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TEORIA DE GRUPOS

Jorge Espinoza Espinoza

Marzo 2008

(Apunte en construccion)

En teora, entre la teora y la practica no hayninguna diferencia, pero en la practica si la hay

En el principio era el Verbo(S. JUAN, 1,1 )

Indice general

Introduccion V

Simbologa VII

1. Grupos y Subgrupos 11.1. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Conceptos Basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4. Verdadero o Falso? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2. Grupos Generados y Grupos Cclicos 192.1. Grupos Generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2. Grupos Cclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4. Verdadero o Falso? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3. Subgrupos Notables 313.1. Normalizador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2. Centralizador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3. Centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4. Conmutador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.5. Conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.6. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.7. Verdadero o Falso? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.8. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4. Clases Laterales y Subgrupos Normales 434.1. Clases Laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2. Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2.1. Biografa de J.L. Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

IV INDICE GENERAL

4.2.2. Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.3. Subgrupos Normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.4. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.5. Verdadero o Falso? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.6. Producto Directo Interno y Externo . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.6.1. Producto Directo Externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.6.2. Producto Directo Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.7. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5. Homomorfismos 675.1. Conceptos principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.1.1. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.2. Breve estudio del Grupo Hom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.3. Verdadero o Falso? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.4. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.5. Teoremas del Isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.6. Automorfismo Interior de un Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.7. Como mostrar que dos Grupos no son Isomorfos . . . . . . . . . . 1015.8. Verdadero o Falso? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.9. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6. Accion de un Grupo sobre un Conjunto 1076.1. Accion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.2. Acciones destacables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.3. Orbita y Estabilizador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.4. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

7. Ejercicios de Catedras 1197.1. Catedra 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.2. Catedra 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.3. Catedra 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347.4. Examen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Bibliografa 143

Introduccion

Primero que todo, quiero dejar claro que este apunte fue construidos a base deextracciones de varios textos, los cuales estan mencionado en la bibliografa, y quepor lo personal, creo que son unos textos grandiosos y muy completos en cuantoa estructuras algebraicas, de las cuales destacan; los Grupos, Anillos y Cuerpos.La motivacion que me llevo a escribir a cerca de Grupos, resalta en entregar unmaterial visto del lado estudiantil y transmitir a mis pares, que el pensamientoabstracto podemos llevarlo acabo si tenemos una mejor explicacion de conceptosmnimos requeridos en este curso, y porque no? auto-exigirse e idealizarse res-puestas para cada problema que nos parezcan imposibles de realizar, ya queaunque sea el esfuerzo que vamos a emplear para entender una definicion o unteorema, va a ser valorizado tal vez, para resolver problemas de menor dificul-tad, pero los cuales seran los que nos abriran el acceso para resolver los ejerciciosmonstruos que se presentan en este curso.

Principalmente, el objetivo de este apunte es mostrar detalladamente y con expli-caciones precisas las nociones basicas de cada contenido del curso y por supuestomostrar concretamente con ejemplos, de que trata cada tema del curso de Teorade Grupos. Trate de ser lo mas practico posible (aunque fue un poco difcil), enlas demostraciones de teoremas y algunos ejercicios resueltos que incorpore conel fin de guiarlos en la solucion de problemas similares que se presentan en laseccion de ejercicios propuestos. A proposito, los ejercicios que deje para que uste-des resuelvan, los extraje de la coleccion de libros mencionados en la bibliografasalvo de algunos que rescate de pruebas del profesor Daniel Jimenez y otros queencontre en el internet que me parecieron interesantes.

Una de las secciones que incorpore al apunte, es la del verdadero o falso?, la cuales inspirada por el libro [7], y que por lo personal, creo que es una muy buenaidea para la retencion de propiedades basicas, las cuales ayudan bastantes para laresolucion de problemas.

Ahora solo me queda invitarlos a leer el apunte y a resolver los ejercicios incorpo-rados los cuales complementan la gua proporcionada por el profesor. Tambien mequeda desearles mucha suerte y reiterarles que para aprobar este curso se requiere

VI 0. Introduccion

de un gran esfuerzo y constancia de ejercitacion.

Si encuentra algunos errores, o si tiene algun tipo de observacion quequiera comentar, por favor, enve un correo a;

j.espinoza [email protected].

Tabla de Simbologa

Smbolo Significado

Para todo. Existe. No existe. o

{p | q} {p tal que q}. y. Conjunto vaco. Implica. Si y solo si. Contenido.:= Se define. Pertenece.6 No pertenece. Por lo tanto.N Numeros Naturales.Z Numeros Enteros.Q Numeros Racionales.R Numeros Reales.C Numeros Complejos.

GL2(K) Grupo General Lineal.SL2(K) Grupo Especial Lineal

e Elemento neutro o identidad de un grupo abstracto.f : G H Transformacion de G a H .

P(S) Conjunto potencia de S, donde S es no vaco.m \ n m divide a n.

M.C.D.(n,m) Maximo comun divisor entre m y n.M.C.M.(n,m) Mnimo comun multiplo entre m y n.

G H G intersectado con H .G H G unido con H .

i I

Hi Union disjunta de conjuntos Hi con i I.

Smbolos Significado

ni=0

xi Suma de n elementos arbitrarios.

H G H es un Subgrupo de G.< S > Grupo generado por el conjunto S.|A | Orden del Grupo A.

G =< g > G es un Grupo cclico generado por g, donde g G.GH Producto directo externo de G con H .GH Suma directa externa de G con H . Relacion de equivalencia.

G/H Conjunto de clases laterales izquierdas de G respecto deH .

H \G Conjunto de clases laterales derechas de G respecto deH .

[G : H ] Numero de clases laterales(izquierdas o derechas) de Gcon respecto a H .

H E G H es un Subgrupo normal de G.G H Correspondencia biunvoca entre G y H .

ni=1

Gi Producto Directo Externo de una familia finita de Gru-pos.

ni=1

Gi Suma directa de una familia finita de Grupos.

g h o g 7 h g lo enva a h.H G H incluido en G.G = H G es Isomorfo con H .G 6= H G no es Isomorfo con H .g x g actuando en x.Ox Orbita de x.Gx Estabilizador de x.

Captulo 1

Grupos y Subgrupos

1.1. Grupos

Los Grupos son conjuntos no vacos, los cuales estan dotados con una operacionbinaria y que ademas cumplen con; asociatividad, existencia de elemento neutro yexistencia de inverso para cada elemento del conjunto. A continuacion veremos enque consta cada una de estas propiedades y veremos que el conjunto evolucionaa medida que adquiere una de las propiedades ya mencionadas.

1.1.1. Conceptos Basicos

Sea G un conjunto no vaco.

1. Diremos que G es un Grupoide (o que G cumple la clausura) si lo dotamosde una funcion : G G G, donde (a, b) se denota como a b, paracada par (a, b) GG. Esta funcion es llamada, por lo general, operacionbinaria o sencillamente producto.

Denotaremos por (G, ) la adjuncion de la operacion a G.

2. Diremos que G es un Semigrupo si cumple con:

i) (G, ) es un Grupoide.

ii) ( a, b, c G) ((a b) c = a (b c))

O sea, () es una operacion Asociativa.

2 1. Grupos y Subgrupos

3. Diremos que G es un Monoide si cumple con:

i) (G, ) es un Semigrupo.ii) ( e G) (a G) (e a = a e = a)

Donde e es llamado elemento neutro o identidad de (G, ).

4. Diremos que G es un Grupo si cumple con:

i) (G, ) es un Monoide.ii) ( a G) ( a1 G) (a a1 = a1 a = e)

Donde a1 es llamado elemento inverso de a. 1

5. Diremos que G es un Grupo Abeliano si, ademas de ser grupo, cumplecon:

( a, b G) (a b = b a)

Observacion 1 Para la operacion de un grupo, la notacion es habitualmentemultiplicativa y cuando el grupo es abeliano la notacion es aditiva. En este textoen general ocuparemos para la operacion de un grupo cualquiera, peroalgunas veces omitiremos la operacion entre elementos, ya que un ejercicio sepuede poner muy engorroso con tanta notacion, tambien acordaremos, que algunasveces solo anotaremos G en vez de (G, ) para denotar un grupo cualquiera. Ahora,revisaremos unas notaciones que se usan por lo general en la mayora de los textos.Sea G un grupo, g G; n N0.

(i) Notacion multiplicativa o en general.

g0 = e (neutro)

gn+1 = gn g

gn = (g1)n

(ii) Notacion aditiva.0 g = e (neutro)

1a1 es solo una notacion, no confundir con el inverso multiplicativo de a.

1.1. Grupos 3

Proposicion 1.1 Sea (G, ) un grupo. Entonces, tenemos lo siguiente:

(I) ! e G tal que ae = ea = a ( a G) (unicidad de neutro)

(II) Sean a, b, c G, entonces:

Si a b = a c b = ctambien b a = c a b = c

Esta se conoce como la propiedad de Cancelacion.

(III) Cada inverso izquierdo de un elemento en G, es tambien un inverso derechode ese elemento, ademas este es unico.

a b = e b = a1

b a = e b = a1

donde b es el unico inverso de a.

(IV) Para todo a G se tiene que:

(a1)1 = a.

(V) Sean a, b G, entonces:

(a b)1 = b1 a1

Generalizando; (a1 a2 an)1 = (an)1 (an1)1 (a1)1

(VI) Si G es un grupo aditivo, entonces cumple con lo siguiente:

a) (x+ y) n = x n + y n donde x, y G ; n Z

observacion: x n = x + x + x + x + ....x (n-veces) Se conocecomo la potencia aditiva.

b) x (n+ 1) = x n+ x donde x G ; n Z

c) x (n m) = (x n) m


Demostracion.

Demostracion (I)

Sea a G luego tenemos que a e = e a = a con e el neutro de G.Ahora supongamos que existe e G tal que, es otro neutro de G. Entonces;

a = a e = e a a G e e = e e = e

por otro lado

a = a e = e a a G e e = e e = e.Entonces si juntamos las dos parte, tenemos que:

e = e e = e e = e

Demostracion (II)

Supongamos que b a = c a, luego como G es grupo, existe un elemento a1tal que a a1 = a1 a = e entonces tenemos que

b = b e = b (aa1) = (ba)a1 = (ca)a1 = c (aa1) = c e = c b = c

Notese que la segunda parte de la demostracion es similar.

Demostracion(III)

Supongamos a b = e es decir, b es el inverso por la derecha de a. Ahora, loque debemos demostrar, es que b, tambien es el inverso por la izquierda de a.Veamos que,

c c = c c = e c GO sea que el unico elemento idempotente en G es el neutro. Ahora observemos que;

(b a) (b a) = b (a b) e

a = b a

Luego, por la observacion anterior tenemos que b a = e.

Entonces, queda demostrado que b es tambien el inverso izquierdo de a

1.1. Grupos 5

Las demostraciones (IV) y (V) se dejan de ejercicio (notar que en la proposicion(IV) a y (a1)1 son los inversos de a1, pero debemos recordar que los inversos sonunicos para cada elemento de un grupo. Similarmente se hace para la demostracion(V)).La demostracion (VI) tambien la dejaremos de ejercicio ( aca debemos utilizar laobservacion que se hace en esta proposicion )

1 ComentarioEn realidad, conocemos muchos grupos, y con los cuales hemos trabajado a menudoen clases, pero tal vez, desconocemos que se trata de un grupo y de las propiedadesque cumplen estos. Algunos ejemplos de grupos basicos, ya que son los mas ele-mentales, son los siguientes:

(Z,+) (Q,+) (R,+) (C,+)

(F [x],+) (Q[i],+) (Zn,+)

(Zp , ) p primo (Q, ) (R, ) (C, )

(Q[i], ) (SLn(F), ) (R+, ) (C+, )

(Q+, ) (Biy{Xn}, ) (Sn, ) (Dn, )

(Rn,+) ({1,1}, ) (P(X),)

X conjunto no vacio

Observacion 2 El grupoDn es el grupo de movimientos rgidos de un polgonoregular de n lados.

