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PROPUESTA DE MODERNIZACIÓNDE ENSEÑANZA DE TOPOGRAFÍA

EN LA FACULTAD DE MINAS

Cuaderno de PlanimetríaAngela B. Mejía G.

Profesora AsistenteFelipe Ospina J.

Profesor HonorarioAlonso Sierra L.

Profesor AsociadoOscar Zapata O.

Profesor Asociado

Brújula K&E

TeodolitoopticomecánicoKern DKM1

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Este material se terminó de imprimir enlos talleres del

Centro de Publicaciones de laUniversidad Nacional de Colombia, Sede Medellín

en julio de 2007

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Angela Beatriz Mejía GutierrezFelipe Ospina J.Alonso Sierra L.Oscar Zapata O.

Universidad Nacional de Colombia - Sede MedellínCentro de Publicaciones

ISBN : 958-8256-53-5

Diagramación e impresión : Universidad Nacional de Colombia - Sede MedellínCentro de Publicaciones

Segunda Edición : Febrero de 2005Primera reimpresión : julio de 2007

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Contenido

1. PLANIMETRÍA .............................................................................. 5

1.1 DETERMINACIÓN DE UN PUNTO ....................................................... 51.2 UNIDADES DE MEDIDA ANGULAR ..................................................... 61.2.1 Sistema sexagesimal. ......................................................................... 81.2.2 Sistema centesimal. ............................................................................ 81.2.3 Cambio de sistema. ............................................................................ 81.2.4 Sistema Mil. ......................................................................................... 91.2.5 Radián (rad). ....................................................................................... 91.2.6 Sistema de trabajo. ............................................................................. 91.3 MEDIDA DE ÁNGULOS. ..................................................................... 101.3.1 Instrumento de medida ..................................................................... 101.3.2 Sentido de medida del ángulo horizontal. ......................................... 101.3.3 Poligonal. .......................................................................................... 111.4 UNIDAD DE MEDIDA LINEAL............................................................. 111.5 RESUMEN ........................................................................................... 131.6 TRABAJO DE CAMPO........................................................................ 131.6.1 Comisión de topografía ..................................................................... 131.6.2 Libreta o registro de campo .............................................................. 14

2. MEDIDA DE ÁNGULOS HORIZONTALES CON LA BRÚJULA 16

2.1 ACIMUT - RUMBO............................................................................... 162.2 DE ACIMUT A RUMBO. ....................................................................... 172.3 DE RUMBO A ACIMUT. ....................................................................... 182.3.1 Acimut adelante. Acimut atrás. Rumbo adelante. Rumbo atrás ....... 192.4 VARIACIONES DE LA DIRECCIÓN MAGNÉTICA.............................. 212.5 INCLINACIÓN MAGNÉTICA. ISOCLINAS .......................................... 22

3. LEVANTAMIENTOS PLANIMÉTRICOS ..................................... 24

3.1 LEVANTAMIENTO PLANIMÉTRICO CON CINTA .............................. 24Objeto. ................................................................................................. 24Trabajo de campo. .............................................................................. 24Preparación del trabajo. ...................................................................... 24

3.1.1 Aplicación .......................................................................................... 24Caso particular ........................................................................................... 283.1.2 Observaciones .................................................................................. 293.2 LEVANTAMIENTO PLANIMÉTRICO CON BRÚJULA Y CINTA ......... 29

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STANSELL, Thomas. El sistema de navegación por satélite: Transit. Torrance,Magnavox, 1980. 84 p.

TORRES, A., VILLATE, E. Topografía, Bogotá, Escuela Colombiana de Ingeniería2001. 460 p.

VALDÉS, Francisco Topografía. Barcelona, Ceac, 1981. 352 p.

ZAPATA, O., M Oscar. Ejercicios de topografía Trabajo para a la promoción a profe-sor Asistente. Medellín Universidad Nacional , 1992, 144 p.

ZAPATA, O., Oscar. Notas de clase para el curso de topografía. Medellín, U.N. 1993.105 p.

ZURITA, José. Topografía práctica para el constructor. Barcelona, Ceac,1979.185 p.

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3.2.1 Trabajo de campo ............................................................................. 303.2.2 Trabajo de oficina .............................................................................. 323.3 LEVANTAMIENTO PLANIMETRICO POR RADIACIÓN ..................... 39Objeto ........................................................................................................ 39Equipo y personal ...................................................................................... 393.3.1 Aplicación .......................................................................................... 39Cálculos ..................................................................................................... 40Dibujo ......................................................................................................... 413.3.2 Proceso de cálculo de coordenadas ................................................ 413.3.3 Cálculo del área ................................................................................ 463.3.4 Dibujo ................................................................................................ 513.3.5 Observaciones .................................................................................. 513.4 LEVANTAMIENTO PLANIMÉTRICO POR EL MÉTODO DE

POLIGONACIÓN .................................................................................. 52Generalidades ............................................................................................ 52Objeto ........................................................................................................ 53Organización del trabajo ............................................................................ 533.4.1. Aplicación ......................................................................................... 543.4.2 Error angular de cierre. Compensación angular. .............................. 573.4.3 Cálculo del acimut de los lados de la poligonal base. ...................... 583.4.4 Cálculo del acimut de las líneas Estación - Detalle .......................... 613.4.5 Cálculo de proyecciones de los lados (ejes) de la poligonal

base. ................................................................................................. 633.4.6 Cálculo del error lineal de cierre. Precisión lineal ............................. 643.4.7 Ajuste de la poligonal base. Corrección de las proyecciones ........... 663.4.8 Cálculo de las proyecciones de las líneas estación - punto de

lindero ................................................................................................ 693.4.9 Cálculo de coordenadas ................................................................... 693.4.10.Coordenadas de los vértices de la poligonal de linderos................ 713.4.11 Dibujo. Plano ................................................................................... 733.4.12 Cálculo del área por coordenadas. ................................................. 743.4.13 Áreas calculadas por mediciones en mapas .................................. 78

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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BARRY, Austin. Topografía aplicada a la construcción. México, Limusa, 1982. 342 p.

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DAVIS, R.E., FOOTE, F.S. Tratado de topografía. Valencia, Aguilar, 1964, 880 p.

DAVIS, R.E., KELLY, J.W. topografía Elemental. México, Continental, 1979. 648 p.

DOMINGUEZ, G., Francisco Topografía general y aplicada. Madrid, COSAT. 1998823 p.

GIL, L., Luis. Levantamientos topográficos, Medellín, Universidad Nacional, 2005. 133p.

GÓMEZ, T., Ana. Topografía subterránea. México, Alfaomega Ediciones UPC. 1999.212 p.

IRVINE, W. Topografía. México, Mcgraw - Hill. 1975.259 p.

JORDAN, W., Tratado general de topografía: Planimetría. Barcelona Gustavo Gilli,1944. 535 p.

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KISSAM, P., Topografía para ingenieros, Madrid, Castilla, 1967. 64p.

MCCORMAC, J. Topografía. México, Limusa Wiley. 2004. 416 p.

OSPINA, J., Felipe. Prácticas de topografía., Medellín, Universidad Nacional, 1975. 144p.

OSPINA, J., Felipe. Apuntes de topografía, Medellín, Universidad Nacional, 1997. 136p.

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FIGURA 3.1. Determinación de un punto.

1. PLANIMETRÍA

1.1 DETERMINACIÓN DE UN PUNTO

La ubicación, definición o posición relativa de un punto en el espacio se puede determi-nar si se conocen las siguientes medidas:

Su dirección y distancia a partir de un punto conocido (A).Sus direcciones desde dos puntos conocidos (A,B).Sus distancias desde dos puntos conocidos (A,B).Su dirección desde un punto conocido y su distancia desde otro punto tambiénconocido (A,B).

Se define como dirección de una recta al ángulo horizontal entre la recta y otra que setome como referencia. Dichas rectas deben tener un punto común o vértice. La recta dereferencia puede ser un meridiano o independiente a la posición de un meridiano (líneade referencia adyacente). Ver figura 3.1.

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1.2 UNIDADES DE MEDIDA ANGULAR

La magnitud de un ángulo puede expresarse en distintas unidades, la mayoría de lascuales se deriva básicamente de la división de la circunferencia en varias formas. VerFiguras 3.2 y 3.3, 3.4 y 3.5.

FIGURA 3.2 Unidades de medida angular. Ángulo Horizontal

FIGURA 3.3 Unidades de medida angular. Ángulos verticales.

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Fuentes de error en la determinación de áreas

Entre las causas de error al calcular áreas, pueden mencionarse las siguientes:

Errores en los datos de campo de donde se obtienen coordenadas o se elaboranmapas.Selección inadecuada de intervalos y de referencias normales (ordenadas) para deli-mitar adecuadamente un contorno irregular dado.Cometer errores al medir a escala los mapas.Contracción y dilatación de los mapas.Usar cuadros de una cuadrícula que sean demasiado grandes y que, por tanto, difi-cultan la estimación de las áreas en cuadrados parciales.Ajuste incorrecto en la escala del planímetro.Salirse de la orilla del papel del plano con el tambor rodante del planímetro.Usar diferentes tipos de papel para el plano y para la hoja de calibración del planímetro.

Equivocaciones

Al calcular áreas, las equivocaciones que se cometen comúnmente son:Olvidar que se divide entre dos en los métodos de las dobles distancias y de lascoordenadas rectangulares.Confundir los signos de las dobles distancias, de las coordenadas, de las proyec-ciones o de las áreas.No comprobar el cálculo de un área con un método diferente.No trazar un croquis a escala o en proporción general para verificación visual.No verificar la constante de escala del planímetro, determinando el área de unafigura de superficie conocida.

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FIGURA 3.4 Ángulo horizontal

FIGURA 3.5 Ángulo vertical

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FIGURA 3.47 Área de un polígono

Como verificación de la operación del planímetro, el contorno puede recorrerse en sen-tido contrario. Las lecturas inicial y final en el punto A deben concordar dentro de unlímite de quizá 2 a 5 unidades. La precisión lograda con el planímetro depende de lahabilidad del operador, del plano trazado, del tipo de papel y de otros factores. Si se haceun trabajo cuidadoso pueden obtenerse resultados correctos dentro de 0.5% a 1%.

El planímetro es muy útil para determinar áreas irregulares (como la de la figura) y tieneaplicaciones en muchas ramas de la ingeniería. Este aparato se utiliza mucho en departa-mentos de construcción de carreteras para determinar las áreas de las secciones transver-sales, y también es útil para la determinación de áreas de lagos y cuencas de drenajeregistradas en fotografía aérea y en la verificación de áreas calculadas en los levantamien-tos de predios o catastrales.

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1.2.1 Sistema sexagesimal.

Circunferencia dividida en 360 partes, unidad básica es el grado (º) dividido en 60minutos y el minuto en 60 segundos. Empleado en Estados Unidos y Latinoamérica.Predomina sobre los demás en el resto del mundo, con el auge de las calculadoras ycomputadores se utiliza el grado sexagesimal decimalizado.

Ejemplo:253º19’37" Número complejo sexagesimal.253º19’37"=253,32694º: Sist. sexagesimal decimal.

1.2.2 Sistema centesimal.

Circunferencia dividida en 400 partes, llamadas grados centesimales (g).O sea 100g = 90º. El grado centesimal esta dividido en 100 minutos centesimales (100c)y un minuto centesimal, en 100 segundos centesimales (100 cc).

En el ángulo 236,4268g el primer par de dígitos después de la coma (42) representa losminutos centesimales y el segundo par (68) los segundos centesimales. La separaciónentre minutos y segundos no requiere ninguna indicación. Este sistema se emplea am-pliamente en Europa.

1.2.3 Cambio de sistema.

Para convertir un ángulo expresado en grados sexagesimales a su equivalente en gradoscentesimales, se pasa primero a sistema decimal y se divide luego por 0,9. (1g = 0,9º).

Ejemplo:

Convertir 263º50’01" a sistema centesimal.

