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Capítulo 09: Primitivas
Sandra Gaspar Martins02/12/2009
IntroduçãoCapítulo 09: Primitivas pág.2/90
Introdução
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IntroduçãoCapítulo 09: Primitivas pág.3/90
Procurar a primitiva de uma função...
é procurar a função que tem essa derivada...
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IntroduçãoCapítulo 09: Primitivas pág.3/90
Procurar a primitiva de uma função... é procurar a função que tem essa derivada...
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IntroduçãoCapítulo 09: Primitivas pág.4/90
Por exemplo: uma primitiva de 3x2 é ...
x3.Porque derivando x3 se obtém 3x2...
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IntroduçãoCapítulo 09: Primitivas pág.4/90
Por exemplo: uma primitiva de 3x2 é ... x3.Porque derivando x3 se obtém 3x2...
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IntroduçãoCapítulo 09: Primitivas pág.5/90
Uma primitiva de 3e3x é ...
e3x .Porque derivando e3x se obtém 3e3x ...
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IntroduçãoCapítulo 09: Primitivas pág.5/90
Uma primitiva de 3e3x é ... e3x .Porque derivando e3x se obtém 3e3x ...
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IntroduçãoCapítulo 09: Primitivas pág.6/90
...
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IntroduçãoCapítulo 09: Primitivas pág.7/90
As primitivas são úteis sempre que conhecemos a derivada de uma funçãoe pretendemos conhecer a função...
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IntroduçãoCapítulo 09: Primitivas pág.8/90
por exemplo, quando conhecemos a velocidade e queremos saber a posição...
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IntroduçãoCapítulo 09: Primitivas pág.9/90
ou quando conhecemos a aceleração e queremos saber a velocidade...
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IntroduçãoCapítulo 09: Primitivas pág.10/90
numa infinidade de outras situações...
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IntroduçãoCapítulo 09: Primitivas pág.11/90
Veremos no capítulo seguinte, dos Integrais, como utilizar as primitivaspara calcular áreas, volumes, médias, etc, etc...
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IntroduçãoCapítulo 09: Primitivas pág.12/90
Vamos estudar várias técnicas de primitivação:
Primitivas imediatas...
Primitivação por partes...
Primitivas de funções racionais...
Primitivas de potências de senos e cosenos...
Primitivação por substituição...
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IntroduçãoCapítulo 09: Primitivas pág.13/90
Mas não vamos aprender a primitivar todas as funções!!!!
Até porque...é impossível!!!!Nem todas as primitivas se conseguem descrever utilizando funções elementares!!!.
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IntroduçãoCapítulo 09: Primitivas pág.13/90
Mas não vamos aprender a primitivar todas as funções!!!!Até porque...
é impossível!!!!Nem todas as primitivas se conseguem descrever utilizando funções elementares!!!.
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IntroduçãoCapítulo 09: Primitivas pág.13/90
Mas não vamos aprender a primitivar todas as funções!!!!Até porque...é impossível!!!!
Nem todas as primitivas se conseguem descrever utilizando funções elementares!!!.
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IntroduçãoCapítulo 09: Primitivas pág.14/90
Objectivos
No final deste capítulo deve:calcular primitivas imediatas;calcular primitivas por partes;calcular primitivas de potências de senos e cosenos;calcular primitivas de funções racionais;calcular primitivas por substituição;relacionar gráficos de funções com os gráficos das suasprimitivas;utilizar primitivas para resolver problemas.
Competências globais
Também deve:escrever e verbalizar os seu pensamentosde uma forma clara, concisa e organizada;justificar os raciocínios;compreender e utilizar a linguagemmatemática;utilizar programas computacionais comoferramenta de apoio ao estudo;formular hipóteses; interpretar, prever ecriticar resultados no contexto doproblema;fazer raciocínios demonstrativos, usandométodos adequados (n290es, incluem-se ométodo de redução ao absurdo, o métodode indução matemática e a utilização decontra-exemplos);ser autónomo na auto-avaliação e, senecessário, na procura de elementoscomplementares de estudo.
