TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA1 PRIMERI ZA VEBE PLOE SA REBROM - "T" PRESECI Nosa T preseka ini armiranobetonska greda (rebro) koja je u svom pritisnutom delu MONOLIT-NO vezana sa ploom. Time se u pritisnutoj zoni preseka koncentrie velika masa betona, to rezul-tira optimalnim iskorienjem betona kao materijala. Normalnenaponepritiskaprihvatajurebroisadejstvujuideoploenaizvesnojirini,kojuna-zivamoraunskaaktivnairinaploeB.Monolitnostvezeobezbeujedoizvesnognivoanapre-zanjasmicanjenaspojuploeirebra,azatimseovavezaodravapotrebnimarmiranjemploe upravno na pravac rebra. Aktivna irina ploe koja se koristi za dimenzionisanje je Pravilnikom BAB 87 odreena kao mini-malna od sledeih vrednosti: ;' + +ed 20 bl 25 . 0 b. min Bp0 , odnosno ;' + + + +2 / ed 8 b bl325 . 0b b. min Bp 10 1 za simetrine, odnosno nesimetrine (T odnosno G preseke). Pritom je sa b oznaena irina rebra, sa dp debljina ploe, sa l0 - rastojanje nultih taaka dijagrama momenata savijanja na delu na kome je ploapritisnuta,asa e-osovinsko rastojanje rebara, odnosno fiziki raspoloiva irina ploe koju moemo dodeliti jednom rebru (ronjae, korube, sedita tribina i slini nosai kod kojih je ovaj us-lov najee merodavan). Bezobziranageometrijskioblik,presekseproraunavakaoTpreseksamoukolikojeploapri-tisnuta,aneutralnalinijalinijasenalaziurebru,drugimreimaukolikojePRITISNUTAZONA preseka T oblika. Ukoliko je ploa u zategnutoj zoni preseka, sprovodi se proraun za pravougaoni presekirineb,aukolikosejeploapritisnuta,aliseneutralnalinijanalaziunjoj,preseksepro-raunava kao pravougaoni irine B. Ukoliko presek treba proraunati kao T presek, zavisno od odnosa aktivne irine B i irine rebra b, mogu nastupiti dva sluaja: ukolikojeodnosirinaB/b > 5,sprovodiseuproenipostupakkojimsezanemaruje nosivost rebra. U ovom sluaju, sila pritiska koju prihvata rebro je vrlo mala u odnosu na silu pritiska koju prihvata ploa (daleko manja povrina betona, znatno manji naponi pri-tiska, manji krak unutranjih sila). Dalje pojednostavljenje prorauna se sastoji u uprose-avanju napona pritiska - usvaja se da je napon pritiska po itavoj visini ploe konstantan i jednak naponu u njenoj srednjoj ravni; to ujedno znai da unutranja sila pritiska deluje u srednjoj ravni ploe, odnosno da je krak unutranjih silazb = h - dp/2. ukolikojeodnosirinaB/b 5,morasesprovestitanijiproraun,kojiobuhvatai nosivostpritisnutogdelarebra.Ovajsluajmoenastatikodistovremenogdelovanja momenata savijanja i relativno velikih sila pritiska. 1.PRORAUN "T" PRESEKA SA ZANEMARENJEM NOSIVOSTI REBRA Usluajudasenosivostrebramoezanemariti(sluajB/b > 5),uslovravnoteemomenata savijanja u odnosu na teite zategnute armature moe se napisati u obliku: TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA2 PRIMERI ZA VEBE Ma1 = 0:Dbu zb + Dau (h-a2) = Mau = Mu + Nu(yb1-a1) dyb1a1bB>5bhyb2h - xxdpzb=h-dp/2Gbx - dpAa1DbpuZaubbpMuNua1a1dp/2a1N.L.S.L.bpx0dp/2 Zbog velike povrine (nosivosti) pritisnutog dela betonskog preseka, kod ovakvog oblika poprenog preseka prisustvo armature u pritisnutoj zoni je nepotrebno (barem u raunskom smislu), pa je stoga Dau0.Sdrugestrane,zanemarenjemnosivostirebraiuproseavanjemnaponapritiskauploi, moe se napisati: Dbu = Dbpu = Bdpbp ; zb = h - dp/2 gde je bp napon u srednjoj ravni ploe. Tako se uslov ravnotee momenata savijanja moe napisati u obliku: Ma1 = 0: Bdpbp (h - dp/2) = Mau = Mu + Nu(yb1-a1) U ovom uslovu ravnotee nepoznate veliine mogu biti: statika visina h (slobodno dimenzionisanje, usvajanje bp) napon u betonu bp (vezano dimenzionisanje, pp. a1 h) Ostale veliine (B , dp , yb1 , Mu , Nu ) su sraunate ili poznate (usvojene). 1.1SLOBODNO DIMENZIONISANJE Bieilustrovanonaprimerunosaanapregnutognaistosavijanje.Zasluajsloenogsavijanja postupak je principijelno isti, ali se sprovodi iterativno (nepoznata visina preseka d, a samim tim i Mau) na nain opisan kod dimenzionisanja pravougaonih preseka. Poznato: statiki uticaji za pojedina optereenja (Mi) - sraunato kvalitet materijala (fB , v) - usvojeno irina rebra (b), aktivna irina ploe (B), debljina ploe (dp) Nepoznato: visina poprenog preseka (d) povrina armature (Aa) 1. korak:Sraunavaju se granini raunski statiki uticaji: ) , p , g i ( M Mii i , u u

