Download - Catatan Kuliah Fistum Bagian 2

5/13/2018 Catatan Kuliah Fistum Bagian 2

1/14

BABIIPOSTULAT~OSTULAT

DALAM MEKANlKA KUANTUM(F llNGSJ GELOJ\,'1 BANG ,OPERATOR OBSERVABEL )

Pengukuran bcsaran fisis (observabel) dalam Mekanika Klasik dapatdilakukan dengan cara dan hasil yang pasti tanpa mengganggu sistem yang diukurobservabelnya, serta dapat dilakukan pengukuran beberapa observabel secaraserempak (pada saat yang sama). Menurut Mckanlka Kuantum, pengukuran suatuobservabel akan mempengaruhi dan mengubah keadaan sistem, Pengukuranbeberapa besaran (misalnya posisi dan kecepatan atau momentum) tidak dapatdilakukan scrempak dengan hasil ukur yang pasti/eksak Ketakpastiannya terbatasioleh prinsip ketakpastian Heisenberg. Gangguan terhadap sistem saat pengukuransangat terasa/penting pada obyek-obyek mikroskopik (partikel-partikel elemcnter,atomistik), sehingga pada sistern-sistem seperti itu rnutlak perlu diberlakukanMekanika Kuantum dalam pernbicaraan yang lebih tepar,

Mekanika Kuantum merupakan teori probabilisrik yang bersitat abstrak,scperti konsep fungsi gelombang, rapat kebolchjadian, operator dan lainsebagainya. Mekanika Kuantum disusun di aim postulat -posrulat dan dikaj i

20

Crg~1l:edwith

nitroPDF'p ro fe ss i a naldownload the free trial online at nitropdf.comzprofeeelonal


2/14

21

dengan trik-trik matematika yang indah, Ada dua pendekatan formulasi MekanikaKuantum, yaitu deugan Mekanika Gelombang yang dikembangkan olehSchrodinger dan Mekanika Matriks yang dikernbangkan oleh Heisenberg. Dalambuku ini akan disajikan dengan pendckatan Mekanika Gelombang, yang lcbihterasa logis dan menggunakan dasar-dasar mctode matematik yang familiar.Untuk mengawali pengkajian Mekanika Kuantum, maka dalam Bab ini akanditelaah postulat-postulat dasar Mekanika Kuantum secara lengkap

Posrulat 1: Setiap sistcm flsis dinyatakan dengan sustu fungsi gclombangatau fungsi keadaan, r(r,t), yang secara implisit memuatinformasi lengkap mengenai observabel-observabel yang dapatdiketahui pada sistem tersebut,

2.1. Fungsi GclombangFungsi gelombang suatu sistern, T(r,t) , merupakan fungsi kebolehjadian

untuk menemukan sistem pada posisi r dan saat t yang secara langsungmcmberikan rapat kebolehjadian yang berbentuk

p (r.t)= v : (r.t )T(r, f) = IP(r . t t, (2.l)dengan tanda (*) menyatakan kompleks konjugat fungsi yang disertainya,Kebolehjadian menernukan sistem di posisi r dalam elemen volume dz pada saat{ adalah

p(r,t)d, = = ' f ' (r,tp(r,t)d,. (2.2)

CU~~1!:~dwithnitroPDF'professionaldownload the free tnel online Eft nltrepdf.cemzprofeeaonal


3/14

22

Pengertian pada pers.(2.2) ini analog dengan massa dalam elemen volumescbagai basil kali antara rapat rnassa dengan elernen volume tersebui, yangberbentuk

dm = f.\, dV.Kebolebjadian dalam Mekanika Kuan tLUTI ini memenuhi hukum kont inur tassebagai berikut

(2.3)

sebagaimana dalarn arus muatan (arus listrik), yaitu- f J j5Y'/+-""O. a t

Vektor Spada pers.(2.3) menyatakan rapat arus partikel, yang biasa disebutsebag ai rapa t arus kebolehjadian, y ang m en ggun akan persam aan Schrodin ger(akan dikaji dalarn Bab III) dapat diturunkan sebagai

S =~ t p ( r. I)V ' P " (r ,t )- Y 'l'" (r,t ) ' f ' ( r . I ) } (2.4)21mdengan ia da la h s aru an imaginer dan m adalah m a ss a s is te m

Sebagaimana disebutkan dalam postulat 1 didepan, fungsi gclombang'f '(r, t ) memuat informasi mengenai scmua observabel pada sistern. Hal in i berartibahwa observabel-observabel pad a sistem tersebut dapat diturunkan dari fungsigclornbangnya Sebelum menelaah hal ini, terlebih dahulu akan dikaji postulat 2,yang berkenaan dcngan operator observabel.