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IntroduçãoCapítulo 09: Primitivas pág.15/90
Note que:
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.16/90
Definição de Primitiva
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.17/90
Primitiva
Dada uma função real de variável real f (x)chama-se primitiva de f a qualquer função cujaderivada seja f (x).
Representa-se uma primitiva de f (x) por P(f (x))ou F (x).
Exemplo:Uma primitiva de
f (x) = 2x
é
g(x) = x2
poisg′(x) =
(x2)′ = 2x .
Note que:h(x) = x2 + 5
i(x) = x2 − 3
j(x) = x2 + 20
k(x) = x2 + C, ∈ ℝ.
também são primitivas de f (x) = 2x .
Geometricamente:
Qual é a primitiva de f que passa no ponto (0,1)?É m(x) = x2 + 1.
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.17/90
Primitiva
Dada uma função real de variável real f (x)chama-se primitiva de f a qualquer função cujaderivada seja f (x).
Representa-se uma primitiva de f (x) por P(f (x))ou F (x).
Exemplo:Uma primitiva de
f (x) = 2x
ég(x) = x2
poisg′(x) =
(x2)′ = 2x .
Note que:h(x) = x2 + 5
i(x) = x2 − 3
j(x) = x2 + 20
k(x) = x2 + C, ∈ ℝ.
também são primitivas de f (x) = 2x .
Geometricamente:
Qual é a primitiva de f que passa no ponto (0,1)?
É m(x) = x2 + 1.
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.17/90
Primitiva
Dada uma função real de variável real f (x)chama-se primitiva de f a qualquer função cujaderivada seja f (x).
Representa-se uma primitiva de f (x) por P(f (x))ou F (x).
Exemplo:Uma primitiva de
f (x) = 2x
ég(x) = x2
poisg′(x) =
(x2)′ = 2x .
Note que:h(x) = x2 + 5
i(x) = x2 − 3
j(x) = x2 + 20
k(x) = x2 + C, ∈ ℝ.
também são primitivas de f (x) = 2x .
Geometricamente:
Qual é a primitiva de f que passa no ponto (0,1)?É m(x) = x2 + 1.
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.18/90
1. Verifique que qualquer das funções da direita pode ser uma primitiva da função da esquerda...
a)
b)
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.19/90
2. Seja a deformação de uma viga decomprimento 1, simplesmente apoiada em 2postes à mesma altura, submetida a um pesouniformemente distribuído f (x) = 1kg.Sabe-se que⎧⎨⎩ u(4) (x) = f (x)
u(0) = u(1) = 0u′′(0) = u′′(1) = 0
Determine a deformação u(x).
A viga irá deformar-se assim:
vendo com mais zoom:
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.20/90
3. Calcule:a) P(1) =
b) P(6) =
c) P(x) =
d) P(e3x) =
e) P(5e−x) =
f) P(sin(x)) =
g) P(cos(2x)) =
h) P(sec2 x) =
i) P(
11 + x2
)=
j) P(
11 + (−6x)2
)=
k) P(
x1 + x4
)=
l) P
(1√
1− (3x)2
)=
m) P(x2)=
n) P(7x5)=
o) P((3 + 2x)5
)=
p) P((3− 2x2)6x
)=
q) P((2 + ex)−5ex
)=
r) P((sin(x))4 cos(x)
)=
s) P (cos(x) sin(x)) =
t) P(
1x
)=
u) P(
2xx2 + 5
)=
v) P(
x4
x5 + 2
)=
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.21/90
Tabela de primitivasSejam u = f (x) e k , �,C ∈ ℝ.
P(k) = ... (k ∈ ℝ) P(sec2(u) u′
)= ...
P(ku) = ... (k ∈ ℝ) P(csc2(u) u′
)= ...
P (u� u′) = ... (� ∈ ℝ ∖ {−1}) P(sec(u) tan(u) u′) = ...
