CONTROL AUTOMTICO Elaborado por: Ing. Jess Porfirio Galindo AcevesMayo del 2015Pgina 1 UNIDAD TEMTICA IV.- CONTROL DE PROCESOS Objetivo de la unidad: Elalumnoestablecerelmtododecontroldeacuerdoalascaractersticasdelproceso para controlarlo en lazo cerrado. Contenido temtico: 1.Tipos de controladores: On-Off, PID, Cascada. 2.Sintonizacin de parmetros de controladores, clculo de coeficientes y simulacin. Introduccin Enestaunidadseestudianlosdiversostiposdecontroladores,elementosquese adicionanalaconfiguracinoriginalconlafinalidaddemejorarlascaractersticasde respuesta de los sistemas y as satisfacer las especificaciones de funcionamiento. Tambin se analizan los efectos que los controladores ejercen sobre el sistema. Despus de definir losdistintostiposdecontroladores,seestudiarnlosmtodosparasusintonizacin empleando los criterios de Ziegler-Nichols y Cohen-Coon. Contenido Acciones bsicas de control. Clasificacin y caractersticas de los distintos tipos de controladores. Controladores P, PI, PD y PID. Criterios para la sintonizacin de los controladores. Implementacin de los diversos tipos de controladores. Objetivos Definir las acciones bsicas de los modos de control. Determinar las caractersticas de los diferentes tipos de controladores. Analizar la sintonizacin de los diversos tipos de controladores. Implementar los diferentes controladores utilizando amplificadores operacionales. CONTROL AUTOMTICO Elaborado por: Ing. Jess Porfirio Galindo AcevesMayo del 2015Pgina 2 Controladores Loscontroladoressonelementosqueseleagreganalsistemaoriginalparamejorarsus caractersticasdefuncionamiento,conelobjetivodesatisfacerlasespecificacionesde diseo tanto en rgimen transitorio como en estado estable. Laprimeraformaparamodificarlascaractersticasderespuestadelossistemasesel ajustedeganancia(loqueposteriormentesedefinircomocontrolproporcional).Sin embargo, aunque por lo general el incremento en ganancia mejora el funcionamiento en estado estable, se produce una pobre respuesta en rgimen transitorio y viceversa. Por tal motivo, es necesario agregar elementos a la simple variacin de ganancia, lo cual da lugar a los diversos tipos de controladores: Control proporcional (P). Control integral (I). Control derivativo (D). Adems,loscontroladorespuedeninteractuarentres,loquedaporresultadola formacin de las siguientes configuraciones: Control proporcional-integral (PI). Control proporcional-derivativo (PD). Control proporcional-integral-derivativo (PID). Puestoqueloscontroladoresincorporanelementosadicionalesalsistemaamanerade polo(s)y/ocero(s),esimportanteestablecerculeselefectosobreelsistemaa consecuencia de la adicin de tales elementos. Efecto en la adicin de polos El incremento en el nmero de polos en un sistema ocasiona que el lugar geomtrico de racessedesplacehacialaderechadelejej,loquereducelaestabilidadrelativadel sistema o, en algunos casos, lo hace inestable. Lo anterior se muestra en la figura 8.1a. CONTROL AUTOMTICO Elaborado por: Ing. Jess Porfirio Galindo AcevesMayo del 2015Pgina 3 Tendencia a la reduccin de la estabilidad relativa del sistema como Consecuencia de la adicin de polos Efecto en la adicin de ceros Incorporarcerosenunsistemaproducequeellugargeomtricoderacessedesplace hacia el semiplano izquierdo, lo que hace estable o ms estable al sistema. Lo anterior se muestra en la figura 8.1b. Tendencia a incrementar la estabilidad relativa del sistema debido a la adicin de ceros CONTROL AUTOMTICO Elaborado por: Ing. Jess Porfirio Galindo AcevesMayo del 2015Pgina 4 Entrminosgenerales,eldiseodeloscontroladoresseenfocaenlaadicindeceros para mejorar la respuesta transitoria, as como la colocacin de un polo en el origen para corregir el comportamiento de estado estable del sistema. ACCIONES DE CONTROL Sea un sistema de lazo cerrado como el mostrado en la figura 8.2, donde el error E(s) es igual a la suma algebraica de R(s) B(s). Sistema de lazo cerrado al que se le agrega un controlador Gc(s) en la trayectoria directa Eldiseodelcontroladorconsisteenmodificarlascaractersticasderespuestadelos elementosqueseencuentranenlatrayectoriadirectaoenladeretroalimentacin,de manera tal que la respuesta de la configuracin en lazo cerrado satisfaga los requisitos de funcionamiento. Control proporcional: P Sedicequeuncontrol esdetipoproporcionalcuandolasalida delcontroladorv(t)es proporcional al error e(t): () =