CU~~1!:~d withnitroPDF'professionaldownload the free tnel online Eft nltrepdf.cemzprofeeaonal


4/14

23

Postulat 2: Setiap observabel diayatakan atau diwakili oleh suatu operatorlinear Hcrmltian.

2.2. Operator ObservahelOperator adalah suatu instruksi matematika yang bila dikenakan atau

dioperasikan pada suaru fungsi akan mcngubah fungsi tersebut menjadi fungsilain. Untuk operator () dapat ditulis sebagai

(2.5)Dalam hal ini tanda (') bukan berarti diferensial atau turunan, akan tctapi hanyamembedakan dengan fungsi asalnya,Contoh:

e {)0=-a t- aO=-xax --+ (]r(r,t)= a [X 'F (r.,)]a x

= a x [ Y - ' ( r . I ) ] + . r a y"f(i ', l)a x a x= ' { f ( 1 ,1 ) + x _ ! !_ I jJ ( F , t)

e x=( 1 + x i _ ) ' f ' (T,t)ax

Dalarn hal ini didapat persamaan operator, yaitua a-x=l+x-.a x a x (2.6)

Operator dalam Mekanika Kuantum, sebagai representasi suatu observabelharus bersifat linear, yakni memenubi hubungan-hubungan berikut

Crg~1l:ed with

nitroPDF'professi analdownload the free trial online at nitropdf.comzprofeeelonal


5/14

24

a {c ~}= C O 'F , c= konsian (2.7a)(2.7b)

da n

(2.7c)

2.3. EigenFungsi dan Eigen NilaiFungsi hasil operasi suatu. operator dapat merupakan kelipatan konstan

dari fungsi asalnya, yaitu(2.8)

Dalarn ungkapan (2.8), ' P O " , I) discbut eigen fungsi (eigenfunction) dan A disebuteigen nilai (eigenvalue) dari operator O.Contoh:

, do=dr ' ' F ( _ ' ) ' " a exp(bJ:), a dan b adalah konstan:::} 6 ' P ( . x ) = ba exp(b.x)

=b 'P(x).Dalarn hal in i, b adalah t:"i~':11 n ila i da ri operator d/dr yang berhubungan denganeigen flings] {a explbxj}. Secara umum b dapat berharga real rnaupuu imagineratau kompleks. Bila 6 suatu operator Mckanika Kuantum (observabel), makaeigen nilainya pasti real. Ungkapan (2.8) disebut sebagai persamaan eigen nilaioperator {;. Suatuoperator dapat mempunyai beberapa eigen fungsi (set eigenfu ng si) d en ga n eig en n ila in ya masing-masing, seperti

(2.9)

nitroPDF'professionaldownload the free trial online ennttropdf.comrprofeesronal


6/14

25

Contoh:Carilah eigcn fungsi dan eigen nilai dari operator momentum linear kearah x yangberbentuk P x =-inajax l ,

Misalkan eigcn 1lI.lai dari masalah di atas adalah p dengan eigen fungsi Up(x),maka persamaan eigen nilainya berbentuk

Penyelesaiannya adalah

Eigen nilai p dapat merupakan sebarang nilai (termasuk juga bilangan kompleks),Olch karena itu, dalarn masalah ini hams juga diterapkan syarat batas, misalnyasyarat batas menyatakan bahwa U p( x ) berperiodik di sepanjang jarak L , sehinggadidapatkan

p 2n-=n-, n=O,1,2,3,fj L

dan

Jadi tcrlihat bahwa eigen nilai bersifat diskrit dan real.

Cr . a: a tt 9d W i t h

nitroPDF'professionaldownload the free trlal online at nltropdf.comzprefeesiona!


7/14

26

2.4. Operator HermitianUntuk setiap operator linear 6 terdapat juga operator fj sedemikian rupa

sehingga berlakuf 'P' (1 ,Ir :) (P ( F , t )d t= J ~3 ' 1 " ( 1 , I} w ' ( F , t )d 1', (2. J 0)

dengan T(F,t) dan C P ( r , t ) adalah fungsi-Iungsi sebarang dan integral d r melipntiseluruh ruang. Pada pers. (2. J 0), jj discbut konjugat Hermitian dari operator 6.Apabila i J = 6, maka dikatakan bahwa 6 bersifat Hermitian. Jadi sifatHermitian operator 6 dinyatakan dengan kaitan berikut

(2.11 )Operator Hermitian mernpunyai set eigen fungsi yang ortogonal, yaitu

memenuhi syara t

(2.12)Set fungsi ortogonal dapat dinonnalisir menjadi set fungsi ortononnal, yaitu

(2.13)

yang memenuhi hubungan ortonormalitas berikut

f . ( ) ( ) { I , m = n(J,; 1.1 U'" r,/ dr = 0"", = 0, rn e n (2.14)dengan N; sebagai faktor normalisasinya.