Pasar a valor decimal 50’01"

50' 1" = 0,83333º y = 0,00028º60 60 x 60

0,8333º + 0,00028º = 0,83361

263º50’01"=263,83361º (sist sexagesimal decimal)

263.83361 = 293,14853 (sistema centesimal) 0,9

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En el caso de un plano trazado a escala de 1:1000, se tiene que 1 cm2 = 100 m2 y el áreamedida es de 2730 m2.

Figura 3.46a-3.46b-3.46c-3.46d Planímetros polares, mecánicos y digitales.

Figura 3.46d

Figura 3.46a Figura 3.46b

Figura 3.46c

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Para convertir del sistema centesimal al sexagesimal se multiplica por 0,9 (1g = 0,9º).

Ejemplo:Convertir 264,2431g al sistema sexagesimal.

264,2431g x 0,9 = 237,81879º(sistema sexagesimal decimal)

La parte decimal se pasa a minutos y segundos, así:0,81879º x 60 = 49,1274'0,1274' x 60 = 7,64"

El valor sexagesimal será 237º49’7,64"

1.2.4 Sistema Mil.

Divide la circunferencia en 6.400 partes. Se usa en operaciones militares, no tiene aplica-ción en el trabajo ordinario de topografía.

1.2.5 Radián (rad).

Es el ángulo en el centro de un círculo, subtendido por un arco que tiene exactamen-te la misma longitud que el radio. Se utiliza en ciertos casos, como la determinaciónde la longitud de arcos de círculos, cuando resulta esencial emplear el valor exactodel ángulo. Ejemplo, en algunos cálculos de curvas horizontales para vías.

360º1 rad = = aproximadamente 57,30º 2p

1 rad = 63,661977g = 57,2957795º = 57º 17' 44,81"

1.2.6 Sistema de trabajo.

En nuestro medio se trabaja en sistema sexagesimal. Las anotaciones en las libretas o enhojas de registro deben colocarse en grados, minutos y segundos reemplazando por cerola cifra que no exista.

Ejemplo:218º38’08"040º03’06"

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punta delineadora o trazadora sobre el contorno de la figura cuya área se trata de medir.Ver figuras 3.46a-3.46b-3.46c-3.46d

Existen dos tipos de planímetros: el mecánico y el electrónico. Las partes principales deun planímetro mecánico polar son el escalímetro, el tambor rodante y el disco graduado,el vernier, la punta delineadora y su guarda, el brazo polar y el polo (con su contrapeso deanclaje). El escalímetro puede ser fijo o ajustable, como en la figura. 3.46b. En el caso deun planímetro con brazo fijo, una revolución del disco (indicador) representa, por ejem-plo, 100 unidades cuadradas y una vuelta del tambor (integrador) representa 10 unidadescuadradas. El del segundo tipo puede ajustarse para leer unidades de área directamente,según la escala del plano considerado. El instrumento toca al plano sólo en tres partes: elpolo de anclaje, el tambor rodante y el guardapunta.

El planímetro electrónico, figura 3.46c, trabaja en forma similar al mecánico, exceptoque los resultados aparecen en forma digital en una pantalla. Las áreas pueden expresar-se en centímetros cuadrados y fijando un «factor de escala» apropiado, pueden determi-narse directamente en hectáreas. Algunos instrumentos tienen multiplcadores para cal-cular automáticamente volúmenes, cuyos valores aparecen en la pantalla. Como ejemplode utilización de un planímetro mecánico, supóngase que va a medirse el área delimitadapor la poligonal de la figura 3.47. La base polar (con el contrapeso) se colocan en unaposición exterior a la poligonal (si se sitúa dentro, tiene que agregarse una constantepolar), y se lleva la punta delineadora al vértice A. Se toma una lectura inicial, por ejem-plo de 7 231, en la cual el 7 proviene del disco, el 23 del tambor y el 1 del vernier. Semueve la punta con cuidado sobre los lados de la poligonal de A a B, C, D, E y de regresoa A. (en sentido de las manecillas del reloj). El brazo trazador puede dirigirse por mediode una escuadra o de una regla, pero normalmente se le conduce a pulso. Se toma unalectura final, por ejemplo, de 8596. La diferencia entre las lecturas inicial y final, o sea1365, se multiplica por la constante del planímetro para obtener el área.

Para determinar la constante del planímetro se traza cuidadosamente un cuadrado de 5cm de lado y su perímetro se recorre con el planímetro. Si la diferencia entre las lecturasfinal e inicial para este cuadrado es de 1 250, se tendrá:

5 cm x 5 cm = 25 cm2 = 1 250 unidades

La constante del planímetro es entonces hallar cuál es el valor del área para 1 vuelta deldisco 25

1 unidad = = 0.0200 cm2

1250

Por último, el área de la poligonal esárea = 1 365 unidades x 0.0200 = 27.30 cm2

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FIGURA 3.6. Meridiano magnético. Meridiano geográfico.

1.3.2 Sentido de medida del ángulo horizontal.

Para medir el ángulo horizontal se elige un sentido de medida normalmente el denomi-nado agujas de reloj o positivo en el cual la rotación va de izquierda a derecha de unobservador colocado en el vértice del ángulo, igual sentido en que rotan las agujas delreloj. Si se mide en sentido contrario se habla de sentido negativo. Hay que entender elsentido como una manera de medir.

En algunos trabajos particulares especialmente de vías, cuando se tienen varias rectasconsecutivas se toma el ángulo formado por una recta con la prolongación de la ante-

003º15’29"140º12’00"

En el computador hay que tener el cuidado de entrar las cifras completas, pudiendosuceder si esto no se tiene en cuenta que el ángulo 10º5’4" entre como 105º40’00".

1.3 MEDIDA DE ÁNGULOS.

1.3.1 Instrumento de medida

El valor angular se mide con algún instrumento como: la cinta, la brújula, el teodolito,la estación total, etc. dependiendo del grado de precisión con que se deba obtener.

Si la recta de referencia es la línea norte - sur magnética o geográfica, se denominameridiano magnético o meridiano verdadero (geográfico) y el ángulo formado aci-mut o rumbo. Ver figura 3.6.

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Por lo general, aun con mapas de buena calidad, las áreas medidas con ellos no seráncomo las calculadas directamente con base en los datos de un levantamiento. La escaladel mapa y los dispositivos usados para obtener las medidas son los factores principalesque afectan la precisión obtenida en el área. La dilatación y la contracción diferencial delmaterial con que se dibujan los mapas es otra fuente de error en la determinación deáreas hecha con base en mediciones en mapas. Cambios de dimensión de 2 a 3% soncomunes en ciertos tipos de papel.

Área calculada mediante cuadriculación

Puede seguirse un método más sencillo mediante papel cuadriculado transparente concierta escala. Se aplica luego el papel sobre la poligonal en el plano y se cuenta el númerode cuadros enteros y de cuadros parciales.

AT = (área de cada cuadrado) x (número total de cuadros dentro de la poligonal en elplano) x (módulo escalar)2.

Áreas calculadas por longitudes a escala

Si los linderos de un terreno se identifican en un mapa, el terreno puede dividirse entriángulos, rectángulos u otras figuras regulares, medirse luego los lados, calcularse lasáreas individuales y sumarlas para obtener el área total. Por ejemplo método de Eron:

AT = área del triángulo de lados a, b, c a + b + c

AT = r p(p-a)(p-b)(p-c) , para p = 2

Áreas calculadas por digitalización de las coordenadas

Un terreno trazado en un mapa puede colocarse sobre una mesa digitalizadora en interfazcon una computadora y registrarse rápidamente las coordenadas de sus vértices. Conbase en el archivo de coordenadas, el área se puede calcular con el método propuesto enel numeral 3.4.12. Sin embargo, debe recordarse que aunque las coordenadas puedendigitalizarse hasta el 0.1 mm más cercano, su precisión real no puede ser mejor que la delmapa del que se tomaron los datos. La determinación de áreas por digitalización demapas existentes se está practicando actualmente en forma amplia para crear bases dedatos para los sistemas de información geográfica.

Medida de áreas con planímetro

Un planímetro es un integrador mecánico; mide el área de una figura dando una lecturaen un dispositivo de tambor cilíndrico rodante conectado a un disco, desplazando una

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rior, medido siempre a partir de la línea que se prolonga. Este ángulo se denominaDeflexión o desviación, y a su valor angular debe agregarse el sentido de la medida:+ o Derecho (D), - o Izquierdo (I). Ver figura 3.7.

1.3.3 Poligonal.

Normalmente no solo se mide un ángulo horizontal, sino una sucesión de ellos, envértices consecutivos, formando una figura que se denomina poligonal. Esta puede serabierta o cerrada de acuerdo con que coincidan o no su punto inicial y final. Se requieretambién la medida lineal (longitud horizontal de los lados del ángulo) para tener losdatos necesarios en la elaboración del plano. Hay que evitar en lo posible lados que secrucen (polígonos estrellados).

Además del sentido del ángulo, se elige el sentido en que se recorren los vértices delpolígono para ejecutar las medidas, que puede ser, como en el ángulo horizontal, el delas agujas del reloj o el contrario.

En una poligonal cerrada hay que considerar si se mide el ángulo interior o el exterior.Elegido el sentido de recorrido de la poligonal se tiene para los lados un orden en elpunto de origen y en el punto final. Esto define las expresiones adelante y atrás, laprimera significa ir del punto escogido como origen al punto final y la segunda lo con-trario. Ver figura 3.8.

1.4 UNIDAD DE MEDIDA LINEAL

La unidad de medida de longitud es el metro, con sus múltiplos y submúltiplos. Las longitu-des se toman al milímetro, centímetro o decímetro de acuerdo con la precisión deseada.

FIGURA 3.7. Ángulos horizontales. Deflexión.

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La poligonal base puede tener puntos comunes con la de linderos donde se puedeestacionar el equipo y efectuar las medidas con comodidad y precisión.

Para aplicar el método descrito para el cálculo del acimut es necesario una estrictaorganización de los datos de la poligonal base y los linderos, elegir y seguir cuidado-samente el sentido de la medida del ángulo horizontal y el sentido del recorrido,.entender perfectamente los términos adelante, atrás, vértice estación, eje, ánguloderecho, medida lineal, proyecciones, coordenadas, áreas, detalles, linderos etc., ga-rantiza la buena ejecución del trabajo de campo, cálculos y planos.

El empleo de la calculadora o el computador no arreglará un mal trabajo de campo.Con estos aparatos se ahorra tiempo y se evitan equivocaciones de tipo operacional.Hacen más necesario el conocer y dominar los métodos manuales. La expresión «lohice con equipo electrónico», «lo calculé con computador», no son garantía de traba-jos bien hechos.

Tal como se hizo el trabajo del ejemplo, la poligonal de linderos no tiene ninguna verifi-cación. La bondad de sus datos dependen de la precisión con que fueron tomados losvalores de la poligonal base y los linderos.

Para el cálculo del área es fundamental que el orden en el cual se tomen los puntos dellindero sea igual al que tiene en el terreno. Cualquier cambio introduce equivocacionesque afectan el valor del área y hacen inútil el resultado. Como se mencionó antes, elorden se verifica en el dibujo.

En el campo deben hacerse el mayor número de controles y chequeos, especialmente sise trabaja en un sitio retirado del lugar donde se efectúan los cálculos y los planos. Elregreso al área del levantamiento puede ser difícil, además de aumentar los costos y eltiempo de trabajo.

3.4.13 Áreas calculadas por mediciones en mapas

Para determinar el área de un terreno con base en mediciones hechas en mapas, suslinderos deben identificarse primero sobre un mapa dibujado con los datos del le-vantamiento. Posteriormente puede usarse uno de los varios métodos disponiblespara determinar su área. Ver figura 3.47.

La precisión obtenida al ejecutar determinaciones de área con mediciones en mapas estárelacionada directamente con la de los mapas usados; ésta depende a su vez de la calidadde los datos del levantamiento y también de la precisión del proceso de dibujo.

Por lo tanto, si se usan mapas existentes para determinar áreas, sus calidades debenverificarse primero.

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FIGURA 3.8. Poligonal abierta - cerrada. Sentido del ángulo. Punto adelante -atrás.

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TAB

AL

3.3

Cál

culo

del

áre

a po

r co

orde

nada

s.