() (. ) que es su equivalente en el dominio s: () =

()

() =()()=

(. ) Puesto que la ganancia Kp del controlador es proporcional, sta puede ajustarse segn se muestra en la figura 8.3. En general, para pequeas variaciones de ganancia, aunque se logra un comportamiento aceptable en rgimen transitorio, la respuesta de estado estable lleva implcita una magnitud elevada de error. CONTROL AUTOMTICO Elaborado por: Ing. Jess Porfirio Galindo AcevesMayo del 2015Pgina 5 Altratardecorregiresteproblema,losincrementosdegananciamejorarnlas caractersticasderespuestadeestadoestableendetrimentodelarespuestatransitoria. Porloanterior,aunqueelcontrolPesfcildeajustareimplementar,nosuele incorporarseaunsistemadecontrolenformaaislada,sinomsbienseacompaade algn otro elemento.

() =

Control integral Sedicequeuncontrolesdetipointegralcuandolasalidadelcontroladorv(t)es proporcional a la integral del error e(t): () =

()(. ) dondeKieslagananciadelcontrolintegral.Encualquiertipodecontrolador,laaccin proporcional es la ms importante, por lo que la constante Ki puede escribirse en trminos de Kp:

=

(. ) donde Ti es un factor de proporcionalidad ajustable que indica el tiempo de integracin. El equivalente en el dominio s de la ecuacin (8.3) es: () =

()

() =()()=

=

(. ) El control integral tiende a reducir o hacer nulo el error de estado estable, ya que agrega un polo en el origen aumentando el tipo del sistema; sin embargo, dicho comportamiento muestraunatendenciadelcontroladorasobrecorregirelerror.As,larespuestadel sistemaesdeformamuyoscilatoriaoinclusoinestable,debidoalareduccinde estabilidadrelativadelsistemaocasionadaporlaadicindelpoloenelorigenporparte CONTROL AUTOMTICO Elaborado por: Ing. Jess Porfirio Galindo AcevesMayo del 2015Pgina 6 del controlador (vase la seccin 8.1). La configuracin del control integral implementado con amplificador operacional se muestra en la figura 8.4.

() =

Control derivativo Sedicequeuncontrolesdetipoderivativocuandolasalidadelcontroladorv(t)es proporcional a la derivada del error e(t): () =

()

(. ) dondeKdeslagananciadelcontrolderivativo.LaconstanteKdpuedeescribirseen trminos de Kp:

=

(. ) donde Td es un factor de proporcionalidad ajustable que indica el tiempo de derivacin. El equivalente de la ecuacin (8.6) en el dominio s es: () =

()

