Download - CEPRE Tema 01 Segmentos-Ángulos

Si en una recta se tienen los puntos

consecutivos A, B, C y D el segmento EF que

une los puntos medios de AB y CD, se

puede expresar de la siguiente manera:

x

A E B C D F

Si en una recta se tienen 4 puntos

consecutivos A, B, C y D; y además "C" es

punto medio del segmento BD, entonces se

cumple la siguiente igualdad:

Por su medida:

1. Ángulo nulo:

º 0º

2. Ángulo llano:

Por comparación de medida:

1. Ángulos complementarios:

Complemento de un ángulo:

MATEMATICA 1 Lic. Javier Saldarriaga Herrera

Sea:

Del gráfico:

Suma : AB + BC + CD = AD Resta : AB = AD – BD Multiplicación : AC = 4CD

División :

Definición: Dados dos puntos diferentes A y B de una misma recta se denomina segmento AB, denotado como AB, al

conjunto de los puntos: A, B y todos los

puntos que estén comprendidos entre A y

B. En la figura adjunta A y B son los

extremos del segmento AB pertenecientes al segmento.

Notación: AB : Segmento AB

AB :Longitud del segmento AB

Definición: El ángulo es la figura geométrica formada por la reunión de dos rayos que tienen el mismo origen.

Elementos:

Vértice : OLados : OA y OB

Notación:

Ángulo AOB: ∢ AOB; AOB

Medida del ∢ AOB : m∢AOB=α °

Segmentos

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTOEs el punto de segmento equidista de los extremos. Llamado punto de bisección.

Si “M” es punto medio de AB, entoncesAM = MB = a

Operaciones con Segmentos

Casos Particulares

A B

A B

A B C D

Ángulos

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

OP : es bisectriz del ∢ AOB, si y sólo si:

y

Clasificación

Observaciones:1. Los ángulos formados alrededor de una

recta suman 180º

2. Los ángulos consecutivos alrededor de un punto suman 360º

Por su medida:

1. Ángulo nulo:

º 0º

2. Ángulo llano:

Por comparación de medida:

1. Ángulos complementarios:

Complemento de un ángulo:

Por su medida:

1. Ángulos adyacentes:

x a b

2. Ángulos consecutivos:

x aº bº cº dº

3. Ángulos opuestos por el vértice:

Observaciones:3. ǤǤǤ ιᇩᇭᇭᇪᇭᇭᇫࢻ

= ൌࢻ��ι ǤǤǤ ιᇩᇭᇭᇪᇭᇭᇫࢻ

= ൌ�� ιࢻ

4. ǤǤǤ ιᇩᇭᇭᇪᇭᇭᇫࢻ

= ൌࢻ��ι ǤǤǤ ιᇩᇭᇭᇪᇭᇭᇫࢻ

= ൌ�� ιࢻ

5. SCα °=90 °+α °

6. CSα °=α °−90°

7. Sα °−Cα °=90°

Teorema:

El ángulo que forma las bisectrices de un par lineal mide 90º

Si las rectas L1 y L2 son paralelas y están cortadas por una secante se determinan ocho ángulos:

1.

CEPRE UNJ Segmentos – Ángulos 2015 - II

Geometría 2 Lic. Javier Saldarriaga Herrera

Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante

Si las rectas L1 y L2 son paralelas y están cortadas por una secante se determinan ocho ángulos:

Siendo L1/¿ L2:1.

2.

3.

4.

1.

6.

7.

9.

10.

11.



Propiedades

Ángulos de lados perpendicularesÁngulos de lados paralelos

6.

7.

9.

10.

11.


1. Dado los puntos A, B y C tal que "M" el punto medio de AB, si: AC+BC=30, determinar “MC”

a) 16 b) 18 c) 10

d) 15 e) 20

2. Dados los puntos A, B y C colineales y consecutivos, tal que AC=21 y 4AB=3BC. Calcular “AB”:

a) 3 b) 4 c) 6

d) 9 e) 12

3. Sobre una recta se ubican los puntos

consecutivos A, B y C tal que AB=x+a ;

BC=2 x−a y AC=12. Hallar "x":

a) 3 b) 4 c) 6

d) 2 e) 8

4. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A; B, C, D y E tal que: CE=8; BD=12 y AC=10. Hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y DE:

a) 12 b) 13 c) 14

d) 15 e) 16

5. Se tienen los puntos colineales A, B, C, D y E de manera que AB=BC; CD=2DE y AB+AE=6. Hallar “AD”:

a) 3 b) 2 c) 5

d) 4 e) 6

6. Se tienen los puntos colineales A, B, C y D tal que AB=3BC y AD+3CD=12. Calcular “BD”.

a) 3 b) 4 c) 6

d) 8 e) 12

7. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D tal que 2AC=AD-AB y CD-AB=6. Hallar “BD”:

a) 8 b) 10 c) 15

d) 12 e) 18

8. Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos P, A, B y C de manera que PA+PB=PC+BC y PA=12. Hallar “BC”:

a) 2 b) 3 c) 4

d) 6 e) 8

9. Dados los puntos M, N, P y Q colineales y consecutivos se cumple que MN-MP+2=NQ-PQ. Hallar “NP”.

a) 0,5 b) 1 c) 1,5

d) 2 e) 2,5

10.Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos P, E R y U de tal manera que 3PR=5EU y 5RU+2ER=18. Hallar “PE”:

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

11.En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que: AB = 17; CD = 23 y AD = 6BC. Calcular BC.

a)8 b)7 c)6 d)5

e)9

12.En una línea recta se toman los puntos

consecutivos A, B, C y D tal que: .