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA3 PRIMERI ZA VEBE Pri tome se usvajaju MINIMALNE vrednosti koeficijenata sigurnosti, jer presek dostie granino stanje otkazom armature (a1 = 10). 2. korak:Usvajasenaponubetonuunivousrednjeravniploebp.Sobziromnauvedeno uproenjedijagramanaponaubetonu,usvajanjedilatacija b/ anebi imalo nikakvog praktinog smisla. Vee usvojene vrednosti napona daju preseke manje visine, armirane veom koliinom armature. 3. korak:Za usvojenu vrednost bp iz uslova ravnotee momenata savijanja sraunava se odgova-rajua statika visina: 2dd BMhpbp pu+ Naponbpsenajeeusvajaugranicama(0.200.50)fbk,gdejefbkkarakteristina vrednostvrstoebetonaprijednoaksijalnompritisku(markabetona).Ovegranice trebashvatitiuslovnoipopotrebi(preseciizrazitomaleiliizrazitovelikevisine) korigovati pretpostavljenu vrednost napona. Takoe, redovno se usvaja bp < fB, gde je fB raunska vrstoa betona. 4. korak:Izpoznatevezenapondilatacija,definisanePravilnikom(parabolinideodijagrama), sraunava se dilatacija betona u nivou srednje ravni ploe:

,_

Bbpbpf1 1 2 ();a = 10 5. korak:Odreuje se poloaj neutralne linije u odnosu na srednju ravan ploe:

,_

+ 2dh xpa bpbp0 i uporeuje sa POLOVINOM DEBLJINE ploe. 6a korak:Ukolikojekonstatovanodaseneutralnalinijanalaziurebru(x0 >dp/2),odreujese povrina armature iz uslova ravnotee normalnih sila: vpua2dhMA

,_

6b korak:Ukolikojekonstatovanodaseneutralnalinijanalaziuploi(x0 dp/2),presektreba dimenzionisati kao pravougaoni irine B. Za sraunatu statiku visinu odreuje se bez-dimenzioni koeficijent k: Buf BMhki iz tabela za dimenzionisanje pravougaonih preseka oita vrednost mehanikog koefici-jenta armiranja . Potrebna povrina armature se sraunava iz izraza: TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA4 PRIMERI ZA VEBE vBaf100h BA 7. korak:Usvaja se broj i prenik ipki armature. Usvojena armatura se rasporeuje u poprenom preseku,vodeiraunaozahtevimapropisanihPravilnikom(debljinazatitnogsloja, isto rastojanje izmeu ipki). 8. korak:Sraunava se poloaj teita a1 usvojene armature u odnosu na zategnutu ivicu preseka i potrebna ukupna visina preseka d: d = h + a1 koja se zaokruuje na prvi vei ceo broj (ceo broj deljiv sa pet). 9. korak:Konano se konstruie popreni presek usvojenih dimenzija, armiran usvojenom kolii-nomarmature,iprikazujeuodgovarajuojrazmeri(1:10)sasvimpotrebnimkotamai oznakama. Primer 1.OdreditivisinuipotrebnupovrinuarmaturezaTpresekzadatihgeometrijskihkarak-teristika,optereenmomentimasavijanjausledstalnog(Mg)ipovremenog(Mp)op-tereenja. Podaci za proraun: Mg = 200 kNmB = 180 cmdp = 10 cmMB 30 Mp = 250 kNmb = 30 cmRA 400/500 Mu = 1.6 200 + 1.8 250 = 770 kNm MB 30 fB = 2.05 kN/cm2 ; fbk = 3.0 kN/cm2 usvojeno bp = 9 MPa = 0.9 kN/cm2 2109 . 0 10 18010 770h2+ = 52.53 cm