() =()()=

=

(. ) Elsignificadodeladerivadaserelacionaconlavelocidaddecambiodelavariable dependiente, que en el caso del control derivativo indica que ste responde a la rapidez de cambiodelerror,loqueproduceunacorreccinimportanteantesdequeelerrorsea elevado. Adems, la accin derivativa es anticipativa, esto es, la accin del controlador se adelanta frente a una tendencia de error (expresado en forma de derivada). Para que el controlderivativollegueaserdeutilidaddebeactuarjuntoconotrotipodeaccinde control, ya que, aislado, el control derivativo no responde a errores de estado estable. Laconfiguracindelcontrolderivativoimplementadoconamplificadoroperacionalse muestra en la figura 8.5. CONTROL AUTOMTICO Elaborado por: Ing. Jess Porfirio Galindo AcevesMayo del 2015Pgina 7

() =

COMBINACIN DE LAS ACCIONES DE CONTROL Lasaccionesproporcional,integralyderivativasuelencombinarseentresparaproducir los siguientes tipos de controladores. Control proporcional-integral: PI Se dice que un control es de tipo proporcional-integral cuando la salida del controlador v(t)esproporcionalalerrore(t),sumadoaunacantidadproporcionalalaintegraldel error e(t): () =

() +

() (. ) de manera que al expresar la ecuacin anterior en el dominio s, se tiene: () =

() +

()

() =()()=

[ +

] =

+

(. )

() =()()=

[ +

] =

[ +(

)

](. ) La ecuacin (8.10) corresponde a un factor proporcional Kp que acta junto con un cero ubicadoenz=1/Ti(cuyaposicinesajustablesobreelejerealalaizquierdadel origen)yunpoloenelorigen.Larepresentacinenbloquesdelaecuacin(8.10)se muestra en la fi gura 8.6a, mientras la figura 8.6b es la representacin en el plano s de los elementos que forman el control PI, y la figura 8.6c es la implementacin del control PI. CONTROL AUTOMTICO Elaborado por: Ing. Jess Porfirio Galindo AcevesMayo del 2015Pgina 8 Representacin en bloques del control PI formado por Kp + Ki/s (dondeTi =Kp/Ki), de acuerdo con la ecuacin (8.10) Representacinenelplanosdelcontrolador PI, donde la posicin del cero es ajustable. :

() =( + )

, = (

) =

Control proporcional-derivativo: PD Sedicequeuncontrolesdetipoproporcional-derivativocuandolasalidadel controladorv(t)esproporcionalalerrore(t),sumadoaunacantidadproporcionalala derivada del error e(t): CONTROL AUTOMTICO Elaborado por: Ing. Jess Porfirio Galindo AcevesMayo del 2015Pgina 9 () =

() +

()

(. ) Al expresar la ecuacin anterior en el dominio s, se obtiene: () =

() +

()

() =()()=

[ +

] (. )

() =()()=

[ +

] =

[ +(

)](. ) Laecuacin(8.14)indicaunfactorproporcionalKpTd,queactajuntoconunceroz= 1/Td,cuyaposicinesajustableenelejereal.Eldiagramadelaecuacin(8.14)se muestra en la figura 8.7a, en tanto que la figura 8.7b es el diagrama de polos y ceros de loselementosqueconstituyenalcontrolPD,ylafigura8.7ceslaimplementacindel controlador PD. :

+

(

=

) Representacinenelplanosdelcontrolador PD, donde la posicin del cero es ajustable. CONTROL AUTOMTICO Elaborado por: Ing. Jess Porfirio Galindo AcevesMayo del 2015Pgina 10 :

() = ( + ), =

=

Control proporcional-integral-derivativo: PID Se dice que un control es de tipo proporcional-integral-derivativo cuando la salida del controladorv(t)esproporcionalalerrore(t),sumadoaunacantidadproporcionalala integral del error e(t) ms una cantidad proporcional a la derivada del error e(t): () =

() +

() +

()

(. ) por lo que en el dominio s le corresponde la expresin: () =

() +

() +

()

() =()()=

[ +

+

](. )

() =()()=

[ +

+

] =

() =()()=

[

+(

) +

](. )

