Conf. Dr. ing. Ilie SuarasanUniversitatea Tehnica

din Cluj-Napoca

Disciplina de baza in pregatirea specialistilor din ISA, (numai ET)

Disciplina tehnica abstracta, complementara in pregatirea specialistilor din II, IEI, ISM, SET, IM s.a.

Cunosterea tipurilor de masini electrice utilizate, dar si a principiilor de alegere a acestora in diverse actionari electrice

1. ELECTROSTATICA

2. ELECTROCINETICA

3. CIRCUITE DE CURENT CONTINUU

4. ELECTRODINAMICA

5. CIRCUITE ELECTRICE DE CURENT ALTERNATIV

6. CIRCUITE TRIFAZATE

1.1. Sarcina si campul electric Electronul are sarcina elementară negativă:

(Coulomb). Aceeaşi sarcină elementară, dar pozitivă, o are protonul:

Cqe1910602,1

Cq p1910602,1

Forţa care acţionează asupra un corp punctiform de probă, încărcat cu sarcina electrică q şi care explorează câmpul electric : vE EqF

[Ev]SI: 1 V / 1 m; [q]SI: 1 C = 1A x 1s, sau Ah, (1 Ah = 3600 As =3600 C)

Liniile de câmp dintre două corpuri punctiforme încărcate cu sarcini electrice diferite

12

122

12

2112 4 r

r

r

qqF

0 r

m

F

Nm

C,,

1094

12

2

90

ε este constanta dielectrică sau permitivitatea mediului.În tehnică se lucrează cu permitivitatea relativă:

34 r

rqE

i i

ii r

rqE

34

1

1.2. Potenţialul electric şi tensiunea electrică

s

s

sE

s

V

gradVE 04

1V

r

qV

Câmpul electrostatic este un câmp potenţial, definit ca o funcţie scalară de punct V(r), a cărei pantă de scădere locală după direcţia vectorului să fie egală cu proiecţia pe acea direcţie a intensităţii câmpului

electric:

, sau:

.

Vi i

i

r

dq

r

qV

4

1

FdrFdssdFdL cos

B

AAB AB

r

r

BABAc c

AB VVqrr

qqdr

r

qqFdrsdFL

EqF

11

440

20

BAAB c

B

c

BA sdEVsdEVV

Lucrul mecanic efectuat de corpul M, în deplasarea sa pe curba (c), între punctele A şi B:

BA rr 0sdE

ABc

AB sdEU

Pentru reprezintă teorema potenţialului electrostatic: circulaţia

intensităţii câmpului electric coulombian este nulă pe orice curbă închisă.Tensiunea electrică se defineşte ca fiind:

lucrul mecanic efectuat este nul, LAB=0 şi

BAAB VVU

Tensiunea electrica se defineste ca diferenţa de potenţial măsurată între două puncte ale curbei respective:

a cărui unitate de măsură în SI este voltul, fiind definit ca lucrul mecanic de 1 J, cheltuit pentru transportarea unei sarcini de 1 C.

D E

EED r 0

1.3. Caracterizarea dielectricilorCâmpul electric în interiorul corpurilor dielectrice este caracterizat de inducţia electrică şi intensitatea câmpului electric

Pentru dielectrici liniari şi izotropi există relaţia:Materialele electroizolante mai sunt caraterizate şi prin rigiditatea

dielectrică, Ed. Rigiditatea dielectrică depinde de natura materialului electroizolant, forma

electrozilor, distanţa dintre electrozi, condiţii atmosferice, etc.

S

AdD

qAdD

1.4. Legea fluxului electric

Fluxul electric se defineşte ca fiind:

Legea fluxului electric arată că fluxul electric , prin orice suprafaţă închisă este egal cu sarcina electrica q.

.

1.5. Condensatorul electric şi capacitatea electrică

U

qC

V

CF

1

11

Două conductoare separate de un dielectric, încărcate cu sarcinile +q, respectiv –q, reprezintă un condensator, caracterizat de capacitatea sa: si unitatea de masura

Condensatorul plan - două suprafeţe metalice, plane, (1 şi 2), de arie A, aflate la distanţa a, într-un mediu cu permitivitatea , încărcate cu sarcinile q. Valoarea inducţiei electrice si a

intensităţii câmpului electric între armături este, (în care este densitatea de sarcină pe suprafaţa A):