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1.5 RESUMEN

Poligonal: una sucesión de tramos (lados rectos) que definen una figura geométricaabierta o cerrada, formada por ángulos y lados horizontales. El ángulo horizontalcomo parte de la figura se mide en sentido agujas de reloj o contrario. Cada ladotiene un sentido de recorrido adelante o atrás. Si la figura es cerrada en cada vérticese forma un ángulo interior y uno exterior cuya suma geométrica es de 360º. Lamedida de cada lado es su proyección sobre el plano horizontal. Ver figura 3.8.

En los trabajos se maneja una gran cantidad de puntos, por esto es fundamental elegirlos sentidos de medida y de recorrido de las figuras en la forma más adecuada y novariarlos durante su ejecución. Cada punto debe tener una identificación que puede seruna letra, un número o una combinación de ambos.

Los puntos que se localizan en el terreno se clasifican como:

Vértices: Punto donde se estaciona un aparato para efectuar mediciones angulares y lineales.

Detalles principales: puntos importantes en un trabajo. Puntos objeto de medida en loslevantamientos donde el objeto sea su definición. Ejemplo: los puntos de cambio dedirección de un lindero, vértices de una construcción, eje de una vía, etc.

Detalles secundarios: son puntos que corresponden a datos del terreno no esenciales enun trabajo, ejemplos: Postes, potreros, jardines, etc. Cuando estos son solamente des-criptivos, no objeto del levantamiento.

Los detalles se toman de acuerdo con la finalidad a que vaya destinado el trabajo. Undetalle principal en un levantamiento puede ser secundario, en otro o lo contrario.

1.6 TRABAJO DE CAMPO

1.6.1 Comisión de topografía

Al grupo de personas que ejecuta los trabajos topográficos se le da el nombre decomisión. Normalmente la componen 4 personas: 1 Topógrafo, 1 Cadenero pri-mero, 1 Cadenero segundo, 1 ayudante.

El nombre de cadenero resulta de la cadena, elemento de medida utilizado hasta1930 aproximadamente y que consistía en eslabones de acero unidos entre si. Cadados metros tenía una placa dentada indicando el número de metros. Su longitudvariaba entre 10 y 30 metros. Reemplazada por la cinta metálica.

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Vértice 1. Anterior 8. Posterior 2.(478,36 m - 497,55 m) 480,06 m =-9.212,35 m²

Vértice 2. Anterior 1. Posterior 3.(453,28 m - 570,19 m) 434,35 m =-50.779,86 m²

Vértice 3. Anterior 2. Posterior 4.(497,55 m - 707,77 m) 501,25 m =-105.372,77 m²

Vértice 4. Anterior 3. Posterior 5.(570,19 m - 661,94 m) 599,03 m =-54.961,00 m²

Vértice 5. Anterior 4. Posterior 6.(707,77 m -570,76 m) 629,37 m = 86.229,98 m²

Vértice 6. Anterior 5. Posterior 7.(661,94 m - 490,71) 753,40 m = 129.004,68 m²

Vértice 7. Anterior 6. Posterior 8.(570,76 m -478,36 m) 703,19 m = 64.974,76 m²

Vértice 8. Anterior 7. Posterior 1.(490,71m - 453,28 m) 642,78m = 24.059,26 m²

Total Doble área = 83.942,70 m²Área = 41.971,35 m²

Al comparar el resultado de los dos métodos se aprecia una diferencia mínima de 2 cm²debido a las aproximaciones. Ver tabla 3.3 y figura 3.45.

En trabajos ordinarios es suficiente emplear un método a elección de quien ejecuta loscálculos. Hacerlo con los dos es una garantía para eliminar errores en las operaciones.

Observaciones

Entender estos trabajos significa un buen manejo de los métodos de la topografía. Cual-quier parte del levantamiento puede dibujarse a mano alzada para aclarar las situacionesque se presenten. Si en el desarrollo de los cálculos se encuentran problemas que nopermitan resolverse lógicamente, es inútil continuar con ellos. El hacerlo solo representapérdida de tiempo. No se pueden inventar datos ni acomodar resultados.

Un esquema explicativo de campo claro y bien hecho es la guía más importante paraobtener un buen resultado.

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1.6.2 Libreta o registro de campo

Los datos de un levantamiento deben anotarse en forma clara y precisa en una cartera decampo. Esta debe tener hojas rayadas de manera apropiada para el trabajo que se ejecuta.

Su contenido debe corresponder a:

Identificación del trabajo y fecha. Persona o entidad para la cual se hace el trabajo. Personas que trabajan. Instrumentos y métodos empleados. Anotación ordenada y clara de los datos de campo (ángulos y distancias). Esquema explicativo. Toda la información que se considere importante. (Ver figura 3.9.)

75

Método 1.Diferencia de abscisas (X,E), por ordenada (Y,N). (Ea - Ep)NEa = Abscisa del punto anterior. (Xa)Ep = Abscisa del punto posterior. (Xp)N = Ordenada del vértice. (Yv)

Vértice 1. Anterior 8. Posterior 2.(642.28 m - 434,35 m ) 453,28 m = 94.477,15m²

Vértice 2 Anterior 1. Posterior 3.(480,06 m - 501,25 m) 497,55 m =-10.543,08m²

Vértice 3. Anterior 2. Posterior 4.(434,35 m - 599,03 m) 570,19 m =-93.898,89 m²

Vértice 4. Anterior 3. Posterior 5.(501,25 m - 629,37 m) 707,77 m =-90.679,49m²

Vértice 5. Anterior 4. Posterior 6.(599,03 m - 753,40 m) 661,94 m =-102.183,67m²

Vértice 6. Anterior 5. Posterior 7.(629,37 m - 703,19 m) 570,76 m =-42.133,50m²

Vértice 7. Anterior 6. Posterior 7.(753,40 m - 642,78 m) 490,71 m =54.282,34m²

Vértice 8. Anterior 7. Posterior 1.(703,19 m - 480,06 m) 478,36=106.736,46m²

Total doble Área = - 83.942,68 m²Área = 41.971,34 m²

Prescindiendo del signo que tiene significado como vector.

Método 2.

Diferencia de ordenadas (Y,N) por abscisa (X,E). (Na - Np) ENa = Ordenada del punto anterior. (Ya)

Np = Ordenada del punto posterior. (Yp)E = Abscisa del vértice. (Xv)

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FIG

UR

A 3

.9. D

atos

de

Cam

po.

74

FIGURA 3.45 Cálculo del área por coordenadas.

En el trabajo.Coordenada E

Mayor valor 753,40 m (punto 6)Menor valor 434,35 m (punto 2)Diferencia 319,05 m E

Coordenada NMayor valor 707,77 m (punto 4)Menor valor 453,28 m (punto 1)Diferencia 254,49 m N

En un rectángulo de 319,05m por 254,49m se tendrán todos los puntos de coordenadas.63.81 cmescala 1/500 50.90cm

Estando pendientes los puntos a dibujar con escala y transportador (50, 51, .....57)

Se dibujó el plano por coordenadas en una hoja de papel albanene tamaño ½ pliego (0.50mx 0.70m) tomando el eje NS y EW, paralelos a las márgenes, acotando cada 100 m.

3.4.12 Cálculo del área por coordenadas.

Poligonal de linderos 1,2,3,4,5,6,7,8. Ver figura 3.45

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FIGURA 3.10. Medida de ángulos horizontales con brújula

Si se dispone de un transportador, previsto de alidado con centro en el pivote de la agujay se apunta a B, podrá determinarse el ángulo que forma la línea del norte magnética conla línea AB. Este ángulo medido a partir de la dirección del norte, en sentido agujas dereloj, y con un valor entre 0º y 360º se denomina acimut magnético de la línea AB.

Si se divide la circunferencia en cuatro cuadrantes de 90º, teniendo en cuenta los puntoscardinales (N, S, E, W), se denomina rumbo magnético al ángulo formado por la línea yel meridiano, con un valor entre 0º y 90º al cual debe agregársele el nombre del cuadran-te en que está la línea.

2 MEDIDA DE ÁNGULOS HORIZONTALESCON LA BRÚJULA

2.1 ACIMUT - RUMBO

Si se tienen dos puntos A y B sobre la superficie de la tierra formando una línea AB, alcolocar una brújula en el punto A la aguja se detendrá con su polo norte señalando haciael polo norte magnético. Ver figuras 3.10 y 3.11.

73

3.4.11 Dibujo. Plano

Es conveniente dibujar al menos la poligonal de linderos antes del cálculo del área. Conesto se pueden detectar errores cometidos en las diversas operaciones, además de cons-tatar el orden de los puntos de lindero, fundamental en el cálculo del área por coordena-das.

El tener una idea precisa del espacio que ocupa el dibujo es básico para saber el tamañode la plancha y la escala a emplear. Manejando las coordenadas de los puntos se puedeconseguir el punto mas Norte (mayor valor en coordenada N), el punto mas Sur (menorvalor en coordenada N). El punto mas Este (mayor valor en coordenada E) y el puntomas Oeste (menor valor en coordenada E). La diferencia entre estas coordenadas será lamayor distancia sobre los ejes entre los puntos del dibujo. Ver figura 3.44.

FIGURA 3.44 Levantamiento de un lote. Método de poligonación.

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Puede pasarse fácilmente de un valor a otro teniendo en cuenta algunas reglas.

FIGURA 3.11. Brújulas de trípode y de bolsillo.

2.2 DE ACIMUT A RUMBO.

Para acimutes entre 0º y 90º, el rumbo tiene el mismo valor numérico y pertenece alcuadrante NE.

Ejemplo:Acimut AB: 47ºRumbo AB N 47ºE.

Para acimutes entre 90º y 180º: 180º - Acimut = rumbo y pertenece al cuadrante SE.

Brújula de trípode K&E

Brújula de bolsillo RECON

Brújula de trípode K&E

Brújula de bolsillo FREIBRGER

72

Figura 3.43. Cálculo de las coordenadas de la poligonal de linderos.XΔ1 = 500,00 m E. YΔ1 = 500,00 m N

Proyecc. Δ1 - 3 +1,25m E +70,19m N500,00m 500,00m

Coord. 3 501,25m E (X3) 570,19m N (Y3)

Puntos 4, 5 desde vértice poligonal base Δ2

Coord Δ2 528,10m E (X2) 659,32m N (Y2)Proyecc. Δ2 - 4 +70,93m E +48,45m NCoord. 4 599,03m E (X4) 707,77m N (Y4)

Proyecc. Δ2 - 5 101,27m E 2,62m N528,10m 659,32m

Coord. 5 629,37m E (X5) 661,94m N (Y5)

En la misma forma para los puntos 6 y 7 desde .3 y el punto 8 desde Δ5.

El origen de coordenadas para el punto de lindero es el vértice de la poligonal base dedonde se midió.

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Ejemplo:Acimut BC: 130º; 180º - 130º = 50ºRumbo BC: S 50º E.

Para acimutes entre 180º y 270º: Acimut - 180º y pertenece al cuadrante SW.

Ejemplo:Acimut CD: 215º; 215º - 180º = 35ºRumbo CD: S 35º W.

Para acimutes entre 270º y 360º: 360º - Acimut y pertenece la cuadrante NW.

Ejemplo:Acimut DF: 340º; 360º - 340º = 20ºRumbo DE: N 20º W.

2.3 DE RUMBO A ACIMUT.

Rumbo cuadrante NE, Acimut de igual valor numérico.

Rumbo cuadrante SE, Acimut = 180º - rumbo.

Rumbo cuadrante SW, Acimut = 180º + rumbo.

Rumbo cuadrante NW, Acimut = 360º - rumbo.

Si la dirección de la línea coincide con la Norte, el rumbo será N y el acimut 0º.

Si la dirección de la línea coincide con el Este, el rumbo será E y el acimut 90º.

Si la dirección de la línea coincide con el Sur, el rumbo será S y el acimut 180º.

Si la dirección de la línea coincide con el Oeste, el rumbo será W y el acimut 270º.

Rumbo E es equivalente a N 90º E o S 90º E. Rumbo N equivalente a: N 0º W, N0º E.