() =

+

+

(. ) CONTROL AUTOMTICO Elaborado por: Ing. Jess Porfirio Galindo AcevesMayo del 2015Pgina 11 Representacin de bloques del control PID RepresentacinenelplanosdelcontrolPID; hay un polo en el origen. Loscerospuedenserrealesdistintos(1), reales repetidos (2) o complejos (3). Control proporcional integral derivativo, el jumper 1activa la parte proporcional, el jumper 2 activa la parte integral, y el jumper 3 activa la parte derivativa. CONTROL AUTOMTICO Elaborado por: Ing. Jess Porfirio Galindo AcevesMayo del 2015Pgina 12 Comoconclusin,seenumeranlasprincipalescaractersticasdelosdiferentestiposde controladores: P, PI, PD y PID. Control proporcional El tiempo de elevacin experimenta una pequea reduccin. El mximo pico de sobreimpulso se incrementa. El amortiguamiento se reduce. El tiempo de asentamiento cambia en pequea proporcin. El error de estado estable disminuye con incrementos de ganancia. El tipo de sistema permanece igual. Control proporcional-integral El amortiguamiento se reduce. El mximo pico de sobreimpulso se incrementa. Decrece el tiempo de elevacin. Se mejoran los mrgenes de ganancia y fase. El tipo de sistema se incrementa en una unidad. El error de estado estable mejora por el incremento del tipo de sistema. Control proporcional-derivativo El amortiguamiento se incrementa. El mximo pico de sobreimpulso se reduce. El tiempo de elevacin experimenta pequeos cambios. Se mejoran el margen de ganancia y el margen de fase. El error de estado estable presenta pequeos cambios. El tipo de sistema permanece igual. Control proporcional-integral-derivativo Este tipo de controlador contiene las mejores caractersticas del control proporcional derivativo y del control proporcional-integral. La tabla 8.1 es una referencia con respecto al tipo de controlador a utilizar en los diversos procesos industriales. CONTROL AUTOMTICO Elaborado por: Ing. Jess Porfirio Galindo AcevesMayo del 2015Pgina 13 Tabla 8.1 Controladores a utilizar en los procesos industriales Tipo de controladorProceso por controlar PControl de nivel PIDControl de temperatura PIControl de flujo PIControl de presin de lquidos Criterios de sintonizacin de controladores Unavezquesehandefinidolasaccionesdecontrolysusposiblescombinacionespara producirlosdistintostiposdecontroladores,seprocederaconsideraralgunosdelos diferentescriteriosparasintonizar,estoes,paraasignarvaloresespecficosalos componentes que conforman cada controlador en particular. Criterio de Ziegler-Nichols (mtodo de la ganancia mxima) Estecriteriodeajustesedenominamtododesintonizacinenlazocerrado,yaqueel controlador permanece en la trayectoria directa como elemento activo, segn se muestra en la figura 8.9. La ganancia del controlador proporcional Kc se incrementa hasta Llevar al sistema a un comportamiento libre oscilatorio PrimeroseincrementalagananciadelcontrolproporcionalKphastaquelasalidadel sistema se comporte como una oscilacin sostenida, lo que equivale a un comportamiento marginalmenteestable.Laformadeondalibreoscilatoriaesdeinterstantoenla gananciaconlaqueelsistemapresentadichaoscilacin,denominadagananciamxima Ku, como con el periodo de la oscilacin, denominado periodo mximoPu. En el caso de queelsistemaoriginalcontengauncontroladorconaccinintegralyderivativa,se procedeacancelarambasaccioneshaciendoTi=yTd=0.Unavezqueseha calculado Ti y Td, el controlador queda sintonizado. CONTROL AUTOMTICO Elaborado por: Ing. Jess Porfirio Galindo AcevesMayo del 2015Pgina 14 Sielsistemaesincapazdealcanzarelestadodelibreoscilacinconincrementosde ganancia, el mtodo de Ziegler-Nichols no se puede aplicar. Alsustituirsporj,enlaecuacincaractersticadelafuncindetransferenciadelazo cerrado T(s), es posible determinar Ku y la frecuencia u en la cual el LGR cruza con el eje j; el periodo Pu se obtiene mediante Pu = 2/u. Una vez que se han determinado lagananciamximaKuyelperiodomximoPu,losvaloresdeKc,TiyTdpueden cuantificarsealaplicarlareferenciaquesemuestraenlatabla8.2parasintonizarlos diferentestiposdecontroladores.Enestepunto,cabemencionarqueconelmtodode Ziegler-Nicholsdelagananciamximanoesposibleajustaralcontrolproporcional- derivativo. EJEMPLO 8.1 ApliqueelmtododeZiegler-Nicholsalsistemarepresentadoenlafigura8.10para determinar los valores de los parmetros respectivos para un control: a)Proporcional. b)Proporcional-integral. c)Proporcional-integral-derivativo. Diagrama de bloques del ejemplo 8.1 CONTROL AUTOMTICO Elaborado por: Ing. Jess Porfirio Galindo AcevesMayo del 2015Pgina 15 Solucin: Primero se proceder a obtener la ganancia mxima Ku y la frecuencia u correspondiente alpuntoenelqueellugargeomtricocruzaelejej,paralocualseconsiderael denominador de la funcin de transferencia de lazo cerrado (o polinomio caracterstico): () =

