnagyobb gyakorisg csak egyszer fordul el az adatsokasgban, akkor az egym-dusz, ha tbbszr is elfordul, akkor tbbmdusz, teht a mdusz tbb elem is lehet, haugyanakkora a gyakorisguk.A mdusz elnye, hogy knnyen meghatrozhat, htrnya, hogy csak akkor ad hasznlhatjellemzst a mintrl, ha a tbbi adathoz kpest sokszor fordul el.

DEFINCI: Az adatok sszegnek s az adatok szmnak hnyadosa a minta tlaga (szmtanikzepe).Ha egyes adatok tbbszr is elfordulnak, akkor az sszegben szorozni kell ket a gyakori-sgukkal s az sszeget a gyakorisgok sszegvel osztjuk. Ez a slyozott szmtani kzp.Az tlag fontos tulajdonsga, hogy a nla nagyobb adatoktl vett eltrseinek sszegeegyenl a nla kisebb adatoktl vett eltrseinek sszegvel.

39

Htrnya, hogy egyetlen, a tbbitl jelentsen eltr adat eltorzthatja, gy ekkor mr nem jljellemzi a mintt.

DEFINCI: Pratlan szm adat medinja a nagysg szerinti sorrendjkben a kzps adat, prosszm adat medinja pedig a kt kzps adat tlaga.A defincibl addik, hogy az sszes elfordul ismrvrtk fele kisebb vagy egyenl, felenagyobb vagy egyenl, mint a medin.Fontos tulajdonsga, hogy az adatoktl mrt tvolsgainak sszege minimlis.A medin elnye, hogy valban kzprtk, hiszen ugyanannyi adat nagyobb nla, mintahny kisebb.

A szrds jellemzi

DEFINCI: Az adatok legnagyobb s legkisebb elemnek a klnbsgt a minta terjedelmneknevezzk.Minl kisebb a minta terjedelme, annl jobban jellemzi a mintt.

DEFINCI: Az adatok tlagtl val eltrsek ngyzetnek tlaga a minta szrsngyzete, ennek

ngyzetgyke a minta szrsa:

2

1

( )n

ii

x x

Sn

=

=

.

A szrs megmutatja, hogy a minta adatai mennyire trnek el az tlagtl. Minl kisebb a sz-rs, annl jobban jellemzi az tlag az adatsokasgot.

V. Pozitv szmok nevezetes kzepei

DEFINCI: a1, a2, a3, ..., an nemnegatv szmok

szmtani (aritmetikai) kzepe:

1 2 3 na a a aAn

+ + + +=

mrtani (geometriai) kzepe:

1 2 3n

nG a a a a= ngyzetes (kvadratikus) kzepe:

2 2 2 21 2 3 na a a aQ

n+ + + +=

harmonikus kzepe:

1 2 3

1 1 1 1n

nH

a a a a

=+ + + +

, ha a1, a2, a3, ..., an > 0.

TTEL: Kzepek kzti sszefggs: H G A Q.Egyenlsg akkor s csak akkor, ha a1 = a2 = a3 = ... = an.

40

TTEL: Kt nemnegatv vals szm esetn 2

a ba b + .

BIZONYTS I.: Mivel az egyenltlensg mindkt oldala nemnegatv, ezrt a ngyzetre emels azeredetivel ekvivalens lltst fogalmaz meg. Teht

+ + + + +

2 2

2 2

2 2

2

2 / 44

4 2 / 4

0 2 / nevezetes szorzatt alaktjuk

0 ( )

a ab bab

ab a ab b ab

a ab b

a b

Az utols egyenltlensg igaz, gy az eredeti is az.Az eredmny alapjn megllapthat, hogy a kt kzp akkor s csak akkor lesz egymssal

egyenl, ha a = b. Ekkor 2

a ba ab b+= = = .

BIZONYTS II.: Legyen 0 < a b.Vegynk fel egy a + b oldal ngyzetet, s az oldalait osszuk fel az brn lthat mdon!

a b

a

a

a

b

b

b

t

t

t

t

b a

A nagy ngyzet terlete egyenl a keletkez rszek terletnek sszegvel:

(a + b)2 = 4t + (b - a)2

A kis tglalap terlete: t = ab.Mivel (b - a)2 0, ezrt ezt a tagot elhagyva az (a + b)2 4t egyenltlensghez jutunk.Behelyettestve t helyre: (a + b)2 4ab.Mivel a felttel miatt mindkt oldal pozitv, ezrt gykt vonhatunk: 2a b ab+ .Amibl

2a b ab+ .