El grupo Sn es el grupo de las permutaciones de un conjunto con n elementos.Aca es importante destacar que Dn Sn (n 3), y cuando n = 3 entoncesDn = Sn.

Los grupos Sn = Biy{xn}, se puede decir que son ESTRUCTURALMENTEIGUALES. Mas adelante profundizaremos en estos grupos que son tan impor-tantes en la Teora de Grupos, por ahora, solo se necesita que se tenga la nocionpara poder trabajar un poco con estos. A continuacion mostraremos un ejemplodel grupo Diedrico (Dn).


Por lo general, utilizare F para denotar un Cuerpo. Ahora, se preguntaran que esun Cuerpo? , tal vez algunos conozcan su definicion, pero no esta demas mencionarque un cuerpo es sencillamente un conjunto F el cual (F ,+) es un grupo abelianoy (F, ) es un grupo abeliano y ademas cumple con la propiedad distributiva(sidesean pueden ver una definicion mas precisa en el texto [7]).

Algunos interesantes

(Mn(K),+); con K = Z;Q;R;C

Matrices de dimension n2

(GLn(K), ); con K = Z;Q;R;C

Matrices invertibles de dimension n2

(Biy(X,X), ) donde es la compuesta de funciones, y X es un conjunto novaco.

Funciones Biyectivas de X en X (f : X X | f es biyectiva)

Sean (G, ), (H, ) dos grupos.

F (G,H) = {f : G H | f es una funcion}

Luego, (F (G,H), ) es un grupo.

Otro ejemplo de grupo, es el conjunto de los Enteros de Gauss, el cual es ungrupo aditivo. Recordemos que definen como:

Z[i] := {a+ bi | a, b Z}

Si recordamos Algebra Lineal tenemos que si V es un F -espacio vectorial, entonceslos Endomorfismos de V es el conjunto que se define a continuacion:

End(V ) := {f : V V | f es una transformacion lineal}

1.1. Grupos 7

El conjunto End(V ) es un grupo con la suma(Se deja como ejercicio probar estaafirmacion).

2 ComentarioUn grupo que es de gran interes destacarlo, es el de las simetras de un polgonoregular(solo los movimientos rgidos), en donde podemos darnos cuenta, de larelacion que existe entre la geometra y la teora de grupos.

Consideremos un triangulo equilatero para nuestro ejemplo, donde a los verticesles asignaremos los numeros 1,2,3 y las simetras del triangulo seran los elementosde nuestro grupo, es decir

Reflexiones

1 2

3

T1

1 2

3

T2

1 2

3

T3

Rotaciones

1 2

3

Id

rotar en 180o

1 2

3

R

rotar en 60o

1 2

3

R2

rotar en 120o

Nota: las rotaciones son en sentido opuesto a las agujas del reloj.

De estos Movimientos obtenemos las siguientes funciones:

T1 : T2 : T3 :1 1 1 3 1 22 3 2 2 2 13 2 3 1 3 3


R : R2 : Id :1 2 1 3 1 12 3 2 1 2 23 1 3 2 3 3

D3 := {T1, T2, T3, R,R2, Id}

(D3, ) es el grupo de los movimientos rgidos del triangulo equilatero, donde esfacil darse cuenta que el elemento neutro es la Id = R3.

Proposicion 1.2 Sea {(Gi, i) | 1 i n} un familia de grupos, entonces,el conjunto G1G2 ...Gn es un grupo dotado de la operacion N definida comosigue;

(g1, g2, ..., gn)N(h1, h2, ..., hn) := (g1 1 h1, g2 2 h2, ..., gn n hn)

Demostracion. Vemos que N es un operacion binaria (o sea, una funcion biendefinida), ya que las i lo son para cada 1 i n, luego, G1G2 ...Gnes un grupoide. Ahora veamos que N es asociativa.

Sean (g1, g2, ..., gn), (h1, h2, ..., hn), (k1, k2, ..., kn) G1 G2 ... Gn, entoncestenemos lo siguiente;

(g1, g2, ..., gn)N[(h1, h2, ..., hn)N(k1, k2, ..., kn)] = (g1, g2, ..., gn)N(h11k1, h22k2, ..., hnnkn) == (g11 [h11k1], g22 [h22k2], ..., gnn [hnnkn]) = ([g11h1]1k1, [g22h2]2k2, ..., [gnnhn]nnkn) = (g11h1, g22h2, ..., gnnhn)N(k1, k2, ..., kn) = [(g1, g2, ..., gn)N(h1, h2, ..., hn)]N(k1, k2, ...., kn) .

es decir, N es asociativa, lo cual implica que G1 G2 ...Gn es un semigrupo.

Claramente, vemos que el neutro de G1 G2 ...Gn es (e1, e2, ..., en) dondelos ei son los neutros de cada Gi, ademas, para cada (g1, g2, ..., gn) G1 G2 ... Gn se tiene que su elemento inverso es (g11 , g12 , ..., g1n ) , donde losg1i son los inversos de los gi para cada 1 i n. Por lo anterior, concluimosque (G1 G2 ...Gn , N) es un grupo.

1.2. Subgrupos 9

Ejemplos

(Rn = R R ... R nveces

, N) es un grupo.

(x1, x2, ..., xn)N(y1, y2, ..., yn) := (x1+y1, x2+y2, ...+xn+yn) con (xi, yi R) para cada 1 i n.

(Z R , N) es un grupo.

(a, x)N(b, y) := (a+ b, x+ y), con (a, b Z) y (x, y R).

(Z3 GL2(Z3) , N) es un grupo.

(a, A)N(b, B) := (a+ b, A B), con (a, b Z3) y (A, B GL2(Z3)).

(R+ Dn Q Z9 , N) es un grupo.

(x, , q, a)N(y, , p, b) := (x y , , q + p , a + b), con (x, y R+),(, Dn), (q, p Q) y (a, b Z9).

1.2. Subgrupos

Definicion 1.1 Sea K un conjunto no vaco tal que K G, donde (G, ) esun grupo. Diremos que K es un Subgrupo de G si y solo si (K, ) es un grupo,o sea, K cumple con:

Clausura

Propiedad Asociativa

Propiedad del Neutro

Propiedad del Inverso


Notacion: K Subgrupo de G se denota K G.

Ejemplos

(SLn(K), ) (GLn(K), ) K cuerpo (Z,+) < (Q,+) < (R,+) < (C,+) (Q, ) < (R, ) < (C, ) (Z[i],+) < (Q[i],+) < (C,+) Dn Sn con n 3 (Q+, ) < (Q, ) (R+, ) < (R, ) (C+, ) < (C, )

Proposicion 1.3 Sea K G, (G, ) Grupo y K un conjunto no vaco, en-tonces K es un Subgrupo de G si y solo si cumple con lo siguiente:

(I) ( a, b K) (a b K)

(II) ( a K) (a1 K)

Lo anterior equivale a probar lo siguiente:

( a, b K) (a b1 K).

Demostracion.

)

Supongamos que K G, entonces (K, ) es grupo, donde K es no vaco y K G.

Sean a, b K, ahora como (K, ) es grupo, (I) se cumple trivialmente, porque K

1.2. Subgrupos 11

cumple la clausura, entonces a b K.

Sea a K, (K, ) es grupo, luego (II) se cumple trivialmente, ya que K cumplela propiedad del inverso, entonces a1 K.

)

Supongamos que (I) y (II) se cumplen, ahora debemos demostrar que (K, ) esun grupo.

1. La Clausura se cumple por (I), entonces K es Grupoide.

2. K es Semigrupo, ya que la propiedad asociatva la hereda de G(notemosque todos los elementos de K son elementos de G).

3. Demostremos que K es un Monoide.

Si a K a1 K (se cumple por (II)).

Luego tenemos que a a1 K (se cumple por (I))

Entonces concluimos que

a a1 = a1 a = e K (ya que a1 es el inverso de a)Luego e es el neutro del K, y si notamos es el mismo neutro de G(estosiempre se debe cumplir).

K es Monoide.

4. Podemos concluir que K es grupo, ya que por (II) se cumple trivialmentela demostracion.

Entonces como (K, ) es grupo y ademas k G, luego podemos decir queK G.

Definicion 1.2 Notemos que siG es un grupo, entonces, tiene como subgruposa { e } y G(subgrupos triviales), ahora, cualquier subgrupo H de G distinto a losnombrados anteriormente, se llama subgrupo propio de G.


1.3. Ejercicios Resueltos

Sea H el conjunto conformado por los enteros pares. Demostrar que H Z.

Solucion

Demostraremos que H es subgrupo de Z, utilizando la proposicion 1.3.

1. Definimos H .

H := {a Z| a = 2k, k Z}

2. Por demostrar que H 6= .Aca basta considerar el entero 2, ya que 2 Z y ademas se escribe como2 = 2 1, y sabemos que 1 Z, entonces 2 H , por lo tanto H 6=

3. Por demostrar que H Z.

Si notamos, la definicion del conjunto H , vemos claramente que sus elemen-tos estan en Z. Luego podemos decir que; H Z por definicion.

4. Sean a, b H , por demostrar que a b1 H .

Nota: Z es grupo con la suma, ahora mas bien, debemos demostrar que:

Si a, b H a b H .

Como a H a = 2 k, con k Z

b H b = 2 k , con k Z

tenemos que;

a b = 2k 2k k , k Z, el cual es un grupo abeliano= k + k k k podemos asociar y conmutar= (k k ) + (k k )= 2(k k )

1.3. Ejercicios Resueltos 13

Ahora, k, k Z, donde Z es grupo, lo cual implica que k k Z

Luego, 2(k k ) H a b H .

Entonces, por (2), (3), (4) podemos decir que H Z.

Corolario 1.1 Si G es un grupo y {Hi | i I} es una familia no vaca desubgrupos de G, entonces

iI Hi es un subgrupo de G.

Demostracion. Utilizaremos la proposicion 1.3.

1. Como Hi G , i I , tenemos que Hi G ( i I), entoncesi I Hi Hi G.

2. Como Hi G, se tiene que e Hi (elemento neutro) ( i I), entonces,e i I Hi lo cual implica que i I Hi 6= .

3. Sean a, b i I Hi , luego a, b Hi ( i I), pero Hi es subgrupode G, luego se cumple que a b1 Hi ( i I).

a b1 i I Hi.

i I

Hi G .

Observacion 3 Si K, H son subgrupos de G. En general K H no esun subgrupo de G.

Ejemplo

Consideremos el grupo aditivo Z12.

2 = {0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 } Z123 = {0 , 3 , 6 , 9} Z12


2 3 = {0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 3 , 9}

Si notamos la clausura no se cumple en este conjunto, ya que;

2 + 3 = 5 6 2 3

2 3 no es subgrupo de Z12.

1.4. Verdadero o Falso?

a) Un conjunto no vacio dotado con una operacion asociativa, se llamaMonoide.

b) Un grupo constituido solo por 5 elementos, siempre es abeliano.

c) El grupo D3 es abeliano.

d) El conjunto R+ es un grupo con la operacion suma.

e) Un subgrupo del grupo (G, ) es un subconjunto H de G, el cual,(H, ) es un grupo.

f) Z es un subgrupo de Q.

g) Sea G un grupo, entonces, el conjunto G1 = {g1 | g G} es ungrupo, y ademas G = G1.

h) Zn es un grupo multiplicativo para cualquier n Z+.i) Sea H un subgrupo del grupo G. Si K H , entonces, K G.j) Si G es un grupo, entonces, GG ...G

nveces

es un grupo.

k) Si G es un grupo, entonces al menos, tiene a dos subgrupos propios.

1.5. Ejercicios Propuestos

(1) Sea U = {u C | (m N) (um = 1)}. Demuestre que U C.

1.5. Ejercicios Propuestos 15

(2) Sea S ={(

a bc d

) GL2(R)

ad bc = 1}. Demuestre que S

GL2(R).