+

+ +( +) La ecuacin caracterstica es:

+

+ +( +) = El array de coeficientes se convierte en: s31110 s266+K0 s110 K/600 s06 + K00 Paralaestabilidad,Kdebeserpositivo,ytodosloscoeficientesdelaprimeracolumna deben serlo tambin. Por tanto:

> >

< + > > =

= La ecuacin auxiliar () =

+( +) =

+( +) =

=

. = = .

= . el periodo Pu se obtiene mediante:

=

=

.

= . ApartirdeKuyPu,esposiblecuantificarlosparmetrosdecadaunodelos controladores, segn se muestra en la tabla 8.3. Tabla 8.3 Criteriode Ziegler-Nichols para sintonizar los controladoresP, PI y PID para aplicarse al sistema

() =

(+)(+)(+) Tipo de controladorKp Ti Ki Td Kd P30 PI271.578717.10268 PID360.947238.00670.23688.5248 CONTROL AUTOMTICO Elaborado por: Ing. Jess Porfirio Galindo AcevesMayo del 2015Pgina 16 Control proporcional (P): Para el control P, la ganancia Kp se ajusta a 30 unidades: Con MATLAB: Kp =30; num=[Kp]; den=[1,6,11,6+Kp]; g=tf(num,den) =

+

+ + step(g) Control proporcional-integral (PI): El control PI, de acuerdo con la ecuacin (8.10), se forma mediante la suma de una accin proporcional ms una accin integral:

() =

+

=

+

= +.

Con MATLAB: Kp =27; Ki =17.1024; num1=[Kp,Ki]; den1=[1,6,11,6+Kp,Ki]; g1=tf(num1,den1) 0 2 4 6 8 10 12 1400.20.40.60.811.21.4Respuesta escaln unitario con Kp=30Tiempo (seconds)AmplitudCONTROL AUTOMTICO Elaborado por: Ing. Jess Porfirio Galindo AcevesMayo del 2015Pgina 17 = + . ^+ ^+ ^+ + . step(g1) Lafigura8.11aesunarepresentacinenSimulinkdelosdiferentescontroladores,que activa los interruptores y ajusta la(s) ganancia(s) en cada caso. Sistema retroalimentado donde es posible implementar con Simulink los controladores P y PI al hacer clic en el interruptor para seleccionar entre el control P o el control PI 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000.20.40.60.811.21.41.61.82Respuesta escaln unitario con Kp=27, Ki=17.1024 y Ti=1.5787Tiempo (seconds)AmplitudCONTROL AUTOMTICO Elaborado por: Ing. Jess Porfirio Galindo AcevesMayo del 2015Pgina 18 Control proporcional-integral-derivativo (PID): ElcontrolPID,deacuerdoconlaecuacin(8.18),seformamediantelassumasde acciones proporcional, integral y derivativa:

() =

+

+

=

+

= +.