BIZONYTS III.: Legyen a, b > 0, 2r = a + b.Vegynk fel egy r sugar krt, benne egy AB tmrt, a krvonalon egy A, B-tl klnbzC pontot.

aA B

C

m

O

b

A Thalsz-ttel miatt ACB = 90.ABC hromszgre alkalmazva a magassgttelt: m ab= .De a krben m r, azaz

2a ba b + .

41

VI. Nevezetes kzepek alkalmazsa szlsrtk-feladatokban

1. sszeg llandsga esetn a szorzatot tudjuk maximalizlni.

Pl.: Azon tglatestek kzl, amelyek leinek sszege 60 cm, melyiknek a trfogata maximlis?Legyenek a tglatest lei: a, b s c.Ekkor a tglatest trfogata V = abc, az lek sszege: 4(a + b + c) = 60.Ebbl a + b + c = 15.A szmtani s mrtani kzp kzti egyenltlensget kihasznlva:

( ) ( )3 33 315 5 1253 3 3a b c a b cabc abc abc abc V+ + + + .Mivel egyenlsg csak a = b = c esetn teljesl, gy a trfogat az 5 cm l kocka esetn maximlis.

2. Szorzat llandsga esetn az sszeget tudjuk minimalizlni.

Pl.: Azon tglalapok kzl, amelyeknek a terlete 100 cm2, melyiknek a kerlete a minimlis?Legyenek a tglalap oldalai a s b.

Ekkor a tglalap terlete t = ab = 100, kerlete k = 2(a + b), amibl 4 2k a b+= .

A szmtani s mrtani kzp kzti egyenltlensget kihasznlva:

100 10 402 4 4

a b k kab k+ .Mivel egyenlsg csak a = b esetn teljesl, gy a kerlet a 10 cm oldal ngyzet esetn minimlis.

Pl.: f: R+ R, 1( )f x xx

= + . Hatrozzuk meg az f(x) fggvny minimumt!A szmtani s mrtani kzp kzti egyenltlensget kihasznlva:

11 1 12 1 2 ( ) 2

2

xx x x x f x

x x x

+ + + .

Ekkor az f minimumnak rtke f(x)=2, minimum helye: 1 1xx

= = .

VII. Alkalmazsok: Statisztika:

kzvlemny-kutatsok, szavazsok, gazdasgi mutatk, osztlytlagok, hinyzsi statisztikk, felvteli tlagpontok.

Nevezetes kzepek: szmtani kzp: statisztikai tlag kiszmtsa, mrtani kzp: tlagos nvekedsi tem kiszmtsa, magassgttel, befogttel, ngyzetes kzp: statisztikai szrs kiszmtsa, harmonikus kzp: tlagsebessg meghatrozsa.

42

8. Szmsorozatok s tulajdonsgaik(korltossg, monotonits, konvergencia).Nevezetes szmsorozatok, vgtelen mrtani sor.

Vzlat:I. Szmsorozat defincija, megadsi mdjai

II. Tulajdonsgai: monotonits, korltossg, konvergencia; kapcsolatukIII. Nevezetes szmsorozatok: szmtani sorozat, mrtani sorozat, mrtani sor (alkalmazsok:

kamatos kamat, gyjtjradk, trlesztjradk)IV. Alkalmazsok

Bevezets:Szmsorozatokkal mr az kori grgk is foglalkoztak. Ismertk a szmtani sorozat sszegzs-nek a mdjt, az els n ngyzetszm sszegnek a kiszmtst. A sorozatok vizsglata vezetett elksbb a differencil- s integrlszmtshoz.

Kidolgozs:

I. Szmsorozat

DEFINCI: A szmsorozat olyan fggvny, amelynek rtelmezsi tartomnya a pozitv egsz sz-mok halmaza, rtkkszlete pedig valamilyen szmhalmaz.Az a1, a2, , an tagokbl ll sorozatot {an}-nel vagy (an)-nel jelljk. A sorozat n-ediktagja: an.