P (eu u′) = ... P(csc(u) cot(u) u′)) = ...
P(
u′
u
)= ... P
(u′
√1−u2
)= ...
P (sin(u) u′) = ... P(
u′
1+u2
)= ...
P (cos(u) u′) = ...
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.22/90
Tabela de Primitivas
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.23/90
Tabela de primitivasSejam u = f (x) e k , �,C ∈ ℝ.
P(k) = kx + C (k ∈ ℝ) P(sec2(u) u′
)= tg(u) + C
P(ku) = kP(u) (k ∈ ℝ) P(csc2(u) u′
)= − cot g(u) + C
P (u� u′) = u�+1
�+1 + C (� ∈ ℝ ∖ {−1}) P(sec(u) tan(u) u′) = sec(u) + C
P (eu u′) = eu + C P(csc(u) cot(u) u′)) = − csc(u) + C
P(
u′
u
)= ln ∣u∣+ C P
(u′√
1− u2
)= arcsin(u) + C = −arccos(u) + C
P (sin(u) u′) = − cos(u) + C P(
u′
1 + u2
)= arctan(u) + C = −arccot(u) + C
P (cos(u) u′) = sin(u) + C
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.24/90
Primitivas quase imediatas
P (tan (u) u′) = ...
P(cot (u) u′) = ...
P (sec(u) u′) = ...
P (csc(u) u′) = ...
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.24/90
Primitivas quase imediatas
P (tan (u) u′) = ...
P(cot (u) u′) = ...
P (sec(u) u′) = ...
P (csc(u) u′) = ...
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.25/90
Primitivas quase imediatas
P (tan (u) u′) = − ln ∣cos u∣+ C
P(cot (u) u′) = ln ∣sin u∣+ C
P (sec(u) u′) = ln ∣sec u + tan u∣+ C
P (csc(u) u′) = − ln ∣csc u + cot u∣+ C
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.26/90
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.27/90
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.28/90
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.29/90
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.30/90
Primitivação por partes
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.31/90
A primitiva do produto é o produto das primitivas?
Experimente!Por exemplo:
P(exx2) = P(ex).P(x2)???
Calcule:
(P(u)v)′ = (P(u))′ v + P(u)v ′
logo
(P(u)v)′ = uv + P(u)v ′
se primitivarmos ambos os membros
P((P(u)v)′
)= P(uv) + P (P(u)v ′)
ou seja,
P(u)v = P(uv) + P (P(u)v ′)
portanto
P(uv) = P(u)v − P (P(u)v ′)
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.31/90
A primitiva do produto é o produto das primitivas?
Experimente!
Por exemplo:
P(exx2) = P(ex).P(x2)???
Calcule:
(P(u)v)′ = (P(u))′ v + P(u)v ′
logo
(P(u)v)′ = uv + P(u)v ′
se primitivarmos ambos os membros
P((P(u)v)′
)= P(uv) + P (P(u)v ′)
ou seja,
P(u)v = P(uv) + P (P(u)v ′)
portanto
P(uv) = P(u)v − P (P(u)v ′)
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.31/90
A primitiva do produto é o produto das primitivas?
Experimente!Por exemplo:
P(exx2) = P(ex).P(x2)???
Calcule:
(P(u)v)′ = (P(u))′ v + P(u)v ′
logo
(P(u)v)′ = uv + P(u)v ′
se primitivarmos ambos os membros
P((P(u)v)′
)= P(uv) + P (P(u)v ′)
ou seja,
P(u)v = P(uv) + P (P(u)v ′)
portanto
P(uv) = P(u)v − P (P(u)v ′)
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.31/90
A primitiva do produto é o produto das primitivas?
Experimente!Por exemplo:
P(exx2) = P(ex).P(x2)???