(3) Sea Mk = { k a | a Z, k Z donde k es fijo}. Demuestre queMk Z

(4) Demuestre que el conjunto Q[3 ] := {a + b3 | a, b Q} es un grupo

aditivo.

(5) Haga la tabla de operacion del grupo D4.

(6) Haga la tabla de operacion del grupo Z4 D4.

(7) Determine la estructura de (Z,), donde es la operacion resta.

(8) Determine la estructura de los siguientes conjuntos:

a) W = {A GL2(R) | det(A) {1, 1}} (W, )b) Q = {A GL2(R) | det(A) 2Z} (Q, )

(9) Demuestre que el conjunto K := {(x, y, z) R3 | x+ z = y} es un grupoaditivo.

(10) Demuestre que RR+ R es un grupo, con la operacion natural.

(11) Sea G un grupo, S un conjunto no vaco y F (S,G) el conjunto de las fun-ciones f : S G donde se define la adicion de la siguiente manera;

(f + g) : S Gs f(s) + g(s)

Demuestre que F (S,G) es un grupo, el cual es abeliano si G lo es.

Nota: + es solo un representante de una operacion cualquiera, la cual uti-lizamos para denotar que es una operacion conmutativa.


(12) Sea G := {(x, y) R2 | x 6= 0, x + y 6= 0}. En G se define la siguienteoperacion:

(x1, x2) (y1, y2) := (x1x2, (x1 + x2)(y1 + y2) x1x2).

a) Demuestre de que (G, ) es un grupo.

b) Demuestre que el subconjunto H := {(1, y) G | y > 1} es unsubgrupo de (G, ).

(13) Sea G un grupo tal que a2 = e ( a G) donde e es el neutro de G.Demostrar que G es un grupo Abeliano.

(14) Sea G un Semigrupo. Demuestre que G es un grupo si y solo si las siguientescondiciones se cumplen:

a) Existe un elemento e tal que ea = a a G (neutro izquierdo).

b) Para cada a G, existe un elemento a1 G tal que a1 a = e(inverso izquierdo)

(15) Demuestre que Q+ con la operacion definida como:

a b = ab2

a, b Q+

es un grupo.

(16) Supongamos que en un grupo G se cumple lo siguiente:

(ab)n = anbn a, b G

Demuestre que Gn := {xn | x G} y Gn := {x | xn = e ; x G} (con eneutro de G) son subgrupos de G.

(17) Sean los grupos R y GL2(R). Demostrar que R GL2(R) es un grupocon la operacion definida como sigue; (x,A) (y, B) = (x y, A B).


(18) Sea V un F -espacio vectorial y sea : V V una transformacion lineal.Demuestre que el conjunto H = {v V |(v) = 0} es un grupo aditivo.

(19) Demuestre que SL2(R) Z[i] GL2(R)C.

(20) Haga la tabla de operacion del grupo GL2(Z2) Z2.

(21) Sea G el grupo de las simetras del polgono regular de 24 lados, donde Ties la reflexion que no mueve al vertice i, Li es la reflexion que no muevela arista {i, i + 1}, y R es la rotacion en 15 grados en el sentido de la enu-meracion.

Resolver explcitamente las siguientes ecuaciones:

a) T7 = T10X1

b) T8 = R3X2L4

c) L3 = T4X3(R5)1T19

(22) Determine todos los subgrupos de cada grupo G.

a) G = Z12

b) G = Z6

c) G = Z3 Z4

(23) Sean los conjuntos de matrices

A := {A M2(R) |At = A}.

S := {B M2(R) |Bt = B}.

Demostrar que A y S son subgrupos de M2(R)

Captulo 2

Grupos Generados y GruposCclicos

2.1. Grupos Generados

Definicion 2.1 Sea G un grupo y R un subconjunto de G. Sea {Hi | i I} lafamilia de todos los subgrupos de G que contienen a R. Entonces

i I Hi es

llamado el Subgrupo de G generado por el conjunto R y se denota porR.

Observacion: El generado por un conjunto, es en otras palabras EL SUBGRUPO

MAS PEQUENO QUE CON CONTIENE A DICHO CONJUNTO.

Ejemplos

1) Consideremos el grupo (Z8,+) y el conjunto generado por { 2 }, el cual sedefine como:

2 =: { 2n |n Z}= { 0 , 2 , 4 , 8 }

Veamos si es subgrupo de (Z8,+).

Claramente, 2 6= y 2 Z8, luego nos queda determinar si cumple laclausura, la propiedad del neutro y la propiedad del inverso, lo cual lo vemos enla siguiente tabla de operacion.

20 2. Grupos Generados y Grupos Cclicos

Tenemos que:

2 0 2 4 60 0 2 4 62 2 4 6 04 4 6 0 26 6 0 2 4

Notese que los inversos aditivos de cada elemento son:

21

= 6 ; 61

= 2 ; 41

= 4 ; 01

= 0

2 Z8

2) Consideremos el grupo (Biy(R) , ), y sea f Biy(R) donde f(x) = x+ 1con x R. Verificar que f es una funcion biyectiva no es de mayor dificultad.

Luego tenemos que;

f = {fn |n Z }

f 0(x) = x (f 0 = Id)f 1(x) = x+ 1f 2(x) = f(f(x)) = f(x+ 1) = x+ 1 + 1 = x+ 2f 3(x) = f(f 2(x)) = f(x+ 2) = x+ 3...

fn(x) = x+ n

f = {g Biy(R) | (n Z) (x R) (g(x) = x+ n)}

Teorema 2.1 Si G es un Grupo y S es un subconjunto no vaco de G, entoncesel subgrupo S generado por S, esta formado por todo el producto finitos1 s2 s3 sn ( si S s1i S).

2.1. Grupos Generados 21

En particular, para cada a G, a = {an / n Z} 2

NOTA: Me refiero a producto, pero en realidad la operacion de G es la que esta enjuego.

Demostracion. Consideraremos el siguiente conjunto del producto finito.

H = {s1 s2 s3 sn G | si S s1i S}= {g G | ( i {1, 2, . . . , n}) (g = s1 s2 s3 sn ; donde si S s1i

S)}Ahora demostraremos que H es un subgrupo de G utilizando la proposicion 1.3.

1. H 6=

Como S es un conjunto no vacio H es no vaco, ya que al menos sj S el cual por definicion, este tambien esta en H .

2. H G

Se cumple trivialmente por la definicion de H

3. Sean a, b H , por demostrar que a b1 H

a = s1 s2 s3 sn ; b = r1 r2 r3 rm (si S s1i S)(ri S r1i S)

a b1 = (s1 s2 s3 sn)(r1 r2 r3 rm)1= s1 s2 s3 sn r1m r1m1 r1m2 r11= t1 t2 tn+m

luego, a b1 H , donde

ti =

{si si i n

r1n+m+1i si i > n

2an es solo una notacion de potencia, o sea que depende de la operacion con la cual esta defini-da el Grupo.


H G

Tenemos S H GS S = ST G T H

S H ......................()

Sea g H

g = s1 s2 s3 sn donde si S S i {1, 2, . . . , n}

Ahora, como S es un grupo

g = s1 s2 s3 sn S (Por Clausura)

H S....................()

H = S por () y ()

2.2. Grupos Cclicos

Definicion 2.2 Se dice que G es un Grupo Cclico si y solo si g = G,donde g G.

Ejemplos

Z es un grupo cclico infinito, el cual es generado por 1 o por -1

1 = {1 n |n Z } = Z1 = {1 n |n Z } = Z

2.2. Grupos Cclicos 23

Zn es un grupo cclico, el cual es generado por todo m Zn tal queMCD(n,m) = 1

Si p es un numero primo, entonces Zp esta generado por cada a ZpZn Zm es un grupo cclico si MCD(m,n)=1. Por ejemplo; sabemos queMCD(2,3)= 1, luego Z2 Z3 es cclico generado por (1, 2).

Si consideramos R = { D5 / es una rotacion}. Este es el grupo de lasrotaciones del pentagono, el cual es cclico, ya que esta generado por R, lacual es una rotacion en 72 grados con sentido anti-horario.

Q no es un grupo cclico, ya que no existe q Q tal que q = Q

R no es un grupo cclico.

Sn no es un grupo cclico, para n 3.

Teorema 2.2 Todo Subgrupo H del Grupo (Z,+), es cclico, entonces H =0 o H = m, donde m es el entero positivo mas pequeno que pertenece aH. Si H 6= 0, entonces H es infinito.

Demostracion. Tenemos que H = 0 o H contiene un elemento mnimo,donde podemos considerar como Mn(H) = n el entero positivo mas pequenoque pertenece a H .

Ahora, claramente tenemos que;

n = {n q | q Z} H .............()

Sea h H n, donde por algoritmo de la division tenemos lo siguiente.

h = n q + r ( 0 r < n )

h n q H

= r n q n H

r H


Si notamos, por algoritmo de la division, tenemos que ( 0 r < n ) , pero nes el menor entero positivo de H , luego

r = 0 h = n q

h n H n................()

luego, por () y () tenemos que H = n

H es un grupo Cclico

Propiedad 2.1 Sea (G, ) un grupo, g G.

1. (m Z)(n Z)( gm gn = gm+n).2. (m Z)(n Z)( (gm)n = gmn)

3 ComentarioLa demostracion de esta propiedad la dejaremos de ejercicio para el lector, lo im-portante es que haremos uso de ella para la siguiente proposicion.

Proposicion 2.1 Todo grupo Cclico es un grupo Abeliano.

Demostracion. Sea G un grupo cclico, luego G = g ; g G.

Dados a, b G; por demostrar que a b = b a.

Como G es cclico generado por g, podemos escribir a = gi ; b = gj dondei, j Z

Entonces tenemos que;

a b = gi gj = gi+j propiedad 2

= gj+i = gj gi = b a

2.2. Grupos Cclicos 25

G es Abeliano.

4 ComentarioAlgo que debemos resaltar sobre esta proposicion, es la importancia de los gruposcclicos en los grupos abelianos, ahora debemos tener en cuenta que el recprocode esta proposicion no es valido, ya que podemos ejemplificarnos en el caso delos numeros racionales Q.

Teorema 2.3 Todo subgrupo de grupo Cclico es Cclico.

La demostracion es similar a la del Teorema 2.2, notemos que Z es un grupocclico. Incluso es bastante notorio que el teorema anterior es un caso particularde este teorema.

Demostracion. Sea A un grupo cclico generado por a y sea B A, veamosque si B = {e} entonces B = e, por lo tanto es cclico. Supongamos queB 6= {e}, entonces existe e 6= am A tal que am B para algun m Z+.Ahora, consideremos m como el menor entero positivo tal que am B. Solo nosquedara demostrar que B = am, pero sabemos que am B, luego bastarademostrar que B am, o sea, que cada elemento de B es una potencia de am.

Sea b B A, como A es cclico entonces b = an para algun n Z. Ahora,como es costumbre, utilicemos el algoritmo de la division para m y n.

n = mq + r 0 r < man = amq+r

an(am)q = ar

Ahora como an B, am B y B es grupo entonces an B, (am)q B an(am)q B, por lo cual ar B.

luego, como m es el menor entero positivo tal que am B y ademas 0 r < m,entonces r = 0. Por lo tanto, n = mq

b = an = (am)q

De modo que b es una potencia de am B < am >

B = am es decir, B es cclico


Definicion 2.3 (Orden) Sea G un Grupo finito, se dice que el Orden deG es n si y solo si la cantidad de elementos de G es n.

Notacion Si G = n entonces se denota |G| = n

Observacion 4 Sea a G, se entiende por |a| como el cardinal del subgrupogenerado por a.

a := {an |n Z} en notacion multiplicativa

Ademas, se dice que |a| es infinito si y solo si |a| es infinito

Ejemplos

1. |D3| = 6 ; |D4| = 8 en general |Dn| = 2n n 3

2. |Z6| = 6 ; |Z10| = 10; en general |Zn| = n n 2

3. |GL2(Zp)| = ( p2 1 )( p2 p ) con p primo.

4. |Biy{1, 2, 3, ...., n}| = n!