Rumbo W es equivalente a S 90º W o N 90º W. Rumbo S equivalente a: S 0º E, S 0ºW.

Estrictamente la expresión correcta debe mencionar la línea de referencia (el Norteo el Sur). Ver figura 3.12.

71

Punto Δ5 = Punto Δ4 + Proyección longitud Δ5Δ1

= 669,99 m - 77,85 m = 592,14 m coord (E) Δ5 = XΔ5

Comprobación:Punto Δ1: Punto Δ5 + proyección longitud Δ5Δ1

= 592,14 m - 92,14 m = 500,00 mcoord. (E)Δ1 llegada = XΔ1

Coordenadas Norte (N) = Y = latitudPunto Δ1 500,00 m coordenada N de salida = YΔ1

Punto Δ2 = Punto Δ1 + Proyección latitud Δ1Δ2

= 500,00 m + 159,32 m = 659,32 m coord. (N) Δ2 = YΔ2

Punto Δ3 = Punto Δ2 + Proyección latitud Δ2Δ3

= 659,32 m - 53,14 m = 606,18 m coord. (N) Δ3 = YΔ3

Punto Δ4 = Punto Δ3 + Proyección latitud Δ3Δ4

= 606,18 m - 43,45 m = 562,73 m coord. (N) Δ4 = YΔ4

Punto Δ5 = Punto Δ4 + Proyección latitud Δ4 Δ5

= 562,73 m - 37,50 m = 525,23 m coord. (N) Δ5 = Y Δ5

Comprobación:Punto Δ1: Punto Δ5 + proyección latitud Δ5Δ1

= 525,23 m - 25,23 m=500,00 mcoord.(N) Δ1 llegada = YΔ1

3.4.10 Coordenadas de los vértices de la poligonal de linderos

Puntos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Ver figuras 3.43 y 3.44.

Teniendo las coordenadas del vértice de la poligonal base (estación) y las proyeccionesde la línea estación lindero (Δ1 - 1, Δ1 - 2, Δ1 - 3,.. Δ5 – 8) se calculan las coordenadas decada punto de lindero.

Puntos 1, 2, 3 desde Vértice poligonal base Δ1

Coord. Δ1 500,00m E (X1) 500,00m N (Y1)proyecc. Δ1 – 1 –19.94m W -46,72m SCoord. 1 480.06m E (X1) 453.28m N (Y1)

Proyecc. Δ1 – 2 -65,65m W -2,45m S500,00m 500,00m

Coord. 2 434,35m E (X2) 497,55m N(Y2)

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2.3.1 Acimut adelante. Acimut atrás. Rumbo adelante. Rumbo atrás

Al hablar del acimut de la línea AB, se tiene el vértice del ángulo en A y la direcciónhacia el extremo B. Se denomina acimut adelante el ángulo medido en A.

Al pasar al punto B, se tendrá otro meridiano que pasa por B y la dirección de la líneamirando hacia A, será acimut atrás (contra acimut). Con el rumbo igualmente setendrá rumbo adelante y rumbo atrás. (Contra rumbo). Ver figuras 3.13. y 3.14.

Cada línea tiene entonces un valor de acimut o rumbo en su origen y un contra acimut ocontra rumbo en su punto final. Si los meridianos son líneas paralelas entre sí,geométricamente es una operación sencilla el pasar de un valor adelante a un valor atrás.

Acimut de AB = 105º adelante (menor de 180º)Acimut de BA (contra acimut)=105º + 180º = 285ºAcimut de AC = 250º adelante (mayor de 180º)Acimut de CA (contra acimut) = 250º - 180º = 70º

FIGURA 3.12. Acimut y rumbo

70

FIGURA 3.42. Cálculo de las coordenadas de los vértices de la poligonal base. X Δ1 = 500,00 m E. Y Δ1 = 500,00 m N

coordenadas de los puntos de la poligonal base y luego las de los puntos de la poligonalde lindero.

Las coordenadas del punto de salida Δ1 deben ser iguales a las de llegada Δ1. Esto indicaque las proyecciones están bien calculadas y no se cometieron errores aritméticos. Verfigura 3.42.

OperacionesCoordenadas Este (E) = (X) = longitudPunto Δ1 500,00 mcoordenada E de salida = X Δ1

Punto Δ2= Punto Δ1+ Proyección longitud Δ1Δ2

= 500.00 m + 28,10 m = 528,10 mcoord. (E) Δ2 = XΔ2

Punto Δ3= Punto Δ2+ Proyección longitud Δ2Δ3

= 528,10 m + 170,12 m = 698,22 mcoord. (E) Δ3 = XΔ3

Punto Δ4= Punto Δ3+ Proyección longitud Δ3Δ4

= 698,22 m - 28,21 m = 670.01 mcoord. (E) Δ4 = XΔ4

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FIGURA 3.13. Acimut adelante – acimut atrás (contra acimut)

FIGURA 3.14 Rumbo adelante – rumbo atrás (contra rumbo).

De lo anterior se deduce fácilmente acimut adelante ± 180º = Acimut atrás (contraacimut).

Con los rumbos al pasar de adelante a atrás se tiene el mismo valor angular pero elcuadrante difiere en 180º.

Rumbo AB S75ºE adelante. Rumbo BA N75ºW atrásRumbo AC S70ºW adelante. Rumbo CA N70ºE atrás

Es bueno tener en cuenta que los términos adelante, atrás, contra solo expresan el senti-do en que miramos sobre la línea al medir.

69

3.4.8 Cálculo de las proyecciones de las líneas estación - punto delindero

Línea:Δ1-1, Δ1-2, Δ1-3Δ2-4, Δ2-5Δ4-6, Δ4-7Δ5-8

Se calculan en la misma forma que las de las líneas de la poligonal base. Se pueden anotardirectamente en la columna de los valores corregidos pues estos resultados no tienenninguna corrección.

Línea Δ1-1: medida lineal: 50,80macimut 203º 07'

Proy. long = -19,94m W. Proy. lat = -46,72 m S

Línea Δ2-4 : medida lineal: 85,90macimut 55º40'

Proy. long = 70,93m E. Proy. lat = 48,45m N

Línea Δ4-6 : medida lineal : 83,80macimut 84º30'

Proy. long = 83,41m E. Proy. lat = 8,03m N

Línea Δ5-8: medida lineal: 69,00macimut 132º47'

Proy. long = 50,64m E. Proy. lat = -46,87m S

De igual manera para todas las demás.

3.4.9 Cálculo de coordenadas

Vértices de la poligonal base: Δ1, Δ2, Δ3, Δ4, Δ5. Ver figura 3.42.

Se asignan valores de coordenadas a un punto de la poligonal base (generalmente elprimero), enteros en 100, con tantas cifras decimales como tenga el trabajo, procurandoque todos los puntos a dibujar queden en el primer cuadrante.

En el trabajo Δ1 : 500,00m Este, 500,00m Norte.

A partir de estos valores se calculan todas las demás. Por orden y especialmente mientrasse tiene un buen dominio de las operaciones de cálculo, se deben obtener primero las

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FIGURA 3.15 Cálculo de ángulos horizontales conocidas las direcciones

Otras expresiones equivalentes contra acimut y contra rumbo son: acimut directo y rum-bo directo o acimut inverso y rumbo inverso.

Si se tienen los acimutes o rumbos de varias líneas con el mismo punto de origen, sepuede calcular fácilmente el ángulo horizontal entre dos de ellas. Ver figura 3.15.

2.4 VARIACIONES DE LA DIRECCIÓN MAGNÉTICA

La dirección del meridiano magnético sufre desviaciones que pueden afectar los trabajoscon la brújula.

Variaciones con respecto al tiempo.

Variación secular. Es un ciclo completo que toma varios siglos. La magnitud anual esde 5' a 9'. Cuando se hace relación a medidas (acimut o rumbo) grandes (tomadascon brújula en períodos mayores de 10 años), los valores pueden diferir en formaconsiderable a los actuales.

Variaciones anualesVariaciones diarias. Generalmente son pequeñas. Puede trabajarse sin tenerlas encuenta.

68

Error latitud = 0,08m; Latitud Δ1 Δ2 = 159,34m. 0.08m x 161.80 mcΔ1Δ2 = = 0.02 m 573.73 m

Latitud Δ1Δ2 - 0,02m = Lat. corregida Δ1Δ2

159,34m - 0,02m = 159,32m Lat. corregida Δ1Δ2

Corrección latitud Δ2Δ3 :

0.08m x 178.21 mcΔ2Δ3 = = 0.02 m 573.73 m

-53.12m - 0.02m = -53.14m latitud corregida Δ2Δ3

0.08m x 51.80 mcΔ3Δ4 = = 0.01 m aproximado 573.73 m

-43.44m - 0.01m = -43.45m latitud corregida Δ3Δ4

0.08m x 86.40 mcΔ4Δ5 = = 0.01 m 573.73 m

-37.49m - 0.01m = -37.50m latitud corregida Δ4Δ5

0.08m x 95.52 mcΔ5Δ1 = = 0.02 m aproximado 573.73 m

-25.21m - 0.02m = -25.23m

Consiguiendo:Σlatitudes N(+)159.32m+Σlatitudes S(-)159.32m = 0.

Al hacer la corrección se mantienen los valores hasta la segunda cifra decimal (centíme-tro). Se hacen algunas aproximaciones de resultados para conseguir la igualdad.

El valor de la corrección se anota en la columna correspondiente al frente del valor acorregir. Las proyecciones corregidas se anotan en su columna y se indican en la parteinferior las sumas iguales.

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Atracción local.

Corresponde a variaciones apreciables que imposibilitan a veces el trabajo con labrújula. Pueden ser causadas por cables eléctricos, masas pequeñas de hierro omineral de hierro, tormentas magnéticas, etc. Son problemas que se presentan enlos puntos de estación. Se expresan como la falta de paralelismo de los meridianosque pasan por esos puntos.

Corregir la atracción local es hacer que todos los meridianos geométricamente seanparalelos entre si.

2.5 INCLINACIÓN MAGNÉTICA. ISOCLINAS

Los extremos de la aguja de la brújula son atraídos verticalmente por la posición de lospolos magnéticos. Al estar apoyada sobre un pivote se inclinará hacia el polo más cerca-no a ella, encontrándose en la posición de equilibrio (horizontal) en el Ecuador. Estefenómeno se denomina inclinación y puede variar desde 0º en el Ecuador (aguja hori-zontal) hasta 90º en el polo (aguja vertical). Para equilibrar la inclinación de la aguja en elhemisferio norte, se coloca un contrapeso, tan cerca al extremo Sur de la aguja como seanecesario. Normalmente es un alambre enrollado.

Se denominan isoclinas las líneas que unen puntos de igual inclinación magnética.La isoclina 0 corresponde al Ecuador, la 90º al polo. Ver figura 3.16.

67

Corrección en longitud.

Para corregir el error en longitud (+0,04m) se empleó el método personal, válidopara errores pequeños y que consiste en repartir el error entre las proyecciones co-rrespondientes, a criterio de quien hace el trabajo, teniendo en cuenta el valor deproyección del eje o su medida lineal, así:

Para proy.long. Δ1Δ2 = 0,00m Quedando+ 28,10mPara proy.long. Δ2Δ = -0,02m Quedando+ 170,10mPara proy.long. Δ3Δ4 = 0,00m Quedando - 28,21mPara proy.long. Δ4Δ5 = -0,01m Quedando - 77,85mPara proy.long. Δ5Δ = -0,01m Quedando - 92.14mTotal corrección -0,04mΣlong.E (+ 198,20m) + Σlong.W (-198,20m) = 0

Se corrigieron las proyecciones de los tres ejes de mayor valor en proyección.

Corrección en latitud.

Ilustración del método de la brújula.Para el error en latitud se empleó el método denominado de la brújula, que relacio-na: el error cometido en las proyecciones, la medida lineal del eje (lado) y el períme-tro del polígono base.

Para encontrar la corrección XC se establece una relación lineal.

Para 573,73m (perímetro)-0,08m (error en la latitud)Para medida lineal X

error en latitud XC = perímetro medida lineal

0.08m x medida linealXC = Perímetro

El valor de la corrección (Xc) es negativo por ser el error positivo.