Calcule:
(P(u)v)′ =
(P(u))′ v + P(u)v ′
logo
(P(u)v)′ = uv + P(u)v ′
se primitivarmos ambos os membros
P((P(u)v)′
)= P(uv) + P (P(u)v ′)
ou seja,
P(u)v = P(uv) + P (P(u)v ′)
portanto
P(uv) = P(u)v − P (P(u)v ′)
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.31/90
A primitiva do produto é o produto das primitivas?
Experimente!Por exemplo:
P(exx2) = P(ex).P(x2)???
Calcule:
(P(u)v)′ = (P(u))′ v + P(u)v ′
logo
(P(u)v)′ = uv + P(u)v ′
se primitivarmos ambos os membros
P((P(u)v)′
)= P(uv) + P (P(u)v ′)
ou seja,
P(u)v = P(uv) + P (P(u)v ′)
portanto
P(uv) = P(u)v − P (P(u)v ′)
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.32/90
Primitivação por partes
P(uv) = P(u)v − P(P(u)v ′)
Deve escolher-se para v a primeira função em:
L-logaritmicasI - inversas de funções trigonométricasA - algébricasT - trigonométricasE - exponenciais
1. Calcule:a) P(x ln(x)) =
b) P(xe−x) =
c) P(ln(x)) =
d) P(x2 cos(2x)) =
e) P(ex sin(x)) =
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.33/90
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.34/90
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.35/90
Primitivação de funções racionais
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.36/90
Primitivação de funções racionais
1. grau do numerador ≥ grau do denominador—> divisão
P(
x3 − 2x + 1
)P(
x2 + 3x − 6x − 2
)2. grau do numerador < grau do denominador
A) Raízes reais simples
P(
2xx2 + x − 2
)P(
3x + 1x2 + 9x − 10
)
B) Raízes reais múltiplas
P
(2x2 + x
x2 (x − 1)2
)
P(
1x3 (x − 2)
)P
(2
(x − 1)4
)
P(
x + 12x2 − 20x + 50
)C) Raízes complexas
P(
x2 + 3x3 + x
)P(
2x2 + 8x + 17
)P(
10x2 + 10x + 26
)P(
x2 + 1x(x2 + 4x + 5)
)
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.37/90
D) Raízes complexas múltiplas
P
(1
x (x2 + 1)2
)
P
(x5
(x2 + 1)3
)
P
(1
(x2 + 1)2
)∗
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.38/90
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.39/90
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.40/90
Primitivação de potências de seno ecoseno
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.41/90
Primitivação de potências de seno e coseno
Primitivação de potências de seno ecoseno
Escreva a potência de seno como produto dequadrados de seno e, eventualmente, um seno.Substitua cada quadrado utilizando as fórmulasque se seguem...(Analogamente para coseno.)
Potências pares:
cos2 t = 1+cos 2t2
sin2 t = 1−cos 2t2
Potências ímpares:
cos2 t + sin2 t = 1
1. Calcule:
a) P(sin2 t) =
b) P(cos2 t) =
c) P(sin3 t) =
d) P(cos4 t) =
e) P(sin5 t) =
f) P(sin6 t) =
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.42/90
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.43/90
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.44/90
Primitivação por recorrência
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.45/90
Primitivação por recorrência
P(ex cos(x)) = ...
P(ex sin(x)) = ...
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.46/90
Primitivação por substituição
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.47/90
Primitivação por substituição
Primitivação por substituição
Seja f : R → R primitivável numintervalo I e g : J → I bijectiva,g ∈ C1(J),
P(f (x)) = P (f (g(t)).g′(t))
Substituições aconselháveis:
Função com Substituição√a2 − x2 x = a sin t√a2 + x2 x = a tan t√x2 − a2 x = a sec t
ex x = ln tln(x) e 1
x x = et
sin x e cos x x = 2 arctan tsin x e cos x a multiplicar x = arcsin t ou x = arccos t
tan x x = arctan tcot x x = arccott
x ,(
ax+bcx+d
) p1q1 , ...,
(ax+bcx+d
) pnqn
ax+bcx+d = tq onde
q = m.m.c(q1,q2, ...qn)
x e√
ax2 + bx + c√
ax2 + bx + c =√
ax + t ,a > 0√ax2 + bx + c =
√c + tx , c > 0√
ax2 + bx + c = (x − d)tonde d é uma raíz de ax2 + bx + c.