Calcular :

a) 1,5 b) 2 c) 1

d) 1,3 e) 1,2



13.En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que: AC = 5; BD = 4 y

, calcular el menor: BC

a) 1,5 b)1 c)2 d)3

e)4

14.En una recta se tiene los puntos consecutivos A, B, C y D, de modo que: 2AB = 3BC = 4CD y AD = 52. Calcular BD.

a) 36 b)24 c)28

d)42 e)39

15.Del gráfico calcular la medida de segmento que

une los puntos medios de y de .



a) 4 b) 17 c) 26

d) 13 e) 16

16.Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, siendo m∡AOB=2x-20°; m∡BOC=60°, m∡COD=2x+20° y m∡AOD=180°. Calcular "x":

a) 30° b) 40° c) 45°

d) 60° e) 75°

17.Las medidas de dos ángulos complementarios se diferencian en 32°. Hallar la medida del mayor ángulo.

a) 29° b) 32° c) 52°

d) 61° e) 78°

18.Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos adyacentes AOB y BOC, siendo m∡AOC=158°.

a) 78° b) 79° c) 44°

d) 22° e) 68°

19.Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que m∡AOD=120° y m∡BOC=30°. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD.

a) 60° b) 65° c) 70°

d) 75° e) 80°

20.Del gráfico OC es bisectriz ∡AOD y OE es

bisectriz ∡DOF. Hallar "x":

a) /2

b)

c) 3/2

d) 2

e) 3

21.Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC tal que m∡BOC - m∡AOB=82°. Calcular la medida del ángulo cuyos lados son OB y la bisectriz del ∡AOC.

a) 36° b) 20° c) 41°

d) 16° e) 38°

22.Se tienen cinco ángulos consecutivos coplanares cuyas medidas se encuentran en

progresión aritmética; calcular el valor de uno de ellos:

a) 18° b) 36° c) 54°

d) 72° e) 90°

23.La relación de dos ángulos suplementarios es como 5 es a 13. ¿Cuál es la diferencia de dichos ángulos?

a) 40° b) 50° c) 80°

d) 100° e) 140°

24.Si a la medida de un ángulo se le disminuye su suplemento resulta 20°. ¿Cuánto mide dicho ángulo?

a) 100° b) 80° c) 20°

d) 130° e) 160°

25.La diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo "x" es igual a "5x". Hallar "x":

a) 10° b) 15° c) 18°

d) 20° e) 22°30'

26.Si al suplemento del complemento de la medida de un ángulo se le aumenta el complemento del suplemento de la medida de dicho ángulo, resulta 90º más el suplemento de la medida de dicho ángulo. Hallar el ángulo.

a) 60º b) 80º c)75º

d)90º e)45º

27.La suma de las medidas de dos ángulos es igual a 60°, el complemento del primer ángulo es el doble del complemento del segundo. Hallar la diferencia de las medidas de dichos ángulos.

a) 70º b) 60º c) 40º

d) 50º e) 35º

28.Calcular “x” en la expresión: Siendo: C = Complemento S = Suplemento

a) 2x b)1 c)2 d)0

e)180º - x

29.En la figura: Calcular:

a) 72º b) 54º c) 48º

d) 64º e) 36º


3x + 30º

2x + 20º

xFA

B

C D

E

1L

2L

3K + 65º

K + 30º

50º

2L

1L

2

4

3

60º


30. Los ángulos consecutivos

, y forman un ángulo que mide 120º, si

, el lado es

bisectriz del . Hallar

a) 36º b) 42º c) 54º

d) 48º e) 6º

31.Un ángulo mide , Si:

. Calcular , Siendo: S = Suplemento, C = Complemento

a) 20º b) 40º c) 35º

d) 25º e) 90º

32.Se tienen los ángulos consecutivos ,

y , siendo: , y

. Hallar:

a) 24º b) 16º c) 54º

d) 44º e) 64º

33.Los ángulos consecutivos , y , forman un ángulo recto. Hallar la medida del

ángulo . Si

a)20º b)30º c)35º d)40º e)50º

34.En la figura adjunta: x – y = 12º. Hallar “a”

a)6º b)24º c)18º

d)12º e)9º

35.En la figura: Calcular

a) 160º b) 170º c) 120º

d) 150º e) 140º

36.Si:

L1/¿ L2 . Calcular .

a) 65º b) 75º c) 60º

d) 50º e) 80º

37.Calcular , Si: L1/¿ L2 ,

a) 12º

b) 11º

c) 10º

d) 14º

e) N.A

1) Los puntos A, B, C y D se encuentran sobre una

línea recta, tal que: “C” es punto medio de AD,

además: BD – AB = 18. Calcular BC.