Corrección Latitud de Δ1 Δ2:Medida Lineal Δ1 Δ2 =161,80m. Perímetro: 573,73m

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FIGURA 3.16. Uso de la brújula. Fenómeno de la inclinación

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Precisión lineal P.

Para obtenerla se tiene en cuenta el perímetro (p) de la poligonal base y el error (EL) decierre.p=161,80m+178,21m+51,80m+86.40m+95,52m=573,73my se expresa como el número de unidades medidas para cometer un error de una unidad. x 573.733 mSi = 1m 0.09 m

573.73m x 1mx = = 6374.78 m 0.09m

Para un error de 1m se debieron medir 6.374,78m

En forma práctica se presenta como una fracción, cuyo numerador es la unidad y eldenominador el número de unidades medidas en valor entero para cometer un error deuna unidad de medida.

1P = 6.375

Entendiendo la precisión se puede usar la fórmula 1 1 1P = P = P = perímetro/error 573.73/0.09 6375

La precisión obtenida en el ejemplo es la de un trabajo normal. Está dentro de latolerancia aceptada en estos casos.

Si esto no sucede se deben revisar todas las operaciones efectuadas para encontrarposibles errores de cálculo. Si el error y la baja precisión persisten es necesariorepetir el trabajo en el campo hasta lograr la precisión deseada.

3.4.7 Ajuste de la poligonal base. Corrección de las proyecciones

Existen varios métodos con fundamentos matemáticos para corregir el error lineal decierre. Este se corrige repartiendo sus componentes: error en longitud entre las proyec-ciones en longitud y error en latitud entre las proyecciones en latitud.

El proceso se denomina compensación lineal.

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3. LEVANTAMIENTOS PLANIMÉTRICOS

Su objeto es obtener datos de campo para representar los puntos del terreno sobre elplano horizontal, sin tener en cuenta su elevación (altura).

3.1 LEVANTAMIENTO PLANIMÉTRICO CON CINTA

Objeto.

En el ejercicio normal de la topografía se presentan algunos casos especiales detener que hacer levantamientos de poca precisión en terrenos pequeños (algunoscentenares de m2), descomponiéndo los previamente en figuras geométricas, cuyoselementos: bases, alturas, ángulos, etc. se pueden medir con implementos sencilloscomo la escuadra de agrimensor (tamanuá), jalones, cinta métrica, pines o agujetas,entre otros que pueden ser improvisadas en el campo.

Trabajo de campo.

Implementos: cinta métrica, escuadra de agrimensor, jalones, estacas, pines, plomadas.Personal: 1 topógrafo, 2 medidores con cinta (cadeneros).

Preparación del trabajo.

Se definen los puntos de detalle a localizar.

Se hace un gráfico de terreno y se escogen los elementos a medir, teniendo en cuentaque sean suficientes para las exigencias del levantamiento:

• Atributos del punto (zonas verdes, vegetación, construcciones, drenajes, vías, otras)• Posiciones relativas de los puntos• Elementos geométricos necesarios para dibujo y cálculo de áreas.• Localización• Combinación de ellas• Evitar ángulos cuyo valor sea muy cercano a 0º o 180º.• Otras

3.1.1 Aplicación

Levantamiento de un lote de terreno limitado por linderos rectos, alambrados y murode piedra. Localización de una laguna (Detalles 1 y 2). Todos los datos medidos en elcampo se registran en las figuras 3.17 y 3.18.

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FIGURA 3.41 Error lineal de cierre en la poligonal base. Gráfico exagerado

Error lineal de cierre.

ΣLongitud E(+) = 28,10m +170,12m = 198,22mΣLongitud W(-)=-28,21m -77,84m -92,13 = -198,18ΣLongitudes = + 0,04m Error en Longitud.ΣLatitudes N(+) = 159,34m.ΣLatitudes S(-) = - 53,12m - 43,44m - 37,49 - 25,21m = 159,26mΣLatitudes = +0,08m Error en latitud.

Expresando el error con palabras se partió de un punto Δ1 y se llegó a un punto Δ1'situado 0,04m al E y 0,08m al N del punto Δ1 (partida). Ver figura 3.41.

El error lineal .1' .1 es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son:

ΣLongitudes y ΣLatitudes. Se toma desde el punto de llegada al punto donde se debíallegar.

Error lineal:

Δ1’Δ1 = r(Σlongitudes2 + Σlatitudes2) = r((0,04m) + (0.08) ) = 0.09

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FIG

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64

Distancia (medida lineal del eje) por el coseno del acimut correspondiente e igual a laproyección en latitud. N+S-

Aproximaciones.

En el ejemplo se está trabajando hasta el centímetro (segunda cifra decimal). Para aproxi-mar el resultado de una operación, si la tercera cifra decimal es de 5 ó mayor de 5, a lasegunda cifra decimal se le agrega una unidad. Si es menor de 5 se deja con su valor24,786 - 24,79; 38,597 - 38,60; 82,714 - 82,71; 114,996 - 115,00

Se calculan solo las proyecciones adelante: Δ1, Δ2, Δ2 Δ3, Δ3 Δ4, Δ4 Δ5, Δ5 Δ1 en el sentidode recorrido de la poligonal.

Δ1 Δ2 : Medida lineal 161,80m. Acimut 10º Proyección en Longitud:+28,10m E proyección en Latitud: +159,34m N.

Δ2 Δ3 : Medida lineal 178,21m. Acimut 107º20' Proyección enLongitud: +170,12m E proyección en Latitud: -53,12m S.

Δ3 Δ4 : Medida lineal 51,80m. Acimut 213º00' Proyección enLongitud: -28,21m W proyección en Latitud: -43,44m S.

Δ4 Δ5 : Medida lineal 86,40m. Acimut 244º17' Proyección enLongitud: -77,84m W proyección en Latitud: -37,49m S.

Δ5 Δ1 : Medida lineal 95,52m. Acimut 254º42' Proyección enLongitud: -92,13m W proyección en Latitud: -25,21m S.

3.4.6 Cálculo del error lineal de cierre. Precisión lineal

En un polígono cerrado debe cumplirse:

ΣLongitudes E = ΣLongitudes W ó ΣLongitudes = 0ΣLatitudes N = ΣLatitudes S ó ΣLatitudes = 0

Ecuaciones redundantes:

Recordar que se partió del punto Δ1, al cual se debe volver y que los ángulos medi-dos se corrigieron para que cumplieran su condición geométrica. Sin embargo porlos errores cometidos en las medidas de los lados no se cumple la condición lineal.Las medidas se aceptan si están dentro de la aproximación requerida para el trabajo(tolerancia lineal).

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3.1.1.1 Preparación

Se descompuso el terreno en tres triángulos y de ellos se eligieron los elementos a medir:

ABE: lados AE y AB, ángulo BAE = aBCE: lados CE base, altura BH, distancia EH.CDE: lados CD, DE, CE.

La orientación se tomó en el punto B. Para la elección se tuvo en cuenta una laguna queimpedía la medida BE y unos árboles que hacían lo propio para BC.

3.1.1.2 Trabajo de campo

Se midieron con cinta los lados AE, AB, CE, CD, DE. La distancia EH y la altura BH.Para obtener el ángulo BAE = á se midieron dos distancias iguales de 5 m a partir de Ahasta b y e. Se midió be = 5,02 metros. a be/2 5.02 sen = = = 0.502 2 5m 10m

a = 30 08' ; a = 60 16' ° ° 2

Todos los datos se anotaron en el registro de campo ver figura 17.

3.1.1.3 Orientación

La orientación (Norte - Sur) es básica para cualquier plano. Los instrumentos empleadosen este trabajo no permiten obtener directamente la dirección del meridiano, por lo queesta se obtuvo en forma tentativa, de la siguiente manera:

Se colocó la escuadra de agrimensor en el vértice B, de tal manera que una de sus ranurasapuntaba en la dirección Este-Oeste (E - W) definida por los sitios donde sale y se ocultael sol. La perpendicular a esta línea marcada por la otra ranura de la escuadra, dio enforma aproximada la dirección del Norte (N).

Luego, en la misma forma que se obtuvo el ángulo en A (a), se tomaron los datos para elángulo ABN = b b an/2 4,50m sen = = = 0,45 2 5m 10m

an = 4,50 ; b = 53 29'

63

FIGURA 3.40 Proyecciones de los lados de la poligonal base

Áng. + Δ3 Δ47 122º15' = 155º15'Acimut Δ4 - 7

Δ5

064º17' Acimut Δ5 Δ4 atrásÁng.+ Δ4 Δ58 068º30' = 132º47'Acimut Δ5 - 8

Estos valores se calculan al mismo tiempo que los de las líneas de la poligonal base. Seanotan todos los acimutes en la columna correspondiente de la hoja de calculo al frentede cada punto observado.

3.4.5 Cálculo de proyecciones de los lados (ejes) de la poligonalbase.

Tener en cuenta:

• Distancia (medida lineal del eje) por el seno del acimut correspondiente e igual proyec-ción en longitud. E+W- Figura 3.40.

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3.1.1.4 Trabajo de oficina

Áreas de triángulos

Área del triángulo ABEAE = 56,50 m AB = 61,00 m a = 60º16’ ABxAE sena Area = 2

56,50m x 61,00m x 0,8683m = = 1496,37 m2

2

Área del triángulo BCECE = 53,20 m base BH = 47,90 m altura 53,20m x 47,90mArea = = 1274,14 m2

2

Área del triángulo CDE en función del semiperímetro (s)

Area = s x (s - a) x (s - b) x (s - c) CE = 53,20 m CD = 32,00 m

DE = 39,10 m 53,20m + 32,00m + 39,10mS = = 62,15 m 2

Area = 62,15 x (62,15 - 53,20)x(62,15 - 32,00)x(62,15 - 39,10)

CF = 621,74m2

Cálculo del área ABCDE=1496,37m²+1274,14m²+621,74m²=3392,25m²

3.1.1.5 Dibujo del plano

Con los datos angulares y lineales se dibujó el plano. Escala 1/500.

62

FIGURA 3.39 Cálculo del acimut. Línea: Estación - Detalle.

Δ1

074º42' Acimut Δ1 Δ5 atrásÁng.+ Δ5 Δ11 128º25' = 203º07' Acimut Δ1 - 1Áng.+ Δ5 Δ12 193º10' = 267º52' Acimut Δ1 - 2Áng. + Δ5 Δ13 286º19' = 361º01'- 360º = 01º01' Acimut Δ1 - 3

Δ2

190º00' Acimut Δ2 Δ1 atrásÁng. + Δ1 Δ24 225º40' = 55º40'Acimut Δ2 - 4Áng. + Δ1 . 25 258º31' = 88º31'Acimut Δ2 - 5

Δ4

033º00' Acimut Δ4 Δ3 atrásÁng. + Δ3 Δ46 051º30' = 084º30'Acimut Δ4 - 6

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FIGURA 3.18. Levantamiento de un terreno con cinta.

Caso particular

Cuando el terreno está limitado por rectas y curvas, se puede proceder de la siguientemanera. Ver figura 3.19.

FIGURA 3.19 Terreno limitado por rectas y curvas.

61

Acimut Δ2 Δ3 (adelante) 107º20' ( <180º) + 180º00' 287º20'

Estación Δ3

Acimut Δ3 Δ2 (atrás) 287º20'+ ángulo derecho en Δ3 corregido 285º40' 573º00'(-360º)

Acimut Δ3 Δ4 (adelante) 213º00' (> 180º) -180º00' 033º00'

Estación Δ4

Acimut Δ4 Δ3 (atrás) 033º00'+ ángulo derecho en 4 corregido 211º17'Acimut Δ4 Δ5 (adelante) 244º17 ‘(>180º) - 180º00' 064º17'

Estación Δ5

Acimut Δ5 Δ4 (atrás) 064º17'+ ángulo derecho en Δ5 corregido 190º25'Acimut Δ5 Δ1 (adelante) 254º42' (> 180º)chequeo - 180º00'Acimut Δ5 Δ1 (atrás) llegada 074º42'igual al de salida.