Sorozatok megadsa trtnhet:

Fggvnyszeren: f: N+ R, x x2, tagjai 1, 4, 9, 16, Az n-edik ltalnos tagot elllt formulval: an = 3 2n. Az elemeit egyrtelmen meghatroz utastssal: {an} = {2n utols szmjegye}. A sorozat tagjaival: 3, 6, 9, 12, 15, 18, Rekurzv mdon: megadjuk a sorozat els nhny tagjt, valamint a kpzsi szablyt, amellyel

a sorozat kvetkez tagjai a megelzkbl megkaphatk.Pl.: Fibonacci sorozat: a1 = 1, a2 = 1, an = an - 1 + an - 2, ha n 3. A tagok: 1, 1, 2, 3, 5, 8,13, 21 .

II. Sorozatok tulajdonsgai:

DEFINCI: Az {an} sorozat szigoran monoton nv (cskken), ha minden pozitv egsz n-reteljesl: an < an + 1 (an > an + 1).Ha nem a szigor monotonitst, csak a monotonitst krjk, akkor megengedett az egyenl-sg is.

DEFINCI: Egy {an} sorozatnak K fels (k als) korltja, ha an K (k an) minden pozitv egszn-re teljesl. Ilyenkor a sorozatot fellrl (alulrl) korltosnak nevezzk. Egy sorozat kor-ltos, ha alulrl s fellrl is korltos.

43

DEFINCI: Az {an} sorozat konvergens s hatrrtke az A szm, ha minden pozitv e szmhozltezik olyan N pozitv egsz, hogy a sorozat aN utni tagjai mind az A szm e sugar kr-nyezetbe esnek, vagyis minden pozitv e szmhoz ltezik olyan N pozitv egsz, hogy min-den n > N esetn an - A < e. Jellse: lim n

na A = , vagy an A.

Ez szemlletesen azt jelenti, hogy brmilyen kis pozitv e-ra a sorozatnak csak vges soktagja esik az ]A - e, A + e[ intervallumon kvlre.

DEFINCI: Az olyan sorozatokat, amelyeknek nincs hatrrtke, divergens sorozatoknak nevez-zk.

TTEL: A konvergens sorozatok tulajdonsgai: Konvergens sorozatnak csak egy hatrrtke van. Ha egy sorozat konvergens, akkor korltos. Ha egy sorozat monoton s korltos, akkor konvergens. Ha minden n N+-ra an bn cn s an A, cn A, akkor bn A. Ez a rendr-elv. Ha {an} s {bn} konvergens s an A, bn B, akkor

an bn A B an bn A B c an c A, ahol c R n

n

a Ab B

, ahol bn 0, B 0

III. Nevezetes szmsorozatok

DEFINCI: Azt a szmsorozatot, amelyben a msodik tagtl kezdve brmely tag s a kzvetlenleltte ll tag klnbsge lland, szmtani sorozatnak nevezzk. Ez a klnbsg a diffe-rencia, jele d.Ha egy szmtani sorozatnl d > 0, akkor a sorozat szigoran monoton nv, s alulrl korltos. d = 0, akkor a sorozat konstans. d < 0, akkor a sorozat szigoran monoton cskken, s fellrl korltos.

TTEL: Ha egy szmtani sorozat els tagja a1, differencija d, akkor n-edik tagja an = a1 + (n - 1)d.

BIZONYTS: teljes indukcival.Definci szerint a2 - a1 = d a2 = a1 + d.Tegyk fel, hogy a k-adik elemre igaz az llts, azaz ak = a1 + (k - 1)d.Bizonytani kell, hogy a (k + 1)-edik elemre rkldik, azaz ak + 1 = a1 + ((k + 1) - 1)d == a1 + kd.A definci szerint ak + 1 - ak = d ak + 1 = ak + d = a1 + (k - 1)d + d = a1 + kd. gy bebi-zonytottuk az rkldst, teht igaz az llts.

TTEL: A szmtani sorozat els n tagjnak sszege (Sn) az els s az n-edik tag szmtani kze-

pnek n-szeresvel egyenl: 12

nn

a aS n

+= .

BIZONYTS: az sszeget felrjuk az 1., aztn az n-edik tagtl kiindulva:Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an - 2 + an - 1 + anSn = an + an - 1 + an - 2 + ... + a3 + a2 + a1

44

Sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + ... + (a1 + (n - 3)d) + (a1 + (n - 2)d) + (a1 + (n - 1)d)Sn = an + (an - d) + (an - 2d) + ... + (an - (n - 3)d) + (an - (n - 2)d) + (an - (n - 1)d)sszeadva: 1 1 12 ( ) ( ) ( )n n n n

n

S a a a a a a= + + + + + + .

