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Anwendungen von Netzwerkfluss

Wojciech PolcwiartekInstitut für InformatikFU Berlin13. 01. 2009

Aktuelle Themen in der Algorithmik: Anwendungen von Netzwerkfluss

Gliederung

• Einführung• Netzwerk, Fluss und Schnitt• Max-Flow-Min-Cut Theorem

• Algorithmen zum Bestimmen vom maximalen Fluss• Ford – Fulkerson Algorithmus• Edmonds – Karp Algorithmus

• Anwendungen• Bipartites Matching• Zirkulation mit Anforderungen (mit unteren Schranken)• Umfrageentwurf• Bildsegmentierung• Projektauswahl


Einführung: Netzwerk

• Ein Netzwerk N=(V, E, s, t, c) ist ... • ein gerichteter Graph

ohne Mehrfachkanten • mit zwei ausgezeichneten Knoten

• Quelle s aus V• Senke t aus V

• mit einer Kapazitätsfunktion c, die jeder Kante e aus E eine nicht-negative, reellwertige Kapazität c(e) zuweist

• Ein Restnetzwerk (Residualnetzwerk) vom N ist ein Netzwerk N'=(V, E, s, t, c'), in dem die Kapazitäten jeder Kante um den Fluss durch diese Kante vermindert wurden

s t

c=1

c=3

c=0

c=2

c=4

c=2

c=3

c=1


Einführung: s-t-Fluss

• Ein s-t-Fluss ist eine Funktion f, die jeder Kante e im Netzwerk einen nicht-negativen, reellen Flusswert f(e) zuweist

• Bedingungen vom Fluss:• Kapazitätsbeschränkung

• Flusserhaltung

• Wert vom Fluss im Netzwerk

• Verbesserungspfad ist ein Pfad (v[1], ..., v[k]), wobei • v[1] = s, v[k]=t• c(v[i],v[i+1]) – f(v[i], v[i+1]) > 0

s t

c=1 f=0

c=3 f=1

c=1 f=1

c=2 f=0

c=4 f=1

c=2 f=1

c=3 f=2

c=1 f=0

∑einc v

f e−∑e ausv

f e=0

0 f ec e ,∀ e∈E


Einführung: Schnitt

• Ein Schnitt ist eine Menge von Kanten eines Graphen G = (V,E), die zwischen zwei Knotenmengen S und T liegt, wobei••

• Kapazität c(S, T) vom Schnitt (S,T)

s t

c=1

c=3

c=0

c=2

c=4

c=2

c=3

c=1

S

T

S∪T=VS∩T=∅


Einführung: Max-Flow-Min-Cut

• Der maximale Fluss im Netzwerk hat genau den Wert dessen minimalen Schnitts.

• Die folgenden Aussagen sind äquivalent:• f ist der maximale Fluss in G• das Restnetzwerk G' enthält keinen Verbesserungspfad• |f| = c(S,T) gilt für irgendeinen Schnitt (S,T)


Gliederung





Algorithmen: Ford-Fulkerson

• Erfinder • Lester Randolph Ford, Jr

• beteiligt auch an Bellman-Ford Algorithmus

• Delbert Ray Fulkerson

• Idee:Solange es im Netzwerk einen Verbesserungspfad gibt, richte den Fluss durch diesen Pfad

• Laufzeit: O( |E| * f' ) • f' ist der maximale Fluss im Graphen• Vorsicht: Algorithmus muss nicht terminieren

• Uri Zwick: „The smallest networks on which the Ford-Fulkerson maximum flow procedure may fail to terminate“


Algorithmen: Ford-Fulkerson (1/9)


Algorithmen: Edmonds-Karp

• Erfinder• Yefim Dinitz (1970) (University of the Negev)• Jack Edmonds und Richard Karp (1972) (Univ. of California)

• R. Karp bekannt auch wegen „Karp's 21 NP-C problems“

• IdeeFunktioniert ähnlich zum Ford-Fulkerson Algorithmus.Der Verbesserungspfad wird aber mit Hilfe von Breitensuche ausgewählt, so dass die Länge der Verbesserungspfade steigt.