Proposicion 2.2 Sea G un Grupo, g G. Si el orden de G es infinito,entonces;

1. gn = e n = 0

2. los elementos gn (con n Z), son todos distintos.

Si |g| = m (finito) m > 0.

3. m es el menor entero positivo que cumple con gm = e

4. Si gk = e k Z, entonces m \ k

5. g = {g, g2, g3, ......., gm1, gm = e} donde gi con (1 i m) sontodos distintos.


5 ComentarioLa demostracion se exhibira en el captulo 5, ya que destacaremos un importanteteorema sobre grupos cclicos, el cual requiere conocimientos deHomomorfismos,y veremos que estas propiedades son solo consecuencias de aquel teorema.


1. Sea (G, ) un grupo y a G tal que |a| = n. Demostrar que si ak = econ k 6= 0, entonces n divide a k

Solucion

Utilizando el algoritmo de la division sabemos que existen q, r Z talesque;

k = nq + r 0 r < nak = anq+r

e = anq are = (an)q ar n es el menor entero positivo que cumple an = ee = (e)q are = e are = ar

Ahora, como n es el menor entero que cumple con an = e, nos queda quer = 0 k = nq , es decir n \ k.

Proposicion 2.3 Si G = g es finito de orden n, entonces existe un unicosubgrupo de orden m, donde 0 m n.

Demostracion. Sabemos que todo subgrupo de un grupo cclico, es cclico. Aho-ra basta ver que todo elemento en G es de la forma gk con k Z, ademas losgi G con 1 i n son todos distintos, donde i da referencia a los ordenes delos subgrupos de G. Por esto podemos decir que si 1 q n y 1 r ncon q 6= r, entonces |gq| 6= |gr|, con lo que concluye la demostracion. Mas quenada, esta no es una demostracion formal, se puede decir que es una reflexion, loideal es que el lector formule la demostracion, utilizando esta reflexion.



a) Si tenemos que an = e entonces podemos decir que |a| = nb) Todo grupo abeliano es cclico.

c) Todo grupo cclico es abeliano.

d) Si el orden de un subgrupo H de G es finito, entonces el orden deG es finito.

e) Si a es un grupo finito y j 6= i, entonces afirmamos que aj 6= ai.f) C y R son grupos cclicos.

g) Todo grupo de orden 4 es cclico.h) Un grupo de orden primo es abeliano.

i) Si todo subgrupo H de un grupo G es cclico, entonces G es cclico.

j) Si |a| = n y |b| = m entonces |(a, b)| = nm.k) Sea G un grupo y sea S G un conjunto no vaco. Entonces S

siempre es un subgrupo de G, y ademas es el menor subgrupo quecontiene a S.

m) Sea G un grupo y sea S G un conjunto no vaco. Entonces Ses el mayor subgrupo de G que contiene a S.


(1) Sea (G, ) un grupo y sean a, b G. Demuestre que:

a) |a| = |a1|

b) |a b| = |b a|

c) |a| = |c a c1| ( c G)

(2) Sea G un grupo finito tal que |G| = n. Si a G y |a| = m. pruebe quem \ n


(3) Sea G un grupo, H un subgrupo de G y x G. Sea m un numero natu-ral que es primo relativo con |x| . Demostrar que si xm H , entonces x H

(4) Sean G1, G2 dos grupos cclicos de orden m y n respectivamente y seaG = G1 G2. Demuestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

a) G es un grupo cclico.

b) MCD(m,n) = 1.

(sugerencia: para (a) (b) utilice la proposicion 2.3).

(5) Demostrar que

nZ+mZ = M.C.D(n,m)Z

(6) Determinar lo mas explcitamente posible los siguientes grupos:

a) g en las Biy(R) donde g(x) = 1x

b) f, g en F (R,R) donde f(x) = x 1 g(x) = 2x

c) f en F (R,R) donde f(x) = 1 x

(7) Para n = 1, 2, . . . , 8, determinar cuales de los grupos U(Zn) son cclicos.

(8) Sea =

{(a b0 1

) a Z5 , b Z5}. Determinar el orden de los si-

guientes elementos(1 30 1

);

(3 20 1

)

(9) Sea f : Z11 Z11 tal que f(x) = 3x (x Z11). Determinarel orden de f si;


a) f Biy(Z11)

b) f F (Z11,Z11)

c) f F (Z11,Z11)

(10) Sea G un grupo cclico finito generado por g, y sea : G G unatransformacion lineal inyectiva. Demuestre que el conjunto

I = {(h) G | h G}

es un grupo cclico.

(11) Sea G un grupo y seaH un subgrupo de G. Si x G se definen los conjuntos

xH := {xh | h H}Hx := {hx | h H}

x1Hx := {x1hx | h H}

Demuestre que las siguientes proposiciones son equivalentes:

(i) (h H) (x1hx H)(ii) xH = Hx

(iii) x1Hx H(iv) x1Hx = H

Captulo 3

Subgrupos Notables

El Normalizador, Centralizador, Conmutador y otros conjuntos que mostraremosa continuacion son Subgrupos importantes al momento de estudiar la Teora deGrupos, ya que sus definiciones son muy naturales y de facil comprension para laformulacion de problemas algebraicos en el area de Grupos. Mas adelante en elcaptulo 6 veremos de donde nacen estos subgrupos.

Consideremos (G, ) un Grupo, S G un conjunto no vaco, para las si-guientes definiciones.

3.1. Normalizador

g S = {g s G | s S}

= {t G | ( s S) (t = g s)}

S g = {s g G | s S}

= {t G | ( s S) (t = s g)}

NG (S) =: {g G | g S = S g igualdad de conjuntos

} G

Observacion 5 Decir que g S = S g no significa que g conmuta concada elemento de S, si no, que si tomamos un elemento de g S por ejemplo g a

32 3. Subgrupos Notables

con a S este tambien se puede escribir de la forma b g con b S yas recprocamente.

Ejemplo

Consideremos el grupo D4 el cual consiste en los movimientos rgidos del cuadra-do, los cuales describiremos a continuacion:

1 2

34

K1

1 2

34

K2

1 2

34

T1, 31 2

34

T2, 4

1 2

34

R

rotar en 90o

1 2

34

R2

rotar en 180o

1 2

34

R3

rotar en 270o

1 2

34

Id

rotar en 360o

De estos Movimientos obtenemos las siguientes funciones biyectivas:

K1 : K2 : T1,3 :1 4 1 2 1 12 3 2 1 2 43 2 3 4 3 34 1 4 3 4 2

T2,4 : R : R2 :

1 3 1 2 1 32 2 2 3 2 43 1 3 4 3 14 4 4 1 4 2

3.1. Normalizador 33

R3 : Id :1 4 1 12 1 2 23 2 3 34 3 4 4

Luego, formamos el conjunto D4 de la siguiente manera:

D4 := {K1 , K2 , T1,3 , T1,4 , R , R2 , R3 , Id } el cual es un grupo con la com-puesta de funciones(ya que son funciones biyectivas)

Considerando el siguiente conjunto S := {T1,3 , R}, determinemos el NG(S)

ND4(S) := { D4 | S = S }

Para determinar el Normalizador, debemos encontrar los elementos que pertenecena este, o sea, las funciones biyectivas en D4 (por ejemplo ) que que hacen que S = S (igualdad de conjuntos). Como D4 es un grupo finito, entoncesdebemos empezar a probar elemento por elemento.

K1 )

K1 S = K1 {T1,3 , R} = {K1 T1,3 , K1 R} = {R3 , T2,4}

Ahora por otro lado;

S K1 = {T1,3 , R} K1 = {T1,3 K1 , R K1} = {R , T1,3}

Vemos claramente que

{R3 , T2,4} 6= {R , T1,3}por lo cual K1 6 ND4(S)

As sucesivamente debemos probar con los demas elementos de D4. Un elementoque claramente esta en el Normalizador es Id ya que fija a todo elemento de D4.Tambien debemos tener en cuenta que el Normalizador es un subgrupo de G, porlo cual, debe estar el elemento neutro que en este caso es la identidad. Otra cosaque debemos tener en cuenta es que el cardinal de todo subgrupo debe dividir alcardinal del grupo (se vera mas adelante su demostracion), entonces el Norma-lizador en este caso no puede tener cardinal 3,5,6 o 7. As, estos datos nos sirvenpara estar mas seguros al momento en que nos pidan determinar estos tipos de


subgrupos.

3.2. Centralizador

CG(S) =: {g G | (s S) ( g s = s g)} G

O sea, son los elementos de G que conmutan con todos los elementos de S.

3.3. Centro

El Centro de G, denotado por Z(G), es un caso particular del centralizadorcuando S = G.

Z(G) =: {h G | ( g G) (h g = g h)} G

Ejemplo

Un ejemplo tal vez trivial sera determinar el centro del grupo aditivo R. Ve-mos que

Z(R) = {x R | ( y G) (x+ y = y + x)}

Ahora, por el hecho de que R es un grupo conmutativo entonces Z(R) = R yaque todo elemento conmuta con todo R. Generalizando, tenemos que si G es ungrupo Conmutativo, entonces Z(G) = G

3.4. Conmutador

[G,G] =: {g h g1 h1 G | g, h G} G

3.5. Conjugado 35

Notacion: [g, h] = g h g1 h1.

[G,G] =: {[g, h] G | g, h G} G

En algunos textos, el Conmutador suelen llamarloAbelianizado o grupo Deriva-do y ademas lo denotan por G, pero nosotros lo denotaremos siempre por [G,G].

3.5. Conjugado

Sg := {g s g1 / s S}

Afirmamos que Sg es subgrupo de G si S es subgrupo de G, es decir, para cadaH G Hg G, donde Hg := {g h g1 | h H}. Veamos acontinuacion lo afirmado.

1. Hg 6= , ya que e = g e g1 Hg, donde sabemos que e H por sersubgrupo de G.

2. Claramente, Hg G, ya que H G.

3. Dados x, z Hg, por demostrar que x z1 Hg.

Como x, y Hg los podemos escribir de la forma x = g h1 g1 yz = g h2 g1, para algunos h1, h2 H . Entonces tenemos lo siguiente:

x z1 = (g h1 g1) (g h2 g1)1= g h1 (g1 g) h12 g1= g (h1 h12 ) g1 h1 h12 H (por ser grupo)

es decir, x z1 Hg.

Hg es subgrupo de G.


Proposicion 3.1 Sean G y G dos grupos y S G no vaco. Entonces1. G es un grupo abeliano si y solo si [G,G] = {e}2. G es un grupo abeliano si y solo si Z(G) = G

3. CG(S) NG(S)4. CG(S

g) = (CG(S))g

5. NG(Sg) = (NG(S))

g

6. Sg = Sg

7. |[Sn, Sn]| = |Sn|/2 donde |Sn| = n!8. Z(GG) = Z(G) Z(G)

Demostraremos las propiedades (4) y (5), el resto se dejan de ejercicio para ellector a excepcion de la (7), ya que requiere de otros conocimientos.

Demostracion. Las demostraciones de estas propiedades no son complicadas,pero requiere mucho de un buen control sobre las definiciones de Normalizador,Centralizador y Conjugado. Un consejo que les puedo dar, es ejercitar con de-mostraciones de igualdad de conjuntos antes de revisar estas.

Demostracion (4)

Sabemos que CG(Sg) = (CG(S))

g si y solo si (CG(S))g CG(Sg) CG(Sg)

(CG(S))g. Empecemos la demostracion.