1

1

2 ( )

2

n n

nn

S a a n

a aS n

= + +=

Ezzel a ttelt bizonytottuk.

TTEL: Sn msik alakja: 12 ( 1)

2na n d

S n+ = .

TTEL: Tetszleges elem a tle szimmetrikusan elhelyezkedknek a szmtani kzepe:

2n k n k

na a

a ++= .Szmtani sorozat konvergencija: Csak d = 0 esetn konvergens a szmtani sorozat.

DEFINCI: Azt a szmsorozatot, amelyben a msodik tagtl kezdve brmely tag s a kzvetlenleltte ll tag hnyadosa lland, mrtani sorozatnak nevezzk. Ez a hnyados a kvciens,jele q.A definci kizrja, hogy a sorozat brmely eleme 0 legyen, tovbb a hnyados sem lehet 0.

TTEL: Ha egy mrtani sorozat els tagja a1, hnyadosa q, akkor n-edik tagja an = a1 qn - 1.BIZONYTS: teljes indukcival a szmtani sorozat n-edik tagjhoz hasonlan.

TTEL: A mrtani sorozat els n tagjnak sszege: ha q = 1, akkor Sn = n a1 ha q 1, akkor 1 11

n

nq

S aq

= .

BIZONYTS:

ha q = 1, akkor a sorozat minden tagja a1, gy 1 1 1 1

n

nS a a a n a= + + + =

. ha q 1, akkor az sszeget rjuk fel a1-gyel, s q-val:

Sn = a1 + a1q + a1q2 + ... + a1qn - 2 + a1qn - 1.

Szorozzuk meg mindkt oldalt q-val:

Snq = a1q + a1q2 + a1q3 + ... + a1qn - 1 + a1qn.

Vonjuk ki a kt egyenletet egymsbl:

Snq - Sn = a1qn - a1.

Sn(q - 1) = a1(qn - 1).

Osszuk mindkt oldalt (q - 1) 0-val:= 1

11

n

nq

S aq

,

gy lltsunkat belttuk.

45

TTEL: Brmely elem ngyzete egyenl a tle szimmetrikusan elhelyezked tagok szorzatval:2n n k n ka a a += .

TTEL: Pozitv tag sorozatnl brmely elem a tle szimmetrikusan elhelyezked elemek mrtanikzepe: n n k n ka a a += .

Mrtani sorozat konvergencija: an a1, ha q = 1. an 0, ha q < 1. {an} divergens, ha q = -1, vagy q > 1.

DEFINCI: Legyen adott egy {an} szmsorozat. Az a1 + a2 + a3 + ... + an - 2 + an - 1 + an + ...vgtelen sok tag sszeget vgtelen sornak (vagy rviden sornak) nevezzk.

Jells:

=

+ + + + + + + = 1 2 3 2 11

... ... .n n n ii

a a a a a a a

DEFINCI: Ha az a1 + a2 + a3 + ... + an - 2 + an - 1 + an + ... vgtelen sorban az a1, a2, a3, ..., an - 2,an - 1, an, ... tagok egy mrtani sorozat tagjai, akkor a sort mrtani sornak nevezzk.Felmerl a krds, hogy mit rtsnk vgtelen sok szm sszegn, hiszen a vges sok szmesetn megszokott mdszerek nem alkalmazhatk.

DEFINCI: A sor sszegn az

S1 = a1S2 = a1 + a2#Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an

gynevezett rszletsszegek sorozatnak hatrrtkt rtjk, amennyiben ez a hatrrtk l-tezik. Teht a sor sszegt egy olyan sorozat hatrrtkvel definiljuk, amely sorozat elstagja a1, n-edik tagja az eredeti sorozat els n tagjnak sszege.

TTEL: Ha egy mrtani sorban q < 1, akkor a mrtani sor konvergens, s sszege 11

aS

q= , ha

q 1, akkor nem konvergens.

IV. Alkalmazsok: Kamatoskamat-szmts: ha egy a sszeg p%-kal kamatozik vente, akkor az n-edik v v-

gre az sszeg 1100

n

np

a a = + .

