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Estructura electronica de sistemas extendidos
Parte 1
Bases de funciones
Autofunciones y Operadores
Autofunciones y Operadores
Series de Fourier
Base de ondas planas
Expansion de f (r) como combinacion lineal en una base de ondas planas
f (r) con periodo L
Base ortogonal
L n = m
0 n ≠ m0
L
-
Series de Fourier
1D
Series de Fourier en 3D
a1
a2
a3
3D
¿Que es Gn?
La red reciproca
vectores de la red reciproca
vectores de la red real
a1
a3
a2 b2 b3
b1red real red reciproca
Primera zona de Brillouin
definida por b1 , b2 , b3
Autofunciones del Hamiltoniano electronico
Ecuacion de Schrödinger
1) Particula libre. V = 0
Distribucion de probabilidad y
Energia
Cualquier valor de k es aceptable
Autofunciones del Hamiltoniano electronico
Autofunciones del Hamiltoniano electronico
Autofunciones en un potencial periodico
+ + +
L
V(x) puede representarse como serie de Fourier
¿ ?
Las soluciones de la ecuación de Schrödinger en un potencial periodico tienen la siguiente forma:
Teorema de Bloch
Autofunciones en un potencial periodico
O equivalentemente:
con k un vector de la red reciproca
Autofunciones en un potencial periodico
Operador traslacion TR
En un potencial periodico, TR conmuta con H = ∇2 + V(r)
Por lo tanto ambos operadores tienen una base comun de autofunciones
Notar:
Luego, la forma mas general para los autovalores es
Autofunciones en un potencial periodico
La C.L. de autofunciones con igual autovalor eikR es tambien autofuncion, y por tanto la solucion mas general resulta:
uk funcion periodica en L
En 3D:
La red reciproca
vectores de la red reciproca
vectores de la red de Bravais
Por ejemplo
Red de Bravais Red reciproca
FCC BCC
Primera zona de Brillouin definida por
b1 , b2 , b3
La red reciproca y los puntos k
Bloch
En un solido infinito existe pues un continuo de autofunciones
asociadas a cada vector k del espacio reciproco
Para obtener la estructura electronica de un sistema periodico,
debe hallarse uik para todo k dentro de la primera zona de Brillouin
4) Arreglo periodico de quantum wells (pozos de potencial)V(x)
L b
IV = 0
IIV 0
Autofunciones en un potencial periodico
-w
Para el electron libre todas las energias son accesibles
El confinamiento introduce cuantizacion
Un arreglo periodico produce zonas de energia
accesibles (bandas) y zonas prohibidas (gaps)
Confinamiento y periodicidad
Orbitales moleculares en el limite de un arreglo infinito de atomos
H2 H8
σ
σ*
H24 H84 H168
HOMO
LUMO
H8
Orbitales moleculares en el limite de un arreglo infinito de atomos
Los orbitales de energia
creciente pueden
representarse como
combinacion de
funciones 1s modulada por un
coseno
Orbitales moleculares, funciones de Bloch, y bandas en 1D
orbitales s en 1D
Orbitales moleculares, funciones de Bloch, y bandas en 1D
energia y numero de nodos aumenta con k
Re ( φ (k, x) ) = ∑n cos(nka) . s(x – na)
σ*
σ
σ*
σE
k k
E
k
E
La magnitud de la interaccion determina la dispersion (el ancho de la banda)
Orbitales moleculares, funciones de Bloch, y bandas en 1D
Recapitulacion
Los electrones libres tienen accesible todo el espectro de energias. El confinamiento impone la cuantizacion. La periodicidad establece una situacion intermedia, con bandas permitidas y regiones prohibidas.
Los estados electronicos del cristal estan descriptos por una onda plana multiplicada por una funcion con la periodicidad del cristal. Dichos estados estan caracterizados por un indice k y conforman una banda continua.
Los orbitales atomicos pueden combinarse para satisfacer el teorema de Bloch (sumas de Bloch). Las interacciones mas intensas dan lugar a bandas con mayor dispersion.
En cada banda, la dependencia de la energia con el indice k depende de la topologia de los orbitales atomicos que le dan origen: aumenta para los estados derivados de funciones s y disminuye para los estados derivados de funciones p.