1. Por demostrar que (CG(S))g CG(Sg). Sea x (CG(S))g, luego x =

ghg1 con h CG(S). Sabemos que x CG(Sg) si y solo si xm =mx (m Sg). Ahora veamos que;xm = x(gkg1) con k S

= (ghg1)(gkg1) cancelando y asociando tenemos que= g(hk)g1 h CG(S), entonces conmuta con k= g(kh)g1 aplicando el truco de la identidad tenemos= (gkg1)(ghg1)= mx

Por lo cual x CG(Sg), luego (CG(S))g CG(Sg)

3.5. Conjugado 37

2. Por demostrar que CG(Sg) (CG(S))g. Sea y CG(Sg), entonces tene-

mos que y(gsg1) = (gsg1)y ( s S). Sabemos que y (CG(S))gsi y solo si y = gng1 con n CG(S). Ahora veamos que y =g(g1yg)g1, entonces solo basta demostrar que (g1yg) CG(S).Tenemos lo siguiente:

(g1yg)s1 = (g1yg)s1(g

1g) aplicamos una identidad

= g1[y(gs1g1)]g asociamos

= g1[(gs1g1)y]g sabemos que y CG(Sg)

= s1(g1yg)

es decir, (g1yg) CG(S), entonces y (CG(S))g.

CG(Sg) (CG(S))g

Por 1. y 2. queda demostrado que (CG(S))g = CG(S

g)

Demostracion (5)

Sabemos que NG(Sg) = (NG(S))

g NG(Sg) (NG(S))g (NG(S))g NG(S

g).

1. Demostremos que NG(Sg) (NG(S))g. Sea x NG(Sg), por demostrar

que x (NG(S))g, donde x (NG(S))g si y solo si x = gyg1 cony NG(S). Veamos que x lo podemos escribir de la siguiente manerax = g(g1xg)g1, ahora lo que nos resta demostrar es que (g1xg) NG(S), donde esto ocurre si y solo si (g

1xg)S = S(g1xg). Entonces,sea m (g1xg)S, luego m = (g1xg)s1 con s1 S.

Tenemos que;

m = (g1xg)s1 ocupemos el truco de la identidad m = (g1xg)s1(g1g) asociando de manera adecuada nos queda m = (g1[x(gs1g1)]g utilizando la hipotesis que x NG(Sg) m = (g1[(gs2g1)x]g con s2 S m = s2(g1xg)


Por lo cual, tenemos que (g1xg)S S(g1xg), y vemos claramente que elrecproco resulta de los pasos de equivalencia, luego tenemos que (g1xg)S =S(g1xg). Por lo tanto queda demostrado que NG(S

g) (NG(S))g

2. Ahora, demostremos que (NG(S))g NG(Sg). Sea z (NG(S))g, por

demostrar que z NG(Sg), donde z NG(Sg) zSg = Sgz. Ve-mos que la demostracion es un poco engorrosa, de hecho, ahora debemostomar un k zSg y demostrar que k tambien esta en Sgz. Entonces, seak = z(gs3g

1), donde tenemos que;

k = z(gs3g1) donde z = gng1 con n NG(S)

k = gng1(gs3g1) cancelando y asociando adecuadamente k = g(ns3)g1) n NG(S) luego ns3 = s4n con s4 S k = g(s4n)g1 aplicando el truco de la identidad k = gs4g1(gng1) k = (gs4g1)z

es decir, k zSg, luego se cumple que (NG(S))g NG(Sg).

En conclusion, queda demostrado que NG(Sg) = (NG(S))

g.


Determinar el Centro del Grupo Lineal GL2(K), con K cuerpo.

Solucion

GL2(K) =: {A M2(K) |A es invertible}

Z(GL2(K)) =: {A GL2(K) | (B GL2(K)) (A B = B A)}

Sea A =

(a bc d

) Z(GL2(K))

(a bc d

)(

1 00 0

)=

(1 00 0

)(

a bc d

)

(a 0c 0

)=

(a b0 0

) b = 0 c = 0

3.7. Verdadero o Falso? 39

Ahora

(a 00 d

)(

0 10 0

)=

(0 10 0

)(

a 00 d

)

(0 a0 0

)=

(0 d0 0

)

a = d

Z(GL2(K)) =

{(a 00 a

) M2(K)

a K}


a) Si S es un subconjunto del grupo G entonces Sg es un subgrupo deG.

b) Si G es un grupo abeliano, entonces el normalizador, el centro, yel centralizador son precisamente G.

c) Si tenemos que gS = Sg, entonces, claramente podemos decir quegs = sg (s S)

d) Siempre ocurre que CG(S) NG(S), donde G es un grupo y S unsubconjunto de G.

e) El centralizador de cualquier subgrupo de Zn es siempre el mismosubgrupo.

f) El conmutador esta constituido solo por los elementos de la formaghgh1

g) Si G es abeliano entonces [G,G] = G

h) Si G es un grupo no abeliano, entonces inmediatamente podemosdecir que el conmutador es no abeliano.

i) El conmutador es un grupo conmutativo.



(1) Sea G = GL2(R) y sea S =

{(a 01 b

) a, b R}.

Determinar CG(S) y NG(S)

(2) Sea G = GL2(Z2). Determinar [G,G]


{(a 00 b

) a, b R}. Determinar

a) CG(S)

b) NG(S)

(4) Sea G = GL2(Z2). Determinar [G,G]

(5) Sea G un grupo y sea H un subgrupo de G. Demostrar que [H,H ] [G,G]

(6) Sea G un grupo y sea H un subgrupo de G. demostrar que Z(H) =CG(H) H .

(7) Demostrar que CG(S) NG(S)

(8) Sea G = Biy(Z), y sean f(x) = x+ 1 ; g(x) = x . Determinar

a) CG({f})

b) NG({f, g})

(9) Determinar [D4, D4] (D4 es el grupo de de los movimientos rgidos delcuadrado)



{(1 01 3

);

(0 12 0

)}. Determinar

a) CG(S)

b) NG(S)

(11) Demostrar que si G es un grupo cclico, entonces NG(S) = G

(12) Demuestre que CG(Z(G)) = G

(13) Demuestre que si A y B son subconjuntos de G tales que A B, entoncesCG(A) CG(B)

(14) Sea H G tal que |H| = 2. Muestre que NG(H) = CG(H)

Captulo 4

Clases Laterales y SubgruposNormales

4.1. Clases Laterales

Una de las dificultades para el estudiante es la comprension y apropiacion delos conceptos relacion de equivalencia y particion de un conjunto. En estecaptulo llevaremos a lo practico estos conceptos, los cuales son fundamentalespara la comprension de Clases laterales y construccion de Conjuntos Cuocientes.

Introduccion

Sea (G, ) un Grupo, K un Subgrupo de G y sean a, b G. Se define la siguienterelacion en G, dada por;

a k b a b1 K.

A continuacion, demostraremos que k es una relacion de equivalencia con elfn de realizar una particion en el grupo G.

Recordemos que k es una relacion de equivalencia si y solo si

k es Refleja.k es Simetrica.k es Transitiva.

44 4. Clases Laterales y Subgrupos Normales

Demostracion. Sean a, b, c G.

k es Refleja.

Por demostrar a k a, esto es si, a a1 K.

Esto es verdadero, ya que a a1 = e, donde e es el neutro de G, y comoK G, e K.

k es una relacion Reflejak es Simetrica.

Por demostrar a k b b k a

Tenemos que a b1 K, entonces como K es Grupo (a b1)1 K(propiedad del inverso)

(a b1)1 = (b1)1 a1 = b a1 K b k a

k es una relacion Simetricak es Transitiva.

Por demostrar (a k b b k c) a k c

Vemos que (a b1 K) (b c1 K), y como K es Grupo, tenemosque (a b1) (b c1) K (Clausura)

(a b1) (b c1) = a (b1 b) c1 = a e c1 = a c1 K a k c

k es una relacion Transitiva

Entonces, queda demostrado que k es una relacion de equivalencia.

Ahora definimos el siguiente Conjunto Cuociente.

G/ k =: {clase(a) | a G}

4.1. Clases Laterales 45

Donde

clase(a) = {b G | a k b}= {b G | b k a} Por k relacion Simetrica= {b G | b a1 K}= {b G | b a1 = t, con t K}= {b G | b = t a, con t K}= {t a G | t K}= K a

Entonces tenemos que;

G/ k =: { K a / a G}

Este conjunto cuocientes es llamado El Conjunto Cuocientes de las Claseslaterales Derechas y se denota por K\G.

De manera similar podemos definir k , la cual es una relacion de equivalenciadefinida como;

a k b a1 b K

Analogamente, con la relacion k obtenemos el siguiente Conjunto Cuocientes

G/k =: { a K | a G}

Este conjunto cuocientes es llamado El Conjunto Cuocientes de las Clases late-rales Izquierdas y se denota por G/K

En Resumen

G/K Conjunto Cuocientes de las clases laterales izquierdas


K\G Conjunto Cuocientes de las clases laterales derechas

G =

gR

g K ; G/K = {g K | g R}

G =

gR

K g ; K\G = {K g | g R}

Donde R, R son sistemas de representantes de clases.

Ejemplo Practico

Sea S el conjunto de todos los artculos de una tienda de abarrotes; se definea b, donde a, b S, si el precio de a es igual al precio de b. Evidentemente lasreglas que definen una relacion de equivalencia son validas para esta . Notese queal ponderar esta igualdad generalizada en S, se ignoran todas las otras carac-tersticas que no sea el precio. As que a b si el precio de a es igual al precio de b.

Luego de establecer esta relacion de equivalencia, claramente podemos hacer unaparticion en el conjunto S en la cual , las clases constaran de cada artculo quetenga el mismo precio.

Me explico;

Sea S = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l}

Donde;a = 100 g = 300b = 300 h = 200c = 700 i = 400d = 100 j = 500e = 700 k = 400f = 200 l = 500

obtenemos que;a d

4.1. Clases Laterales 47

b gc ef hi kj l

Se definen las clases tomando un representante cualquiera de la relacion.

clase(a) =: {a, d}clase(g) =: {g, b}clase(c) =: {c, e}clase(f) =: {f, h}clase(k) =: {k, i}clase(l) =: {l, j}

Donde se ve claramente lo siguiente

S = {a, d}{g, b}

{c, e}

{f, h}

{k, i}

{l, j}

Espero que este ejemplo sea de utilidad para la comprension de los conceptosbasicos de este captulo.

Ejemplos

1) G = D3 ; K = {T3, Id}

K\G = { {T3, Id} | D3}

T2 {T3, Id} = {R, T2}

T1 {T3, Id} = {R2, T1}

G = {T3, Id}{R2, T1}

{R, T2}


2) Z/5Z = {a + 5Z | a Z}

Z/5Z = {0 + 5Z , 1 + 5Z , 2 + 5Z , 3 + 5Z , 4 + 5Z , 5 + 5Z , 6 + 5Z , . . .}Z/5Z = {0 + 5Z , 1 + 5Z , 2 + 5Z , 3 + 5Z , 4 + 5Z , 5 + 5Z

absorcion

, 1 + 5 + 5Z absorcion

, . . .}

Z/5Z = {0 + 5Z , 1 + 5Z , 2 + 5Z , 3 + 5Z , 4 + 5Z}

Z = {0 + 5Z}{1 + 5Z}

{2 + 5Z}

{3 + 5Z}

{4 + 5Z}

Notemos que Z5 = Z/5Z, donde = es conocido como ISOMORFISMO elcual denota que los grupos poseen la misma estructura algebraica, o sea, masque nada poseen las mismas propiedades estructurales (cardinalidad, cantidad desubgrupos, dimension, etc. . .). Vulgarmente, puse absorcion, mas que nada, esuna forma de referirse a lo acontecido, pero mas adelante veremos formalmenteen que consta esta propiedad.

4.2. Teorema de Lagrange

4.2.1. Biografa

Nacio el 25 de enero de 1736 y murio el 1ero de abril de 1813 en Paris. Lagrangeera de familia francesa aunque nacio y se crio en Italia. Sus padres tuvieron 11hijos de los cuales solo el menor, Lagrange, llego a sobrevivir. Se crio en una fa-milia adinerada de la cual no obtuvo herencia ya que no quedaba nada digno deser heredado.

Lo primero que intereso a Lagrange en sus estudios escolares fueron las lenguasclasicas gracias a las cuales pudo interesarse por trabajos matematicos como losde Euclides y Arqumedes, pero que no le impresionaron demasiado. Mas tardeun ensayo de Haley sobre analisis matematico cayo en sus manos quedando cau-tivado por este. Desde entonces decidio dedicarse a las matematicas. En muy pocotiempo llego a dominar, sin necesidad de maestros lo que entonces constitua elanalisis moderno.