Set fungsi-fungsi ortonormaJ dapat dijadikan sebagai basis dalarn ruangfungsi atau ruang Hilbert, schingga fungsi sebarang 1f'(1,t) dapat diuraikan ataskomponen-kornponen pada fungsi basis tcrsebut, yaitu

Crg~1l:edwith



8/14

27

(2.15)

dengan(2.16)

adalah harga komponen ~ F ( ; - : , I ) pada basis U , . ( ; : , r ) . Scbagai basis wang Hilbert,set Iungsi-fungsi ortonormal Juga bcrsifat linear independen, yang secara singkatdikatakan bersifat lengkap atau klosur.

Sernua operator observabel bersifat Hermitian mempunyai set eigen fungsiyang ortonormal (dapat dijadikan basis dalam ruang Hilbert) dan dengan eigenn ila i rea l. B eberap a o pera to r o bserva bcl diberika n da lam T ahel 2.1.

Tabel 2.1. Beberapa Ope.ratoT Observabel',oH seffab tili':'i,T ." '! f':':"":': '" .'" . ' l 'bii~rato'i"_'!: ' : ' . , '"., .-------1" ..

Momentum sudut L =F : p.;: .,," e ... ap '" -I,l v , p x '" -If!.a x

--+-~---------~--.---------L '" -i1fix\!- . { a a }x = -In y--z--a z u y" . { a a }, =-In z---x-J a x 8z

Posisi: r ,x r , x = r , xMomentum linear: p, p .r

L = - i h { X ~ - y ~ }- B y ax;)

Tenaga kinetik : K =L~ ~~ 2mTenaga total : EE

o . . _ , a=If/-o r

CU~~1!:~d withnitroPDF'professionaldownload the free tnel online Eft nltrepdf.cemzprofeeaonal


9/14

28

2.5. KomutatorOperasi perkalian antara dua operator sering dilakukan (seperti halnya

perkalian antara dua observabel). Pengoperasian perkalian operator pada suatufungsi dilakukan bcrrurut-turut dari yang paling depan (paling dekat denganfungsi yang dikenainya). Perkalian antara dua operator daiam Mekanika Kuantumsering muncul, karena sitar kedua operator tersebut adalah bersifat kornutator.Kornutator antara dua operator 6 dan jj didefemsikan sebagai

[ a ,B ]" " 6 jj - li6. (2.17)Dari defenisi tersebut (dapat diturunkan) berlaku identitas-identitas berikut

[6 , n ]= - [B ,a ] ,[ 6 , S C ' ]= [6 ,s ]C + n [6 ,c '] ,[ 6 B , 6 ] = [ 6 , ( ' ] 8 + 6 [ B , C ] ,[ 6 , [B , C '~ + [ f l . [ c , { ) ] + [ C ' , [f), B ]= o .

(2.ISa)

(2.18b)

(2.ISe)

(2.13d)

Apabila [6,i3l=o, rnaka dikatakan bahwa {) dan 1 3 bersifat kornut yangmana harga observabelnya dapar diukur secara serempak dan pasti sertamempunyar eigen fungsi simultan. Sedangkan apabila [ 6 , R ] -. = 0 , maka dikatakanc J dan jj bersifat tidak komut yang mana pmgukuran observabelnya tidak dapatdilakukan secara scrempak dan pasti (terikat oleh katakpastian Heisenberg,..10 LIB ;:::1 1 /2 ) .

CU~~1!:~d withnitroPDF'professionaldownload the free tnel online E ft nltrepdf.cemzprofeeaonal


10/14

29

Contoh:Akan dipcrlihatkan bahwa kedua operator ;2 dan p x =-iii a / a x bersifat tidakkomut dan juga kedua operator idan If = ih a / a t bersifat komut.

= iii,/,_

Jadi didapatkan bahwa ~eP x J =ii = F 0, sehingga kcdua operator tersebutdikatakan bersifat tidak komut_i dan fl =in a /a t ~ [ 2 . fl]tp ={ iii - Hi}' ! '

- ., a "f ,., a ir) ., a In=Xln-T -lrr-X -!rL-X:ra t a t a t. a 17/ .f, a m a ITt 0=X!Ii-T -llJ.~-T -!ii-r = .al al at

Jadi didapatkan bahwa [1,i f ] = 0, sehingga kedua operator tersebut dikatakanbersifat komut.

