5.5.

Dr. Balogh PéterDr. Balogh Péter

Gazdaságelemzési és Statisztika TanszékGazdaságelemzési és Statisztika Tanszék

DE-AMTC-GVKDE-AMTC-GVK

StatisztikaStatisztika

22

KözépértékszámításKözépértékszámítás

A középértékek (átlagok) az elemek értéknagyságának a

centrumát fejezik ki.

A középérték azonos fajta adatok halmazának közös

jellemzője.

Számításának célja: egy statisztikai sokaság valamilyen

mennyiségi ismérv szerinti tömör jellemzése.

A mennyiségi sorok elemzésének egyik eszköze.

A statisztikai sor általános jellemzésére szolgálnak, a

statisztikai sokaságot egy számmal jellemzik.

33

Középértékek fajtáiKözépértékek fajtái

Helyzeti középértékek

az értékeknek egy bizonyos intervallumban való

elhelyezkedési rendje játszik szerepet az értékében

Számított középértékek vagy átlagok

számítással határozzuk meg, értékét minden egyes

átlagolandó érték befolyásolja

44

Kvantilis értékekKvantilis értékek

A A rangsorba rendezett rangsorba rendezett sokaságot sokaságot k k egyenlő egyenlő részre osztják.részre osztják.

diszkrét ismérv esetén, ha sok egyező érték diszkrét ismérv esetén, ha sok egyező érték van, ne használjuk;van, ne használjuk;

folytonos ismérv esetén se, ha kevés a folytonos ismérv esetén se, ha kevés a megfigyelés és több egyező érték van.megfigyelés és több egyező érték van.

55

KvantilisekKvantilisek

66

Helyzeti középértékekHelyzeti középértékek

Egy sokaság valamilyen mennyiségi ismérv

szerinti tömör jellemzésére használjuk.

Fajtái

Medián

Módusz

77

Helyzeti középértékekHelyzeti középértékek

Helyzetüknél fogva jellemzik a statisztikai sort

Az észlelési adatokkal nincs matematikai

kapcsolatuk

A kiugró értékekre érzéketlenek

88

MediánMedián

A jelenség nagyság szerint rendezett adatsorának

közepén helyezkedik el.

Két egyenlő részre osztva a statisztikai sor adatait, a

medián előtt és után ugyanannyi adat helyezkedik el.

2

1N

99

MediánMedián

Páratlan tagszámú értéksor esetén: középső elem

Páros tagszámú értéksor esetén: két középső tag

számtani átlaga

Az észlelési adatok bármely tetszőleges számtól

számított abszolút eltérése közül a mediántól

számított eltérések abszolút értéke a legkisebb.

1010

Medián gyakorisági sorbólMedián gyakorisági sorból

1-me

1iif

mexo – a mediánt tartalmazó osztály alsó határa

- a gyakoriságok halmozott összege a mediánt

tartalmazó osztályig

fme – a mediánt tartalmazó osztály gyakorisága

i – az osztályközök nagysága

i*f

f2

1n

meMeme

i

xo

1-me

1i

-

1111

dátumdátumBUX BUX (%)(%)

dátumdátumBUX BUX (%)(%)

dátumdátumBUX BUX (%)(%)

dátumdátumBUX BUX (%)(%)

dátumdátumBUX BUX (%)(%)

dátumdátumBUX BUX (%)(%)

2. 1.2. 1. -7,5-7,5 1. 5.1. 5. -19,0-19,0 1. 4.1. 4. 35,335,3 1. 6.1. 6. 32,332,3 1. 7.1. 7. -7,2-7,2 1. 7.1. 7. 3,23,2

3. 1.3. 1. -0,2-0,2 2. 1.2. 1. 4,14,1 2. 1.2. 1. 7,87,8 2. 3.2. 3. 2,42,4 2. 2.2. 2. 11,311,3 2. 1.2. 1. -13,6-13,6

4. 5.4. 5. -11,2-11,2 3. 1.3. 1. 1,61,6 3. 1.3. 1. 9,89,8 3. 3.3. 3. -2,9-2,9 3. 2.3. 2. 4,84,8 3. 1.3. 1. -2,4-2,4

5. 2.5. 2. -2,5-2,5 4. 3.4. 3. 11,711,7 4. 1.4. 1. 7,77,7 4. 1.4. 1. 10,010,0 4. 1.4. 1. -1,2-1,2 4. 1.4. 1. 9,09,0

6. 1.6. 1. -8,2-8,2 5. 2.5. 2. 5,45,4 5. 2.5. 2. 11,111,1 5. 5.5. 5. 3,83,8 5. 4.5. 4. -17,5-17,5 5. 3.5. 3. 4,64,6

7. 1.7. 1. 4,94,9 6. 1.6. 1. -4,8-4,8 6. 3.6. 3. 12,412,4 6. 2.6. 2. 12,912,9 6. 2.6. 2. 10,610,6 6. 1.6. 1. 4,64,6

