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“Estruturas sob Efeitos Dinâmicos”
Junho 2016
Eng. Sérgio E. Stolovas
2
Sistemas Estruturais em Concreto - CWB
1Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
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em metros
Se soubermos quanto
desloca a estrutura de
um grau de liberdade
submetida ao peso
aplicado na direção do
grau de liberdade
podemos saber a
frequência natural
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Excitação Estrutura RespostaZERADA
Sistemas que não são submetidos a excitações nem possuem mecanismos de
dissipação de energia conservam a energia e continuariam oscilando com um
mesmo nível energético para sempre!!!
Todo sistema real tem
mecanismos de desperdiço de
energia que são idealizados
geralmente mediante
amortecedores viscosos
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4Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
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Conceitos teóricos (4)
5Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
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Conceitos teóricos (5)
6Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
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7/617Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
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Conceitos teóricos (6)Equação da oscilação livre amortecida partindo de velocidade zero
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Conceitos teóricos (6a)Equação da oscilação livre amortecida partindo de velocidade zero
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Conceitos teóricos (6b)Equação da oscilação livre amortecida partindo de velocidade zero
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11/6111Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Conceitos
teóricos
(6c)Equação da oscilação
livre amortecida partindode velocidade zero
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VIDE
Conceitos teóricos (6)Equação da oscilação livre amortecida partindo de velocidade zero
12Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
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Excitação Estrutura RespostaZERADA
Sem
Amortecimento
Com
Amortecimento13Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
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Conceitos teóricos (7) Equação da oscilação livre amortecida partindo de velocidade inicial
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Conceitos teóricos (7) Equação da oscilação livre amortecida partindo de um impulso
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Conceitos teóricos (7) Equação da oscilação livre amortecida partindo de um impulso
16Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
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Conceitos teóricos (7) Somar Impulsos (Método de Green)
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Integral de Duhamel
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Conceitos teóricos (7) Somar Impulsos (Método de Green)
Integral de Duhamel
VIDE
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Estática
Na Estática se
temos F edesejamos
averiguar M, não
precisamos
calculard:
M=Fh
Se o dado ford
(não F) e se
conhecemosEI,h podemos
calcular M
sem
necessidade
de calcular F
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No instante t os esforços
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Estática
Dinâmica mm
Na dinâmica
os esforços
internos
devem ser
analisados a
partir da
deformação
no instante t .
Esforços
internos
dependem dahistória de
forças e não
da força no
instante t
No instante t os esforços
internos dependem da
deformação no instante t
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Dinâmica
mmNão interessausar a força F
real no instante
em questão já
que odeslocamento é
consequência
da História F(t)
e não da força
instantânea.
No instante t os esforços
internos dependem da
deformação no instante t
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Na Dinâmica Estrutural os esforços internos
devem ser analisados sempre a partir da
deformação no instante t .
Esforços internos dependem da história de
forças e não da força no instante t.
Não temos equilíbrio de Forças!!!
Porém,…
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FORÇA ESTÁTICA EQUIVALENTE
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Porém, resulta operacionalmente útil usar uma FORÇA FICTÍCIA
que atuando estaticamente geraria o deslocamento (t).
Chamamos a essa força: FORÇA ESTÁTICA EQUIVALENTE F st,eq
F st,eq
M = F st,eq h
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27Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
Porém, resulta operacionalmente útil usar uma FORÇA FICTÍCIA
que atuando estaticamente geraria o deslocamento (t).
Chamamos a essa força: FORÇA ESTÁTICA EQUIVALENTE F st,eq
F st,eq
M = F st,eq h
= F(t) – m a
FUI
EU
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Memo Rigidez
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=
=
=
=
=
=
=
-
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Efeitos de CarregamentosHarmônicos
29Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
(t) =
; ᆎ
=
=2
Efeitos de Carregamentos Harmônicos
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Efeitos de Carregamentos Harmônicos (t) =
;ᆎ
(t)
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31Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
(t) =
; ᆎ
=
→ ∞
= /
(−)+ ( ∅)
=
=
=
∅ =
ξ r
1−
(t)
-
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32Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
=
→ ∞
= /(−)+
( ∅)
=
=
=
∅ =
ξ r
1−
( )
=
;ᆎ
deslocamento estático
(
)
Amplificação
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Excitação Estrutura Resposta
Harmônica SDOF Depende da
freqüência daexcitação
Parte do tempo a
excitação se opõe ao
deslocamento (freia a
resposta)
100% do tempo a
excitação tem a
direção da
velocidade
Parte do tempo a
excitação se opõe ao
deslocamento (freia a
resposta)
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Excitação Estrutura Resposta
Harmônica com freq. f SDOF com freq.
própria fnDepende de f
MuitoImportante!:
A freqüência
da resposta
noestacionário
coincide
sempre coma freqüência
da excitação
Para f >> fn a resposta estáatrasada uma fase de quase ½
ciclo (180o = P Rad) respeito à
força.