A

qD

A

qDE

Tensiunea aplicată armăturilor 1 şi 2 poate fi exprimată sub forma:iar capacitatea condensatorului plan, va fi:

A

qaEasdEU

2

1a

AC

1.6. Capacitatea echivalentă a condensatoarelor1.6.1. Conectarea în serie a condenstoarelor

qqq 21 nAB UUUU ,...,21

ne C

q

C

q

C

q

C

q ,...,

21

ne CCCC

1,...,

111

21

n

k ke CC 1

11

1.6.2. Conectarea în paralel a condenstoarelor

nqqqq ,...,21 ABnABABABe UCUCUCUC ,...,21

ne CCCC ,...,21

n

kke CC

11.7. Energia şi forţele câmpului electrostatic

C

qCUqUVVqWe

22

21 2

1

2

1

2

1

2

1

ctqk

Wef

ctVk

Wef

Pentru sisteme de corpuri izolate de surse, (dqk = 0), efectuarea lucrului mecanic se efectuează în contul energiei sistemului, iar pentru sisteme de corpuri conectate la surse care menţin constante potenţialele Vk .

2. ELECTROCINETICA studiază stările electrice ale conductoarelor parcurse de curenţi electrici de conducţie

2.1. Curentul electric şi tensiunea electromotoareIntensitatea curentului electric este caracterizată de cantitatea de sarcini electrice (dqS), care străbate o suprafaţă S, în unitatea de timp :dt

dqi S

S Local, starea electrocinetică se caracterizează prin densitatea curentului electric, mărime vectorială, funcţie de punct, a cărei componentă după direcţia unui vector este:

A

iJnJ

A

0

lim

S

S AdJiCurentul mai poate fi denumit ca fiind fluxul densităţii curentului prin suprafaţa dată, S:

Pentru întreţinerea unei stări electrocinetice staţionare este necesară existenţa unor câmpuri electrice imprimate:

io

i Fq

E1

Forţa electromotoare, sau tensiunea electromotoare (t. e. m.) reprezintă lucrul mecanic al forţelor neelectrice pentru a transporta un purtător cu sarcina electrică unitate pe curba :

eLq

sdFq

sdEo

io

i

11Pentru un regim electrocinetic staţionar se defineşte, t. e. m. corespunzătoare unei porţiuni de curbă c12,cu UM, în SI, [V] :

12c

ii sdEe

Prin generalizarea primei relaţii se ajunge la conservarea sarcinii electrice:

dt

dqi În regim electrocinetic staţionar, curentul este nul

prin orice suprafaţă închisă, iar teorema potenţialului electric staţionar mai poate fi scrisă şi sub forma: 0sdE 0

kku

2.2. Legea conducţiei electriceJEE i 1211

12ttttt

1

Unităţile de măsură ale rezistivităţii şi conductivităţii în SI sunt []SI = m, []SI = S / m, iar în tehnică se utilizează mm2/m, sau S m / mm2.Legea conducţiei electrice admite o justificare microscopică

simplă, asupra purtătorilor de sarcină, acţionează sistemul de forţe:

EqF oe ioi EqF vkF ff 0 vkEEq fio

vNqJ o if

o EEk

NqJ

2

A

iJ ds

A

iJdssdJ Pentru conductoare

filiforme:

1212121212 ccc

i

cc

i A

dsisdJ

A

AsdEsdEsdEE

sdEuc

f 12

12c

ii sdEe 12c A

dsR

Rieu if

Rieu ib eI = Ri, ub = Ri

A

l

A

lR

[R]SI = 1 , (Ohm), [G]SI = 1 S,

(Siemens)

2.3. Transformarea energiei în procesul de conducţieJEp j EqF oe vNqJ o JEvENqvNFp ooej

JEJJEJp iij 202 JpR JEp ig

V c

f

V

jJ iuJAsdEsdAEJdVpP12

))(()(

gRiiJ PPieRieRiiP 2)(

2.4. Pile şi acumulatoare electrice

3. CIRCUITE ELECTRICE DE CURENT CONTINUU3.1. Convenţii şi

definiţiiO = L – N + 1

pb > 0, puterea este primită de receptor, sau este cedată

de sursă

ub + er = Ri - ub + eg = ri pb = ubi

3.2. Teoremele lui Kirchhoffa. Prima teoremă a lui Kirchhoff suma curenţilor

care intră este egal cu suma curenţilor care ies din nodul respectiv, sau suma curenţilor care converg spre un nod este nulă:

b. A doua teoremă a lui Kirchhoff suma căderilor de tensiune pe laturile ochiului independent este egală cu suma tensiunilor electromotoare existente în aceleaşi laturi, sau suma tensiunilor existente în laturile ochiului respectiv este nulă:

NK

KI 0

OK

KU 0

OK

KKOK

K IRE

3.3.2. Teorema rezistenţelor echivalente a. Conectarea în serie a rezistoarelor

nAB UUUU ...21

IRIRIRIR ne ...21

ne RRRR ...21

K

Ke RR

b. Conectarea în paralel a rezistoarelor nIIII ...21

n

ABABAB

e

AB

R

U

R

U

R

U

R

U ...21

ne RRRR

1...

111

21

K K

e

R

R1

1 K

Ke GG

3.3.3. Alte teoreme: a superpozitiei, Thevenin, Norton, metode sistemice - vezi curs

cK cK

KKKK IRIE 2

3.3.5. Teoremele de transfigurare

Δ → Y Y → Δ

312312

31231221

)(

RRR

RRRRR

312312

12312332

)(

RRR

RRRRR

312312

23123113

)(

RRR

RRRRR

312312

31121 RRR

RRR

312312

12232 RRR

RRR

312312

31123 RRR

RRR

321

3122312

)(

GGG

GGGGG

321

1233123

)(

GGG

GGGGG

321

2311231

)(

GGG

GGGGG

321

2112 GGG

GGG

321

3223 GGG

GGG

321

1331 GGG

GGG

4. ELECTRODINAMICA 4.1. Câmpul magnetic

vBvqF mA

NT

11

11

vp BmC vBliF Aimp

HHB r 0 r 0 ]/[,104 70 mH [H]SI =

1A/1mrsd

r

iHd

344.2. Materiale magnetice

V

mM

V

lim

0

)(0 MHB tp MMM tmt HM

ppmmp MHMHHMHB 0000 )1()(

rm 1

Diamagnetice caracterizate prin susceptivitate ct., f. mică, negativă . Ex: Ag, Cu, Bi. 0m 1rParamagnetice caracterizate prin susceptivitate f. mică, pozitivă, care scade cu temperatura. Ex: O2, Pt, Al, Mn.Feromagnetice caracterizate prin permeabilităţi relative şi susceptivităţi pozitive, de valori f. mari, (102 ÷105), dependente de intensitatea câmpului magnetic, iar depăşirea unei anumite temperaturi critice, numită temperatură Curie, determină pierderea proprietăţilor feromagnetice.

0m 1r

- materiale magnetice moi, caracterizate prin ciclu histerezis îngust şi un câmp coercitiv mic, utilizate pentru realizarea circuitelor magnetice ale maşinilor şi aparatelor electrice. Exemple: oţelul Et, cu un conţinut ridicat de siliciu, (2 şi 4)% Si, permalloy-ul, dynamax-ul, fonta şi altele;- materiale magnetice dure, caracterizate printr-un ciclu histerezis larg şi un câmp coercitiv mare, utilizate pentru realizarea magneţilor permanenţi ai excitaţiilor unor maşini electrice, sau a circuitelor magnetice din unele aparate electrice. Exemple: oţelul carbon călit, oţeluri AlNi, AlNiCo şi altele;- materiale ferimagnetice, denumite şi ferite, care prezintă o structură asemănătoare cu materialele feromagnetice moi sau dure, dar care sunt materiale semiconductoare caracterizate prin rezistivitate mare şi care prezintă caracteristici asemănătoare materialelor magnetice moi sau dure, cu utilizări multiple în informatică, transformatoare de înaltă frecvenţă, micromotoare, relee, microgeneratoare, etc.

4.3. Fluxul şi tensiunea magnetică

S

S AdB 0

AdB

MNc

m sdHU

sdHUmm

[]SI: 1 Wb, (Weber); [Um; Umm]SI: 1 A, sau 1 Asp., (Amper sau Amperspiră)

S

Smm AdJisdHUTeorema lui Ampere:

Solenaţia:

Legea circuitului magnetic:

S

AdJ

S

AdDdt

dsdH

4.4. Circuite magnetice

S

HABAAdB MN MN MNc c c

MNMN RA

dsHdssdHU

MNc

MNRA

ds

Circuite electrice Circuite magnetice

Tensiunea electrică:, [V]

Tensiunea magnetică:, [A], [A sp.]