4.2. Teorema de Lagrange 49

A los 16 anos fue nombrado profesor de matematicas en la Real Escuela de Ar-tillera de Turn.

Lagrange se escriba cartas con Euler, el cual le ayudo a publicar un libro ya queapreciaba la inteligencia de Lagrange.

4.2.2. Teorema

El Teorema de Lagrange es como el Abecedario de los grupos finitos, el cualtiene aplicaciones interesantes en la teora de numeros.

El teorema simplemente dice que el orden de todo subgrupo divide al orden delgrupo.

Definicion 4.1 (Indice) Sea G un Grupo y H un Subgrupo de G. Se defineel ndice de H en G como el numero de clases laterales (izquierdas o derechas),y se denota por [G : H ].

Teorema 4.1 (Lagrange) Si (G, ) es un Grupo finito y H es un Subgrupode G, entonces el orden de H divide al orden de G.

Demostracion. Considerando la relacion de equivalencia a b ab1 H ,sabemos que:

G = H a1H a2

H a3

. . .

H ak

Donde H ai son clases distintas para cada ai R , con R un sistema derepresentante de clases.

Ahora consideraremos : H H aj y demostremos que esta es una fun-cion biyectiva para afirmar que cada H ai tienen el mismo numero de elementosque el orden de H .

: H H ajh (h) = h aj


1) Por demostrar que es una funcion bien definida.

Sean h, h H tales que

h = h aplicamos ajh aj = h aj(h) = (h)

Esto nos dice que a cada elemento del dominio de la funcion, le corresponde sola-mente un elemento del codominio.

es una funcion bien definida.

2) Por demostrar que es una funcion Inyectiva.

(h) = (h)h aj = h aj

h = h trivialmente por cancelacion

es una funcion Inyectiva.

3) Por demostrar que es una funcion Epiyectiva.

es una funcion Epiyectiva Im() = H aj (el conjunto Im es el quecomunmente conocemos como el recorrido)

Luego,

Im() = H aj Im() H aj H aj Im()

(i) Im() H aj es por definicion, ya que

Im() =: {m H aj | (h H) ((h) = m)}

(ii) H aj Im().


Sea z H aj , luego z es de la forma h aj con algun h H . Trivialmentetenemos que (h) = h aj = z.Entonces existe una preimagen h para z, lo cual implica que z Im().

Luego, H aj Im(), entonces H aj = Im().

es una funcion Epiyectiva

Luego, por (1), (2) y (3) podemos decir que es una funcion Biyectiva. Entonces,H y H aj tienen la misma cantidad de elementos.

En conclusion

|G| = k |H| donde k es el numero de clases de equivalencias

Ahora, por la definicion de ndice tenemos que k = [G : H ]

|G| = [G : H ] |H|

|H| \ |G|.

Ejemplos

1) Sea G = D4, donde (D4, ) es el Grupo de los movimientos rgidos del cuadra-do.


1 2

34

S1

1 2

34

S2

1 2

34

T1, 31 2

34

T2, 4

1 2

34

R

rotar en 90o

1 2

34

R2

rotar en 180o

1 2

34

R3

rotar en 270o

1 2

34

Id

rotar en 360o

De estos Movimientos obtenemos las siguientes funciones:

S1 : S2 : T1,3 :1 4 1 2 1 12 3 2 1 2 43 2 3 4 3 34 1 4 3 4 2

T2,4 : R : R2 :

1 3 1 2 1 32 2 2 3 2 43 1 3 4 3 14 4 4 1 4 2

R3 : Id :1 4 1 12 1 2 23 2 3 34 3 4 4

D4 := {S1 , S2 , T1,3 , T1,4 , R , R2 , R3 , Id }


Sea H = {Id , R2} D4

Entonces, [D4 : {Id , R2}] = 4, ya que |D4| = 8 |{Id , R2}| = 2.

NOTA: El Grupo (D4, ) no podra tener subgrupos de orden 3, 5, 6, 7 , yaque no dividen a 8, el cual es el orden de D4. Ahora lo importante que debemosdestacar, es que si encontramos un divisor del orden de G esto no siempre implicaque exista un subgrupo de tal orden.

2) Sea G = D3 ; H = {Id, T1}

Entonces, [D3 : {Id , T1}] = 3, ya que |D3| = 6 |{Id , T1}| = 2.

Corolario 4.1 Sea G es un Grupo finito de orden p, con p primo, entonces Ges un Grupo Cclico.

Demostracion. Sea H G y sea |H| = k , entonces por el teorema deLagrange tenemos que k |G| , luego k p. Ahora, como p es un numeroprimo, tenemos que k = 1 k = p

Entonces, tenemos dos posibilidades para H

H = {e} H = G

Ahora, sea g G , g 6= e

luego;

< g >= H es un subgrupo de G (debemos tener en cuenta la propiedad 2.3),donde H 6= {e}, ya que g 6= e.

< g >= H = G, lo cual demuestra que G es un grupo cclico.


4.3. Subgrupos Normales

Introduccion

Sea (G, ), un Grupo, H G y consideremos el conjunto cuocientes

G/H = {a H /a G}

Cuando a H b H = a b H esta bien definida ?

Sean a H, b H G/H y sean a H, b H G/H tales que:

a H = a H b H = a H

Debemos encontrar las condiciones necesarias para que se cumpla que;

a H b H = a b H = a b H = a H b H

Tenemos que;

a H = a H b H = b H a b H = a b H

a1 a H , b b1 H (a b)1 a b H b1 a1 a b H

Reescribiendo,

a1 a = h H b1 b = k H ; b = b k

Reemplazando,

b1 a1 a b = b1 h b kH

H?

4.3. Subgrupos Normales 55

Luego, se necesita que b h b1 H , b H

a H b H = a b H esta bien definida b H b1 H

Definicion 4.2 Se dice que H es un Subgrupo Normal de (G, ) si y solosi ( b G) (b H b1 H) y se denota como H E G

6 ComentarioLos Subgrupos normales son aquellos subgrupos importantes de un grupo, conla propiedad de que las clases laterales izquierdas son iguales a las derechas. Laoperacion inducida esta bien definida y las clases laterales forman un grupo (grupocuociente). De lo cual obtenemos la siguiente propiedad.

Proposicion 4.1 Sea (G, ) un grupo y H un subgrupo de G, entonces, elconjunto (G/H, ) tiene estructura natural de grupo si y solo si H E G.

Observacion 6 Veamos que si G/H es un grupo cuociente, entonces este,naturalmente debe tener un elemento neutro (o identidad), por lo cual una de lasinquietudes sera conocer dicho elemento. Si notamos como construimos el conjun-to cuociente, nos fijaremos que todo elemento de H esta relacionado, sin ningunaduda, con el elemento neutro de G, tambien notamos que los elementos de G/Hson sencillamente conjuntos del tipo aH los cuales son distintos del conjunto Hsi a 6 H . De cierta forma, la idea de la construccion del grupo cuociente es la deaislar el conjunto H en una clase lateral, de modo que los elementos restantesdel conjunto G, sean los destacables en el nuevo grupo inducido por por la relacionde equivalencia. Me explico con un ejemplo.

Si consideramos K como un conjunto cualquiera de elementos y consideramosJ K el cual esta constituido por los elementos que son conmutativos en K,entonces el conjunto cuociente K/J constara precisamente de las clases kJ , dondek es un elemento no conmutativo en el conjunto K (o sea k 6 J), naturalmentesi pensamos en K/J como grupo, tendremos claramente que este es un grupo noAbeliano, ya que todo elemento de K el cual era conmutativo fue absorbidopor el conjunto J . Luego, quien destacara en el grupo cuociente? la respuesta essencilla, seran todas las clases de la forma kJ donde k K J , y claramente laclase J sera el elemento identidad del grupo K/J . Les dejo a su criterio pensar enesta reflexion.


Definicion 4.3 Se dice que un grupo G es Simple si y solo si sus unicossubgrupos normales son el trivial y si mismo.

Observacion 7 Sea (G, ) un Grupo, K G

1. (g K) (h K) = (g h) K ; g, h G

2. (g K)n = gn K ; g G , n Z (con notacion de potencia)

3. Si k K k K = e K = K (Absorcion)

4. Si G es un grupo abeliano, entonces todos sus subgrupos son Normales.


Cuando nos piden demostrar que un subgrupo es normal en el grupo, primeroque todo, debemos demostrar que este es realmente un subgrupo (si es que no lomencionan) y luego demostrar la normalidad.

En los ejercicios que veremos, solo probaremos la normalidad, ya que es, lo quequeremos destacar.

1) Demostrar que SL2(R) E GL2(R)

Solucion

SL2(R) E GL2(R) (A GL2(R))(A SL2(R) A1 SL2(R))


Sabemos que;SL2(R) =: {N GL2(R) | det(N) = 1}

Sea M A SL2(R) A1 M = A B A1 Donde B SL2(R)

(i) A,B,A1 GL2(R), luego por clausura se tiene que

A B A1 = M GL2(R)

(ii) Estudiemos el determinante de M

det(M) = det(A B A1) = det(A) det(B) det(A1) por propiedades de determinante

Tenemos que B SL2(R) det(B) = 1, entonces

det(M) = det(A) 1 det(A)1 = det(A A1) = det(Id2) = 1

M SL2(R)

A SL2 A1 SL2(R)

SL2(R) E GL2(R)

2) Si K E (G, ) , H E (G, ) Pruebe que K H E (G, ).

Solucion

Por el Corolario 1.1 tenemos que si K G H G K H G.

Ahora debemos demostrar que ( g G)(g K H g1 K H)


Sea x g K H g1 x = g m g1 ; con m K H

Si m K H m K m H

Como m K x = g m g1 g K g1 ( g G)

m H x = g m g1 g H g1 ( g G)

x (g K g1) (g H g1) ( g G)

Pero K E G g K g1 K x K

H E G g H g1 H x H

Como x K x H x K H

g K H g1 K H K H E G

De los ejercicios anteriores podemos definir los siguientes grupos:

(GL2(R)/SL2(R), ) Grupo con la multiplicacion.

(G/K H , ) donde (G, ) es un grupo, K EG y H E G.

[G,G] E G (G/[G,G], ) es un grupo, donde [G,G] es el Conmutadorde G.

Z(G) EG (G/Z(G), ) es un grupo, donde Z(G) es el Centro de G.

Ademas

(Z/nZ,+)


(R/Z,+)

(Q/Z,+)

(GL2(K)/SL2(K), ) En general, con K cuerpo

(Z Z/(1, 1),+)

Proposicion 4.2 Sea G un grupo y H un subgrupo normal de G, entonces elgrupo G/H es abeliano si y solo si [G,G] H.

Demostracion.

)

Supongamos que G/H es abeliano, por demostrar que [G,G] H .

Como [G,G] y H son grupos, solo basta demostrar que [G,G] H , entonces, six [G,G], notemos que x es de la forma, un producto finito de elementos [g, h]con g, h G, luego, nuestro problema se reduce, en probar que los elementos[g, h] estan en H . As, tenemos que:

[g, h]H = ghg1h1H= gH hH g1H h1H pero G/H es abeliano= gH g1H hH h1H= gg1H hh1H= eH eH= H

es decir [g, h]H = H , esto es si y solo si [g, h] H , luego [G,G] H .

[G,G] H

)

Supongamos que [G,G] H , por demostrar que G/H es abeliano.