• Laufzeit: O( |V| * |E|² ) • Beweis: siehe Cormen, Leierson, Rivest und Stein

• O( |E| ) - Verbesserungspfad finden• Jedes Mal wird mind. eine Kante gesättigt• Laenge vom Pfad ist max. |V|


Gliederung





Anwendungen: Bipartites Matching

• Reales Problem: Paarung der Menschen

• Bipartites Matching / Paarung /Unabhängige Kantenmenge• Eingabe: ungerichteter, bipatrtiter

Graph• ist ein Matching, wenn zwei

beliebige Kanten aus M mit verschiedenen Knoten inzident sind

• Ziel: finde Paarung mit der höchsten Kardinalität

G=L∪R , E M⊂E



• Formulierung als Netzwerkflussproblem• Erstelle Graph

• Richte alle Kanten von L nach R und weise den unendliche Kapazität zu Füge Quelle s und Senke t hinzu

• Füge Kanten mit einer Kapazität von 1 von der Quelle zu jedem der Knoten aus L

• Füge Kanten mit einer Kapazität von 1 von jedem der Knoten aus R zu der Senke

• Rechne den maximalen Fluss in G' aus

G '=L∪R∪{s , t} ,E '

G G'


Anwendungen: Zirkulation mit Anforderungen

• Reales Problem:Mehrere Datenquellen undDatensenken in einem Netzwerk

• Eingabe• Gerichteter Graph G=(V,E)• Kantenkapazität c(e), für alle e aus E• Angebot/Anforderung d(v), für alle v aus V

• Anforderung d(v) > 0 • Angebot d(v) < 0

• Gültige Zirkulation ist eine Funktion, die erfüllt auf solchen Graphen• Kapazitätbeschränkung • Flusserhaltung

0 f ec e ,∀ e∈E∑einc v

f e−∑e ausv

f e=d v



• Nötige Bedingung für eine gültige Zirkulation•

• Formulierung als Netzwerkflussproblem• Erstelle Graph

• Füge eine Quelle s und Senke t hinzu• Verbinde die Quelle mit jedem Knoten mit Angebot mit Hilfe

von einer gerichteter Kante mit der Kapazität -d(v)• Verbinde jeden Knoten mit Anforderung mit der Senke mit Hilfe

von einer gerichteter Kante mit der Kapazität d(v)

∑v :d v0

d v =− ∑v: d v0

d v =D

G '=G∪{s , t }, E '

G G'



• G hat eine gültige Zirkulation, wenn der maximale Fluss in G' den Wert D hat


Anwendungen: Zirkulation mit Anforderungen und unteren Schranken

• Reales Problem:Netz der Abwasserkanäle• Minimaler Fluss nötig

• Eingabe• Gerichteter Graph G=(V,E)• Kantenkapazität c(e) und

untere Schranke l(e),für alle e aus E• Angebot/Anforderung d(v), für alle v aus V

• Anforderung d(v) > 0 • Angebot d(v) < 0

• Gültige Zirkulation ist eine Funktion, die erfüllt auf solchen Graphen• Kapazitätbeschränkung • Flusserhaltung

l e f ec e ,∀ e∈E∑einc v

f e−∑e ausv

f e=d v


Anwendungen: Zirkulation mit Anforderungen und unteren Schranken

• Formulierung als Netzwerkflussproblem• Erstelle Graph wie in „Zirkulation mit Anforderungen“• Modelliere untere Schranke mit Anforderungen im G'

• Lasse l(e) Fluss durch die Kante durch• Aktualisiere Anforderungen an beiden Enden

• Weiter wie „Zirkulation mit Anforderungen“

G G'


Anwendungen: Umfagenentwurf

• Reales ProblemMarktanalysen, Kundenumfragen

• Problem • Frage n Kunden nach m Produkten• Man darf den Kunden i nur dann

nach Produkt j fragen, wenn i j besitzt• Stelle dem Kunden i zwischen c(i) und c'(i) Fragen• Befrage zwischen p(j) und p'(j) Kunden nach Produkt j