3.4.4 Cálculo del acimut de las líneas Estación - Detalle

Teniendo en cuenta que son necesarias las coordenadas de los puntos de lindero secalcula el acimut de cada línea que va de la estación al lindero o al punto de detalle. Verfigura 3.39.

En Δ1 : Δ1 - 1, Δ1 - 2, .Δ1 - 3En Δ2 : Δ2 - 4, Δ2 - 5En Δ4 : Δ4 - 6, Δ4 - 7En Δ5 : Δ5 - 8

El cálculo se hace para cada línea a partir del acimut de la línea atrás (lado inicial de todoslos ángulos medidos 000º), al cual se le suma el ángulo derecho hasta la línea cuyo acimutse va a calcular. Ver figura 3.39.

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Se establecen los vértices, se elabora el gráfico y se escogen los elementos a medir de lasfiguras limitadas por rectas, como en el ejemplo anterior.

Sobre los lados de los triángulos más próximos a las líneas de lindero curvas, se levantanperpendiculares a intervalos tales que puedan representar con precisión los puntos dedichos límites y calcularse el área limitada por la curva y el tramo recto (asimilando lafigura a un triángulo o a un trapecio).

En la Figura 19 se observa: al ir de A hacia B las dos primeras perpendiculares quedan ala derecha del observador y las tres siguientes a la izquierda.

Al ir de C hacia E las perpendiculares quedan a la izquierda. Con todos los datos sedibuja el plano y se calcula el área.

3.1.2 Observaciones

En levantamientos de este tipo no se consiguen precisiones compatibles a las obte-nidas con equipos convencionales (teodolitos, distanciómetros, estaciones totales).El éxito del trabajo depende de la elección de los métodos más apropiados y de laprecisión con que se tomen los datos de campo.

El trabajo efectuado con cinta e instrumentos rudimentarios es de baja precisión y muylento. Debe hacerse sólo en casos excepcionales, en los cuales, la utilización de los datosobtenidos lo haga aconsejable.

3.2 LEVANTAMIENTO PLANIMÉTRICO CON BRÚJULA Y CINTA

El uso de la brújula fue durante mucho tiempo el único medio para medir ángulos en elcampo; actualmente ya no se emplea para levantamientos definitivos, ya que posterior-mente aparecería el teodolito el cual tiene mayor precisión en dicha medida.

Además de la brújula como instrumento de medida angular, se ha utilizado el sextante, elgiroscopio, el piroteodolito y la plancha entre otros.

Debido a la importancia que tiene en la topografía la manipulación adecuada delrumbo y al acimut, es conveniente el manejo y la comprensión de la brújula.

Los levantamientos con brújula se hacen por el método de poligonales tomandovisuales atrás y adelante, para descubrir donde hay mas atracción local.

ObjetoEn un trabajo ordinario se hace solo la lectura de rumbo o acimut, en el ejemplo secolocan ambos como ejercicio.

60

FIGURA 3.38 Cálculo del acimut de los lados de la poligonal base.

Estación Δ1

Acimut línea Δ1 Δ5 (atrás) 074º42' Salida+ ángulo derecho en Δ1 corregido 295º18' 370º00' (-360º)

Acimut Δ1 Δ2 (adelante) 010º00' (<180º) + 180º00' q 190º00'

Estación Δ2

Acimut Δ2 Δ1 (atrás) 190º00'+ ángulo derecho en Δ2 corregido 277º20' 467º20'(-360º)

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3.2.1 Trabajo de campo

3.2.1.1 Terreno.

Linderos: limitado por líneas rectas (polígono de cinco lados).Vértices de los linderos definidos por estacas, pudiéndose estacionar la brújula en cadavértice.

Detalles: localización de una acequia, una casa y muro en piedra.

3.2.1.2 Ejecución del trabajo.

Se observó el rumbo adelante (rumbo) y el rumbo atrás (contra rumbo) para cada lado(eje) y el rumbo de las líneas: A1, A2 y C4 (vértice - detalle).

Se midió con la cinta cada lado (eje) y las distancias: A1, A2, A3, C4 y D5. Se midierondirectamente los lados de la casa. Ver figuras 3.20 y 3.21.

3.2.1.3. Libreta de campo.

Columnas:1a. Estación: vértice de la poligonal donde se estacionó la brújula para medir los

rumbos.2a. Punto observado: punto donde se miró desde la estación.3a. Rumbo observado: rumbo leído en la brújula.4a. Acimut observado.5a. Distancia: los valores correspondientes medidos en el terreno con la cinta.

Las columnas siguientes pueden emplearse para anotar los valores obtenidos apartir de los rumbos observados, cuando el dibujo se va a ejecutar por ánguloy distancia.

6a. Ángulo interior observado: ángulo obtenido a partir del rumbo y contra rumbo.7a. Ángulo interior corregido: valor del ángulo interior después del ajuste angular

de la poligonal.8a. Rumbo corregido: valor del rumbo obtenido a partir de un rumbo y los ángu

los interiores corregidos.9a. Acimut corregido.

3.2.1.4. Observaciones y gráfico.

El cálculo de los ángulos interiores y el error angular de cierre debe efectuarse en el terrenocon el fin de poder detectar posibles equivocaciones o errores y corregirlas en el campo. Unbuen esquema explicativo del campo, facilita el trabajo de cálculos y plano. Ver figura 3.26.

59

Se pasa a la estación Δ2

Punto atrás Δ1. Punto adelante Δ3.Línea adelante Δ2 Δ3. Línea atrás Δ2 Δ1.Acimut Δ1 Δ2 (adelante) = 10º00' (menor de 180º)10º00' + 180º00'= 190º00' Acimut Δ2 Δ1 (atrás)Ángulo derecho corregido en .2 : 277º20'190º00´ + 277º20' = 467º20' (mayor de 360º) - 360º00' 107º20' Acimut Δ2 Δ3 adelante

Se pasa a la estación Δ3.Punto atrás Δ2 Punto adelante Δ4

Línea adelante .3 .4. Línea atrás Δ2

Acimut Δ2 Δ3 (adelante) = 107º20' (menor de 180º)107º20' + 180º00' = 287º20' Acimut Δ3 Δ2 (atrás)Ángulo derecho corregido en Δ3 : 285º40'287º20' + 285º40' = 573º00' (mayor de 360º) - 360º00' 213º00’Acimut Δ3 Δ4

Se pasa a la estación Δ4

Punto atrás Δ3. Punto adelante Δ5

Línea adelante Δ4 Δ5. Línea atrás Δ4 Δ3

Acimut Δ3 Δ4 (adelante): 213º00' (mayor de 180º)213º00'- 180º00' = 033º00' Acimut Δ4 Δ3 (atrás)Ángulo derecho corregido en Δ4 : 211º17'033º00'+211º17'=244º17' Acimut Δ4 Δ5

Se pasa a la estación Δ5

Punto atrás Δ4. Punto adelante Δ1

Línea adelante Δ5Δ1. Línea atrás Δ5 Δ4

Acimut Δ4 Δ5 (adelante) = 244º17' (mayor de 180º)244º17'- 180º00' = 064º17' Acimut Δ5 Δ4 (atrás).Ángulo derecho corregido en Δ5 : 190º25'064º17'+190º25' = 254º42' Acimut Δ5 Δ1

Es necesario calcular como comprobación el acimut de Δ1 Δ5 a partir del acimut Δ5 Δ1

calculado.254º42'- 180º00' = 074º42' Acimut Δ1 Δ5 (atrás) igual al acimut conque se empezaron loscálculos (salida). Ver figura 3.38.

Prescindiendo de las explicaciones se puede ordenar el trabajo:

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FIG

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Ángulo Δ5 Δ1 Δ2 = 295º17'+01' = 295º18'Ángulo Δ1 Δ2 Δ3 = 277º20'+00' = 277º20'Ángulo Δ2 Δ3 Δ4 = 285º40'+00' = 285º40'Ángulo Δ3 Δ4 Δ2 = 211º16'+01' = 211º17'Ángulo Δ4 Δ5 Δ1 = 190º24'+01' =190º25'

1259º57'+ 03' =1260º00'

Observaciones.

La corrección es de signo contrario al error.Repartir no significa corregir el error en un solo ángulo, sino en varios que se eligen acriterio de quien realiza el trabajo.

3.4.3 Cálculo del acimut de los lados de la poligonal base.

Es necesario entender las expresiones: Acimut adelante, Acimut atrás, ángulo derechocorregido.

Acimut adelante ± 180º = Acimut atrás.

Si el acimut adelante es mayor de 180º, se restan 180º. Si es menor se le suman.

El ángulo horizontal medido en cada estación (vértice) empieza en la línea atrás de lapoligonal base (teodolito en 000º). Ver figura 3.38.

Acimut de la línea atrás + ángulo derecho = Acimut de la línea adelante.

Se trabaja solo con valores menores de 360º. Si alguno pasa de este valor se le restan360º.

Operaciones.

Estación Δ1

Punto atrás observado Δ5. Punto adelante observado Δ2.Línea adelante Δ1 Δ2. Línea atrás Δ1 Δ5.Acimut Δ1 Δ5 (atrás) 74º42' medido con la brújula (acimut de salida).Angulo derecho corregido en Δ1 : 295º18'74º42' + 295º18' = 370º00' (mayor de 360º) - 360º00' 10º00' Acimut Δ1 Δ2

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FIGURA 3.21. Ángulos interiores y rumbos observados.

3.2.2 Trabajo de oficina

3.2.2.1 Cálculo de los ángulos interiores a partir de los rumbosobservados.

3.2.2.2 Error angular.

Suma de ángulos interiores(observ.) = 542º00'Suma teórica (n - 2)x(180º00') = 540º00'Diferencia + 2º00'Error angular de cierre = + 2º00'n: número de lados = 5

3.2.2.3 Corrección angular .

En un trabajo con brújula ordinaria la mayor apreciación (menor lectura) es de 30', porlo tanto la tolerancia será: 30' x n, si n = 5.

Tolerancia (mm) = 30' x 5 = 150'; siendo el error de 120' (2º00'), angularmente se con-sidera correcta.

57

En el ejemplo: datos de los puntos de la poligonal base y los vértices de lindero. Estánen la tabla 3.2 No aparecen los detalles de vías, parqueadero y casa por no considerarsenecesario el cálculo de coordenadas de sus puntos.

3.4.2 Error angular de cierre. Compensación angular.

La poligonal base es una figura de 5 vértices en la cual se midieron ángulos exteriores(AE) cuya suma se compara con la suma de ángulos en la figura geométrica, así:Suma teórica de ángulo (exteriores - interiores) de un polígono = 180º(n±2)n= número vértices = 5, 180º x 7 = 1260º

<Δ5 Δ1 Δ2 = 295º17'<Δ1 Δ2 Δ3 = 277º20'<Δ2 Δ3 Δ4 = 285º40'<Δ3 Δ4 Δ5 = 211º16'<Δ4 Δ5 Δ1 = 190º24'

ΣAE =1259º57 (Medidos) 1260º00' Suma teórica (geométrica)

ΣE medidos = (n ± 2) 180 + e: ecuación redundante

Error angular = -00º03' (faltaron 3' para el valor geométrico).

Este es el primer resultado que nos da una idea de la bondad del trabajo.

La tolerancia angular o sea el máximo error a que se puede llegar debe convenirseal iniciar el trabajo, de acuerdo con las condiciones de este. Un valor muy usado esel que se obtiene de multiplicar el número de estaciones (vértices) por la menorlectura angular del teodolito. No se acostumbra aumentar la precisión del instru-mento de medida, que para el caso es el minuto. Precisión es la menor lectura quegarantiza (permite) el instrumento de medida.Si se trabajó con un aparato que lee al minuto, la tolerancia sería de 5', considerán-dose el error aceptable.

Cumplida esta condición se hace la compensación angular, que no es otra cosa querepartir el error de tal manera que los ángulos corregidos sumen 1260º.Se tienen 3' para 5 ángulos lo cual nos daría una corrección hasta el segundo, pero essuficiente si escogemos 3 ángulos y les sumamos a cada uno un minuto dejando losotros dos con su valor de campo.