+. Con MATLAB: Kp =36; Ki =38.0067; Kd =8.5248; num2=[Kd,Kp,Ki]; den2=[1,6,11+Kd,6+Kp,Ki]; g2=tf(num2,den2) =. ^+ + . ^+ ^+ . ^+ + . step(g2) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000.511.5Respuesta escaln unitario con Kp=36, Ki=38.0067 y Kd=8.5248Tiempo (seconds)AmplitudCONTROL AUTOMTICO Elaborado por: Ing. Jess Porfirio Galindo AcevesMayo del 2015Pgina 19 Criterio de Cohen-Coon Estecriteriodeajustesedenominamtododesintonizacinenlazoabierto.Enlse aplicaunaentradaescalnR(s)directamentehacialoselementosqueformanla trayectoria directa sin incluir al controlador, como se observa en la figura 8.12. Procedimiento para registrar la curva de reaccin de un determinado sistema en lazo abierto. La respuesta obtenida a la salida del sensor, denominada curva de reaccin del sistema, eselpuntodepartidaparalasintonizacindelosdiversostiposdecontroladores.Una caracterstica tpica de la curva de reaccin es que presenta una forma de S, debido a la contribucin en tiempo compuesta por la suma del atraso de tiempo propio de un sistema de primer grado con constante de tiempo junto con un atraso de tiempo puro Ta, segn se muestra en la fi gura 8.13.

() =

+(. ) donde: K = ganancia del proceso = constante de tiempo del sistema Ta = atraso de tiempo =

() (. ) CONTROL AUTOMTICO Elaborado por: Ing. Jess Porfirio Galindo AcevesMayo del 2015Pgina 20 Curva de reaccin para determinar la constante de tiempo del sistema Gp(s) y el atraso de tiempo Ta A partir de la curva de reaccin, se dibuja una recta tangente en el punto de inflexin de lacurva,detalmaneraquelainterseccindelarectatangenteconelejedetiempo representa el atraso de tiempo Ta. La constante de tiempo en relacin con un sistema de primer grado se obtiene de: =

(. ) ConociendolosvaloresdegananciaKdelproceso,atrasodetiempoTayconstantede tiempo(apartirdelapendientedelatangentemenelpuntodeinflexin),la sintonizacindelosdiversoscontroladoressellevaacaboapartirdelosvalores mostrados en la tabla 8.4. CONTROL AUTOMTICO Elaborado por: Ing. Jess Porfirio Galindo AcevesMayo del 2015Pgina 21 EJEMPLO 8.2 Para el sistema de control de la figura 8.14a, cuya curva de reaccin se ilustra en la figura 8.14b, determine los parmetros de los controladores P, PI, PD y PID mediante el mtodo de Cohen-Coon considerando que r(t) = U(t). Diagrama de bloques del sistema por sintonizar CONTROL AUTOMTICO Elaborado por: Ing. Jess Porfirio Galindo AcevesMayo del 2015Pgina 22 Curva de reaccin del sistema Gp(s) = 1/(s + 2)2 para una entrada escaln unitario r(t) = U(t) Solucin: Primero se obtendr el valor de la constante de tiempo , as como el atraso del tiempo Ta en relacin con la curva de reaccin de la fi gura 8.14b. La respuesta del sistema de lazo abierto Gp (s) al escaln unitario est dada como:

()= {() =

( +)

} =

() que es la primera y segunda derivadas de (a) () = () () = () Para determinar el punto de inflexin se iguala a cero la segunda derivada: () = = por lo que el punto de inflexin se localiza ent=1/2. Para obtener la pendiente de la tangente m en el punto de inflexin, se sustituye t = 1/2 en la primera derivada de (a), lo cual corresponde a la ecuacin (b): = ( =

