ÁREA

El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades

de medida denominadas superficial. Para superficies planas el concepto es más

intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede

calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se

usa el término “área” como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión

entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica

asociada al concepto geométrico (área).

Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir

métodos de geometría diferencial.

Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto

métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en

cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio elucídelo, la superficie

hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica Euclides.

AREA DE REGIONES POLIGONALES

Área de un triángulo

El área de un triángulo es igual al semiproducto entre la longitud de una base y la

altura relativa a esta:

Donde b es la base del triángulo y h es la altura correspondiente a la base. (Se

puede considerar cualquier lado como base)

Si el triángulo es rectángulo la altura coincide con uno de los catetos, con lo cual el

área es igual al semiproducto de los catetos:

Donde a y b son los catetos.

Si se conoce la longitud de sus lados, se puede aplicar la fórmula de Herón.

Donde a, b, c son los valores de las longitudes de sus lados, s = ½ (a + b + c) es

el semiperimetro del triángulo.

Si el triángulo es equilátero, el área es igual a un cuarto del cuadrado de un lado

por la raíz cuadrada de 3:

Donde a es un lado del triángulo.

Área de un cuadrilátero

El área del trapezoide o de cualquier cuadrilátero es igual al semiproducto de sus

diagonales por el seno del ángulo que forman.

El área también se puede obtener mediante triangulación:

Siendo:

El ángulo comprendido entre los lados y .

El ángulo comprendido entre los lados y .

El rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos son todos de 90º, y el área es

igual al producto de dos de sus lados contiguos a y b:4

El rombo es un paralelogramo, cuyos 4 lados son iguales, y tiene su área dada por

el semiproducto de sus dos diagonales:

El cuadrado es el polígono regular de cuatro lados; es a la vez un rectángulo y un

rombo, por lo que su área puede ser calculada de la misma manera que la de

estos dos. En particular, dado que sus lados son iguales, se usa la fórmula:4

El romboide tiene su área dada por el producto de uno de sus lados y su altura

respectiva:4

El trapecio, el cual tiene dos lados opuestos paralelos entre sí y dos lados no

paralelos, tiene un área que viene dada por la media aritmética de sus lados

paralelos multiplicado por la distancia entre ellos (altura):4

Área de un polígono regular

Se le llama polígono regular a un polígono cuyos lados y ángulos interiores son

congruentes entre sí. Los polígonos regulares de tres y cuatro lados se llaman

triángulo equilátero y cuadrado, respectivamente; para polígonos de más lados, se

añade el término regular (pentágono regular, hexágono regular). Solo algunos

polígonos regulares pueden ser construidos con regla y compás.

Existen diversas fórmulas para calcular el área de un polígono regular,

dependiendo de los elementos conocidos.

Área en función del perímetro y la apotema: El área de un polígono regular,

conociendo el perímetro y la apotema es:

Área en función del número de lados y la apotema: Sabiendo que:

Además , ya que es la mitad de un ángulo central (esto en radianes).

Observando la imagen, es posible deducir que

Sustituyendo el lado:

Finalmente:

Con esta fórmula se puede averiguar el área con el número de lados y la apotema,

sin necesidad de recurrir al perímetro.

Área en función del número de lados y el radio: Un polígono queda

perfectamente definido por su número de lados n, y el radio r, por tanto podemos

determinar cuál es su área, a la vista de la figura, tenemos que:

Donde el ángulo central es:

Sabiendo que el área de un polígono es:

Y sustituyendo el valor del lado y la apotema calculados antes, tenemos:

Ordenando tenemos:

Sabiendo que:

Resulta:

O lo que es lo mismo:

Con esta expresión podemos calcular el área del polígono, conociendo solamente

el número de lados y su radio, lo que resulta útil en muchos casos.

Área de un polígono en función del lado: Y si queremos expresar el área en

función del lado, podemos calcularlo de la siguiente manera:

Sea el ángulo formado por el Lado "L" y el radio "r":

El valor de la apotema en función del lado será, por la definición de la tangente:

Despejando la apotema tenemos:

Sustituimos la apotema por su valor:

Con lo que conociendo el número de lados del polígono regular y la longitud del

lado podemos calcular su superficie.

AREA DE REGIONES CIRCULARES

Son regiones del plano contenidas entre un arco de una circunferencia y radios,

cuerdas o diámetros, o bien con otra circunferencia. Por ejemplo, una región

limitada por un arco y dos radios no alienados, una región limitada por un arco y

una cuerda, etc.