Como [G,G] H , tenemos que todo elemento de la forma [r, t] esta en H , conr, t G, as [r, t]H = H . Entonces, para todo gH, hH G/H tenemos:


gH hH = ghH utilizando lo que se dijo recien= gh[h1, g1]H= gh(h1g1(h1)1(g1)1)H= (ghh1g1)(h1)1(g1)1H= (h1)1(g1)1H= hgH= hH gH

es decir, G/H es abeliano.


a) G/H tiene estructura natural de grupo si y solo si H E G.

b) Si H es un grupo finito entonces G/H tambien es finito.

c) Si G tiene orden n entonces G/H tiene orden n.

d) Si G tiene orden n entonces siempre va a existir un subgrupo deorden k, donde k es un divisor de n.

e) Todo subgrupo de un grupo abeliano G, siempre es un subgruponormal de G.

f) Si G es un grupo de orden m entonces todo subgrupo debe tenerorden un divisor de m.

g) En un grupo cuociente toda clase tiene el mismo orden.

h) Un grupo de orden primo tiene al menos un subgrupo propio.

i) Toda clase del grupo G/H tiene la misma cardinalidad que el sub-grupo H .

j) La union de dos subgrupos normales de G es tambien un subgruponormal de G.

k) Si K E H y H E G, entonces K E G.

l) Todo subgrupo abeliano de un grupo G, es normal en G.

m) Si H es un subgrupo normal de un grupo G, entonces H NG(H).

4.6. Producto Directo Interno y Externo 61

4.6. Producto Directo Interno y Externo

En esta seccion, mostraremos una nocion a cerca de los productos directos internosy externos de grupos. Solo nos enfocaremos en algunas propiedades, las cuales nosayudaran a la resolucion de problemas vistos en el curso. No esta demas decir quenos referimos como producto a la operacion del grupo en cuestion

4.6.1. Producto Directo Externo

Esta definicion no es nueva para nosotros, ya que la mencionamos en la proposicion1.2, pero no profundizamos mucho en ella, ahora, la idea tampoco es profundizardemasiado, mas que nada, veremos algunas propiedades importantes que tienenestos grupos, que nos serviran para la resolucion de algunos problemas.

Definicion 4.4 Sea {(Gi, i) | (1 i n)(n N)(n 2)} una familia degrupos con sus respectivas operaciones binarias. Se dice que

i I Gi es el produc-

to directo externo de la familia de grupos {Gi | (1 i n)(n N)(n 2)}y el cual, naturalmente es un grupo, donde la operacion binaria se define de lasiguiente manera;

i I Gi

i I Gi

i I Gi(a1, a2, a3, ...., an) ; (b1, b2, b3, ...., bn) 7 (a1 1 b1, a2 2 b2, ...an n bn)

Tambien tenemos que si ei con 1 i n son los neutros (o identidades) de losgrupos, entonces (e1, e2, e3, ..., en) es el neutro (o identidad) del producto directoexterno. Ademas, vemos claramente que si a1i son los inversos de ai, entonces(a11 , a

12 , a

13 , ...a

1n ) es el inverso del elemento (a1, a2, a3, ...an).

En particular;

Si (G, ) y (H, ) son grupos, entonces el grupo del producto directo externo esdenotado por (G H,N), donde (a, x)N (b, y) = (a b, x y)

Notacion: Si {Gi | 1 i n} son grupos aditivos, entonces el producto directoexterno, pasa a llamarse suma directa externa y se denota porG1G2G3...Gno simplemente

ni=1 Gi.

Propiedad 4.1 Sea G =n

i=1 Hi un grupo finito. Entonces |G| =|H1| |H2| |H3| ... |Hn|. Cabe destacar, que el producto directo externo de grupos


finitos, es finito.

Ejemplos

|Z5 Z8| = |Z5| |Z8| = 5 8 = 40 |Sn Zn| = n! n = n2 (n 1)! |Z2 Z2 Z2 Z2| = 24 = 16 |GL2(Z2) Z7 S4| = 6 7 24 = 1008

Proposicion 4.3 Sean

i= 1 Hi un grupo finito y sean ai Hi elementos deorden ri respectivamente. Entonces, |(a1, ..., an)| = MCM(|r1|, ..., |rn|)

Demostracion. No nos compliquemos con detalles, solo hagamos una reflexion.Para que exista un m tal que (a1, a2, a3, ..., an)

m = (e1, e2, e3, ..., en), este debeser simultaneamente multiplo de cada ri. Ahora, sabemos que si el orden de unelemento s es k, entonces k es elmenor entero positivo el cual cumple con sk = e,lo cual nos queda, obviamente, que m debe ser el mnimo comun multiplo de losri.

Ejemplos

Consideremos el grupo Z3 Z4 Z6, entonces;

|(2, 2, 3)| = M.C.M.(|2|, |2|, |3|) = M.C.M.(3, 2, 2) = 6 |(0, 3, 2)| = M.C.M.(1, 4, 3) = 12 |(0, 0, 1)| = M.C.M.(1, 1, 6) = 6

4.6.2. Producto Directo Interno

Definicion 4.5 Sea G un grupo y sea {Hi | 1 i n} una familia de subgru-pos de G. Se dice que G es el producto directo interno de los subgrupos Hi siy solo si la transformacion

:n

i=1 Hi G(h1, h2, ..., hn) h1 h2 ... hn

4.6. Producto Directo Interno y Externo 63

es un Isomorfismo.

7 ComentarioTodava no hemos introducido la nocion de Isomorfismo, por lo cual no esta demasexplicar un poco esta definicion.

Al establecer un Isomorfismo entre dos grupos, nosotros podemos decir que estosposeen propiedades estructurales iguales como pueden ser;

Abeliano

Cclico

Finito de orden n

Infinito

Entre otras que se nombraran en la secciones 5.2 y 5.3. Lo mas importante, y larazon que me llevo a introducir esta definicion, es el siguiente teorema.

Teorema 4.2 Si G es el producto directo interno de la familia de subgrupos{Hi | 1 i n}, entonces todo g G se escribe de manera unica como g =h1 h2 hn, donde hi Hi

La demostracion la omitiremos, ya que requiere de conocimientos de las seccionesantes nombradas.

La definicion y el teorema anterior nos lleva a preguntarnos, que puede pasar conel producto de elementos de varios subgrupos de un grupo G, Es acaso un grupo,el conjunto formado por el producto de elementos de varios subgrupos de G?

Si G es un grupo, H y K dos subgrupos de G, podemos construir el siguiente sub-conjunto de G ; {hk | h H k K} el cual se denota por HK. Afirmamosque si G es abeliano, entonces HK es un subgrupo de G, ya que no necesariamenteel producto h1k1h2k2 esta en HK. Mas aun, si consideramos que solo conmutenlos elementos de H con los de K, esto es si HK = KH , tambien resultara queHK es un subgrupo de G. A continuacion la escribiremos como proposicion paratenerla en cuenta.

Proposicion 4.4 Sea G un Grupo y sean H y K dos subgrupos de G, entoncesel conjunto definido como HK := {hk G | h H , k K} es subgrupo de Gsi y solo si HK = KH.


Demostracion.

)

Supongamos que HK G, por demostrar que HK = KH . Primero veamos que,para cada grupo C, un elemento c C es algun inverso de un elemento de C, porlo cual, es valido definir el grupo C de la siguiente manera C = {c1 | c C}.Luego de esta observacion, tenemos que;

HK = {hk | h H k K}= {h1k1 | h H k K} por observacion anterior= {(kh)1 | h H k K}= {kh | k K h H}= KH

)

Supongamos que HK = KH , por demostrar que HK G. Como es costum-bre, utilizaremos la proposicion 1.3 para la demostracion. Por definicion ten-emos que HK = {hk G | h H k K}, por lo cual, la contencionse cumple trivialmente, por otro lado tambien tenemos que ee = e HK,entonces HK 6= . Ahora solo nos queda demostrar que si h1k1, h2k2 HKentonces h1k1(h2k2)

1 HK. Tenemos por hipotesis que HK = KH , as nosqueda lo siguiente:

h1k1(h2k2)1 = h1k1k

12 h

12 hagamos k1k

12 = k3

= h1k3h12 por hipotesis k3h

12 = h3k4, h3 H, k4 K

= (h1h3)k4 hagamos h1h3 = h4= h4k4

As, tenemos que h1k1(h2k2)1 = h4k4 HK, por lo tanto, concluimos que

HK G.

Ejemplo

Sea H =

{(a b0 1

) GL2(R)

a R , b R}

el cual se conoce como el

Grupo afn, y sea K =

{(x 00 w

) GL2(R)

x, w R}. Con estos dos

subgrupos de GL2(R) construimos el siguiente conjunto:


HK =

{(a b0 1

)(

x 00 w

) ( a b0 1) H ;

(x 00 w

) K

}

El cual es un subgrupo de GL2(R), ya que HK = KH . Dejamos de ejercicioverificar esta afirmacion.


(1) Sean H y K dos subgrupos normales de G. Demostrar que HK es normalen G.

(2) Sean H y K dos subgrupos normales de G. Demostrar que H K = HK(ayuda: recuerde que H K = {s1s2 n | si H K s1i H K})

(3) Determine los elementos del conjunto cuocientes Z3 Z2/(2, 0) y calculeel orden de (2, 1).

(4) Determine los elementos del conjunto cuocientes Z2 Z6/(1, 3) y calculeel orden de (1, 2).

(5) Sea G un grupo de orden n. Demostrar que ( g G) (gn = e).

(6) Sea (G, ) un grupo y H un subgrupo de G. Demostrar que |H| = |a H|con a G.

(7) Sea G un grupo de orden par. Demostrar que existe g G tal que |g| = 2.

(8) SiH yK son subgrupos de G, entonces las siguientes condiciones son equiva-lentes:

a) HK G.b) HK KH .c) HK = KH .

(9) Sea G un grupo y sea H E G tal que H es cclico. Demostrar que todosubgrupo de H es un subgrupo normal de G.


(10) Sea G un grupo y sean H K G. Demostrar que H es normal en K siy solo si K NG(H).

(11) Sea G un grupo y sean K H subgrupos de G. Demostrar que K E G K E H .

(12) Sea G un grupo y H un subgrupo de G tal que H Z(G). Demuestre queH E G.

(13) Determinar el conmutador del grupo D4 (sugerencia: considere el el sub-grupo R2 y luego utilice la proposicion 4.2).

(14) Sea Ant := {A M2(C) |A es antisimetrica}. Demostrar que Ant EM2(C)

(15) Demostrar que la interseccion de una familia de subgrupos normales de ungrupo tambien es un subgrupo normal.

(16) Sea G un grupo abeliano tal que |G| > 1, Demostrar que las siguientesafirmaciones son equivalentes:

a) El orden de G es finito y primo.

b) G es un Grupo Simple.

(17) Describa el grupo GL2(Z2)/H , donde H = (

1 11 0

).

(18) Determine un sistema de representantes del grupo Q/{1,1}.

Captulo 5

Homomorfismos

5.1. Conceptos principales

Definicion 5.1 Sean (G, ) , (H, ) dos Grupos y sea f : G H una fun-cion. Se dice que f es un Homomorfismo si y solo si;

(x, y G) (f(x y) = f(x) f(y))

Ejemplos

1.Loga : (R+, ) (R,+)

x Loga(x)

Donde (x, y R+) (Loga(x y) = Loga(x) + Loga(y)).

2.det : (GL2(K), ) (K, ) con K cuerpo

A det(A)

Donde (A,B GL2(K)) (det(A B) = det(A) det(B)).

68 5. Homomorfismos

3.t : (M2(K),+) (M2(K),+) con K cuerpo

M M t

Donde (M,N M2(K)( (M +N)t = M t +N t).

t es la traspuesta de una matriz.

4. : Z Zn

x (x) = x

Donde (x, y Z) ((x+ y) = x+ y = x+ y = (x) + (y)).

5. : C R

f baf(x) dx

Donde C es el grupo de las funciones continuas en el intervalo [a, b]. Vemosclaramente que ( f, g C) ((f + g) = b

a[f(x)+ g(x)] dx =

baf(x) dx + b

ag(x) dx = (f) + (g))

Ademas,

Si f : G H es un Homomorfismo, diremos que;

1. f es un Monomorfismo si y solo si f es inyectiva.

2. f es un Epimorfismo si y solo si f es epiyectiva.

3. f es un Endomorfismo si y solo si G = H .