Para f
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Ao cabo de alguns ciclos o transienteapaga e a resposta será:
a) senoidal , b) com a freqüência da
excitação,
c) com amplitude dependente não
somente da amplitude P e da rigidez k,
mas também do amortecimento e da
relação entre freqüências de excitação e
freqüência própria da estrutura.
d) Com um atraso (fase f). 35Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
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Ao cabo de alguns ciclos o transienteapaga e a resposta será:
a) senoidal , b) com a freqüência da
excitação,
c) com amplitude dependente não
somente da amplitude P e da rigidez k,
mas também do amortecimento e da
relação entre freqüências de excitação e
freqüência própria da estrutura.
d) Com um atraso (fase f). 36Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais
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Excitação Estrutura RespostaSDOF Estacionária
Em quase todos os
casos o interesse será
exclusivamente na
parte Estacionária da
resposta
f fase
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No estacionário a energia introduzida ao sistema pelo
trabalho realizado pelas forças externas é igual à energia
dissipada pelo amortecimento. O resultado é um movimentoharmónico (fora de fase com as forças) que simula uma
oscilação livre não amortecida
- r~~1 efeito de sincronização com a
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- r1 efeito
super-sincronizado ouisolado
çfreqüência natural ou ressonância
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Excitação Estrutura RespostaSDOF Estacionária
Obs:
Em ressonância:
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Excitação Estrutura RespostaSDOF Estacionária
1) Quando temos uma excitação harmônica atuando sobre um sistema de umgrau de liberdade, a resposta estacionária será também harmônica, e sempre
com a mesma freqüência da excitação, sempre retrasada e “amplificada ou
diminuída”.
2) A fase e a amplitude da resposta estacionária estarão influenciadas pelos
parâmetros: a) amplitude da excitação, b) rigidez do sistema, c) fator de
amortecimento, d) razão entre a freqüência da excitação e a própria dosistema.
3) Em geral estamos interessados somente na resposta estacionária. Somente
para efeitos de impacto o interesse se centrará na resposta transiente.
4 ) A superposição de excitações coadjuvantes terá como resposta a soma dasrespostas resultantes das excitações individuais.
Qualquer excitação relevante poderá ser expressada (mediante a análise de
Fourier) como soma de excitações harmônicas . Devido a isso a
importância das mesmas.
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Introdução ao Análise de Fourier
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Jean aptiste Joseph Fourier
ESSE É “O CARA”!!!
Toda função F(t) periódica de período T que cumpra Hipóteses de regularidade
poderá ser expressada da maneira
O que resulta equivalente a
com
É a média dafunção no
intervalo
É uma combinação linear de infinitas funções harmônicas defreqüências múltiplas da freqüência de F(t):
w 2w 3w 4w ....
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Cn é o coeficiente de Fourier para a freqüência ” nw
T ”
e representa a magnitude de F(t) nesse Harmônico
O 1º termo não nulo se chamaHarmônico Fundamental (n=1), e os
seguintes Harmônicos Superiores
A medida que se vão agregando progressivamente termos correspondentes a
Harmônicos Superiores se consegue uma melhor aproximação da função F(t). Sendo
que infinitos termos é muita coisa na prática se adota um número finito p de termos
(de 1 até p)
Exemplo:
Fenômeno deGibson nas
descontinuidades
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Casos simplificados:
Função Periódica ParFunção Periódica Impar
Suma de COSENOSSuma de SENOS
Nestes casos resulta umacombinação linear de
Harmônicos com freqüência
múltipla dew
T, e em fase!!!
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F(t) IMPAR
Sawtooth
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A gráfica das amplitudes para cadafreqüência é o Espectro de
Freqüências cujo domínio são osmúltiplos da freqüência fundamental f 1
f : f 1
Cn
SQUARE
Em muitos casos a excitaçãoestará definida pela freqüência
diretrizw
T e pelos primeiroscoeficientes relevantes Cn
(amplitudes do espectro truncado)
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Sinal no domínio do
tempo =
História no tempo do Sinal
Sinal no domínio das
freqüências =
Espectro de freqüências
do Sinal
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Espectro de freqüência de uma função periódica
mostra a decomposição da função nos seus componentes harmônicospara as diferentes freqüências
+
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Espectro de freqüência de
uma função periódica
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Excitação Estrutura RespostaSDOF
a) Sistemas de um grau de liberdade submetidos a
Histórias Harmônicas de excitação provocam respostas
(que podemos calcular) cujo estacionário é tambémHarmônico, e cuja freqüência é a freqüência da excitação,
retrasada e “amplificada ou diminuída”.
RESUMINDO:
F=F o cos2 pf t
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Excitação Estrutura RespostaSDOF
b) Toda excitação periódica com história conhecida pode ser formulada graças a FOURIER como superposição de excitações harmônicas. Para obter a resposta ficaria somente
somar os efeitos dessas excitações harmônicas. Mais na frente veremos que a análise de
Fourier pode ser generalizado para excitações que não sejam necessariamente
periódicas.
c) O Espectro de Freqüências de uma excitação basta para poder estimar a resposta, Para
chegar às histórias de resposta exatas deveríamos também conhecer as “fases” dosdiferentes harmônicos da excitação.
AGORA LOGO VEREMOS COMO MEXER COM SISTEMAS DE MAIS DE GRAU DE LIBERDADE
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