Ha 1100

pq = + kamattnyez, akkor an = a qn. Ez olyan mrtani sorozat n-edik eleme,

amelynek els eleme aq, hnyadosa q. Gyjtjradk: minden v elejn egy a sszeget tesznk a bankba, s ez p%-kal kamatozik

vente gy, hogy a kvetkez v elejn a megnvekedett sszeghez tesszk hozz az jab-bat. Ekkor az n-edik v vgn a rendelkezsre ll sszeg egy olyan mrtani sorozat els nelemnek sszege, ahol a1 = aq.

Ha 1100

pq = + kamattnyez, akkor 1

1

n

nq

S aqq

= .

46

Trlesztjradk: felvesznk n vre Sn nagysg hitelt vi p%-os kamatra, s minden vben

a sszeget trlesztnk. Ekkor 1

1

nn

nq

S q aq

= . Analzis: fggvny hatrrtknl, folytonossgnl

( )11 nna n= + hatrrtke e, ami a termszetes alap logaritmus alapszma (Euler-tpus so-rozat).

Irracionlis kitevj hatvny fogalma sorozat hatrrtkvel. Vgtelen szakaszos tizedes trtek kznsges trt alakra hozsakor a konvergens mrtani sor

tulajdonsgait hasznljuk. Vgtelen mrtani sor sszege.

47

9. Fggvnyek loklis s globlis tulajdonsgai.A differencilszmts s alkalmazsai.

Vzlat:I. Fggvny fogalma, rtelmezsi tartomny, rtkkszlet

II. Fggvnytulajdonsgok:Loklis fggvnytulajdonsgok: zrushely, monotonits, loklis (helyi) szlsrtk, grblet,inflexi, folytonossg.Globlis fggvnytulajdonsgok: rtelmezsi tartomny, rtkkszlet, globlis (abszolt)szlsrtk, parits, periodikussg, folytonossg, korltossg.

III. DifferencilszmtsIV. A differencilszmts alkalmazsa:

Fggvny rintje Fggvnyvizsglat

V. Szlsrtk-problmk vizsglata differenciaszmtssalVI. Alkalmazsok

Bevezets:A XVII. szzadban Descartes foglalkozott elszr a fggvnyekkel: bevezette a vltoz fogalmt,a fggvnyt megfeleltetsnek tekintette. Ezutn elkezdtk vizsglni a matematikusok a fggvny-grbk s azok rintinek kapcsolatt. Az rintket vizsglva eljutottak a differencilhnyadosfogalmhoz, mdszert dolgoztak ki a fggvnyek menetnek vizsglatra, szlsrtkeinek meglla-ptsra.

Kidolgozs:

I. Fggvny fogalma, rtelmezsi tartomny, rtkkszlet

DEFINCI: Legyen A s B kt nem res halmaz. Azt mondjuk, hogy megadunk egy A halmazonrtelmezett B-beli rtket felvev fggvnyt, ha A minden elemhez hozzrendeljk a B egys csakis egy elemt. Jele: f: A B.

DEFINCI: rtelmezsi tartomnynak nevezzk az A halmazt. Jele Df.

DEFINCI: rtkkszlet a B halmaz azon elemeibl ll halmaz, amelyek a hozzrendelsnlfellpnek (vagyis az f(x) rtkek). Jele az Rf.

DEFINCI: Ha c Df, akkor a c helyen felvett fggvnyrtket f(c)-vel jelljk, ez a helyettestsivagy fggvnyrtk.

DEFINCI: Ha az rtelmezsi tartomny s az rtkkszlet is szmhalmaz, akkor a fggvnyt gra-fikonon tudjuk szemlltetni. A grafikon az (x; f(x)) pontok halmaza.

II. Fggvnytulajdonsgok

Loklis fggvnytulajdonsgok: zrushely, monotonits, loklis (helyi) szlsrtk, grblet,inflexi, pontbeli folytonossg.

48

DEFINCI: zrushely: Az rtelmezsi tartomny azon x0 eleme, ahol a fggvny rtke 0. f(x0) = 0.

DEFINCI: monotonits: Az f fggvny az rtelmezsi tartomnynak egy intervallumban mo-noton n, ha az intervallum minden olyan x1, x2 helyn, amelyre x1 < x2, akkor f(x1) f(x2)teljesl.Az f fggvny az rtelmezsi tartomnynak egy intervallumban monoton cskken, ha azintervallum minden olyan x1, x2 helyn, amelyre x1 < x2, akkor f(x1) f(x2) teljesl.Ha az egyenltlensgben az egyenlsg nincs megengedve, akkor szigor monotonitsrlbeszlnk.