) = (

) (

)= . CONTROL AUTOMTICO Elaborado por: Ing. Jess Porfirio Galindo AcevesMayo del 2015Pgina 23 Apartirdelresultadoanterior,esposiblecuantificareltiempodeatrasoTa.Elvalorde y(t) en el punto de inflexin t = 0.5 es: ( =

) =

(

)

(. )= . Elvalordet,quecorrespondeaTa,dondelapendientedelatangentecortaalejede tiempo, se obtiene a partir de la pendiente de la tangente m: =

=. .

= .

= . () Laconstantedetiemposedeterminaapartirdelaecuacin(8.21),dondebmxima= 0.25, de acuerdo con la figura 8.14b: =

=. . = . Porltimo,seestablecelagananciaKdelproceso,porlocualseconsideralaecuacin (8.20). =

()=.

= . Unavezdeterminadoslosvaloresde,TayK,utilizandolatabla8.4,esposible cuantificar los diversos parmetros para sintonizar los diferentes tipos de controladores: P, PI, PD y PID. Los resultados se presentan en la tabla 8.5. Lafigura8.15muestralarespuestaalescalnunitariocuandocadacontroladorya sintonizado se aplica al proceso Gp(s). CONTROL AUTOMTICO Elaborado por: Ing. Jess Porfirio Galindo AcevesMayo del 2015Pgina 24 Control proporcional (P) kp=40.1733; num=[kp]; den=[1 4 4+kp]; g=tf(num,den) = . ^+ +. step(g) grid Control proporcional integral (PI) kp=35.2893; ki=91.9791; num1=[kp,ki]; den1=[1 4 4+kp ki]; g1=tf(num1,de1n) =. + . ^+ ^+. + . step(g1) grid 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.500.20.40.60.811.21.4Respuesta escaln unitario con Kp=40.17Tiempo (seconds)Amplitud0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.500.20.40.60.811.21.41.61.8Respuesta escaln unitario con Kp=35.29 y Ki=91.98Tiempo (seconds)AmplitudCONTROL AUTOMTICO Elaborado por: Ing. Jess Porfirio Galindo AcevesMayo del 2015Pgina 25 Control proporcional derivativo (PI) kp=49.2167; kd=1.7895; num2=[kd,kp]; den2=[1 4+kd 4+kp]; g2=tf(num2,den2) =. + . ^+. + . step(g2) grid Control proporcional integral derivativo (PID) kp=52.7854; ki=159.793 kd=2.6379; num3=[kd,kp,ki]; den3=[1 4+kd 4+kp ki]; g3=tf(num3,den3) =. ^+. +. ^+. ^+. +. step(g3) grid 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.500.20.40.60.811.21.4Respuesta escaln unitario con Kp=49.2167 y Kd=1.7895Tiempo (seconds)AmplitudCONTROL AUTOMTICO Elaborado por: Ing. Jess Porfirio Galindo AcevesMayo del 2015Pgina 26 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.500.511.5Respuesta escaln unitario con Kp=52.78, Ki=159.79 y Kd=2.63Tiempo (seconds)AmplitudCONTROL AUTOMTICO Elaborado por: Ing. Jess Porfirio Galindo AcevesMayo del 2015Pgina 27 Criterio de Ziegler-Nichols (curva de reaccin) Como se vio en la seccin anterior, el mtodo de sintonizacin de Cohen-Coon se basa en lacurvadereaccin,lacualpuedeutilizarsecomopuntodepartidaparadefinirun segundoprocedimientopropuestoporZiegler-Nichols,denominadotambinde sintonizacinenlazoabierto.Esteprocedimientoseaplicaalregistrogrficodela respuestadelprocesoparaentradaescaln,dondeesnecesariodeterminartantoel atraso de tiempo Ta como la pendiente m de la tangente en el punto de inflexin. Una vez cuantificadoslosparmetrosmencionados,loscoeficientesdeloscontroladoresse obtienen a partir de la tabla 8.6. EJEMPLO 8.3 Para el sistema del ejemplo 8.2, emplee el mtodo de sintonizacin de Ziegler- Nichols con baseenlacurvadereaccinyobtengalosparmetrosrespectivosparasintonizarlos controladores P, PI y PID, considerando que Ta = 0.14 seg y m = 0.1839. El proceso es:

() =

+ + CONTROL AUTOMTICO Elaborado por: Ing. Jess Porfirio Galindo AcevesMayo del 2015Pgina 28 Solucin: ConsiderandoquelosparmetrosTa=0.14segym=0.1839sejustificaronenel ejemplo8.2,contalesdatosesposiblecompletarlasiguientetabladevaloresque contiene los parmetros de los controladores correspondientes. La figura 8.16 muestra las respuestas al escaln unitario de los controladores P, PI y PID. Respuesta en lazo cerrado del sistema Gp(s) al escaln, una vez que se han sintonizado los controladores P, PI y PID. CONTROL AUTOMTICO Elaborado por: Ing. Jess Porfirio Galindo AcevesMayo del 2015Pgina 29 Con Matlab Control proporcional (P) kp=38.841; num=[kp]; den=[1 4 4+kp]; g=tf(num,den) step(g) grid Control proporcional integral (PI) kp=34.9569; ki=75.6643; num1=[kp,ki]; den1=[1 4 4+kp ki]; g1=tf(num1,den1) step(g1) grid Control proporcional integral derivativo (PID) kp=46.6092; ki=166.461 kd=3.2626; num3=[kd,kp,ki]; den3=[1 4+kd 4+kp ki]; g3=tf(num3,den3) step(g3) grid CONTROL AUTOMTICO Elaborado por: Ing. Jess Porfirio Galindo AcevesMayo del 2015Pgina 30 Como conclusin a los modos de control, as como a los diferentes tipos de sintonizacin, se puede decir que: El modo integral ofrece una correccin que es proporcional a la integral del error, segn se indic por medio de la ecuacin 8.3. Dicha accin tiene la ventaja de asegurar que para unsistemadetipo0seaplicarunaaccindecontrolsuficienteparareduciraceroel errordeestadoestable;porotrolado,talaccindecontrolpresentarunefecto desestabilizador como consecuencia de la adicin de un polo en el origen. Conrespectoalmododerivativo,sepuededecirqueofreceunaciertacaracterstica predictivaoanticipativa,comolomuestralaecuacin8.6,conloquesegenerauna accin de control que es proporcional a la velocidad de cambio del error. Si bien la accin derivativatiendeamejorarelcomportamientotransitorioyledamsestabilidadal sistema, tiene la desventaja de producir elevados valores en la seal de control. LacaractersticaprincipaldelcontrolPIDesqueledaalsistemalasmejores caractersticas,tantodelmodointegralcomodelmododerivativo,segnseindic mediantelaecuacin8.15,sinpresentarlasdesventajasdelosmodosindividuales.En sntesis, el control PID es simplemente un controlador de segundo grado al que se agrega un integrador. Existendiversoscriteriosempricosparadeterminartodoslosparmetrosdelos diferentestiposdecontroladores,entreloscualesseanalizaronyaplicaronlosmtodos Ziegler-Nichols, tanto para lazo abierto (curva de reaccin) como para lazo cerrado (llevar al sistema a presentar una oscilacin libre) y el mtodo de Cohen-Coon, tambin para lazo abierto analizando la curva de reaccin. Cabedestacarqueexistendiversosprocedimientosadicionalesalospresentados,entre los cuales sobresale el mtodo de Chien-Hrones-Reswick. Independientemente del mtodo elegidoparalasintonizacindeloscontroladores,losparmetrosobtenidosenprimera instancia deben tomarse como un primer ajuste en el proceso del diseo.