a)9 b)7 c)8 d)6 e)3

2) En una recta, se ubican los puntos

consecutivos A, B, C y D, de modo que:

y AB.BC = 96. Calcular: CD

a) 16 b) 20 c) 4 d) 12 e) 24

3) En los puntos colineales A, B, C y D se cumple

que AD=22, AC+BD = 30

Encontrar BC.

a) 11 b) 10 c) 9 d) 8 e) 15

4) En una recta se marcan los puntos

consecutivos A, B, C, D y E, de manera que:

AB = BC, CD = 2DE, AB + AE = 15. Hallar AD

a) 6 b) 7,5 c) 15 d) 8 e) 10

5) Del gráfico, calcular “x”, Si: CD – AB = 15


200º

y


a)6 b)5 c)4 d)2 e)3

6) En una recta, se ubican los puntos

consecutivos A, B, C y D, de modo que: BC =

6; BD = 2AB y AC = 5CD. Calcular AB.

a)3 b)4 c)2 d)6 e)5

7) Los puntos A, B, C, D se encuentran en una

línea recta de modo que AC + BD + AD = 36,

BC = 4. Hallar: AD.

a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20

8) Sobre una recta, se ubican los puntos

consecutivos A, B, C, D y E, tal que: CD = 2 y

Además B y C son puntos medios de AD y BE.

Calcular AD.

a) 16 b) 20 c) 30 d) 40 e) 25

9) En una recta, se toman los puntos consecutivos

A, M, B, C de modo que AM = MC, AB – BC =

18. Calcular MB

a) 9 b) 8 c) 12 d) 16 e) 14

10)Sobre una recta se toman los puntos

consecutivos A, M, N, B de modo que:

BN – AM = 1, 2AM + 3AN = 5NB. Hallar MN.

a) 3/5 b) 2/3 c) 4/3 d) 5/3 e) 1

11)Del gráfico: Calcular BD

a) 14 b) 18 c) 16 d) 42 e) 28

12)Sobre una recta se ubican los puntos

consecutivos A, B, C y D, siendo AB = 4 y CD

= 10. Hallar MN, si “M” biseca a AC y “N”

biseca a BD.

a)3 b)4 c)5 d)6 e)7

13)Dados los puntos colineales y consecutivos A,

B y C donde AB−BC=56; se toman M, N y

R, puntos medios de AB, BC y MN

respectivamente. Hallar: RB

a) 12 b) 14 c) 15 d) 16 e) 13

14)Los puntos A, B, C y D son colineales y

consecutivos, de manera tal que:

BD8

=CD5; además AC = 6 y AB = 4.

Calcular AD

a) 28 b) 3 c) 28/3 d) 2 e) NA

15)Sean los puntos colineales y consecutivos: A,

B, C, D y E; “M” biseca a DE;

AB=DM=3BCHallar CD sabiendo que AD=18 y BE=27

a) 3 b) 4 c) 6 d) 9 e) 4,5

16)El complemento de la diferencia que existe

entre el suplemento y el complemento de

la medida de un ángulo es igual al duplo del

complemento de dicho ángulo. Cuál es la

medida de dicho ángulo.

a)80º b)60º c)120º d)90º e)135º

17)Se tienen los ángulos consecutivos ,

y ; siendo ; y

. Hallar

a) 18º b) 28º c) 35º d) 16º e) 12º

18)En los ángulos consecutivos , y

, se cumple que: ,

. Calcular el ángulo formado por

las bisectrices de los ángulos y

a) 26º b)35º c)48º d)79º e)84º


x

30º

2L

1L

m

n

1L

2L

30º

30º

x

2x + 10º5x - 10º

x + 40º

2x + 60º

3x + 20º

1L

2L


19)Si: , es la bisectriz del ángulo

; es la bisectriz de . Hallar la

a) 10º b) 20º c) 30º d) 40º e) 50º

20)En los ángulos consecutivos , , y

, se cumple que ,

, . Calcular

la medida del ángulo

a) 20º b) 40º c) 30º d) 15º e) 18º

21)Si:L1/¿ L2 ,, Calcular “x”

a) 10º

b) 15º

c) 20º

d) 25º

e) 30º

22)En la figura: L1/¿ L2 , y , hallar “x”

a) 120º b) 60º c) 90º d) 30º e) 75º

23)Si al suplemento del complemento de la

medida de un ángulo se le aumenta el

complemento del suplemento de la medida de

dicho ángulo, resulta 90º más el suplemento

de la medida de dicho ángulo. Hallar el ángulo.

a) 60º b) 80º c) 75º d) 90º e) 45º

24)La suma de las medidas de dos ángulos es

igual a 60°, el complemento del primer ángulo

es el doble del complemento del segundo.

Hallar la diferencia de las medidas de dichos

ángulos.

a)70º b)60º c)40º d)50º e)35º

38. Si:L1/¿ L2 ,, Calcular “x”

a) 8º b) 10º c) 12º d) 15º e) 20º


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