DEFINCI: loklis (helyi) szlsrtk: Az f fggvnynek az x0 Df helyen loklis maximumavan, ha az x0-nak van olyan I krnyezete, amelynek minden x Df pontjban f(x) f(x0). Azx0 helyet loklis (helyi) maximumhelynek nevezzk.Az f fggvnynek az x0 Df helyen loklis minimuma van, ha az x0-nak van olyan I kr-nyezete, amelynek minden x Df pontjban f(x) f(x0). Az x0 helyet loklis (helyi) mini-mumhelynek nevezzk.A monotonits s a szlsrtk defincijbl kvetkezik, hogy ahol a fggvny monotoni-tst vlt, ott loklis szlsrtke van.

DEFINCI: grblet: A fggvnyt egy intervallumban konvexnek nevezzk, ha az intervallum

brmely kt x1, x2 pontjra teljesl az 1 2 1 2( ) ( )

2 2x x f x f x

f+ + egyenltlensg.

Ha az egyenltlensg fordtott irny, akkor a fggvny konkv az adott intervallumon.Szemlletesen a konvex (illetve konkv) grbkre jellemz, hogy a grbe brmely kt pont-jt sszekt szakasz a grbe felett (illetve alatt) halad.

x

y

x1 x21 2+

2

x x

1 2( )+ ( )

2

f x f x

1 2+

2

x xf

DEFINCI: inflexi: A fggvnygrbnek azt a pontjt, ahol a grbe konvexbl konkvba, vagykonkvbl konvexbe megy t, inflexis pontnak nevezzk.

DEFINCI: pontbeli folytonossg: Az f fggvny az rtelmezsi tartomnynak egy x0 pontjbanfolytonos, ha ltezik az x0 pontban hatrrtke s az megegyezik a helyettestsi rtkkel,vagyis = 00( ) lim ( )x xf x f x .

Globlis fggvnytulajdonsgok: rtelmezsi tartomny, rtkkszlet, globlis (abszolt) szls-rtk, parits, periodikussg, intervallumbeli folytonossg, korltossg.

DEFINCI: globlis (abszolt) szlsrtk: Az f fggvnynek az x0 Df helyen globlis maxi-muma van, ha minden x Df pontjban f(x) < f(x0). Az x0 helyet globlis maximumhelyneknevezzk.Az f fggvnynek az x0 Df helyen globlis minimuma van, ha minden x Df pontjbanf(x) > f(x0). Az x0 helyet globlis minimumhelynek nevezzk.Teht a szlsrtk abszolt (globlis) szlsrtk x0-ban, ha az rtelmezsi tartomny min-den pontjra igazak az egyenltlensgek.

49

DEFINCI: parits: Az f fggvny pros, ha rtelmezsi tartomnynak minden x elemre x iseleme az rtelmezsi tartomnynak, tovbb az rtelmezsi tartomny minden x elemref(x) = f(-x).Az f fggvny pratlan, ha rtelmezsi tartomnynak minden x elemre x is eleme az r-telmezsi tartomnynak, tovbb az rtelmezsi tartomny minden x elemre f(x) = -f(-x)).A pros fggvnynek a grafikonja tengelyesen szimmetrikus az y tengelyre. (pl. x2n, x,cosx).

A pratlan fggvnyek grafikonja kzppontosan szimmetrikus az origra. (pl. x2n + 1, 1x

,

sinx, tgx).

DEFINCI: periodikussg: Az f fggvny periodikus, ha ltezik olyan p 0 vals szm, hogya fggvny rtelmezsi tartomnynak minden x elemre x + p is eleme az rtelmezsi tarto-mnynak, tovbb az rtelmezsi tartomny minden x elemre f(x + p) = f(x), ahol p a fgg-vny peridusa (pl. trigonometrikus fggvnyek, trtrsz fggvny).

DEFINCI: intervallumbeli folytonossg: Az f fggvny egy nylt intervallumban folytonos, haaz intervallum minden pontjban folytonos

(pl.: folytonos: xn, logax, ax, sinx, cosx; nem folytonos: egszrsz, 1x

, tgx, ctgx).