Área del círculo

Existen numerosas fórmulas para calcular el área de un círculo. Un círculo de

radio , tendrá un área:

 ; En función del radio (r).

o

; En función del diámetro (d), pues

O

; En función de la longitud de la circunferencia máxima (C),

Pues la longitud de dicha circunferencia es:

Área de un sector

El área de un sector circular depende de dos parámetros, el segmento-radio y el

ángulo central, y está dada por la siguiente fórmula:

Donde es el radio de la circunferencia y el ángulo que subtiende el arco de

circunferencia, expresado en radianes.

O también:

Donde corresponde al ángulo en grados sexagesimales.

Las dos fórmulas anteriores son equivalentes.

Área de un segmento

El área del segmento circular es igual al área del sector circular menos el área de

la porción triangular.

Demostración alternativa

El área del sector circular es:

Si se bisecciona el ángulo , y por tanto la porción triangular, se obtienen dos

triángulos con área total:

Dado que el área del segmento es el área del sector menos el área de la porción

triangular, se obtienen

De acuerdo con la identidad trigonométrica de ángulo doble

, por lo tanto:

con lo que resulta que el área es:

Área de una corona

Para determinar la superficie de una corona circular tenemos que encontrar la

diferencia entre las áreas de los dos círculos concéntricos: el mayor con radio R y

el menor con radio r.

Si dividimos esta corona en pequeñas coronas Infinitesimales, equidistantes del

centro, con latitud: , y área: ( = circunferencia × latitud) podríamos

encontrar la superficie total por medio del cálculo integral. Si determinamos la

integral de esta función entre y , tendremos:

Área de un trapecio

Es la región que tiene en común un anillo circular y un sector circular de la

circunferencia  de radio mayor,

Perímetro. Está constituido por dos segmentos de igual longitud y dos arcos,

(Con en radianes)

 Área. Se puede calcular restando las áreas de dos sectores circulares,

(Con en radianes)

ÁREAS COMBINADAS

El objetivo es determinar las áreas de regiones que resultan de la combinación de

otras figuras planas conocidas como: triángulos, rectángulos, trapecios y círculos.

Hallar el área del trapecio ABCD; si el área del triángulo ABH es 8 m 2, además CD

x AH = 24 m2.

VOLUMEN

Es una magnitud escalar definida como el espacio ocupado por un cuerpo. Es una

función derivada ya que se halla multiplicando las tres dimensiones. En

matemáticas el volumen es una medida que se define como los demás conceptos

métricos a partir de una distancia o tensor métrico.

Unidades de volumen sólido: Miden al volumen de un cuerpo utilizando

unidades de longitud elevadas a la tercera potencia. Se le dice volumen sólido

porque en geometría se utiliza para medir el espacio que ocupan los cuerpos

tridimensionales, y se da por hecho que el interior de esos cuerpos no es hueco

sino que es sólido.

Unidades de volumen líquido: Estas unidades fueron creadas para medir el

volumen que ocupan los líquidos dentro de un recipiente.

Unidades de volumen de áridos: también llamadas tradicionalmente unidades

de capacidad. Estas unidades fueron creadas para medir el volumen que ocupan

las cosechas (legumbres, tubérculos, forrajes y frutas) almacenadas en graneros y

silos.

POLIEDROS

Un poliedro es un cuerpo geométrico cuyas caras son planas y encierran un

volumen finito.

Clasificación:

Los poliedros pueden ser clasificados en muchos grupos según la familia de

donde provienen o de las características que los diferencian; según sus

características, se distinguen:

Convexos, como el cubo, o el tetraedro, cuando cualquier par de puntos

del espacio que estén dentro del cuerpo los une un segmento de recta

también interno. En el caso de que dicho segmento se salga del cuerpo se

dice que son poliedros cóncavos, como es el caso del toroide facetado y los

sólidos de karim.

Poliedro de caras regulares, cuando todas las caras del poliedro son

polígonos regulares.

Poliedro de caras uniformes, cuando todas las caras son iguales.

Se dice poliedro de aristas uniformes, cuando los pares de caras que se

reúnen en cada arista son iguales.[cita requerida]

Se dice poliedro de vértices uniformes, cuando en todos los vértices del

poliedro convergen el mismo número de caras y en el mismo orden.

Se dice poliedro regular o regular y uniforme, como el tetraedro o el

icosaedro, cuando es de caras regulares, de caras uniformes de vértices

uniformes y de aristas uniformes.

Estos grupos no son excluyentes entre sí; es decir, un poliedro puede estar

incluido en más de uno de ellos.

Áreas y volúmenes

Área del triángulo equilátero

Área y volumen del tetraedro

Área y volumen del octaedro

Área del icosaedro

Área del pentágono regular

Área del dodecaedro

Área y volumen del cubo

Área y volumen del ortoedro

Área y volumen del prisma

Área y volumen de la pirámide