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.48/90
1. Calcule:
a) P(
13√
x +√
x
).
b) P(
sin(√
x + 1)√x + 1
).
c) P(√
1− x2).
d) P(
5x + 53x
52x + 54x
).
e) P (ln(x)) .
f) P( √
x + 3√
x4√
x5 +6√
x7
).
g) P(
4x + 26x
43x + 28x + 4x − 1
).
(Nota: (loga u)′ = u′
u ln a ,a > 0)
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.49/90
P(
e(x2))
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.50/90
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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.51/90
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Para Praticar . . .Capítulo 09: Primitivas pág.52/90
Para Praticar . . .
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Para Praticar . . .Capítulo 09: Primitivas pág.53/90
1. Quais dos seguintes gráficos representamprimitivas da função da figura 1?
2. Quais dos seguintes gráficos representamprimitivas da função da figura 2?
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Para Praticar . . .Capítulo 09: Primitivas pág.54/90
3. Quais dos seguintes gráficos representamprimitivas da função da figura 3?
4. *Seja a deformação de uma viga decomprimento 1, simplesmente apoiada em 2postes à mesma altura, submetida a um pesof (x) = −2x
(1+x2)2 . Sabe-se que⎧⎨⎩ u(4) (x) = f (x)u(0) = u(1) = 0
u′′(0) = u′′(1) = 0
Determine a deformação u(x).
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Para Praticar . . .Capítulo 09: Primitivas pág.55/90
5. Considere um veículo que tem o seguintecomportamento de aceleração (m/s2) emrecta:
a(t) =
⎧⎨⎩12√
t t ∈ [0,1]12− 6(t − 1)2 t ∈]1,2]
96(t+2)2 t ∈]2,+∞[
a) Determine aproximadamente o temponecessário para o veículo atingir avelocidade de 100km/h(≈ 28m/s).
b) Qual a velocidade máxima do veículo?
6. Considerando que a aceleração da forçagravítica é 9,8m/s2, e desprezando aresistência do ar, determine quanto tempodemora uma massa a chegar ao chão, se forlargada do topo de um prédio de 98m.
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7. Um pequeno foguetão de ensaiosatmosféricos é lançado verticalmente a partirdo solo. O foguetão tem combustível no motorde tal modo que este funcione exactamentedurante 2 minutos; na sua trajectória ofoguetão é acelerado a 4 m/s2. Determine:a) A que altura está o foguetão um minuto
depois de ser lançado?b) Nesse instante, a que velocidade está a
subir?c) Quando o motor parar a que altura estará o
foguetão?d) Nesse instante, qual será a velocidade
atingida pelo foguetão?e) O foguetão atingirá a altura de 20km? E
100km?f) Quanto tempo leva o foguetão a atingir a
velocidade de 100m/s?g) Quanto tempo leva o foguetão a percorrer
os primeiros 50 metros?h) Quanto tempo leva o foguetão a percorrer
os segundos 50 metros?
O modelo matemático que obtivemos produzresultados significativos apenas até ao instante emque o motor pára. É óbvio que depois disso aaceleração será diferente, passa a ser apenas aaceleração da gravidade que é de 9.8m/s2mas nosentido oposto ao do movimento.
i) Durante quanto tempo o foguetão sobe depoisde acabar o combustível?
j) Que altura máxima é atingida pelo foguetão?
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8. Supondo que numa corrida de carros, partemos dois ao mesmo tempo, deslocam-se amboslinearmente, o carro 1 com aceleraçãoa1(t) = t e o carro 2 com aceleraçãoa2(t) = t2, determine o instante em que oscarros se voltam a encontrar.(Relembre que a derivada da posição é avelocidade e a derivada da velocidade é aaceleração.)