DEFINCI: korltossg: Az f fggvny fellrl korltos az rtelmezsi tartomnynak egy inter-vallumban, ha ltezik olyan K szm, hogy az intervallum minden x pontjban f(x) K. Egyfggvny fels korltai kzl a legkisebbet a fggvny fels hatrnak (szuprmumnak)nevezzk.Az f fggvny alulrl korltos az rtelmezsi tartomnynak egy intervallumban, ha lte-zik olyan k szm, hogy az intervallum minden x pontjban f(x) k. Egy fggvny als korl-tai kzl a legnagyobbat a fggvny als hatrnak (infimumnak) nevezzk.Korltos egy fggvny, ha alulrl s fellrl is korltos.

III. Differencilszmts:

DEFINCI: Legyen f egy ]a, b[ intervallumon rtelmezett fggvny s x0 az rtelmezsi tartomny

egy pontja. Ekkor a 00

( ) ( )( )

f x f xg x

x x= fggvnyt az f fggvny x0 ponthoz tartoz klnb-

sgi hnyados (differenciahnyados) fggvnynek nevezzk.

x

y

x0 x

( )f x

0( )f x

x x0

f x x( ) f( )0

DEFINCI: Az f fggvny x0 ponthoz tartoz klnbsgi hnyadosnak az x0 helyen vett hatrr-tkt (ha ez a hatrrtk ltezik s vges) az f fggvny x0 pontbeli differencilhnyados-nak vagy derivltjnak nevezzk.

Jel: = 0

00

0

( ) ( )( ) lim

x x

f x f xf x

x x.

50

DEFINCI: Ha egy fggvnynek egy pontban van derivltja, akkor azt mondjuk, hogy a fggvnyebben a pontban differencilhat (derivlhat).Az x0 pontbeli differencilhnyados egy brzolhat fggvny esetben a fggvny grafi-konjnak (x0, f(x0)) pontjhoz hzott rint meredeksge.Pl.: f: R R, f(x) = x2 - 4x + 5.Differenciahnyados x0 = 1 pontban:

2 2 2( 4 5) (1 4 1 5) ( 3)( 1)4 3( ) 31 1 1

x x x xx xg x xx x x

+ + += = = = , ha x 1.g nincs rtelmezve az x = 1 helyen, de

1lim( 3) 2x

x = ltezik s vges fi f (x) = -2. Tehta parabola rintjnek meredeksge x = 1 helyen -2.Differenciahnyados x0-ban:

+ + += = = + + = = = +

2 2 2 20 00 0

0 0

0 0 0 0 00

0 0

( 4 5) ( 4 5) 4 4( )

( )( ) 4( ) ( )( 4)4

x x x x x x x xg x

x x x x

x x x x x x x x x xx x

x x x x

ha x x0

f (x0) =0

limx x (x + x0 - 4) = 2x0 - 4 fi tetszleges x pontban: f (x) = 2x - 4.

DEFINCI: Ha f fggvnynl az rtelmezsi tartomny minden olyan pontjhoz, ahol f differenci-lhat hozzrendeljk a differenciahnyados rtkt, akkor az f fggvny differencilh-nyados (derivlt) fggvnyt kapjuk. Jells: f (x).

TTEL: Derivlsi szablyok (f s g fggvnyek derivlhatak az x helyen, s derivltjuk itt f (x),illetve g(x)):1. f(x) = c, c = lland fi f (x) = 02. (c f(x)) = c f (x), c R3. (f(x) g(x)) = f (x) g(x)4. (f(x) g(x)) = f (x) g(x) + f(x) g(x)5.

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

f x f x g x f x g xg x g x

= 6. (f(g(x))) = f (g(x)) g(x)

TTEL: Elemi fggvnyek derivltjai:1. (xn) = n xn - 1, ha x > 0, n N+.2. (ax) = ax lna, ha a > 0, a 1.

(ex) = ex.3. 1(log )

lnax

x a = , ha a > 0, a 1, x > 0.

4. 1(ln )xx

= , ha x > 0.5. (sinx) = cosx.6. (cosx) = -sinx.

TTEL: Hatvnyfggvny derivltfggvnye: (xn) = n xn - 1, ha x > 0, n N+.BIZONYTS: teljes indukcival

n = 1-re igaz: f(x) = x1 esetben

51

= = = = = = = 0 0