• Ziel: Finde eine passende Umfrage, wenn möglich



• Formulierung als Netzwerkflussproblem• Modelliere Problem als Zirkulation mit unteren Schranken

• Kunden und Produkte als Knoten• Füge zwei Knoten s und t hinzu• Verbinde mit Kunden i und Produkt j, wenn i j besitzt;

Kantenschranken [0,1]• Verbinde s mit allen Kunden; Kantenschranken [c(i),c'(i)]• Verbinde alle Produkte mit t; Kantenschranken [p(j),p'(j)]• Verbinde t mit s; Kantenschranken [0, unendl.]



• Eine Umfrage existiert wenn es im aufgebauten Graphen eine gültige Zirkulation gibt


Anwendungen: Bildsegmentierung

• Reales ProblemErkennung von Objektenauf einem Bild

• Problem • Jedes Pixel i hat ein Maß a(i)>=0,

das seine Ähnlichkeit mitdem Vordergrund A ausdrückt

• Jedes Pixel i hat ein Maß b(i)>=0, das seine Ähnlichkeit mit dem Hintergrund B ausdrückt

• Die Entfernungsstrafe p(i,j)>=0 zwischen zwei Pixeln i und j, von den ein zum Vorder- und ein zum Hintergrund gehört

• Ziel: finde eine Partition• Mit maximalem

oder• Mit minimalem

q A , B=∑i∈A

a i ∑j∈B

b j − ∑ i , j∈E;∣A∩{i , j }∣=1

p i , j

q ' A ,B =∑i∈A

b i ∑j∈B

a j ∑i , j ∈E ;∣A∩ {i , j }∣=1

p i , j



• Formulierung als Netzwerkflussproblem• Erstelle einen Graph G=(V,E)

• Pixel als Knoten • Füge zwei Knoten s und t hinzu• Verbinde s mit allen Pixeln i; Kantenkapazität a(i)• Verbinde alle Pixeln j mit t; Kantenkapazität b(j)• Verbinde Benachbarte Pixel i und j mit zwei gerichteten Kanten

(entgegen gesetzte Richtung) mit Kapazität p(i,j)



• Die gesuchte Partition q'(A,B) hat die Größe des Kapazität vom Schnitt c(A,B) c A , B=∑

i∈A

bi ∑j∈B

a j ∑ i , j∈E;∣A∩{i , j }∣=1

p i , j =q ' A ,B


Anwendungen: Projektauswahl

• Reales ProblemProjektverwaltung,strategische Planung

• Problem • Es gibt eine Menge der potenziellen

Projekte• Mit Projekt v ist erwarteter Gewinn p(v) verbunden

• Gewinn kann auch negativ sein (Verlust)

• Manche Projekte hängen von anderen ab • Eine Menge der Projekte ist gültig, wenn alle voneinander

abhängige Projekte zu dieser Menge gehören

• Ziel: Finde eine gültige Menge der Projekte, so dass der erwartete Gewinn maximal ist• Eine Partition q(A,B), so dass maximal ist∑

i∈A

p i



• Formulierung als Netzwerkflussproblem• Erstelle einen Graph G=(V,E)

• Projekte als Knoten• Füge zwei Knoten s und t hinzu• Verbinde jedes Projekt mit allen seinen Vorbedingungen;

Kantenkapazität = unendl.• Verbinde s mit allen profitablen Projekten; Kantenkapazität p(i)• Verbinde alle verlustbehaftete Projekte mit t;

Kantenkapazität -p(i)



• Minimaler Schnitt ist die Partition q(A,B), für die maximal ist

• Die gesuchte Projektmenge ist die Untermenge A \ {s}

∑i∈A

p i


Quellen

• Jon Kleinberg, Éva Tardos, „Algorithm Design“

• Folien von K. Wayne, www.cs.princeton.edu/~wayne

• www.wikipedia.org


Vielen Dank!

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