Tensiunea electromotoare:, [V]

Tensiunea magnetomotoare:, [A], [A sp.]

Curentul electric:, [A]

Fluxul magnetic:, [Wb]

Rezistenţa electrică:, []

Reluctanţa magnetică:, [H-1]

Conductanţa electrică:, [S]

Permeanţa magnetică:, [H]

Legea lui Ohm: Teorema lui Ampere:

Prima teoremă a lui Kirchhoff: Legea fluxului magnetic:

A doua teoremă a lui Kirchhoff: Teorema lui Ampere:

12c

f sdEu MNc

m sdHU

12c

ii sdEe

sdHUmmi

AdJis s

s AdB

A

l

A

dsR

c

12

MNc

MN A

l

A

dsR

RG

1

MNR

1

Riub MNm RU

Nk

kI 0

Nk

k 0

Ok

kOk

k EU

Ok

kOk

kMNkR

4.5. Legea inducţiei electromagnetice

dt

de

S

AdBdt

d

dt

dsdEe

fN dt

dNe f

sdBvdtvsdBdt

dAdB

dt

dconstB

SconstB ..

S

sdBvAdt

BsdEe

4.6. Inductivităţi 1

111

1

1111 i

N

iL f

1

212

1

2121 i

N

iL f

4.7. Energia şi forţele câmpului magneticEnergia magnetică a bobinei de

inductivitate L:

Forţele câmpului magnetic:

LiLiWm

22

2

1

2

1

2

1

.const

mWf

.consti

mWf

5.1. Elemente ideale de circuit în regim variabila. Rezistorul ideal

0

dt

duusdEe bf

Riu f

Riub RiuR RGui

;

;

;

22RR GuRiiup

b. Bobina ideală

0

dt

duusdEe bf

0Riu f dt

deu S

b

LiS dt

diLuL dt

dWLi

dt

d

dt

diLiiup m

L

2

2

1

Pentru bobina reală cu rezistenţa firului conductor, R 0:

LRS

fb uudt

diLRi

dt

duu

c. Condensatorul c. Condensatorul idealideal

0

dt

duusdEe bf

0Riu f C

quu Cb

0)(

dt

duC

dt

dq

dt

qdi C

t

CC idtC

uu0

10

dt

dWCu

dt

d

dt

duCuiup e

CC

CC

2

2

1

d. Surse ideale de tensiune si de curent

gi esdEEe

0 Rieu if

bg ue ieiup gb e. Teoremele lui Kirchhoff generalizate pentru regim cvasistationar I teorema a II-a teorema

NK

Ki 0 ;0

sdE 0bKu

5.2. Circuite simple în regim tranzitoriua. Regimul tranzitoriu de stabilire a

curentului intr-o bobina

00 Uuu LR

0Udt

diLRi

R

UAeti

tL

R0)(

)0()0( ii > 0, <<, iar înaintea închiderii întrerupătorului, i(0 - ) = 0, 0)0()0( 0

R

UAii

tL

R

eR

Uti 1)( 0

R

UA 0

tL

R

L eUdt

diLu

0 R

L - constanta

circuitului

b. Regimul tranzitoriu de incarcare a unui condensator

00

UuuldEe CR

dt

duRCRiu C

R

0 CC u

dt

duRC

.

0)( UAetu RC

t

C

)0()0( CC uu > 0, <<, iar înaintea închiderii întrerupătorului, Uc(0 - ) = 0,

0)0()0( UAuu CC

0UA

RC

t

C eUtu 1)( 0RC

tC e

R

U

dt

duCti

0)(

τ= RC - constanta circuitului

5.3. Regimul permanent sinusoidal

5.3.1. Marimi periodice si sinusoidale)()( nTtiti

Tf

1

Tt

t

med idtT

I1

1

1

Tt

t

dtiT

I1

1

21

)sin(max tIiImax > 0 este amplitudinea; > 0 este pulsaţia; este faza iniţială;iar expresia (t + ) poartă

denumirea de faza mărimii sinusoidale

2 tTt

2

T fT

22

22

)(2cos12

)(sin1 max

0

2max

0

2max

0

22max

Idt

T

Idtt

T

IdttI

TI

TTT

)sin(2)sin(max tItIi

)sin(2 111 tIi

)sin(2 222 tIi

- defazajul mărimilor:

1 - 2 1 - 2

= 1 - 2 1 - 2 = 0, mărimi în fază;

1 - 2 = ± , mărimi în opoziţie;

1 - 2 = ± /2, mărimi în cuadratură

Operaţii cu mărimi sinusoidale.