,_

05 . 29 . 01 1 2bp= 0.502;a = 10

,_

+21053 . 5210 502 . 0502 . 0x0= 2.27 cm < dp/2 = 5 cm Neutralna linija se nalazi u ploi, pa se presek dimenzionie kao pravougaoni, irine B. 05 . 2 18010 77053 . 52k2 = 3.636 b/a = 1.575/10 ; = 7.903% ; s = 0.136 Mada nije neophodno, sprovodimo kontrolu poloaja neutralne linije: x = 0.13652.53 = 7.14 cm < dp = 10 cm Naime, ovo je taan poloaj neutralne linije, jer je sraunat iz stvarnog radnog dijagrama betona a ne iz os-rednjenog. Moe se konstatovati da je neutralna linija blie pritisnutoj ivici preseka nego to daje proraun T preseka (x=x0+dp/2 = 5+2.27 = 7.27 cm > 7.14 cm). TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA5 PRIMERI ZA VEBE 4005 . 210053 . 52 180903 . 7 Aa = 38.30 cm2 usvojeno:8R25(39.27 cm2) ( )810 5 . 4 4a1+ = 7.25 cm d = 52.53 + 7.25 = 59.78 cm usvojeno:d=60 cm 1.2VEZANO DIMENZIONISANJE Bie ilustrovano na primeru nosaa napregnutog na sloeno savijanje. Poznato: statiki uticaji za pojedina optereenja (Mi) - sraunato kvalitet materijala (fB , v) - usvojeno irina rebra, aktivna irina ploe, debljina ploe, visina preseka (b,B,dp,d) Nepoznato: povrina armature (Aa) 1. korak:Sraunavaju se granini raunski statiki uticaji: ) , p , g i ( M Mii i , u u ii i , u uN NPri tome se usvajaju MINIMALNE vrednosti koeficijenata sigurnosti. 2. korak:Pretpostavlja se poloaj teita zategnute armature u preseku i sraunava statika visina h. Iz uslova ravnotee momenata savijanja sraunava se napon u betonu u nivou srednje ravni ploe bp. h = d - a1

,_

+ 1 u u aua2dN M M

,_

2dh d BMppaubp U sluaju da se raunski dobije bp > fB, postupak se prekida i sprovodi taan proraun (uproraunseuvodi i nosivost rebra, npr. ispisivanjem uslova ravnotee - odreivanje poloaja neutralne linije iz Ma1 = 0). 3. korak:Izpoznatevezenapondilatacija,definisanePravilnikom(parabolinideodijagrama), sraunava se dilatacija betona u nivou srednje ravni ploe:

,_

Bbpbpf1 1 2 ();a = 10 4. korak:Odreuje se poloaj neutralne linije u odnosu na srednju ravan ploe: TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA6 PRIMERI ZA VEBE

,_

+ 2dh xpa bpbp0 i uporeuje sa POLOVINOM DEBLJINE ploe. 5a korak:Ukolikojekonstatovanodaseneutralnalinijanalaziurebru(x0 >dp/2),odreujese povrina armature iz uslova ravnotee normalnih sila: vuvpauaN2dhMA

,_

5b korak:Ukolikojekonstatovanodaseneutralnalinijanalaziuploi(x0 dp/2),presektreba dimenzionisati kao pravougaoni irine B. Za sraunatu statiku visinu odreuje se bez-dimenzioni koeficijent k: Bauf BMhki iz tabele za dimenzionisanje pravougaonih preseka oita vrednost mehanikog koefici-jenta armiranja . Potrebna povrina armature se sraunava iz izraza: vuvBaN f100h BA 6. korak:Usvaja se broj i prenik ipki armature. Usvojena armatura se rasporeuje u poprenom preseku,vodeiraunaozahtevimapropisanihPravilnikom(debljinazatitnogsloja, isto rastojanje izmeu ipki). 7. korak:Sraunava se poloaj teita a1 usvojene armature u odnosu na zategnutu ivicu preseka i stvarnastatikavisinah,kojaseuporeujesaraunskom.Popotrebisekorigujepret-postavljeno a1 i proraun u potpunosti ponavlja. 8. korak:Konano se konstruie popreni presek usvojenih dimenzija, armiran usvojenom kolii-nomarmature,iprikazujeuodgovarajuojrazmeri(1:10)sasvimpotrebnimkotamai oznakama. Primer 2.OdreditipotrebnupovrinuarmaturezaTpresekzadatihgeometrijskihkarakteristika, optereen uticajima usled stalnog (Mg , Ng) i povremenog (Mp , Np) optereenja. Podaci za proraun: Mg = 300 kNmNg = 500 kNB = 180 cmdp = 10 cmMB 25 Mp = 250 kNmNp = 400 kNb = 30 cmd = 60 cmRA 400/500 Mu = 1.6 300 + 1.8 250 = 930 kNm Nu = 1.6 500 + 1.8 400 = 1520 kN MB 25 fB = 1.725 kN/cm2 pretpostavljeno: a1 = 7 cmh = 60 - 7 = 53 cm TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA7 PRIMERI ZA VEBE 2au10 72601520 930 M