Jika dikaitkan dengan sifat Herrnitiannya, maka dapat dibuktikan bahwakomutator dan dua operator Hermitian bersifat anti-Hermitian, yakni memcnuhih ub un g an b eri ku t

(2.19)Sebelum mengkaji postulut 3 tentang pengukuran suaru observabel, terlcbihdahulu akan dikaji tentang penulisan fungsi dalam notasi Dirac.

CU~~1!:~d withnitroPDF'professionaldownload the free tnel online E ft nltrepdf.cemzprofeeaonal


11/14

30

2.6. Notasi DiracU ntuk m en uliskan suatu fung si (vekto r dalarn ru an g H il be rt), operasi

integral dan sebagainya dapat digunakan notasi tertentu yang disebut norasi Dirac.Penggunaan notasi ini hanya demi praktisnya saja. Berikut dibcrikan beberapacontoh penggunaan noiasi Dime yang dimaksud, yaitu

Fungs i 'F --j I 'P), d ise bu t v ek to r k et,Fungsi 'l!----} ( ' F \ ' d is eb ut vek to r bra .G 'F -;> 6I T) ,f (/)0 'F d r -;> ( r P I ( ) ! P ' ) .

Syarat Hermitian operator 6 dituliskan sebagai

Postulat 3: Pengukuran observabel suatu operator 0 pada sistem denganfungsi gelombang i ' p ( r , { ) = \U , , ( r . t , yang merupakan eigenfungsi ternormalistr operator 6 dengan eigen nilai 2m dltuliskansebagai

akan menghasilkan nilai ukur pasti . . i n dan tanpa mengubahkeadaan HtHU fungsi gelombangnya.

Cr .... d withnitroPDF'professional

download the free trial online at nitropdtcom/prClrell5ilJln::l1


12/14

31

Apabila r(F, ! ) bukan m erupakan eigen lung si opera tor 6, m ak a fu ng sigelombang tersebut dapat diuraikan alas basis yang rnerupakan eigen fungsioperator 0, yai tu

(2.20)

sehingga kebolehjadian bahwa p en g uk ur an o bs erv ab cl o m em peroleh ha sil uk urA"adalah

p().,,) = I ( U " (1 , t )1'r(F" ) ) 1 "= I ( U " ( F . r ) l b/I;(F.t))12

(2.21 )Pad a pengukuran observabel


13/14

32

(,t} '= ('F(r'! ) 1 6 p , v ( F , t ) )=Llbf A i' (2.24)

Dengan postulat harga harap (expectation value) tersebut, katakpastianpengukuran didefcnisikan sebagai

(LlX Y = (). - ( A ) ) 2=(,f)_(2)2 (2.25)

yang ekivalen dengan deviasi standar secara statistik. Selanjutnya, prinsipketakpastian untuk dua observabel saling berkonjugal kanonik (operator tak satingkornut) 0 dan B diperoleh

(2.26)

Dalam bab ini baru disebutkfill bahwa keadaan suatu sistem dinyatakandengan suatu fungsi gelornbang dan suatu observabei dinyatakan dengan suatuoperator. Dalam hal ini belum ditelaah bentuk fungsi gelornbang itu sertabagaimana mernperolehnya, begitu juga pemberlakuan operator-operatorobservabel suatu sistern. Hal-hal yang disebutkan terakhir tersebut akan dikajidalam bab-bab selanjutnya.

CH~atill'dWithnitroPDF'professionaldownload the free trfelonllrte at nitrop(]f.c(lmlp~fee5il]ln::l1


14/14

33

Soal-soal Latihan2.1. Apabila A adalah suatu operator obscrvabel dinarnik suatu sistern dengan

persamaan eigen nilai

A U , , ( X ) = A " U , , ( x )Apa saja yang anda ketahui tentang A , A n dan Un(X) '1 .

/"---~/1.2)Periksa dan tunjukkan, apakah pasangan operator berikut ini bersifat\. ,,/\.../

kornutatif t .d2 ,(,)a. -" dan x exp =kx' .dx

b. in da n p ,.c. Momentum linear dan energi kinetik kearah x.

2.3. Perlihatkan bahwa operator-operator yang memenuhi defenisi dalam tabel 2.1bersi fat Hermitian l.

2.4. Buktikan bahwa operator Hermitian A dan H akan bersifat komutatif jikakeduanya mempunyai eigen fungsi yang sarna!

Crg~1l:edwith


Download - Catatan Kuliah Fistum Bagian 2

Top Related