5.1. Conceptos principales 69

4. f es un Isomorfismo si y solo si f es inyectiva y epiyectiva.

5. f es un Automorfismo si y solo si f es inyectiva, epiyectiva y ademasG=H .

De los ejemplos anteriores tenemos que;

Loga es un Isomorfismo. det es un Epimorfismo. t es un Automorfismo. es conocido como el Epimorfismo Canonico.

En General, si (G, ) es un grupo y H EG. : G G/H

g (g) = g H

es el Epimorfismo Canonico.

Notaciones

Sean (G, ), (H, ) dos Grupos.

1. Hom(G,H) = {f F (G,H) | f es un Homomorfismo} conjunto de los Ho-momorfismos de G en H .

Observacion 8 Lo interesante es saber cuandoHom(G,H) es un Grupo.

Determinaremos las condiciones necesarias para queHom(G,H) F (G,H),donde podemos conocer su estructura y as conocer con que operacion tra-baja.

70 5. Homomorfismos

(i) Hom(G,H) F (G,H) Se cumple por definicion

(ii) Hom(G,H) 6=

e : G Hg eh

Donde e es el homomorfismo nulo.

No es de mayor dificultad demostrar que e es un homomorfismo. Entoncese Hom(G,H) Hom(G,H) 6=

(iii) Sean f, g Hom(G,H), por demostrar que f g1 Hom(G,H).

f g1 Hom(G,H) (x, y G) ((f g1)(xy) = (f g1)(x)(f g1)(y))

Entonces, sean x, y G

(f g1)(x y) = f(x y) (g(x y))1 Distribucion de funciones= f(x) f(y) (g(x y))1

= f(x) f(y) g(y)1 g(x)1

= f(x) f(y) g1(y) g1(x)

= f(x) (f g1)(y) g1(x)

= f(x) g1(x) (f g1)(y) Si H es ABELIANO

= (f g1)(x) (f g1)(y)

Entonces f g1 Hom(G,H)

Hom(G,H) F (G,H) (si y solo si H es un grupo ABELIANO).

Conclumos que;


Si G es Grupo y (H, ) un grupo Abeliano (Hom(G,H), ) esun grupo.

2. End(G) = {f F (G,G) | f es un Homomorfismo} conjunto de los Endo-morfismos de G.

(End(G), ) es un grupo, donde es la operacion de G.

3. Aut(G) = {f End(G) | f es una funcion biyectiva} conjunto de los Au-tomorfismos de G.

Aut(G) es un grupo con la composicion de funciones ( )

Propiedad 5.1 Sean (G, ), (H, ) dos Grupos y sea f : G H un Ho-momorfismo.

1. (f(a))1 = f(a1)

2. Si eG , eH son los neutros de los Grupos G y H respectivamente, entoncesf(eG) = eH

Demostracion.

Demostracion 1.

f(a a1) = f(eG)f(a) f(a1) = f(eG) /(f(a))

1izq

{(f(a))1 f(a)} f(a1) = (f(a))1 f(eG)eH f(a

1) = (f(eG) f(a))1

f(a1) = ((f(eG a))1f(a1) = (f(a))1

72 5. Homomorfismos

Demostracion 2.

eG = a a1 /f (a G)f(eG) = f(a a1) f es homomorfismof(eG) = f(a) f(a

1) utilizando propiedad (1) tenemosf(eG) = f(a) (f(a))

1) (f(a))1 es el inverso de f(a)f(eG) = eH

Definicion 5.2 Sea f : G H un homomorfismo.

Se definen:

Kerf = {g G | f(g) = eH} Kernel de f o Nucleo de f.

Este conjunto tambien se puede denotar como f1(eH) (conjunto de las preimagenesdel neutro de H).

Imf = {h H | (g G) (f(g) = h)} Imagenes de f

Este conjunto tambien se puede denotar como f(G).

Si J H entonces se define:

f1(J) = {g G | f(g) J} Conjunto de las preimagenes de J.

Afirmacionkerf G ; Imf H ; f1(J) G

8 ComentarioSi f : G H es un homomorfismo y M G, entonces f(M) H . Enparticular Imf H , ya que Imf = f(G) donde G es un subgrupo de simismo. La demostracion se deja de ejercicio.


Teorema 5.1 Sea f : G H un homomorfismo, entonces;

1. f es una funcion inyectiva, o sea, es un Monomorfismo si y solo si Kerf ={eG}, donde eG es el neutro de G.

2. f es un Isomorfismo si y solo si existe un homomorfismo f1 : H Gtal que f f1 = IH y f1 f = IG

Demostracion.

Demostracion 1.

)

Supongamos que f es un monomorfismo, entonces debemos demostrar queKerf ={eG}

Tenemos que Kerf = {g G | f(g) = eH}

Entonces, vemos que x kerf f(x) = eH (por definicion de kerf).Ahora, por otro lado, tenemos que si f es un homomorfismo entonces f(eG) = eH

Luego, f(x) = f(eG), pero f es inyectiva por hipotesis.

x = eG

En conclusion, tenemos que para cualquier x Kerf x = eG. Por lotanto Kerf = {eG}

)

Supongamos que Kerf = {eG}, por demostrar que f es un monomorfismo. Yasabemos por el enunciado que f es un homomorfismo, ahora solo nos queda de-mostrar que f es una funcion inyectiva.

Sean x, y G tales que f(x) = f(y), por demostrar que x = y . O sea,que que cada elemento de G tiene una unica imagen en H y distinta al resto delos demas elementos de G.

74 5. Homomorfismos

f(x) = f(y) / (f(y))1f(x) (f(y))1 = f(y) (f(y))1f(x) f(y1) = f(y) f(y1) (por propiedad 5.1 (2))

f(x y1) = f(y y1) f es homomorfismof(x y1) = f(eG) pero f(eG) = eHf(x y1) = eH

Entonces x y1 Kerf , ya que si x, y G x y1 G (propiedadde grupo) y ademas f(x y1) = eH (condicion que cumplen los elementos delkernel de f).

Por hipotesis tenamos que Kerf = {eG}

Luego,

x y1 = eG / yx (y1 y) = eG y

x eG = eG yx = y

En conclusion tenemos que f(x) = f(y) x = y

f es un Monomorfismo

Demostracion 2.

)

Esta demostracion la dejaremos como ejercicio para el lector.

)

Supongamos que existe un homomorfismo f1 : H G tal que ff1 = IHy f1 f = IG, por demostrar que f es un Isomorfismo.

Por el enunciado tenemos que f es un homomorfismo, ahora basta demostrar


que f es una funcion biyectiva.

1. Demostremos que f es Inyectiva. Sean x, y G tales que f(x) = f(y), pordemostrar que x = y

f(x) = f(y) /f1

(f1 f)(x) = f1 f(y) por hipotesis tenemos que f1 f = IGx = y

Por lo tanto f es Inyectiva

2. Demostremos que f es Epiyectiva. f es Epiyectiva si y solo si Imf = H ,pero por definicion de Imf sabemos que Imf H , ahora solo bastamostrar que H Imf

Sea h H , por demostrar que h Imf . Veamos que f1(h) G yademas por hipotesis sabemos que f f1 = IH , entonces nos queda losiguiente;

f(f1(h)) = (f f1)(h) = IH(h) = h

Por lo cual f1(h) es una preimagen para h, ademas esto se cumple paratoda h H , por lo tanto H Imf . Entonces podemos decir que f es unafuncion Epiyectiva.

Por fundamentos anteriores queda demostrado que f es un Isomorfismo.

5.1.1. Ejercicios Resueltos

(I) Sea (G, ) un grupo abeliano y sea f la siguiente funcionf : G G

g g1

Demostrar que f es un Automorfismo.

76 5. Homomorfismos

(i) Demostraremos que f es un homomorfismo.

Sean g1, g2 G

f(g1 g2) = (g1 g2)1 = (g2)1 (g1)1= f(g2) f(g1) G

G es abeliano = f(g1) f(g2)

f es un homomorfismo

(ii) Demostraremos que f es una funcion inyectiva utilizando el teorema 5.1.

Sea g G, entonces;g Kerf f(g) = eG

g1 = eG aplicamos g g g1 = g eG eG = g

Kerf = {eG} f es inyectiva

(iii) Demostraremos que f es una funcion epiyectiva. Recordemos que fes epiyectiva Imf = G

Tenemos que

Imf = {g G | ( g G) (f(g) = g)}

Sabemos que, Imf = G Imf G G Imf .

(1) Imf G por definicion del conjunto Imf

(2) Debemos demostrar que G Imf .

Sea g G, ahora como G es grupo g1 G


Luego tenemos que,

f(g1) = (g1)1 = g

Entonces, g1 G tal que f(g1) = g g Imf

G Imf

Por (1) y (2) tenemos que Imf = G

f es una funcion epiyectiva

Por fundamentos anteriores podemos decir que f es un Automorfismo.

(II) Sean A y A grupos tales que A = A. Demostrar que Aut(A) = Aut(A)

Por hipotesis tenemos que A = A, entonces, existe : A A talque es un isomorfismo. Para la demostracion nos crearemos una funcion dada de la siguiente manera:

: Aut(A) Aut(A)f (f)

Ahora necesitamos definir nuestra funcion (f) : A A la cual deno-taremos f . Utilizando nuestra hipotesis podemos pensar en lo siguiente;

A A A A-1 -f -

Luego, consideremos f := f 1 ( f Aut(A)). Ahora nos quedademostrar que es un Isomorfismo.

(i) Primero veamos que es una funcion bien definida, o sea, que cada ele-mento de Aut(A) tiene una unica imagen.

Sean f, g Aut(A) tales que f(a) = g(a) ( a A), por demostrar

78 5. Homomorfismos

que f(b) = g(b) ( b A)

Tenemos que para todo b A se cumple;f (b) = f 1(b) por definicion anterior

= (f(1(b) A

) utilizando la hipotesis tenemos que

= (g(1(b))= g 1(b)= g(b)

As tenemos que es una funcion bien definida.

(ii) Veamos que es un homomorfismo. Sean f, g Aut(A), por demostrarque (f g) = (f) (g)

Tenemos lo siguiente;

(f g) = (f g) 1 por definicion= (f Id g) 1= (f (1 ) g) 1= ( f 1) ( g 1)= (f) (g)

As tenemos que es un Homomorfismo.

(iii) Veamos que es una funcion Inyectiva. Sabemos que es Inyectivasi y solo si Ker = {IdAut(A)} (por teorema 5.1), donde IdAut(A) es elneutro de Aut(A).

Sabemos que Ker = {h Aut(A) |(h) = IdAut(A)}, donde IdAut(A) esel neutro de Aut(A). Ahora veamos lo siguiente;

Sea f Ker (f) = IdAut(A) f 1 = IdAut(A) /1izq f 1 = 1 IdAut(A) /der f = 1 f = IdAut(A) f {IdAut(A)}

Concluimos que Ker {IdAut(A)}, luego Ker = {IdAut(A)}, por lo tan-to, es una funcion Inyectiva.

5.2. Breve estudio del Grupo Hom 79

(iv) Veamos que es una funcion epiyectiva. Recordemos que es unafuncion epiyectiva si y solo si Im = Aut(A), pero sabemos que Im Aut(A) por definicion, por lo cual, basta demostrar que Aut(A) Im.

Sea h Aut(A), por demostrar que h Im. Sabemos que h Im siy solo si ( g Aut(A)) ((g) = h), o sea, si h posee preimagen.

Consideremos lo siguiente;

A A A A- -h -

1

Entonces, claramente 1 h Aut(A) y la cual es la preimagenpara h, ya que

(1 h ) = (1 h ) 1 = ( 1) h ( 1) = h.

Vemos claramente que lo anterior es valido para cualquier elemento h deAut(A), entonces, Aut(A) Im, por lo tanto es una funcion Epiyec-tiva.

Por fundamentos anteriores podemos decir que : Aut(A) Aut(A)es un Isomorfismo.

Aut(A) = Aut(A)

9 ComentarioEl ejercicio que acabamos de ver

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