,_

+ = 1279.6 kNm

,_

21053 10 18010 6 . 12792bp= 1.67 kN/cm2

,_

725 . 167 . 11 1 2bp= 1.631;a = 10

,_

+2105310 631 . 1631 . 1x0= 6.73 cm > dp/2 = 5 cm Kakoseneutralnalinijanalaziurebru,potrebnapovrinaarmatureseodreujeizizrazakoji odgovaraju "T" preseku. Kako je B/b = 180/30 = 6 > 5, moe se primeniti uproen postupak (zane-marenje nosivosti rebra), pa se potrebna povrina armature odreuje iz izraza: 401520402105310 6 . 1279A2a

,_

= 28.65 cm2 usvojeno: 6R25(29.45 cm2) 610 2 5 . 4 4a1 + = 6.33 cm hstv.= 60 - 6.33 = 53.67 cm > hra.= 53 cm 2.PRORAUN "T" PRESEKA SA UZIMANJEM U OBZIR NOSIVOSTI REBRA Ukoliko se neutralna linija nalazi u rebru, a pritom nije zadovoljen uslov B/b>5, pristupa se tani-jemproraunu,odnosnonosivostrebraseuzimauobzir.Potrebazaovimsejavljauglavnomkod preseka ograniene irine B (ronjae i sl.), koja nije znatno vea od irine rebra, kao i kod preseka koji su, pored momenata savijanja, napregnuti i znatnim aksijalnim silama pritiska. Dva su mogua naina da se taniji postupak dimenzionisanja ovakvih preseka sprovede: postupak zasnovan na iznalaenju ekvivalentnog pravougaonog preseka irine bi ; irina bi seodreujeizuslovadaseprijednakimpoloajimaneutralnelinijedobijujednakesile pritiskauekvivalentnompravougaonompresekuiustvarnomTpreseku(priblianpos-tupak - krakovi unutranjih sila se razlikuju - postupak je na strani sigurnosti za B>b) poloajneutralnelinijeupresekuseodreujeiz uslova ravnotee momenata savijanja u odnosunateitezategnutearmature,asilapritiskaubetonuseodreujedekompozici-jom T preseka na dva pravougaona (tano reenje). 2.1PRIBLIAN POSTUPAK - SVOENJE NA EKVIVALENTNI PRAVOUGAONI PRESEK Sila pritiska u betonu se, korienjem oznaka sa skice, moe napisati u obliku: Dbu = Dbu1 - Dbu2 TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA8 PRIMERI ZA VEBE dyb1a1bBhyb2h - xxdpzb1Gbx - dpzb2Aa1Dbu1Dbu2ZaubdbbMuNua1a12(x-dp)1xbi=Bdp pri emu su sile Dbu1 i Dbu2 sile koje odgovaraju pravougaonim presecima dimenzija Bx, sa mak-simalnom dilatacijom b (na gornjoj ivici ploe), odnosno dimenzija (B-b)(x-dp), sa dilatacijom bd (na donjoj ivici ploe). Sile Dbu1 i Dbu2 se mogu sraunati kao: Dbu1 = b1 B x fB = b1 s B h fB ; s = x/h Dbu2 = b2 (B-b) (x-dp) fB = b2 (B/b-1) (s-) b h fB ; = dp/h pri emu koeficijenti punoe naponskog dijagrama betona b1 i b2 odgovaraju dilatacijama b i bd respektivno. Postupak se sastoji u odreivanju ekvivaletnog pravougaonog preseka, irine bi = kB, kome pri is-tom poloaju neutralne linije odgovara sila: Dbu,i = b1 bi x fB = b1 s B h fB = Dbu = Dbu1 - Dbu2 Izjednaavanjem ovih izraza, koeficijent se moe sraunati kao:

,_

,_

Bb1s1 11 b2 b U tabeli u prilogu (PBAB 1, str. 187, tabela 84/1) date su vrednosti bezdimenzionog koeficijenta za razliite odnose B/b i /s, a u zavisnosti od poloaja neutralne linije. Praktian postupak dimen-zionisanja prikazan je u Primeru 3. OvajpostupakjeITERATIVAN,pasepostavljapitanjeopravdanostinjegoveprimenesobziromna:(a) injenicudaseiztablicadobijaistavrednostzanpr./s=0.05is=0.05kao i za/s=0.35 i s=0.35 to ni-kakonijetano(razliitevrednosti,atimeiodnosib1i b2);(b)malatanost (broj decimala) tabulisanih vrednosti;(c)nemogunostprimenepostupkazasluajB dp = 10 cm Neutralna linija se nalazi u rebru, pa se presek dimenzionie kao T presek. Kako je B/b = 60/30 = 2 hra.= 51 cm Usvojeni popreni presek prikazan je na skici u prilogu. Napomene: Postupak se na analogan nain sprovodi i za sluaj sloenog savijanja. Zasluaja0.196 2. korak:pretpostavljeno s = 0.40 s > 0.259 b = 3.5 , a1 = (1-0.40)/0.403.5 = 5.25 5 . 3 32 5 . 3 31 b = 0.810 ;( )( ) 2 5 . 3 3 5 . 3 22 4 5 . 3 3 5 . 31 + = 0.416 Dbu1 = 0.810600.40512.05 = 2031.3 kN zb1 = 51(1-0.4160.4) = 42.51 cm bd = (0.40-0.196)/ 0.403.5 = 1.784 ( ) 784 . 1 612784 . 12 b = 0.627;( ) 784 . 1 6 4784 . 1 82 = 0.369 Dbu2 = 0.627(60-30)(0.40-0.196)512.05 = 400.9 kN zb2 = 51 - 10 - 0.369(0.451 - 10) = 37.17 cm Ma1 = (2031.342.51 - 400.937.17)10-2 = 714.6 kNm < Mu = 770 kNms>0.40 3. korak:pretpostavljeno s = 0.50 s > 0.259 b = 3.5 , a1 = (1-0.50)/ 0.503.5 = 3.50 5 . 3 32 5 . 3 31 b = 0.810 ;( )( ) 2 5 . 3 3 5 . 3 22 4 5 . 3 3 5 . 31 + = 0.416 Dbu1 = 0.810600.50512.05 = 2539.1 kN zb1 = 51(1-0.4160.5) = 40.39 cm bd = (0.50-0.196)/ 0.503.5 = 2.127 127 . 2 32 127 . 2 32 b = 0.687 ;( )( ) 2 127 . 2 3 127 . 2 22 4 127 . 2 3 127 . 22 + = 0.379 Dbu2 = 0.687(60-30)(0.50-0.196)512.05 = 654.4 kN zb2 = 51 - 10 - 0.379(0.551 - 10) = 35.12 cm Ma1 = (2539.140.39 - 654.435.12)10-2 = 795.7 kNm > Mu = 770 kNm0.50>s>0.40 4. korak:pretpostavljeno s = 0.467 s > 0.259 b = 3.5 , a1 = (1-0.467)/ 0.4673.5 = 3.998 ; b1 = 0.810 , 1 = 0.416 Dbu1 = 0.810600.467512.05 = 2370.5 kN zb1 = 51(1-0.4160.467) = 41.10 cm bd = (0.467-0.196)/ 0.4673.5 = 2.030 TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA14 PRIMERI ZA VEBE 03 . 2 32 03 . 2 32 b = 0.672 ;( )( ) 2 03 . 2 3 03 . 2 22 4 03 . 2 3 03 . 22 + = 0.376 Dbu2 = 0.672(60-30)(0.467-0.196)512.05 = 570.2 kN zb2 = 51 - 10 - 0.376(0.46751 - 10) = 35.81 cm Ma1 = (2370.541.10 - 570.235.81)10-2 = 770.0 kNm = Mus=0.467 Dbu = 2370.5 - 570.2 = 1800.2 kN Zbu = Dbu - Nu = 1800.2 kN Aa1 = 1800.2 / 40.0 = 45.01 cm2 < 47.67 cm2 = Aa1,potr. (priblini postupak - primer 3) usvojeno: 10R25(49.09 cm2) ( )105 . 15 2 10 5 . 4 4a1 + + = 8.9 cm hstv.= 60 - 8.9 = 51.1 cm > hra.= 51 cm Usvojeni popreni presek je istovetan kao u Primeru 3.