Suma a două mărimi sinusoidale:

)cos(2 212122

21 IIIII

Multiplicarea cu o constantă :

. .

)sin(2' tIiDerivarea:

2sin2)cos(2

tItIdt

didefazată în faţă cu /2

Integrarea:

2

sin2)cos(2

t

It

Iidt defazată în urmă cu /2

Produsul a două mărimi sinusoidale: );sin(2 tIi )sin(2 tUu)]2cos()[cos()sin()sin(2 tUIttUIui

5.3.2. Caracterizarea circuitelor liniare în regim permanent sinusoidal

)sin(2 tUu

)sin(2 tIi

Impedanţa circuitului: 0,...),,,( CLRZI

UZ

Defazajul :

0,...),,,(

CLR

)sin(2 tZ

Ui

Rezistenţa circuitului : 0coscos

Z

I

UR

Reactanţa: 0sinsin

Z

I

UX

Admitanţa: 01

U

I

ZY

Conductanţa: 0coscos

Y

U

IG

Susceptanţa: 0sinsin

Y

U

IB

Clasificarea circuitele de curent alternativ: - circuite pur rezistive: = 0;X = 0; B = 0; Z = R; Y = G;- circuite reactive: 0; X 0;B 0;- circuite reactive sau nedisipative: R = 0; G = 0; ;- circuite inductive: > 0; X > 0; B > 0;

- circuite pur inductive: R = 0; G = 0; Z = X; Y = B;- circuite capacitive: < 0; X < 0; B < 0;- circuite pur capacitive: R = 0; G = 0; Z = - X ; Y = - B;

;2

XZ ;BY

;2

;2

5.3.3. Puteri în regim permanent sinusoidal

tUu sin2 )sin(2 tIi

Puterea instantanee: p = u i tUIUIttUIp 2cos(cos)sin(sin2

Puterea activă: T

UIpdtT

pP0

cos1~

0cos 22 GURIUIP

Puterea reactivă: 0sin

UIQ 0sin 22

BUXIUIQ

Puterea aparentă: 022 YUZIUIS

Factorul de putere: 0cos1 S

Pk p

5.3.4. Circuite electrice simple în regim permanent sinusoidal

tUu sin2 )sin(2 tIi

a. Rezistorul ideal

tURiu sin2

tR

U

R

ui sin

R

URIP

22

b. Bobina ideală

dt

diLu

2sin2)cos(2sin2

tILtILtU

2sin2

tL

Ui 0P

02

2

L

UILSQ

c. Condensatorul ideal

dt

duCi

2sin2cos2)sin(2

tUCtUCtI

UCI 2

2sin2

tUCi

02 UCC

IQ

d. Circuitul RLC serie

CLR uuuu

idtCdt

diLRiu

1

)cos(21

)cos(2)sin(2sin2

tIC

tILtRItU

22 1

CLR

UI

01

C

LXXX CL

22

2 UZ

RRIP

0

11 2

22

U

ZC

LI

CLQ

22 QPS

5.4. Reprezentarea în complex a mărimilor sinusoidale

)sin(2)( tIti

)(2 tjeIi 1j ii

11 ii 22 ii Operatii cu marimi complexe: adunarea (sau scăderea):

2121 iiii

- multiplicarea cu o constantă:

ikki

- derivarea în raport cu timpul:ij

dt

id

dt

di ijeIjdt

id tj )(2

- integrarea în raport cu timpul: ji

dtiidt

j

ieI

jidt tj )(2

1

jIeI tjeIi 2

Operatii cu marimi complexe simplificate: adunarea (sau scăderea):

11 Ii 22 Ii 2121 IIii

- multiplicarea cu o constantă: Ikki

- derivarea în raport cu timpul: Ijdt

di

jI

idt - integrarea în raport cu timpul:

5.5. Caracterizarea în complex a circuitelor liniare

)sin(2 tUu jUeU

)sin(2 tIi jIeI 5.5.1. Impedanţa şi admitanţa complexăa. Impedanţa complexă

),...,,,,( CLRZI

UZ

)sin()cos()(

I

Uj

I

Ue

I

U

Ie

Ue

I

UZ j

j

j

jXRZeZ j ZZ }arg{Z

}Re{ZR

}Im{ZX

b. Admitanţa complexă: ),...,,,,(1

CLRYU

I

ZY

)sin()cos()(

U

Ij

U

Ie

U

I

Ue

Ie

U

IY j

j

j

jBGYeY j

YY

}arg{Y}Re{YG

}Im{YB

5.5.2. Puterea complexă

)sin()cos(* )( jUIUIUIeIUS j

jQPjUIUIUIeSeS jj sincos

UISS Sarg SUIP Recos SUIQ Imsin

5.5.3. Caracterizarea în complex a elementelor electrice ideale de circuit

a. Rezistorul ideal:

RR UIRUuRiu

RZI

U

RY

U

I 1

R

URISIU

22*

b. Bobina ideală:

LL UILjUudt

diLu

LjZI

U

Lj

LjY

U

I

11

L

UjLIjSIU

2

2*

c. Condensatorul ideal

CC UCj

IUuidt

Cu

1

Cj

CjZ

I

U

11

CjYU

I

221* CUjI

CjIUS

d. Circuitul RLC serie:

CLjRZ

I

U

1

22 1

1

11

CLR

CLjR

CLjR

YU

I

22 1* I

CLjRIIUS

6. CIRCUITE TRIFAZATE 6.1. Generalităţi, definiţii şi convenţii asupra mărimilor trifazate

3

4sin2

3

4sin

3

2sin2

3

2sin

sin2sin

33

22

11

tEtNBAdt

de

tEtNBAdt

de

tEtNBAdt

de

333

222

111

sin2

sin2

sin2

tXx

tXx

tXxSistem trifazat simetric:X1 = X2 = X3;1 - 2 = 2 - 3 = 3 - 1

Sistem trifazat de succesiune directă:

3

2133221

Sistem trifazat de succesiune inversă: Sistem omopolar:

3

2133221

0133221

6.2. Conexiuni trifazate

6.2.1. Conexiunea stea

111

11 YU

Z

UI N

N 222

22 YU

Z

UI N

N 333

33 YU

Z

UI N

N

NNN

NN YU

Z

UI 0

0 0101 NN UUU

0202 NN UUU

0303 NN UUU

NIIII 321

NN YYYY

YUYUYUU

321

3302201100

201012 UUU 302023 UUU 103031 UUU

0312312 UUU

*0

*3030

*2020

*1010

*0

*33

*22

*11

NNNNN

NNNNN

IUIUUIUUIUU

IUIUIUIUS

**3

*2

*1 NIIII

*330

*220

*110 IUIUIUS

fUU 10

3

2

20

j

f eUU

3

4

30

j

f eUU

jZeZZZ 321

3

4

13

4

3

4

3

303

3

2

13

2

3

2

2

202

1

101

jj

f

jf

jj

f

jf

jf

jf

eIeIeZ

U

Z

UI

eIeIeZ

U

Z

UI

eIeZ

U

Z

UI

0321 III

3

4

126

5

103031

3

2

122

302023

6201012 2

1

2

33

jj

l

jj

l

j

lf

eUeUUUU

eUeUUUU

eUjUUUU

3f

l

U

U

jQPeIUIUIUIUS jff 3*

330*220

*110

sin3sin3

cos3cos3

llff

llff

IUIUQ

IUIUPfl II

6.2.2. Conexiunea triunghi

31121 III 12232 III 23313 III 0321 III

12

1212

Z

UI

23

2323

Z

UI

31

3131

Z

UI

*323

*31312312

*3131

*3

*3123

*31

*112

*3131

*2323

*1212

IUIUUU

IUIIUIIU

IUIUIUS

lUU 12 3

2

23

j

leUU

3

4

31

j

leUU

jeZZZZ 312312

3

4

123

4

3

4

31

3131

3

2

123

2

3

2

23

2323

12

1212

jj

f

jl

jj

f

jl

jf

jl

eIeIeZ

U

Z

UI

eIeIeZ

U

Z

UI

eIeZ

U

Z

UI

3

4

13

4

623313

3

2

13

2

612232

62

1

2

3

31121 3

jj

l

jj

l

j

l

jj

f

eIeIIII

eIeIIII

eIeIIII

3

2

2332

j

leUUU

jQPeIUjeIU

eIUeIUIUIUS

jll

j

ll

j

ll

j

ll

32

1

2

33 6

3

4

3

2

66*332

*112

sin3

cos3

ll

ll

IUQ

IUP

fl UU

3f

l

I

I