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Se reparte entonces el error, corrigiendo -30' (restando 30') para los ángulos B,C,D y E(criterio válido para este trabajo).

Ang.Observado Corrección Ang.CorregidoA: 62º00' 00' 062º00'B: 116º30' -30' 116º00'C: 108º30' -30' 118º00'D: 104º30' -30' 104º00'E: 150º30' -30' 150º00'

Σ: 542º00' -2º00' 540º00'

3.2.2.4 Cálculo de los rumbos corregidos. Corrección de la atracciónlocal

Rumbo de los ejes. (lados).

Se escoge el rumbo de una línea, a partir de él se calculan los demás rumbos teniendo encuenta: el valor elegido, el paralelismo entre los meridianos y el ángulo interior corregi-do. Ver figura 3.22.

FIGURA 3.22. Ángulos interiores y rumbos corregidos.

56

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Valor escogido: Rumbo EA: S63º30’WRumbo AE: N63º30 E (contra rumbo EA)Ángulos alternos internos igualesRumbo AB: S54º30’E (180º - (62º00' + 63º30'))Rumbo BA: N54º30’W (contra rumbo AB)Rumbo BC: N61º30’E (116º00' - 54º30')Rumbo CB: S61º30’W (contra rumbo BC)Rumbo CD: N10º30’W[180º00-(61º30' +180º00')]Rumbo DC: S10º30’E (contra rumbo CD)Rumbo DE: N86º30’W(180º00' + 10º30' - 104º00')Rumbo ED: S86º30’E

Es fundamental entender las operaciones de corrección de los rumbos,pues sonbásicas para los trabajos de poligonales. Aunque los rumbosse corrigen, el ánguloformado por las líneas (ángulo interior corregido) permanece invariable. La opera-ción consiste sólo en tomar como verdadera la dirección del meridiano magnéticoque pasa por un punto y hacer que todos los demás meridianos sean paralelos a ladirección elegida.

Esta apreciación es válida también cuando se trabaja con acimut.

Rumbo de las líneas vértice - detalle.

En el vértice A se hizo una corrección por atracción local de -30' para el rumbo de lalínea AB. El rumbo de la línea A-1 se corrige en +30' por ser N-E quedando N80º30’E.El rumbo de la línea A-2 se corrige en -30' por ser S-E quedando S57º30’E. En el vérticeC se hizo una corrección de -1º30' para el rumbo de CD. El rumbo de C-4 se corrige en-1º30' por ser N-W quedando N80º30’W.El rumbo de A-3 y el rumbo D-5 son los mismos que el rumbo de AB y DE respectiva-mente.

3.2.2.5 Declinación magnética

El polo norte magnético (boreal) se encuentra en el extremo norte de la isla Bathursten Canadá, el polo sur magnético (austral) frente a la bahía Comonwalth (territorioframis). Ambos se mueven ligeramente hacia el oeste.

La tierra aunque ligeramente achatada en los polos, se considera como una esferaque gira sobre su eje, en sentido occidente oriente. Los puntos de su eje en los polosse denominan Norte y Sur verdaderos y definen la línea NS geográfica. Los polosnorte y sur magnéticos están situados a unos 1600 km y 2496 km de los geográficos.

55

FIG

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FIGURA 3.23. Declinación magnética. norte magnético y norte geográfico.

Corrección por declinación.

El valor de la declinación es variable y diferente para cada punto de la tierra. Si seconoce su valor, se puede hacer la conversión de los rumbos o acimutes magnéticosen verdaderos, quedando la poligonal referida al meridiano geográfico.

Corrección de los rumbos. Depende del cuadrante en que se encuentra la línea y de ladeclinación (si es W o E). Ver figura 3.24.

Declinación 5ºWLínea Rumbo Magnético Rumbo Verdadero

AB N65ºE N60ºEAC S60ºE S65ºEAL S50ºW S45ºWAD N25ºW N30ºN

Se tienen entonces los meridianos magnéticos cruzándose en los polos norte y sur mag-néticos, con cambios de dirección secular, anual, diaria, atracción local, etc. y los meri-dianos geográficos (verdaderos) cruzándose en los polos norte y sur verdaderos y cuyadirección permanece inalterable en cualquier período de tiempo.

Por cada punto de la superficie terrestre pasarán un meridiano magnético y un meridia-no geográfico formando un ángulo denominado declinación magnética, Figura 23. Estapuede ser oeste o este de acuerdo con la posición del norte de la aguja magnética. Laslíneas que unen puntos de igual declinación se llaman isógonas y mapa de isógonas losque contienen esas líneas. Ver figura 3.23.

54

Trabajo de campo

Obtención de los valores angulares y lineales necesarios para la poligonal base y la loca-lización de linderos y detalles.

Trabajo de oficina

Cálculos hasta obtener las coordenadas para los puntos de la poligonal base y linderos.Dibujo de la poligonal base y de linderos por coordenada. Cálculo del área por coorde-nadas.

3.4.1. Aplicación

Levantamiento planimétrico de un terreno limitado por linderos rectos alambrados. De-talles: vías de acceso, parqueadero, casa.

En el recorrido se estableció una poligonal base con 4 puntos dentro del terreno Δ1,Δ3,Δ4, Δ5. El punto Δ2 quedó fuera del lote. Sentido de recorrido poligonal: agujas del reloj.

Ángulos horizontales medidos al minuto.Distancias horizontales medidas con distanciómetro al centímetro.

Se estacionó el teodolito en cada vértice de la poligonal base.Se miró al punto anterior (000º).Se midió el ángulo horizontal a cada detalle y al punto siguiente de la poligonal base.Se midió cada lado y la distancia del vértice al detalle.Se tomó el acimut de la línea .1 .5 (primera línea atrás). Se anotaron todos los datos en lalibreta. Se hizo el gráfico correspondiente. (ver figura 3.37).

Libreta de campo:

Columnas:1a. Estación: vértices de la poligonal base.2a. Punto observado: puntos anterior y siguiente de la poligonal base y punto de detalle.3a. Angulo derecho.4a. Distancia horizontal. Del vértice al punto observado.5a. Acimut.

Todos los datos necesarios para el cálculo de coordenadas, área y dibujo se van anotan-do en la misma disposición y orden de la libreta en la hoja de cálculo. Estas tienen undiseño especial de acuerdo con los resultados de las operaciones que se efectúan. Verfigura 3.37.

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FIGURA 3.24. Corrección de rumbos por declinación.

Declinación 9ºELínea Rumbo Magnético Rumbo Verdadero

FG N4ºW N5ºEFH N81ºE EFI S20ºW S29ºW

Corrección de los acimutes. El trabajo de corrección es más simple. Si la declinaciónes W, se le resta su valor al valor angular del acimut. Si es E se le suma.

Declinación 8ºWLínea Rumbo Magnético Rumbo Verdadero

AB 68º 60ºAC 275º 267º

Declinación 6ºEDF 134º 140ºDG 239º 245

En los planos se dibuja el norte geográfico con la flecha entera. El magnético con mediaflecha. Ver figura 3.25.

53

FIGURA 3.36 Poligonal base (apoyo) y poligonal de linderos

Objeto

Localizar los siguientes puntos de un terreno a partir de los vértices de una poligonalbase:

• Vértices de lindero (cambio de dirección del lindero).• Puntos de detalle como: potreros, árboles, aguas, construcciones, vías, etc.

Organización del trabajoPersonal (comisión).1 topógrafo.1 operador de teodolito.2 cadeneros.1 ayudante.

El personal depende del tamaño del trabajo, el número de puntos y las dificultades delterreno. En la actualidad para terrenos de alto costo debe trabajarse con estaciones tota-les, ocupando normalmente dos personas para manejar los bastones con prismas. Si setrabaja taquimetría (ojalá en casos excepcionales) se utilizan dos porta miras.El reconocimiento del terreno y la colocación de los vértices de la poligonal de apoyodejando señalados sus puntos, representa un ahorro considerable de tiempo y una mejororganización del trabajo. Es aconsejable elaborar un gráfico preliminar.

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FIGURA 3.25. Corrección de acimutes por declinación.

3.2.2.1 Dibujo

La poligonal se dibujó por rumbo y distancia. El error de cierre gráfico se repartió a todala poligonal. Los detalles se dibujaron con el ángulo y la distancia, completándose conlos datos de la libreta. Ver figura 3.26.

Dibujo hecho con transportador y escala

FIGURA 3.26. Levantamiento de un terreno con brújula y cinta.

52

FIGURA 3.35 Levantamiento de un lote. Método de radiación. Dibujo por coorde-nadas.

3.4 LEVANTAMIENTO PLANIMÉTRICO POR EL MÉTODO DEPOLIGONACIÓN

GeneralidadesEs raro, en la vida práctica, que los linderos de un terreno estén desprovistos de obstá-culos físicos (alambre, árboles, muros, zanjas, quebradas, etc) que permitan, no solo, elestacionamiento de aparatos (teodolitos, brújulas, etc) en los respectivos vértices, sino lamedida de la distancia entre los puntos que definen el lindero. Esta situación, el tamañoy la topografía del terreno, impiden el empleo de métodos como la radiación o la inter-sección, convirtiéndolos en complemento de la poligonación.

El trabajo consiste en establecer un polígono (poligonal) que siga aproximadamentelos linderos del terreno, de tal manera que desde los vértices de este polígono sepuedan tomar (por radiación, intersección, etc) los vértices del lindero y los demásdetalles necesarios a localizar (construcciones, potreros, aguas, vías, árboles, etc).Esta poligonal se denomina de base o de apoyo y puede ser interna si todos suspuntos están dentro del terreno a medir, externa si todos están fuera de él, o mixta sise encuentran algunos dentro y otros fuera. (ver figura 3.36).

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3.2.2.2 Área calculada por medición en mapa

Se calculó por medio del planímetro a partir del plano.

El planímetro es un instrumento que permite relacionar, el área encerrada dentro deun determinado contorno (poligonal), con la lectura del planímetro (número devueltas de la rueda del planímetro) cuando la punta trazadora recorre el contorno. Elfundamento matemático del planímetro se encuentra con integrales dobles de undiferencial de área expresado en coordenadas polares (ver textos de cálculo diferen-cial).Constante del planímetro1 vuelta = 1 dm²

Resultados parciales:

Recorrido Lectura DiferenciaInicial Final

1o. 0.000 1.369 1.3692o. 1.369 2.740 1.3713o. 2.740 4.107 1.367

1.369 + 1.371 + 1.367Promedio = = 1.369 vueltas 3

Número de vueltas promedio = 1,369Escala de plano 1/500Una vuelta en el plano equivale a una área de 2.500 m2 .Área = 1,369 vueltas x 2.500 m2Nota: las lecturas corresponden al número de vueltas. Es recomendable hacer variosrecorridos y obtener el promedio entre los valores más ajustados. Ver figura 3.27.

51

Vértice 4anterior 3 . Posterior 5124,79 m. (101,04 m - 115,22 m) = -1.769,52 m²

Vértice 5anterior 4 . Posterior 179,29 m. (146,20 m - 67,60 m) = 6.232,19 m²

Doble área: -5.008,83 m²Área: 1,2,3,4,5 2.504,42 m²

Resultado igual al obtenido con el producto de la abscisa por la diferencia de ordenadas(valor absoluto).

Existen varios enunciados de la fórmula del área. Se puede cambiar el orden de puntoanterior y punto siguiente, por punto siguiente y anterior. De cualquier manera los resul-tados en valor absoluto deben ser los mismos con alguna diferencia en la primera ysegunda cifra decimal debido a las aproximaciones. Ver Tabla 2.

3.3.4 Dibujo

Plano en escala 1/500.

Dibujo de linderos por coordenadas. Plano acotado cada 25 m. (ver figura 3.35.)

A1, A2, A3 dibujados por ángulo y distancia. Ver figura 3.35.

3.3.5 Observaciones

El método de radiación se limita a unos pocos terrenos de condiciones adecuadas,no permite cálculo de precisiones, ni error de cierre. La precisión del trabajo depen-de del equipo empleado y el cuidado con que se hagan las medidas.