8. 1.8. 1.13,013,0

7. 3.7. 3.2,12,1

7. 1.7. 1.-12,9-12,9

7. 1.7. 1.16,016,0

7. 1.7. 1.3,53,5

9. 1.9. 1.-8,5-8,5

8. 1.8. 1.5,25,2

8. 1.8. 1.21,321,3

8. 1.8. 1.-8,2-8,2

8. 3.8. 3.-36,1-36,1

10. 3.10. 3.16,916,9

9. 1.9. 1.1,81,8

9. 3.9. 3.18,618,6

9. 2.9. 2.6,36,3

9. 1.9. 1.-13,0-13,0

11. 1.11. 1.-5,1-5,1

10. 2.10. 2.-6,1-6,1

10. 1.10. 1.6,56,5

10. 1.10. 1.-7,3-7,3

10. 1.10. 1.26,926,9

12. 1.12. 1.-4,9-4,9

11. 1.11. 1.-0,9-0,9

11. 1.11. 1.2,02,0

11. 3.11. 3.-6,8-6,8

11. 2.11. 2.12,512,5

12. 1.12. 1.2,92,9

12. 2.12. 2.12,512,5

12. 1.12. 1.20,220,2

12. 1.12. 1.5,55,5

Példa: 5 éves időszak havi hozamainak értékei 27

1212

osztályhatárokosztályhatárok ffii f’f’ii-40.00<=x<-30.00-40.00<=x<-30.00 11 11-30.01<=x<-20.00-30.01<=x<-20.00 00 11-20.01<=x<-10.00-20.01<=x<-10.00 66 77-10.01<=x<0.00-10.01<=x<0.00 1717 24240.01<=x<10.000.01<=x<10.00 2323 474710.01<=x<20.0010.01<=x<20.00 1313 606020.01<=x<30.0020.01<=x<30.00 33 636330.01<=x<40.0030.01<=x<40.00 22 6565összesenösszesen 6565

9231023

242

165

010 ,*,i*f

f2

1n

meMeme

i

xo

1-me

1i

-

1313

HELYZETI KÖZÉPÉRTÉKEKHELYZETI KÖZÉPÉRTÉKEK

Módusz:

Diszkrét értékekkel rendelkező mennyiségek

esetén, a nagyság szerint rendezett statisztikai sor

leggyakoribb értéke.

Osztályközös gyakorisági sorból:

i*ffff

ffmoMo

1momo1momo

1momoxo

1414

osztályhatárokosztályhatárok ffii f’f’ii ggii [%] [%] g’g’ii [%] [%]

-40.00<=x<-30.00-40.00<=x<-30.00 11 11 1.541.54 1.541.54-30.01<=x<-20.00-30.01<=x<-20.00 00 11 0.000.00 1.541.54-20.01<=x<-10.00-20.01<=x<-10.00 66 77 9.239.23 10.7710.77-10.01<=x<0.00-10.01<=x<0.00 1717 2424 26.1526.15 36.9236.920.01<=x<10.000.01<=x<10.00 2323 4747 35.3835.38 72.3072.3010.01<=x<20.0010.01<=x<20.00 1313 6060 20.0020.00 92.3092.3020.01<=x<30.0020.01<=x<30.00 33 6363 4.624.62 96.9296.9230.01<=x<40.0030.01<=x<40.00 22 6565 3.083.08 100.00100.00összesenösszesen 6565 100.00100.00

05,5)1001,0(2

1

2

1ˆ 10 ii xxoM

Nyers módusz

1515

Fogmosási Fogmosási gyakorisággyakoriság alkalomalkalom

létszámlétszámfőfő

Kumulált Kumulált gyakorisággyakoriság

főfő

451-470451-470 33 33

471-490471-490 99 1212

491-510491-510 1111 2323

511-530511-530 2222 4545

531-550531-550 179179 224224

551-570551-570 159159 383383

571-590571-590 136136 519519

591-610591-610 1717 536536

611-630611-630 11 537537

1616

if

fn

meMeme

me

ii

x *2

1 1

10

04,55620*

159

179221193269550

Me

1717

iffff

ffmoMo

momomomo

momox *

)()( 11

10

7,54720*)159179()22179(

22179530

Mo

1818

SZÁMÍTOTT KÖZÉPÉRTÉKEKSZÁMÍTOTT KÖZÉPÉRTÉKEK

1. Számtani átlag:

Az észlelési adatok olyan középértéke, melyet az adatok helyébe behelyettesítve az adatsor összege nem változik. Egyszerű számtani átlag: akkor alkalmazzuk, ha az

adatok gyakorisága egy vagy azonos.

n

xX

n

1ii

1919

SZÁMÍTOTT KÖZÉPÉRTÉKEKSZÁMÍTOTT KÖZÉPÉRTÉKEK

Súlyozott számtani átlag: Az átlag értékét a súlyok aránya befolyásolja.

n

1ii

n

1iii

f

xfX

n21

nn2211

fffxfxfxf

X

2020

A számtani átlag sajátosságaiA számtani átlag sajátosságai

leggyakoribb,

érzékeny a kiugró értékekre,

nem mindig tipikus érték

a sor legkisebb és legnagyobb értéke között

helyezkedik el

az átlagtól vett eltérések előjel szerinti összege 0,

négyzetes minimum tulajdonság,

2121

A számtani átlag sajátosságaiA számtani átlag sajátosságai

értéke nem változik, ha a súlyokat egyenlő arányban

változtatjuk, de változik, ha az átlagolandó értékek

bármelyikét megváltoztatjuk,

ha az átlagolandó értékekhez egy új állandó számot

hozzáadunk az eredeti értékek átlagából ugyanazon

állandó szám hozzáadása révén kaphatjuk meg az új

átlagot