9. Usando séries de potências, determine umaprimitiva de ex2.
10. Determine a função real de variável real f talque
f ′′(x) =8
(x + 1)3 , f ′(1) = −1 limx→+∞
f (x) = 1
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11. Calcule uma primitiva de :
a)e2x + 2e3x
1− ex
b)sin(2x)√
1 + sin2(x)
c)x4
2x3 − 4x2 + 8x − 16
d)1
x2 − 5x + 6e) x cos(x)f) x√
x + 1
g)cos(x)
sin2(x) + 7 sin(x) + 10
h)1
x2 − 5x + 6
i)√
x − 1 + 3√
x − 1x − 1
j) sin2(x)k) cos(ln(x))
l)x3
x + 1
m)2x3
sin2(3x4)+ sec(5x)
n)earctan(x)
1 + x2
o) x arctan(x)
p)sin(2x)√
1 + sin2(x)
q) x2ln(x)r) (1− x)e1+2x
s)x2 + 6x − 1
(x − 3)2(x − 1)
t)x2 + 1(x − 1)3
u)2x2 − 3x − 3
(x + 2)(x2 − 2x + 5)
v)x3
x8 − 5
w)x(x2 + 1)
(x2 + 1)4 − 5
x)3x
32x − 3x − 2
y)1
(x2 + 1)3
z) ln∣∣1 + x2
∣∣.z1) arctan(x), usando primitivação por partes.
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BibliografiaCapítulo 09: Primitivas pág.78/90
Bibliografia*
José Alberto Rodrigues.Métodos matemáticos em engenharia: Modelos em ℝ.Edições Colibri, 2007.
Deborah Hughes-Hallett, Gleason, McCallum, Flath, Lock, and Lomen.Calculus: Single variable.John Willey Sons, Inc, 4th edition, 2005.
Jaime Carvalho e Silva and Carlos M. Franco Leal.Análise matemática aplicada: exercícios, actividades, complementos e provas de avaliação.McGraw-Hill, 1st edition, 1996.
Jaime Campos Ferreira.Introdução à análise matemática.Fundação Calouste Gulbenkian, 3rd edition, 1990.
*Por ordem de adequação como complemento ao estudo.ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL
ANEXO: Tabela de derivadasCapítulo 09: Primitivas pág.79/90
ANEXO: Tabela de derivadasSejam u = f (x), v = g(x), k ∈ ℝ.
k ′ = 0 (sin(u))′ = cos(u)u′ (eu)′ = euu′
x ′ = 1 (cos(u))′ = − sin(u)u′ (au)′ = au ln(a)u′, a ∈ ℝ╲ {1}
(u + v)′ = u′ + v ′ (tan(u))′ = sec2(u)u′ (uv)′ = uv ln(u)v ′ + vuv−1u′
(ku)′ = ku′ (cot(u))′ = − csc2(u)u′ (∣u∣)′ = ∣u∣u
u′ =u∣u∣
u′
(u.v)′ = u′v + uv ′ (sec(u))′ = sec(u) tan(u)u′
(uv
)′=
u′v − uv ′
v2 (arcsin(u))′ =u′√
1− u2
(u�)′ = �u�−1u′, � ∈ ℚ╲ {0} (arccos(u))′ = − u′√1− u2
(√u)′=
u′
2√
u(arctan(u))′ =
u′
1 + u2
(ln(u))′ =u′
u(arccot(u))′ = − u′
1 + u2
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NotasCapítulo 09: Primitivas pág.80/90
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NotasCapítulo 09: Primitivas pág.83/90
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NotasCapítulo 09: Primitivas pág.84/90
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NotasCapítulo 09: Primitivas pág.85/90
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NotasCapítulo 09: Primitivas pág.86/90
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NotasCapítulo 09: Primitivas pág.87/90
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NotasCapítulo 09: Primitivas pág.88/90
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NotasCapítulo 09: Primitivas pág.89/90
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NotasCapítulo 09: Primitivas pág.90/90
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