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FIGURA 3.27 Constante del planímetro.

3.3 LEVANTAMIENTO PLANIMETRICO POR RADIACIÓN

Objeto

Se emplea para terrenos pequeños, en los cuales sea posible establecer un punto cercanoal centro de donde se puedan ver y medir a todos los puntos vértice del lindero y demásdetalles. Se hace comúnmente con teodolito y cinta, o reemplazando la cinta por unsistema de medida de distancias horizontales (Taquimetría, distanciómetro, etc.).

Equipo y personal

Implementos: Teodolito, brújula, cinta métrica (Distanciómetro, Mira), estacas, ploma-das, pines. Personal:1 topógrafo. 2 medidores con cinta (cadeneros).

3.3.1 AplicaciónTerreno: Lote con linderos alambrados, formando un polígono con 5 vértices (1, 2, 3, 4, 5).Detalles: Tres árboles A1, A2, A3.

3.3.1.1 Trabajo de campo

Se localizó un punto central O, donde se estacionó el teodolito. Se midió con la brújulael Acimut de la línea O1.

A partir de la dirección O1 (000°), se midieron los ángulos a O2, O3, O4, OA1, OA2,O5, OA3, y sus respectivas distancias horizontales.

50

TAB

LA 3

.2. C

álcu

lo d

e co

orde

nada

s.

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40

Es conveniente volver a medir el ángulo al punto 1, que debe ser igual a 000° (ángulo departida).La diferencia entre las dos medidas no debe ser mayor que la menor lecturadirecta del teodolito. Si esto no ocurre debe repetirse la medida de todos los ángulos.Verfigura 3.29.

3.3.1.2 Cartera de campo.

La hoja o la cartera o la libreta de campo se organiza por columnas, así:1a columna. Estación: Corresponde al punto donde se estaciona el teodolito. Vértice delángulo que se mide. 0.2a columna. Punto observado: Punto hacia el cual se lanza la visual. Define la direccióndel lado del ángulo. 1, 2, 3, 4, 5.3a columna. Distancia horizontal: Entre la estación y el punto observado.Se pueden usar otras columnas de acuerdo con la forma de trabajo.

3.3.1.3 Trabajo de oficina.

Cálculos

Si el trabajo no requiere mucha precisión se puede calcular el área del polígono a partirdel área de cada triángulo que se forma, del cual se conocen un ángulo y los lados que locomprenden, así:

Δ102: sen α x a x bÁrea = 2

sen < 102Área = distancia 01 x distancia 02 2

sen 44°26’ = x 42.30m x 24.47m = 362.32 m2

2

Δ203: < 203 = 132°14’ - 44°26’ = 87°48’

sen 87°48’Área = x 24.47m x 28.81m = 367.96m2

2

Δ304: < 304 = 191°47’ - 132°14’ = 59°33’

sen 59°33’Área = x 26.81m x 52.43m = 605.88m2

2

49

Vértice 3anterior 2 . posterior 4101,04 m (101,82 m - 124,79m) = -2.320,889 m²

Vértice 4anterior 3 . posterior 5146,20 m (126,79 m - 79,29m) = +6.944,500 m²

Vértice 5anterior 4 . posterior 1115,22 m (124,79 m - 72,81m) = +5.989,1356 m²

Doble área 5.008,83 m²Área 1,2,3,4,5 2.504,42 m²

Si se hubiese hecho la deducción de la fórmula del área tomando como referencia lostrapecios formados entre el eje EW (X) y los lados del triángulo ABC, las bases serian lasordenadas (Y) y las alturas las diferencias entre las abscisas (X) se tendría:

2 Área ABC = YA (XC-XB) + YB (XA-XC) + YC (XB-XA)

y su enunciado sería:

El área de una figura cerrada es igual a la mitad de la suma algebraica de losproductos que resultan de multiplicar la ordenada (Y, coordenada N) decada vértice por la diferencia entre la abscisa (X, coordenada E) del puntoanterior y el punto siguiente.

En el levantamiento por radiación

Vértice 1anterior 5 . Posterior 272,81 m. (115,20 m - 75,60 m) = 2.884,73 m²

Vértice 2anterior 1 . Posterior 3101,82 m. (67,60 m - 101,04 m) = -3.404,86 m²

Vértice 3anterior 2 . Posterior 4126,79 m. (75,60 m - 146,20 m) = -8.951,39 m²

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Δ405: < 405 = 273°41’ - 191°47’ = 81°54’

sen 81°54’Área = x 52.43m x 25.70m = 667.00m2

2

Δ501: < 501 = 360°00’ - 273°41’ = 86°19’

sen 86°19’Área = x 25.70m x 42.30m = 542.43m2

2

Área polígono 1,2,3,4,5 : 2545.59m2

Dibujo

Se dibujó el plano a partir de los ángulos y las distancias. Con el acimut de O1 se da laorientación respectiva. Escala 1/500. Ver figura 3.29.

3.3.2 Proceso de cálculo de coordenadas

Para levantamientos de mayor precisión, se debe trabajar por coordenadas, colocándoselos datos de campo y los calculados en una hoja con rayado especial (hoja de cálculos).Tablas 1 y 2.

3.3.2.1 Cálculo del acimut.

A partir del acimut de O1 medido en el campo con la brújula y del ángulo derechotomado desde O1 hasta cada línea se va calculando el azimut correspondiente de laslíneas 02,03,04,05, así:Acimut de la línea O1 + < 102 = Acimut de la línea O2230º+ 44º26' = 274º26' Acimut de la línea O2Acimut O1 + < 103 = Acimut de la línea O3230º + 132º14' = 362º14' (menos 360º) = 02º14' Acimut de la línea O3

En la topografía se trabaja con ángulos horizontales hasta 360º. Si alguno pasa de estevalor se le resta 360º.

Acimut de la línea O1 + < 1O4 = Acimut de la línea O4230º+ 273º41' = 421º47'(menos 360º) = 61º47' acimut de la línea O4Acimut O1 + < 105 = Acimut de O5230º+273º41' = 503º41' (menos 360º) = 143º41' acimut de la línea O5. Ver figura 3.30.

48

Área ABC = Area B"BCC" (trapecio) - Area B"BAA" (trapecio) - Área A"ACC"

(Base mayor + Base menor)Área del trapecio = x altura 2

Luego:

Xs + Xc XB + XA XA + XCÁrea ABC = x (YB - YC) - x (YB - YA) - x (YA - YC) 2 2 2

Se multiplica por 2, se hacen los productos, se reducen términos semejantes y se ordena:

2 Área ΔABC = XAYC - XAYB + XBYA - XBYC + XCYB - XCYA

Sacando factores comunes (XA, XB, XC) se tiene:

2 Área ΔABC = XA x (YC-YB) + XB x (YA-YC) + XC x (YB - YA)

Si se considera que la X es la abscisa del punto (coordenada Este), longitud absolutay la Y es la ordenada (coordenada Norte), latitud absoluta, además de que cadavértice del polígono tiene un vértice anterior y uno siguiente (C - A - B), (A - B - C),(B - C - A), de acuerdo con el sentido de recorrido de la figura, se puede enunciar lafórmula del área de una manera sencilla:El área de una figura cerrada es igual a la mitad de la suma algebraica de los productosque resultan de multiplicar la abscisa (X, Coordenada E) de cada vértice por ladiferencia entre la ordenada (Y, Coordenada N), del vértice anterior y la del vérticesiguiente (vértice = punto).El signo de la suma no se tiene en cuenta y depende del sentido del recorrido, el áreasiempre será un valor positivo.En el levantamiento por radiación

Vértice 1anterior 5 . posterior 267,60 m (79,29 m - 101,82m) = -1.523,028 m²

Vértice 2anterior 1 . posterior 375,60 m (72,81 m - 126,79m) = -4.080,888 m²

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FIGURA 3.29. Levantamiento de un lote por radiación.

FIGURA 3.30. Cálculo del acimut. Radiación

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FIGURA 3.33. Cálculo del área por coordenadas

FIGURA 3.34 Coordenadas de los Puntos del Lindero. Poligonal 1, 2, 3, 4,5.

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TAB

LA 3

.1.

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.

46

Se denomina longitud absoluta de un punto su distancia al eje EW (paralelo) ylatitud absoluta su distancia al eje NS (meridiano). Simplemente la X y la Y delpunto en el plano cartesiano.

En el ejemplo se supone para el punto O, coordenadas 100,00 E (Xo) y 100,00 N (Yo).

Para calcular las de 1, 2, 3, 4 y 5 basta sumarle algébricamente las proyecciones O1, O2,O3, O4 y O5.

Longitud de O= 100,00 m. (Xo)

Punto

1. 100,00 m + (-32,40 m) = 67,60 m. (X1)2. 100,00 m + (-24,40 m) = 75,60 m. (X2)3. 100,00 m + 1.04 m = 101.04 m. (X3)4. 100,00 m + 46,20 m = 146,20 m. (X4)5. 100,00 m + 15,22 m = 115.22 m. (X5)

Latitud de O = 100,00 m. (Yo)

Punto

1. 100.00 m. + (-27,19 m.) = 72.81 m. (Y1)2. 100.00 m. + 182 m. = 101.82 m. (Y2)3. 100.00 m. + 26.79 m. = 126.79 m. (Y3)4. 100.00 m. + 24,79 m. = 124.79 m. (Y4)5. 100.00 m. + (-20,71 m.) = 79.29 m. (Y5)

Ver formato para cálculos en libreta 3.5 y figura 3.32.

3.3.3 Cálculo del área

El área del polígono 1,2,3,4,5,1 se calcula a partir de las coordenadas de sus vértices.

Demostración.Para una mejor comprensión del método se hace una deducción teórica de la fórmulapara el polígono más sencillo, un triángulo del cual se conocen las coordenadas de susvértices: XA, YA; XB, YB; XC, YC. Ver figuras 3.33 y 3.34.

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3.3.2.2 Cálculo de proyecciones.

Cálculo de las proyecciones de las líneas O1, O2, O3, O4, O5. Ver figura 3.31.

FIGURA 3.31. Cálculo de proyecciones.

Con el acimut y la medida horizontal de cada línea se calculan sus proyecciones enlongitud y latitud.Proyección en longitud (E - W) = medida lineal x seno del acimut.

Línea O1. Medida lineal 42,30m. Acimut: 230º-O’1'= O1 sen230º= 42,30m.x -(0.7660444)= -32,40m. Proyección W-.

O2. Medida lineal 24,47m. Acimut: 274º16'O’2'= 24,47 m. x sen 274º16'= -24,40 m. Proyección W-.

O3. Medida lineal 26,81 m. Acimut 02º14'O’3'=26,81m. x sen 02º14'=1.04 m. Proyección E+

O4. Medida lineal 52,43 Acimut 61º47'O’4'=52,43m. x sen 61º47'=46,20m. Proyección E+

O5. Medida lineal 25,70 m. Acimut: 143º41'O’5' = 25,7 - m x sen 143º41' = 15,22m. Proyección E+.

Proyecciones en latitud = medida lineal x coseno acimut. N+ S-.

45

O1 medida lineal 42,30 m. Acimut 230ºO"1" = 42,30 m x cos 230º = -27,19 m. Proyección S-

O2 medida lineal 24,47 m. Acimut 274º16O"2" = 24,47m x cos 274º16 = 1,82 m. Proyección N+

O3 medida lineal 26,81 m. Acimut 02º14O"3" = 26,81 m x cos 02º14 = 26,79 m. Proyección N+

O4 medida lineal 52,43 m. Acimut 61º47O"4" = 52,43 m x cos 61º47 = 24,79 m. Proyección N+

O5 medida lineal 25,70 m. Acimut 143º41O"5" = 25,70 m x cos 143º41 = -20,71 m. Proyección S-

3.3.2.3 Cálculo de Coordenadas.

Se suponen coordenadas para un punto del trabajo, normalmente enteros en 100, en 500metros, de tal manera que todos los puntos del levantamiento queden en el primer cua-drante, evitando valores de coordenadas negativos.

FIGURA 3.32. Cálculo de coordenadas.


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